理论力学 第二章力系的简化
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第二章 力系的简化 习题解答2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力,大小均为F ,其中1F 沿AC ,2F 沿IG ,3F 沿BE ,4F 沿DH 。
试将此力系简化成最简形式。
解:各力均在与坐标平面平行的面内,且与所在平面的棱边成45°角。
将力系向A 点简化,主矢'R F 在坐标轴上的投影为045cos 45cos '21=-=F F F Rx ,FF F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=,F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。
用解析式表示为: ()k j F +=F R 2'设立方体的边长为a ,主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax , Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ,Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。
用解析式表示为:()k j M +-=Fa A 2。
因为,0'=⋅A R M F ,所以,主矢和主矩可以进一步简化为一个力,即力系的合力。
合力的大小和方向与主矢相同,'R R F F =;合力作用点的矢径为()i MF r a F R R =⨯=2'',所以,合力大小为2F ,方向沿对角线DH 。
2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内,并分别与三坐标轴平行,但指向可正可负。
距离c b a ,,为已知。
问:这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力?又满足什么关系时能简化为力螺旋?解:这力系的主矢为k j i 321'F F F F R ++=; 对O 点的主矩为k j i a F c F b F M O 213++=。
当主矢与主矩垂直时,力系能简化为合力。
第二章力系的简化习题解[习题2-1] 一钢结构节点,在沿OA,OB,OC的方向上受到三个力的作用,已知,,,试求这三个力的合力.解:作用点在O点,方向水平向右.[习题2-2] 计算图中已知,,三个力分别在轴上的投影并求合力. 已知,,.解:合力的大小:方向余弦:作用点:在三力的汇交点A.[习题2-3] 已知,,,,求五个力合成的结果(提示:不必开根号,可使计算简化).解:合力的大小: 方向余弦:作用点:在三力的汇交点A.[习题2-4] 沿正六面体的三棱边作用着三个力,在平面OABC内作用一个力偶. 已知,,,.求力偶与三个力合成的结果.解:把,,向平移,得到:主矢量:的方向由E指向D.主矩:方向余弦:[习题2-5] 一矩形体上作用着三个力偶,,.已知,,,,求三个力偶合成的结果.解:先把在正X面上平行移动到x轴.则应附加力偶矩:把沿轴上分解:主矩:方向余弦:[习题2-6] 试求图诸力合成的结果.解:主矢量:竖向力产生的矩顶面底面斜面-0.76 0.2 0.75 主矩:方向余弦:[习题2-7] 柱子上作有着,,三个铅直力, 已知,,,三力位置如图所示.图中长度单位为,求将该力系向点简化的结果.解:主矢量:竖向力产生的矩3.5 1.7 0主矩:方向余弦:[习题2-8] 求图示平行力系合成的结果(小方格边长为)解:主矢量:ABCD8.4 -4.35主矩:方向余弦:[习题2-9] 平板OABD上作用空间平行力系如图所示,问应等于多少才能使该力系合力作用线通过板中心C.解:主矢量:由合力矩定理可列出如下方程:[习题2-10] 一力系由四个力组成。
已知F1=60N,F2=400N,F3=500N,F4=200N,试将该力系向A点简化(图中长度单位为mm)。
解:主矢量计算表0 0 600 200 0300 546.41 -140方向余弦:-110.564 120 0 主矩大小:方向余弦:[习题2-11]一力系由三力组成,各力大小、作用线位置和方向见图。
第二章力系简化理论◆力的平移定理◆力系的主矢和主矩◆力系向一点简化◆力系简化结果分析§2–2 主矢和主矩·力系向一点的简化∑∑⨯==ii i O O F r )F (M M R i ix iy ix F F F i F j F k'==++∑∑∑∑ 称为该力系对O 点的主矩(principal moment )称为该力系的主矢(principal vector )式中, 分别表示各力对x ,y ,z 轴的矩。
(),(),()x y z M F M F M F空间任意力系的n 个力的矢量和1. 力系的主矢、主矩取任意点O , n 个力对O 点之矩的矢量和kF M j F M i F M M i z i y i x O ∑∑∑++=)()()(由F 1、F 2组成的空间力系,已知:F 1 = F 2 = F 。
试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。
1. 计算力系主矢令i 、j 、k 为x 、y 、z 方向的单位矢量,则力系中的二力可写成力系的主矢为:)43(51j i F +=F)43(52j i F -=FiF F F F F i i R 562121=+==∑= 例:求主矢、主矩解:解: 2. 计算主矩应用矢量叉乘方法,力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为:()2211M M F r F O O i i i i i ====⨯∑∑2211F r F r ⨯+⨯=)43(53j i k +⨯=F )43(54j i j -⨯+F)12912(5k j i -+-=F)43(51j i F +=F)43(52j i F -=F∑=⨯+⨯=⨯=2121i EC EA i i E F r F r F r M )12912(5k j i ---=F)12912(k j i +--=F)43(5)34(j i k j -⨯-=F )43(53)43(54j i k j i j -⨯-+⨯-=FF 2210F r F r M ⨯+=⨯=∑=AC i i i A 对O 点对A 三点对E 点其中,各 ,各i iF F '= ()i o i M M F =该汇交力系与力偶系与原任意力系等效。
理论力学常见问题及解答第2单元:力系的简化1. 任意力系亦可由力平行四边形法则(或力多边形法则)得到简化结果吗? 解答:不能。
因为平行四边形法则(或力多边形法则)只能应用于汇交力系。
参考资料:贾启芬,刘习军. 《理论力学》,机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》,天津大学出版社1995关键词:任意力系,力的平行四边形法则,力的多边形法则,汇交力系2. 如何应用力的平移定理解释偏心力对立柱的作用效果?解答:将力平移到立柱的轴线上,得到一个力和一个附加力偶,该力使立柱产生受压变形,而该力偶使立柱产生弯曲变形。
参考资料:贾启芬,刘习军. 《理论力学》,机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》,天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》,清华大学出版社2004(美)施皮格尔(M.R.Spiegel ). 《理论力学 • 理论和习题》,科学出版社1983关键词:力的平移定理,立柱,作用效果3. 如何理解力系的两个不变量?解答:主矢量'R 和主矢量与主矩的标量积O M R '均与简化中心O 无关,是力系的固有属性,因此称为力系的不变量。
参考资料:贾启芬,刘习军. 《理论力学》,机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》,天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》,清华大学出版社2004洪嘉振,杨长俊. 《理论力学》,高等教育出版社2008(第3版) 关键词:力系的不变量,主矢量,主矩,简化中心4.如何从力系简化,理解固定端约束反力的表达方法?解答:固定端约束的反力是空间分布力系,将该力系向梁与基础连接点简化,得到一个力(主矢量)和一个力偶(主矩),将该力和力偶矩矢量向三个方向正交分解,得到固定端约束反力的表达方式,如图。
参考资料:贾启芬,刘习军. 《理论力学》,机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》,天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》,清华大学出版社2004洪嘉振,杨长俊. 《理论力学》,高等教育出版社2008(第3版)(美)施皮格尔(M.R.Spiegel). 《理论力学•理论和习题》,科学出版社1983关键词:固定端,反力,力系简化5.当力系第二不变量为零时,共有几种简化结果?解答:共3种:力系平衡,力,力偶。