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函数的单调性与最值练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题4分）1．函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 2．已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）A.(1,)+∞B.(2,)+∞C.(,0)-∞D.(,1)-∞ 3．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加4．若在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A. [1，2)B. [1，2]C. [1,+∞)D. [2，+∞)5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜x 取值范围是( )A. B. C.7．已知(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，31） C.［71，31） D.［71，1）8．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 9．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数，则满足(21)f x -＜的x 取值范围是（ ）（A ）（∞- （B ） （C ）∞+） （D ） 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2xy = B ．1y x= C ．2y x = D ．tan y x = 11．已知函数(a 为常数)．若在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当12x ≥时， ()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题（每小题4分）13．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是14．设函数()f x =⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 ．15．2()24f x x x =-+的单调减区间是 . 16．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是_______________．17．函数2()(1)2f x x =--的递增区间是___________________ . 18．已知函数()[]5,1,4∈+=x xx x f ，则函数()x f 的值域为 ． 19．函数2(),,.f x x ax b a b R =-+∈若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ．20．已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是 . 21．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________．22．已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则实数m 的取值范围为 .23．若函R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．24．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________． 25．已知函数f(x)(a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．参考答案1．B 【解析】试题分析：画出2()log f x x =在定义域}{0>x x 内的图像，如下图所示，由图像可知2()log f x x =在区间[1,2]上为增函数，所以当1=x 时2()log f x x =取得最小值，即最小值为2(1)log 10f ==。
2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷A．{3}B．{0，1}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，1，2，3}A．1-2i B．1+2i C．-1-2i D．-1+2i A．1B．C．2D．-2（2024•香港）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B=（ ）答案：C解析：结合交集的定义，即可求解．解答：解：A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B={-2，-1，2}．故选：C．（2024•香港）计算=（ ）3+4i 1-2i答案：D解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：===-1+2i ．故选：D．3+4i 1-2i （3+4i ）（1+2i ）（1-2i ）（1+2i ）-5+10i 5（2024•香港）函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）√3√6答案：C 解析：利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．√+a 2b 2解答：解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，√312√32π3π3A．y=±3x B．y=±2x C．y =±x D．y =±x A．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件∴当sin（x+）=1时，函数y取得最大值2．故选：C．π3（2024•香港）已知双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）x 2a 2y 2b 2√101312答案：A 解析：利用双曲线的离心率，得到a,b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，可得=，即=10，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x.故选：A．x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a （2024•香港）已知平面向量a =（1，1），b =（x+1，y），则（ ）→→→→→→→→→→答案：D解析：根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．解答：解：对于A，若a ∥b ，则1•y=1•（x+1），即y=x+1，充分性不成立，错误，对于B，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a ∥b 不成立，错误，→→→→→A．f（x）是奇函数，不是增函数B．f（x）是增函数，不是奇函数C．f（x）既是奇函数，也是增函数D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数A．1B．C．-D．-1对于C，若a ⊥b ，则x+1+y=0，必要性不成立，故错误，对于D，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a •b =2-2=0，a ⊥b ，充分性成立，故D正确．故选：D．→→→→→→→（2024•香港）已知函数f （x ）=ln （+x ），则（ ）√+1x 2答案：C解析：结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断．