2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用

第2课时椭圆的标准方程及性质的应用1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1．2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．思考：(1)(2)直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 23＝1有怎样的位置关系？[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆x 24＋y 23＝1的内部，因此直线与椭圆相交．1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定C [联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]2．直线x ＋2y ＝m 与椭圆x 24＋y 2＝1只有一个交点，则m 的值为( )A ．2 2B ．± 2C ．±2 2D ．±2C [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 并整理得 2x 2－2mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－4)＝0，得m 2＝8. ∴m ＝±2 2.]3．若点A (a ，1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．(－2，2) [∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.] 4．如果椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是________．－12 [设此弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1， 两式相减，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）36＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 即此弦所在直线斜率为－12.]【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆4＋y 2＝1的位置关系．思路探究：联立两个方程―→消去y 得到关于x 的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论[解] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1. ② 将①代入②得：x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．1．(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0， 解得k ＝±63.] (2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5 [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点P (1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P (1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m ≤1，即m ≥54，又0<m <5，故m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5.]【例2】 过椭圆16＋4＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．思路探究：(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 法二：点差法．(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用弦长公式求解．[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8（2k 2－k ）4k 2＋1. 又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4（2k 2－k ）4k 2＋1＝2， 解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2，1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上， 则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝－12， 即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2，1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.1．直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝ （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2（y 1－y 2）2 ＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2(k 为直线斜率)．提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，①②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.2．(1)已知点P (4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则直线l 的方程为________．x ＋2y －8＝0 [由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.设直线l 与椭圆的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝8k （4k －2）4k 2＋1＝8，所以k ＝－12.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.](2)已知点P (4，2)是直线l ：x ＋2y －8＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．32 [设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)， 直线x ＋2y －8＝0与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）. 因为k AB ＝－12，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝4，y 0＝2，所以－12＝－2b 2a 2，即a 2＝4b 2.所以该椭圆的离心率为e ＝1－b 2a 2＝32.] (3)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.①试求动点P 的轨迹方程C ；②设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．[解] ①设动点P 的坐标是(x ，y )，由题意得，k PA ·k PB ＝－12.∴y x ＋2·yx －2＝－12，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．②设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0. ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1·x 2＝0.|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝423， 整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意．∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1，即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.与椭圆有关的综合问题1．直线y ＝kx ＋1表示过点(0，1)且斜率存在的直线，即不包含直线x ＝0，那么直线x ＝ky ＋1表示什么样的直线？[提示] 直线x ＝ky ＋1，表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y ＝0. 2．如果以线段AB 为直径的圆过点O ，那么可以得到哪些等价的条件？ [提示] (1)设AB 的中点为P ，则|OP |＝12|AB |.(2)OA →·OB →＝0.【例3】 如图所示，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．