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概率论与数理统计(1-3章重点梳理)

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考研数学一大纲重点梳理概率论与数理统计部分

考研数学一大纲重点梳理概率论与数理统计部分

考研数学一大纲重点梳理概率论与数理统计部分概率论和数理统计是考研数学一科目中的重要部分，本文将针对概率论与数理统计这一大纲进行重点梳理。

首先，我们将介绍概率论的基本概念和理论，然后详细讨论数理统计的相关内容。

一、概率论的基本概念和理论1. 概率的基本概念概率是研究随机现象的定量描述，用来描述事件发生的可能性大小。

概率可以用数值表示，范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。

2. 概率的运算规则概率的运算规则包括加法规则和乘法规则。

加法规则适用于互斥事件，乘法规则适用于独立事件。

3. 随机变量和概率分布随机变量是用来描述随机现象的变量，可以分为离散随机变量和连续随机变量。

概率分布描述了随机变量的取值与概率之间的关系，常见的概率分布包括二项分布、泊松分布和正态分布等。

4. 期望和方差期望是随机变量的平均值，用来描述随机变量的集中趋势；方差是随机变量与期望之间的差异程度，用来描述随机变量的离散程度。

二、数理统计的相关内容1. 抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取一部分个体进行观察和研究的过程，抽样分布是指样本统计量的概率分布。

常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。

2. 参数估计参数估计是利用样本数据来估计总体参数的值，常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。

点估计是用单个数值来估计参数的值，区间估计是用一个区间来估计参数的值。

3. 假设检验假设检验是根据样本提供的信息，对总体的某个参数是否满足某种假设进行判断。

假设检验可以分为单侧检验和双侧检验，常见的假设检验方法包括z检验和t检验等。

4. 方差分析方差分析是用来比较两个或多个总体间均值差异是否显著的统计方法。

方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，常用的方法包括单因素方差分析和双因素方差分析等。

5. 回归分析回归分析是用来研究自变量与因变量之间的关系的方法。

简单线性回归是一种自变量和因变量之间存在线性关系的回归分析方法，多元线性回归是多个自变量和一个因变量之间的回归分析方法。

概率论与数理统计3章

概率论与数理统计3章

VS
概率密度函数
描述连续随机变量在任意一点处的概率的 函数。
随机变量的期望与方差
期望
方差
数学期望或均值，是随机变量取值的平均数， 反映了随机变量的中心趋势。对于离散随机 变量，期望是所有可能取值的概率与其对应 的值的乘积之和；对于连续随机变量，期望 是积分概率密度函数在定义域内的值。
度量随机变量取值与其期望之间的偏离程度， 即各取值偏离其均值的大小。方差越小，各 取值越接近均值；方差越大，各取值越分散。
03
统计推断
参数估计
01
02
03
04
参数估计方法
根据样本数据，通过适当的方 法估计总体参数的过程。
点估计
用单一数值表示总体参数的估 计值，如算术平均数、中位数
等。
区间估计
给出总体参数的可能取值范围 ，如置信区间。
估计量的评选标准
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
根据样本数据对总体参数作出推断，通过检验假设是 否成立来作出决策。
离散随机变量及其分布
离散概率分布
描述离散随机变量取各个可能值的概率的分布。常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布等。
概率质量函数
描述离散随机变量取每一个可能值的概率的函数。
连续随机变量及其分布
连续概率分布
描述连续随机变量在某个区间内取值的 概率的分布。常见的连续概率分布有正 态分布、均匀分布、指数分布等。
定义
指数平滑法是一种时间序列预测方法，通过计算 时间序列的加权平均值来预测未来的值。
计算公式
指数平滑法的计算公式为`预测值 = α*当前值 + (1-α)*上期预测值`，其中α是平滑系数，取值范 围为0到1。