解答：解：函数的定义域为R，f（-x）+f（x）=ln（-x）+ln（+x）=ln（1+x 2-x 2）=0，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，B，D错误；当x≥0时，t=+x单调递增，根据奇函数的单调性可知，t=+x在R上单调递增，根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确．故选：C．√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2（2024•香港）若（a+x）4的展开式中x的系数是-，则a=（ ）121212答案：C解析：根据二项式定理，建立方程，即可求解．A．2x-3y+2=0B．3x+2y+2=0C．3x+2y-2=0D．2x-3y-2=0A．4B．2C．1D．解答：解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是•=-，∴a=-．故选：C．C 41a 31212（2024•香港）圆x 2+（y+2）2=4与圆（x+2）2+（y-1）2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）答案：D 解析：将两圆的方程相减，即可求解．解答：解：圆x 2+（y+2）2=4，即x 2+y 2+4y=0①，圆（x+2）2+（y-1）2=9，即x 2+4x+y 2-2y=4②，②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0，故直线AB的方程为2x-3y-2=0．故选：D．（2024•香港）已知x =和x =都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ）π4π212答案：A 解析：根据x=和x=都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（-），由此求解即可．π4π2π2π4解答：解：因为x=和x=都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，所以周期为T≤2×（-）=，所以≤，所以ω≥4，即ω的最小值是4．故选：A．π4π2π2π4π22πωπ2A．2B．1C．D．A．2B．（2024•香港）抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，则p=（ ）1214答案：A 解析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p,可得抛物线的方程；解答：解：抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，可得=1，解得p=2，故选：A．p 2p 2p 2（2024•香港）正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ）12√2√223答案：B解析：根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，再建立方程求出正四棱柱的，最后代入体积公式，即可求解．解答：解：∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，∴正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，∴（2R）2=12+12+h 2，即4=2+h 2，∴h=，∴该正四棱柱的体积为1×1×=．故选：B．12√2√2√2（2024•香港）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f（x）=x 2+2x,则当2≤x≤3时，f（x）=（ ）A．x 2+2xB．x 2-2x C．-x 2+2x D．-x 2-2x答案：B 解析：根据题意，分析可得f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，结合函数的解析式分析可得答案．解答：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又由f（x）的图像关于直线x=1对称，则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，则f（x-2）=（x-2）2+2（x-2）=x 2-2x,则有f（x）=f（x-2）=x 2-2x.故选：B．（2024•香港）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280个．答案：280．解析：根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．解答：解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有•=280个．故答案为：280．A 51A 82（2024•香港）记等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 2=16，S 4=24，则a 8=-5．答案：-5．解析：根据等差数列的前n项和公式即可得．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d,由S 2=16，S 4=24，得，即，解得．所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5．故答案为：-5．⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1．答案：[-2，]．23解析：将不等式两边同时平方，再结合一元二次不等式的解法，即可求解．解答：解：2|x|≤|x-2|，则4x 2≤x 2-4x+4，化简整理可得，（3x-2）（x+2）≤0，解得-2≤x ≤，故所求解集为[-2，]．故答案为：[-2，]．232323（2024•香港）函数f（x）=e x -2x的最小值为2-2ln2．答案：见试题解答内容解析：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．利用单调性即可得出．解答：解：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．可得：函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x=ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）=2-2ln2．故答案为：2-2ln2．（2024•香港）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，则f（9）=11．答案：11．解析：利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值．解答：解：函数f（x）的定义域为R，f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，∴f（1）f（3）=4+8+3=15，∴f（3）=5，f（3）f（5）=16+16+3=35，∴f（5）=7，f（5）（7）=36+24+3=63，∴f（7）=9，f（7）f（9）=64+32+3=99，则f（9）=11．故答案为：11．（2024•香港）已知二面角α-AB-β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．√244解析：由题意建立空间直角坐标系，设正方形的边长，求出直线BF，AC的方向向量BF ，AC 的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．