思路探究：(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d >r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d <r ，则点G 在圆内．法二：只需判断GA →·GB →的符号，若GA →·GB →＝0，则点G 在圆上；若GA →·GB →>0，则点G 在圆外；若GA →·GB →<0，则点G 在圆内．[解] (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）>0， 所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB 为直径的圆外． 法二：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而GA →·GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋25 16＝－3（m2＋1）m2＋2＋52m2m2＋2＋2516＝17m2＋216（m2＋2）>0，所以cos〈GA→，GB→〉>0.又GA→，GB→不共线，所以∠AGB为锐角．故点G⎝⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB为直径的圆外．解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. (1)求椭圆方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．[解] (1)由题意设椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，代入方程x 2b 2＋3＋y 2b2＝1，又∵椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 得1b 2＋3＋34b 2＝1， 解得b 2＝1，∴a 2＝4. 椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和曲线C 的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －65，x 24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (－2，0)，y 1y 2＝－6425（k 2＋4），y 1＋y 2＝12k5（k 2＋4）， 则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0，即可得∠MAN ＝π2.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．已知点(2，3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2，3)在椭圆外B ．点(3，2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上D [由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D.] 2．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35.] 3．已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．x ＋2y －3＝0 [易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.]4．焦点分别为(0，52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．[解] 设y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝3x －2，消去y 并整理，得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0. 因为x 1＋x 22＝12，所以6b 2a 2＋9b 2＝12.所以a 2＝3b 2.②由①②，得a 2＝75，b 2＝25. 经检验，此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275＋x 225＝1.。

§2.2.2椭圆的简单几何性质及应用学习目标：1、理解并掌握椭圆的几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单问题. 2、培养学生数形结合的意识和独立分析、解决问题的能力. 重、难点：椭圆的几何性质和简单应用（重点）；几何性质的灵活应用（难点）. 学习过程：一、课前准备 （预习课本P 43----P 48找出疑惑之处），并填写下列知识要点 （1）椭圆的简单几何性质（2）椭圆的离心率对椭圆扁圆程度的影响因为0>>c a ，所以10<<e . e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越 ；反之，e 越接近0，c 越接近0，从而b 越接近a ，这时椭圆就越接近 . 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点 ，图形变为 ，它的方程为 .（3）若点)(y x M ，与定点)0(，c F 的距离和它到定直线l ：c a x 2=的距离的比是常数ac（0>>c a ），则点M 的轨迹是 ，定点)0(，c F 是椭圆的一个焦点，直线l ：c a x 2=称为相应于焦点F 的准线. 由椭圆的对称性，相应于焦点)0(，c F -'，椭圆的准线是l '：ca x 2-=.焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 上图形标 准 方 程范 围 顶 点轴 长 长轴长 短轴长长轴长 短轴长 焦 点 焦 距对称性 对称轴 ，对称中心离心率1F ∙xy O∙ 2F 1A 2A 1B2B 2F 1F∙x ∙ 1A2A 1B 2B Oy（4）椭圆中一些重要量及重要结论① “四线”是指 ；“六点”是指 . ② 焦半径：焦点在x 轴上时，=||1MF , =||2MF . 焦点在y 轴上时，=||1MF , =||2MF . ③ 焦准距： . ④ 通径： . ⑤ 焦点三角形面积公式： .⑥ 焦点到椭圆上的最短距离为 ，最大距离为 .二、新课导学学习探究一、 椭圆的范围观察右图，容易看出椭圆上点的横坐标的范围是a -≤x ≤a ，纵坐标的范围 是b -≤y ≤b . 下面，我们利用方程（代数方法）研究上述取值范围. 由方程)0(12222>>=+b a by a x 可知 012222>-=ax b y ，所以椭圆上点的横坐标都适合不等式22a x ≤1，即a -≤x ≤a ，同理有22b y ≤1，即b -≤y ≤b . 这说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形框里. 【例1】、已知中心在原点的椭圆经过（2， 1）点，求该椭圆的半长轴长a 的取值范围.跟踪训练：已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值 范围是 （ ） A. [6， 10] B. [6， 8] C. [8， 10] D. [16， 20]学习探究二、 椭圆的对称性（1）判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的方法：① 若把方程中的x 换成x -，方程不变 则曲线关于y 轴对称；② 若把方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于y 轴对 称；③ 若把方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称.（2）由（1）可知，椭圆关于x 轴、y 轴、原点都是对称的. 这时坐标轴是它的对称轴， 原点是它的对称中心，椭圆的对称中心又叫椭圆的中心. 因此，椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形.（3）椭圆对称性的应用：① 在利用描点法画椭圆时，只要作出第一象限的图象，其它象∙ x y O ∙ax -= a x =b y -=b y =限的图象可以利用对称性画出；② 在研究满足一定条件的点的性质时，只要研究点位于第一象限的情形，其它象限的情形可利用对称性得到.【例2】、已知点（3， 2）在椭圆12222=+by a x 上，下列给出的三个点（2,3--），（23-，）， （2,3-）中在该椭圆上的是 .跟踪训练：已知21F F ，是椭圆1204522=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的任一点，若21PF F ∠为 锐角，求P 点的横坐标的取值范围.学习探究三、 椭圆的顶点、长轴和短轴（1）顶点：椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与对称轴的四个交点：)0,()0,(21a A a A 、-，),0(),0(21b B b B 、-叫椭圆的顶点；椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的四个顶点是)0()0(21a A a A ，、，-，)0()0(21，、，b B b B -.