椭圆方程及性质的应用

椭圆方程及其应用概述椭圆方程是描述平面上椭圆的几何性质的方程。

它是一种二次方程，通常形式为 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。

本文将介绍椭圆方程的基本定义、性质，以及它在不同领域的应用。

基本定义与性质椭圆方程的一般形式为 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。

其中 A、B、C、D、E 和 F 是实数系数，且 A 和 C 不同时为零。

通过对齐次化和变换，椭圆方程可以转化为标准形式：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标，a 和 b 分别是椭圆在 x 和 y 方向上的半长轴长度。

椭圆的离心率定义为 c/a，其中 c 是椭圆的焦点之间的距离。

椭圆方程具有如下性质：1. 椭圆是一个封闭的曲线，其形状类似于圆，但更加拉长。

2. 所有椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数。

3. 椭圆的直径是椭圆上两个离焦点最远的点之间的距离。

4. 椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于 0 时，椭圆接近于圆；当离心率大于 0 但小于 1 时，椭圆呈现出拉长的形状。

应用领域椭圆方程在许多领域中有广泛的应用，以下介绍其中几个典型的应用：1. 天体力学椭圆方程在描述行星、卫星和彗星的轨道时起着重要作用。

行星的轨道通常是近似椭圆的，通过求解椭圆方程可以精确描述行星在椭圆轨道上的运动，从而预测它们的位置和速度。

2. 信号处理在信号处理领域，椭圆滤波器是一种常用的数字滤波器。

椭圆滤波器的频率响应可以用椭圆方程来描述，它具有可调节的通带和阻带波纹特性，能够实现比其他常见滤波器更陡峭的过渡带和更小的波纹。

3. 地理学在地理学中，椭圆方程被广泛用于描述地球的形状。

根据地球的形状和椭圆方程的参数，可以计算出地球的椭球体参数，如长半轴、短半轴和离心率，从而精确地描述地球的地理特征。

第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用学 习 任 务 核 心 素 养1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养． 2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.类比点与圆的位置关系，点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有怎样的位置关系？知识点1 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； 点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.1.(1)点P (2,1)与椭圆x 24＋y 29＝1的位置关系是________． (2)若点A (a ,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________． (1)点P 在椭圆外部 (2)(－2，2) [(1)由224＋129>1知，点P (2,1)在椭圆的外部．(2)∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.]类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？知识点2 直线与椭圆的位置关系 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． (2)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2 ＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． ( )(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与点P (b ,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( ) (3)直线y ＝k (x －a )(k ≠0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．( )[提示] (1)√ 根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大． (2)× 因为P (b ,0)在椭圆内部，过点P 作不出椭圆的切线．(3)√ 直线y ＝k (x －a )(k ≠0)过点(a ,0)且斜率存在，所以直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．类型1 直线与椭圆的位置关系【例1】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[解]直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．直线与椭圆位置关系的判断方法[跟进训练]1．在平面直角坐标系Oxy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．[解] 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.类型2 弦长和中点弦问题【例2】 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横(纵坐标)之和可求，由此思考解决问题的方法.[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 又直线AB 过点M (2,1)，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. (2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.1．本例中把条件改为“点M (2,1)是直线x ＋2y －4＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．[解] 设直线与椭圆的两交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 由x 21a 2＋y 21b 2＝1和x 22a 2＋y 22b 2＝1，得4(x 1－x 2)a 2＝－2(y 1－y 2)b 2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2b 2a 2.又x ＋2y －4＝0的斜率为－12，∴b 2a 2＝14. 所以椭圆的离心率为e ＝ca ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－14＝32.2．把本例条件中“使弦被M 点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P 的轨迹方程．[解] 设弦的中点为P (x ，y )，两端点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1.∴2x (x 1－x 2)16＝－2y (y 1－y 2)4，从而k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 4y .又k l ＝k PM ＝y －1x －2，∴－x 4y ＝y －1x －2.整理得x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.故轨迹方程为x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.(椭圆内的部分)试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．[提示] ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程；③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．[跟进训练]2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] 因为直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.法一：解方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以|AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432 ＝1259＝553.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0消去y 得3x 2－5x ＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0， 则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB ) ＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.