2020.5 稽阳联考详细解答(数学)

2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则∁B A＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）2．已知z=5a2+i(a＞0)，若z⋅z=5，则a＝（）A．1B．√5C．√3D．53．已知a=30.3，b=(12)π，c=log5√6，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c4．某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（）A．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D．乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元5．若x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．46．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（ ）A ．(45+9√2)πB ．36πC ．63πD ．216+9π7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO 为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ）A ．f(x)=sin5x2−x −2x B ．f(x)=cosx2x−2−x C ．f(x)=cos5x |2x −2−x |D ．f(x)=sin5x |2x −2−x |8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．π49．若(ax x )8的展开式中x 2的项的系数为358，则x 5的项的系数为（ ） A ．74B ．78C ．716D ．73210．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为抛物线C 上的动点，且点P 在l 的左侧，则△PMN 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．2√3C ．2√33D ．16√3911．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ； ②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④12．若对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．−3e 2B ．−2e 2C ．−1e 2D ．−1e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量a →=（m ，1），b →=（4，m ），向量a →在b →方向上的投影为√5，则m ＝ ． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2√7，b =4，A =120°，则△ABC 的面积为 ．15．若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin 2α2= ．16．双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），则该双曲线的标准方程为 ．已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为 ．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．设{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE →=2EB 1→，A 1M →=2MA →，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．19．已知0＜m ＜2，动点M 到两定点F 1（﹣m ，0），F 2（m ，0）的距离之和为4，设点M 的轨迹为曲线C ，若曲线C 过点N(√2，√22)．（1）求m 的值以及曲线C 的方程；（2）过定点(65，0）且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．证明：以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点． 20．已知函数f （x ）＝lnx ﹣tx +t ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当t ＝2时，方程f （x ）＝m ﹣ax 恰有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 22x 1x 2＞2−a ．21．2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得﹣1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得﹣1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．（1）在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； （2）求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =−1+√14cosφy =1+√14sinφ（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3的极坐标方程为ρ=3√1+8sinθ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．（1）求直线l和曲线C3的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2x﹣1﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜3的解集；（2）若方程f（x）＝x2+ax有两个不等实数根，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则∁B A＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）【分析】先求出集合A，B，再利用补集的定义即可算出结果．解：∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁B A＝{x|﹣1＜x≤0}，故选：B．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2．已知z=5a2+i(a＞0)，若z⋅z=5，则a＝（）A．