概率论与数理统计-第1章-第3讲-概率的公理化定义与运算性质

概率论与数理统计-第1章-第3讲-概率的公理化定义与运算性质

解法一 设A表示至少有一件不合格品，Ai表示恰好有i件不合格品，则
A A1 A2 A3 P( A) P( A1 A2 A3)
性质1
P( Ai
)
C3iC447i C540
P( A1) P( A2 ) P( A3) 0.2255
13
02 概率的运算性质ຫໍສະໝຸດ 解法二 因为A表示全是合格品，则
（2）规范性 P(S ) 1
（3）可列加性 对任意个两两互不相容事件
A1, A2 ,
, An ,
,
有P
Ai
P( Ai ).
i1 i1
它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为
建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.
5
本章内容
01 概率的公理化定义 02 概率的运算性质
02 概率的运算性质
主讲教师 |
本章内容
01 概率的公理化定义 02 概率的运算性质
01 概率的公理化定义
1.概率的公理化定义
什么是概率？
研究随机现象，我们不仅要关心会出现哪些事件，更关心这些事件出 现的可能性大小，所谓事件的概率就是度量事件出现可能性大小的数值.
① 古典定义
概率的最初定义
历史上概率 的三次定义
② 统计定义
下一讲我们将学习一种新的概率——条件概率.
18
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
19
P( A) 1 P( A)
性质2
P( A )
C447 C540
1
C447 C540
0.2255
计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时， 可以利用性质2。
14
02 概率的运算性质

(完整版)概率论与数理统计知识点总结(详细)

(完整版)概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

概率论知识梳理

概率论知识梳理
个事件的概率的途径又多了一条。其实全概率公式精华之处并不在其本身，而
是推导过程以及思想。
18. 贝叶斯公式： P(Bi A)
p(A Bi )P Bi
n
，贝叶斯公式主要是根据结果反求
P(A Bj )P Bj
j 1
导致这个结果的某种情形的可能性。贝叶斯公式和全概率公式复习起来光看概
念没什么用，要借助几个较难的例题和做一些往届考题，这样效率会高很多。
是它本身，而是： P(A B C) P(A) P(A B) P(A B C) 。
更加重要的是当事件数量更多的时候如何处理。一句话总结：加多了减，减多 了加。 11. 概率的减法公式： P(A－B)＝P(A) －P(AB) P(A-B)=P(A)-P(AB)，当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)，当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)。
19. 事件的独立性：简而言之“你关我屁事！”，更重要的是多个事件的情形。
描述性定义：
数学定义：
设 A，B 为两个事件，如果其中任何 P( AB) P( A)P(B)
一个事件发生的概率不受另外一个事 特别注意：
件发生与否的影响（我发生也好，不 概率为 1 或者 0 的事件与任何事件独立。
发生也好，都不受你任何影响，你关 考试题型：
率论的学习，因而在接触这个概念的时候就应该去努力弄懂，弄透彻它。很多书上 有这么一句话：随机变量就是其值会随机而定的变量。有些孩子一看就发宝气了， 我当然知道它是变量呀！其实是抓错了重点，关键在于“随机”二字。我们过去说 的变量往往指不固定的量，虽然不固定，但往往遵循一个确切的法则（取值在内定 义域）。这里的随机变量也是如此，它不太有规律可循，但既然是出现在概率论这个 大背景下，它也不可能算是一匹脱缰的野马。从另一个角度解读这个概念：随机试 验的结果经常是数量，或者可以数量化表示，但是这些数量与以往用来表示时间， 位移等的变量有很大的不同，这就是其取值的变化完全取决于随机试验的结果，因 而是不可以完全预言的，这种随机取值的变量就是随机变量。说白了，随机变量就 是这样的一个家伙：你无法确切的知道他是什么，但是你能知道他很可能会是什么？

概率论复习重点与习题

概率论复习重点与习题

10）掌握正态分布及其性质：理解一般正态分布函
数与标准正态分布函数的关系，会查表求概率，正 态变量的线性变换仍然是正态变量.
m ， : X ~ N
2
f x
1
2
e

x m 2
2 2
< x <
X ~ N 0， 1 :
x
1 2 e
x2 2
1）理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、 样本方差及样本矩的概念. 1 n 样本均值 X X i , n i 1 n n 1 1 2 2 2 2 样本方差 S [ X n X ] ( X X ) i i n 1 i 1 n 1 i 1 1 n 样本k 阶原点矩 Ak X i k k 1,2, n i 1 1 n 样本k 阶中心矩 Bk ( X i X ) k k 1,2, n i 1
（7）若随机事件 A 与 B 相互独立，则
A 与 B、A 与 B 、A 与 B 也相互独立.
（8）若
A1 , A2 ,An 是相互独立的事件，则
P ( A1 A2 An )
1 P ( A1 A2 An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
A A , A A
2）掌握概率的定义及性质，会求常用的古典概型 中的 概率； ,则 (1) 若A1 , A2 ,是两两互不相容事件 P ( A1 A2 ) P ( A1) P ( A2 )
(2) 若A1 , A2 ,, An 是两两互不相容事件 ,则 P ( A1An )
7）掌握泊松分布；
P{X k }

k

概率论与数理统计笔记(重要公式)


r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0

设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba

概率论与数理统计公式整理(完整版)


