第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

√A.9 B.2
C.20
D.6
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的 路线有 ( )条.
A.3 B.4
C.5
√D.6
3.解答题
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允 许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、十、个位数各有5种取法， 所以可以组成
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母 A
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.48个
分析：
B.36个
C.24个
D.18个
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随便，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随便，共有3×3×2×1=18种
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有 __1_1___种.
高考链接
1（202X年福建卷7）某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案种数___A__ .
A. 14 B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分 步！
2. (202X年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）内容分析：本节课要学的内容分类加法计数原理与分步乘法计数原理主要包括：分类加法计数原理的定义、分步乘法计数原理的定义以及两个原理的简单应用，其核心是两个计数原理,理解它关键就是要体会两个计数原理的基本思想及其应用方法．学生已经学过加法、乘法，本节课的内容要与之建立相关联系．由于它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终,所以在本章有重要的地位，是本学科的重要内容．教学的重点是两个计数原理，解决重点的关键是结合实例阐述两个计数原理的基本内容，分析原理的条件和结论，特别是要注意使用对比的方法，引导学生认识它们的异同．问题诊断分析：在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产生这一问题的原因是学生无法把具体的问题特征与两个计数的基本思想联系起来．要解决这一问题，在本节教学时先采取通过典型的、学生熟悉的实例，经过抽象概括而得出两个计数原理，然后按照从单一至综合的方式，安排比较典型的例题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本思想及其应用方法．学情分析：本节课的授课对象是民族地区完全中学普通高中的学生.这些学生学习基础相对比较薄弱，思维不够灵活，分析问题的能力也不强。

为此在教学时需循序渐进，逐步培养学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的辨析能力，规范学生对这种问题的分析过程和解答过程，引领学生学会解决此类问题的一般性方法，从而有效地促使学生强化对两个原理的理解深度.三维目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并掌握他们的区别与联系；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分析能力；②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力；情感态度与价值观：①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣；②引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式.目标解析：①理解分类加法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；②理解分步乘法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“步骤”，先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程；③会应用两个计数原理解决简单的实际问题就是指根据具体问题的特征选择对应的计数原理。

两个计数原理【知识网络】【典型例题】题型一、分类加法计数原理例1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（）A.6B.5C.3D.2例2、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?【变式练习】1.若a，b∈N*，且a＋b≤5，则在直角坐标平面内的点(a，b)共有________个．2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？例3、有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）A．21种B．315种C．143种D．153种例4、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )．A．4种B．10种C．18种D．20种方法总结分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理【变式练习】1．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A．120 B．98 C．63 D．562．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）A.5B.6C.7D.83．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．4．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有( )．A．238个B．232个C．174个D．168个例5、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A．10 B.11 C.12 D.15【变式练习】1．为了应对欧债危机，沃尔沃汽车公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．2．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。

探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班 学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4 类,从四班学生中选1人,有10种选法. 由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一 人任组长.
加法计数原理知共有不同的选法
N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是 对于较复杂应用问题的元素分成互相排挤的几类,逐类解决,用分 类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然 后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算.
探究二探Leabharlann 三素养形成当堂检测
变式训练2要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶 梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则从一层到三层有多少种不 同的走法? 解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法; 第2步,从二层到三层有2种不同的走法. 根据分步乘法计数原理知,从教学楼的一层到三层的不同走法有
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.分类加法计数原理的推广 分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中 有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n 类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法. 2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点 (1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类; (2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.

自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理

有两人拿对自己的外衣的情况有
()
A．30 种
B ．31 种
C．35 种
D．40 种
解析：分类：第一类，两人拿对：2×C52＝20 种；第二类，
三人拿对：C35＝10 种；第三类，四人拿对与五人拿对一样，
所以有 1 种．故共有 20＋10＋1＝31 种．
答案：B
第十一页，共28页。
3．(2013·三门峡模拟)有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一
型小方格 12 个，所以共有“L”型图案 4×12＝48(个)． 答案：C
第二十六页，共28页。
4．(2013·济南模拟)集合 P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中 x，y∈
{1,2,3，…，9}，且 P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对
(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是 ( )
[解析] 先涂三棱锥 P­ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个 侧面，共有 C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12 种不同的涂法．
[答案] 12
第十四页，共28页。
[类题通法] 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的． (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成 才算完成这件事． (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．
为偶数的不同取法的种数有
()
A．30
B．20
C．10
D．6
解析：从 0,1,2,3,4,5 六个数字中，任取两数和为偶数可分为
两类，①取出的两数都是偶数，共有 3 种方法；②取出的
两数都是奇数，共有 3 种方法，故由分类加法计数原理得
共有 N＝3＋3＝6 种． 答案：D