（2）长轴、短轴：线段21A A 叫做椭圆的长轴，且a A A 2||21=，a 是长半轴长；线段21B B 叫做椭圆的短轴，且b B B 2||21=，b 是短半轴的长.（3）椭圆的焦点永远在长轴上.【例3】、若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦 点到椭圆上的最短距离为3，求该椭圆的方程.跟踪训练：)0,(c F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，F 与椭圆上的点的距离最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2mM +的是 .学习探究四、 椭圆的离心率（1）椭圆离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作ac a c e ==22.（2）离心率的范围：因为0>>c a ，所以10<<e .（3）离心率e 与b a 、的关系：因为222b ac -=，所以22221ab a b a ace -=-==. （4）当1→e 时，椭圆越扁，当0→e 椭圆越圆. 特别地，当1=e 时，图形变为圆.【例4】、已知1F 为椭圆的左焦点，B A 、分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点， 当A F PF 11⊥，AB PO //（O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.跟踪训练：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过椭圆的右焦点作x 轴垂线交椭圆与B A 、两点，若0=⋅OB OA ，求椭圆的离心率.三、当堂检测1、已知)0,0(121>>=+n m nm ，则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的离心率是.2、椭圆1422=+y x 的两个焦点为21F F ，，过2F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF 等于 （ ） 23.A 3.B 27.C 4.D 3、已知椭圆的一个焦点将长轴分成2 : 1两部分，且经过点（4,23-），求椭圆的标准方 程.4、已知椭圆191622=+y x ，求其内接三角形面积的最大值. 5、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点D C B A 、、、构成的四边形为菱形，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，求该椭圆的离心率.。

2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用（1）【教学目标】知识目标：进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系； 能力目标：能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题；思想目标：通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养． 【教学过程】一、自主学习知识检测1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系；点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1．2．直线与椭圆的位置关系（1）直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．(2)直线与椭圆相交1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根． (3)弦的中点P 0(x 0，y 0)与弦所在直线的斜率k 的关系．(点差法)设弦AB 的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1⇒x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即2x 0(x 1－x 2)a 2＋2y 0k (x 1－x 2)b 2＝0，即x 0a 2＋y 0k b 2＝0.3.自主检测1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上 答案：C2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定答案：C3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 答案：C 二、名师引路已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1．试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点．【解】 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ， 得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0．①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144． (1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解． 这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． 变式1：直线l ：y ＝66x ＋2与椭圆2x 2＋3y 2＝6的位置关系为________(填相交、相切或相离)． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝66x ＋2，2x 2＋3y 2＝6，得2x 2＋3⎝⎛⎭⎫66x ＋22＝6， 即52x 2＋26x ＋6＝0． Δ＝(26)2－4×52×6＝24－60＝－36<0．因此直线与椭圆没有公共点． 答案：相离已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 【解】 (1)由已知可得直线l 的方程为 y －2＝12(x －4)，即y ＝12x ．由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18．于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52×62＝310． 所以线段AB 的长度为310．(2)法一：易知直线l 的斜率存在，不妨设为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0． 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0．这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4．法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1）， 由于P (4，2)是AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4．变式2： 已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝____________．解析：因为直线l 经过椭圆的右焦点F 1(1，0)，且斜率为2，则直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0x 25＋y 24＝1，得3x 2－5x ＝0．解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝－2，⎩⎨⎧x 2＝53y 2＝43．|AB |＝259＋⎝⎛⎭⎫43＋22＝553． 答案：553已知椭圆4x 2＋y 2＝1，直线y ＝x ＋m ，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．【解】 可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2，将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消y 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． 又|AB |＝2510－8m 2，Δ＝20－16m 2＞0，－52＜m ＜52， 所以S △AOB ＝12|AB |·d＝12×25 10－8m 2·|m |2＝25⎝⎛⎭⎫54－m 2m 2 ≤25·⎝⎛⎭⎫54－m 2＋m 22＝14． 当且仅当“54－m 2＝m 2”时，上式取“＝”．此时m ＝±104∈⎝⎛⎭⎫－52，52． 所以△AOB 面积的最大值为14，面积最大时直线方程为x －y ±104＝0． 