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考点 不等式选讲1.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.1.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.2.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 2.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解.当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).3.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.3.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时,由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1,所以,-1<x ≤-12；当-12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以，-12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a ＋b )2-(1＋ab )2＝a 2＋b 2-a 2b 2-1＝(a 2-1)(1-b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.4.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 4.4或－6 [由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝-1或x ＝a 时取得,若f (-1)＝2|－1-a |＝5,a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6.]5.(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.5.解(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.6.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 6.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0,B (2a ＋1,0),C (a ,a +1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).7.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.7.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.8.(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.8.{x |x ≤－3或x ≥2} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.]9.(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.9.－3 [依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解.当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ，－1a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.]10.(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [令f (x )＝|2x -1|＋|x +2|,易求得f (x )min ＝52,依题意得a 2+12a +2≤52⇔-1≤a ≤12.]11.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.11.(1)证明 由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋21212.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }.(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .12.(1)解 当q ＝2,n ＝3时,M ＝{0,1},A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22,x i ∈M ,i ＝1,2,3}.可得,A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明 由s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ,可得s -t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q -1)＋(q -1)q +…+(q -1)·q n －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝-1<0.所以，s <t .。
第十四章 推理与证明1.(2016·新课标全国Ⅲ，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个1.解析 由题意知，平均最高气温高于20 ℃的六月，七月，八月，故选D. 答案 D2.(2016·浙江，8)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|,A n ≠A n＋2,n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列2.解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)， 从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A.答案 A3.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D.程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 3.解析 至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 答案 A4.(2016·新课标全国Ⅱ，16)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.4.解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”. 答案 1和35.(2016·山东，12)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.5.解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.答案 43×n ×(n ＋1)6.(2015·陕西，16)观察下列等式 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为________．6.解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n7.(2014·福建，16)已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________． 7.解析 可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案2018.(2014·课标Ⅰ，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．8.解析 根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市，又知乙没去过C 城市，故乙去过A 城市． 答案 A9.(2016·浙江，20)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0，1]， 证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34＜f (x )≤32. 9.证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ） ＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x ， 故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32， 所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34≥34，又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝1924＞34，所以f (x )＞34.综上，34＜f (x )≤32.10.(2015·四川，21)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 综上，34＜f (x )≤32.10.