最新高中数学必修四同角三角函数的基本关系式同步练习习题(含答案)

三角函数练习10 两角和与差的正弦、余弦、正切11.已知sin αcos60°-cos αsin60°＝21,α∈(0，2π)，则α＝( ) A.2πB. 67πC. 6π或23πD. 2π或67π2.tan11.5°+tan33.5°+tan11.5°·tan33.5°＝( ) A.1B.-1C.2D.-23.若y ＝3sin θ-4cos θ＝-5cos(θ+φ)，tan φ＝( ) A.34B.43 C.-34 D.-43 4.△ABC 中，已知sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB ＝2，则△ABC 是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形5.若tan α，tan β是方程x 2-px+q ＝0的两根，cot α,cot β是方程x 2-rx+s ＝0的两根，则下列成立的式子有几个( )(1)ps ＝r (2)qs ＝1 (3)qr ＝p (4)r(1-q)＝p(s-1) A.1B.2C.3D.46.xx xx cos sin cos sin -+＝( )A.tan(x-4π)B.tan(x+4π)C.cot(x-4π)D.cot(x+4π)7.设α，β∈(-2π，2π)，tan α，tan β是一元二次方程x 2+33x+4＝0的两个根，则α+β为( )A. 3πB. 34πC.- 32π或3π D.-32π8.︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2＝( )A. 3B.1C.23D.-23 9.tanAtanB ＝tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是( ) A.-22 B.22 C.±22D.±21 10.已知tanx+tany ＝25,cotx+coty ＝30,则tan(x+y)＝( )A.120B.150C.180D.200二、填空题11.已知α、β均为锐角，tan α＝43,cos(α+β)＝-1411，则cos β＝ . 12.已知sin αsin β＝1则cos(α+β)的值为 . 13.求值：︒︒-︒︒︒+︒8sin 30sin 22cos 8sin 30cos 22sin ＝ .14.已知sin(α+β)＝21,sin(α-β)＝31，则)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+＝ . 15.若α+β＝3π，给如下四个式子： (1) 3 (tan αtan β+α)+tan α+tan β＝3 (1+α)(2) 3 (tan αtan β+α)+tan α+tan β＝33(1+α) (3) 3(tan αtan β+α)+tan α+tan β＝33(1-α) (4) EMBED Equation.3 (tan αtan β+α)+tan α+tan β)＝ EMBED Equation.3(3+π-3β)其中正确的是 .16.命题甲：3sin ααcos β(α+β)＝sin(2α+β)是命题乙：tan(α+β)＝2tan α成立的是 条件.三、解答题17.已知 EMBED Equation.3＝ EMBED Equation.3，求cosx 的值.18.矩形ABCD 中AB ＝a,BC ＝2a ，在BC 上取一点P ，使AB+BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值.19.设cos(α- EMBED Equation.3 )＝- EMBED Equation.3,sin( EMBED Equation.3-β)＝ EMBED Equation.3 ，且 EMBED Equation.3 ＜α＜π，0＜β＜ EMBED Equation.3，求cos(α+ β)的值.参考答案一、1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C 7.D 8.A 9.C 10.B 一、11. EMBED Equation.3 12.-1 13. EMBED Equation.314.5 15.(1)(4) 16.必要不充分三、17.解：原式变形为 EMBED Equation.3+ EMBED Equation.3＝ EMBED Equation.3EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.33cosx ＝3cos2x-sin2xEMBED Equation.3 3cosx ＝4cos2x-1 EMBED Equation.34cos2x-3cosx-1＝0EMBED Equation.3cosx ＝1或- EMBED Equation.318.解：设BP ＝x 则PD ＝a+x PC ＝2a-x在Rt △PCD 中，(a+x)2＝(2a-x)2+a2 EMBED Equation.3 x ＝ EMBED Equation.3a EMBEDEquation.3BP ＝ EMBED Equation.3a PC ＝ EMBED Equation.3a设∠APB ＝α ∠DPC ＝β，则tan α＝ EMBED Equation.3 ,tan β＝ EMBED Equation.3∴tan ∠APD ＝-tan(α+β)＝- EMBED Equation.3 ＝18又∵cos(α- EMBED Equation.3 )＝- EMBED Equation.3 sin( EMBED Equation.3-β)＝ EMBED Equation.3∴sin(α-2β)＝954 cos(2α-β)＝35∴cos(2α+2β)＝cos ［(α-2β)-( 2α-β)］＝-91·35 + 32·954＝-2757∴cos(α+β)＝2cos 22βα+-1＝2×(-2757)2-1＝-729239。

同角三角函数的基本关系式与诱导公式[时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2011·衡水质检] cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－20π3＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－322．已知△ABC 中，1tanA ＝－125，则cosA 等于( )A.1213B.513 C ．－513 D ．－12133．[2011·山西四校联考] 已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2 C.12D ．2 4．[2011·烟台调研] 若sin(π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，则tan α＝________.能力提升5．已知A 是△ABC 的内角，则“cosA ＝12”是“sinA ＝32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋α＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6的值为()A.13 B ．－13 C.233 D ．－2337．已知f(α)＝sinπ－αcos 2π－αcos －π－αtan α，则f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－31π3的值为( )A.12 B ．－13 C ．－12 D.138．[2011·全国卷]已知α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.9．[2011·焦作联考] 已知cos α＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.10．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2cos π3xx ≤2000，x －100x>2000，则f[f(2012)]＝________.11．若tan α＝2，则11－sin α＋11＋sin α＝________.12．(13分)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π2－α的值．难点突破13．(12分)已知函数f(n)＝sin nπ6(n∈Z)．求值：(1)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)；(2)f(1)·f(3)·f(5)·…·f(101)．课时作业(十七)【基础热身】1．C [解析]cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－20π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C.2．D [解析] 由1tanA ＝－125，得tanA ＝－512<0，则A 为钝角，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，sinA ＝cosAtanA ，得 cos 2A ＝11＋tan 2A＝11＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－5122＝144169， 因为A 为钝角，则cosA ＝－1213，故选D.3．D [解析] 由sin α＋cos α＝2，得1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，∴tan α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α＝2，故选D.4．－33 [解析] 由sin(π＋α)＝12，得sin α＝－12，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，∴cos α＝1－sin 2α＝32，tan α＝sin αcos α＝－33.或由sin α＝－12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，得α＝－π6，tan α＝－tan π6＝－33.【能力提升】5．A [解析] ∵A 是△ABC 的内角，cosA ＝12，∴0<A<π2，sinA ＝1－cos 2A ＝32，若sinA ＝32，则cosA ＝±1－sin 2A ＝±12，故选A.6．A [解析] ∵π3＋α＝π2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝－13，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝13，故选A.7．C [解析] ∵f(α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12，故选C.8．－55【解析】 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π，3π2，∴cosα＝－55.9.125 [解析] 由α是第二象限的角，得sin α＝1－cos 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125，则tan(2π－α)＝－tan α＝125.10．－1[解析] 由f(x)＝⎩⎨⎧2cos π3xx ≤2000，x －100x>2000得f(2012)＝2012－100＝1912，f(1912)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1912×π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫636π＋43π＝2cos 43π＝－1，故f[f(2012)]＝－1.11．10 [解析] 原式＝21－sin α1＋sin α＝21－sin 2α＝2cos 2α＝2sin 2α＋cos 2αcos 2α＝2(tan 2α＋1)＝2×(4＋1)＝10.12．[解答] ∵sinα＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝5 5，tan(α＋π)＋sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αcos⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π2－α＝tanα＋cosαsinα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα＝52.当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－5 5，原式＝1sinαcosα＝－52.【难点突破】13．[解答] (1)∵sin n＋12π6＝sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫n6π＋2π＝sinn6π，∴f(n＋12)＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，又102＝8×12＋6，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(102)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin π6＋sin2π6＋sin3π6＋sin4π6＋sin5π6＋sin6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3.(2)∵f(2n－1)＝sin2n－1π6，其周期为6，f(1)·f(3)·…·f(11)＝12×1×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12×(－1)×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫124. 从1到101有51个奇数，而51＝6×8＋3，∴原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎪⎫1248·f(1)·f(3)·f(5)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1234.。

