人教版 高中数学 第一章 计数原理本章小结 选修2-3

【金版学案】2015-2016学年高中数学第一章计数原理本章小结新人教A版选修2-3知识点一两个计数原理的应用(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件．“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事件，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事件的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件．(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法．例1 某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？解析：(1)分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理，共有6＋7＋8＝21(种)不同的选法．(2)每种选法分三步：第一步从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步乘法计数原理，共有6×7×8＝336(种)不同的选法．(3)分三类，每类又分两步．第一类从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选1个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146(种)不同选法．知识点二排列组合问题在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．现由五个人排在周一至周五的五天中值班，每人一天，按下列条件各有多少种不同的排法？(1)甲不值周一且乙不值周二；(2)甲、乙不排在连续的两天；(3)甲排在乙的前面(不一定相邻)．解析：(1)法一(直接法) 分“甲值周二”和“甲不值周二”两类：甲值周二，则有A44种排法；甲不值周二，则周二有A13种排法，周一有A13种排法，后三天有A33种排法，所以甲不值周二的排法有A13·A13·A33种，由分类加法计数原理，满足条件的排法种数为A44＋A13·A13·A33＝78(种)．法二(间接法) 五个人的排法总数为A55种，甲值周一和乙值周二各有A44种排法，甲值周一且乙值周二有A 33种排法，所以甲不值周一且乙不值周二的排法种数为A 55－2A 44＋A 33＝78(种)．(2)法一(直接法) 甲、乙之外的其他三个人的排法种数为A 33种，甲、乙不相邻有A 24种排法，所以排法种数为A 33·A 24＝72(种)．法二(间接法) 五个人的排法总数为A 55种，甲、乙相邻的排法种数为A 44·A 22种，所以排法种数为A 55－A 44·A 22＝72(种)．(3)甲排在乙之前的排法种数为A 55A 22＝60(种)．知识点三 二项式定理的应用(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．(3)求二项式展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．(5)确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．(2015·全国课标卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.解析：由已知得(1＋x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4，故(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，4ax 3，x ，6x 3，x 5，其系数之和为4a ＋4a ＋1＋6＋1＝32，解得a ＝3.答案：3一、选择题1．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有(D )A ．3种B ．12种C ．34种D ．43种解析：每位学生都有4种报名方法，因此有4×4×4＝43种．2．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝(C ) A ．2 B.54 C ．1 D.24解析：因为C r7·(2x )r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 7－r＝C r 7·2r ·a 7－r ·x －7＋2r ，令－7＋2r ＝－3，得r ＝2，所以C 27·22·a7－2＝84，解得a ＝1，故选C.3．设集合A ＝{1，2，3，4}，m ，n ∈A ，则关于x ，y 的方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点在x 轴上的椭圆有(A )A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个解析：法一 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以当m ＝4时，n ＝1或2或3；当m ＝3时，n＝1或2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．法二由题意知m>n，则应有C24＝6(个)焦点在x轴上的不同椭圆．故选A.4．(2014·高考重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(B)A．72种 B．120种 C．144种 D．168种解析：将所有的安排方法分成两类：第一类，歌舞类节目中间不穿插相声节目，有A33A22 A11＝6×2×2＝24(种)；第二类，歌舞类节目中间穿插相声节目，有A33A12A12A14＝6×2×2×4＝96(种)．根据分类加法计数原理，共有96＋24＝120种不同的排法．故选B.能力提升5．12名同学合影，站成了两排，前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是(C)A．C28A23种 B．C28A66种 C．C28A26种 D．C28A25种解析：从后排8人中选2人的方法有C28种．设选出的2人为A、B，安排A到前排有A15种方法，再安排B到前排有A16种方法．∴共有C28A15A16＝C28A26种方法．故选C.6．如果C3n＝C3n－1＋C4n－1，则n的值为(B)A．8 B．7 C．6 D．不存在7．(2013·山东济宁模拟)某科技小组有六名学生(男生多于女生)，现从中选出三人去参观展览，若至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为(A) A．2名 B．3名 C．4名 D．5名解析：若选出的三个人都是女生，则不合题意．设男生人数为x，则女生有6－x人．依题意可得C1x C26－x＋C2x C16－x＝16，即x（6－x）（5－x）2＋x（x－1）（6－x）2＝16，化简得x2－6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2.