→→解答：解：过F作FO⊥AB，在平面α过O作y轴⊥AB，因为二面角α-AB-β的大小为90°，所以FO⊥平面α，设正方形的边长为2，由题意OF=，可得F（0，0，），B（1，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），则BF =（-1，0，），AC =（2，2，0），所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2，|BF |==2，|AC |==2，所以cos＜BF ，AC ＞==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos＜BF ，AC故答案为：．√3√3→√3→→→√3→√（-1++（）202√3）2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→4√24（2024•香港）已知△ABC中，A =，AC=ABtanB．（1）求B；（2）求sinA+sinB+sinC．π3答案：（1）；（2）．π12+√3√62解析：（1）由题设及正弦定理，可得cosB=sinC，再根据诱导公式进行代换，即可求得角B；（2）根据角A，B，C的值，利用两角和的正弦公式即可求解．解答：解：（1）由AC=ABtanB，可得tanB =，由正弦定理，可得=，又B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=sinC，由诱导公式，可得cosB=sin（A+B）=cos[-（A +B ）]，所以B =-（A +B ）+2kπ或B =（A +B ）-+2kπ，k∈Z，又A =，所以B =+kπ，k∈Z，又B∈（0，π），故B=；（2）由（1）知，A =，B=，则C =，sin +sin =+sin （-）+sin （+）=+2sin cos2=．b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62（2024•香港）在一个工作日中，某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个，该工人使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为0.5，且不同工作日使用仪器的情况相互独立．（1）求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率；（2）记X为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求E（X）．答案：（1）0.1；（2）50．解析：（1）利用概率的性质求解；（2）利用二项分布的期望公式求解．解答：解：（1）设事件A表示“在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器”，则P（A）=0.6+0.5-1=0.1；（2）因为在一个工作日中该工人仅使用甲仪器的概率为0.6-0.1=0.5，A．{3}B．{0，1}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，1，2，3}A．1-2i B．1+2i C．-1-2i D．-1+2i A．1B．C．2D．-2则X～B（100，0.5），所以E（X）=100×0.5=50．（2024•香港）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B=（ ）答案：C解析：结合交集的定义，即可求解．解答：解：A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B={-2，-1，2}．故选：C．（2024•香港）计算=（ ）3+4i 1-2i答案：D解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：===-1+2i ．故选：D．3+4i 1-2i （3+4i ）（1+2i ）（1-2i ）（1+2i ）-5+10i 5（2024•香港）函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）√3√6答案：C 解析：利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．√+a 2b 2A．y=±3x B．y=±2x C．y =±x D．y =±x A．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件解答：解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，∴当sin（x+）=1时，函数y取得最大值2．故选：C．√312√32π3π3π3（2024•香港）已知双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）x 2a 2y 2b 2√101312答案：A 解析：利用双曲线的离心率，得到a,b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，可得=，即=10，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x.故选：A．x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a （2024•香港）已知平面向量a =（1，1），b =（x+1，y），则（ ）→→→→→→→→→→答案：D解析：根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．A．f（x）是奇函数，不是增函数B．f（x）是增函数，不是奇函数C．f（x）既是奇函数，也是增函数D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数A．1B．D．-1解答：解：对于A，若a ∥b ，则1•y=1•（x+1），即y=x+1，充分性不成立，错误，对于B，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a ∥b 不成立，错误，对于C，若a ⊥b ，则x+1+y=0，必要性不成立，故错误，对于D，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a •b =2-2=0，a ⊥b ，充分性成立，故D正确．故选：D．→→→→→→→→→→→→（2024•香港）已知函数f （x ）=ln （+x ），则（ ）√+1x 2答案：C解析：结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断．解答：解：函数的定义域为R，f（-x）+f（x）=ln（-x）+ln（+x）=ln（1+x 2-x 2）=0，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，B，D错误；当x≥0时，t=+x单调递增，根据奇函数的单调性可知，t=+x在R上单调递增，根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确．故选：C．√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2（2024•香港）若（a+x）4的展开式中x的系数是-，则a=（ ）1212C．-A．2x-3y+2=0B．3x+2y+2=0C．3x+2y-2=0D．2x-3y-2=0A．4B．2C．1D．12答案：C解析：根据二项式定理，建立方程，即可求解．解答：解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是•=-，∴a=-．故选：C．C 41a 31212（2024•香港）圆x 2+（y+2）2=4与圆（x+2）2+（y-1）2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）答案：D 解析：将两圆的方程相减，即可求解．