同角三角函数的基本关系式练习题1．若 sin α＝ 4，且 α是第二象限角，则 tan α的值等于 () 5A ．－ 4 3 3 43 B. C ．± D ． ±4 4 3 2．化简 1－sin 2160 °的结果是 ()A ． cos160 °B ．－ cos160 °C ． ±cos160 °D ． ±|cos160 | °2sin α－cos α3．若 tan α＝ 2，则的值为 ()sin α＋ 2cos α35 A ． 0B.4 C ． 1D. 484．若 cos α＝－ 17，则 sin α＝ ________， tan α＝ ________.5，则 sin α等于 ()5．若 α是第四象限的角， tan α＝－121 1 35A. 5B ．－ 5 C.15 D ．－ 136．若 α为第三象限角，则cos α ＋ 2sin α 的值为 ()1－ sin 2α1－ cos 2α A ． 3B ．－ 3C ． 1D ．－127、已知 A 是三角形的一个内角， sinA ＋ cosA = 3 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形18、知 sin α cos α = 8 ,则 cos α－ sin α 的值等于（ ）3333A ．± 4B ．± 2C ． 2D ．－ 2、已知 是第三象限角，且 sin 4cos45 ，则sin cos（）992 B ．2 C ． 1 D ．1A ．333310、如果角满足 sin cos2,那么 tan1的值是（）tanA ． 1B ．2C ． 1D ． 2sin cos ，则 tan（ ）11、若22 sincosA ．1B ．-1C ．3D ．443112． A 为三角形 ABC 的一个内角，若sinA＋ cosA＝12，则这个三角形的形状为 () 25A ．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形13．已知 tanθ＝ 2，则 sin2θ＋ sin θcosθ－ 2cos2θ等于 () 4534 A．－3 B. 4 C.－4 D. 5 14． ( tan x1)cos2x＝ ()tan xA ． tanx B． sinx C． cosx1 D．tan x15．使1－cosα cosα－ 1)＝sinα成立的α的范围是 (1＋cosαA ． { x|2kπ－π＜α＜ 2kπ， k∈Z }B． { x|2kπ－π≤ α≤ 2kπ， k∈Z }3πC． { x|2kπ＋π＜α＜ 2kπ＋2， k∈Z} D．只能是第三或第四象限的角16．计算17．已知1－ 2sin40 ·°cos40 °2＝ ________.sin40 －° 1－sin 40°1－ sinαcosαtanα＝－ 3，则2sinαcosα＋cos2α＝________.18、若tan3sin 3 2 cos3的值为 ________________ ．，则32 cos3sinsin cos2，则 sin cos 的值为19、已知cossinsinα20．若角α的终边落在直线x＋y＝ 0 上，则2＋1－sin α21．求证： sinθ(1＋ tanθ)＋ cosθ·(1＋1)＝1＋1.tanθ sinθ cosθ1－cos2α的值为 ________．cosα2部分答案1、解析： 选 A. ∵α为第二象限角，∴cos α＝－ 1－ sin 2α＝－1－ 4 2＝－ 3，5 54∴tan α＝ sin α 5＝－ 4.＝3cos α － 352、解析： 选 B. 1－ sin 2160 °＝ cos 2160 °＝－ cos160 °.2sin α－ cos α 2tan α－ 1.3、解析： 选 B.＝ ＝ 3sin α＋ 2cos α tan α＋ 2 48 4、解析： ∵ cos α＝－ 17<0，∴α是第二或第三象限角．若 α是第二象限角，则 sin α>0， tan α<0.∴sin α＝215 ， tan α＝ sin α 151－ cos α＝＝－ 8.17cos α若 α是第三象限角，则sin α<0， tan α>0.∴ sin α＝－215， tan α＝ sin α 15 .1－ cos α＝－17 ＝cos α 8 答案：15或－15－ 15或1517 17 8 85、解析： 选 D. ∵tan α＝ sin α 5 2 2＝－ ， sin α＋ cos α＝ 1，cos α 12∴ sin α＝±5，13又 α为第四象限角，∴sin α＝－ 135.6、解析： 选 B. ∵α为第三象限角，∴ sin α<0， cos α<0，∴cos α＋2sin α＝cos α 2sin α1－ sin 2＋＝－ 1－2＝－ 3.α1－ cos 2α |cos α||sin α|127、解析： 选 B. ∵sinA ＋ cosA ＝ ，212 2 144∴ (sinA ＋ cosA) ＝ (25) ＝ 625，即 1＋2sinAcosA ＝144，∴ 2sinAcosA ＝－481625625<0，∴ sinA>0，cosA<0，∴ A 为钝角，∴△ ABC 为钝角三角形．13、解析： 选 D.sin 2θ＋ sin θcos θ－ 2cos 2θ322θ＝ sin θ＋ sin θcos θ－ 2cossin 2θ＋cos 2θ＝ tan 2θ＋ tan θ－ 2tan 2θ＋1＝ 4＋ 2－2＝ 4.5 52sinx ＋ cosx 214、解析： 选 D.(tan x ＋ cotx) ·cos x ＝( cosx sinx ) ·cos x ＝sin 2x ＋ cos 2x2cosx＝ cotx.sinx ·cosx ·cos x ＝ sinx15、解析：选 A.1－ cos α1－ cos α2 1－ cos α cos α－ 1＝＝|sin α|＝，1＋ cos α1－ cos 2αsin α即 sin α＜ 0，故 { x|2k π－π＜ α＜ 2k π， k ∈ Z } ．2cos40 °－ sin40 °16、解析： 原式＝sin40 －°cos40 °＝＝－ 1.sin40 －° cos 240° sin40 －°cos40 °答案： －11－ sin αcos αsin 2α－ sin αcos α＋ cos 2α tan 2α－ tan α＋ 1 － 3 2－ －3 ＋117、解析：2＝2＝2tan α＋ 1 ＝ ＝2sin αcos α＋ cos α2sin αcos α＋ cos α2× －3 ＋113 － 5 .答案： －13518、答案： 5/321、证明： 左边＝ sin θ(1＋ sin θcos θ)＋ cos θ·(1＋)cos θsin θ2θ2θ＝ sin θ＋sin＋ cos θ＋coscos θsin θ2θ2θ＝ (sin θ＋ cossin＋cos θ)sin θ)＋ (cos θsin 2θ＋ cos 2θ sin 2θ＋ cos 2θ＝＋cos θsin θ＝1＋1＝右边，sin θcos θ∴原式成立．4。

