人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案空间向量及其加减运算

相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面内
的两条有向线段表示．
2.空间向量的加法、减法向量
C
B

b
b
O
a
A
OB OA AB a + b CA OA OC a - b
⒊空间向量加法运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
3.1.1 空间向量及其加减运算
一、平面向量复习
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示； 字母表示法： 用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB 表示． 相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B A C
D
⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
b
a
a 三角形法则(首尾相连)
AB
相等的所有向量；
（2）写出与向量
A A1
的相反向量。
ABCD A 'B 'C 'D '，化简 例2 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向
⑴AB BC ；
D’ A’ B’
C’
⑵ AB AD AA '；
( 3 ) A B C B A A
( 4 ) A C D B D C
平行四边形法则
⑵向量的减法
三角形法则
b
a
减向量终点指向被减向量终点
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 起点指向末尾向量的终点的向量．即：

A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An1
A5
A2
An
A3
A4
空间向量的减法
b a
C
O
A
CA OA OC
空间向量的数乘

实数与 a的乘积也是

一个向量，记为 a



大小：| a || || a |

0, 与同向
高中数学课件
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空间向量的线性运算
创设情境
已知F1,F2,F3,这三个力的方向如图所示，
试作出它们的合力
F3
F2
F1
复习 问题⒈平面向量中的有关概念
平面向量
空间向量
向 定义 量
表示
向量的模
特 零向量 殊 向 单位向量 量
平面内具有大小又有方向 的量
几何表示：有向线段
字母表示或a、b

求证：MN

1

( AD

BC)
2
A
Ｄ
B
Ｎ
C
课堂练习
1.已知F1,F2,F3,这三
个力的方向如图所示， 试作出它们的合力
F2
F3 F1
方向： 0, 与反向




0,

a


0
例如:
3a
a 3a
平面向量的运算律
(1)加法交换律： a b b a (2)加法结合律：（a b） c a (b c)
(3)数乘分配率： 即：(a b) a b （ ）a a a ()a ()a

首页 探究一 探究二 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
探究二空间向量的加法与减法运算 【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算 的结果为向量 ������������1 的共有( )
①������������ + ������������ + ������������1 ;②������������1 + ������1 ������1 + ������1 ������1 ;③������������ − ������1 ������ + ������1 ������1 ;④
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课前预习案
课Hale Waihona Puke 探究案解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可 能相反,故它们不一定相等; ②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量; ③正确,������������1 与������������1 的模相等,方向相同; ④错误,空间四边形 ABCD 中,������������ 与������������的模不一定相等, 方向也不一定相反; ⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与������������1 的模一定相等的向量是 ������1 ������, ������������1 , ������1 ������, ������������1 , ������1 ������ ,一共有 5 个.
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课堂探究案
做一做1 下列命题中正确的是( ) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p 解析：单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必 有|a|=1,即C项正确. 答案：C

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练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D (1)原式＝AB BM MG AG
B
M
2019年4月29日
(2)原式
G ＝AB BM MG 1 ( AB AC)
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空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
D1
A1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
D
C1 B1
C
A
B
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例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
加法交换律 a b b a
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律
2019年k (4a月29日b) k a＋k眼b皮蹦跳跳专业文k档(眼a 皮 b) k a1＋6 kb

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重难聚焦
第一章
三角函数
(6)向量减法的几何作法:如右图,在平面内任取一点 O,作 ������������ =a, ������������ =b,则������������ =a-b,即 a-b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
3.1 空间向量及其运算
-1-
3.1.1 空间向量及其加减运算
-2-
目标导航
第一章
三角函数
1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示和字母表示. 2.掌握空间向量的加减运算及其运算律,理解向量减法的几何意 义.
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
空间向量的加减法 剖析:(1)求两个空间向量和的运算,叫做空间向量的加法. (2)空间向量加法的三角形法则.如图所示,若������������ =a, ������������ =b,则 ������������ = ������������ + ������������ =a+b.使用三角形法则要特别注意“首尾相接”.
解析:①(������������ + ������������ ) + ������������1 = ������������ + ������������1 = ������������1 , ②(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 = ������������1 + ������1 ������1 = ������������1 , ③(������������ + ������������1 ) + ������1 ������1 = ������������1 + ������1 ������1 = ������������1 , ④(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 = ������������1 + ������1 ������1 = ������������1 .

