高一数学二面角复习课(2019年8月整理)

第13课时二面角一、【学习导航】知识网络学习要求1.理解二面角及其平面角的概念2.会在具体图形中作出二面角的平面角，并求出其大小．【课堂互动】自学评价１. 二面角的有关概念(1)．半平面：(2).二面角：(3).二面角的平面角：(4).二面角的平面角的表示方法：(5).直二面角：(6).二面角的范围：2.二面角的作法：(1)定义法(2)垂面法(3)三垂线定理【精典范例】例1：下列说法中正确的是（D）A.二面角是两个平面相交所组成的图形B.二面角是指角的两边分别在两个平面内的角C.角的两边分别在二面角的两个面内, 则这个角就是二面角的平面角D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱.例２如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求二面角D1-AB-D的大小;(2)求二面角A1-AB-D的大小见书43例1(1) 45°(2) 90思维点拨要求二面角的平面角，关键是根据图形自身特点找出二面角的平面角，主要方法有：定义法，垂面法，三垂线定理法．步骤为作，证，求．例３在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD的夹角的正弦值．点拨：本题可以根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角．分析：取BD的中点O，连接A1O,C1O，则∠A1O C1为平面A1BD与平面C1BD的二面角的平面角．答：平面A1BD与平面C1BD的夹角的正弦值1 3追踪训练1.从一直线出发的三个半平面，两两所成的二面角均等于θ，则θ=60°2.矩形ABCD中，AB=3,AD=4,PA⊥面ABCD，且A-BD-P的度数为30°3.点A为正三角形BCD所在平面外一点，且A到三角形三个顶点的距离都等于正三角形的边长，求二面角A-BC-D的余弦值.答：13ADD1A1BCB1C1C A第14课时 二面角分层训练1.已知二面角α- l –β为锐角，点ＭÎα，Ｍ到β的距离ＭＮ＝６，则N 点α的距离是 ( )A. B. 3C.D. 2.过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA 垂直于平面ABCD , 如果PA=AB , 那么平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角为 ( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3.已知钝二面角α- l –β等于θ, 异面直线a 、b 满足a Ìα, b Ìβ, 且a ⊥l , b ⊥l , 则a , b 所成的角等于 ( )A. θB. π－θC.2－θD. θ或π－θ 4.等边三角形ＡＢＣ的边长为１，ＢＣ边上的高是ＡＤ，若沿高ＡＤ将它折成直二面角Ｂ－ＡＤ－Ｃ，则Ａ到ＢＣ的距离是 ．5.在直角三角形ＡＢＣ中，两直角边AC=b,BC=a,CD ⊥AB 于D ，把三角形ABC 沿CD 折成直二面角A-CD-B ，求cos ∠ACB ＝ ．6.如图, 已知AB 是平面α的垂线, AC 是平面α的斜线, CD Ìα, CD ⊥AC, 则面面垂直的有_____________ .7.在四棱锥P-ABCD 中, 若PA ⊥平面ABCD, 且ABCD 是菱形, 求证: 平面PAC ⊥平面PBD.8.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , 求二面角C 1-BD-C 的正切值．A 11拓展延伸正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为１，Ｐ是ＡＤ的中点，求二面角Ａ－ＢＤ１－Ｐ的大小．。

高一数学知识重点：两个平面的位置关系之二面角知识点总结高中数学具有较强的学科化特点，难度有些高。

所以在学数学的时候要学会读书，把厚书读薄。

要想熟练灵活的运用知识，就需要掌握适合自己的学习方法，下文为同学们整理了高一数学知识重点，详情如下：两个平面的位置关系：(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。

二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

Attention：二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)数学，在我们的日常生活中，尤其对于学生来说，学好它很重要。