高中数学-同角三角函数的基本关系式练习题5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知sinα=53,α∈（0,π），则tanα的值等于（ ） A.34 B.43 C.±43 D.±34 解析：由sin 2α+cos 2α=1，α∈（0,π）， ∴cosα=±α2sin 1-=±54. ∴tanα=ααcos sin =±43. 答案：C2.已知cosθ=54，且23π＜θ＜2π，那么θtan 1的值为（ ）A.43B.43-C.35D.34-解析：由sin 2θ+cos 2θ=1，得sinθ=±θ2cos 1-.因为23π＜θ＜2π，故sinθ＜0,所以sinθ=2)54(1--=53-,tanθ=θθcos sin =34-.答案：D3.若tanα=t（t≠0），且sinα=21tt +-，则α是（ ）A.第一、二象限角B.第二、三象限角C.第三、四象限角D.第一、四象限角 解析：由tanα=ααcos sin 得cosα=ααtan sin ，所以cosα=211t+-＜0，故α是第二、三象限角.答案：B4.若tanα=2，则（1）cos 2α=________________；（2）sin 2α-cos 2α=________________. 解析：（1）由题意和基本三角恒等式，列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+,2cos sin ,1cos sin 22αααα 由②得sinα=2cosα,代入①，整理得5cos 2α=1，cos 2α=51. （2）由（1）得sin 2α=1-51=54,所以sin 2α-cos 2α=54-51=53. 答案：（1）51 (2) 5310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知sinα=53，并且α是第二象限角，那么tanα的值等于（ ） A.34- B.43- C.43 D.34解析：由sin 2α+cos 2α=1，α是第二象限角，得cosα=54)53(12-=--. ∴tanα=ααcos sin =43-. 答案：B2.如果角x 的终边位于第二象限，则函数y=xx xx 22sin 1cos cos 1sin -+-的值可化简为（ ）A.1B.2C.0D.-1解析：利用同角基本关系式sin 2x+cos 2x=1以及x 属于第二象限，有y=xxx x x x x cos cos sin sin |cos |cos |sin |sin -+=+=1-1=0.答案：C3.如果角α满足关系式αααα22tan 1cos cot 1sin +-+=1，则角α的终边位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由已知条件有sinα|sinα|-cosα|cosα|=1，故sinα＞0且cosα＜0.所以α属于第二象限. 答案：B 4.化简53sin12π-得到的结果是___________________. 解析：因为2π＜53π＜π，所以53π是第二象限角,cos 53π＜0, 所以53cos 53sin122ππ=-=｜cos 53π｜=-cos 53π. 答案：-cos53π 5.已知2sinα-cosα=3sinα，那么cosα=_________________.解析：由2sinα-cosα=3sinα，得（2-3）sinα=cosα，sinα=（2+3）cosα，由sin 2α+cos 2α=1，得（2+3）2cos 2α+cos 2α=1，解之,得cosα=±426-. 答案：±426- 6.化简:)cos 1cos 1cos 1cos 1()sin 1sin 1sin 1sin 1(αααααααα+---+•+---+.解：原式=［αααα2222cos )sin 1(cos )sin 1(--+］·［αααα2222sin )cos 1(sin )cos 1(--+］ =（|cos |sin 1|cos |sin 1αααα--+）·（|sin |cos 1|sin |cos 1αααα--+）=|sin |cos 2|cos |sin 2αααα•=⎩⎨⎧-.,,4,,,4四象限时在第二三象限时在第一αα30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设sin 2α=54，且α是第二象限角，则tan 2α等于（ ） A.34 B.43 C.±34 D.±43 解析：∵α是第二象限角，∴2kπ+2π＜α＜2kπ+π（k∈Z ），kπ+4π＜2α＜kπ+2π（k∈Z ）.∴2α是第一、三象限角.而sin 2α=54＞0，∴2α是第一象限角，由sin 22α+cos 22α=1，得cos 2α=532sin12=-α，∴tan 342cos 2sin 2==ααα. 答案：A 2.已知tanx=122-a a，其中0＜a ＜1，x 是三角形的一个内角，则cosx 的值为（ ） A.122+a aB.1122+-a aC.1122+-a aD.±1122+-a a解析：∵0＜a ＜1,∴122-a a＜0.∴x 是第二、四象限角.又x 是三角形的一个内角, ∴x 是第二象限角.由题意和基本三角恒等式，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+,12cos sin ,1cos sin 222a ax x x x解得cos 2x=（1122+-a a ）2，∴cosx=1122+-a a .答案：C3.如果tanθ=2，那么sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ的值是（ ） A.37 B.57 C.45D.35解析：由题意和基本三角恒等式，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=,1cos sin ,2cos sin 22θθθθ∴cos 2θ=51. ∴sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ=1+2cos 2θ=57. 答案：B4.如果sinα+cosα=1，则sin n x+cos nx （n∈Z ）的值为（ ）A.-1B.1C.1或-1D.2解析：由sinα+cosα=1，则（sinα+cosα）2=1，故sinαcosα=0.若sinα=0，则cosα=1.这时sin n α+co s n α=1；若cosα=0，则sinα=1，这时也有sin n α+cos nα=1. 答案：B 5.若｜sinθ｜=51，29π＜θ＜5π，则tanθ的值为（ ） A.126 B.62- C.126- D.62解析：因为29π＜θ＜5π，即4π+2π＜θ＜4π+π,所以θ是第二象限角，sinθ=51.所以cosθ=562sin 12-=--θ,tanθ=126cos sin -=θθ,应选C 项.答案：C 6.化简︒--︒︒•︒-10sin 110sin 10cos 10sin 212的值为（ ）A.1B.-1C.2D.-2 解析：原式=︒-︒︒-︒=︒-︒︒+︒︒-︒10cos 10sin )10cos 10(sin 10cos 10sin 10cos 10cos 10sin 210sin 2222︒-︒︒-︒-=10cos 10sin )10cos 10(sin =-1.答案：B7.已知1cos 4sin 2++θθ=2，则（cosθ+3）·（sinθ+1）的值为（ ）A.4B.0C.2D.0或4解析：由1cos 4sin 2++θθ=2得1-cos 2θ+4=2cosθ+2,整理得cos 2θ+2cosθ-3=0，解得cosθ=1或cosθ=-3（舍去），所以sinθ=±θ2cos 1-=0.所以（cosθ+3）·（sinθ+1）=4. 答案：A8.(高考重庆卷,文13)已知sinα=2,552π＜α＜π，则tanα=_______________. 解析：由sinα=552，2π＜α＜π可得cosα=55-，tanα=-2. 答案：-29.已知sinθ+cosθ=51,θ∈（0，π），则cotθ的值是_____________. 解析：因为sinθ+cosθ=51，两边平方，得1+2sinθ·cosθ=251，所以2sinθ·cosθ=2524-. ①因为θ∈（0，π），所以cosθ＜0＜sinθ.由于（sinθ-cosθ）2=1-2sinθ·cosθ=2549，所以sinθ-cosθ=57.②联立①②，解得sinθ=54，cosθ=53-，所以cotθ=435453sin cos -=-=θθ. 答案：43-10.（1）已知sinθ=415-，求θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin -+++-的值. （2）已知5sinθ+12cosθ=0，求θθθsin 32cos 9sin -+的值.解：（1）原式=1)415(221sin 2)cos (sin 2cos sin )cos (sin )cos (sin 22222222--⨯=-+=-++-θθθθθθθθθ=522-.（2）由5sinθ+12cosθ=0，得tanθ=512-＜0，故θ角在第二或第四象限，当θ在第二象限时，cosθ=135tan 112-=+-θ，当θ在第四象限时，cosθ=135tan 112=+θ， ∴原式=62331033cos tan 32cos )9(tan 或=•-•+θθθθ.11.若tanα、tanβ是方程x 2-2（log 872+log 972）x-log 872·log 972=0的两个根， 求sin α·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ的值. 解：由定理得⎩⎨⎧•-=•+=+,72log 72log tan tan ),72log 72(log 2tan tan 9898βαβα而log 872+log 972=9log 8log 72log 9log 8log 9log 8log 9log 18log 1727272727272727272•=•+=+=log 872·log 972.所以tanα+tanβ=2log 872·log 972.所以sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ =cosα·sinβ（tanα+tanβ+2tanα·tanβ）=cosα·sinβ（2log 872·log 972-2log 872·log 972）=0.。