加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
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推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的
起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
a
b
c
a
b
c
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对空间向量的加法、减法的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立． ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加．
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例1、给出以下命题：
3.1.1 空间向量及其加减运算
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1
一、平面向量复习
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示；
字母表示法： 用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
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C’ B’
C B
15
例4、如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，下
列各式中运算的结果为向量 AC1 的共有（ ）
(1)( AB BC) CC1;(2)( AA1 A1D1) D1C1;
(3)( AB BB1) B1C1; (4)( AA1 A1B1) B1C1.

学法指导
面向空间推广的过程，了 结合平面向量的相关性 解空间向量的概念． 质，类比学习空间向量的
2. 掌握空间向量的加法、 概念与运算，通过对空间 减法运算法则及其表示． 向量的学习，进一步体会 3. 理解并掌握空间向量的 数形结合的思想. 加、减法的运算律.
01课前自主学习
空间向量
1.
在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那
第三章 空间向量与立体几何
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一．它是沟通 代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背 景，空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角．空间向量 的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了 一个十分有效的工具，向量是一个重要的代数研究对象，引入 向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大的跳跃．从数、 字母与代数式到向量，运算也从一元到多元，向量又是一个几 何的对象，向量本身有方向，有方向就有角度和长度，能刻画
(3)在应用向量的三角形法则和平行四边形法则时，要注意以下 几点： ①对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量共起点，运用 三角形法则要求向量首尾顺次相连． ②对于向量的减法要求两向量有共同的起点．
3．空间向量和的多边形法则 有限多个空间向量a1，a2，…，an相加，也可以像平面向量那 → → 样，从某点O出发，逐一引向量OA1＝a1，A1A2＝a2，
利用向量解决立体几何问题是这一章学习的重点．学习中 应体会向量的思想方法在立体几何中的作用．掌握用向量方法 解决立体几何问题的“三步曲”，并灵活选择运用向量方法、 综合方法与坐标方法，从不同角度解决立体几何问题.
§3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
课标要求 1. 经历向量及其运算由平

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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3。

1.1 空间向量及其加减运算学习目标1。

了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等概念。

2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3。

了解向量加法的交换律和结合律．知识点一空间向量的概念(1）在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模,向量a的起点是A,终点是B，则向量a也可记作错误!，其模记为|a|或｜错误!|.（2）几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二空间向量的加减运算及运算律思考下面给出了两个空间向量a，b，作出b＋a,b－a.答案如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝错误!＋错误!＝a＋b，错误!＝错误!－错误!＝b－a。

→ ＝OA → ＋tAB → ，则P，A，B共线.( (3)如果OP (4)空间中任意三个向量一定是共面向量.(
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
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第一章
三角函数
[小组合作型]
空间向量的有关概念
(1)给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； → → ②在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC＝A1C1； ③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反； → ＋AD → ＝AC →. ④在四边形ABCD中，必有AB 其中正确命题的序号是________.
【答案】 C
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第一章
三角函数
教材整理2 空间向量的线性运算 阅读教材P85第三自然段～P863.1.2第二自然段，完成下列问题. 1.(1)空间向量的加、减法运算(如图311)
图311 → ＝OA → ＋AB → ＝________；CA → ＝OA → －OC → ＝________. OB (2)运算律：①a＋b＝________； ②(a＋b)＋c＝________. 【答案】 a＋b a－b b＋a a＋(b＋c)
【答案】 大小 方向 长度或模 1 长度为0 相同 相等 方向 模
栏目 导引
第一章
三角函数
→ 相等的向 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量 AD 量共有( A.1个 ) B.2个 C.3个 D.4个
→ 相等的向量有BC → ，A→ → 【解析】 与向量AD D ， B 1 1 1C1共3个.
【答案】 (1)λa 向量 相同 相反 0 |λ| (2)λa＋λb (λμ)a
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第一章
三角函数
→ ＝a，CB → ＝b，AD → ＝c，则CD → 等于( 1.已知空间四边形ABCD中，AB A.a＋b－c C.－a＋b＋c B.－a－b＋c D.－a＋b－c