因为男生多于女生，所以该小组中女生有2人．故选A.8.如图，一圆形花圃内有5块区域，现有4种不同颜色的花．从4种花中选出若干种植入花圃中，要求相邻两区域不同色，种法有(D)A．324种 B．216种 C．244种 D．240种解析：若1、4同色，共有C14×3×3×2＝72(种)．若1、4不同色(里面分2与4同色不同色)，共有A24×2×(1×3＋2×2)＝168(种)．所以一共有168＋72＝240(种)．9．(2014·高考浙江卷)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张，共有C23A24＝36，二是有三人各获得一张，共有A34＝24，因此不同的获奖情况有60种．答案：6010．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：分2步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A 22A 33＝36种．答案：3611．已知(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，若a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m ＝________．解析：由题设知，a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝(1＋m )6，即(1＋m )6＝64. 故1＋m ＝±2，m ＝1或－3. 答案：1或－312．一直线和圆相离，这条直线上有6个点，圆周上有4个点，通过任意两点作直线，最少可作直线的条数是________．解析：为了作的直线条数最少，应出现3点或更多点共线的情况，由于直线与圆相离，应让圆上任意两点都与直线上的一点共线．圆周上有4点能连成C 24＝6条直线，而直线上恰有6个点，故这10个点中最多有6个三点共线和1个六点共线的情况，因此最少可作直线C 210－6C 23－C 26＋6＋1＝19(条)．答案：1913．一个口袋里有6封信，另一个口袋里有5封信，各封信内容均不相同． (1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的11封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？ 解析：(1)任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法．用分类加法计数原理，共有6＋5＝11(种)．(2)各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有6×5＝30(种)．(3)第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第11封信还有4种可能．由分步乘法计数原理可知，共有411种不同的投法．14．(2013·昆明高二检测)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n的展开式中： (1)若n ＝6，求倒数第二项．(2)若第5项与第3项的系数比为56∶3，求各项的二项式系数和． 解析：(1)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n的通项是 T r ＋1＝C r n(x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r，当n ＝6时，倒数第二项是T 6＝C 56(x )6－5⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 5＝－192x －92. (2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的通项T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r，则第5项与第3项分别为T 5＝C 4n(x )n －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4，T 3＝C 2n (x )n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2，所以它们的系数分别为16C 4n 和4C 2n .由于第5项与第3项的系数比为56∶3，则16C 4n ∶4C 2n ＝56∶3，解得n ＝10，所以各项的二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1 024.15．一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球，(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？解析：(1)将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，有C 44种；②取3个红球1个白球，有C 34C 16种；③取2个红球2个白球，有C 24C 26种，故有C 44＋C 34C 16＋C 24C 26＝115种． (2)设取x 个红球，y 个白球，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，0≤x ≤4，2x ＋y ≥7，0≤y ≤6， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.因此，符合题意的取法种数有 C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝186(种)．16．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题． (1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数？(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数？(3)若直线方程ax ＋by ＝0中的a 、b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？解析：(1)5×6×6×6×3＝3 240(个)． (2)当首位数字是5，而末位数字是0时，有 A 13A 23＝18(个)；当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有A 12A 34＝48(个)；当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有A 13A 12A 13A 23＝108(个)． 故共有18＋48＋108＝174(个)．(3)a ，b 中有一个取0时，有2条；a ，b 都不取0时，有A 25＝20(条)；a ＝1，b ＝2与a ＝2，b ＝4重复，a ＝2，b ＝1，与a ＝4，b ＝2重复．故共有2＋20－2＝20(条)．。