1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________________.2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；(sin α＋cos α)2＝__________；(sin α－cos α)2＝____________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝____________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.自主探究1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.对点讲练知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－13．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8二、填空题6．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题9．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α自主探究1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．解 关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 对点讲练例1 解 ∵cos α＝－817<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517. tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158. 变式训练1 解 由tan α＝sin αcos α＝43， 得sin α＝43cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)21－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解 原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 例3 证明 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练3 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．课时作业1．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.]2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，∴原式＝cos αcos 2α＋2sin αsin 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.] 3．A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35， tan α＝－43.] 4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)·(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．－255 解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－12cos αsin 2α＋cos 2α＝1，则⎩⎨⎧ sin α＝55cos α＝－255.7．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.8.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.9．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，原式成立．10．解 (1)由韦达定理知⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m2 ②由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋32， ∴sin θcos θ＝34，∴m2＝34，∴m ＝32， (2)当m ＝32时，原方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， ∴x 1＝32，x 2＝12. ∵θ∈(0,2π)∴⎩⎨⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12cos θ＝32. ∴θ＝π3或θ＝π6.。

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C. 答案 C 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )．A ．－43B.54C ．－34D.45解析 由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.答案 D3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B.34C ．－43D.43解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.答案 B4．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D.32解析 ∵f (cos x )＝cos 3x ，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1.答案 C5．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )．A．1＋ 5 B．1－ 5C．1± 5 D．－1－ 5解析由题意知：sin θ＋cos θ＝－m2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m24＝1＋m2，解得：m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－ 5.答案 B6．若S n＝sin π7＋sin2π7＋…＋sinnπ7(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是()．A．16 B．72 C．86 D．100解析由sin π7＝－sin8π7，sin2π7＝－sin9π7，…，sin6π7＝－sin13π7，sin7π7＝sin 14π7＝0，所以S13＝S14＝0.同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C二、填空题7．已知cosα＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析由α是第二象限的角，得sinα＝1－cos2α＝1213，tanα＝sinαcosα＝－125，则tan(2π－α)＝－tanα＝125.答案12 58．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析 原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0. 答案 09．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 解析 依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案 －14210． f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.解析 f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝2，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝2. 答案 2 三、解答题 11．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22， 求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值． 解析 由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解 法一 由sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得tan α＝2.(1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45³2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.法二 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件， 则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.。

同角三角函数的基本关系（第一课时）层级一学业水平达标1．下列四个结论中可能成立的是()A．sinα＝12cosα＝1 2B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．α是第二象限角时，tanα＝－sinαcosα2．若α为第三象限角，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3 C．1D．－13．已知sinα＝－13，且αtanα＝()A．－223B.223C.2 4D．－244．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－35B．－15C.1 5D.3 55．若α是三角形的最大内角，且sinα－cosα＝35，则三角形是() A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形6．已知sinαcosα＝12，则sinα－cosα＝________.7．化简：1－2sin40°cos40°＝________.8．已知tanα＝－12，则1＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝________.9．化简：(1)cos36°－1－cos236°1－2sin36°cos36°；(2)sinθ－cosθtanθ－1.10．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α－3π2，－求：(1)tanα；(2)2sinα－3cosα4sinα－9cosα.1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为()A.153B ．－153C.53D ．－532－cos α)的结果是()A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为()A.23B ．－23C.13D ．－134．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是()A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－135．化简：tan 2x ＋1tan x ·sin 2x ＝________.6．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________.7．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α(1)求tan α的值；(2)求sinα＋2cos α5cos α－sin α的值．8．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α；(2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．层级一学业水平达标1．解析：选B根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．2．解析：选B∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．解析：选C 由αcos α<0，又sin α＝－13，所以cos α＝－－223，所以tan α＝sin αcos α＝24.4．解析：选Asin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2－1＝－35.5．解析：选B将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．答案：0解析：因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×12＝0，所以sin α－cos α＝0.7．答案：cos 40°－sin 40°解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.8．解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.9．解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．解：(1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2αtan 2α＋1＝1，即4tan 2α－3tan α－1＝0，解得tan α＝－14或tan α＝1.∵α－3π2，－α为第二象限角，∴tan α<0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2tan α－34tan α－9＝720.层级二应试能力达标1．解析：选A因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13>0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A >0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.2．解析：选A－cos α)－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.3．解析：选A由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23.4．解析：因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，两边平方整理得sin θcos θ＝a 2－12<0，故－π2<θ<0且cos θ>－sin θ，所以|cos θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－π4<θ<0，所以－1<tan θ<0，故选C.5．答案：tan x解析：x2x2x ＝1sin x cos x ·sin 2x ＝sin xcos x＝tan x .6．答案：137解析：∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3，∴sin αcos α＝13，tan 2α＋1tan 2α＝α－2tan α·1tan α＝9－2＝7.7．解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1.因为αtan α<0，所以tan α＝－13.(2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋251＝516.8．证明：(1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边，∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α，右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝2＋2tan 2α＋sin 2α，∴左边＝右边，∴原式成立．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§1．2．2 同角三角函数的基本关系【学习目标、细解考纲】灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。

【知识梳理、双基再现】1、同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ，商等于 。

即 ; 。

【小试身手、轻松过关】2、),0(,54cos παα∈=，则tan α的值等于（ ）A ．34B ．43C ．34±D ． 43± 3、若15tan =α，则=αcos；=αsin．4、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β=．5、已知51sin =α，求ααtan ,cos 的值．【基础训练、锋芒初显】6、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 23 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形 7、已知sin αcos α = 18,则cos α－sin α的值等于 （ ）A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－238、已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则=θθcos sin （ ） A ．32 B ． 32- C ． 31 D ． 31- 9、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1tan tan θθ+的值是 （ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．210、若ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ = －2 tan α，则角α的取值范围是．11、已知21cos sin 1-=+x x ，则1sin cos -x x的值是 A ． 21 B ． 21- C ．2 D ．－212、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+B ．51-C ．51±D ．51--13、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________． 14、已知2cos sin cos sin =-+αααα，则ααcos sin 的值为． 15、已知524cos ,53sin +-=+-=m mm m θθ，则m=_________；=αtan ． 16、若θ为二象限角，且2cos2sin212sin2cosθθθθ-=-，那么2θ是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【举一反三、能力拓展】17、求证：1tan 1tan cos sin cos sin 2122-+=-+αααααα．18、已知51cos sin =+ββ，且πβ<<0． （1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．19、化简：tan α（cos α－sin α）＋ααααcos 1)tan (sin sin ++【名师小结、感悟反思】1、 由已知一个三角函数值，根据基本关系式求其它三角函数值，首先要注意判定角所在的象限，进而判断所求的三角函数值的正负，以免出错。