1B．√5C．√3D．5【分析】z=5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a﹣ai，利用互为共轭复数的性质可得z•z=√(2a)2+(−a)2，a＞0，解得a．解：z=5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a﹣ai，∴5＝z•z=√(2a)2+(−a)2，a＞0，解得a＝1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、互为共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知a=30.3，b=(12)π，c=log5√6，则（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵30.3＞30＝1，∴a ＞1， ∵0＜(12)π＜(12)1=12，∴0＜b ＜12，∵log 5√6＞log 5√5=12，且log 5√6＜log 55=1，∴12＜c ＜1，∴a ＞c ＞b ， 故选：C ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4．某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（ ）A ．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B ．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C ．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D ．乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元【分析】据折线图分别判断ABCD 的正误即可．解：对于A ，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，最高营业额远低于32万元，A 错误．对于B ，甲门店的营业额的平均值为12+18+21+28+32+25+24+18+169=1949≈21.6，即该门店营业额的平均值在区间[20，25]内，B 正确．对于C ，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C 正确． 对于D ，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D 正确． 故选：A ．【点评】本题考查了频率分布折线图，考查数形结合，是一道基础题． 5．若x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数z ＝x ﹣2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在y 轴上的截距最小时z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z 的最大值．解：由x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，作出可行域如图，由z ＝x ﹣2y ，得y =12x −12z ，由图可知，当直线y =12x −12z 过可行域内点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最大．联立{3x −y +3=03x −5y −9=0，解得A （﹣2，﹣3）．∴目标函数z＝x﹣2y的最大值为﹣2+2×3＝4．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）A．(45+9√2)πB．36πC．63πD．216+9π【分析】由三视图知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解：由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝V柱+V锥＝π•32•6+13π•32•3＝63π．故选：C．【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的体积问题，是基础题．7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（）A．f(x)=sin5x2−x−2xB．f(x)=cosx2x−2−xC．f(x)=cos5x|2x−2−x|D．f(x)=sin5x|2x−2−x|【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值，利用排除法得解．解：观察图象可知，函数的图象关于y轴对称，而选项B，D为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意；对选项A而言，当x∈(0，π5)时，f（x）＜0，不合题意；故选：C ．【点评】本题考查函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．π3D ．π4【分析】根据函数f （x ）的性质可知，相邻的与x 轴的两个交点距离是半个周期，由此可求得ω，然后π6是最值点，求出φ的值．解：因为函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，所以12⋅2πω=π4，解得ω＝4，故f （x ）＝sin （4x +φ），又因为∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，∴x =π6是f （x ）的一条对称轴，所以4×π6+φ=π2+kπ，k ∈Z ，∴φ=kπ−π6，k ∈Z ． 令k ＝1，得φ=5π6为最小值． 故选：B ．【点评】本题考查据图求式问题的基本思路，注意抓住特殊点、特殊线去求周期、ω、φ的值等，属于中档题．9．若(ax √x )8的展开式中x 2的项的系数为358，则x 5的项的系数为（ ） A ．74B ．78C ．716D ．732【分析】先写出展开式的通项并化简，然后根据x 2的系数为358求出a 的值，然后再求x 5的系数．解：由已知得Tk+1=C8k a8−k x8−32k，k＝0，1，..，8，令8−3k2=2，解得k＝4，∴C84a4=358，解得a=±12．令8−3k2=5，得k＝2，故x5的系数为C82a6=716．故选：C．【点评】本题考查二项式展开式的通项以及系数的求法，还考查了学生的运算能力，属于基础题．10．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为√3的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C上的动点，且点P在l的左侧，则△PMN面积的最大值为（）A．√3B．2√3C．2√33D．