信息光学原理第2章

第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛bf Λ。

若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。

并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。

1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。

因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。

（必要时，可取合理近似）（1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π, 答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。

信息光学实验讲义（二）指导教师：刘厚通安徽工业大学数理学院实验三全息光栅的制作引言光栅是一种重要的分光元件,在实际中被广泛应用。

许多光学元件, 例如单色仪、摄谱仪、光谱仪等都用光栅作分光元件;与刻划光栅相比, 全息光栅具有杂散光少、分辨率高、适用光谱范围宽、有效孔径大、生产效率高, 成本低廉等突出优点。

实验目的1、了解全息光栅的原理；2、掌握制作全息光栅的常用光路和调整方法；3、掌握制作全息光栅的方法。

基本原理（1）全息光栅当参考光波和物光波都是点光源且与全息干板对称放置时可以在干板上形成平行直条纹图形，这便是全息光栅。

采用线性曝光可以得到正弦振幅型全息光栅。

从光的波动性出发，以光自身的干涉进行成像，并且利用全息照相的办法成像制作全息光栅，这是本节的内容。

（2）光栅制作原理与光栅频率的控制用全息方法制作光栅, 实际上就是拍摄一张相干的两束平行光波产生的干涉条纹的照相底片，当波长为λ的两束平行光以夹角 交迭时, 在其干涉场中放置一块全息干版, 经曝光、显影、定影、漂白等处理, 就得到一块全息光栅。

相邻干涉条纹之间的距离即为光栅的空间周期d (实验中常称为光栅常数) 。

如图2-1所示：图2-1全息光栅制作原理示意图有多种光路可以制作全息光栅。

其共同特点是①将入射细光束分束后形成两个点光源，经准直后形成两束平面波；②采用对称光路，可方便地得到等光程。

如图2-2和图2-3所示。

Ⅰ图 2-2 全息光栅制作实验光路图MSPL1L2L1234567891011121314151617SPML350150100270200150L1L2图 2-3 全息光栅制作实验光路图图2-2采用马赫-曾德干涉仪光路,它是由两块分束镜（半反半透镜）和两块全反射镜组成，四个反射面接近互相平行，中心光路构成一个平行四边形。

从激光器出射的光束经过扩束镜及准直镜，形成一束宽度合适的平行光束。

这束平行光射入分束板之后分为两束。

一束由分束板反射后达反射镜，经过其再次反射并透过另一个分束镜，这是第一束光；另一束透过分束镜，经反射镜及分束镜两次反射后射出，这是第二束光。

第二章信息光学的数学基础◆引言在这一节，我们将以简明的格式，全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质，着重从光学眼光看待那些公式和数学定理，给出相应的光学显示或光学模拟，这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关，其意义就不仅仅限于光学领域了。

2.1傅里叶变换◆傅里叶级数首先．让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式，这里，)(x g 称为原函数，n G 称为博里叶系数或频谱值，它是傅里叶分量nf x i e2π的幅值．◆频谱的概念频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。

因此，傅立叶分析也称频谱分析。

频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。

相位型频谱用的较少，通常提到的频谱大都指振幅型频谱。

为了更深刻的理解不同形式的频谱概念，以实例来进一步说明。

对于光栅我们可以用透过率函数)(x g 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。

为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N 无限大.)(x g 是周期性函数 则：上式表明，图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为),()(md x g x g +=),2,1,( ±±=m ++-+=)52cos(52)32cos(32)2cos(221)(000x p x f x f x g ππππππ这里f 称为空间频率. 0f 是f 的基频.。

周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为基频整数倍.在f =0处有直流分量.透过率函数也可用复数傅里叶级数表示:再回到光栅装置.由光栅方程,在近轴条件下因此透镜后焦面上频率为当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的.故傅立叶变换能达到分频的目的。

◆傅里叶变换在现实世界中，不存在严格意义下的周期函数，非周期变化是更为普遍的现象．从数学眼光看，非周期函数可看作周期∞→d 的函数．据此，可将上述傅里叶级数求和式过渡到积分表达式．结果如下，上式(*******)称为傅里叶变换，下式******)称为博里叶逆变换．对于二维情形，傅里叶变换和逆变换的积分式为简单地表示为,5,3,1,dd d f =xf i n x f i xf i x f i x p i x f i x f i n e G e e e e e e xg 25252323222 )(51)(31)(121)(000000ππππππππππ∑=++++-++=--- ,sin λθn d =),2,1,0( ±±=n ,sin 0λλθnf d n f x =='≈λf xnf f '==0从光学眼光看),(y x g 代表一波前函数，线性相因子)(2y f x f i y x e+π代表—平面波成分，(y x f f ,)代表一空间频率，对应一特定方向的平面波．于是，积分式(******)表明，任一波前可以分解为一系列不同空间频率的平面波前成分的叠加．对于非周期函数，空间频率(y x f f ,)的取值不是离散的，而是连续的，存在于(∞∞-,)．因此，在(y x f f ,)一(y y x x df f df f ++,)频率间隔中，平面波成分的振幅系数dA 表示为这给出了谱函数G(y x f f ,)的光学意义一一频率空间中单位频率间隔的振幅系数，即振幅的谱密度函数，简称频谱。

第一章习题1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。

若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。

并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。

1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。

因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。

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第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g c o m b =系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。

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