2 同的方法数为 C2 ；接着给乙医生配备 2 名护士，有 C 6 4种方
法；剩下的 2 名护士配备给丙医生，只有一种方法．故组成
2 三个体检队的方法共有 C2 6C4＝90(种)．
将三个体检队派往三个学校，每校 1 队，不同的分派方
3 法有 A3 ＝6(种)．
由分步计数原理，满足题意的不同分配方法数为 90×6 ＝540(种)．
共有多少？
【解】 解法一：设计让 3 所学校依次挑选：先让学校
2 1 2 甲挑选，有 C1 C 种；再由学校乙挑选，有 C 3 6 2C4种；余下的 2 2 到学校丙只有一种．于是不同的方法数共有 C 1 C1 3C 6· 2C4 ＝
540(种)．
解法二：组成三个体检队：给甲医生配备 2 名护士，不
根据分步计数原理， 一共有 720×840＝604 800(种)安排 顺序．
(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 A12 12种排 法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的 A12 12 顺序可有A10＝A2 12＝132(种)排法． 10
6名旅客安排在3个房间，每个房间至少安排
均可独立完成这件事 ( 可类比物理中的“并联”电路来理 解 ) ；分步计数原理的特点是：步与步相互依存，且只有 当所有步骤均完成了(每个步骤缺一不可)，这件事才算完 成(可类比物理中的“串联”电路来理解)．运用时要掌握
其计数本质，合理恰当地运用两个原理．
排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，
分类计数原理和分步计数原理是本部分内容的基 础．在应用题的考查中，经常要用它对问题进行分类或分
步分析求解，如何灵活利用这两个原理对问题进行分类或
分步往往是解应用题的关键．两个原理的共同之处是研究 做一件事，完成它共有的方法种数问题，而它们的主要差 异是“分类”与“分步”．