解答：解：圆x 2+（y+2）2=4，即x 2+y 2+4y=0①，圆（x+2）2+（y-1）2=9，即x 2+4x+y 2-2y=4②，②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0，故直线AB的方程为2x-3y-2=0．故选：D．（2024•香港）已知x =和x =都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ）π4π212答案：A 解析：根据x=和x=都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（-），由此求解即可．π4π2π2π4A．2B．1C．D．A．2B．解答：解：因为x=和x=都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，所以周期为T≤2×（-）=，所以≤，所以ω≥4，即ω的最小值是4．故选：A．π4π2π2π4π22πωπ2（2024•香港）抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，则p=（ ）1214答案：A 解析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p,可得抛物线的方程；解答：解：抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，可得=1，解得p=2，故选：A．p 2p 2p 2（2024•香港）正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ）12√2√223答案：B解析：根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，再建立方程求出正四棱柱的，最后代入体积公式，即可求解．解答：解：∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，∴正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，∴（2R）2=12+12+h 2，即4=2+h 2，∴h=，12√2A．x 2+2xB．x 2-2x C．-x 2+2x D．-x 2-2x∴该正四棱柱的体积为1×1×=．故选：B．√2√2（2024•香港）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f（x）=x 2+2x,则当2≤x≤3时，f（x）=（ ）答案：B解析：根据题意，分析可得f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，结合函数的解析式分析可得答案．解答：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又由f（x）的图像关于直线x=1对称，则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，则f（x-2）=（x-2）2+2（x-2）=x 2-2x,则有f（x）=f（x-2）=x 2-2x.故选：B．（2024•香港）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280个．答案：280．解析：根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．解答：解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有•=280个．故答案为：280．A 51A 82（2024•香港）记等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 2=16，S 4=24，则a 8=-5．答案：-5．解析：根据等差数列的前n项和公式即可得．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d,由S 2=16，S 4=24，得，即，解得．所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5．故答案为：-5．⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1．答案：[-2，]．23解析：将不等式两边同时平方，再结合一元二次不等式的解法，即可求解．解答：解：2|x|≤|x-2|，则4x 2≤x 2-4x+4，化简整理可得，（3x-2）（x+2）≤0，解得-2≤x ≤，故所求解集为[-2，]．故答案为：[-2，]．232323（2024•香港）函数f（x）=e x -2x的最小值为2-2ln2．答案：见试题解答内容解析：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．利用单调性即可得出．解答：解：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．可得：函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x=ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）=2-2ln2．故答案为：2-2ln2．（2024•香港）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，则f（9）=11．答案：11．解析：利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值．解答：解：函数f（x）的定义域为R，f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，∴f（1）f（3）=4+8+3=15，∴f（3）=5，f（3）f（5）=16+16+3=35，∴f（5）=7，f（5）（7）=36+24+3=63，∴f（7）=9，f（7）f（9）=64+32+3=99，则f（9）=11．故答案为：11．（2024•香港）已知二面角α-AB-β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．√244解析：由题意建立空间直角坐标系，设正方形的边长，求出直线BF，AC的方向向量BF ，AC 的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．→→解答：解：过F作FO⊥AB，在平面α过O作y轴⊥AB，因为二面角α-AB-β的大小为90°，所以FO⊥平面α，设正方形的边长为2，由题意OF=，可得F（0，0，），B（1，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），则BF =（-1，0，），AC =（2，2，0），所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2，|BF |==2，|AC |==2，所以cos＜BF ，AC ＞==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos＜BF ，AC√3√3→√3→→→√3→√（-1++（）202√3）2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→44（2024•香港）已知△ABC中，A =，AC=ABtanB．（1）求B；（2）求sinA+sinB+sinC．π3答案：（1）；（2）．π12+√3√62解析：（1）由题设及正弦定理，可得cosB=sinC，再根据诱导公式进行代换，即可求得角B；（2）根据角A，B，C的值，利用两角和的正弦公式即可求解．解答：解：（1）由AC=ABtanB，可得tanB =，由正弦定理，可得=，又B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=sinC，由诱导公式，可得cosB=sin（A+B）=cos[-（A +B ）]，所以B =-（A +B ）+2kπ或B =（A +B ）-+2kπ，k∈Z，又A =，所以B =+kπ，k∈Z，又B∈（0，π），故B=；（2）由（1）知，A =，B=，则C =，sin +sin =+sin （-）+sin （+）=+2sin cos2=．