从 21 至 30 中选 1 个号，从 31 至 36 中选 1 个号组成一注，若这个人把满
足这种特殊要求的号买全，要花( )
A．3360 元
B．6720 元
C．4320 元
D．8640 元
解析 从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法；从 11 至 20 中选 2
个连续的号共有 9 种选法；从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法；从 31 至
解析 答案
使用分类加法计数原理时应注意的三方面 (1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是 各类方法数相加得到的． (2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定 的分类标准下进行分类． (3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方 法都是不同的．
步，从 F→G，有 3 条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有 6×3
＝18 条可以选择的最短路径．故选 B.
解析 答案
(2)某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中选出 7 个号为一注，每注
2 元．某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 至 20 中选 2 个连续的号，
合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐
标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( )
A．12
B．8
C．6
D．4
解析 第一象限内不同点共有 2×2＝4 个，第二象限内不同点共有 1×2
＝2 个，故共有 4＋2＝6 个．故选 C.
解析 答案
6．某人有 3 个电子邮箱，他要发 5 封不同的电子邮件，则不同的发送 方法有________________________种．

类比分类问 从实例和具体经验出发，
概 追问：你能不能把这种解决问题的规律用数学语 题的共同特征， 通过比较、归纳、概括等
括 言来表述呢？
学生归纳叙述分 思维过程获得分步乘法计
揭
分步乘法计数原理
步 乘 法 计 数 原 数原理的内容，培养学生
示 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同 理。
分析问题、模仿和语言表
（二）分类加法计数原理的形成
教学过程设计
生 问题 1： 活 （1）小明要从北京到重庆，一天中，飞机有 4 感 班，火车有 3 班，一天中乘坐这些交通工具从北 知 京到重庆共有多少种不同的走法？
初 识 原 理 生：7 种。
（追问：你是怎么想的） 师：这个问题中，小明要完成一件什么事？ 生：从北京到重庆。 师：怎么完成的呢？ 生：坐飞机或坐火车 师：你的意思是按交通工具不同分成了两类不同 的解决方案？你是怎么计算的呢？ 生：因为每一个班次的飞机或火车都能到达重 庆，所以 4+3=7.(以图表形式板书)
生物学 数学
管理学
化学 会计学 建筑学
医学 法学
类
物理学
比 如果小明要从这三所大学里选一个专业，他一共 迁 有多少种不同的选法呢？ 移
完成一件事有三类不同方案，第 1 类方案里有 m1
同 种不同的方法，第 2 类方案里有 m2 种不同的方
学生独立探
化 原 理
法，第 3 类方案里有 m3 种不同的方法，那么完成
1
1
1
A 2 B 2C 2 D 2
3
3
3
3
②4 3=12(请做的同学自己分析解释)
师：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，由
于加数相同，所以乘法优化了加法，使得计数更

第4步，取左边第四位上的数字，有2种选取方法
有分步乘法计数原理知，可以组成不同的四位密 码共有N=4×4×3×2=96（个）
例1：用0、1、2、3、4这5个数字可组成多少个无 重复数字的： （1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？
解：(2)法二：四位密码与四位数区别在与：四位密码， 首位可以位0，而作为四位数，首位不能位0，除此之外， 是相同的，因此，只需求出首位位0的四位密码有多少个
练习1 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字 的两位数共有多少个？ 分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在 每一类中满足条件的两位数分别是: 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个).
分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在 每一类中满足条件的两位数分别是: 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个)
何时用加法原理、乘法原理呢?
加法原理 完成一件事情有n类方法,若每一类方 法中的任何一种方法均能将这件事情 从头至尾完成. 分类要做到“不重不漏”
乘法原理 完成一件事情有n个步骤,若每一步的 任何一种方法只能完成这件事的一部 分,并且必须且只需完成互相独立的 这n步后,才能完成这件事. 分步要做到“步骤完整”
选修2-3 1.1分类加法计数原理
分步乘法计数原理(2)
问题1：用A~Z或0~9给教室的座位编号
分析: 给座位编号有2类方法, 第一类方法, 用英文字母，有26种号码; 第二类方法, 用阿拉伯数字，有10种号码; 所以 有 26 + 10 = 36 种不同号码.