类型3 直线与椭圆的最短距离问题【例3】 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， 由Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 得m 2＝16，∴m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4即3x －2y －8＝0距l 最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y ＝32x －4与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为 d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 27＝1，y ＝32x －4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－74，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.[跟进训练]3．已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， 由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.类型4 与椭圆有关的综合问题【例4】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝－x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值．[解] (1)由题意可得M (0，b )，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得12a 2＝1，b ＝c ，且a 2－b 2＝c 2，解得b ＝c ＝1，a ＝2，则椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，－x ＋m ＝y⇒3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0，有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0， 即－3<m <3，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－23，可得AB 中点横坐标为2m3， |AB |＝1＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·16m 29－8m 2－83＝433－m 2，以AB 为直径的圆与y 轴相切， 可得半径r ＝12|AB |＝2|m |3， 即233－m 2＝2|m |3，解得m ＝±62∈(－3，3)，则m 的值为±62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单． (3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．[跟进训练]4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2,0)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (4,0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝2，又e ＝c a ＝22，得c ＝ 2.由a 2－b 2＝c 2得b 2＝a 2－c 2＝2. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)若存在点Q (m ,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°， 则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2. 等价于k 1＋k 2＝0.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以Δ＞0. 即(16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＞0，解得k 2＜16.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1，y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， 令k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝0，(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，当k ≠0时，2x 1x 2－(m ＋4)(x 1＋x 2)＋8m ＝0， 化简得，8(m －1)2k 2＋1＝0，所以m ＝1.当k ＝0时，也成立．所以存在点Q (1,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°.1．若点P (a ,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．相交或相切A [把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1， 得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离．]3．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12D [由可知a ＝5，b ＝3，c ＝52－32＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.]4．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52 [由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)≥0， 即－4m 2＋5≥0，解得－52≤m ≤52.]5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F (c ,0)的弦中最短弦长是________． 2b 2a [最短弦是过焦点F (c ,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c ，y )的坐标代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，故最短弦长是2b 2a .]回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？[提示]三种位置关系：相交、相切、相离．解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．(2)当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．[提示]|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋12－4y1y2.k2·(y1＋y2)(3)如何处理椭圆的中点弦问题？[提示]①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．②点差法：设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是此类问题最常用的方法．。

椭圆方程a和b椭圆是一种常见的几何形状，它在数学和科学中有着广泛的应用。

椭圆的方程可以用一对参数a和b来表示，其中a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴。

本文将介绍椭圆方程的基本概念、性质以及一些应用。

一、椭圆方程的基本概念椭圆可以定义为平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。

这两个固定点被称为焦点，它们分别位于椭圆的长轴两侧。

椭圆的方程可以用坐标系中的参数表示，其中横坐标x和纵坐标y 满足以下方程：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1这就是椭圆的标准方程，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。

根据a和b的取值，椭圆可以是一个圆形（a=b），也可以是一个长条形（a>b）或者是一个扁平的形状（a<b）。

二、椭圆的性质椭圆具有一些独特的性质，下面我们将介绍其中的一些重要性质：1. 焦点性质：椭圆上的任意一点到焦点的距离之和等于常数2a。

这个性质决定了椭圆的形状和大小。

2. 对称性质：椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。

也就是说，如果(x, y)是椭圆上的一点，则(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是椭圆上的点。