牛刀小试
4．化简下列各式：(1)A→B＋B→C＋C→A；(2)A→B－A→C＋B→D－C→D；
(3)O→A－O→D＋A→D；(4)N→Q＋Q→P＋M→N－M→P.结果为零向量的个数
是( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
• [答案] D
[解析] 对于(1)，A→B＋B→C＋C→A＝A→C＋C→A＝0； 对于(2)，A→B－A→C＋B→D－C→D＝(A→B＋B→D)－(A→C＋C→D)＝D→A＋A→D＝0；对于(4)，N→Q＋Q→P ＋M→N－M→P＝(N→Q＋Q→P)＋(M→N－M→P)＝N→P＋P→N＝0.
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量及其加减运算
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过 程，了解空间向量的概念．
O→An＝O→A1＋A→1A2＋…＋An－1An＝__a_1_＋_a_2＋__…_＋__a_n______. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 上，这时的和向量等于__零__向_量_____．
3．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连接终点 A，B， 则A→B＝b－a，B→A＝a－b. 也可以由向量的加法来定义：减去一个向量就等于加上这 个向量的相反向量．由此可以推出向量等式的移项方法，即将 其中任意一项__变__号______后，从等式一端移到另一端． 4．加法的交换律，结合律在空间向量中_仍__然_成__立____．

(1) AB BC
(2) AB AD AA1 解：(1) AB BC＝AC;
D1 A1
C1 B1
(2) AB AD AA1
AC AA1
D
C
AC CC1
AC1
A
B
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
思考：空间任意两个向量是否可能异面？ B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
切记： 空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用
同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量
中有关结论仍适用于它们。

3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量，记为 – a .
4. 相等向量（equal vetor）
方向相同且模相等的向量称为相等向 量.
人 教 A 版 选修 21高二 数学3 .空间向 量及其 加减运 算PPT 课件
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（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）;
（3）两个向量不能比较大小，因为决定 向量的两个因素是大小和方向，其中方向不 能比较大小.
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知识要点
1. 空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 空间向量（space vetor ）.
向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).
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（2）加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c)
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a
AB = OC = b 所以 a + b = b + a
证明加法结合律:
O
a
A
C
bBc
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c