高中数学选修2-3知识点总结第一章 计数原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--= 规定：0!1=5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm n mn-=+--== )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==;mn n m n C C -= mn m n m n C C C 11+-=+7、解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

注意：分类不重复不遗漏。

即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

（3在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。

其原则是先分类，后分步。

（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。

人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。

1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。

排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。

组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。

(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。

导入新课想一想先看下面的问题从我们班推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法. 是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学目标知识目标（1）理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.能力目标培养学生的归纳概括能力.情感目标（1）了解学习本章的意义，激发学生的兴趣；（2）引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式.教学重难点重点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解.难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的理解.1、分类加法计数原理从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？解答由题意画图如下：解：从甲地到乙地有2类方法,第一类方法:乘火车，有3种方法;第二类方法:乘汽车，有2种方法. 所以从甲地到乙地共有3+2=5种方法.观察有什么特征知识要点分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有 n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.A 大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学例题1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：如果这名同学只能选一个专业，那么它共有多少种选择呢？分析由于这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项的专业，因此符合分类加法计数原理的条件.继续解答解：这名同学可以选择两所大学中的一所，在A 所大学中有5种专业选择方法，在B所大学中有4种专业选择方法，又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此更具分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）探究如果完成一件事有三种不同方案，在第1类方案中有m1种方法，在第2类方案中有m2种方法，在第3类方案中有m3种方法那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事有n种不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？N=m1+m2+m32、分步乘法计数原理用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能变出多少个不同的号码？解答由题意画图如下： 字母 数字 得到的号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9A A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9注意上图是解决计数问题常用的“树形图”.你能用树形图列出所有可能的号码吗？解：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9=54个不同的号码.观察有什么特征知识要点分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有 n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.例题2书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有5本不同的文艺书，从书架的第1、2层各取1本书，有多少种不同的取法？分析读题意可知，这是一个分步乘法计数题.继续解答解：从书架的第1，2，各取1本书，可以分成两个步骤完成:第一步，从第一层取1本计算机书，有4种方法；第二步，从第二层取1本文艺书，有5种方法；根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 N=4×5=20探究如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法，做第3步有m3种方法那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事有n种不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？N=m1×m2×m3例题3一名同学有7枚明朝不同古币和10枚清朝不同古币(1）从中任取一枚，有多少种不同取法？(2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？分析由于这名同学有明朝清朝两种不同的古币，（1）中要从中任取一枚，符合分类计数原理，（2）中要从明清中各取一枚，符合分步计数原理.继续解答解：（1）该题应用分类计数原理，分两类：第一类，取明朝古币有7种；第二类，取清朝古币有10种. 所以共有7+10=17种不同取法.（2）该题应用分步计数原理，分两步：第一步，取明朝古币有7种；第二步，取清朝古币有10种. 共有7×10=70种不同取法.课堂小结1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理：①是排列组合问题的最基本的原理；②是推导排列数、组合数公式的理论依据；③是求解排列、组合问题的基本思想.2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：①分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即"不重不漏".②分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成.高考链接A 1（2008年福建卷7）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数_____ .A. 14B. 24C. 28D. 48先分类，再分步！2（2007年全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有_____.A ．10种B ．20种C. 25种 D . 32种D 学生选小组N= 523. (2007年四川文科第9题）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有______.BA.48个B.36个C.24个D.18个分析：先分类，再分步，据题意，当个位数是2时，万位数是3，4，5，其他随意，共有3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2，3，5，其他随意，共有3×3×2×1=18种所以共有36种.课堂练习1.填空（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有 ______种.（2）甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有______种不同的推选方法.11 312.选择（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）A.9B.2C.20D.6（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同的路线有 ( )条.A.3B.4C.5D.6 √ √3.解答题(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允许重复数字的三位数.解：由于此三位数的数字允许重复，分三步：百、十、个位数各有5种取法，所以可以组成5×5×5=125个三位数.（2）电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态. 因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成，问：①一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？②计算机汉字国标码（GB 码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 第1位 第2位 第3位 第8位 …… 2种 2种 2种 2种分析：如00000000，10000000，11111111.解：①由图可知组成一个字节为分步计数所以最多可以表示8个2256()②一个字节有256种表示方法，而汉字有6763个，所以每个汉字至少要用2个字节来表示.习题解答A组1. “一件事情”是“买一台某型号的电视机”不同的选法有4+7=11（种）.2. “一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类，再分步”，不同的路线共有2×3+4×2=14（条）.3. 对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法.共有不同的分数4×4=16（个）.对于第二问，分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个，分子为5时，分母从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能是16，有1个.所以共有真分数4+3+2+1=10（个）.4.”一件事情”是“接通线路”。

第一章：计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

用符号 表示.3、排列数公式： 其中4、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

5、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。

用符号 表示。

6、组合数公式：其中注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质： m n A m n A ()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=Λ.,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---=Λ.,,*n m N m n ≤∈并且mn n m nC C -=mn m n m n C C C 11+-=+三、二项式定理如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式：2、性质：02413512n n n n n n nC C C C C C -=+++=+++=L L 奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：注意事项：相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）3、(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？9、求值与化简：1055845635425215222221)1(⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+C C C C C 求值：。

高中数学选修2-3知识点总结第一章 计数原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--= 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n-=+--== )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--== ;m n n m n C C -= m n m n m n C C C 11+-=+7、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101()第二章 随机变量及其分布知识点：1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。

高中数学选修2-3知识点高中数学选修2-3知识点第一章：计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事情，有N类方法，第一类方法有M1种不同的方法，第二类方法有M2种不同的方法，以此类推，第N类方法有MN种不同的方法。

那么完成这件事情共有M1+M2+。

+MN种不同的方法。

2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要分成N个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有M2种不同的方法，以此类推，第N步有MN种不同的方法。

那么完成这件事情共有XXX种不同的方法。

3.排列：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

4.排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的m个排列。

从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示。

An=m!/(n-m)!(m≤n，n，m∈N)。

5.公式：A(n+m)=An+Am*m!(m≤n，n，m∈N)；An=m*(m-1)*。

*(n-m+1)=n!/(n-m)。

6.组合：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

7.公式：C(m,n)=C(n,n-m)=m!/[(n-m)!*m!]；C(m,n)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)；C(n,m)=C(n-1,m-1)*(n-m+1)/m。