课后训练1．已知cos x ＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝( ) A ．43 B ．43- C ．43或43- D ．34或34- 2．已知cos 1sin 12αα=-，则1sin cos αα+等于( ) A ．12 B ．12- C ．2 D ．－2 3．已知sin cos sin cos θθθθ+-＝2，则sin θcos θ的值是( ) A ．34 B ．310± C ．310 D ．310- 4．若sin θcos θ＝12，则cos tan sin θθθ+的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．±2 D ．125．当π2k α≠(k ∈Z )时，1cos tan αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(sin α＋tan α)的值( ) A ．恒为正 B ．恒为负C ．恒非负D ．可正可负6．若sin α＋cos α＝15，α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin α－cos α＝__________．7．已知f (tan x )＝21cos x ，则(f ＝__________． 8．求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅． 9．已知tan α＝12，求下列各式的值： (1)2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+；(2)sin 2α－3sin αcos α＋4cos 2α．10．已知关于x 的方程2x 2－＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．(1)求22sin cos sin cos cos sin θθθθθθ+--的值； (2)求m 的值．参考答案1答案：B 解析：∵x ∈(π，2π)，cos x ＝35， ∴x ∈3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin x ＜0，sin x ＝45=-， ∴tan x ＝43-． 2答案：B 解析：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α＝(1－sin α)(1＋sin α)． ∴cos 1sin 11sin cos 2αααα+==--． 3答案：C 解析：由已知得tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝222sin cos tan sin cos tan 1θθθθθθ=++ ＝2333110=+． 4答案：B 解析：tan θ＋cos sin cos 1sin cos sin sin cos θθθθθθθθ=+=＝2． 5答案：A 解析：1cos tan αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(sin α＋tan α) ＝sin αcos α＋cos α·sin cos αα＋sin α·cos sin αα＋1 ＝sin α＋cos α＋1＋sin αcos α＝(1＋sin α)(1＋cos α)．∵α≠π2k ，k ∈Z ， ∴1＋sin α＞0,1＋cos α＞0，故选A ．6答案：75 解析：由sin α＋cos α＝15，得2sin αcos α＝2425-． 从而(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝24491+2525=． 又α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α－cos α＝75． 7答案：4 解析：f (tan x )＝22221sin cos cos cos x x x x+=＝tan 2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋1．∴(f ＝4． 8答案：证明：左边＝2sin sin sin sin cos 1cos αααααα=--，右边＝2sin sin cos 1cos sin sin αααααα++=， 又sin 2α＝1－cos 2α，∴(1＋cos α)(1－cos α)＝sin 2α． ∴sin 1cos 1cos sin αααα+=-，即左边＝右边． ∴原式成立．9答案：解：(1)原式＝3223tan 12134tan 10342αα--==++⨯． (2)原式＝2222sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα-++ ＝22134tan 3tan 44211tan 14ααα-+-+=++ ＝115． 10答案：解：(1)由根与系数的关系可知sin θ＋cos θ，① sin θcos θ＝2m ， 则2222sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-+=--- ＝sin θ＋cos θ． (2)由①式平方，得1＋2sin θcos θ， ∴sin θcos θmm满足题意．。

第6课时 同角三角函数的基本关系(2)对应学生用书P11知识点一 化简问题1．当2k π－π4≤α≤2k π＋π4(k ∈Z )时，化简1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α的结果是( )A ．2sin αB ．－2sin αC ．2cos αD ．－2cos α 答案 C解析 当2k π－π4≤α≤2k π＋π4(k ∈Z )时，sin α＋cos α>0，cos α－sin α>0， ∴1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α＝sin α－cos α2＋sin α＋cos α2＝|sin α－cos α|＋|sin α＋cos α|＝cos α－sin α＋sin α＋cos α＝2cos α．2．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α． 解 原式＝1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α ＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝sin 2α1＋cos 2α－sin 4αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23．3．已知－2<x <0，sin x ＋cos x ＝5，求下列各式的值．(1)sin x －cos x ； (2)1cos 2x －sin 2x ． 解 (1)∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425．∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925，又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75．(2)解法一：由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，∴1cos 2x －sin 2x ＝11625－925＝257．解法二：由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，∴1cos 2x －sin 2x ＝1cos x ＋sin x cos x －sin x＝115×75＝257． 4．已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)sin 2α－2sin αcos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (2)34sin 2α＋12cos 2α． 解 (1)原式的分子、分母同除以cos 2α，得 原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223． (2)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1 ＝34×9＋129＋1＝2940．知识点三 证明问题5．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan α＝sin α＋cos α． 证明 1sin α＋1cos α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝sin α＋cos α·cos αsin α＋sin α·sin αcos α＋cos α＝sin α＋cos α·1tan α＋sin αtan α＋cos α＝sin α(1＋tan α)＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α． 6．求证：1－2sin2x cos2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan2x1＋tan2x ． 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin2x cos2xcos 22x －sin 22x ＝cos2x －sin2x2cos2x －sin2x cos2x ＋sin2x＝cos2x －sin2x cos2x ＋sin2x ＝1－tan2x1＋tan2x＝右边． ∴原等式成立．对应学生用书P12一、选择题1．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23 B ．－23 C ．13 D ．－13答案 B解析 由sin θ＋cos θ＝43，得1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－23． 2．已知sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1 答案 A解析 将等式sin α－cos α＝2的两边平方，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0，∴(sin α＋cos α)2＝0，∴sin α＋cos α＝0，∴sin α＝－cos α．由已知得cos α≠0，∴tan α＝sin αcos α＝－1．故选A ．3．下列结论能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝12答案 C解析 同角三角函数的基本关系式是指同一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角，利用同角三角函数的基本关系即得C 成立．4．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α 答案 D解析 ∵π<α<3π2，∴sin α<0．原式＝1－cos α21－cos 2α＋1＋cos α21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝－2sin α，故选D ．5．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B．－cos160° C ．±cos160° D．±|cos160°| 答案 B解析 ∵cos160°<0，∴原式＝|cos160°|＝－cos160°． 二、填空题6．若2cos α＋sin α＝5，则1tan α＝________． 答案 2解析 将已知等式两边平方，得4cos 2α＋sin 2α＋4sin αcos α＝5(cos 2α＋sin 2α)，化简得4sin 2α－4sin αcos α＋cos 2α＝0，即(2sin α－cos α)2＝0，则2sin α＝cos α，故1tan α＝2． 7．若cos 2x ＋cos x ＝1，则sin 4x ＋sin 2x 的值等于________． 答案 1解析 ∵cos 2x ＋cos x ＝1，∴cos x ＝1－cos 2x ＝sin 2x ， ∴sin 4x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋cos x ＝1．8．若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝________．答案165解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝2＋12－1＋14＋1＝165． 三、解答题9．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．解 由cos α－sin α＝－55，得1－2sin αcos α＝15， ∴2sin αcos α＝45，∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcosα＝1＋45＝95．又0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355，与cos α－sin α＝－55联立， 解得sin α＝255，cos α＝55，∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝2sin αcos α－cos α＋11－sin αcos α＝cos α2sin αcos α－cos α＋1cos α－sin α＝55×45－55＋1－55＝5－95． 10．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m 的值．解 设直角三角形的一个锐角为β，因为方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0中，Δ＝4(m ＋1)2－4×4m ＝4(m －1)2≥0，所以当m ∈R 时，方程恒有两实根． 又因为sin β＋cos β＝m ＋12，sin βcos β＝m4， 所以由以上两式及sin 2β＋cos 2β＝1，得1＋2×m 4＝m ＋122，解得m ＝±3．当m ＝3时，sin β＋cos β＝3＋12>0， sin β·cos β＝34>0，满足题意， 当m ＝－3时，sin β＋cos β＝1－32<0，这与β是锐角矛盾，舍去．综上，m ＝3．周周回馈练对应学生用书P13一、选择题 1．给出下列说法：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，角的大小与角所在扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 对于①，150°是第二象限角，390°是第一象限角，但150°<390°，错误；对于②，三角形的内角还可能为90°，是y 轴非负半轴上的角，错误；显然③正确；对于④，α与β的终边还可以关于y 轴对称，错误；对于⑤，θ还可以是x 轴非正半轴上的角，错误．2．下列各式正确的是( )A ．π2＝90B ．π18＝10° C．3°＝60π D ．38°＝38π答案 B解析 A 中，π2＝90°，故错误；B 中，π18＝10°，故正确；C 中，3°＝3×π180＝π60，故错误；D 中，38°＝38×π180＝19π90，故错误．3．若角α的终边经过点P (sin780°，cos(－330°))，则sin α＝( ) A ．32 B ．12 C ．22D ．1 答案 C解析 因为sin780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin60°＝32，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos30°＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，sin α＝22． 4．扇形的圆心角为150°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．5π4 B ．π C．3π3 D ．23π29答案 A解析 ∵150°＝5π6，∴S ＝12×5π6×(3)2＝5π4，故选A ．5．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( ) A ．β＝α＋90° B ．β＝α±90°C ．β＝α＋k ·360°＋90°(k ∈Z )D ．β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z ) 答案 D解析 如图1，角α与β终边互相垂直，β＝α＋90°． 如图2，角α与β终边互相垂直，α＝β＋90°．由终边相同角的表示方法知：角α与β终边互相垂直，则有β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )．6．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 答案 B解析 因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1．又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α．又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35．二、填空题7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于________． 答案 60°解析 按顺时针方向旋转，角度减少，即90°－30°＝60°．8．已知|cos θ|＝－cos θ且tan θ<0，则代数式lg (sin θ－cos θ)________0．(填“>”“<”)答案 >解析 由|cos θ|＝－cos θ，得cos θ≤0．又∵tan θ<0，∴角θ的终边在第二象限．∴sin θ>0，cos θ<0．由三角函数线可知sin θ－cos θ>1．∴lg (sin θ－cos θ)>0．9．已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，且3π<α<7π2，则cos α＋sin α＝________．答案 － 2解析 ∵tan α·1tan α＝k 2－3＝1，∴k ＝±2，而3π<α<7π2，则tan α＋1tan α＝k ＝2，得tan α＝1，则sin α＝cos α＝－22，∴cos α＋sin α＝－2． 三、解答题10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．解 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为α3π4＋2k π<α<4π3＋2k π，k ∈Z ． (2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为α－π6＋2k π<α≤5π12＋2k π，k ∈Z ． (3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为αk π≤α≤π2＋k π，k ∈Z ．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为α2π3＋k π<α<5π6＋k π，k ∈Z ． 11．若0<α<β<π2，试比较β－sin β与α－sin α的大小． 解 如图，在单位圆中，sin α＝MP ，sin β＝NQ ，弧AP 的长为α，弧AQ 的长为β，则弧PQ 的长为β－α．过P 作PR ⊥QN 于R ，连接PQ ，则MP ＝NR ．所以RQ ＝sin β－sin α<PQ <PQ ＝β－α．所以β－sin β>α－sin α．12．(1)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求 cos α＋2πcos 4π＋αtan 22π＋αtan 6π＋αsin 2π＋αsin 8π＋α的值；(2)已知sin(4π＋α)＝2sin β，3cos(6π＋α)＝2cos(2π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．解 (1)由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35． 由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45． 当cos α＝45时，tan α＝－34； 当cos α＝－45时，tan α＝34． 所以原式＝cos α·cos α·tan 2α·tan αsin α·sin α＝tan α＝±34． (2)因为sin(4π＋α)＝2sin β，所以sin α＝2sin β．①因为3cos(6π＋α)＝2cos(2π＋β)， 所以3cos α＝2cos β．②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2， 所以cos 2α＝12，即cos α＝±22．又0<α<π，所以α＝π4或α＝3π4．又0<β<π，当α＝π4时，由②得β＝π6；当α＝3π4时，由②得β＝5π6．所以α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6．。