3．1 空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算内容标准学科素养1.理解空间向量的概念．2.掌握空间向量的加法、减法运算.利用直观抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第51页[基础认识]知识点一空间向量的概念预习教材P84－85，思考并完成以下问题如图，一块均匀的正三角形的钢板质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？图中的三个力F1，F2，F3是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量．因此，解决这个问题需要空间向量的知识．事实上，不同在一个平面内的向量随处可见．例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA→，OB→，OC→就是不同在一个平面内的向量(如图)．知识梳理(1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记为AB→，其模记为|a|或|AB→|.(3)特殊向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量预习教材P 85－86，思考并完成以下问题 平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？提示：加法有三角形法则和平行四边形法则，减法有三角形法则．空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 已知空间向量a ，b ，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA →＝a ，OB →＝b .那么a ＋b 和a －b 如图所示．知识梳理 (1)空间向量的加法、减法类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)空间向量加法的运算律空间向量的加法运算满足交换律及结合律： ①交换律：a ＋b ＝b ＋a ；②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[自我检测]1．下列命题正确的是( )A ．若向量a 与b 的方向相反，则称向量a 与b 为相反向量B ．零向量没有方向C ．若a 是单位向量，则|a |＝1D ．若向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则不一定有m ＝p 答案：C2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( ) A ．a ＋b －c B ．c －a －b C ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b答案：B授课提示：对应学生用书第52页探究一 空间向量及相关概念的理解[例1] 给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD 1→与BC 1→是相等向量；④在空间四边形ABCD 中，AB →与CD →是相反向量；⑤在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为________．[解析] ①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量； ③正确，AD 1→与BC 1→的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD 中，AB →与CD →的模不一定相等，方向也不一定相反；⑤错误，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量是A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，一共有5个．[答案] ②③方法技巧 解决空间向量相关概念的问题时，注意以下几点： (1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可； (2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；(3)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．跟踪探究 1.下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D ．若|a |>|b |，|b |>|c |，则a >c解析：对于A ，由|a |＝|b |可得a 与b 的长度相同，但方向不确定；对于B ，a 与b 是相反向量，则它们的模相等，故B 正确；对于C ，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C 错；对于D ，向量不能比较大小，故D 错．答案：B探究二 空间向量的加法与减法运算[教材P 86练习3]在图中，用AB →，AD →，AA ′→表示A ′C →，BD ′→及DB ′→.解析：A ′C →＝A ′A →＋AC →＝A ′A →＋AB →＋AD →＝AB →＋AD →－AA ′→； BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→； DB ′→＝DB →＋BB ′→＝DA →＋DC →＋AA ′→＝－AD →＋AB →＋AA ′→. [例2] 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④[解析] ①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A. [答案] A方法技巧 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 跟踪探究 2.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是________(填序号)．①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以所给四个式子的运算结果都是AC 1→.答案：①②③④授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]空间向量的加法、减法运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.[素养培优]1．对空间向量的有关概念理解不清致误 下列说法中，错误的个数为( )(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同． (2)若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →>CD →.(3)若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量． (4)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3D ．4易错分析 向量相等，则向量的方向相同，模相等，但表示它们的有向线段的起点未必相同，终点也未必相同．故(1)(4)错误．反过来，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“＝”连接，故(2)错误． 自我纠正 (1)错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．(2)错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．(3)正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．(4)错误，由AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合． 故一共有3个错误命题，正确答案为C. 答案：C2．对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →.易错分析 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝AB →＋CB →＋B 1B →＝DC →＋DA →＋B 1B →＝DB →＋D 1D →＝D 1B →.自我纠正 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD →＋DD 1→＝BD 1→.。