b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62（2024•香港）记数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1=4，=（-1）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）求{a n }的通项公式．a n +14（n +1）2n -1S n -1S n 2n -1答案：（1）证明见解答；（2）a n =4n•3n-1，n∈N *．解析：（1）根据数列的和与项的转化关系，等比数列的定义，即可证明；（2）根据数列的和与项的转化关系，分类讨论，即可求解．解答：解：（1）证明：∵=（-1），∴-=（-1），∴（2n-1）S n+1-（2n-1）S n =4（n+1）S n -4（n+1），∴（2n-1）S n+1=（6n+3）S n -4（n+1），∴（2n-1）（S n+1-1）=（6n+3）S n -（6n+3），∴（2n-1）（S n+1-1）=3（2n+1）（S n -1），∴=3（），又=a 1-1=3，∴数列{}是以首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）可得=，∴-1=（2n -1）×①，当n≥2时，-1=（2n -3）×②，①-②可得=（2n -1）×-（2n -3）×=4n•3n-1（n≥2），又a 1=4，也满足上式，∴a n =4n•3n-1，n∈N *．a n +14（n +1）2n -1S n S n +1S n 4（n +1）2n -1S n -1S n +12n +1-1S n 2n -1-1S 12×1-1-1S n 2n -1-1S n 2n -13n S n 3n S n -13n -1a n 3n 3n -1（2024•香港）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F，点A（-a,0），B（0，b），过F的直线x-y+1=0交C于B，P两点．（1）求P的坐标；（2）若点R（-2，y 0）在直线AB上，证明：FR是∠PFA的角平分线．x 2a 2y 2b 2答案：（1）P（-，-）．（2）证明详情见解答．4313解析：（1）直线方程中x-y+1=0，分别令y,x为0，解得b,c,由a 2=b 2+c 2，解得a,即可得出椭圆的方程，联立直线x-y+1=0与椭圆的方程，即可得出答案．（2）由（1）知A（-，0），B（0，1），写出直线AB的方程，进而可得Q点坐标，推出tan2∠RFA=tan∠RFA，即可得出答案．√2解答：解：（1）因为直线x-y+1=0过焦点F和点B，所以令y=0，得x=-1，即-c=-1，则c=1，令x=0，得y=1，即b=1，又a 2=b 2+c 2=2，所以椭圆的方程为+y 2=1，联立，解得x=0或x=-，所以x P =-，y P =x P +1=（-）+1=-，所以P（-，-）．（2）证明：由（1）知A（-，0），B（0，1），令x=-2，得y=1-，所以R（-2，1-），tan∠RFA==-1，tan2∠RFA==因为直线x-y+1=0的斜率为1，所以tan∠RFA=1，所以tan2∠RFA=tan∠RFA，所以FR是∠PFA的角平分线．x 22{x -y +1=0+=1x 22y 2434343134313√2√2√2|1-|√2-1-（-2）√22tan ∠RFA 1-ta ∠n 2√2。
绝密★启用前2014年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数 学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{(3)(2)0}P xx x =+-≥，{2}Q x x =>，则P Q =（ ）（A ）Q （B ）∅ （C ）{2}（D ）P（2）抛物线28y x =-的准线方程为（ ）（A ）2x =-（B ）1x =-（C ）1x =（D ）2x =（3）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2r =（ ）（A ）8（B ）5（C ）（D （4）若实数,a b 满足0ab <，则 （ ）（A ）a b a b +<- （B ）a b a b +>- （C ）a b a b -<+ （D ）a b a b ->+（5）函数4sin cos2y x x =+的值域为（ ）（A ）[]5,4- （B ）[]3,7 （C ）[]5,3-（D ）[]1,3-（6）使函数()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数的最小正数ϕ= （ ）（A ）π（B ）2π（C ）4π（D ）8π（7）等比数列4,10,20x x x +++的公比为（ ）（A ）12（B ）43（C ）32（D ）53（8）9(x 的展开式中3x 的系数是（ ）（A ）336 （B ）168（C ）168- （D ）336-（9）8把不同的钥匙中只有1把能打开某锁，那么从中任取2把能将该锁打开的概率为 （ ）（A ）14（B ）17（C ）18（D ）116（10）平面10ax by z +++=与230x y z +-+=互相垂直，且其交线经过点(1,1,2)-，则a b +=（A ）23（B ）13（C ）13-（D ）23- （11）有一块草地为菱形，在菱形的对角线交点处有一根垂直于草地的旗杆，若该菱形面积为2240m ，周长为80m ，旗杆高8m ，则旗杆顶端到菱形边的最短距离为 （ ）（A ）6m（B ）8m（C ）10m（D ）12m（12）函数21()1x f x x -=+的最大值为（ ） （A）2（B）14（C）4（D）12- 二、填空题：本大题共6小题；每题5分． （13）函数tan(3)18y x π=+的最小正周期是_____________．（14）设双曲线经过点，且其渐近线方程为230x y ±=，则该双曲线的标准方程为________． （15）已知点A 、B 在球O 的表面上，平面AOB 截该球面所得圆上的劣弧AB 长为80，=120AOB ∠，则该球的半径为_______________．（16）若211,()1,1x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩， 是R 上的连续函数，则a =______________．（17）用1x +除多项式()P x 的余式为2，用2x +除多项式()P x 的余式为1，则用232x x ++除多项式()P x 的余式为______________．（18）设函数213()log (443)f x x ax a =-+在(0,1)是增函数，则a 的取值范围____________．三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （19）甲、乙、丙各自独立投篮一次.已知乙投中的概率是23，甲投中并且丙投中的概率是38，乙投不中并且丙投不中的概率是16． （I ）求甲投中的概率；（II ）求甲、乙、丙3人中恰有2人投中的概率．（20）设椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，1F l ∉，求1F AB ∆重心的轨迹方程．（21）设曲线22y x ax =-与2y x x =-所围成的区域被直线1x =分成面积相等的两部分，求a ．（22）在数列{}n a 中，11a =，112(1)2n n a a n n +=+++，1,2,3,n =⋅⋅⋅． （I ）求2a ，3a ，4a ； （II ）求数列{}n a 的通项公式．2014年港澳台联考数学真题答案一、选择题1—12：BDBAC BDAAC CD 二、填空题13．3π 14．221188x y -= 15．120π 16．2 17．3x + 18．[2,4] 三、解答题19．解：（I ）设甲和丙投中的概率分别是P 甲、P 丙，则3=8P P ⋅甲丙，且21(1)(1)36P --=丙， 解得3=4P 甲，1=2P 丙． （II ）所求概率设为P ，则32132132111(1)(1)(1)43243243224P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=． 20．解：由已知条件可知，1(1,0)F -、2(1,0)F ，①当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为：1x =，则可得A、(1,B ，又1(1,0)F -，所以1F AB ∆重心坐标为1(,0)3；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，因为1F l ∉，所以0k ≠，与椭圆的方程联立2212(1)y k x y x ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩，整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，则22412A B k x x k +=+，故22()212A B A Bky y k x x k k -+=+-=+ 所以1F AB ∆的重心坐标为222102(,)(,)1233(12)3(123)A B A B x x y y k kk k +-++--++=即222213(12)23(2))1k x k k y k ⎧-=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩重重，消去k 得，22129x y +=，因为0k ≠，所以130x y ⎧≠-⎪⎨⎪≠⎩故三角形的重心轨迹方程为22112()93x y x +=≠-．21．解：（1）令222y x ax x x =-=-可得0x =或212a x +=，故两曲线的交点为(0,0)和22114(,)24a a +-，显然由题意可得2112a +>，得12a >， 设区域被直线1x =分成左右两部分的面积分别为1S ，2S ，则122211002121=[(2)]()|236a S x x x ax dx x x a +---=-=-⎰， 21212223222112121211=[(2)]()|()23326a a a a S x x x ax dx x x a ++++---=-=-+⎰，由12S S =得，311211()6326a a a +-=-+，即328124290a a a +-+=，即2(23)(4123)0a a a -+-=，解得32a =，32a =-因为12a >，所以32a =．22．解：（1）由11a =，112(1)2n n a a n n +=+++，可得283a =，392a =，4325a =．（2）由112(1)2n n a a n n +=+++得121(1)(2)n n a a n n n n +=++++，即1112()112n n a a n n n n +-=-+++， 当2n ≥时，21112()2123a a -=-； 32112()3234a a -=-； ...；1112()11n n a a n n n n --=--+ 以上各式两边同时相加可得：11122()1211n a a n n n -=-=-++， 化简得，221n n a n =+．。
绝密★启用前2011年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数 学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知tan cot 0θθ+<，那么角θ是 （ ）（A ）第一或第二象限角 （B ）第三或第四象限角（C ）第一或第三象限角（D ）第二或第四象限角（2） 设1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，则四面体11ACB D 的体积是（ ）（A ）12（B ）13（C ）14（D ）16（3） 在△ABC 中，角A B C 、、的分别为a b c 、、，若222a cb =+-，则B ＝（ ）（A ）6π（B ）3π（C ）6π或56π （D ）3π或23π （4） 若复数z 的虚部不为零，且310z z ++=，则（ ）（A ）1z <（B ）1z =（C ）1z < <（D ）z（5）若2log 3a =，4log 6b =，6log 9c =，则 （ ）（A ）a b c ==（B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c b a <<（6）在四面体ABCD 中，AB =1，则二面角A CD B --的余弦值为（ ）（A ）13-（B ）0（C ）13（D ）12（7）设数列{}n a 的前n 项和1121n S n =-+，则n a = （ ） （A ）121n - （B ） 121n + （C ）1(21)(21)n n -+ （D ）2(21)(21)n n -+（8）圆的直角坐标方程为22((1)4x y -+-=，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为 （ ） （A ）2ρ=（B ）54cos()((,])366πππρθθ=-∈-（C ）24cos()((,])633πππρθθ=-∈-（D ）4cos ((,])22ππρθθ=∈-（9）函数11(1)1y x x =+ >-+的反函数为 （ ）（A ）11(1)1y x x =+ >- （B ）11(1)1y x x =+ >-+ （C ）11(1)1y x x =- >-+（D ）11(1)1y x x =- >- （10）设1F ,2F 为双曲线2222:1x y C a b-=的两个焦点，P 为C 上一点，若△12F F P 是等腰直角三角形，则C的离心率为 （ ）（A （B （C ）1 （D ）12+ （11）若函数2,1,(),1x x f x ax b x ⎧ ≤=⎨+ >⎩ 在1x =处可导，则a b -= （ ）（A ）3（B ）2（C ）1（D ）0（12）点D E F 、、是△ABC 内三点，满足AD DE BE EF CF FD =， =， =， 设AF AB AC λμ=+ ， 则,)λμ =( （ ）（A ）42(,)77 （B ）14(,)77（C ）41(,)77（D ）24(,)77二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.（13）若关于x 的方程320x x ax -+=有重根，则a =____________________． （14）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出四个命题： ①若m ∥n ,m α⊥，则n α⊥ ②若α∥β,,m n αβ⊂⊂，则m ∥n ③若m ∥α,m β⊥，则αβ⊥④若αβ⊥,m ∥α，则m β⊥其中正确命题的序号是____________________．（15）设等比数列{}n a 的各项都为正数，前n 项和为n S ．若627S S =，则其公比为____________________． （16）在空间直角坐标系O xyz -中，经过点(2,1,1)P 且与直线310,32210x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩垂直的平面方程为____________________．（17）若多项式()p x 满足(1)1,(2)3p p = = ，则()p x 被232x x -+除所得的余式为_______________． （18）设有4张不同的卡片，若有放回地抽取4次，每次随机抽取一张，则恰好有两张卡片未被抽到的概率为____________________．三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （19）设函数()232f x x x =-++．（Ⅰ）把()f x 写成分段函数，并求()f x 的最小值； （Ⅱ）解不等式()5f x <．