5.2.2同角三角函数的基本关系课后训练巩固提升1.已知sin θ=13,θ∈(π2,π),则tan θ=()A.-2B.-√2C.-√22D.-√24sin θ=13,θ∈(π2,π),∴cos θ=-√1-sin 2θ=-2√23.∴tan θ=sinθcosθ=13-2√23=-√24.2.已知sin α-cos α=-54,则sin αcos α等于()A.√74B.-916C.-932D.932,得(sin α-cos α)2=2516,即sin 2α+cos 2α-2sin αcos α=2516. 又sin 2α+cos 2α=1,∴1-2sin αcos α=2516.∴sin αcos α=-932.3.已知sinθ+cosθsinθ-2cosθ=12,则tan θ的值为()A.-4B.-14C.14D.4∵sinθ+cosθsinθ-2cosθ=12,∴tanθ+1tanθ-2=12,解得tan θ=-4.4.已知角θ是第三象限角,且sin 4θ+cos 4θ=59,则sin θcos θ的值为() A.√23B.-√23C.13D.-13sin 4θ+cos 4θ=59,得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=59. ∴sin 2θcos 2θ=29.∵θ是第三象限角,∴sin θ<0,cos θ<0.∴sin θcos θ=√23.5.若tan α+1tanα=3,则sin αcos α=.tan α+1tanα=3, ∴sinαcosα+cosαsinα=3,即sin 2α+cos 2αsinαcosα=3.∴sin αcos α=13.6.若角α为第三象限角,则√1-sin 2α√1-cos 2α的值为.为第三象限角,∴sin α<0,cos α<0.∴原式=cosα|cosα|+2sinα|sinα|=cosα-cosα+2sinα-sinα=-1-2=-3.37.已知cos α+2sin α=-√5,则tan α=.{cosα+2sinα=-√5,sin 2α+cos 2α=1,∴(√5sin α+2)2=0. ∴{sinα=-2√55,cosα=-√55. ∴tan α=2.8.已知cos α=-35,且tan α>0,则sinαcos 2α1-sinα=.cos α=-35<0,tan α>0, ∴α是第三象限角,且sin α=-45.∴原式=sinαcos 2α1-sinα=sinα(1-sin 2α)1-sinα=sin α(1+sin α)=(-45)×(1-45)=-425. -425 9.已知tan α=23,求下列各式的值: (1)cosα-sinαcosα+sinα+cosα+sinαcosα-sinα; (2)1sinαcosα;(3)sin 2α-2sin αcos α+4cos 2α. (1)cosα-sinαcosα+sinα+cosα+sinαcosα-sinα=1-tanα1+tanα+1+tanα1-tanα=1-231+23+1+231-23=265. (2)1sinαcosα=sin 2α+cos 2αsinαcosα=tan 2α+1tanα=136. (3)sin 2α-2sin αcos α+4cos 2α=sin 2α-2sinαcosα+4cos 2αsin 2α+cos 2α =tan 2α-2tanα+4tan 2α+1=49-43+449+1=2813. 10.求证:sinα1-cosα=1+cosαsinα.左边=sinα1-cosα=sinα(1+cosα)(1-cosα)(1+cosα) =sinα(1+cosα)1-cos 2α=sinα(1+cosα)sin 2α =1+cosαsinα=右边,∴原等式成立.1.已知角α的终边与单位圆的交点P (-12,m),则sin αtan α=()A.-√33B.±√33C.-32D.±32点P (-12,m)在单位圆上,∴m=±√32. ∴由三角函数的定义,得cos α=-12,sin α=±√32.∴sin αtan α=sin 2αcosα=34-12=-32.2.已知sin θ+3cos θ=0,则cos 2θ-sin 2θ=()A.45B.-45C.-35D.35sin θ+3cos θ=0,∴tan θ=-3,∴cos 2θ-sin 2θ=1-tan 2θ1+tan θ=1-(-3)21+(-3)=-45.3.已知角α是第三象限角,且sin α=-13,则3cos α+4tan α=() A.-√2B.√2C.-√3D.√3α是第三象限角,且sin α=-13,所以cos α=-2√23,tan α=2√2=√24. 所以3cos α+4tan α=-2√2+√2=-√2.4.已知sinθcosθ-sinθ=-34,则23sin 2θ-cos 2θ=() A.103B.-103C.1013D.-1013∵sinθcosθ-sinθ=-34,∴tan θ=-3.∴23sin 2θ-cos 2θ=2(sin 2θ+cos 2θ)3sin 2θ-cos 2θ=2(tan 2θ+1)3tan 2θ-1=2×[(-3)2+1]3×(-3)2-1=2026=1013.5.在△ABC 中,√2sin A=√3cosA ,则角A=.cos A>0,故A 为锐角.将√2sin A=√3cosA 两边平方,得2sin 2A=3cos A.故2cos 2A+3cos A-2=0,解得cos A=12或cos A=-2(舍去).故A=π3.6.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边经过点P (3,4),则sinα+2cosαsinα-cosα=.α的终边经过点P (3,4),利用三角函数的定义,可得tan α=43. 故sinα+2cosαsinα-cosα=tanα+2tanα-1=43+243-1=10313=10.7.已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=√3-12,求tan θ的值.sin θ+cos θ=√3-12的两边平方, 得1+2sin θcos θ=1-√32,即sin θcos θ=-√34.故sin θcos θ=sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tanθ1+tan 2θ=-√34,解得tan θ=-√3或tan θ=-√33.因为θ∈(0,π),0<sin θ+cos θ=√3-12<1, 所以θ∈(π2,π),且|sin θ|>|cos θ|.由|tan θ|>1.得tan θ=-√3.8.已知关于x 的方程2x 2-bx+14=0的两根为sin θ和cos θ,θ∈(π4,π2).(1)某某数b 的值;(2)求sinθ+cosθcosθ-sinθ的值.因为sin θ,cos θ为方程2x 2-bx+14=0的两根,所以Δ=b 2-2≥0,且{sinθ+cosθ=b2,①sinθcosθ=18.②将①式两边平方,②式代入整理,得b 24=1+14,解得b=±√5,此时Δ=5-2>0. 又sin θ+cos θ=b 2>0,所以b=√5.(2)由(1)得sin θ+cos θ=√52,θ∈(π4,π2),故sin θ>cos θ.又sin θcos θ=18,所以sin θ-cos θ=√1-2sinθcosθ=√32,所以sinθ+cosθcosθ-sinθ=-sinθ+cosθsinθ-cosθ=-√52×√3=-√153.。