16√39【分析】由题意可得直线l的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长MN的值，设与直线l平行的直线与抛物线相切时，平行线间的距离最大，即△PMN 的面积最大，求出面积的最大值．解：由题意可知直线l的方程为：y=√3（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线的方程可得3x2﹣10x+3＝0，x1+x2=10 3，由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x2+p=103+2=163；设与直线l平行的直线为：y=√3x+m，代入抛物线的方程可得3x2+（2√3m﹣4）x+m2＝0，当直线：y=√3x+m与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，所以△＝（2√3m−4）2﹣4×3×m2＝0，解得m=√33，直线l与直线y=√3x+√33的距离d=2√33，所以△PMN 面积的最大值为12×163×2√33=16√39， 故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 11．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ； ②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④【分析】①由线面垂直的判定定理可证明BC ⊥平面DAC ，再由线面垂直的性质定理可知BC ⊥AC ；②当平面BCD ⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，再利用棱锥的体积公式进行运算即可得解；③当平面BCD ⊥平面ABD 时，BC 与平面ABD 所成的角最大，为∠CBD ，求出sin ∠CBD ，并与sin π3比较大小即可得解；④在翻折的过程中，△ABD 和△BCD 始终是直角三角形，外接球的直径为BD ，于是四面体ABCD 的体积不变．解：如图，当DA ⊥BC 时，∵BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面DAC ， ∵AC ⊂平面DAC ，∴BC ⊥AC ，即①正确；当平面BCD ⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，最大值为13×12×3×4×125=245，即②正确；当平面BCD ⊥平面ABD 时，BC 与平面ABD 所成的角最大，为∠CBD ，而sin ∠CBD =CD BD =45＜√32=sin π3，∴BC 与平面ABD 所成角一定小于π3，即③错误；在翻折的过程中，△ABD 和△BCD 始终是直角三角形，斜边都是BD ，其外接球的球心永远是BD 的中点，外接球的直径为BD ， ∴四面体ABCD 的外接球的体积不变，即④正确． ∴正确的有①②④， 故选：C ．【点评】本题考查立体几何中的综合，涉及线面垂直的判定定理与性质定理、线面夹角、棱锥和球的体积公式等，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于中档题．12．若对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．−3e 2B ．−2e 2C ．−1e 2D ．−1e【分析】不等式恒成立转化为函数f （x ）=e x +ax在[﹣2，0）为减函数，则f ′（x ）=e x (x−1)−ax2≤0，即a ≥e x （x ﹣1），构造函数g （x ）＝e x （x ﹣1），利用导数和函数最值的关系即可求出．解：对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，可知x 1＜x 2＜0，则x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立等价于x 2e x 1−x 1ex 2＞a （x 1﹣x 2），即e x 1+a x 1＞e x 2+a x 2，∴函数f （x ）=e x +ax在[﹣2，0）为减函数， ∴f ′（x ）=e x (x−1)−ax 2≤0，∴a ≥e x （x ﹣1），设g （x ）＝e x （x ﹣1），x ∈[﹣2，0）， ∴g ′（x ）＝xe x ＜0，∴g （x ）在[﹣2，0）为减函数，∴g （x ）max ＝g （﹣2）=−3e 2， ∴a ≥−3e 2， 故选：A ．【点评】本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量a →=（m ，1），b →=（4，m ），向量a →在b →方向上的投影为√5，则m ＝ 2 ．【分析】本题根据向量a →在b →方向上的投影公式为a →⋅b →|b →|，然后代入进行计算可解出m 的值，注意将m 的值代入进行检验得到正确的m 的值． 解：由题意，可知向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√42+m 2=√16+m 2=√5，两边平方，可得25m216+m=5，整理，得m2＝4，解得m＝﹣2，或m＝2，当m＝﹣2时，√16+m2=−√5，不符合题意，∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，方程思想，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√7，b=4，A=120°，则△ABC的面积为2√3．【分析】由已知利用余弦定理可得c2+4c﹣12＝0，解得c＝2，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：∵a=2√7，b=4，A=120°，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得28＝16+c2﹣2×4×c×(−12)，可得c2+4c﹣12＝0，解得c＝2，∴S△ABC=12bc sin A=12×4×2×√32=2√3．故答案为：2√3．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．15．若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin2α2=﹣2．【分析】由已知可得3sinα＝1﹣cosα，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．解：∵sinα1−cosα=13，∴3sin α＝1﹣cos α，∴2cosα+3sinα−2sin 2α2=2(2cosα+1−cosα−2)1−cosα=−2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．16．双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），则该双曲线的标准方程为y 216−x 248=1 ．