(完整版)高中数学计数原理知识点总结及练习教案-学生

高中数学计数原理篇一：新课标高中数学计数原理高中数学总复习教学案第11单元计数原理知识结构分类加法计数原理计数原理分步乘法计数原理排列的定义排列排列数公式排列的应用排列组合的计组合的定义综合应用数组合组合数公式原组合数性质理组合数的应用应用二项式定理二项展开式的通项应用二项式系数的性质应用重点难点本章重点难点是两原理及排列、组合、二项式的应用。

学法指导对于计数原理要在弄懂原理、学透概念、学全方法上下功夫；对于二项式定理，要在体会恒等式、公式的学法上下功夫。

高考分析与预测本章是高考数学相对独立的内容，也是密切联系实际的一部分。

在高考中，注重基本概念，基础知识和基本运算的考查。

试题难度不大，多以选择、填空的形式出现。

排列组合的试题会以现实生活中的生产问题、经济问题为背景，不会仅是人或数的排列。

以排列组合应用题为载体，考查学生的抽象概括能力，分析能力，综合解决问题的能力。

二项式着重考查展开式和系数的应用。

将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点，应引起重视。

11.1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。

了解计数与现实生活的联系，会能应用它们解决简单的实际问题，正确理。

也是密切联系实际的一部分，是高考必考内容，每年都有1—2道有关的试题，题型一般为选择题和填空题，考查基础知识、思维能力，多数题难度与教材习题难度相当，但也有个别难度较大。

26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同的选法有（）。

A.50B.60C.24D.6162.5个高中毕业生报考三所重点院校，每人报且只报一所，则不同的报名方法有（）种。

A.35B.53C.5?4?3D.5?33.如果把两条异面直线看成是“一对”，则六棱锥的几条棱所在的直线中，异面直线共有（）对。

A.12B.24C.36D.484.已知a?{0,3,4}，b?{1,2,7,8}，r?{8,9},则方程?x?ay?b??r表示不同的2224人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法。

明轩教育您身边的个性化辅导专家电话：二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 . 排列组合易错题正误解析 1 没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提. 例 1 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种. 例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（（A） A4 3 ）种. （B）4 3 （C） 3 4 3 （D） C 4 2 判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合. 例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 3 重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。

例4 5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（（B）240 种（C）120 种（D）96 种））（A）480 种例5 种. （A）5040 4 遗漏计算出错某交通岗共有 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（（B）1260 （C）210 （D）630 0 ） 1， 3 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。

例6 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（（B）48 个（C）66 个（D）72 个（A）36 个 2 3 1 4 5 5 忽视题设条件出错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解. 例7 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种.（以数字作答）种颜色可供选择，则不同的着色方法共有例 8 已知是关于 x 的一元二次方程，其中 a 、，求解集不同的一元二次方程的个数. 6 未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错. 例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）(A1024种 (B1023种 (C1536种 (D1535种 6明轩教育 7 题意的理解偏差出错例 10 （A）您身边的个性化辅导专家电话：现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种. 3 5 8 6 3 3 3 8 4 （B）（C）（D）解题策略的选择不当出错例 11 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自）. （C）37 种（D）48 种由选择，则不同的分配方案有（（A）16 种（B）18 种排列与组合习题 1．6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为( A．40 B．50 C．60 D．70 2．有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( A．36 种 B．48 种 C．72 种 D．96 种 3．只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( A．6 个 B．9 个 C．18 个 D．36 个 4．男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有( A．2 人或 3 人 B．3 人或 4 人 C．3 人 D．4 人 5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有( A．45 种 B．36 种 C．28 种 D．25 种 6．某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( A．24 种 B．36 种 C．38 种 D．108 种 7．已知集合 A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( A．33 B．34 C．35 D．36 8．由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( A．72 B．96 C．108 D．144 9．如果在一周内(周一至周日安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( A．50 种B．60 种 C．120 种 D．210 种 10．安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答 11．今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答12．将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答． 13．要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答． 14. 将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中．若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入 7明轩教育同一信封，则不同的方法共有（（A）12 种（B）18 种您身边的个性化辅导专家）（C）36 种（D）54 种电话： 15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. （B）96 960 种 C. 1008 种（D）144 ） D. 1108 种 16. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A）72 （C） 108 17. 在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ A.10 B.11 C.12 D.15 18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

高二数学计数原理知识点总结归纳1. 排列与组合在数学中，排列与组合是计数原理的基本概念。

排列表示对给定的一组元素进行有序的安排，而组合则表示选取给定集合中的若干元素的无序集合。

2. 排列排列是从一个给定的元素集合中选取出一些元素按照一定的顺序进行排列的算法。

根据排列的性质，可以分为两种类型：有重复元素的排列和无重复元素的排列。

2.1 有重复元素的排列设有 n 个元素中，其中有 m1个元素相同，m2个元素相同，...，mk 个元素相同。

则排列数 P 的计算公式为：P = n! / (m1! * m2! * ... * mk!)2.2 无重复元素的排列设有 n 个不同的元素要进行排列，选取其中 r 个元素进行排列的方式，计算排列数的公式为：P = n! / (n - r)!3. 组合组合是从一个给定的元素集合中选取出若干元素的无序集合。

与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。

根据组合的性质，可以分为两种类型：有重复元素的组合和无重复元素的组合。

3.1 有重复元素的组合设有 n 个元素中，其中有 m1 个元素相同，m2 个元素相同，...，mk 个元素相同。

则组合数 C 的计算公式为：C = (n + 1)! / (m1! * m2! * ... * mk! * (n - m1 - m2 - ... - mk)!)3.2 无重复元素的组合设有 n 个不同的元素要进行组合，选取其中 r 个元素进行组合的方式，计算组合数的公式为：C = n! / (r! * (n - r)!)4. 二项式定理二项式定理是数学中一个重要的公式，它描述了两个数的二次方的展开式中，各个项的系数与指数之间的关系。

二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, r) *a^(n-r) * b^r + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, r) 表示了 n 中取 r 的组合数。

计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。

1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。

加法原理可以用于求解排列组合等问题。

举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。

2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。

举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。

二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。

1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。

对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。

2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。

对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。

排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。

因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。

三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。

分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。

举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。

按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。

分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。

高中数学知识点总结计数原理一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．2．两个计数原理的区别与联系123,,,,{}n a a a a 的子集有2n 个，真子集有21n -个．二、排列1．排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 特别提醒确定一个具体问题是否为排列问题的方法：(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素，否则不是排列问题．(2)其次要保证元素的有序性，即安排这m 个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．2．解决排列应用问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题．(2)注意对元素或位置有无特殊要求．(3)借助排列数公式计算． 特别提醒当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．3．排列数、排列数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.特别提醒排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.三、组合1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.特别提醒解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点：（1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．（2）注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．3．组合数的性质性质1：C C m n m n n-=. 性质1表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合，与剩下的n m -个元素的组合是一一对应关系.性质2：11C C C m m m n n n-+=+. 性质2表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可，有C mn 个组合；第2类，取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m -个后再取出元素a 即可，有1C m n-个组合.四、二项式定理1．二项式定理 011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n na b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})kn k n ∈L 叫做二项式系数.二项展开式中的C k n k k n a b -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k k k nT a b -+=. 2．二项式系数的性质（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即2131C C C C 2n n n n n -++=++=L L . 特别提醒求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k 的值代回通项求解,注意k的取值范围（0,1,2,,L）.k n（1）第m项：：此时k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.。

高中数学计数原理教案在高中数学课程中，计数原理是培养学生逻辑思维能力和解决问题能力的重要内容。

一个合理的教案设计能够有效指导学生掌握计数原理的基本概念、方法和应用场景。

以下是一份高中数学计数原理的教案范本，旨在帮助教师系统地进行教学活动。

## 教学目标1. 理解并掌握排列与组合的基本概念和计算方法。

2. 学会应用树状图、分类讨论等策略解决计数问题。

3. 通过实例分析，提升解决实际问题的能力。

## 教学内容1. 排列的概念与计算公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$2. 组合的概念与计算公式：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$3. 加法原理与乘法原理的介绍和应用。

4. 综合运用排列组合解决问题的策略。

## 教学方法采用讲授与探究相结合的方式，鼓励学生主动参与，通过小组合作探讨和解决实际问题。

## 教学过程### 引入新课- 通过生活中的实例（如：安排座位、选择礼物等）引出排列组合的概念。

- 提出问题，激发学生的思考兴趣。

### 讲授新知- 定义排列与组合的概念，并用具体的例子进行解释。

- 推导排列与组合的计算公式，强调公式的使用条件和限制。

- 介绍加法原理和乘法原理，通过例题加深理解。

### 学生探究- 分组讨论，让学生尝试使用排列组合解决实际问题。

- 每组选出一名代表汇报讨论结果，并进行点评。

### 实践应用- 设计相关的练习题，巩固学生对排列组合的理解和应用能力。

- 鼓励学生提出自己的问题，并尝试解答。

### 总结反馈- 回顾排列组合的概念和计算方法。

- 总结加法原理和乘法原理的应用。

- 对学生的表现进行点评，给予肯定和建议。

## 作业布置- 布置相关习题，要求学生独立完成。

- 鼓励学生在生活中寻找相关的计数问题，并尝试解决。

## 教学反思- 分析学生在学习过程中的困难和问题，调整教学策略。

- 根据学生的反馈，优化教案内容和结构。

通过上述教案的实施，学生不仅能够掌握计数原理的基础知识，还能在实际问题中灵活运用，从而培养其分析和解决问题的能力。

高中数学的计数原理教案
教学对象：高中生
教学目标：掌握计数原理的基本概念及应用方法，能够解决相关问题教学步骤：
一、导入（10分钟）
1. 引入计数原理的概念，让学生回顾一下之前所学的排列与组合知识；
2. 引入计数原理的重要性，介绍计数原理在数学中的应用；
3. 提出一个简单的排列与组合问题，让学生思考如何解决。

二、理论讲解（20分钟）
1. 讲解计数原理的基本概念：乘法原理和加法原理；
2. 讲解排列和组合的区别与联系，引入二项式定理的概念；
3. 通过实例演示计数原理的应用方法。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生进行打卡练习，解决一些基本的计数问题；
2. 学生互相讨论解题思路，分析其中的问题和解决方法；
3. 有选择性地让学生上台解题，展示不同的解题思路。

四、拓展应用（15分钟）
1. 带领学生应用计数原理解决更加复杂的问题；
2. 引导学生思考计数原理在实际生活中的应用场景；
3. 提出一个挑战性问题，鼓励学生尝试解决。

五、课堂小结（5分钟）
1. 对本节课的重点内容进行总结归纳；
2. 强调计数原理的重要性及实际应用；
3. 鼓励学生多加练习，巩固所学知识。

教学反馈：提醒学生在课后加强练习，加深对计数原理的理解和掌握，及时反馈学生在课上的表现。

高中数学计数原理知识点总结高中数学计数原理知识点总结如下：1. 计数原理：分类加法计数原理：完成一件事情，有n类方式，第一类有m1种方法，第二类有m2种方法，……，第n类有mn种方法，则完成这件事情共有N=m1+m2+...+mn种方法。

分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，……，第n步有mn种方法，则完成这件事情共有N=m1×m2×...×mn种方法。

2. 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。

所有排列的个数记作A(n,m)或anm，规定0≤m≤n。

3. 组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。

所有组合的个数记作C(n,m)或cnm，规定0≤m≤n。

C(n,m)=n!/(n-m)!C(n,m)=C(n,n-m)C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)4. 二项式定理：(a+b)n的展开式为：二项式系数：C(n,k)=n!/[(n-k)!k!]展开式一共有n+1项各项系数为二项式系数各项次数之和等于(a+b)的次数5. 特殊项的二项式定理：当a=b=1时，(1+1)n=2n的展开式为：当k=0时，项为：1当k=1时，项为：n+1当k=2时，项为：C(n,2)+3C(n,3)/2!当k=3时，项为：C(n,3)+8C(n,4)/3!当k=4时，项为：C(n,4)+15C(n,5)/4!以上是高中数学计数原理知识点总结。

希望对您有帮助。

教师：学生：时间：_ 2016 _年_ _月日段第__ 次课教师学生姓名上课日期月日学科数学年级高二教材版本人教版类型知识讲解：√考题讲解：√本人课时统计第（）课时共（）课时学案主题选修2-3第一章《计数原理》复习课时数量第（）课时授课时段教学目标1．明确分类和分步计数原理及应用；2．掌握排列组合概念和计算，以及二项式定理和应用教学重点、难点排列组合及计数原理的应用。

掌握二项式定理和应用。

教学过程知识点复习【知识点梳理】计数原理基本知识点1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有12nN m m m=+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nN m m m=⨯⨯⨯种不同的方法3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m n≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m n≤）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示5．排列数公式：(1)(2)(1)mnA n n n n m=---+（,,m n N m n*∈≤）6 阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：mnA=!()!nn m-.8 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m()m n≤个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合9．组合数的概念：从n个不同元素中取出m()m n≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号mnC表示．10．组合数公式：(1)(2)(1)mm nn mA n n n n mC---+==或!nC mn=),,(nmNmn≤∈*且11 组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；12．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC 1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4．二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++［特别提醒］1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式1r n r rr n T C a b -+=，注意()n a b +与()n b a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。

高中数学计数原理技巧教案教学目标：1. 理解计数原理的基本概念和计数方法。

2. 掌握使用计数原理解决实际问题的技巧。

3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

教学重点：1. 计数原理的基本概念和计数方法。

2. 使用计数原理解决实际问题。

教学难点：1. 理解计数原理的抽象概念。

2. 掌握运用计数原理解决复杂问题的技巧。

教学步骤：一、导入：通过一个生活中的例子引入计数原理的概念，让学生了解计数原理的重要性和应用场景。

二、讲解：介绍计数原理的基本概念和计数方法，包括排列、组合等概念，让学生理解计数原理的运用方式。

三、示范：通过几个简单的例题演示如何运用计数原理解决问题，引导学生理解计数原理的具体应用。

四、练习：让学生进行一些练习题，巩固所学知识，培养他们的解决问题能力。

五、拓展：提供一些拓展题目，让学生进一步挑战自己的思维，培养他们的创新能力。

六、总结：总结本节课的重点内容，强调计数原理在实际生活中的应用，激发学生对数学的兴趣。

教学资源：1. 课件：包含计数原理的基本概念和例题讲解。

2. 教科书：提供相关知识点和例题练习。

3. 习题册：供学生练习使用。

教学反馈：1. 课堂提问：通过提问学生解题思路和答题情况，及时纠正错误。

2. 作业批改：批改学生的练习作业，评价学生的学习情况。

3. 学生讨论：鼓励学生在小组讨论中互相学习，共同进步。

教学延伸：1. 学生作业：布置适量的作业帮助学生巩固所学知识。

2. 实际应用：鼓励学生找出生活中的实际问题，运用计数原理解决。

教学评估：1. 调查问卷：收集学生对本课内容的理解和学习体会。

2. 开放题测试：考察学生对计数原理的理解和应用能力。

3. 作业表现：评价学生在作业中的表现，指导学生的学习方向。

教学反思：通过对本课内容的反思，不断改进教学方法和手段，提高教学效果，帮助学生更好地理解和运用计数原理。

第六章 计数原理()()1212_...__...._.12.n n n N m m m n N m m m ⎧⎧⇒⎪⎨=+++⎩⎪⎪⎧⎪⇒⎨⎪=⨯⨯⨯⎫⎪⎩⇒⎬⎨⎭⎪⎪⇒⎪⎪⎪⎪⎩⇒定义：完成一件事有类不同方案分类加法计算原理公式：定义：完成一件事需要个步骤分步乘法计数原理公式：分类加法计算原理与分步乘法计算原理区别：一个分类，一个分步两个计算原理的关系及综合应用综合应用明确是先分类还是先分步；确定分类标准和分步程序排列排列计数原理排列与组合11(1)(2)...(1)______.:______.,:mn mmn n m m m n m m m m n n n n nA n n n n m A C A C C C C C --+⎧⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎩⎧=⎪⎪⎪==+⎨⎪⎪⎪⎩的定义：按一定的顺序排成一列排列数及其公式：排烈应用题：元素分析法、位置分析法、捆绑法、插空法、整体法组合的定义合成一组组合数及其公式：组合组合数的性质：组合应用题：直接法、间接法、隔板法排列、组合综合应用题先分组后012..""2m n mn n n n n n n n C C C C C C -⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎧⇒⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+++⋅⋅⋅+=⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩排列二项式定理的内容：二项式定理二项展开式的通项对称性；二项式定理增减性与最大值；杨辉三角形与二项式系数的性质各二项式系数的和；知识点一、计数原理1.分类加法计数原理概念：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法（也称加法原理）特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏”2.分步乘法计数原理概念：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么，完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法（也称乘法原理）特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整”知识点二、排列1.排列：一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列2.排列数：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn A 表示 3.排列数公式：()()()()!121!mn n A n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-（*,m n N ∈，且m n ≤）知识点三、组合1.组合：一般地，从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2.组合数：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示3.组合数公式：()()()()121!!!!mmn nm n n n n n m A n C A m m n m --⋅⋅⋅-+===-（*,m n N ∈，且m n ≤）4.组合数的性质：（1）m n m n n C C -=；（2）11m m m n n n C C C -+=+知识点四、二项式定理1.二项式定理概念：一般地，对于任意的正整数n ， 都有()()01102*nnn n k n k k n nn n n n n a b C a C aC a b C a b C b n N ---+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+∈. 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为()n a b +的二项展开式，()na b +的二项展开式共有1n +项，其中各项的系数{}()0,1,2,,kn C k n ∈⋅⋅⋅叫做二项式系数，k n k k n C a b -称为二项展开式的第1k +项，又称为二项展开式的通项 2.二项展开式的特征： （1）二项展开式共有1n +项；（2）二项式系数依次为组合数012,,,,,,knn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅； （3）各项次数都等于二项式的幂指数n ；（4）字母a 的指数由n 开始按降幂排列到0，b 的指数由0开始按升幂排列到n 3.二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分 4.二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性：当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的最大值：当n 是偶数时，中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数1122,n n nnCC-+相等，且同时取得最大值5.二项式系数和：（1）二项展开式中各二项式系数之和为2n；（2）在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于12n -.类型一：两个基本计数原理的实际应用问题例1 在某种信息传输过程中，4个数字组成的一个排列 （数字允许重复）表示一个信息，不同的排列表示不同的信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有2个对位置上的数字相同的信息个数为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．15解析:方法1:分有0个时应位置上的数字相同、1个对应位显上的数字相同、2个时应位五上的数字相同讨论：（1）若有0个对应位五上的数字相同．则信息为1001，共有1个． （2）若有1个叶应位丑上的数字相同1101，1011，1000．共有4个． （3）若有2个时应位置上的数字相同，又分为以下情况①若位笠一与二对应相同，则信息为0101； ②若位五一与三时应相同，则信息为0011； ③若位五一与四对应相同，则信忽为0000； ④若位且二与三对应相同，则信息为1111； ⑤若位里二与四时应相同，则信忠为1100；⑥若位置三与四时应相同、则信．息为1010．共有6个．故与信息0110至多有2个对应位置上的数字相同的信息个数为14611.++= 方法2：若有0个对应位置上的数字相同．共有1个；若有1个对应位置上的数字相同。

高中数学计数原理教案
教学内容：计数原理
教学对象：高中学生
教学时间：一节课
教学目标：
1. 了解计数原理的概念和基本原理；
2. 能够应用计数原理解决相关问题；
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学重点：
1. 计数原理的基本概念和原理；
2. 计数原理在实际问题中的应用。

教学难点：
1. 计数原理的具体运用；
2. 解决实际问题时的逻辑思维能力。

教学准备：
1. 计算器；
2. 实例题目。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾排列、组合的概念，并提出计数原理的概念。

通过一个简单的例子引导学生了解计数原理的基本原理。

二、讲解（15分钟）
1. 计数原理的概念和原理；
2. 巴斯卡三角形及其应用；
3. 实例分析和解决。

三、练习（15分钟）
教师布置几道相关计数原理的练习题，学生针对每道题进行思考并给出答案，教师引导学生讨论解题方法，帮助学生掌握计数原理的运用技巧。

四、总结（5分钟）
教师对本节课的教学内容进行总结和回顾，强化学生对计数原理的理解和运用。

五、作业（5分钟）
布置相关练习题作为课后作业，加深学生对计数原理的掌握和应用。

【教学反思】
本节课主要通过讲解概念、实例分析和练习训练，帮助学生掌握计数原理的基本原理和运用技巧。

在以后的教学中，可以结合实际问题，进一步提高学生的问题解决能力和创新思维。

计数原理知识点总结与训练计数原理是概率论的重要基础理论之一，它是研究集合中元素的个数的方法和原则。

计数原理包括乘法法则、加法法则、排列组合、容斥原理和鸽巢原理等，这些原理在概率论、组合数学、统计学等方面都有广泛的应用。

1.乘法法则乘法法则用于计算多个步骤的组合问题。

如果一个过程有m个独立的步骤，第i个步骤有ni种可能的选择，则整个过程的总方案数为n1 *n2 * ... * nm。

2.加法法则加法法则用于计算多个互斥事件的总数。

如果事件A和事件B是互斥的，则发生A或发生B的总数为P(A)+P(B)。

3.排列排列是从n个元素中选取r个元素，按照一定的顺序进行组合的方法。

排列可以分为有重复元素的排列和没有重复元素的排列。

有重复元素的排列可以通过分别计算每个元素的出现次数，再用乘法法则计算总数。

没有重复元素的排列可以使用公式P(n,r)=n!/(n-r)!进行计算。

4.组合组合是从n个元素中选取r个元素，不考虑其顺序的方法。

组合可以分为有重复元素的组合和没有重复元素的组合。

有重复元素的组合可以通过求出每个元素的出现次数，再用乘法法则计算总数。

没有重复元素的组合可以使用公式C(n,r)=n!/[(n-r)!*r!]进行计算。

5.容斥原理容斥原理是用于解决包含关系的概率问题。

如果A和B是两个事件，则A和B同时发生的概率为P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)。

这个原理可以推广到多个事件的情况，即若Ai为事件，i=1,2,...,n，则P(A1∪A2∪...∪An)=∑(P(Ai))-∑(P(Ai∩Aj))+∑(P(Ai∩Aj∩Ak))-...+(-1)^(n+1)*P(A1∩A2∩...∩An)。

6.鸽巢原理鸽巢原理是概率论中的重要原理之一，它是说如果有n个鸽子放进n 个巢子，且n个鸽子多于n个巢子，则至少有一个巢子里有两只鸽子。

这个原理也可以表达为，如果有n+1个物体放进n个盒子，那么必然有一个盒子里放了至少两个物体。

教：学生：： _ 2016_年 __月日段第 __次教学生姓名上日期月日学科数学年高二教材版本人教版型知解：√考解：√本人第（）共（）学案主修 2-3 第一章《数原理》复数量第（）授段教学目1．明确分和分步数原理及用；2．掌握排列合概念和算，以及二式定理和用教学重点、排列合及数原理的用。

点掌握二式定理和用。

知点复【知点梳理】数原理基本知点1. 分数原理：做一件事情，完成它可以有n 法，在第一法中有m1种不同的方法，在第二法中有 m2种不同的方法，⋯⋯，在第n 法中有m n种不同的方法那么完成件事共有N m1 m2L m n种不同的方法2.分步数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，⋯⋯，做第n 步有m n种不同的方法，那么完成件事有N m1 m2L m种n不同的方法3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m （m n ）个元素（里的被取元素各不相同）按照一定．．的序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．．．．4．排列数的定：从n个不同元素中，任取m （ m n ）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中教学程A n m表示取出 m 元素的排列数，用符号5．排列数公式：A n m n( n1)(n 2)L( n m 1) （ m, n N ,m n ）6乘： n! 表示正整数1到n的乘，叫做n的乘定 0! 1．7．排列数的另一个算公式：A n m=n!.(n m)!8 合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个合9m m n个元素的所有合的个数，叫做从 n 个不同元素．合数的概念：从 n 个不同元素中取出中取出 m 个元素的合数．用符号m表示．．．．C nm A n m n(n1)(n2)L(n m1)m n!N ,且m n) 10．合数公式：C n或 C n( n, mA m m m!m! (n m)!11 合数的性 1： C n m C n n m ． 定： C n 01；12． 合数的性2： C n m 1 ＝ C n m +C n m 11．二 式定理及其特例：（1） (a b)n C n 0a n C n 1a n b L C n r a n r b r L C n n b n (nN ) ，（2） (1 x)n1 C n 1 x L C n r x rLx n .2．二 展开式的通 公式：T r1C n r a n r b r3．求常数 、有理 和系数最大的 ，要根据通 公式r 的限制；求有理 要注意到指数及 数的整数性4．二 式系数表（ 三角）(a b)n 展开式的二 式系数，当n 依次取 1,2,3 ⋯ ，二 式系数表，表中每行两端都是1，除 以外1的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二 式系数的性 ：（1） 称性．与首末两端“等距离”的两个二 式系数相等（∵C nmC n n m ）．直 rn是 象的2称 ．nn 1n 1（2）增减性与最大 ： 当 n是偶数 ， 中 一 C n 2 取得最大 ； 当 n 是奇数 ， 中 两 C n 2，C n2取得最大 ． （3）各二 式系数和：∵ (1 x)n1 C n 1 x L C n r x rL x n ，令 x 1 ， 2n C n 0C n 1 C n 2L C n r L C n n［特 提醒］1. 在运用二 式定理 一定要牢 通 公式Tr 1 C n r a n r b r ，注意 ( a b) n 与 (b a)n 然相同，但具 体到它 展开式的某一面 却是不相同的，所以我 一定要注意 序 。

高中数学计数原理讲课教案
一、教学目标
1. 了解计数原理的概念和基本思想；
2. 掌握计数原理的应用方法；
3. 能够独立解决计数问题；
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。

二、教学重点
1. 计数原理的概念和基本思想；
2. 计数原理的应用方法。

三、教学难点
1. 计数原理的应用方法；
2. 计数问题的解决策略。

四、教学内容
1. 计数原理的概念介绍
2. 计数原理的基本思想
3. 计算原理的应用方法
五、教学过程
1. 导入：引导学生思考一个问题：有3个红球、4个蓝球和2个绿球，问一共有多少种不同的排列方式？
2. 讲解：引入计数原理的概念，讲解计数原理的基本思想和应用方法，例如排列、组合等概念。

3. 实践：让学生尝试解决一些计数问题，如：有5本数学书、4本物理书和3本化学书，问从这些书中随机选取一本书，选取一本数学书的概率是多少？
4. 拓展：通过更复杂的例题，让学生进一步理解计数原理的应用，提高他们的计数能力。

5. 总结：对计数原理的概念和应用方法进行总结，强调解决计数问题的关键思路和策略。

六、作业
1. 完成课堂练习题，巩固所学知识；
2. 拓展阅读相关数学问题，提升计数能力。

七、教学反馈
1. 对学生在实践中的表现进行评价和反馈；
2. 对学生提出的问题进行解答和指导。

八、板书设计
1. 计数原理的概念和基本思想；
2. 计数原理的应用方法；
3. 计数问题的解决策略。

高中数学各类计数原理教案
一、学习目标
1.了解基本的计数原理；
2.掌握排列、组合、二项式定理的概念；
3.能够应用计数原理解决实际问题。

二、教学重点和难点
1.计数原理的基本概念和应用；
2.排列、组合、二项式定理的计算方法；
3.实际问题的分析和解决。

三、教学内容
1.计数原理的基本概念
（1）基本计数原理
（2）排列
（3）组合
（4）二项式定理
2.计数原理的应用
（1）排列组合的实际应用
（2）二项式定理的应用
四、教学方法
1.讲解理论知识；
2.例题演练；
3.讨论解题思路；
4.引导学生独立思考和解题。

五、教学过程
1.引入：通过一个实际问题引入计数原理的概念，引起学生对计数问题的兴趣。

2.讲解：逐一讲解基本计数原理、排列、组合、二项式定理的概念和计算方法。

3.例题演练：选择一些典型的例题进行讲解和演练，让学生掌握解题思路。

4.课堂练习：布置一些练习题让学生独立完成，检验他们对计数原理的掌握程度。

5.拓展应用：引导学生通过思考和讨论，将计数原理应用到更复杂的问题中。

六、教学资料
1.教材相关知识点介绍；
2.相关例题及解析；
3.练习题及答案。

七、课后作业
1.完成教师布置的练习题；
2.独立解决一个实际问题，并写出解题思路和过程。

八、教学反思
1.检查学生对计数原理的理解和掌握情况；
2.总结教学中存在的不足之处，改进教学方法；
3.根据学生的反馈意见，调整教学内容和方式。

以上为高中数学计数原理教案范本，仅供参考。

计数原理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念.2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别.3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题.1.分类计数原理与分步计数原理(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有___________________种不同的方法注意：○1分类计数原理又称为加法原理；○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).(2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有____________________种不同的方法.注意：○1分步计数原理又称为乘法原理；○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.2.分类计数原理和分步计数原理的区别辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是__________的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是___________的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。