3. 切线性质：椭圆上的切线与椭圆的长轴和短轴垂直。

这个性质可以用来确定椭圆上的切线方程。

4. 参数方程：椭圆也可以用参数方程描述。

参数方程的形式为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中t是参数的取值范围。

三、椭圆的应用椭圆在物理学、工程学和天文学等领域有着广泛的应用。

下面列举几个常见的例子：1. 天体轨道：行星、卫星和彗星的轨道可以用椭圆来描述。

行星围绕太阳运动的轨道就是一个椭圆。

2. 光学器件：椭圆镜、椭圆透镜等光学器件的设计和制造涉及到椭圆方程的应用。

这些器件可以将光线聚焦到特定的点上。

3. 电子学：椭圆在微波天线和天线阵列的设计中有着重要的应用。

椭圆形状的天线可以实现特定的辐射模式和指向性。

4. 机械设计：椭圆齿轮可以用来传递旋转运动，广泛应用于机械传动系统中。

椭圆方程参数方程1. 引言椭圆是数学中的一种曲线，具有特殊的几何性质和参数方程。

本文将介绍椭圆方程的参数方程以及相关的几何性质和应用。

2. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。

称F1和F2为椭圆的焦点，a为椭圆的半长轴。

椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

3. 椭圆的几何性质椭圆具有许多特殊的几何性质。

首先，椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即椭圆是一个凸曲线。

其次，椭圆的焦距等于2a*e，其中e 为离心率。

此外，椭圆的面积可以表示为πab，其中π为圆周率。

椭圆还具有对称性，即关于x轴和y轴对称。

4. 椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程在实际应用中有广泛的应用。

例如，在天文学中，椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳公转的轨道。

在物理学中，椭圆的参数方程可以用来描述电子在磁场中的运动轨迹。

在工程学中，椭圆的参数方程可以用来设计椭圆形的建筑物或物体。

5. 椭圆的相关公式除了参数方程之外，椭圆还有一些重要的公式。

椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

6. 椭圆的应用举例椭圆的参数方程在实际生活中有许多应用。

例如，在地理学中，椭圆的参数方程可以用来描述地球的形状。

在航天工程中，椭圆的参数方程可以用来计算卫星的轨道。

在电子工程中，椭圆的参数方程可以用来设计天线的形状。

7. 总结通过本文的介绍，我们了解了椭圆方程的参数方程及其几何性质和应用。

椭圆是一种具有特殊几何性质的曲线，可以通过参数方程来描述。

椭圆的参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用，可以用来描述天体运动、轨道设计以及物体形状等。

掌握椭圆方程的参数方程，对于深入理解椭圆的性质和应用具有重要意义。

第2课时椭圆方程及性质的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．3．情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．●重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．●教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．(重点)2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)点与椭圆的位置关系【问题导思】点与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.直线与椭圆的位置关系【问题导思】1．直线与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：相离、相切、相交．2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 不能．3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 代数法．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ＜0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1相交、相切、相离？【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ②将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝－5或m ＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线y ＝x －12与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．【解】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝2，消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0，(*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．直线与椭圆相交问题已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？ 【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12.这时直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0.由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4. 1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2求解．2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上， ∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①显然x 1≠x 2， 故由①得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2. ②又点P (－1,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③把③代入②得：k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.与椭圆相关的实际应用问题 图2－1－3如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【思路探究】 恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52b2＝1，又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)．因此隧道的拱宽约为33.3米．1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论． 有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形， 所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称． 已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ， 则椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)， 则有1＝x 20502＋y 20302≥2x 20502·y 20302＝2x 0y 01 500， 当且仅当x 20502＝y 20302＝12，即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).(对应学生用书第27页) 运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】 【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.2分(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，4分 由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 (－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)， 直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. 7分(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.10分但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．直线与椭圆相交的弦长公式： |P 1P 2|＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k2或|P 1P 2|＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]1＋1k 2.2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.(对应学生用书第28页)1．下列在椭圆x 24＋y 22＝1内部的点为( )A ．(2，1)B ．(－2，1)C ．(2,1)D ．(1,1)【解析】 点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．【答案】 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3， 椭圆焦点坐标为(±3，0)． 【答案】 A3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)【解析】 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．【答案】 C4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 24＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2AB ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·532－4×0＝553.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．3x －2y －4＝0 C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】 根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【解析】 若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】 A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·济宁高二检测)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线方程联立消去x 得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及c ＝2得a 2＝7，∴2a ＝27.【答案】 277．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a＝cb 2＋c2＝c2c＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m1＋2m＝2－1.【答案】2－1或228．(2013·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积)．【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2. 证明：1k 1－3k 2＝2.【解】 因为椭圆过点(1，22)，e ＝22， 所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1， 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1， 因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0，又x 0＋y 0＝2， 所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2. (教师用书独具)(2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.(2013·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 22＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 22－2a 3a 2＋b2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.则3b 22＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 22－2a3a 2＋b 2. 解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5. ∴b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。

椭圆的性质及其用法⑴椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=＞＞ 焦点为12(,0),(,0)F c F c -。

焦点为12(0,),(0,)F c F c -的椭圆的方程：22221y x a b+=(0)a b ＞＞ 122PF PF a +=。

以上两种方程都叫做椭圆的标准方程（其中222b ac =-）。

例：已知一个贮油罐横截面的轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程。

解：以两焦点12,F F 所在直线为x 轴，线段12,F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则这个椭圆的标准方程为： 22221(0)x y a b a b+=＞＞ 根据题意23a =，2 2.4c =即： 1.5a =， 1.2c =∴222221.5 1.20.81b a c =-=-=因此，这个椭圆的标准方程： 2212.250.81x y +=。

⑵椭圆的几何性质：①范围： 由方程22221x y a b+=可知，椭圆上任意一点的坐标(,)x y 都满足222211x y a b =-≤ 即：22x a ≤∴a x a -≤≤ b y b -≤≤②对称性：椭圆是关于x 轴、y 轴和原点都对称的图形，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

③顶点：在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，这说明点12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点；点12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点。

这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆的顶点。

线段1212,,,A A B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b 。

④离心率： 焦距与长轴长的比c a叫做椭圆的离心率，记为(0,1)e ∈。

当c a 越接近于0时，椭圆越接近于圆；当c a 越接近于1时，椭圆越扁，随着c a 的增大，椭圆越来越扁。

2。

1.3椭圆方程及性质的应用（学案）一、知识梳理1、椭圆的长轴长为_____,短轴长为______，离心率为_______离心率的范围________，e 越接近0，椭圆越_________,e 越接近1，椭圆越________________2、其中11OB F ∆的各边之间有什么特征？3。

焦点位置 x 轴y 轴标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形,x y 范围对称性 关于 对称两轴 焦距 a 、b 、c 关系长轴 长半轴 短轴 短半轴长轴 长半轴 短轴 短半轴 焦距 关系xyO1F1B4.若直线b kx y +=与椭圆相交于两点),(),,(2211y x Q y x P ，联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax ，则有:（1）ABx x A B x x =-=+2121,. （2）弦长2122122122212214)(1||1)()(||x x x x k x x k y y x x PQ -+•+=-+=-+-=。

二、典例解析 例1：判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系.例2：已知直线l ：m x y +=与椭圆1422=+y x 交于A 、B 两点，当m 变化时，求弦AB 的最大值。

例3:已知(4,2)M 是直线l 被椭圆22436xy +=所截得的线段的中点，求直线l 的方程.例4：AB 是过椭圆12422=+y x 的左焦点F 倾斜角为3π的弦，则求AB 的长。

例5：已知点(1,1)A ，1F 是椭圆22195x y +=的左焦点,P是椭圆上任意一点,求1||||PF PA +的最大值和最小值。

三、当堂检测1、椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则||ON 等于（ ）A 、2B 、4C 、8D 、322、AB 是过椭圆12422=+y x 的左焦点F 倾斜角为3π的弦，则AB 的长为( ）A 76 B716C 67 D167 3、直线x-y —m=0与椭圆=+292y x 1有且只有一个公共点，则m 的值是（ ）A 10B 10± C10± D104、直线y ＝kx+1与椭圆1522=+my x总有公共点,则m 的取值范围为（ ） A m>1 B m ≥1或0<m 〈1 C 0<m 〈5且m ≠1 D m≥1且m ≠55、已知直线2+=kx y 与椭圆12322=+y x ，当k 为何值时，直线与椭圆相交、相切、相离？6、已知椭圆221259x y +=内有一点(2,1)A ,1F 为左焦点,P 是椭圆上动点,求1||||PF PA +的最大值和最小值。