变式3：如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF ．(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解：(1)由已知可得点A (－6，0)，F (4，0)，B (6，0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )． 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，（x ＋6）（x －4）＋y 2＝0.则2x 2＋9x －18＝0, 解得x ＝32或x ＝－6．由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝523．所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，523． (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0． 设点M 的坐标是(m ，0)， 则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2， 所以点M (2，0)．设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6．所以当x ＝92时，d 取最小值15．三、课后练习1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B ．直线y ＝kx －k ＋1恒过定点(1，1)． 又因为129＋124＜1，所以点(1，1)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆相交．故选B ．2．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A ．5B ．6C ．9017D ．7 解析：选C ．椭圆的右焦点为(4，0)，直线的斜率为k ＝1， 所以直线AB 的方程为y ＝x －4， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，x 225＋y 29＝1，得9x 2＋25(x －4)2＝225，由弦长公式易求|AB |＝9017． 3．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．解析：设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0． 答案：x ＋2y －4＝04．已知直线l ：y ＝x －12，椭圆C ：x 2＋4y 2＝4．(1)求证：直线l 与椭圆C 有两个交点； (2)求连接这两个公共点所成线段的长． 解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝4消去y 得5x 2－4x －3＝0．所以Δ＝(－4)2－4×5×(－3)＝76＞0， 所以直线l 与椭圆C 有两个交点． (2)设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝45，x 1·x 2＝－35．所以|AB |＝（y 2－y 1）2＋（x 2－x 1）2 ＝2·（x 2－x 1）2＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝⎛⎭⎫452－4×⎝⎛⎭⎫－35＝2538． 2．已知椭圆x 216＋y 24＝1，求过点Q (8，2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．解：设椭圆中弦的两端点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，弦AB 的中点为R (x ，y )，则2x ＝x 1＋x 2，2y ＝y 1＋y 2．因为A 、B 两点均在椭圆上，故有x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16．两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)． 因为x 1≠x 2，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝－x 4y ．由k AB ＝k RQ 得，－x 4y ＝y －2x －8，得所求轨迹方程为(x －4)2＋4(y －1)2＝20⎝⎛⎭⎫0<x ≤165．四、课堂小结知识结构深化拓展1．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ＜02．设而不求思想解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解．。

2．2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2.明确椭圆标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．,椭圆的简单几何性质1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.()(3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．()(4)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0) C．(－6，0)(6，0) D．(0，6)，(0，－6) 答案：D3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A．32B．34C ．22 D ．23答案：A4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，则m 的取值范围是________．答案：[－5，5]椭圆的简单几何性质求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 【解】 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，所以a ＝3，b ＝2，所以c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．1.对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的几何性质的表述正确的是( )A ．范围相同B ．顶点坐标相同C ．焦点坐标相同D ．离心率相同解析：选D.椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，顶点坐标是(－a ，0)，(a ，0)，(0，－b )，(0，b )，焦点坐标是(－c ，0)，(c ，0)，离心率e ＝c a ；椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b ，顶点坐标是(－b ，0)，(b ，0)，(0，－a )，(0，a )，焦点坐标是(0，－c )，(0，c )，离心率e ＝ca，只有离心率相同．2．设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解：(1)当0＜m ＜4时，长轴长和短轴长分别是4，23，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，顶点坐标为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2，0)，B 2(2，0)．利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c ＝b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法．(2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a 2，b 2的值；③写出标准方程．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； (2)过点(3，0)，离心率e ＝63. 解：(1)设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，2c ＝6，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由题意知a ＝3， 又因为e ＝63，所以c ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，由题意知b ＝3， 又因为e ＝63，所以a 2－b 2a 2＝e 2＝23.即a 2－9a 2＝23.所以a 2＝27.所以椭圆方程为y 227＋x 29＝1.求椭圆的离心率(2016·高考全国卷乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【解析】 法一：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12或e ＝－12(舍去)．法二：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，所以bc a ＝14×2b ，所以e ＝c a ＝12.