1 分类加法计数原理（1）问题 1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N += 种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有( )种专业选择方法，在 B 大学中有( ) 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21 种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 练习1．填空：( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是 ;( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有 条．2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N ⨯=种不同的方法.（3）知识应用例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有 种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有 种不同的选法．探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成. 例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 种,第二步, m2 = 种,第三步, m3 = 种,第四步, m4 = 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N =变式1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？练习2．现有高一年级的学生3 名，高二年级的学生5 名，高三年级的学生4 名．( 1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去C 村，不同( 2 ）从3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.123N m m m =++=4+3+2=9;例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？1．乘积12312312345)()()a a a b b b c c c c c ++++++++（展开后共有多少项？2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1
当要确定一个组合的数量时，分类加法计数原理就可以归结到两种状态：
1）它的子集的数量可以用加法的方式表示
2）它的数量受它的子集的数量的影响，以及它子集之间的关系。

因此，如果要确定一个总体的数量，就要先获得它包含的子集的数量，然后把子集的数量相加得到总体的数量。

分步乘法计数原理又叫乘法定理，也是组合数学中关于组合数学性质
的一个定理，它的基本思想是：一个总体有一定的数量和性质。

这种性质
可以是概率、数量或其他特性。

它可以使用乘法的方式表示。

当要确定一个组合的数量时，分步乘法计数原理就可以归结到两种状态：
1）它的子集的数量可以用乘法的方式表示
2）它的数量受它的子集的数量的影响，以及它子集之间的关系。

因此，如果要确定一个总体的数量，就要先获得它包含的子集的数量，然后把子集的数量相乘得到总体的数量。

变式：若要求3个字符中有1个字母， 两个数字（字母、数字的范围与 题设相同）
小结： 对于较为复杂的问题，既要 用分类加法原理，又要用分步乘 法原理，我们需要根据题意，选 择方法，一般的，遵循先分类， 后分步的原则。
[小结]目标分析法(特征，位置)
1.分“类”相加，直达目标.
2.分“步”相乘，中转完成 . 3.先分“类”，后分“步 ”.
小结： 利用计数原理解决实际问题 时，必须首先明确需要完成怎样 的一件事，如何才能完成它？是 “分类”呢？还是“分步”？
[练习]如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有 种.
A B C D
4
3
2
正确区分“分类”与“分步”
简单的说是“分类互斥”、 “分步独立”，关键是看能否独立 完成这件事。
若无论哪一类中哪一种方法都能独立完 成这件事情，则利用分类加法原理。 若各个步骤缺一不可，同时任何一步都 不能完成这件事，必须所有步骤完成， 才能完成这件事，则利用分步乘法原理。
例3、用0，1，…，9这10个数字 可以组成多少个不同的银行四位 密码？ 变式：(1)可以组成多少个不同的 四位数？ (2)可以组成多少个不同的四位奇 数？
2
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步 完成,共有 4×3×2×2 = 48 种不同的涂色方案.
例4、书架上有7本不同的中文 书，有5本不同的英文书，有3 本不同的法文书，若从中选出 不属于同一文字的2本书，共有 多少种不同的选法？
例5、给程序模块命名，需要用3 个字符，其中首字符要求用字母 A—G或U—Z，后两个要求用数字 1—9，问最多可以给多少个程序 命名？

【反思与悟】 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然 后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方 法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不 同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原 理． 【变式1-1】 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成 的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________ 个． 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)； 第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)． 由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)． 答案 40
考向一
分类加法计数原理

【例1】(2011· 全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮 册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不 同的赠送方法共有( B )． A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 [审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理． 解析 赠送一本画册，3本集邮册，共4种方法；赠送2本 画册，2本集邮册共C种方法，由分类计数原理知不同的赠 送方法共4＋ ＝10(种)．
法二 由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不 相同，共有 ＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种 涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法． 【反思与悟】 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体 分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行 分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目 的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处 理．
答案
14
【反思与悟】 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后 再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相 互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计 数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”． 【变式2-1】 由数字1,2,3,4， (1)可组成多少个3位数； (2)可组成多少个没有重复数字的3位数； (3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于 十位数字，十位数字大于个位数字． 解 (1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共 有4种排法，根据分步计数原理共可组成43＝64个3位数． (2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2 种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数 4×3×2＝24(个)． (3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个．