解 (1)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．(2)由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ， 则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0， 于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0，令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)， 由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e)＝e －2＜1， 即a 0∈(0，1)，当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0， 再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )＜0， 从而f (x )＞f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 从而f (x )＞f (x 0)＝0；又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x ＞0， 故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0，综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．11.(2015·江苏，20)设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)证明：2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1,d 及正整数n ,k ，使得a n 1,a n +k 2,a n +2k 3，a n +3k4依次构成等比数列？并说明理由． 11.(1)证明 因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)． 假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列， 则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0， 则t ＝－14，显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n1，a n +k2，a n +2k3，a n +3k4依次构成等比数列， 则a n1(a 1＋2d )n +2k＝(a 1＋d )2(n +k )，且(a 1＋d )n +k (a 1＋3d )n +3k＝(a 1＋2d )2(n +2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2(n +k )1及a 2(n ＋2k )1，并令t ＝d a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0，则(1＋2t )n ＋2k＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k(1＋3t )n ＋3k＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )， 且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )． 化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]， 且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )， 则g ′(t )＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]． 令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0.由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,31和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立． 所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n1，a n +k 2，a n +2k 3，a n +3k4依次构成等比数列．12.(2014·天津，20)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合M ＝{0,1,2,…,q －1},集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1,x i ∈M ,i ＝1,2,…,n }．(1)当q ＝2,n ＝3时,用列举法表示集合A ； (2)设s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1,t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1,其中a i ,b i ∈M ,i ＝1,2,…,n .证明：若a n ＜b n ,则s ＜t .12.(1)解 当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}．可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明 由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )qn －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋ (q －1)qn －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0.所以s <t .。
考点 坐标系与参数方程1.(2014·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B.214 C. 2 D.2 2 1.D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3消去t 得x －y －4＝0，C ：ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ,∴C ：x 2＋y 2＝4x ,即(x －2)2＋y 2＝4,∴C (2，0),r ＝2.∴点C 到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长＝2r 2－d 2＝2 2.故选D.]2.(2014·北京，3)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上 2.B [曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1,该曲线为圆,圆心(－1，2)为曲线的对称中心,其在直线y ＝－2x 上,故选B.]3.(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π43.A [∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.]4.(2016·北京，11)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.4.2 [直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0,圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ,即(x －1)2＋y 2＝1.圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1.点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.]5.(2016·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .5.解(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2,C 1是以(0，1)为圆心,a 为半径的圆. 将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2＝0,由已知tan θ＝2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ＝0，从而1-a 2＝0，解得a ＝-1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上.所以a ＝1.6.(2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A 、B 两点,|AB |＝10,求l的斜率.6.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.7.(2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 7.解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.8.(2015·广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________. 8.522 [依题已知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4可化为l ：x -y +1＝0和A (2,-2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.]9.(2015·北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________.9.1 [在平面直角坐标系下,点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为(1,3),直线方程为：x ＋3y ＝6,∴点(1,3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.]10.(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________.10.6 [由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，由θ＝π3得y ＝3x ，即3x－y ＝0，∴圆心(0,4)到直线y ＝3x 的距离为2,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.]11.(2015·重庆，15)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________.11.(2,π) [直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2,由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4,直角坐标方程为x 2－y 2＝4,把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,π).]12.(2015·江苏，21)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.12.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.13.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2,圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.13.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得ρ2－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2,即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，所以△C 2MN 的面积为12.14.(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R ).①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.14.解 ①消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.②依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.15.(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 15.解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.② (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.16.(2014·湖北，16)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________.16.(3，1) [曲线C 1为射线y ＝33x (x ≥0).曲线C 2为圆x 2＋y 2＝4.设P 为C 1与C 2的交点,如图,作PQ 垂直x 轴于点Q .因为tan ∠POQ ＝33，所以∠POQ ＝30°，又∵OP ＝2，所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3，1).]17.(2014·重庆，15)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.17. 5 [直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1，2).故该点的极径ρ＝x 2＋y 2＝ 5.]18.(2014·天津，13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________.18.3 [圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，直线的直角坐标方程为y ＝a ，因为△AOB 为等边三角形，则A (±a3，a )，代入圆的方程得a 23＋a 2＝4a ，故a ＝3.]19.(2014·湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.19.2·ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1 [曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，由直线l 与曲线C相交所得的弦长|AB |＝2知，AB 为圆的直径，故直线l 过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为π4，即斜率为1，从而直线l 的普通方程为y ＝x －1，从而其极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ－1，即2·ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1.]20.(2014·广东，14)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________.20.(1，1) [由ρsin 2θ＝cos θ得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，其直角坐标方程为y 2＝x ，ρsinθ＝1的直角坐标方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1得C 1和C 2的交点为(1，1).]21.(2014·辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 21.解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝2sin t(t 为参数).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.22.(2014·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.22.解 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.。
2019-2020年高三一轮复习数学（理）考试题及答案一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( )A.A∩B=∅B.A ∪B=RC.B ⊆AD.A ⊆B2. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. 1 C. i - D. i3.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为（ ）A.14y x =±B.13y x =± C.12y x =± D.y x =±5．以下四个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40.②线性回归直线方程a x b yˆˆˆ+=恒过样本中心),(y x ③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(2,) (0)N σσ>．若ξ在(,1)-∞内取值的概率为0.1，则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4 ； 其中真命题的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．6 B ．2 3 C ．3 D ．3 3 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,且132455,,24n nS a a a a a +=+=则 （ ） A ．4n-1 B ．4n-1C ．2n-1 D ．2n-18.同时具有性质“⑴ 最小正周期是π；⑵ 图象关于直线6x π=对称；⑶ 在[,]63ππ上是减函数”的一个函数可以是 A.5sin()212x y π=+ B.sin(2)3y x π=-C.2cos(2)3y x π=+D.sin(2)6y x π=+9.如图所示程序框图中，输出S = （ ） A. 45 B. 55- C. 66- D. 6610．已知函数2()f x x = 的图像在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直并交于一点P,则点P 的坐标可能为（ ） A.3(,3)2-B.(0,4)- C (2,3) D . 1(1,)4- 11.在ABC ∆中，6A π=,3AB AC ==， D 在边BC 上，且2CD DB =,则AD =（ ）AC ．5 D．12.已知函数()2log ,02sin(), 2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足()()()1234()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ） A.(20，32) B.(9,21) C.(8,24) D.(15，25)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。
第一章集合与常用逻辑用语考点1 集合1.(2016·新课标全国Ⅰ,1)设集合A＝{1,3,5,7},B＝{x|2≤x≤5},则A∩B＝( )A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}解析由A＝{1,3,5,7},B＝{x|2≤x≤5},得A∩B＝{3,5},故选B.答案 B2.(2016·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2<9},则A∩B＝( )A.{－2,－1,0,1,2,3}B.{－2,－1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}解析由x2<9解得－3<x<3,∴B＝{x|－3<x<3},又因为A＝{1,2,3},所以A∩B＝{1,2},故选D.答案 D3.(2016·新课标全国Ⅲ,1)设集合A＝{0,2,4,6,8,10},B＝{4,8},则∁A B＝( )A.{4,8}B.{0,2, 6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}解析A＝{0,2,4,6,8,10},B＝{4,8},∴∁AB＝{0,2,6,10}.答案 C4.(2016·北京,1)已知集合A＝{x|2＜x＜4},B＝{x|x＜3或x＞5},则A∩B＝( )A.{x|2＜x＜5}B.{x|x＜4或x＞5}C.{x|2＜x＜3}D.{x|x＜2或x＞5}解析A∩B＝{x|2＜x＜4}∩{x|x＜3或x＞5}＝{x|2＜x＜3}.答案 C5.(2016·四川,2)设集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.6B.5C.4D.3解析∵A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则A∩Z＝{1,2,3,4,5}.答案 B6.(2016·山东,1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{1,3,5},B＝{3,4,5},则∁U(A∪B)＝( )A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}解析∵A∪B＝{1,3,4,5},∴∁U(A∪B)＝{2,6},故选A.答案 A7.(2016·浙江,1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合P＝{1,3,5},Q＝{1,2,4},则(∁U P)∪Q＝( )A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}解析∵∁U P＝{2,4,6},∴(∁U P)∪Q＝{2,4,6}∪{1,2,4}＝{1,2,4,6}.答案 C8．(2015·新课标全国Ⅰ,1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2,n∈N},B＝{6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2解析A＝{…,5,8,11,14,17,…},B＝{6,8,10,12,14},集合A∩B中有两个元素．答案 D9.(2015·陕西,1)设集合M＝{x|x2＝x},N＝{x|lg x≤0},则M∪N＝ ( )A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞,1]解析由题意得M＝{0,1},N＝(0,1],故M∪N＝[0,1],故选A.答案 A10.(2015·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A＝{x|－1＜x＜2},B＝{x|0＜x＜3},则A∪B＝( )A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析由A＝{x|－1＜x＜2},B＝{x|0＜x＜3},得A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|0＜x＜3}＝{x|－1＜x＜3}．故选A.答案 A11.(2015·北京,1)若集合A＝{x|－5＜x＜2},B＝{x|－3＜x＜3},则A∩B＝( ) A．{x|－3＜x＜2} B．{x|－5＜x＜2}C．{x|－3＜x＜3} D．{x|－5＜x＜3}解析由题意,得A∩B＝{x|－5<x<2}∩{x|－3<x<3}＝{x|－3<x<2}．答案 A12.(2015·天津,1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合A＝{2,3,5},集合B＝{1,3,4,6},则集合A∩∁UB＝( )A．{3} B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}解析由题意知,∁U B＝{2,5},则A∩∁U B＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．选B.答案 B13.(2015·重庆,1)已知集合A＝{1,2,3},B＝{1,3},则A∩B＝( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,3}D ．{1,2,3} 解析 A ∩B ＝{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}． 答案 C14.(2015·山东,1)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4},B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0},则A ∩B ＝( ) A ．(1,3) B ．(1,4) C ．(2,3) D ．(2,4) 解析 ∵A ＝{x |2＜x ＜4},B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}＝{x |1＜x ＜3}, ∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2,3)． 答案 C15.(2015·广东,1)若集合M ＝{－1,1},N ＝{－2,1,0},则M ∩N ＝( ) A ．{0,－1} B ．{1} C ．{0}D ．{－1,1}解析 M ∩N ＝{－1,1}∩{－2,1,0}＝{1}． 答案 B16.(2015·福建,2)若集合M ＝{x |－2≤x ＜2},N ＝{0,1,2},则M ∩N 等于( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1,2}D ．{0,1} 解析 M ＝{x |－2≤x ＜2},N ＝{0,1,2},则M ∩N ＝{0,1},故选D. 答案 D17.(2015·安徽,2)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6},A ＝{1,2},B ＝{2,3,4},则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2,5,6} B ．{1} C ．{2}D ．{1,2,3,4}解析 ∵∁U B ＝{1,5,6},∴A∩(∁U B)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1},故选B. 答案B18.(2015·浙江,1)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3},Q ＝{x |2＜x ＜4},则P ∩Q ＝( ) A ．[3,4) B ．(2,3] C ．(－1,2)D ．(－1,3]解析 P ＝{x |x ≥3或x ≤－1},Q ＝{x |2＜x ＜4}．∴P ∩Q ＝{x |3≤x ＜4}．故选A. 答案 A19.(2015·湖北,10)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤1,x ,y ∈Z },B ＝{(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊕B ＝{( 1x ＋2x ,1y ＋2y )|(1x ,1y )∈A ,(2x 2y )∈B },则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30解析 如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”,共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.答案 C20．(2014·新课标全国Ⅰ,1)已知集合M＝{x|－1＜x＜3},N＝{x|－2＜x＜1},则M∩N＝( )A．(－2,1) B．(－1,1)C．(1,3) D．(－2,3)解析借助数轴可得M∩N＝(－1,1),选B.答案 B21.(2014·湖南,2)已知集合A＝{x|x＞2},B＝{x|1＜x＜3},则A∩B＝( )A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}解析由已知直接得,A∩B＝{x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3},选C.答案 C22.(2014·湖北,1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7},集合A＝{1,3,5,6},则∁U A＝( ) A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}解析由题意知∁UA＝{2,4,7},选C.答案 C23.(2014·福建,1)若集合P＝{x|2≤x＜4},Q＝{x|x≥3},则P∩Q等于( )A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}解析因为P＝{x|2≤x＜4},Q＝{x|x≥3},所以P∩Q＝{x|3≤x＜4},故选A.答案 A24.(2014·山东,2)设集合A＝{x|x2－2x＜0},B＝{x|1≤x≤4},则A∩B＝( ) A．(0,2] B．(1,2) C．[1,2) D．(1,4)解析由题意得集合A＝(0,2),集合B＝[1,4],所以A∩B＝[1,2)．答案 C25.(2014·四川,1)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0},集合B为整数集,则A∩B＝( ) A．{－1,0} B．{0,1}C．{－2,－1,0,1} D．{－1,0,1,2}解析由二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象可以得到不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集A＝[－1,2],属于A的整数只有－1,0,1,2,所以A∩B＝{－1,0,1,2},故选D.答案 D26.(2014·浙江,1)设集合S＝{x|x≥2},T＝{x|x≤5},则S∩T＝( )A．(－∞,5] B．[2,＋∞)C．(2,5) D．[2,5]解析S＝{x|x≥2},T＝{x|x≤5},∴S∩T＝[2,5].答案 D27.(2015·湖南,11)已知集合U＝{1,2,3,4},A＝{1,3},B＝{1,3,4},则A∪(∁U B)＝________.解析∁U B＝{2},∴A∪(∁U B)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．答案 {1,2,3}28.(2014·重庆,11)已知集合A＝{3,4,5,12,13},B＝{2,3,5,8,13},则A∩B＝________. 解析A∩B＝{3,5,13}．答案 {3,5,13}考点2 命题及其关系、充要条件1.(2016·山东,6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.答案 A2.(2016·四川，5)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.解析当11x y>一定成立，即p qx y，时，+2>>⇒；当+2⇒，，，即q px yx y>时，可以=-1=4故p是q的充分不必要条件.答案 A3.(2016·浙江，6)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.解析 由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b x －b 24，f (x )min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b t －b 24，当b ＜0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b ＜0”，选A. 答案 A4.(2015·山东，5)若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤04.解析 原命题为“若p ，则q”，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p”． ∴所求命题为“若方程x2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”． 答案 D5.(2015·天津，4)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜31＜x ＜2，故选A.答案 A .6.(2015·重庆，2)“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6.解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件． 答案 A7.(2015·福建，12)“对任意x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，k sin x cos x ＜x ”是“k ＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7.解析 ∀x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，k sin x cos x ＜x ⇔∀x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，k ＜2x sin 2x ， 令f(x)＝2x －sin 2x.∴f′(x)＝2－2cos 2x ＞0， ∴f(x)在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0. ∴2x ＞sin 2x ，∴2xsin 2x ＞1，∴k≤1，故选B.答案 B8.(2015·安徽，3)设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件8.解析 ∵x<3－1<x<3，但－1<x<3⇒x<3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.答案 C9.(2015·陕西，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.解析 ∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α sin α＝cos α，故选A. 答案 A10.(2015·湖南，3)设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.解析 由x ＞1知，x 3＞1；由x 3＞1可推出x ＞1.故选C. 答案 C11.(2015·浙江，3)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11.解析 当a ＝3，b ＝－1时，a ＋b ＞0，但ab ＜0，故充分性不成立； 当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞0，而a ＋b ＜0.故必要性不成立．故选D. 答案 D12.(2014·陕西，8)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，真，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假D ．假，假，假12.解析 从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A. 答案 A13.(2014·新课标全国Ⅱ，3)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(0x )＝0；q ：x ＝0x 是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件13.解析 设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值， 故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．故选C. 答案 C14.(2014·北京，5)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14.解析 可采用特殊值法进行判断，令a ＝1，b ＝－1，满足a ＞b ，但不满足a 2＞b 2， 即条件“a ＞b ”不能推出结论“a 2＞b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2＞b 2，但不满足a ＞b ， 即结论“a 2＞b 2”不能推出条件“a ＞b ”．故选D. 答案 D15.(2014·广东，7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a≤b”是 “sin A≤sin B”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件15.