3．1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算1.了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2.掌握空间向量的加法、减法运算．1．空间向量(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．(3)表示法⎩⎪⎨⎪⎧①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，可记作a ，也可记作AB →， 其模记为|a |或|AB →|(4)特殊向量单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向．单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等．2．空间向量的加减法与运算律平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．( ) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( ) (3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．() 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×空间两个向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论不正确的是( ) A ．a ＝－b B ．a ＋b＝0 C ．a 与b 方向相反D.|a |＝3答案：B已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A.AD → B.BD → C.AC → D.0答案：A下列命题中为真命题的是( ) A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案：A探究点1 空间向量的概念[学生用书P49](1)给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝－C 1C →；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反； ④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________； (2)如图所示，在以长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量．【解】 (1)①正确；②正确，因为AA 1→与C 1C →的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以AA 1→＝－C 1C →；③|a |＝|b |，不能确定其方向，所以a 与b 的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB →＋AD →＝AC →.综上可知，正确命题为①②.故填①②.(2)①由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量．解：(1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→共3个． (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →. 探究点2 空间向量的加减运算[学生用书P49]如图所示，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→. (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→，AC ′→如图所示．[变问法]试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量AC ′→用向量AA ′→，AB →，AD →表示． 解：在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →， 故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：01．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA → B .AB → C.OC →D .AC →解析：选C.OA →＋AB →－CB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →，故选C. 2．给出以下命题：①若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ②空间向量的减法满足结合律；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→. 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2 D.3解析：选C.由相反向量的定义知①正确；减法不满足结合律，②错误；③中由AC 瘙綊A 1C 1，知AC →＝A 1C 1→，正确．故选C.3.如图所示，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋A 1B 1→； (2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→； (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→； (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →. 解：(1)AA 1→＋A 1B 1→＝AB 1→.(2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→＝AA 1→＋A 1M →＋MD 1→＝AD 1→. (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→. (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →＝0. 4.在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB →′＋AD →′＝2AC →′. 证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形， 所以AC →＝AB →＋AD →，AB →′＝AB →＋AA →′，AD →′＝AD →＋AA →′， 所以AC →＋AB →′＋AD →′＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA →′)＋(AD →＋AA →′) ＝2(AB →＋AD →＋AA →′)． 又因为AA →′＝CC →′，AD →＝BC →，所以AB →＋AD →＋AA →′＝AB →＋BC →＋CC →′＝AC →＋CC →′＝AC →′. 所以AC →＋AB →′＋AD →′＝2AC →′.[学生用书P 50][学生用书P 127(单独成册)])[A 基础达标]1．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD →B.AD →＝AB →＋CD →＋BC →C.AD →＝AB →＋BC →－CD →D.BC →＝BD →＋CD →解析：选B.根据空间向量的加减运算可得B 正确． 2．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D.5解析：选C.①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4.3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向解析：选D.由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知A ，B ，C 三点共线且C 点在线段AB 上，所以AC →与CB →同向．4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→ B.AB →－AC →＋BB 1→ C.AB →＋AD →＋AA 1→ D.AC →＋CB 1→解析：选A.在A 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0.5．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D.矩形解析：选A.由于AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， 所以AB →＝DC →，从而|AB →|＝|DC →|，且AB 与CD 不共线， 所以AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．6．式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________．解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. 答案：AC 1→7．已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有________． ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确； AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC →，④错． 答案：①②③8．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．答案：③9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1)若A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，则AB →与CD →共线； (2)互为相反向量的向量的模相等； (3)任一向量与它的相反向量不相等．解：(1)正确．因为A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，所以AB →与CD →一定共线． (2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的． 10.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →； (2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →. 解：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(2)因为B 1C 1→＝BC →＝－CB →，D 1D →＝－AA 1→， 所以原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0.[B 能力提升]11．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量； ④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D .4个解析：选C.如图所示，①OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→， 所以OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量； ③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量． 12．下列说法中，错误的个数为( ) ①在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；②若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＝－CD →，则AB →，CD →互为相反向量． ③AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3D .0解析：选A.①正确．②正确.AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →互为相反向量．③错误．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合．13．如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．(1)AB 1→－AD 1→，AB 1→＋AD 1→.(2)AB →＋AD →－AD 1→，AB →＋AD →＋AD 1→.解：(1)如图所示，AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→，AB 1→＋AD 1→＝AB 1→＋B 1C 2→＝AC 2→.(2)如图所示，AB →＋AD →－AD 1→＝AC →－AD 1→＝D 1C →，AB →＋AD →＋AD 1→＝AC →＋CC 3→＝AC 3→.14．(选做题)如图所示，在六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量．解：(1)A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→＝AF →＋FE →＋AB →＋BB 1→＋CD →＋DC →＝AE →＋AB 1→＋0＝AE →＋ED 1→＝AD 1→.AD 1→在图中所示如下：(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→＝DF →＋FD →＋BD 1→＝0＋BD 1→＝BD 1→.BD 1→在图中所示如下：。

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一、空间向量的概念
1.理解空间向量概念时的四个关注点 (1)两向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量,两个向量之间只有等与不等之分而无大小之分. (2)有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法. (3)向量的相等:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (4)向量的平移:空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为同一个平面内的两个向量. 2.对零向量的三点说明 (1)方向的不确定性:零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一特性,在解题中一定要看清题目中所 指的向量是“零向量”还是“非零向量”. (2)长度的固定性:零向量的长度为零,零向量与零向量相等.
一二
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【例1】 下列说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量不相等 C.若|a|=|b|,则a与b的长度相等,方向相同或相反 D.若a与b是相反向量,则|a|=|b| 思路分析:根据空间向量的相关概念进行分析判断. 答案:D 解析:单位向量的模都等于1,但方向不一定相同,可以是任意方向,故A错;0的相反向量还是0,它们是相等的, 故B错;当|a|=|b|时,a与b的方向是任意的,不一定相同或相反,故C错;当a与b互为相反向量时,|b|=|-a|=|a|,故D 正确.
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一二
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2.特殊位置关系的加减法 (1)共线向量:共线向量相加时不能利用平行四边形法则,可利用 三角形法则. (2)共终点向量:共终点的向量相加减,可通过平移两向量使两向 量共起点再选择合适的运算法则进行加减运算. (3)常用关系与常用数据: