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170第七节 斯托克斯公式一、斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。
格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面 ∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线的曲线积分联系起来，这个联系可陈述如下；定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑ 是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数P （x,y,z ）、Q （x,y,z ）、R （x,y,z ）在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx (1)公式（1）叫做斯托克斯公式。
为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式（1）写成⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,Rdz Qdy Pdx RQ P z y x dxdy dzdx dydz把其中的行列式按第一行展开，并把y ∂∂ 与R 的积 理解成为 zy R ∂∂∂∂, 与Q 的“积” 理解成为zQ∂∂ 等等，于是这个行列式就“等于“ dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ 这恰好是公式（1）左端的被积表达式。
利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,cos cos cos Rdz Qdy Pdx dS RQ P z y x γβα 其中n=（ γβαcos ,cos ,cos ）为有向曲面∑在点(x,y,z) 处的单位法向量。
171如果 是xOy 面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。
因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。
例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分⎰Γ++ydz xdy zdx ，其中Γ为平面x+y+z=1 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则(图10-13)解 按斯托克斯公式，有⎰⎰⎰Γ∑++=++dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于 ∑的法向量的三个方向余弦都为正，又由于对称性，上式右端等于⎰⎰xyD d ,3σ其中 xy D 为xOy 面上由直线x+y=1及两条坐标轴围成的三角形区域，因此⎰Γ=++23ydz xdy zdx 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分()()(),222222dz y x dy x z dx z y I -+-+-=⎰Γ其中Γ是用平面x+y+z=23截立方体 (){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤z y x z y x的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向。
斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。
这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。
斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。
注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。
例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。
6 纳斯—斯托克斯方程（N —S 方程）在所有的惯性系都成立首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N S -方程：任取一体积为τ的流体如图1所示，设其边界面为S ，根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和.以F 表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而n p 表示作用于单位面积上的面力分布函数.则作用在τ上和S 上的总质量力和面力为ρδτ⎰F及sS δ⎰n p其次，体积τ内的动量是τρδτ⎰v于是，动量定理可写成下列表达式：s dS dt ττρδτρδτδ=+⎰⎰⎰n v F p（1）利用公式d d dt dtττρδτρδτ=⎰⎰aa ，得： d d dt dtττρδτρδτ=⎰⎰vv (2)再利用的是高斯公式得：div sss P s P τδδδτ==⎰⎰⎰n p n（3）其中P 是应力张量.将（2）和（3）式代入（1）式，整理得：(div )0d P dtτρρδτ--=⎰vF 因τ任意，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，即div d P dtρρ=+vF（4）（4）式就是微分形式的动量方程，易见，它与坐标系的选取无关，下面将写出它在曲线坐标下的形式.因为123(,,,)q q q t =v v故312123dq dq dq d dt t q dt q dt q dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v 图1112233112233111()/H dq H dq H dq dt t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v 312123()ds ds ds t s dt s dt s dt ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v（5）上式中利用到等式：111ds H dq =，222ds H dq =，333ds H dq =现在进一步处理（5）式右端的第二项112233v e v e v e =++v ，根据定义有312123,,ds ds ds v v v dtdtdt===故123123()d v v v dt t s s s ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v （6）又1111223311()v v v e v e v e s s ∂∂=++∂∂v 111223311()v v e v e v e H q ∂=++∂ 33112121231231111111()v e v v v e ee e e v v v H q q q q q q ∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂（7）考虑到：11123122332111223111331111e H H e e q H q H q e H e q H q e H e q H q ⎧∂∂∂=--⎪∂∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪⎪∂∂=⎪∂∂⎩ （8） 12221122231233113222331111e H e q H q e H H e e q H q H q e H e q H q ⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂∂=--⎨∂∂∂⎪⎪∂∂=⎪∂∂⎩ （9）31331132332233312311221111H e e q H q H e e q H q e H H e e q H q H q ⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪⎪∂∂∂=--⎪∂∂∂⎩ （10） 将上面的（8）式代入（7）中，整理得，331121112111111123111223311221133()()()v v v v v H H v v v H v v H v e e e s H q H q H q H q H q H q H q ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++-+-∂∂∂∂∂∂∂∂v同理332122221222222123222112211332333()()()v v v v v H v v v H H v v H v e e e s H q H q H q H q H q H q H q ∂∂∂∂∂∂∂∂=-++++-∂∂∂∂∂∂∂∂v将11v s ∂∂v ，22v s ∂∂v ，33v s ∂∂v表达式代入（6）式，得 311211112233[()v v v v v v d dt t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v 2213331211221122133121131]v v v H v v H H v H e H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂ 312222112233[()v v v v v v H q H q H q ∂∂∂+++∂∂∂2223332122112211233122232]v v v H v v H H v H e H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂ 333312112233[()v v v v v v H q H q H q ∂∂∂+++∂∂∂2213323311223131232133233]v v H v v H v H v H e H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂ （11） 因为112233v e v e v e =++v 所以312123v v v e e e t t t t∂∂∂∂=++∂∂∂∂v 速度1v 的随体导数31111121123ds dv v v ds v ds v dt t s dt s dt s dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂3111211112233v v v v v v v t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 