（20）设△ABC 为锐角三角形．证明（Ⅰ）sin sin 1cos A B C +>+；（Ⅱ）2sin sin sin A B C <++（21）设抛物线2:4x C y =与直线:1l y kx =+交于A B 、两点，P 为抛物线在这两点的切线的交点．（Ⅰ）当1k =时，求点P 的坐标； （Ⅱ）当k 变化时，求点P 的轨迹．（22）数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,n n a a S n += -=． （1）写出｛a n ｝的前三项（2）设b n=S n +n+1，证明｛b n ｝是等比数列 （3）求｛a n ｝的通项公式2011年港澳台联考数学真题答案一、选择题：1—5：DBACD 6—10：ADCDC 11—12：AB 二、填空题：13．104或 14．①③ 1516．857280x y z ++-= 17．21x - 18．2164三、解答题19．解：（Ⅰ）当2x <-时，()32(2)13f x x x x =--+=-； 当322x -≤≤时，()32(2)5f x x x x =-++=-； 当32x >时，()23231f x x x x =-++=-； 所以13()531xf x x x -⎧⎪=-⎨⎪-⎩，故()f x 的最小值为72．（Ⅱ）当2x <-时，4()51353f x x x <⇔-<⇒>-，这与2x <-矛盾； 当322x -≤≤时，()5550f x x x <⇔-<⇒>，此时解为302x <≤； 当32x >时，()53152f x x x <⇔-<⇒<，此时解为322x <<． 综上所述，()5f x <的解为02x <<．20．解：（Ⅰ）1cos 1cos()1sin sin cos cos C A B A B A B +=-+=+-，1cos sin sin (1sin )(1sin )cos cos C A B A B A B +--=---，因为A ，B 都是锐角，所以cos A ，cos B 均大于0，所以1cos sin sin 0C A B +--<，所以sin sin 1cos A B C +>+．（Ⅱ）因为sin sin 1cos A B C +>+，所以sin sin sin 1cos sin 2A B C C C ++>++>．为证明sin sin sin A B C ++≤3C π≥，由于sin sin 2sincos 2cos 222A B A B C A B +-+=≤，所以sin sin sin sin 2cos 2CA B C C ++≤+， sin 2cos=sin[()]2cos[()]233626C C C C ππππ++-++-1)]2cos()][sin()]2sin()]3262326C C C C ππππ-+-+---注意到=cos()]2cos()3326C C ππ-+-≤，sin()]2sin()0326C C ππ---≤，因此sin 2cos 22C C +≤，sin sin sin 2A B C ++≤21．解：设l 与抛物线的两交点坐标分别为(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，且A B x x <．（Ⅰ）当1k =时，直线l ：1y x =+代入抛物线方程，得214x x =+，则2A x =-2B x =+ 过A ，B 的抛物线的两条切线方程为：:()2A A A A x l y y x x -=-，:()2B B B B xl y y x x -=-，联立解得2,1x y ==-，所以(2,1)P -．（Ⅱ）将l 与C的方程联立，解得2(A x k =，2(B x k =+，将中两切线联立，解得2,1x k y ==-，所以点P 的轨迹方程为：:1P l y =-．22．解：（Ⅰ）由11a =，1n n a S n +-=，可得22a =，35a =．（Ⅱ）由1n n a S n +-=得1()n n n S S S n +--=，即122(1)n n S n S n +++=++，即12n nb b +=，所以{}n b 是（Ⅲ）由（Ⅱ）得1111(11)232n n n S n S --++=++=⨯，1321n n S n -=⨯--．当2n ≥时，2211321321n n n n a S n n n ---=+-=⨯-+-=⨯-，当1n =时，1n a =不适合上式．所以 21,13212n n n a n -=⎧=⎨⨯-≥⎩，． 第3题解析：方法1：估值法，31z z =+，311z z z -≤≤+，可以估计C 正确方法2：三次方程若只有一个实数解，则必有两个共轭复根，设三个根依次为z1，z2，z3，不妨设z3为实数，则由韦达定理， 1231z z z =-，则22121231z z z z z ===-， 构造函数3()1f x x x =++，易知3()1f x x x =++在R 上单调递增，由(1)10f -=-<，13()028f -=>可知3()1f x x x =++在1(1,)2--存在零点，且零点唯一，故3112z -<<-， 22121231(1,2)z z z z z ===-∈，所以1z < <。
2019年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合＝，＝，则的非空子集的个数为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可求出集合，从而进行交集的运算求出＝，从而得出的非空子集的个数为：个．【解答】；∴＝；∴的非空子集的个数为：个．2. 复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．【解答】∵，∴在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限．3. 若直线＝与圆＝相切，则＝（）A. B. C. D.【答案】B【考点】圆的切线方程【解析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆的半径＝＝，即可得，解可得的值，即可得答案．【解答】根据题意，圆＝即＝，其圆心为，半径，若直线＝与圆＝相切，则圆的半径＝＝，则有，解可得：＝；4. 经过点且与平面＝平行的平面方程为（）A.＝B.＝C.＝D.＝【答案】A【考点】空间点、线、面的位置【解析】设与平面＝平行的平面方程为＝，代入点的坐标求出的值即可．【解答】设与平面＝平行的平面方程为＝，代入点，得＝，解得＝，则所求的平面方程为＝．5. 下列函数中，为偶函数的是（）A.＝B.＝C.＝D.＝【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．【解答】．函数关于＝对称，函数为非奇非偶函数，．函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数，，＝＝＝＝，则函数是偶函数，满足条件．．由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，6. 的展开式中的系数是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】由二项式定理及展开式的通项得：＝，令，解得＝，则的展开式中的系数是，得解．【解答】由二项式的展开式的通项为＝，令，解得＝，则的展开式中的系数是，7. 若除的余式为，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【考点】多项式的除法定理【解析】＝，根据条件可得＝，解出即可．【解答】＝，∵除的余式为，∴＝，∴＝．8. 已知双曲线，过的左焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若以为直径的圆经过的右焦点，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】设双曲线的左焦点为，右焦点为，利用以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，可得＝，从而可建立方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】设双曲线的左焦点为，右焦点为，∵以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，∴＝，∴，∴＝，∴＝，∴，∵，∴，9. ＝（）A.B.C.D.