解析 由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，故a≤b ⇔sin A≤sin B，选A. 答案 A16.(2015·四川，15)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设 m ＝()()2121x x x f x f --，n ＝()()2121x x x g x g --， 现有如下命题：①对于任意不相等的实数1x ,2x ，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m ＝－n . 其中真命题有________(写出所有真命题的序号)．16.解析 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))， 对于①：从y ＝2x的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故正确； 对于②：直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故不正确； 对于③：由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)， 即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)， 令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x－x 2－ax ，则h ′(x )＝2x·ln 2－2x －a ，由h ′(x )＝0，∴2x·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ；对于④：由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)， 即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x＋x 2＋ax ，则F ′(x )＝2xln 2＋2x ＋a ，由F ′(x )＝0，得2xln 2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解， 即F (x )必有极值点，∴存在x 1，x 2使F (x 1)＝F (x 2)，得m ＝－n . 故①④正确． 答案 ①④考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.(2015·湖北，3)命题“∃0x ∈(0,＋∞)，0ln x ＝－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0,＋∞)，x ln ≠x－1 B ．∀x ∉(0,＋∞)，x ln ＝x －1 C ．∃x 0∈(0,＋∞)，0ln x ≠0x －1 D ．∃x 0∉(0,＋∞)，0ln x ＝0x －11.解析 特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“∀x ∈(0，＋∞)，x ln ≠x－1”．故选A. 答案 A2.(2014·湖南，1)设命题p ：∀x ∈R ，12+x ＞0，则⌝p 为( ) A ．∃0x ∈R ，0x ＋1＞0 B ．∃0x ∈R ，x ＋1≤0C ．∃x ∈R ，x ＋1＜0D ．∀x ∈R ，x ＋1≤02.解析 全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“∃0x ∈R ，0x ＋1≤0”，故选B. 答案 B3.(2014·安徽，2)命题“∀x ∈R ，|x|＋2x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x|＋2x ＜0 B ．∀x ∈R ，|x|＋2x ≤0 C ．∃0x ∈R ，|0x |＋0x ＜0 D ．∃0x ∈R ，|0x |＋0x ≥03.解析 命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x ∈R ，|x|＋x 2≥0”的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 0＜0”，故选C. 答案 C4.(2014·湖北，3)命题“∀x ∈R ，2x ≠x”的否定是( )A ．∀x ∉R ，2x ≠xB ．∀x ∈R ，2x ＝xC ．∃x ∉R ，2x ≠xD ．∃x ∈R ，2x ＝x 4. 全称命题的否定是特称命题：∃x ∈R ，x 2＝x ，故选D. 答案 D5.(2014·福建，5)命题“∀x ∈[0，＋∞)，3x ＋x≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，3x ＋x ＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，3x ＋x≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 0＋x0＜0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 0＋x 0≥05.解析 把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C. 答案 C6.(2014·天津，3)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x＞1，则⌝p 为( )A ．∃x0 ≤0，使得(x0＋1)0e x ≤1 B ．∃x0 ＞0，使得(x0＋1)0e x ≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)ex≤1D ．∀x≤0，总有(x ＋1)ex≤1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.6.解析全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1的否定是綈p：∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.答案 B7.(2014·重庆，6)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；命题q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A.p∧⌝q B．⌝p∧q C．⌝p∧⌝q D．p∧q7.解析命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题⌝q为真命题，所以p∧⌝q为真命题，选A.答案 A8.(2014·辽宁，5)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧q C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨(⌝q)8.解析对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c 说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．选项A中，p∨q是真命题，故A正确；选项B中，p∧q是假命题，故B错误；选项C中，⌝p是真命题，⌝q是假命题，所以(⌝p)∧(⌝q)是假命题，所以C错误；选项D中，p∨(⌝q)是假命题，所以D错误．故选A.答案 A11文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.。
2019-2020年高三第一轮高考复习阶段性过关测试（三）数学（理）试卷含答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈}，则A∩B＝( )A．B．(1，3) C．，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为________．武威六中第一轮高考复习阶段性过关测试卷（三）数学（理）答题卡一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 14. 15． 16. 三、 解答题(共70分)17.（本小题满分10分）已知命题p ：1＜2x ＜8；命题q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立，若¬p 是¬q 的必要条件，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．19.（本小题满分12分）知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数. (Ⅰ)求实数a 的值;(Ⅱ)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-,21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-,判断λ与E 的关系; (Ⅲ)当x ∈]1,1[nm ()0,0>>n m 时,若函数()f x 的值域为]32,32[n m --,求n m ,的值.20.（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．22．（本小题满分12分）设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，求m 的取值范围．。