同理可得32221222123ds dv v v ds v ds v dt t s dt s dt s dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 3212222112233v v v v v v v t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 33333312123dv v v v v ds ds ds dt t s dt s dt s dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 3333312112233v v v v v v v t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 所以（11）式可简化为22133311211221122133121131()v v v H dv v v H H v H d e dt dt H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂=++--∂∂∂∂v22233322122112211233212232()v v v H dv v v H H v H e dt H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂+++--∂∂∂∂ 22331332311223311322313323()dv v v H v v H v H v H e dt H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂+++--∂∂∂∂ 至此，我们将d dtv表示成曲线坐标系下的形式了. F 在曲线坐标系下表示成: 112233F e F e F e =++F最后，我们将div P 表示成曲线坐标系下的形式. 应力张量P ：111213212223313233p p p P p p p p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，共九个量 可以证明应力张量P 是对称张量，所以也可以将P 写成111231122223312333p p p P p p p p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其在曲线坐标面上表示为111112231321212222333311232333P p e p e p e P p e p e p e P p e p e p e=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 由()()()1232313121231231a H H a H H a H H div H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦a 式得：()()()1232313121231231PH H P H H P H H div P H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦ （12）其中()()()12323123111122313111PH H H H P H H p e p e p e q q q ∂∂∂=+++∂∂∂ ()233111121231231111H H p p p P H H e e e q q q q ∂⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 31223111231111e e eH H p p p q q q ⎛⎫∂∂∂+++ ⎪∂∂∂⎝⎭同样把11e q ∂∂、21e q ∂∂、31e q ∂∂用（8）式代替得 ()()123233111121112311112233PH H H H p p p H H P H H e q q q H q H q ∂∂⎛⎫∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂∂⎝⎭3112111111232233122133p p p H p H H H e H H e q H q q H q ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-+-⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ （13） 考虑到()()()()2323232311111223131111H H H H H H H H P p e p e p e q q q q ∂∂∂∂=++∂∂∂∂()()231123111112311111H H p H H p p e H H e e q q q ∂∂∂+=∂∂∂()()231223121222322111H H p H H pp e H H e e q q q ∂∂∂+=∂∂∂()()233123313132333111H H p H H pp e H H e e q q q ∂∂∂+=∂∂∂因此可将（13）式化为：()()1231123311211231122331PH H p H H p p H H H H e q H q H q q ⎡⎤∂∂⎛⎫∂∂=++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦()1223111232122p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦()3123111233133p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦同理：()()23112312223112211P H H p H H p H H H e q q H q ∂∂⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂∂⎣⎦()223123312231211332p H H p H p H H H e H q H q q ⎡⎤∂⎛⎫∂∂+++⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦()2331222313233p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦()()31231123331213311P H H p H H p H H H e q q H q ∂∂⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂∂⎣⎦()2312333122322p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦()331231323312311223p H H p H p H H H e H q H q q ⎡⎤∂⎛⎫∂∂+++⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦将以上三式代入（12）式，得()()()1123123131121231231div p H H p H H p H H P H H H q q q ⎧∂∂∂⎡⎤⎪=++⎨⎢⎥∂∂∂⎪⎣⎦⎩3133312112221122133121131p p H p H H p H e H H q H H q H H q H H q ⎫∂∂∂∂++--⎬∂∂∂∂⎭()()()1223223123121231231p H H p H H p H H H H H q q q ⎧∂∂∂⎡⎤⎪+++⎨⎢⎥∂∂∂⎪⎣⎦⎩2333312221112121233122232p p H p H H p H e H H q H H q H H q H H q ⎫∂∂∂∂++--⎬∂∂∂∂⎭()()()3123233133121231231p H H p H H p H H H H H q q q ⎧∂∂∂⎡⎤⎪+++⎨⎢⎥∂∂∂⎪⎣⎦⎩3132331112223131232133233p H p H p H p H e H H q H H q H H q H H q ⎫∂∂∂∂++--⎬∂∂∂∂⎭（14）至此，已将d dtv、F 、div P 全部表示成曲线坐标系下的形式，将其都代入（4）式，并考虑对应项相等原则，有2213331121122122133121311v v v H dv v v H H v H dt H H q H H q H H q H H q ρ⎛⎫∂∂∂∂++-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭()()()12311311212311231231F H H p H H p H H p H H H q q q ρ⎡⎤∂∂∂=+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦313331211222122133121311p p H p H H p H H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂()15a2223332212211211233212232v v v H dv v v H H v H dt H H q H H q H H q H H q ρ⎛⎫∂∂∂∂++-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()()12232231231221231231p H H p H H p H H F H H H q q q ρ∂∂∂⎡⎤=+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦233331222111121233122232p p H p H H p H H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂（15b ）2233133231122311322313323dv v v H v v H v H v H dt H H q H H q H H q H H q ρ⎛⎫∂∂∂∂++-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()()31232331331231231231p H H p H H p H H F H H H q q q ρ∂∂∂⎡⎤=+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦313233111222131232133233p H p H p H p H H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂（15c ）（15）式就是曲线坐标系下的N S -方程的具体形式.。