椭圆方程的基本性质及其应用椭圆方程是数学中一个重要的概念，它在不同领域的问题中都有着广泛的应用。

本文将介绍椭圆方程的基本性质以及其在实际问题中的应用。

一、椭圆方程的基本性质椭圆方程是指形如 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f =0$ 的二次方程，其中 $a,b,c,d,e,f$ 都是实数且 $a,b,c$ 不全为零。

其图像是一个椭圆或一个退化的椭圆，例如两条直线。

椭圆方程的基本性质包括：1. 椭圆方程的系数矩阵是一个实对称矩阵。

（这个可以通过对称性来证明）2. 椭圆方程对应的椭圆可以通过平移、旋转、缩放三个基本变换得到。

3. 椭圆方程的解法可以通过配方法，化为标准形式后求出$x$ 和 $y$ 的值。

4. 椭圆方程的根的个数在不同条件下是有区别的。

当它有两个不同实根时，对应的椭圆方程图像是两条直线；当它有两个共轭复根时，对应的椭圆方程图像是一个退化的椭圆；当它有两个不同实根和一个共轭复根时，对应的椭圆方程图像是一个椭圆。

二、椭圆方程的应用椭圆方程在各个领域的问题中都有着广泛的应用，下面仅列出一些典型的例子。

1. 机械工程：在机械运动学中，椭圆方程可以用于描述转矩传递的行为。

例如，当一个椭圆形轮廓的齿轮与一个圆形轮廓的齿轮啮合时，它们之间的传递角速度可以通过椭圆方程来计算。

2. 电磁学：在电磁场中，椭圆方程可以用于描述电场和磁场的分布。

例如，当一个二元球对称的电场在两个直接相交的平面上被截面后，这两个截面形成的几何形状是一个椭圆。

3. 经济学：在经济学中，椭圆方程可以用于描述生产生态系统的生物量和体积之间的关系。

例如，如果一个生态系统中的物种的生物量是椭圆形的，那么它们之间的相互影响可以通过椭圆方程来描述。

4. 物理学：椭圆方程在物理学中也有着广泛的应用。

例如，当一个由两个质点组成的系统的轨迹是椭圆形时，它们之间的相互作用可以用椭圆方程来计算。

三、总结椭圆方程作为数学中一个重要的概念，在各个领域的问题中都有着广泛的应用。

椭圆的性质大总结椭圆是我们常见的几何图形之一，具有独特的形状和性质。

在数学和物理学中，椭圆的性质和应用非常广泛，涉及到许多重要的概念和定理。

在本文中，我们将对椭圆的各种性质进行总结，并探讨其在现实世界中的一些应用。

一、椭圆的定义和基本性质椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个特定点的距离之和等于常数的所有点的轨迹。

这两个特定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆还具有以下基本性质：1. 椭圆是对称图形，具有中心对称性。

即椭圆上的任意一点关于中心对称点都存在。

2. 椭圆的两个焦点和中心在同一条直线上，并且中心距离两个焦点的距离等于a，即椭圆的长轴长度。

3. 椭圆的离心率满足0<e<1的条件。

当离心率e=0时，得到一个圆；当离心率e=1时，得到一个拋物线。

二、椭圆的参数方程与极坐标方程椭圆的一种常用参数方程可以表示为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b为椭圆的长半轴和短半轴。

这个参数方程可以将椭圆表示为以原点为焦点的平面曲线。

而椭圆的极坐标方程可以表示为：r = (a * b) / √(a^2 * sin^2θ + b^2 * cos^2θ)其中r是距离原点的距离。

三、椭圆的周长和面积椭圆的周长可以通过积分计算得到，其公式为：C = 4a * E(e)其中E(e)是椭圆的柯西数，满足以下积分表达式：E(e) = ∫(0 to π/2) √(1 - e^2*sin^2θ) dθ椭圆的面积可以通过以下公式计算：S = π * a * b四、焦准线和近心点椭圆的焦准线是由椭圆上各点到两个焦点垂直于长轴的连线组成的直线。

这些焦准线在离心率不等于0的椭圆中可以证明是相交于椭圆的坐标轴的。

椭圆的近心点是离两个焦点距离之和与椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数的点。

近心点与椭圆的中心之间的距离等于离心率乘以椭圆的长轴长度。

五、椭圆的应用椭圆在生活和科学研究中有着广泛的应用。

椭圆的定义、标准方程与应用（例题详解）一、定义类：1、椭圆定义：椭圆是一种中心对称的图形，即椭圆的中心点与形状对称，可以通过对称轴对椭圆进行对称变换。

具体而言，当你沿着对称轴将椭圆的一段变换至另一段时，整个椭圆的线段形式都不变。

椭圆也有自己的焦点，它是椭圆的特征，椭圆上每个点到它的焦点之间的距离总是一定的。

如果一个图形有以上特征，那么它就可以称为椭圆。

2、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| + |PB| = 4，求点P的轨迹。

3、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| - |PB| = 2，求点P的轨迹。

二、椭圆的标准方程：1、椭圆的标准方程是一种二次曲线函数，是用来表达椭圆的函数。

2、椭圆的标准方程有两种形式，一种是椭圆的极坐标方程，一种是椭圆的笛卡尔坐标方程。

3、椭圆的极坐标方程为：①、$$r=frac{acdot b}{sqrt{a^2cdot sin^2theta + b^2cdot cos^2theta}}$$。

②、a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$theta$是弧度。

4、椭圆的笛卡尔坐标方程为：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$(x,y)$是椭圆上一点的坐标。

三、椭圆的面积和周长：1、椭圆的面积可以使用一下公式来计算：$$S = picdot a cdot b$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，S是椭圆的面积。

2、椭圆的周长也可以使用一下公式来计算：$$L = picdot sqrt{2a^2+2b^2}$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，L是椭圆的周长。

四、标准形式类：1、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（2，1）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y-1=k(x-2)，求k的取值范围。

2、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（0，2）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y=x+2，求k的取值范围。

解析几何中的椭圆曲线方程解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何对象的性质和关系。

椭圆曲线方程是解析几何中的一个重要概念，与密码学、数论等领域密切相关。

本文将通过数学原理和实例分析，深入探讨椭圆曲线方程的基本概念、性质和应用。

一、基本概念椭圆曲线方程是平面内一条特殊的曲线，它的形状像一个扁圆的椭圆，通常被用来解决密码学问题。

在数学上，椭圆曲线方程可以用一般形式表示为：y^2 = x^3 + ax + b其中，a和b为常数，且4a^3 + 27b^2 ≠ 0。

这个条件是为了保证椭圆曲线的形状是一个完整的曲线，而不是一条抛物线或双曲线等。

椭圆曲线方程的图像通常呈现一个钟形曲线，其中心点称为“原点”。

二、性质椭圆曲线方程在解析几何中有很多重要的性质。

其中，最重要的性质是它的离散对数难题，即基于椭圆曲线的密码学算法通常很难被攻破。

这是因为在椭圆曲线上的加法可以实现离散对数问题，这种特性让椭圆曲线方程在密码学中扮演了重要的角色。

椭圆曲线方程还有一个重要的性质是其对称性，即当有一条直线通过椭圆曲线的两个不同点时，这条直线必定与椭圆曲线交于第三个点。

这个点称作这两个点关于椭圆曲线的对称点。

这个性质在密码学中也有很大的应用，比如用来实现数字签名和身份验证。

三、应用椭圆曲线方程在密码学中被广泛应用，它被认为是一种更安全、更高效的加密算法。

在公钥密码学中，基于椭圆曲线的算法可以用来实现数字签名、密钥交换和身份验证等功能。

椭圆曲线算法的优点在于，它可以实现相同的安全级别下，使用更短的密钥长度。

这使得基于椭圆曲线的算法，对于移动设备和嵌入式系统等资源受限的环境，具备更好的适用性。

除了密码学，椭圆曲线方程还有其他应用。

例如，它在图像处理和计算机图形学中也被广泛应用。

在这些领域，椭圆曲线方程可以用来建模和描述复杂的曲线和曲面。

四、结论总的来说，椭圆曲线方程是解析几何中的一个重要概念，它有很多重要性质和应用。

在密码学中，基于椭圆曲线的算法被广泛应用，具有更高的安全性和更高的效率。