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4[1].1.2《圆的一般方程》课件(新人教A版必修2)

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新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)

新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.

4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)

4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)

C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目 导引
第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.

高中数学人教A版必修二第四章4.1.2 圆的一般方程课件

高中数学人教A版必修二第四章4.1.2 圆的一般方程课件

圆的一般方程
x2 y2 2x 4y 1 0
(x -1) 2 (y 2) 2 4 配
拆 平
x2 2x 1 y2 4y 4 4 方
方
x2 y2 2x 4y 1 0
看不见圆心、半径
提取圆心和半 径的必经之路
已知x2 y2 2x 6 y 2 0表示圆，
则它的圆心坐标为
，半径为
(2)没有xy这样的二次项.
(3) D2 E 2 4F 0
本节总结：圆的一般方程
方我突程们出x把2了+yD形22++式DEx上2+-E的4yF+特F＞=点00的时轨x2迹+y可2+能D是x+圆Ey、+F点=或0所无表轨示迹.的 圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2 y2 2x 6y 2 0
x2 2x 1 y2 6y 2 1 (x 1)2 y2 6 y 2 1
(x 1)2 (y2 6 y 9) 2 10 (x 1)2 (y 3)2 2 10 (x 1)2 (y 3)2 8
圆心（ -1，，3） 半径2 2
。 X配方 y配方
人民教育出版社 高中数学 高一 必修2
4.1.2 圆的一般方程
圆的标准方程: x a2 y bN2 o r2
• 圆心C(a,b),半径为r.
Image
(x -1) 2 (y 2) 2 4
22
No • 圆心C(1,2), •半径为2 Image
(x -1) 2 (y 2) 2No4 拆平方 Image
x2 y2 Dx Ey F 0

高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程

高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程
以（1，-2）为圆心，以
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得

人教版高中数学必修2(A版) 4.1.2圆的一般方程 PPT课件

人教版高中数学必修2(A版) 4.1.2圆的一般方程 PPT课件
未知量 是什么？
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1：待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2）
2 2
方案2： 数形结合： 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F（或a, b, r )
挖出两条直径（弦中 垂线）方程
表示
（2）当D2+E2-4F=0时， 表示
（3）当D2+E2-4F<0时， 表示
D E D2 E 2 4F 圆心（ ， ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点（ ， ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道：方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢？

人教版高中数学必修二4.1.2__圆的一般方程ppt模板

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以建立点M的坐标满足
的条件，求出点M的
轨迹方程.
解： 设点M的坐标是
( x, y), 点A的坐标是
( x0 , y0 ).
由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点，所以
x0 4 y0 3 x ,y ， 2 2
于是有
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
(1)
因为点A在圆
（2）没有xy这样的二次项.
例1 下列方程各表示什么图形?
(1) x y 0
2 2
(2) x y 2x 4 y 6 0
2 2
(3) x2 y 2 2ax b2 0
答案：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）原点(0,0).
(2) 圆心为（1， - 2），半径为 11 的圆 .
（3）当a2 + b2 ≠0时， 表示圆心为（- a，0），半径为 a2 + b2 的圆.
x y Dx Ey F 0 表示以
2
D E ( , ) 为圆心， 2 2
D 2 E 2 4 F 为半径的圆.
（2）当 方程
D 2 E 2 4 F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
只有一实数解 （3）当
当a2 + b2 = 0时，表示一个点（0，0）.
例2 求过三点
O(0, 0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程，
并求出这个圆的半径长和圆心坐标．
解： 设圆的方程为 把点
x2 y 2 Dx Ey F 0,
O(0, 0), M1 (1,1), M 的坐标代入得方程组 2 (4, 2)

高中数学 4.14.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2


种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于 D， 栏
目
E，F 或 a，b，r 的方程组；③解方程组．求出 D，E，
链 接
F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到
所求的圆的方程．
第二十七页，共39页。
跟踪 训练
2．(1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心 在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
第十九页，共39页。
跟踪 训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
栏
目
(3)x2＋y2－2ax－2
3y＋3a2＝0－
6 2 <a<
26.
链 接
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆 心为(3,0)，半径为 3.
第十四页，共39页。
栏 目 链 接
第十五页，共39页。
题型一 圆的一般方程的概念(gàiniàn)
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心(yuánxīn)和
半径．
栏
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
目 链
接
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
第二十页，共39页。
跟踪 训练
(2)原方程化为 x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该
圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
栏
目
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为
链 接
表示圆，所以 3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)，

高中数学人教A版必修二4.1.2圆的一般方程课件


x2+y2-7x-3y+2=0. ( 3)“求经过点A(4,-5)，且与直线m：x-2y+4=0相切于 点B(-2,1)的圆的方程”，有哪一些方法？
(4-a)2+(-5-b)2=r2
(-2-a)2+(1-b)2=r2
b|a1a--(-+2-12b(-)+2=4)-2|2=r2
42+(-5)2+4D-5E+F=0
当当a当 当 a,,baba不,不,b同 b不同不时同时同 为时为0时 为时00为 时 时 , 0,, 时,
表表示表 表 示圆示圆 示心圆心 圆为心为心为 为 a,a0a,0, 半a ,,,半 径0半径 为径 , 半 为为a径 2a2为 ab22b的2a的 b圆22圆 的 . .b圆2
当当a当 当 a,,baba同,同,b时b同时同为时为时 0为时0为 0时,时0,,时,
(-2)2+12 -2D+E+F=0
-
-E2|-D2-D2(--1-122+)((-=-E22-2))2+4|
=
D2+E2 -4F 2
AB的中垂线：y-(-2)=1 (x-1) m的垂线：y-1=-2[x-(-2)]
L XZ XJY
例析
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点
A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的
若设 2a D,2b E ,a 2 b2 r 2 F，则有 :
x 2 y 2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程。
2.下列二元二次方程各表示什么图形？由 此你能得到什么结论？
(1)x2+y2 -2x- 4y +1=0