概率论与数理统计 公式（全）
（13）乘法 公式
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
。
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概率论与数理统计 公式（全）
指数分布
f (x)
ex ,
0,
x 0, x 0,
其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为
正态分布
F(x)
函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
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概率论与数理统计 公式（全）
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2， k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。

概率统计知识点提纲

概率论与数理统计初步主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

随机事件和概率考查的主要内容有：(1)事件之间的关系与运算，以及利用它们进行概率计算；概率论与数理统计知识点与考点第一章知识点：18§1.1 随机试验:随机试验的三个特点。

（1）样本空间：样本空间；样本点；（2）随机事件：随机事件；事件发生；基本事件；必然事件；不可能事件；（3）事件间的关系与事件的运算：包含关系；相等关系；互不相容；和事件、积事件、差事件、对立事件；（4）事件的运算律。

§1.2、概率的定义及运算:（1）频率定义；（2）概率的统计定义，（3）概率公理化定义，（4）古典概型，（5）几何概型§1.3、条件概率：（1）定义；（2）性质；（3）乘法公式。

（4）全概率公式，（5）贝叶斯公式；，§1.4事件的独立性：（1）两事件相互独立的性质；（2）三（多）个事件相互独立的定义，（3）伯努利试验模型考点：1、事件的表示和运算，2、有关概率基本性质的命题，3、古典概型的计算，4、几何概型的计算，5、事件的独立性的命题，6、条件概率与积事件概率的计算，7、全概率公式和Bayce公式的命题，8、Bernoulli试验。

第二章知识点：19§2.1 (1) 随机变量的定义；(2)随机变量的分布函数及其性质§2.2 离散型随机变量及其概率分布：（1）离散型随机变量的定义；（2）离散型随机变量的分布律；几种常见的离散型随机变量：(1) (0－1)分布；(2) 二项分布；(3) 泊松分布；（4）超几何分布；（5）几何分布；（6）帕斯卡（Pascal）分布，掌握每一种分布的模型，写出其分布律或分布密度。

§2.3连续型随机变量及其概率分布:（1）分布函数的定义；（2）分布函数的基本性质；（3）分布函数与离散型随机变量的分布律之间的联系；（4）连续型随机变量的概率密度的定义；（5）概率密度的性质；几种常见的连续型随机变量（一）均匀分布：（1）概率密度；（2）分布函数；（二）正太分布：（1）概率密度；（2）分布函数；§2.4 随机变量的函数的分布（1）离散型随机变量的函数的分布（2）连续型随机变量的函数的分布考点：1、有关分布律、分布函数以及分布密度的基本概念的命题，2、有关分布律、分布密度以及分布函数之间的关系的命题，3、已知事件发生的概率，反求事件中的参数，4、利用常见分布求相关事件的概率，5、求随机变量的分布律、分布密度以及分布函数，6、求随机变量函数的分布。

概率论与数理统计第三章章节总结

概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量及其分布、随机变量的离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容。

以下是本章的总结:
1. 随机变量及其分布
第三章第一小节介绍了随机变量的定义和性质,并介绍了离散型和连续型随机变量的区别。

然后,章节第二小节介绍了随机变量的分布,其中包括概率分布、密度函数、期望和方差的计算方法。

这些内容对于理解随机变量的分布非常重要。

2. 随机变量的离散概率和连续概率
第三章第三小节介绍了随机变量的离散概率和连续概率。

离散概率讨论的是离散型随机变量在某一范围内的取值概率,而连续概率讨论的是连续型随机变量在某一区间内的概率。

这些概念对于理解随机变量的性质和分布非常重要。

3. 期望和方差的计算
第三章第四小节介绍了期望和方差的计算方法。

期望是指一个随机变量的平均值,可以通过计算各个取值的概率和总和来实现。

方差是指一个随机变量在各个取值之间的差异,可以通过计算各个取值的差值和总和来实现。

这些内容对于计算随机变量的期望和方差非常重要。

4. 贝叶斯统计学
第三章第五小节介绍了贝叶斯统计学的原理和应用。

贝叶斯统计
学可以用来预测未来事件的概率,也可以用于概率模型的建模和优化。

这些内容对于实际应用非常有帮助。

综上所述,概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量的分布、离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容,是学习概率论和统计学的重要基础。