已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为 28 ．【分析】由双曲线的渐近线方程及焦点坐标得关于a ，b 的方程组，求解可得双曲线的标准方程；设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |＝|PF ′|+8，利用双曲线的定义转化，再由A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，从而求得△PAF 的周长的最小值解：∵双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），∴{a 2b 2=13√a 2+b 2=8，解得a ＝4，b ＝4√3．∴双曲线的标准方程为y 216−x 248=1；设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |＝|PF ′|+8， △PAF 的周长为|PF |+|PA |+|AF |＝|PF ′|+|PA |+|AF |+8．当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，最小值为|AF ′|＝10． 而|AF |＝10，故，△PAF 的周长的最小值为10+10+8＝28．故答案为：y 216−x 248=1；28．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的几何性质，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．设{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的定义和通项公式可得S n ，再由数列的递推式可得a n ，则a n •b n ＝2（2n ﹣1）•3n ﹣1，结合数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．解：（1）{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，可得4a 2＝3a 1+a 3，即4×2q ＝3×2+2q 2，解得q ＝3（1舍去），则a n ＝2•3n ﹣1，n ∈N*；（2）由√S 1=√b 1=1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），可得{√S n }是首项和公差均为1的等差数列，可得√S n =1+n ﹣1＝n ，即S n ＝n 2，可得n ＝1时，b 1＝S 1＝1；n ≥2时，b n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣（n ﹣1）2＝2n ﹣1，对n ＝1时，该式也成立，则b n ＝2n ﹣1，n ∈N*，可得a n •b n ＝2（2n ﹣1）•3n ﹣1，则T n ＝2[1•1+3•3+5•9+…+（2n ﹣1）•3n ﹣1]，3T n ＝2[1•3+3•9+5•27+…+（2n ﹣1）•3n ]，上面两式相减可得﹣2T n ＝2[1+2（3+9+…+3n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•3n ] ＝2[1+2•3(1−3n−1)1−3−（2n ﹣1）•3n]，化简可得T n ＝2+2（n ﹣1）•3n ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式和数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE →=2EB 1→，A 1M →=2MA →，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．【分析】（1）推导出C 1E ∥AF ，D 1F ＝2FD ，设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ，推导出GN ∥平面AEC 1F ，GM ∥平面AEC 1F ，从而平面MNG ∥平面AEC 1F ，由此能证明MN ∥平面AEC 1F ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值． 解：（1）证明：∵平面BB 1C 1C ∥平面AA 1D 1D ，平面AEC 1F ∩平面BB 1C 1C ＝EC 1，平面AEC 1F ∩平面AA 1D 1D ＝AF ， ∴C 1E ∥AF ，由题意得D 1F ＝2FD ， 设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ， ∵N 是棱C 1D 1的中点，∴GN ∥FC 1，∵GN ⊄平面AEC 1F ，FC 1⊂平面AEC 1F ，∴GN ∥平面AEC 1F ， ∵D 1F ＝2FD ，A 1M →=2MA →，∴GM ∥AF ，∵GM ⊄平面AEC 1F ，AF ⊂平面AEC 1F ，∴GM ∥平面AEC 1F ， ∵GN ∩GM ＝G ，∴平面MNG ∥平面AEC 1F ， ∵MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面AEC 1F ．（2）解：∵AB ＝1，DD 1＝3，如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A （1，0，0），C （0，1，0），F （0，0，1），E （1 1，2）， ∴AC →=（﹣1，1，0），AE →=（0，1，2），AF →=（﹣1，0，1）， 设平面ACE 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=−x +y =0m →⋅AE →=y +2z =0，取z ＝1，得m →=（﹣2，﹣2，1）， 设平面ACF 的法向量n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅AC →=−a +b =0n →⋅AF →=−a +c =0，取a ＝1，得n →=（1，1，1），设二面角E﹣AC﹣F的平面角为θ，由|cosθ|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=3×3=√33，∴sinθ=1−(33)2=√63，∴二面角E﹣AC﹣F的正弦值为√6 3．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19．已知0＜m＜2，动点M到两定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之和为4，设点M的轨迹为曲线C，若曲线C过点N(√2，√22)．（1）求m的值以及曲线C的方程；（2）过定点(65，0）且斜率不为零的直线l与曲线C交于A，B两点．证明：以AB为直径的圆过曲线C的右顶点．【分析】（1）先利用定义法判断出点M的轨迹为椭圆，再利用题设条件求出方程即可；（2）设直线l：x＝ty+65，曲线C的右顶点为P，由直线l与曲线C的方程联立得到y1+y2与y1y2，再证PA→⊥PB→即可．