关于抽象函数的若干问题

抽象函数问题及解法原创/O客本文谈及的抽象函数问题是高考的必考内容，是高中函数与大学函数的衔接内容。

打开窗子说亮话，是高中教材没有，高考要考，大学不教但要经常用的内容。

如果一个关于函数f(x)的题目，已知f(x)的性质及f(x)满足的关系式，求证f(x)的其他性质，题目做完了，我们还不知道f(x)的具体的解析式，这就是抽象函数问题.一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.（1）函数性质法.函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.（2）特殊化法.特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x换成-x或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.（3）模型函数法.模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种：①满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) （ⅰ）的函数f(x)是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f(x)=kx (k≠0).事实上，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y).令x=y=0，得f(0)=0，故f(x)的图象必过原点.令y=-x，得0=f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.命题（ⅰ）可以推广为f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是常数），其模型函数为一次函数f(x)=kx-b(k ≠0).②满足关系式f(x+y)=f(x) f(y) （ⅱ）的函数f(x)是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f(x)=a x(a>0，a≠1）.事实上，f(x+y)=a x+y=a x·a y=f(x) f(y).令x=y=0，得f(0)=1，故曲线f(x)必过点(0，1).命题（ⅱ）等价于f(x-y)=f(x) f(y).③满足关系式f(xy)=f(x)+f(y) (x，y∈R+) （ⅲ）的函数f(x)是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1）.令x=y=1，得f(1)=0，故曲线f(x)必过点(1，0).命题（ⅲ）等价于f( xy)=f(x)-f(y) (x，y∈R+) .④满足关系式f(xy)=f(x) f(y)的函数f(x)是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f(x)=x n.⑤满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) 1- f (x) f(y)的函数f(x)是正切型抽象函数. 其模型函数为正切函数f(x)=tan x.需要指出的是，不是每种抽象函数都可以找到在中学阶段所熟知的函数作模型函数. 抽象函数的种类还有很多，这里罗列的仅是常见的，尤其是类型①、②、③最常见.我们就上述方法的应用，先进行例说，再分类例说.例如（2008·重庆），若定义域在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是（）A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数这是线性型抽象函数问题. 联想模型函数f(x)=kx-1(k≠0），易知选C.如果此题改为解答题，题设条件不变，“判断并证明函数g(x)=f(x)+1的奇偶性”.那么我们首先联想模型函数，窥测解题方向，构建解题思路. 猜测g(x)是奇函数. 于是心中有“底”. 目标就是需要证明g(-x)+g(x)=0，即f(-x)+f(x)+2=0. 又抽象函数奇偶性问题，一般要先用赋值法确定f(0)的值，再用x，-x进行代换，进而得到g(-x)与g(x)的关系式.于是解答如下.g(x)是奇函数. 证明如下：令x1=x2=0，有f(0)=f(0)+f(0)+1，得f(0)=-1.再令x1=x，x2=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)+1，即f(-x)+f(x)+2=0，从而g(-x)+g(x)= f(-x)+f(x)+2=0，所以函数g(x)是奇函数.1. 与单调性相关的问题例1已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=-2. 求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.解析联想模型函数f(x)=kx(k≠0)，猜想“f(x)是奇函数，且为减函数”.设m<n，则f(n)-f(m)=f((n-m)+m)-f(m)=f(n-m)+f(m)-f(m)=f(n-m).因为当x>0时，f(x)<0，而n-m>0，所以f(n-m)<0，即f(n)<f(m)，所以f(x)是减函数.根据最值定理，f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)，最小值为f(3).