11．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．【典型例题】题型一分类加法计数原理【例1-1】（2020·全国高三专题练习）有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有A．8种B．9种C．10种D．11种【答案】B【解析】设四位监考教师分别为 㴳 㴳 㴳翿，所教班分别为 㴳 㴳 㴳 ，假设A 监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A 监考c，d 时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法，故选B．【例1-2】设集合A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点位于x 轴上的椭圆的有()A．6个B．8个C．12个D．16个【答案】A 【解析】因为椭圆的焦点在x 轴上，所以m >n .当m ＝4时，n ＝1,2,3；当m ＝3时，n ＝1,2；当m ＝2时，n ＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．【举一反三】1．（2020·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有()A．7种B．8种C．6种D．9种1.1分类加法和分布乘法计数原理【基础梳理】。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学设计教学设计：分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用；2.能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1.分类加法计数原理的基本概念和应用；2.分步乘法计数原理的基本概念和应用；三、教学过程第一节：分类加法计数原理1.导入（5分钟）-引入生活中的例子，例如：一把铲子可以分为“红色”和“蓝色”两类，一双筷子可以分为“金属”和“木质”两类等。

-引出问题：如果有一个包里有3只红色的铲子和2只蓝色的铲子，这个包里一共有几只铲子？如何快速求解？2.概念解释（10分钟）-解释分类加法计数原理的概念：当一个集合可以分为若干互不相交的类别时，集合的元素个数等于各个类别元素的个数的和。

-通过教师提供的实例，进一步让学生理解概念。

3.核心内容讲解（20分钟）-通过黑板或幻灯片等方式，将分类加法计数原理的基本公式写出来，即：总数=类别1数目+类别2数目+类别3数目+...+类别n数目-以问题解决的方式，将公式的应用过程演示给学生。

4.练习应用（15分钟）-给学生发放习题册，让学生结合自己的实际情况完成其中的练习题。

-教师巡回指导，解答学生提出的问题。

第二节：分步乘法计数原理1.复习（5分钟）-复习分类加法计数原理的概念和应用，让学生回答一些与分类加法计数原理相关的问题。

-引出问题：如果有3件相同的红色上衣和2件相同的蓝色上衣，这些上衣一共有几种穿法？如何快速求解？2.概念解释（10分钟）-解释分步乘法计数原理的概念：当一个事件需要分为若干个步骤进行时，每一步的选择数目乘积等于总方案数。

-通过教师提供的实例，进一步让学生理解概念。

3.核心内容讲解（20分钟）-通过黑板或幻灯片等方式，将分步乘法计数原理的基本公式写出来，即：总方案数=第一步选择数目×第二步选择数目×第三步选择数目×...×第n步选择数目-以问题解决的方式，将公式的应用过程演示给学生。

练习1 如图： 甲地
乙地
丙地
丁地
甲到乙有2条路可通，乙到丁有3条路可通。
甲到丙有4条路可通，丙到丁有2条路可通。
从甲地到丁地共有多少种不同的走法？
练习2 乘积
a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 c5
展开后共有多少项？
一个中心问题： 计数问题 两个基本原理： 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 三个关键点：
火车3班
甲 汽车5班 乙
3+5=8
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种 不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么 完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
练习：某同学在填报高考志愿时了解到：浙大、浙工大两所大 学各有一些自己感兴趣的专业，情况如下：
浙大
生物学 化学 医学
3×5=15
问题2.2变式 从甲地到乙地，要先从甲地乘火车到丙 地，再次日从丙地乘汽车到丁地，最后从丁地乘船到乙 地。一天中火车有3班，汽车有5班，轮船有2班。那么 从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
甲 火车3班3×5丙种走汽法车5班 丁 轮船2班 乙 3×5×2=30
分步乘法计数原理
完成一件事有n个步骤，做第一步有m1种不同的方法， 第二步有m2种不同的方法，…,第n步有mn种不同的方 法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的 方法。
手机密码设计： 为了记忆方便，希望这三个数依次成等差数 列，符合这个条件的密码一共有多少个？
问题1.1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给 教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
26+10=36
问题1.2 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车， 一天中火车有3班，汽车5班，那么一天中乘这些交通 工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？