【巩固练习】1.下面四个命题中可能成立的一个是（ ）A.21cos 21sin ==αα且 B.sin α=0且cos α=－1 C.tan α=1且cos α=－1D.α在第二象限时，tan α=ααcos sin - 2．若3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+，则m 的值为（ ） A ．0 B ．8 C ．0或8 D ．3＜m ＜93．若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是( )A 、)4,0(πB 、),43(ππC 、)45,4(ππD 、 ]4,0[π],43[ππ 4．若4sin 5α=，且α是第二象限角，则tan α的值等于（ ） A ．43- B ．34- C ．34 D ．43 5．（2015 呼和浩特一模）已知tan 2θ=，则222sinsin cos cos θθθθ+-=（ ） A ．43- B ．65- C ．45D ．95 6．已知sin αcos α =18,则cos α－sin α的值等于（ ） A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－23 7．若1sin 1cos 2x x +=-，则cos sin 1x x -的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．－2 8．若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为（ ）A ．51+B ．51-C ．51±D ．51-- 9．若15tan =α，则=αcos；=αsin ． 10．化简：11(1cos )sin tan ααα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭________． 11．化简：sin 6α+cos 6α+3sin 2αcos 2α=________．12．（2015 上海）已知1sin cos 5αα+=，α是第二象限角，那么tan α=________． 13．（2015秋 三峡区期中）（1）设a ＜0，角α的终边经过点P （－3a ，4a ），求sin α+2cos α的值；（2）已知tan 2β=，求2sin 2sin cos βββ+的值．14．已知33sin cos 1θθ+=，求θθcos sin +和θθ44cos sin +的值.15．sin α、cos α是方程8x 2+6mx+2m+1=0的两根，且α为第三象限角，若存在满足题意的m ，求出m 的值；若不存在，说明理由．2．【答案】C【解析】 sin 2θ+cos 2θ=1⇒4m 2－32m=0，∴m=0或m=8．3. 【答案】D【解析】cos 2cos 2,cos 20x x x =∴≥ 4． 【答案】A【解析】∵4sin 5α=，且α为第二象限角，∴3cos 5α=-，∴sin 4tan cos 3ααα==-． 5．【答案】D【解析】∵tan 2θ=，∴原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 18219sin cos tan 1415θθθθθθθθθ+-+-+-====+++． 故选：D ． 6．【答案】B7．【答案】A【解析】设cos sin 1x t x =-，221sin sin 1cos 1cos cos cos x x x x x x +--⋅==-， ∴111122t t -⨯=-⇒=． 8．【答案】B 9．【答案】41±；415±(α在一象限时取正号，在三象限时取负号)． 10．【答案】sin α【解析】原式221cos 1cos 1cos sin (1cos )(1cos )sin sin sin sin sin sin αααααααααααα+-⎛⎫=+-=⋅-=== ⎪⎝⎭． 11．【答案】1【解析】令sin 2α=m ，cos 2α=n ，则m+n=1．原式=m 3+n 3+3mn=(m+n)(m 2+n 2―mn)+3mn=(m+n)2―3mn+3mn=1．12．【答案】43- 【解析】∵1sin cos 5αα+=①，α是第二象限角， ∴21(sin cos )12sin cos 25αααα+=+=，即242sin cos 25αα=-， ∴cos α＜0，sin α＞0，即sin α－cos α＞0， ∴249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=，即7sin cos 5αα-= ②， ①+②得：4sin 5α=， ①－②得：3cos 5α=-， 则4tan 3α=-， 故答案为：43-． 13．【答案】（1）25；（2）85 【解析】（1）∵a ＜0，角α的终边经过点P （－3a ，4a ），∴4sin 5α==-，3cos 5α==， 则原式462555=-+=； （2）∵tan 2β=， ∴原式22222sin 2sin cos tan 2tan 448sin cos tan 1415ββββββββ+++====+++． 14．【解析】设sin cos t θθ+=，则21sin cos .2t θθ-⋅= ()2333244222221sin cos (sin cos )(1sin cos )11,2320,1(2)0,2,sin cos 1sin cos 0sin cos (sin cos )2sin cos 1.t t t t t t t t θθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫-∴+=+-=-= ⎪⎝⎭∴-+=∴-+=≠∴=+==∴+=+-=且15．【解析】若存在，则3sin cos421sin cos8mmαααα⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以22921(sin cos)12168mmαα+=+=+⋅，故9m2―8m―20=0，所以m=2或109m=-．又α是第三象限角，所以21sin cos08mαα+=>，所以m=2．。