【答案】 B求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．1.(2017·青岛高二检测)A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________．解析：如图，连接BF 2.因为△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点． 所以F 2B ⊥BF 1.又因为∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， 所以|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 由椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ， 所以ca＝3－1.所以椭圆的离心率e ＝3－1. 答案：3－12．(2017·日照高二检测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形， 所以|OP |＝c ≥b ，即c 2≥a 2－c 2，所以a ≤ 2c ， 因为e ＝ca ，0＜e ＜1，所以22≤e ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，11．椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中a ，b ，c 的几何意义在椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示，即a ，b ，c 正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形．2．椭圆上到中心距离最远和最近的点设点O 为坐标原点，点P (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋b 2a 2（a 2－x 2）＝c 2x 2＋a 2b 2a.因为－a ≤x ≤a ，所以当x ＝0时，|PO |有最小值b ，这时点P 在短轴的端点B 1或B 2处；当x ＝±a 时，|PO |有最大值a ，这时点P 在长轴的端点A 1或A 2处．3．椭圆离心率的意义1．椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x |≤5，|y |≤3 B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：选B.椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上， 所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：选D.由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 24＋y 2＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 216＋y 212＝1解析：选A.圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝42，故2a ＝4，即a ＝2，又e ＝c a ＝12，所以c＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.又椭圆的焦点在x 轴上，所以其标准方程为x 24＋y 23＝1，故选A.4．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．解析：根据题意得2b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9(舍去)． 又因为a 2－b 2＝c 2， 所以a ＝5，c ＝4，故e ＝c a ＝45.答案：45, [A 基础达标]1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8，6B ．4，3C ．2， 3D ．4，2 3解析：选B.过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.故选B.2．(2017·泉州高二检测)已知椭圆x 25＋y 2k ＝1的离心率e ＝105，则实数k 的值为( )A ．3B ．3或253C ． 5D ．15或153解析：选B.当k ＞5时，e ＝c a ＝k －5k ＝105，k ＝253.当0＜k ＜5时，e ＝c a ＝5－k 5＝105，k ＝3.故选B.3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A ．x 2144＋y 2128＝1B ．x 236＋y 220＝1C ．x 232＋y 236＝1D ．x 236＋y 232＝1解析：选D.因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为长轴长为12，所以a ＝6.又椭圆的离心率为13，即c a ＝13，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32，故椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a 2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A ．32B ．12C ．154D ．33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝⎛⎭⎫a 2－1，12可得a 2－1a 2＋14＝1， 解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫22，1B ．⎝⎛⎭⎫0，22 C ．⎣⎡⎭⎫12，1D ．⎣⎡⎭⎫12，22解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝3a 2， 即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为10，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最大值与最小值之和为________．解析：椭圆的长半轴长为10，短半轴长为5，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最小值为5，最大值为10，其和为15.答案：157．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为 3. 解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， 所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.10．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意可得，c ＝1，a ＝2， 所以b ＝ 3.所以所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.因为x 0≠2，所以t ＝14x 0－32.因为－2＜x 0＜2，所以－2＜t ＜－1.所以实数t 的取值范围为(－2，－1)．[B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2·⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63. 答案：6313．(2017·武汉高二检测)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2， 即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得94c 2a 2＋b 24b2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. 14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c 2.① 因为BC 的中点为⎝⎛⎭⎫12，b 2，k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12② 由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c 2b， 即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c 2b. 因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上，所以1－c 2＋b 2－c 2b＝0， 可得(1＋b )(b －c )＝0，因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12， 所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1， 即x 2＋2y 2＝1.。