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公理 3（可列可加性）
两两互斥，则 P (
)＝
(2)条件概率——P(B∣A)＝
P(AB)＝P(A) P(B∣A) P(B) P(A∣B)
2、概率基本性质 (1) P(Φ)＝0，P(Ω)＝1
(2) 有限可加性 P(
)＝
(3) 求逆公式 P( )＝1-P(A) ※补充：对于固定事件 A，P(B∣A)具有概率一切性质 ① P(Φ∣A)＝0，P(A∣A)＝1
1、定义 F(X)=
， <x< ，其中 f(x)为 X 的概率密度函数
【连续型：求分布函数就是求概率，哪儿求概率哪儿求积分】
（※利用 2、概率密度 f(x)性质
可简化求解）
(1)f(x) 0（非负可积性） （2）
3、连续型性质【重要】 ① F(x)为连续函数 ②对于 f(x)连续点 x，有 =f(x) ③对于任何实数 C，P(X=C)=0
①包含 A B 事件 A 发生一定导致 B 发生 【小推大】
②相等 A B 且 B A A=B 【等价=相等】
③互斥 AB=Φ A、B 不能同时发生
④对立
A、B 在一次试验中必然发生且只能发生一个
⑤完全事件组
且
(1≤i≠j≤n)，称
(2)事件间运算(三种)：并(和)，交(积)，逆(差) ①A、B 和事件 A∪B 或 A+B A、B 至少有一个发生
几何分布的无记忆性：设 X G(p)，即
，k=1 2 (0 p 1)则对于
任何正整数 m,k 有 P(X=m+k∣X 6、均匀分布 U(a,b)
)=P(X=k)
密度 f(x)=
分布函数 F(x)=
例：设随机变量 在(1,b)上服从均匀分布，则方程
有实根的概率是( )
7、指数分布 E( ) 【背景了解：机器元件使用寿命、生物生命周期等】
2、分布律 P(X= )= ，i=1 2 n （表述 1）
X
…
…
(表述 2)
P
…
…
满足：①非负性
, i=1 2 n ； ②
【逆向思维的隐含条件】
3、分布函数 设 X 分布律 P(X= )= ，i=1 2 n
则 F(x)=P(X )=
， <x<
【若已知 X 的分布函数 F(X),则易求得 X 分布律：P(X= )=F( )-F( -0),i=1 2 】 三、连续型随机变量
另三对也独立
【A、B 对立 A、B 互斥（小推大），但 A、B 互斥 A、B 对立】
第二章 随机变量及其分布
(一)考试内容 随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 (二)考试要求
连续型随
1．理解随机变量的概念，理解分布函数F(x)= P{X≤x}( <x< )的概念及性质，会计
(1)定义 F(x)=P{X≤x}, <x< 为 X 的分布函数
①显然任何随机变量都有分布函数
②分布函数 F(x)是普通函数，定义域(
)，值域[0,1]
③F(x)在某 处 F( )表示 X 在（
(2)性质 ①0≤F(x)≤1 ②单调不减，即对任何
, ]内取值概率
③右连续，即对任何实数 ，有 F(x+0)=F(x)
立下，条件概率中分母事件变化不影响概率，分子事件变化会影响概率) ②A 与 B， 与 B，A 与 ， 与 中有一对相互独立 另三对也独立
③P(A)>0，P(B)>0
【口诀：独立不互斥，互斥不独立(注意前提条件)】 (2)A、B、C 相互独立 ①P(AB)=P(A)P(B) ②P(BC)=P(B)P(C) ③P(CA)=P(C)P(A) ④P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 若①②③④同时成立，则 ABC 相互独立；若仅满足①②③，则 ABC 两两独立。 【同理，“n 个事件相互独立”与“n 个事件两两独立”并非一回事】
算与随机变量相联系的事件的概率。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布B(n, p)、几
何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P( )及其应用。
3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U(a,b) 、正态分布N( ， )、
密度 f(x)=
分布函数 F(x)=
指数分布的无记忆性：设 X E( )，则对任意 s 0，t 0,有 P(X=s+t∣X s)=p(X t)
推导：
8、正态分布【用图像法解题】 (1)一般正态分布 X N( ， )
密度函数 f(x)=
, <x< ，其中 ， < <
分布函数 F(x)= (2)标准正态分布 X N( ，1)
② P( )＝1-P( )
③ P(
)＝P(
) + P(
) - P(
) 【由加法公式变型】
特别地，
（互斥），则 P(
)＝P(
) + P(
)
④ P(
)＝P( ) - P(
) 【由减法公式变型】
特别地，