【人教A版】高中数学必修二：4.1.2《圆的一般方程(2)》ppt课件


突出方程形式上的特点
例1：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的 圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
例2、已知一曲线是与两个定的点的轨迹，
求此曲线的方程，并画出曲线。
课堂小结 (1)任何一个圆的方程都可以写成 x2 y 2 Dx Ey F 0
的形式，但是方程 x2 y 2 Dx Ey F 0
的曲线不一定是圆；当 D2 E2 4F 时0，方程
x2 y 2 Dx Ey F 0 称为圆的一般方程。
（2）圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化; 熟练应用配方法求出圆心坐标和半径. (3)用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.
②没有xy这样的二次项。
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
(x a)2 ( y b)2 r2
x2 y2 Dx Ey F 0
圆心 半径 优点
(a,b)
r (r o) 几何特征明显
( D , E ) 22
1 D2 E2 4F 2
(D2 E 2 4F 0)
2
2
4
D2 E2 4F 0 4
D2 E2 4F 0
D2 E2 4F 0
D2 E2 4F 0
与一般的二元二次方程
Ax2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
比较圆的一般方程的特点：
①x2和y2的系数相同，不等于0．
（举例：）
4x2 4 y2 4x 12 y 9 0
判断下面两个方程是否表示圆：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0 (2)x2 y2 2x 4 y 6 0

高一数学 人教A版必修2 第四章4.1圆的标准方程、一般方程 课件


【训练1】 点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A.在圆外
B.在圆内
C.在圆上
D.不确定
解析 把点P(m2，5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋ 25&互动探究) 【例2】 求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2 ＝0上的圆的标准方程. [思路探究] 探究点一 如何确定该圆圆心？
【例1】 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内 部，求实数a的取值范围. 解 由题意，点 A 在圆 C 上或圆 C 的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0，∴a≥－52，又 a≠0， ∴a 的取值范围是－52，0∪(0，＋∞).
规律方法 判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关 系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心 的距离与半径比较大小. 对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体 判断方法如下： ①当(x0－a)2＋(y0－b)2<r2时，点在圆内， ②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上， ③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外.
B.(x－1)2＋(y－2)2＝100
C.(x－1)2＋(y－2)2＝5
D.(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵点 A(－3，－1)和 B(5，5)的中点坐标为(1，2)， ∴以 A、B 为直径的圆的圆心坐标为(1，2)， 半径 r＝12 （5＋3）2＋（5＋1）2＝5. ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 答案 D
4.给出以下五个点的坐标：①(1，1)，②(2，1)，③(0，0)， ④( 2， 2)，⑤(2，0).以上各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2 上 的是________.(写出所有可能的序号) 解析 分别将五个点的坐标代入圆的方程检验可知③⑤ 适合圆的方程. 答案 ③⑤
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)
2
D
2
E
2
4F
(*)
4
(1)当D （ D 2
E 4F 0时，方程 E 2 ）为圆心， 1 2
2 2
（ * ）表示以
，
D E 4F 为半径的圆
5
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2
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2
(2)当D x
2
E
4F 0时，方程
2
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情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素 质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条 件确定方程中的系数，D、E、F． 教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具：多媒体、实物投影仪
D 1, E 3, F
9 4
而 不 是 D=-4,E=12,F=9
11
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课堂练习： 课堂练习第1、2、3题 小结 ： 1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆) 2．与标准方程的互化 3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹。
y
2
Dx Ey F 0只要实 D 2 D 2 ,y E 2 ）. E 2 ,表 示 一 个
数解x 点（
，
2
(3)当D
2 2
2
E 4F 0时, 方程
x y Dx Ey F 0没有 实数解，因而不表示任 何图形.
6
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两个定点
， 0） 距 离 的
的点的轨迹，求此曲线
图解
9
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例 3.已 知 直 线 l
2 2
: x 2y 3 0,
圆 C : x y 2x 0， 若 点 P 在 圆 C上 ， 试 确 定 点 P 使 点 P到 直 线 l的 距 离 求这个最小值。 的坐标， 最小，并
12
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课后作业： 习题4.1第2、3、6题
13
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2
y
2
Dx Ey F 0 ?考：的方程的曲源自是不是圆4金太阳教育网

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二、圆的一般方程的定义：
1.分 析 方 程 x 所表示的轨迹
配方可得 (x D 2 ) (y
2 2
2
2
y Dx Ey F 0
2
E 2
图
例4
线与圆
10
知识应用与解题研究：
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例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
2 2 学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用 1 4 x 4 y 4 x 1 2 y 9 0 圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的 2 2 . 2 4 x 4 y 4 x 12 y 11 0

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2.当 D
2
2
E 4F 0时 , 方 程
2
x y Dx Ey F 0称 为
2
圆的一般方程.
3.圆的一般方程的特
（1）x
2 2
点：
与y 的系数相同，不等于0
（2）没有xy项 (3)D
2
E 4F 0
7
2
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3
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一、复习
(x a) (y b) 圆的标准方程是______________________r
2 2 2
将 上式 展开 得 x y 2 ax 2 by a b r
2 2 2 2 2
0
思
形如x
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4.1.2《圆的一般方程》
1
教学目标
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知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定 圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件． (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。 (3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及 分析解决问题的实际能力。

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例1.求过 三点 O(0
,0),
M 1(1,1), M 2(4,2)的圆 的方 程.
图解
8
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例 2.已 知 一 曲 线 是 与 O（ 0， 0） ， A（ 3 比为 1 2 的方程，并画出曲线.