有句俗话说得好，学好数理化，走遍天下都不怕，可见数学的重要性。

而且对于我们很多的学生来说，高考是我们的学生一个很重要的出路。

而学好数学，不仅对于我们考上好的大学，有很大的帮助。

而且对我们以后的事业和我们甚至是我们的智力的发展，都有很大的帮助。

那么我们该如何学好数学呢?要学好数学，首先最重要的一点，我们要及时的预习。

高中数学知识点二面角二面角是解析几何中的重要概念，在高中数学课程中也占有一定的比重。

下面将对二面角的定义、性质、应用以及解题方法进行详细介绍。

一、二面角的定义：二面角是指在空间中，由两个不重合射线所确定的两个平面之间的角。

具体而言，设有两条射线OA和OB，这两条射线除了一个公共点O之外没有其他交点，那么我们就可以通过射线OA和射线OB来确定一个二面角。

二、二面角的性质：1.二面角的大小范围是0到π之间，即0<α<π。

2.如果射线OA与射线OB共面，则二面角的大小为0。

3.如果两个射线平行或共线，则二面角的大小为π。

4.二面角的大小与两个面之间的夹角有关，夹角小，二面角大；夹角大，二面角小。

三、二面角的应用：1.几何推理：在解决空间几何题目时，常常需要运用二面角的概念进行证明与推理。

2.几何计算：在三角学和立体几何的计算中，常常需要求解二面角的大小以完成问题的解答。

3.坐标几何：通过给定点的坐标，可以确定射线的方向，进而求解二面角的大小。

四、二面角的解题方法：1.直接法：通过已知条件，利用二面角的定义直接计算得出二面角的大小。

2.投影法：将二面角所在的两个平面进行坐标投影，然后利用向量的内积关系来求解二面角的大小。

3.解析法：利用解析几何的相关知识，将二面角所在的两个平面转化为方程，然后通过求解方程组来求解二面角的大小。

在具体的解题过程中，我们需要根据题目的要求选择合适的解题方法，然后通过运用相应的数学知识和技巧来计算和推导。

总之，二面角是高中数学中的重要知识点之一，理解二面角的定义、性质和应用，掌握求解二面角的解题方法，对于解决相关问题具有重要的意义。

通过深入学习和实践应用，相信同学们对于二面角的理解和运用能力会有所提高。

二面角一、教材全接触1、平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AO B ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）角的顶点在棱上（2）角的两边分别在两个面内(与顶点位置无关) （3）二面角的平面角范围是[0,180]；（4）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直二、典型例题分析【例1】在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小1A1A 解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ，∵正方体1AC，∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥， ∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角，在AOC ∆中，11AO CO AC ===，可以求得11cos 3AO C ∠=即二面角11A B D C --的大小为1arccos 3． （2）过1C 作1C O BD ⊥于点O， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面AB C D 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小为． 说明：求二面角的步骤：作——证——算——答【例2】已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小解：作AO l ⊥于点O ，AB ⊥平面β于点B ，连接BO ， ∵AB β⊥于点B ，AO l ⊥于点O ，∴l OB ⊥，∴AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角， 易知，4AB AO ==，∴60AOB ∠=即二面角l αβ--的大小为60．说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线则已经有三种作二面角的平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法lBOAβαβαlP CB图1AD CBPA【例3】如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4,二面角的大小分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能在外部，应区别处理解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时， ∵PA α⊥ ∴PA l ⊥ ∵AC l ⊥ ∴面PAC l ⊥ 同理，面PBC l ⊥而面PAC 面PBC PC = ∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，则ACB ∠是二面角l αβ--的平面角在Rt APC ∆中，1s i n 2PA ACP PB ∠=== ∴30ACP ∠=在Rt BPC ∆中，sin 2PB BCP PC ∠===∴45BCP ∠= 故304575ACB ∠=+=（图1）或453015ACB ∠=-=（图2） 即二面角l αβ--的大小为75或15【例4】如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A --的平面角为θ，求证：cos S S '⋅=证明：过P 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PD ⊥ ∴BC AD ⊥∴PDA ∠为二面角P BC A --的平面角， 即PDA θ∠=∵PA ⊥面ABC ∴PA AD ⊥ ∵PAD ∆是直角三角形 ∴cos ADPAD PD∠=βαlPCB图2A又∵11,22PBC ABC S BC PD S S BC AD S ∆∆'=⋅==⋅= ∴cos S PAD S '∠= ∴cos S Sθ'=即cos S S θ'⋅=说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法五法求二面角一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