（包含），则 P(
3、两大基本概型
)＝P(
) - P(
)
(1)古典概型 P(A)＝
随机试验 E 的样本空间Ω＝｛
P(A)＝
j= i=1 2 n.
例：从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，2...X 中任取一个数记为 Y，则 P(Y=2)=( ),p(X=3｜Y=2)=( )
三、独立相关概念 1、事件独立性
(1)A、B 相互独立
P(AB)=P(A)P(B)
①P(A)>0 时 P(A∣B)＝
＝P(A)【同理 P(A∣ )＝P(A)】(※A、B 相互独
, <x<
密度函数 (x)=
, <x<
分布函数 (x)=
, <x<
性质：① (-x)= (x) ② (0)= ③
补充：P( P(
)=1-2P(X a)=1-2[1-P(X )]=2 )=2[1- ]
(3)标准化 如果 X N( ， )，则
N（0，1）
①求概率 P(a X b)=P{
}=
②对称性 P(X )=P(X )=
②结合律
A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C
③分配律
A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
④德摩根律(对偶律)
【小技巧：“∪”看成“+”，“∩”看成“ ”】
(4)关系运算 10 类（熟练掌握） 设 A、B、C 是三个随机事件
①恰好 A 发生
(1)特征：①独立重复②每次试验结果只有两个(A 与 )
(2)公式：
, k=1 2 n.
【
】
3、易混淆类 (1)独立性与互不相容(互斥)
①两个不同的概念
②A、B 既独立又互不相容，则 P(A)=0 或 P(B)=0
③A 与 B， 与 B，A 与 ， 与 中有一对相互独立 ④概率为 0 或 1 事件与任何事件独立 (2)对立与互不相容(互斥)
（※若事件 A、B、C 相互独立，则 ABC 中任何一个事件与另外两事件的并(和)、交(积)或差 均分别独立）【同理，可推广到 n 个事件】 例：设 A、B、C、D 相互独立，则下列事件中可能不独立的是（ ）
A．
B. A+B-C 与
C.
D.A+ 与 B+D-C
【解析：D 中出现相同字母，故不独立（理由由上述※而来）】 2、独立重复试验(伯努利概型)
例：设 X N( ， )且 P(2 X )=0.3，则 P(X 0)=(
有
，其中
】
例：设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为 ,则
这段时间内至少有两辆通过的概率为（ ）
4、超几何分布 H(N,M,n) 分布律
【古典概型问题】
5、几何分布 G(p) 分布律
, k=1 2 (0 p 1)
模型：做独立重复试验中首次出现的概率（e.g 首次出现成功次数的概率）（区别二项分布）
④F( )=0，F( )=1 3、相关事件概率 ①P(X b)=F(b)，P(X b)=F(b-0) 【必背】
②P(a X b)=F(b)-F(a)
③P(a X b)=F(b-0)-F(a-0)
④P(X b)=F(b)-F(b-0)
二、离散型随机变量 1、定义 X 取值只有有限个或可列无穷个 【离散型分布律(一维)，联合分布规律(二维)是一个充分有效的信息】
模型是 n 重伯努利试验 【难点：模型要自己建立】（e.g 出现成功的次数概率）
3、泊松分布 分布律
, k=1 2 n.
泊松定理：设在 n 重伯努利试验中，A 每次发生概率 ( 与 n 有关)，n 时，
n
( ),对任一非负整数 k，有
【泊松定理表明，X
，当 n 很大(n>100),p 很小(p<0.1),而 np 适中时，
《概率论与数理统计》知识梳理
第一章 随机事件和概率
(一)考试内容 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 (二)考试要求 1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运 算。 2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概 率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式。 3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概 念，掌握计算有关事件概率的方法。 (三)知识点 一、关系与运算 1、样本空间 试验每一可能结果——样本点ω 所有样本点集合——样本空间Ω 2、随机事件 样本空间子集——随机事件（一般用大写 A，B，C 表示） Ω——必然事件 Φ——不可能事件 【随机试验→(结果)→样本点→(集合化)→样本空间→(子集)→随机事件】 3、事件关系及运算 (1)事件间关系：包含，相等，互斥，对立，完备事件组，独立