因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4，f(3)=f(2)+f(1)=-6.又令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0，再令x=1，y=-1，得0=f(0)=f(1)+f(-1)，故f(-1)=2，f(-3)=f(-2)+f(-1)=3f(-1)=6.所以f(x)在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.点评我们可以举出具有这种性质的一个函数y=-2x（x∈[-3，3]）.此外，我们还可以用奇偶性来证明单调性和求f(-3)的值. 由0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，得f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.因此f(n)-f(m)=f(n)+f(-m)=f(n-m)<0，f(-3)=-f(3)=6.注意这两种证明抽象函数单调性的技巧，为创造条件利用关系式，前者是作自变量变换n=n-m +m ；后者是用奇偶性巧妙地实现了“-”向“+”的转化.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，对任意m ，n ，均有f (m +n )=f (m )+f (n )-1，且f (-12)=0，当x >-12时，f (x )>0. 求证f (x )是单调递增函数，并举出具有这种性质的一个函数. 解 设m >n ，则m -n >0，m -n -12>-12， 所以f (m )-f (n )=f (n +m -n )-f (n )=[f (n )+f (m -n )-1]-f (n )=f (m -n )+f (-12)-1=f (m -n -12)>0，即f (m )>f (n ). 从而f (x )为单调递增函数. 具有这种性质的一个函数是y =2x +1.例3 已知函数f (x )的定义域是(0，+∞），且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )>0.（1）求f (1)，并证明f (x )在定义域上是增函数；（2）如果f (13)=-1，求满足f (x )-f (1x -2)≥2的x 的取值范围. 解 （1）令x =y =1，则f (1)=f (1)+f (1)，得f (1)=0.设0<m <n ，则f (n ) - f (m )= f (n m ·m ) - f (m )= [f (n m )+f (m )] - f (m )= f (n m )>0 (因为n m>1). 即f (m )<f (n). 所以f (x )在(0，+∞）上是增函数.（2）由f (1)=0， f (1)=f (1x ·x )=f (1x )+f (x )，得f (1x)=-f (x ). 有f (13)=-f (3)=-1，得f (3)=1，故2=f (3)+f (3)=f (9)， 有f (x )-f (1x -2)=f (x )+f (x -2)=f (x (x -2))， 所以原不等式可化为f (x (x -2))≥f (9)，于是从而所求x 的取值范围是[1+10，+∞）.点评 题（2）实质上是解抽象函数不等式. 一般地，先把不等式中的常数项化成某个函数值（如这里的2=f (9))，以便利用单调性“脱去”函数符号，转化成一般不等式. 特别注意抽象函数定义域. 不等式组的前两个不等式是定义域要求（这里也是单调区间的要求，因为只有同一个单调区间，才能“脱去”函数符号），第三个是单调性的逆用.此外，我们可以写出满足题设条件的一个函数y =log 3x .2. 与奇偶性相关的问题例4（2002·北京）已知f (x )是定义域在R 上不恒为0的函数，且对任意a ，b ∈R 都满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ). 求f (0)和f (1)，判断并证明f (x )的奇偶性.解 令a =b =0，则f (0·0）=0，即f (0)=0.令a =b =1，则f (1)=2 f (1)，即f (1)=0.x >0，x -2>0， 解得x ≥1+10.x (x -2)≥9.f (x )为奇函数，证明如下.令a =-1，b =x ，则f (-x )=-f (x )+xf (-1)，又f (1)=f ((-1)·(-1))=-f (-1)-f (-1)，即f (-1)=0，从而f (-x )=-f (x ).所以f (x )为奇函数.点评 当然，也可以只令a =-1，推得f (-b )=-f (b )而得结论.例5（2009·全国）函数f (x )的定义域为R . 若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数，则（ ）A. f (x )是偶函数B. f (x )是奇函数C. f (x )=f (x +2)D. f (x +3)是奇函数解析 由f (x +1)是奇函数，知f (-x +1)=-f (x +1)， ①由f (x -1)是奇函数，知f (-x -1)=-f (x -1)， ②在①中，用x -1代换x ，得f (2-x )= -f (x )，在②中，用x +1代换x ，得f (-2-x )=-f (x )，所以f (2-x )= f (-2-x )，再用-2-x 代换x ，得f (4+x )=f (x )，知4为f (x )的周期.