第十三章 达朗贝尔原理

第十三章 达朗贝尔原理典型例题例１３．1 汽车连同所载货物的质量是m ，质心C 距地面的高度是h ，汽车的前，后轮轴到通过质心的铅垂线的距离分别是b 和c ，如图所示．如果不计车轮的质量，当汽车以加速度a 沿水平直线道路行驶时，求前，后车轮给路面的铅垂压力．解 取汽车为研究对象，如图所示，汽车实际承受的外力有重力G ，地面铅直反力NA F 和NB F ，摩擦力sA F 和sB F ，其中主动轮B 的摩擦力sB F 水平向前，而被动轮A 的摩擦力sA F 则水平向后．因不计车轮质量，整个汽车做平动，在其质心C 上虚加惯性力系的合力ma F IR -=． 汽车所受的外力和虚加的惯性力构成矢量平衡关系，因而可写出汽车的动态平衡方程0=∑AM ： 0)(=+-+c b F Gb h F NB IR （１） 0=∑BM： 0)(=++-c b F Gc h F NB IR （２）由式（１）和式（２）求得地面对车轮的铅直反力c b ah gc m F NA +-=)( （a ）cb ah gb m F NB ++=)( （b ）前，后车轮给路面的压力与相应的铅直反力NA F 和NB F 大小相等，方向相反． 讨论１．虚加惯性力后，与汽车实际所受外力（包括主动力和约束力）构成矢量平衡关系，因而可任取未知力的交点为矩心，写出力矩平衡方程后简便求解，这正是根据达朗贝尔原理，采用动静法解题的优点．２．由式（a ）和式（b ）知，当加速度a 增大时，前轮的反力NA F 减小，而后轮的反力NB F 增大．因而使阻碍汽车前进的前轮摩擦力A F 减小，同时使驱动汽车前进的后轮摩擦力B F 增大．当gc ah 时，0 NA F ，表明这时汽车的前轮将抬起并脱离路面，0=NA F ；这种情况在赛车比赛时可出现．例１３．２ 复摆的质量为m ，可绕光滑水平轴O 转动，质心C 到转轴O 的距离b OC =，它对通过质心C 并与图面垂直的轴的回转半径为C ρ．开始时0OC 对铅直线的偏角为0ϕ，然后无初速地释放，试根据达朗贝尔原理，用动静法求复摆OC 与铅直线成偏角ϕ时支承O 的约束力．解 复摆作定轴转动，根据达朗贝尔原理，在点O 虚加切向惯性力Ct tIR ma F -=和法向惯性力Cn nIR ma F -=并沿,,ϕ反向虚加矩为,,ϕO J 的惯性力偶后，与真实作用在复摆上的主动力mg 和约束力Ox F 和Oy F 共同构成平面平衡力系，如图１３.２（a ）所示．其中，,,ϕb a Ct =，2,ϕb a Cn =．于是可写出动态平衡方程0)(=∑F M O： 0sin ,,=--ϕϕO J mgb （１）0=∑xF： 0sin cos =+-ϕϕnIR tIR Ox F F F即 0s i n c o s =+-ϕϕCn Ct Ox ma ma F 故 0s i n c o s 2,,,=+-ϕϕϕϕmb mb F Ox （２） 0=∑yF： 0cos sin =---ϕϕnIR t IR Oy F F mg F即 0c o s s i n 2,,,=---ϕϕϕϕmb mb mg F Oy （３）由式（１）得ϕρϕϕsin sin 22,,bbgJ mgb CO+-=-= （４）对上式积分ϕϕρϕϕϕϕϕd bbgd C ⎰⎰+-=0,sin 22,,得)cos (cos 20222,ϕϕρϕ-+=bbgC （５）将式（４）和式（５）代入式（２）和式（３），最后求得支承O 的约束力mgb bF COx )cos 3cos 2(sin 0222ϕϕϕρ-+=mg bbmg F COy )]cos (cos cos 2sin [02222ϕϕϕϕρ-+-++=讨论１．复摆的惯性力系还有如下两种简化方法：（１）复摆的定轴转动也是刚体平面运动的特殊情况，因此，也可按平面运动刚体的类型虚加惯性力系，即在复摆的质心C 上虚加切向惯性力Ct tIR ma F -=和法向惯性力Cn n IR ma F -=，并在复摆上虚加与,,ϕ反向的矩为,,ϕO J 的惯性力偶，如图１３.２（b ）所示．（２）把图１３.２（a ）中的惯性力和惯性力偶进一步合成为作用在图１３.２（c ）点H的惯性力Ct t IR ma F -=和Cn nIR ma F -=，点H 到点O 的距离b bmb b m FJ OH CC t IR O +=+==2,,,,22,,)(ρϕϕρϕ２．本例介绍了定轴转动刚体的惯性力系简化结果的３种方法，其中惯性力恒等于C IR ma F -=或 )()(Cn Ct nIR t IR IR ma ma F F F -+-=+=由于惯性力IR F 的作用点不同，它可虚加在图１３.２中定点O ，质心C 或点H ，相应的惯性力偶矩分别为,,ϕO J ，,,ϕC J 或0，其旋向恒与角加速度,,ϕ反向．。

第四部分 分析力学第13章 达朗贝尔原理上面几章我们是以牛顿定律为基础研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点和质点系动力学问题的普遍定理。

这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法——达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。

它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。

13.1 达朗贝尔原理13.1.1惯性力·质点的达朗贝尔原理设非自由质点的质量为m ，加速度为a ，作用在质点上的主动力为F ，约束力为N F ，如图13-1所示。

根据牛顿第二定律，有 将上式移项写为0=m +a F F N - （13-1）引入记号a F I m =- （13-2）式（13-1）成为0=++I F F F N （13-3）其中，I F 具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。

式（13-3）是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为质点的达朗贝尔原理。

此原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的。

利用达朗贝尔原理在质点上虚加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进行求解的方法称为动静法。

应当指出：（1）达朗贝尔原理并没有改变动力学问题的性质。

因为质点实际上并不是受到力的作用而真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上的主动力、约束力在形式上构成平衡力系。

（2）惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。

例如，系在绳子一端质量为m 的小球，以速度v ，用手拉住小球在水平面内作匀速圆周运动，如图13-2所示。

小球受到绳子的拉力F ，使小球改变运动状态产生法向加速度n a ，即n m =a F 。

小球对绳子的反作用力n m ==a F F --′，这是由于小球具有惯性，力图保持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。