1.2.3 同角三角函数的基本关系式知识点一：平方关系12 1．若 α 是第四象限角，cosα＝ ，则 sinα 等于 1355 5 5A. B ．－ C. D ．－13 13 12 12 2．化简 1－2sin4cos4的结果为A ．sin4＋cos4B ．sin4－cos4C ．cos4－sin4D ．－sin4－cos41 3．已知 cosα＝ ，且 tanα<0，则 sinα 的值为 52 6 6 2 66A ．± B. C ．－ D ．± 5 12 5 124．化简 sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 4α＝__________.1－2sin10°·cos10° 5．化简 的值为__________．sin10°－ 1－sin 210° 知识点二：商数关系3 6．已知 sinα＝ ，α∈(0，π)，则 tanα 的值为 54 3 3 4A. B. C ．± D ．± 3 4 4 33 3π 7．已知 cosθ＝ 且 <θ<2π，那么 tanθ 的值为 5 2443 3A. B ．－ C. D ．－3 3 54 3 4sin α＋cos α8．若 tanα＝ ，则 的值等于2 5sin α－2cos α 1410 14 10A. B ．2 C ．－ D. 或11 9 11 19 9．下列四个命题可能成立的是1 1A ．sinα＝ 且 cosα＝ 2 2B ．sinα＝0且 cosα＝－1C ．tanα＝1且 cosα＝－1D ．tanα＝－1且 sinα＝ 325 10．已知 α 是第四象限角，tanα＝－ ，求 sinα. 121能力点一：利用基本关系式求值sinα1－cos2α11．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于1－sin2αcosαA．0 B．2 C．－2 D．2tanα1 2sinαcosα12．已知tanα＝－，则的值是2 sin2α－cos2α4 4A. B．3 C．－D．－33 313．若sinx＋sin2x＝1，则cos2x＋cos4x＝__________.1 14．(2010全国高考Ⅱ，文13)已知α是第二象限的角，tanα＝，则cosα＝2__________.sinα＋cosα15．已知＝2，求下列各式的值：sinα－cosα3sinα－cosα(1) ；2sinα＋3cosα(2)sin2α－2sinαcosα＋1.416．已知sinα＝，求tanα的值．5能力点二：利用基本关系式化简1－cosαcosα－117．使＝成立的α的范围是1＋cosαsinα2A．{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}B．{α|2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z}3πC．{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}2D．只能是第三或第四象限的角18．已知sinθ＋cosθ＝－1，则sin2 009θ＋cos2 009θ的值为__________．19．化简下列各式．1－2sin20°cos20°(1) ；sin20°－1－sin220°1＋sinα1－sinα1－cosα1＋cosα(2)( －)·(－)．1－sinα1＋sinα1＋cosα1－cosα能力点三：利用基本关系式证明1 1－2cos2α20．求证：(1)tanα－＝；tanαsinαcosα2(2)(1＋tanα)2＋(1－tanα)2＝.cos2α3－sin4α－cos4α21．求证：＝1＋tan2α＋sin2α.2cos2α22．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.3123．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.5(1)求sinAcosA；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．答案与解析基础巩固1．B5π2．C原式＝|sin4－cos4|，而4> ，由单位圆中的三角函数线得：sin4<cos4<0，∴4原式＝cos4－sin4.13．C∵cosα＝>0且tanα<0，5∴角α为第四象限角．2 6∴sinα＝－1－cos2α＝－.54．1原式＝sin2α＋cos2α(sin2α＋cos2α)＝sin2α＋cos2α＝1.5．－1原式＝sin10°－cos10°2sin10°－cos210°|sin10°－cos10°| ＝sin10°－cos10°cos10°－sin10°＝＝－1.sin10°－cos10°6．C由sin2α＋cos2α＝1，α∈(0，π)，4∴cosα＝± .5sinα 3∴tanα＝＝± .cosα 47．B38．A∵tanα＝，∴cosα≠0.24sinα4 ＋1cosα∴原式＝sinα5 －2cosα34 ×＋14tanα＋1 2 14＝＝＝.5tanα－2 3 115 ×－229．B10.解法一：由Error!5解得sinα＝±.13又∵α为第四象限角，∴sinα＜0.5∴sinα＝－.13解法二：∵α是第四象限角，∴sinα<0.5又∵tanα＝－，12∴可设α终边上一点坐标为(12，－5)，5∴sinα＝－.13能力提升sinα|sinα|11．A原式＝＋，当角α终边在y＝－x(x≥0)上时，cosα>0，|cosα| cosαsinα<0；当角α终边在y＝－x(x<0)上时，cosα<0，sinα>0.综上知，原式＝0.2tanα12．C原式＝tan2α－112 ×－2 4＝＝－.1 3－2－1213．1由sinx＋sin2x＝1得sinx＝1－sin2x＝cos2x，∴cos2x＋cos4x＝sinx＋sin2x＝1.2 5 114．－由＝1＋tan2α得5 cos2α1 1 5＝1＋＝.cos2α 4 44∴cos2α＝.5∵α是第二象限的角，5∴cosα<0.2 5∴cosα＝－.5sinα＋cosα15．解：由＝2，得sinα＝3cosα.sinα－cosα∴tanα＝3.3 × 3cosα－cosα(1)解法一：原式＝2 × 3cosα＋3cosα8cosα8＝＝.9cosα9sinαcosα3·－cosαcosα解法二：原式＝sinαcosα2·＋3·cosαcosα3tanα－1 3 × 3－1 8＝＝＝.2tanα＋3 2 × 3＋3 9sin2α－2sinαcosα(2)原式＝＋1sin2α＋cos2αtan2α－2tanα＝＋1tan2α＋132－2 × 3 13＝＋1＝.32＋1 10416．解：∵sinα＝>0，5∴α是第一象限或第二象限的角．若α是第一象限角，则cosα>0，tanα>0.∴cosα＝1－sin2α4 3＝1－2＝，5 54sinα 5 4tanα＝＝＝.cosα 3 35若α是第二象限角，则cosα<0，tanα<0，3∴cosα＝－1－sin2α＝－，54sinα 5 4tanα＝＝＝－.cosα 3 3－51－cosα1－cos 2 1－cosα17．A∵＝＝，1＋cosα1－cos2α|sinα|6∴sinα<0.故{α|2kπ－π<α<2kπ，k∈Z}．18．－1由sinθ＋cosθ＝－1，平方得：sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1，又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθcosθ＝0，sinθ＝0或cosθ＝0.又∵sinθ＋cosθ＝－1，∴θ的终边在x轴非正半轴或y轴非正半轴上．当θ的终边在x轴非正半轴上时，sin2 009θ＋cos2 009θ＝－1；当θ的终边在y轴非正半轴上时，sin2 009θ＋cos2 009θ＝－1.综上所述：sin2 009θ＋cos2 009θ＝－1.19．解：(1)∵1－2sin20°cos20°＝sin220°＋cos220°－2sin20°·cos20°＝(sin20°－cos20°)2，|sin20°－cos20°| ∴原式＝sin20°－|cos20°|cos20°－sin20°＝＝－1.sin20°－cos20°1＋sin 2 1－sin 2 1－cos 2 1＋cos 2(2)原式＝[ －]·[－]cos2αcos2αsin2αsin2α|1＋sinα|－|1－sinα| |1－cosα|－|1＋cosα|＝·|cosα| |sinα|2sinα·－2cos＝|cosα|·|sinα|－4sinαcosα＝|sinαcosα|＝Error!sinαcosαsin2α－cos2α20．证明：(1)左边＝－＝cosαsinαsinαcosα1－cos2α－cos2α1－2cos2α＝＝＝右边，sinαcosαsinαcosα∴原题得证．sinαsinα(2)左边＝(1＋)2＋(1－)2cosαcosαsinα＋cos 2 cosα－sin 2 ＝＋cos2αcos2α1＋2sinαcosα＋1－2sinαcosα ＝cos2α2＝＝右边，cos2α∴原题得证．3－sin4α－cos4α21．证法一：作差：因为－(1＋tan2α＋sin2α)2cos2α3－sin4α－cos4αsin2α＝－(1＋＋sin2α)2cos2αcos2α3－sin4α－cos4α－2cos2α－2sin2α－2sin2αcos2α ＝2cos2α73－sin2α＋cos22－2sin2α＋cos2＝2cos2α2－2＝＝0.2cos2α3－sin4α－cos4α所以2cos2α＝1＋tan2α＋sin2α.3－[sin2α＋cos22－2sin2αcos2α] 证法二：左边＝2cos2α2＋2sin2αcos2α 1＝＝＋sin2α2cos2αcos2αsin2α＋cos2α＝＋sin2αcos2α＝1＋tan2α＋sin2α＝右边，所以原等式成立．22．证明：∵tan2α＝2tan2β＋1，sin2α2sin2β2sin2β＋cos2β∴＝＋1＝cos2αcos2βcos2β1＋sin2β＝，cos2βsin2α1＋sin2β∴＝，1－sin2α1－sin2β∴sin2α(1－sin2β)＝(1－sin2α)(1＋sin2β)∴sin2β＝2sin2α－1.拓展探究123．解：(1)由sinA＋cosA＝，51可得(sinA＋cosA)2＝，2512∴s inAcosA＝－.25(2)∵A∈(0，π)且sinAcosA<0，π ∴A∈(，π)．2∴△AB C是钝角三角形．π (3)∵A∈(，π)，2∴sinA－cosA>0.∴sinA－cosA＝sinA－cosA2＝1－2sinAcosA12 7＝1－2 ×－＝.25 5由Error!84 3解得sinA＝，cosA＝－.5 5sinA 4∴tanA＝＝－.cosA 39。