8.二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+。

+C(n,n)*a^0*b^n。

9.二项式通项公式展开式的通项公式：T=C(n,r)*a^(n-r)*b^r (r=0,1.n)，其中C(n,r)为二项式系数。

10.二项式系数Cn：C(n,r)=C(n,n-r)=n!/(r!(n-r)!)，其中r为从n个元素中取出的元素个数。

11.杨辉三角：杨辉三角是一种数学图形，由二项式系数构成，XXX的数为C(n,0)，C(n,1)。

第一章 计数原理《计数原理》小结与复习班级：高二（ ）班 学号： 姓名：一．知识点整理1、两个基本计数原理： （1）分类计数原理：完成一件事，有n 类办法,完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

（2）分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，完成这件事有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

2、排列（1）排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ﹤n ）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅-⋅-⋅=， 3、组合（1）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。

（2）组合数公式： （3）组合数公式性质： 性质1: m n nm n C C -= 性质2: 111+++=+k n k n k n C C C 推论1: t n t n k k k C C C C C 122110+++=+⋅⋅⋅+++ 推论2: 1121++++=+⋅⋅⋅+++k n k n k k k k k k C C C C C4、二项式定理：（1）二项式定理：011222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++（2）通项是展开式的第 项，即：2、二项展开式的特点:（1）项数：共n ＋1项；（2）指数：a 按降幂排列，b 按升幂排列，每一项中a 、b 的指数和为n（3）系数:第r ＋1项的二项式系数为C n r (r ＝0,1,2,…，n )二．巩固练习 1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，如果两端不站女生且3(A)144种 (B)288种 (C)432种 (D)576种2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为( )。

山西省忻州市2016-2017学年高中数学第一章计数原理小结预习案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山西省忻州市2016-2017学年高中数学第一章计数原理小结预习案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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计数原理【教学目标】1．知识与技能理清本章的知识结构，掌握本章的基本方法，学会归纳、整理所学知识2．过程与方法通过对本章内容和方法的回顾，进一步落实所学知识，提高能力3．情感、态度、价值观提高归纳、整理知识的能力；同时本部分是常考的知识点，也是高考中的得分点.【预习任务】一．基本知识回顾:1．分类加法计数原理和分步乘法原理分别解决哪些计数有关的问题，需注意什么？2．排列与组合的本质区别是什么？3．分别写出排列数与组合数的计算公式，及组合数的两个常用性质:4．写出二项式(a+b)n的展开式及它的通项并说明通项的作用：5．写出二项式系数有关的性质二．基本方法回顾：1．总结排列组合问题的常规题型及相应的方法2．总结二项式定理中常见题型及解决方法【自主检测】1。

课本P40A组1、8题2.安排7名演员的演出顺序时，某两名演员要求相邻出场，且都不第一个出场,也不最后一个出场，则不同的安排方法种数是。

3．设(5x—错误!）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240,则展开式中x的系数为 ( ）A．—150 B．150 C．300 D．-3004．若(1-2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2011(x R)，则错误!+错误!+…+错误!的值为（ ) A．2 B．0 C．—1 D．—2【组内互检】排列与组合的区别、排列数与组合数的计算公式、二项式（a+b)n的展开式【本章知识结构】。

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2. 分步乘法计数原理
完成一件事, 如果需要 n 个步骤 做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同 的方法, …, 做第 n 步有 mn 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N=m1m2…mn 种不同的方法.
3. 排列与排列数 从 n 个不同元素中取出 m ( m≤n )个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列. 其所有排列的 个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排 m 表示: 列数, 用符号 An
第二类, 当第一堆放 2 个苹果时, 另两堆可以是
(2, 6), (3, 5), (4, 4), 有 3 种分法; 第三类, 当第一堆放 3 个苹果时, 另两堆只能是
(3, 4), 有 1 种放法.
∴不同的分法有 4+3+1= 8 种. 答: 有 8 种不同的分法.
例2. 有 6 项工程需要先后单独完成, 其中工程乙 必须在工程甲完成后才能进行, 工程丙必须在工程乙 完成后才能进行, 工程丁必须在工程丙完成后立即进 行. 这 6 项工程的不同排法有多少种? 分析: 这是一个排顺序的问题. ① 甲、乙、丙、丁 固定了顺序. ② 丙、丁固定了相邻. 可将丙、丁捆绑成一个元素, 6 个人的排序变成 五个位置. 按甲、乙、(丙丁)的顺序先安排这 4 项工程, 3 种方法. 在 5 个位置中取 3 个位置, 有C5 另两项工程排剩下的两 2 种方法. 甲 乙 丙丁 个位置, 有A2 3 A2=20种. ∴ 不同排法种数有 C5 (答略) 2
3C 3 2 =80 种. ∴ 总的走法有 2 C6 3
第三步, 由 D 到 B, 只有 2 种走法. 答: 机器人最近的走法有80种.

人教A版高中数学选修2-3知识点总结分类加法计数原理是指完成一件事情有多种不同的办法，每种办法又有不同的方法数。

如果有N类办法，第一类办法中有M1种不同的方法，第二类办法中有M2种不同的方法，以此类推，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。

分步乘法计数原理是指完成一件事情需要分成N个步骤，每个步骤有不同的方法数。

做第一步有m1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，以此类推，那么完成这件事情共有N=M1M2.MN种不同的方法。

排列是指从n个不同的元素中任取m个元素按照一定顺序排成一列的方式，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列数Am=n(n-1)…(n-m+1)=n!/((n-m)!)。

组合是指从n个不同的元素中任取m个元素并成一组的方式，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

组合数Cm=Cn^m=m!/((n-m)!m!)。

二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，有(a+b)^n=Cn^0a^n+Cn^1a^(n-1)b+…+Cn^na^0b^n。

随机变量是指可以用一个变量X来表示随机试验可能出现的结果，并且X是随着试验的结果的不同而变化的变量。

离散型随机变量是指随机变量X可能取的值可以按照一定次序一一列出的变量。

离散型随机变量的分布列是指离散型随机变量X可能取的每一个值xi(i=1,2,…)的概率P(ξ=xi)=Pi，称为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列。

分布列性质：①P(xi)>=0，②ΣP(xi)=1.1、概率论基础2、二点分布当0<p<1，q=1-p时，离散型随机变量X服从参数p的二点分布，其分布列为：3、超几何分布设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，其概率为：其中m=min{M,n}，且n≤N，M≤N，n,M,N∈N*4、条件概率对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率，记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率。

2．(2012·浙江理，6)若从1、2、3、„、9这9个整数中同
时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( A．60种 C．65种 [答案] D B．63种 D．66种 )
[解析] 本题考查了排列与组合的相关知识．取出的 4 个 数和为偶数，可分为三类．
4 2 2 四个奇数 C4 5，四个偶数 C4，二奇二偶，C5C4. 4 2 2 共有 C4 ＋ C ＋ C 5 4 5C4＝66 种不同取法． [点评] 分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛．
1 n n ③各二项式系数的和：C0 ＋ C ＋„＋ C ＝ 2 . n n n
第一章
章末归纳总结
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(4)解决二项式定理问题的注意事项
n－k k ①运用二项式定理一定要牢记通项 Tk＋1＝Ck a b ，注意(a n
＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同， 但具体到它们展开式的某一项时是不 同的．另外，二项式系数与项的系数是两个不同概念，前者指
第一章
章末归纳总结
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3．在(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是(
)
A．－25
C．5 [答案] B
B．－5
D．25
[解析] (x2＋x＋1)(x－1)5＝(x3－1)(x－1)4，其展开式中 x4
中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部
分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．
第一章 章末归纳总结
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2．排列与组合 (1)排列与组合的定义

第 1章计数原理章末总结知识点一两个计数原理应用两个计数原理解决有关计数问题的重点是区分事件是分类达成仍是分步达成，而分类与分步的差异又在于任取其中某一方法可否能达成事件．能达成即是分类，否则即是分步，关于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时应注意有条不紊，不重不漏．例 1现有4种不同样颜色要对以以下列图的四个部分进行着色，要求有公共界线的两部分不能够用同一种颜色，则不同样的着色方法共有()A．24 种B．30 种C．36 种D．48 种例 2 某校高中部，高一有 6 个班，高二有7 个班，高三有8 个班，学校利用周六组织学生到某工厂进行社会实践活动．(1)任选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同样的选法？(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同样的选法？(3)选两个班的学生参加社会实践，要求这两个班来自不同样年级，有多少种不同样选法？知识点二排列组合应用题解排列组合应用题的重点在于差异它是排列问题，仍是组合问题，也就是看它有无“次序”．解答排列组合应用题还应善于运用转变思想，把一些问题与排列组合基本种类相联系，进而把这些问题转变为基本种类，尔后加以解决．例 3 有四名男生和三名女生排成一排，按以下要求各有多少种不同样的排法？(1)男甲排在正中间；(2)男甲不在排头，女乙不在排尾．例 4用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数，要求 1 与 2 相邻， 3 与 4相， 5 与 6 相，而7 与 8 不相，的八位数共有多少个？知点三二式定理及用二式定理的重点是二张开式及通公式的系和用．二张开式的通公式是解决与二式定理有关的基；二张开式的性是解的关；利用二张开式能够明整除性，的有关性，明合数恒等式，行近似算等．法与待定系数法是解决二式定理有关常用的方法．例 5二式 (2 ＋x) n的张开式中，前三的系数依次成等差数列，张开式的第8的系数 ________．( 用数字表示 )例 6已知 (1 ＋x) 6(1 － 2x) 5＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a11x11，那么a1＋a2＋a3＋⋯＋a11＝________.例 7求： 1＋3＋ 32＋⋯＋ 33n－1能被 26 整除 ( n大于 1 的偶数 ) ．章末总结答案重点解读例 1 D [ 将原图从上而下 4 部分地区标为 1,2,3,4.因为1,2,3之间不能够同色，1与 4 能够同色，因此，要分类讨论 1,4 同色与不同样色两种情况，则不同样的着色方法种数为 4×3× 2＋4×3×2× 1＝ 48. 应选 D.]例 2解(1) 分三类：第一类从高一年级选一个班，有 6 种不同样方法，第二类从高二年级选一个班，有7 种不同样方法，第三类从高三年级选一个班，有8 种不同样方法，由分类加法计数原理，共有6＋ 7＋8＝ 21( 种) 不同样选法．(2) 分三步：第一步从高一年级选一个班，有 6 种不同样的方法；第二步从高二年级选一个班，有7 种不同样的方法；第三步从高三年级选一个班，有8 种不同样的方法，由分步乘法计数原理，共有6×7× 8＝336( 种 ) 不同样的选法．(3) 分三类，每类又分两步，第一类要从高一、高二两个年级各选一个班，有6× 7种不同样方法；第二类从高一、高三两个年级各选一个班，有6× 8 种不同样方法；第三类从高二、高三两个年级各选一个班，有7× 8种不同样方法，故共有6× 7＋6× 8＋7× 8＝146(种)不同样选法．例 3解(1) 男甲排在正中间地址，其他六人排在余下的六个地址上，共有A6＝720( 种 ) 不同样的排法．(2)分四类考虑 ( 特别元素法 ) ：①男甲不在排头，女乙不在排尾，男甲也不在排尾，女乙也不在排头( 即男甲、女乙在中间 5 个地址上 ) ，有 A25A5种排法；②女乙在排头男甲不在排尾，有A15A5种排法；③男甲在排尾女乙不在排头，有A15A5种排法；④男甲在排尾且女乙在排头，共有A5种排法．依照分类加法计数原理，共有A25A5＋2A15A5＋ A5＝ 3 720(种) 排法．例 4解将1、2,3、4,5、6看作间分别进行排列有A2·A2·A2种方法．在由3 个整体，进行全排列有A3种排法， 3 个整体3 个整体形成的 4 个空档中选出 2 个插入 7、8 两个数，共有A24种方法，故共有A2·A2·A2·A3·A24＝ 576( 种 ) 排法．例516剖析nC1n2n－ 1n－2 2n －1n＋ C2n2n－ 2第12，第2x，第3C2n2 x. ∴ 2C1n·2＝ 2.∴n＝8.∴T8＝C782x7，其系数2C78＝16.例6－65剖析令 x＝0，得 a0＝1；令 x＝1，得 a0＋ a1＋a2＋⋯＋ a11＝－64；∴a1＋ a2＋⋯＋ a11＝－65.例 7 明因 1＋ 3＋32＋⋯＋ 33n－11－ 33n1(33n 1(27n1＋ 1)n－ 1]＝＝－1) ＝－ 1) ＝ [(261－ 3222而 (26 ＋ 1) n－ 1＝ C0n26n＋ C1n26n－1＋⋯＋ Cn－ 126＋ Cn260－ 1＝ C0n26n＋ C1n26n－1＋⋯＋Cn－ 126.因 n 大于1的偶数，因此原式能被26 整除．。

1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公 式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）． 组合数及组合数的公式 从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．

描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 计数原理 1.3计数模型（补充）一、学习任务掌握计数的几种模型，并能处理一些简单的实际问题．二、知识清单数字组成模型 条件排列模型 分组分配模型染色模型计数杂题三、知识讲解1.数字组成模型与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数．常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题．由 、、、、 这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数？解：首位不能是 ，有 种，后四位数有 种排列，所以这五个数可以组成 个无重复的五位数．012340C 14A 44=96C 14A 44用数字 、 组成四位数，且数字 、 至少都出现一次，这样的四位数共有______个（用数字作答）．解：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是 或 的情况不合题意，所以符合题意的四位数有 个．23231423−2=1424从 ， 中选一个数字，从 、、 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A． B． C． D．解：B当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，剩余 个数字排在首位，共有 种方法；当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，其余 个数字全排列，共有 种方法．依分类加法计数原理知共有 个奇数．02135241812601352C 2321C 121=6C 23C 1221352C 2321C 122=12C 23C 12A 226+12=18用 ， ，， ， ， 这 个数字，可以组成______个大于 且小于 的012345630005421描述：例题：2.条件排列模型计算满足某些限制条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某人只能或不能排在某些位置的问题等等．不重复的四位数．解：分四类：①千位数字为 ， 之一时，百十个位数只要不重复即可，有 （个）；②千位数字为 ，百位数字为 ，，， 之一时，共有 （个）；③千位数字是 ，百位数字是 ，十位数字是 ， 之一时，共有 （个）；④最后还有 也满足条件．所以，所求四位数共有 （个）．175342=120A 3550123=48A 14A 245401=6A 12A 135420120+48+6+1=175 名男生， 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，男生必须排在一起；（3）全体站成一排，甲、乙不能相邻．解：（1）先考虑甲的位置，有 种方法，再考虑其余 人的位置，有 种方法．故有种方法；（2）（捆绑法）男生必须站在一起，即把 名男生进行全排列，有 种排法，与 名女生组成 个元素全排列，故有 种不同的排法；（3）（插空法）甲、乙不能相邻，先把剩余的 名同学全排列，有 种排法，然后将甲、乙分别插到 个空中，有 种排法，故有 种不同的排法．34A 136A 66=2160A 13A 663A 3345=720A 33A 555A 556A 26=3600A 55A 26有甲、乙、丙在内的 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．解：甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有 种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一个，有 种方法；最后甲、乙两人的排法有 种方法．综上，总共有 种排法．6144A 44A 13A 22=144A 44A 13A 22 把椅子摆成一排， 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A． B． C． D．解：D“不相邻”应该用“插空法”，三个空椅子，形成 个空，三个坐人的椅子插入空中，因为人不同，所以需排序，所以有 种不同坐法．6314412072244=24A 34某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程的排法？解：法一： 门课程总的排法是 种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有 种排法，数学排在最后一节有 种排法，但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一节，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： 种．法二：① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节，这种情况有 种排法；② 数学6A 66A 55A 55A 44−2+=504A 66A 55A 44⋅A 24A 44⋅144种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）72种花，且相邻的96高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。