高中数学教案：二面角复习课一、教学目标：1．使学生进一步把握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使学生把握求二面角平面角的差不多方法，不断提高分析咨询题和解决咨询题的能力．二、重点和难点：使学生能够作出二面角的平面角；依照题目的条件，作出二面角的平面角．三、教学过程1．复习二面角的平面角的定义．空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何咨询题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量运算，其中定性是定位、定量的基础，而定量那么是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一样讲来，对其平面角的定位是咨询题解决的关键一步．但是学生往往把握不住其定位的差不多思路而导致思维纷乱，甚至错误地定位，使咨询题的解决白费无益．看右图．如图1：α，β是由l动身的两个半平面，O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．这确实是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们能够得到以下特点：〔1〕过棱上任意一点，其平面角是唯独的；〔2〕其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，假如在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特点〔2〕可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特点．〔3〕表达出一完整的三垂线定理〔或逆定理〕的条件背景．特点〔1〕讲明，其平面角的定位可先在棱上取一〝点〞．耐人寻味的是这一点能够随便取，但又总是不随便取定的，它必须与咨询题的条件背景互相沟通，给运算提供方便．例1 ：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．分析：由条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，因此连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，那么∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．〔图2〕正因为此四面体的特性，解决此咨询题，能够取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量制造了得天独厚的条件．特点〔2〕指出，假如二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角确实是α-l-β的平面角．〔如图3〕由此可见，二面角的平面角的定位能够考虑找〝垂平面〞．例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．这是一道由平面图形折叠成立体图形的咨询题，解决咨询题的关键在于搞清折叠前后的〝变〞与〝不变〞．假如在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，那么折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE现在变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特点〔2〕可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，因此E点确实是A′，如此的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量运算，特点〔2〕从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们能够把构成二面角的两个半平面〝摆平〞，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．〝平面图形〞与〝立体图形〞相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．特点〔3〕显示，假如二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．现在，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．〔如图6〕，由此可见，二面角的平面角的定位能够找〝垂线段〞．课堂练习1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．练习1的条件背景讲明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征〔2〕可知，这两个二面角的大小必定互补．为制造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1〔或D1〕作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1〔或OC1〕即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，那么吻合后的几何体出现几个面？分析：这道题，学生答〝7个面〞的占99.9％，少数应服从多数吗？从例题中三个特点提供的思路在解决咨询题时各具特色，它们的目标分不是找〝点〞、〝垂面〞、〝垂线段〞．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．把握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力专门重要．此题假如能融合三个特点对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的宽敞性和批判性．如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分不作BC的垂线，那么垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特点〔1〕，〔2〕，可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，因此V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．因此这道题的正确答案应该是5个面．例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有显现二面角的棱，我们能够设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，那么这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，明显直线EF在底面A1C1的射影为HA1．延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，那么∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值注：我们也能够不直截了当作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的运算得出其平面角的大小．我们能够使用平移法．由两平面平行的性质可知，假设两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直截了当作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH．显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．那么二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．因此∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小．例4 ：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．因此AB∥平面CPD．又P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．因此二面角B-l-C确实是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．因为AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，因此AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为l∥AB∥CD，因此PE⊥l，PF⊥l，因此∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因为PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为E，F分不是AB，CD的中点，因此EF=BC=a．在△EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确明白得其定义的基础上，把握其差不多特点，并灵活运用它们考察咨询题的背景．我们差不多看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此查找〝垂线段〞，把咨询题化归是十分重要的．四、作业：1．120°二面角α-l-β内有一点P，假设P到两个面α，β的距离分不为3和1，求P到l 的距离．2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数．。