于是由②，f (-x -1+4)=-f (x -1+4)，即f (-x +3)=-f (x +3)，所以f (x +3)是奇函数，可知选D.点评 我们还可以构造模型函数f (x )=cosπx 2来解此选择题，可知选 D. 事实上f (x +3)=sin πx 2. 还有，由f (x +1)是奇函数，可令h (x )=f (x +1)，则h (-x )=-h (x )，即f (-x +1)=-f (x +1).此外，对上述变量代换法可以用换元法帮助理解. 例如，令t =x +1，则x =t -1，代入①式得f (2-t )=-f (t )，即f (2-x )=-f (x ). 注意这里的代换和换元的前提是，不能改变函数f (x )的定义域.例6（2014•全国）已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是 .解析 实际上是解抽象不等式f (|x -1|)>f (2).因为f (x )是偶函数，所以f (x -1)= f (|x -1|)，因为f (2)=0，f (x -1)>0，所以f (|x -1|)>f (2).又f (x )在[0，+∞)上单调递减， |x -1|，2∈[0，+∞)，所以|x -1|<2，解得-2<x -1<2，即-1<x <3综上可知，x 的取值范围是(-1，3).例7（2015•全国）设函数f ´(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ´(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A. (-∞，-1)∪(0，1)B. (-1，0)∪(1，+∞)C. (-∞，-1)∪(-1，0)D. (0，1)∪(1，+∞)解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (-x )=-f (x ) ①，对等式两边求导，注意左边用复合函数求导法则，得[f (-x )]´=[ -f (x )]´ ，f ´(-x )•(-x )´=-f ´(x )，即f ´(-x ) =f ´(x ) ②.因为当x >0时，xf ´(x )< f (x )，故当x <0时，则-x >0，-xf ´(-x )< f (-x )，将①，②代入得-xf ´(x )<- f (x )，即xf ´(x )> f (x ) (x <0).由f (x )>0，知xf ´(x )>0，得f ´(x )<0 (x <0)，因此，f (x )在(-∞，0)上是减函数，又f (-1)=0，所以x <0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (-1)，解得x <-1.由奇偶性与单调性的关系知，f (x )在(0，+∞)上也是减函数，又f (1)=-f (-1)=0，所以x >0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (1)，解得0<x <1.综上可知，选A.评注（1）这里，我们由f (-x )=-f (x )，推得f ´(-x ) =f ´(x ). 这表明奇函数的导函数是偶函数. 同理可得，偶函数的导函数是奇函数.（2）另法. 我们可以构造辅助函数来解此题. 令g (x )=f (x )x ，得g ´(x )=xf ´(x )-f (x )x 2.当x >0时，g ´(x )<0，知g (x )单调递减. 由f (-1)=-f (1)及f (-1)=0，知g (1)=0，所以由不等式f (x )>0，即g (x )>g (1),解得0<x <1. 可证g (-x )=g (x )，g (x )是偶函数，知g (x )在(-∞，0)上是单调递增. 当x <0时，同理，由g (x )<g (-1)解得x <-1. 一般地，题目条件出现“xf ´(x )-f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数g (x )=f(x )x；出现“xf ´(x )+f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数 h (x )=xf (x ).（3）为加深对此题的理解，我们可以举出这类函数的一个特例：它的图象如图1.3. 与周期性相关的问题例8（2001·全国）设f (x )是定义域在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12 ]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，且f (1)=a >0. 求f (12)，f (14)，并证明f (x )是周期函数.解 由题设得a =f (1)=f (12+12)=f (12)f (12)，即f (12)=21a . 21a = f (12)=f (14+14)=f (14)f (14)，即f (14)=41a . 因为f (x )是偶函数，所以f (-x )= f (x )，又f (x )图象关于直线x =1对称，得f (1+x )=f (1-x )，用x +1代换x ，得f (2+x )=f (-x )，于是f (2+x )=f (x )，所以f (x )是周期函数.例9 设函数f (x )定义在R 上，且对任意的x 有f (x )=f (x +1)-f (x +2)，求证f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.