【答案】D【考点】等比数列的前n项和【解析】可看出，数列，，，…，是首项为，公比为的等比数列，并且是第项，从而根据等比数列的前项和公式求该等比数列的前项的和即可．【解答】数列，，，…，是首项为，公比为的等比数列；且是第项；∴．10. 已知＝，则A. B. C. D.【答案】B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值二倍角的三角函数【解析】利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简所求表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】＝，则．11. 在中，＝，在边上随机取点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】我们要根据已知条件，动点到定点的距离对应线段的长度，代入几何概型计算公式即可求出答案．在中，＝，为等腰直角三角形，令＝＝，则：；在边上随机取点，当＝时，＝，在边上随机取点，则的概率为：，12. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角的正弦值．【解答】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设＝＝＝，则，，，，，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，设与平面所成角为，则．∴与平面所成角的正弦值为．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020年高三上学期港澳台入学考试数学试题一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将答案填在题后括号内。
1.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为（ ）A ．B ．C ．D ．2. 若，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ． B ． C ． D ．3。
已知函数()()()246060x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则满足的取值范围是（ ）A. B.C. D.4．圆0204222=-+-+y x y x 截直线所得弦长为8，则C 的值为（ ）A 10 B68 C 12 D 10或685．已知ΔABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 6．如果方程x 2－4ax +3a 2=0的一根小于1，另一根大于1，那么实数a 的取值范围是（ ）A B C D7．将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将图象沿轴负方向平移个单位，则所得图象的解析式为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）8．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为 ( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．99.若==+θθθ2sin ,4tan 1tan 则( ) 10. 直线与两条直线，分别交于P 、Q 两点。
线段PQ 的中点坐标为，那么直线的斜率是（ ） A. B.C. D.11. 设函数f (x )＝x m -ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则的值为（ ）A.1B.2C.3D.-212. 已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共6小题；每题5分。
港澳台高考模拟试卷(一)一、选择题（5*12=60）1.已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则( )（A ）{}4,6M N = （B ）M N U = （C ）U M N C u = )( （D ）N N M C u = )( 2.设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3.不等式201x x -≤+的解集是（ ） （A ）(1)(12]-∞-- ，， （B ）[12]-， （C ）(1)[2)-∞-+∞ ，，（D ）(12]-，4.函数y =）（A ）{}|0x x ≥（B ）{}|1x x ≥ （C ）{}{}|10x x ≥ （D ）{}|01x x ≤≤5.若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）（A ）a b c >> （B ） b a c >> （C ） c a b >> （D ）b c a >>6.函数y = ）（A ） {}1x x ≤ （B ）{}0x x ≥ （C ） {}1,0x x x ≥≤ （D ）{}01x x ≤≤7.已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且a ∥b ，则23a b + =（ ）（A ）()2,4-- （B ） ()3,6-- （C ）()4,8-- （D ）()5,10-- 8.函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）（A ） 6x π=-（B ）12x π=-（C ）6x π=（D ）12x π=9.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项10.设直线的方程是0Ax By +=，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是（ ） （A ） 20（B ）19（C ）18 （D ）1611.10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为 （ ）（A ）1 （B ） 1210()C （C ）120C （D ）1020C 12. 与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）（A ）230x y -+= （B ）230x y --= （C ）210x y -+= （D ）210x y --=二、填空题（4*8=32）13.在ABC 中，1AB =, 2BC =, 060B =，则AC =14.已知数列{}n a 对于任意P 、q N +∈，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = 15.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A CB+=16.已知双曲线22112x y n n -=-n ＝ 17.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b =______18.已知点1(2,1,4)M -和2(6,2,7)M ，求过点1M 且与12M M垂直的平面方程19. 多项式()f x 除以421x x ++所得余式为32234x x x +++；那么()f x 除以21x x ++的余式是20.在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a += ；三、解答题（14*2+15*2=58）21.设函数()lg(23)f x x =-的定义域为集合M ，函数121)(--=x x g 的定义域为集合N 。