解 因为f (x )=f (x +1)-f (x +2)，所以f (x +1)= f (x +2)-f (x +3)，两式相加，得f (x )= -f (x +3)，即f (x +3)= - f (x ).因此，f (x +6)=f ((x +3)+3)=-f (x +3)=-(-f (x ))=f (x ).所以，f (x )是周期函数，它的一个周期是6.点评 对于由关系式f (x +3)= - f (x )，推得f (x +6)=f (x ). 这个我们可以这样理解，“自变量每增加3，函数值反号一次”. 我们增加6，反号两次，不就“负负得正”了吗. 类似的还有f (x +2)=-x +1，x >0， 0， x =0， -x -1， x <0. f (x )= 图1±1f(x )，可得f (x +4)=f (x )等. 例10（2011·上海）设g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，若函数f (x )=x +g (x )在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，求f (x )在区间[-10，10]上的值域.解 由g (x +1)=g (x )，知g (x +n )=g (x )，n ∈Z .所以f (x +n )=x +n + g (x +n )=x +g (x )+n =f (x )+n ，n ∈Z .因为x ∈[3，4]时，f (x )∈[-2，5]，故当x ∈[-10，-9]时，x +13∈[3，4]，有f (x +13)∈[-2，5]，即f (x )+13∈[-2，5]，所以f (x )∈[-15，-8].当x ∈[-9，-8]时，x +12∈[3，4]，同理，f (x )∈[-14，-7].……当x ∈[9，10]时，x -6∈[3，4]，从而f (x -6)∈[-2，5]，即f (x )-6∈[-2，5]，所以f (x )∈[4，11].综上，当x ∈[-10，10]时，有f (x )∈[-15，-8]∪[-14，-7]∪…∪[4，11]=[-15，11].所以f (x )值域为[-15，11].4. f (x )=af (x +b )的问题关于已知f (x )所满足的方程求f (x )的解析式问题，我们在7.3节讲述过. 我们现在来研究函数f (x )满足关系式f (x )=af (x +b )，求解与f (x )相关的问题.例11（2010·广东）已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=kf (x +2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0，2]上有表达式f (x )=x (x -2).（1）求f (-1)，f (2. 5)的值；（2）写出f (x )在[-3，3]上的表达式，并讨论f (x )在[-3，3]上的单调性.解析 （1）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，故f (1)=-1，f (12)=-34. 又x ∈R 时，f (x )=kf (x +2)（k <0）， 所以f (-1)=kf (-1+2)=kf (1)=-k ; f (2. 5)=f (2+12)=1k f (12)=-34k. （2）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，设-2≤x <0，则0≤x +2<2，有f (x +2)=(x +2)(x +2-2)=x (x +2)，所以f (x )=kf (x +2)=k x (x +2).设-3≤x <-2，则-1≤x +2<0，有f (x +2) =k (x +2)(x +4)，所以f (x )=kf (x +2)=k 2(x +2)(x +4). 设2<x ≤3, 则0<x -2≤1，又f (x -2)=kf (x )，所以f (x )=1k f (x -2)=1k(x -2)(x -4).因为k <0，由二次函数性质知，f (x )在[-3，-1]，[1，3]上为增函数；在[-1，1]上为减函k 2(x +2)(x +4)，-3≤x <-2， k x (x +2)， -2≤x <0， x (x -2)， 0≤x ≤2， 1k (x -2)(x -4)， 2<x ≤3. 综上所述，f (x )=数. （图2）例12（2003·上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T )=Tf (x )成立.（1）函数f (x )=x 是否属于集合M ，说明理由；（2）设函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M . 解 （1）对于非零常数T ，f (x +T )=Tf (x )=Tx ，因为对任意x ∈R ，x +T = Tx 不能恒成立，所以f (x )=x M .（2）因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T .于是对于f (x )=a x 有f (x +T )=a x +T = a T ·a x = T ·a x = Tf (x )，所以f (x )=a x ∈M .所以方程组 有解，消去y 得a x =x ， y =a x ， y =x。

抽象函数的若干问题及解法作者：王梓蘅来源：《读写算·教研版》2017年第05期摘要：函數在高中数学中的地位是非常重要的，其中抽象函数，由于它的抽象性、隐蔽性和复杂性，抽象函数问题成为高中函数内容中的重难点。

本文在论述了抽象函数含义的基础上，通过具体的实例分析了抽象函数的若干问题及其解法，以期加深对抽象函数的理解，提高对抽象函数问题解题的能力。

关键词：抽象函数；问题；解法中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-172-02一、抽象函数抽象函数指的是只给出函数的性质而未给出具体函数解析式的函数。

它的一般形式为y=f （x），或者还附有定义域、值域等，比如y=f（x），（x>0，y>0）。

具体来看，主要有以下几种形式：二、抽象函数的若干问题及解法由于抽象函数表现形式是抽象的，所以它是函数学习中的难点之一。

抽象函数抽象性强，灵活性大，解答这类问题就需要先对题设条件进行分析、观察和联想，寻找出具体的函数模型，再抓住函数中的某些性质，通过部分性质或者是图像性质，之后利用常规的数学方法，比如数形结合法等就能解题。

1、求抽象函数的定义域例1：已知函数f（x）的定义域[-2，2]，求函数g（x）=f（-x）·f（x2）的定义域。

函数的定义域指的是自变量的取值范围。

通过题设条件，我们要知道f（x）、f（-x）和f （x2）中的式子地位是等同的，即x、-x、x2都在[-2，2]内。

又因为g（x）是f（x）复合而成的，所以只要求出各个函数的定义域，然后再求交集就可以。

因为函数f（x）的定义域[-2，2]，所以-2≤x≤2，同时-2≤x2≤2，根据范围求出- ≤x≤ ，因此g（x）=f（-x）·f（x2）的定义域是[- ， ]。

2、求抽象函数的值域例2：已知函数y=f（x+1）的值域是[-1，1]，求函数y=f（3x+2）的值域。

函数的三个要素分别是定义域、值域和对应法则。

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。

其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。

解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

解：设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

浅谈抽象函数问题的解法_抽象函数讲课视频高考数学试题中常常会出一些抽象函数问题，虽然抽象函数没有具体的函数解析式，学生解题是感到无处下手，但大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景而得，解题时，若能以讨论抽象函数的背景入手，依据题设中抽象函数的性质，通过类比，推测出可能属于某种函数。

从而获得解题思路。

下面谈几类抽象函数问题及其解法。

1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数是由线性函数抽象而得到的函数。

例1. 已知函数的定义域为R，且对任意量X、Y∈R，有，当X＞0时，＜0，〔1〕证明：为奇函数；〔2〕证明：在R上为减函数；〔3〕求在区间[-3,3]上最大值和最小值分析：由条件可推测背景函数为解：〔1〕令X=Y=0，得又∴∴是奇函数。

〔2〕任取X1＜X2，则∵＞0∴＜0∴＜∴在R上为减函数。

〔3〕略点评：在定义域上有单调性，则＜x1＜x2 ,函数不等式〔或方程〕的求解，总是想方设法去掉抽象函数符号，化为一般不等式或方程求解，但无论如何都必需在定义域内或给定范围内进行。

2、指数函数型抽象函数指数函数抽象函数，即由指数函数抽象而得到的函数。

例2：设函数的定义域是R，当X＞0时，＞1，且对任意X、Y∈R，都有证明：〔1〕〔2〕在R上是增函数解析：由条件可联想到的背景函数是=x〔＞1〕证明：〔1〕令X=1，Y=0，得因为X＞1所以＞1，则〔2〕任取X1、X2∈R，且X1＜X2所以，==因为x2-x1＞0所以，＞1，即1- ＜0下面证明＞0当X1＞0时，＞0当X1=0时，= =1＞0当X1＜0时，-X1＞0，＞0= ＞0从而[1- ]＜0所以＞则在R上是单调递增函数。

点评：解决此类问题关键由已知条件和所求结果找出对应的指数函数模型，然后用其性质即可得出结果。

3、对数函数型抽象函数对数函数型函数是由对数函数抽象而得到的函数。

例3.设函数的定义域为〔0，+∞〕上单调递增，满足，〔1〕求证明〔2〕求〔3〕若，求X的范围〔4〕证明：〔n∈N+〕分析：由条件的定义域为〔0，+∞〕上单调递增，且，，欲证、，可推测的背景函数为解：〔1〕令X=1，Y=2，得，从而〔2〕〔3〕所以x2-3x≤4,解得-1＜X≤4又因为X-3＞0，所以3＜X≤4〔4〕因为所以点评：解此类问题关键是由已知条件和所求结果找出对应的对数函数模型，然后用其性质即可得出结果。

抽象函数问题及其解法抽象函数是一种用来描述计算机程序中的操作的数学概念。

它是一种特殊的函数，它的输入和输出可以是任意类型的数据，而不仅仅是数字。

在编程中，抽象函数被用来表示更高层次的操作，而不是简单的数学运算。

抽象函数的定义通常包括函数的名称、输入参数和返回值的类型，但不包括具体的实现细节。

它描述了函数的功能和使用方法，而不涉及具体的算法和数据结构。

这使得抽象函数可以在多种编程语言和环境中使用，而不需要对具体的实现细节有任何了解。

抽象函数抽象函数在程序设计中有很多应用。

它可以用来表示一些问题的解决方法，也可以用来表达程序中的一个功能。

例如，可以用抽象函数来表示一个排序算法的方法，也可以用抽象函数来表示一个图形界面中的按钮操作。

抽象函数可以更好地描述程序的结构和行为，从而提高程序的可读性和可维护性。

抽象函数的解法在设计抽象函数时，需要使用一种统一的方法来定义函数的功能和使用方法。

一种常见的方法是使用伪代码来描述函数的操作。

伪代码是一种类似于自然语言的描述语言，它不是一种具体的编程语言，而是一种用来表示算法和程序逻辑的工具。

使用伪代码可以使程序员更加关注函数的功能和使用方法，而不是实现细节。

下面是一个求解阶乘的抽象函数的例子：```Function factorial(n: integer): integerBeginIf n < 0 ThenReturn -1 // 阶乘函数的输入不能为负数Else If n = 0 ThenReturn 1 // 0的阶乘为1ElseReturn n * factorial(n-1) // 递归调用本函数End IfEnd```在这个例子中，factorial函数用来计算一个非负整数的阶乘。

函数的输入参数是一个整数n，返回值也是一个整数。

函数首先根据输入参数的值进行判断，然后根据不同的情况返回相应的结果。

如果输入参数为负数，函数返回-1，表示输入不合法；如果输入参数为0，函数返回1，因为0的阶乘定义为1；否则，函数将输入参数减1，并递归调用自身，然后将结果与输入参数相乘，得到最终的结果。

抽象函数问题分类解析——我的教学反思在教学过程中，抽象函数问题是一项非常重要的内容。

抽象函数作为计算机科学中的基本概念之一，是我们在软件开发和设计中经常会遇到的概念。

抽象函数的正确理解和使用对于程序的正确性和效率至关重要。

然而，在教学抽象函数的过程中，我发现学生们对于抽象函数问题的分类和解析存在一些困惑。

本文将对抽象函数问题进行分类并进行解析，并分享我的教学反思。

一、什么是抽象函数？在正式进行问题分类之前，首先我们需要明确抽象函数的概念和作用。

简而言之，抽象函数是一种没有具体实现的函数，它的作用主要是描述一些抽象的概念和行为。

抽象函数通常由函数原型和函数描述组成，它们可以帮助我们更好地理解和设计程序。

二、抽象函数问题的分类根据我在教学过程中的观察和总结，我将抽象函数问题分为以下几类：1. 抽象函数的定义和用法问题这是学生最容易出现困惑的地方。

在这类问题中，学生们往往对于如何正确定义抽象函数以及如何使用它们存在疑惑。

他们可能会在函数定义部分出现错误，如参数个数不匹配、返回值类型错误等。

另外，他们也容易在函数调用的地方出错，如传入的参数类型不正确、没有正确处理函数的返回值等。

解决这类问题的关键是帮助学生加深对于抽象函数的理解。

我会通过举例和针对性练习来巩固学生们的知识，并引导他们思考如何正确定义和使用抽象函数。

2. 抽象函数的重载问题抽象函数的重载是指在同一个类中定义多个同名但参数列表不同的抽象函数。

这类问题主要涉及到如何正确使用抽象函数重载以及如何根据不同的参数列表来选择正确的抽象函数。

学生们常常会出现重载函数调用错误的情况，如传入的参数类型不匹配、参数个数错误等。

解决这类问题的方法是通过理论讲解和实例演示来强化学生们对于抽象函数重载的理解，同时可以通过练习题或编程作业来巩固他们的知识。

3. 抽象函数的继承问题抽象函数的继承是指一个类继承另一个类，并重写或实现其抽象函数。

在这类问题中，学生们可能会出现如何正确重写和实现基类的抽象函数的困惑，也可能会忽略掉某些抽象函数的重写或实现。

高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。

由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

例一.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。

提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。

变式训练1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。

变式训练2：已知函数)(x f 的定义域是]2,1[-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

二、求值问题 例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(=f ，51)6(=f ；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f(3)，f(9)的值。

注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。

变式训练3：已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为变式训练4:设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f _____变式训练5：已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，对任意y x ,满足)()()()()(y f x g y g x f y x f ⋅-⋅=- ，且0)1()2(≠=-f f ，则)1()1(-+g g =_________三、值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解决抽象型函数问题的若干思想浙江省文成中学朱德暖（325300）内容摘要：因为抽象，时常困惑着不少师生。

这类问题对于发展学生的思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养学生的创新思想，提高学生的数学素质，有着重要作用。

本文根据近年来的教学经验，从利用抽象函数特殊模型、函数性质、特殊方法等解题思想，谈抽象型函数问题的解决方法。

关键词：解决函数问题思想抽象型函数问题是指没有给出解析式，只是给出一些特殊条件的函数问题，它是高中数学函数部分的难点。

因为抽象，学生难以理解，接受困难；教师对教材难以处理，因此，这类问题时常困惑着不少师生。

但是这类问题对于发展学生的思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养学生的创新思想，提高学生的数学素质，有着重要作用。

为此，本文就这类问题的解题思想谈点看法。

一、利用特殊模型的解题思想在中学函数部分教材中可以找到一些抽象型函数的特殊模型（列表如下），若充分利用这些模型解题，既可使学生掌握解决数学问题的规律，培养了解题能力，又使学生体会到人们对事物的认识，总是在感性认识的基础上，通过抽象概括上升为理性认识，最终揭示事物的本质，这样一种认识规律。

1、利用特殊模型直接解抽象函数客观题例1、已知函数f(x)对一切实数xِ、y 满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y),且当x ＜0时，f(x)＞1,则当x ＞0时f(x)的取值范围是 。

分析：令f(x)=a x (0＜a ＜1)易得0＜f （x ）＜1。

例2、函数f(x)定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x 1、x 2都有f(x 1-x 2)=f(x 1-x 2)1-f(x 1)f(x 2)，则f(x)为 ( ) （A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇函数非偶函数分析：由三角公式联想，令f(x)=tgx ，再计算f(x 1-x 2)与f(x 2-x 1)比较得(A)成立。

评注：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可以迅速得到正确答案。