解：（1）解：设M（x，y），因为|MF1|+|MF2|＝4＞2m，所以曲线C是以两定点F1，F2为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2．设椭圆C 的方程为x 24+y 2b =1（b ＞0），代入点N(√2，√22)得b 2＝1，由c 2＝a 2﹣b 2，得c 2＝3，所以m ＝c =√3，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）证明：设直线l ：x ＝ty +65，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 椭圆的右顶点为P （2，0），联立方程组{x =ty +65x24+y 2=1消去x 得（t 2+4）y 2+125ty −6425=0．△＞0，y 1+y 2=−12t 5(t 2+4)，y 1y 2=−6425(t 2+4)， 所以PA →⋅PB →=（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝（t 2+1）y 1y 2−45t （y 1+y 2）+1625=−64t 2−64+48t 2+16t 2+6425(t 2+4)=0，∴PA →⊥PB →，故点P 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法及动圆过定点的问题，属于中档题． 20．已知函数f （x ）＝lnx ﹣tx +t ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当t ＝2时，方程f （x ）＝m ﹣ax 恰有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 22x 1x 2＞2−a ．【分析】（1）由已知求得f ′（x ）=1x−t ，可得当t ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t ＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性；（2）由f （x ）＝m ﹣ax ，得lnx +（a ﹣2）x +2﹣m ＝0．令g （x ）＝lnx +（a ﹣2）x +2，则g （x 1）＝g （x 2）＝m ．得到a ﹣2=ln x2x 1x 1−x 2．不妨设0＜x 1＜x 2，把证x 1+x 22x 1x 2＞2−a 转化为证x 1x 2−x 2x 1＜−2lnx 2x 1．令x 2x 1=c （c ＞1），则g （c ）＝2lnc ﹣c +1c，利用导数证明g （c ）＜0，即可得到x 1+x 22x 1x 2＞2−a 成立．【解答】（1）解：f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=1x−t ， 当t ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t ＞0时，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜1t，令f ′（x ）＜0，得x ＞1t．∴f （x ）在（0，1t）上单调递增，在（1t，+∞）上单调递减．综上所述，当t ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当t ＞0时，f （x ）在（0，1t）上单调递增，在（1t，+∞）上单调递减．（2）证明：由f （x ）＝m ﹣ax ，得lnx +（a ﹣2）x +2﹣m ＝0． 令g （x ）＝lnx +（a ﹣2）x +2，则g （x 1）＝g （x 2）＝m ． 即lnx 1+（a ﹣2）x 1＝lnx 2+（a ﹣2）x 2，∴a ﹣2=ln x2x 1x 1−x 2．不妨设0＜x 1＜x 2，要证x 1+x 22x 1x 2＞2−a ，只需证x 1+x 2x 1x 2＞2（2﹣a ）=−2ln x2x 1x 1−x 2，即证x 1x 2−x 2x 1＜−2lnx 2x 1．令x 2x 1=c （c ＞1），g （c ）＝2lnc ﹣c +1c，∵g ′（c ）=2c −1−1c2=−(1c −1)2＜0．∴g （c ）在（1，+∞）上单调递减，则g （c ）＜g （1）＝0．故x 1+x 22x 1x 2＞2−a 成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数证明函数不等式，考查数学转化思想方法，属难题．21．2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得﹣1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得﹣1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．（1）在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； （2）求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．【分析】（1）ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列；（2）记M 1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，然后根据独立重复事件的概率逐一求出每种事件对应的概率，最后将三种事件的概率相加即可得解．解：（1）由题意知，ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，P（ξ＝﹣1）＝（1−23）×12=16，P（ξ＝0）=23×12+13×12=12，P（ξ＝1）=23×(1−12)=13，∴ξ的分布列为ξ﹣101P161213（2）记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，由（1）知，P(M1)=[p(ξ=1)]2=(13)2=19，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，P(M2)=C21[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)=2×(13)2×12=19，记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，①若A方案比B方案多4分，有两类：第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为C31⋅[P(ξ= 1)]2⋅[P(ξ=0)]2=112；第二类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，后两次均得1分，其概率为C21⋅P(ξ=−1)⋅[P(ξ=1)]3=181，②若A方案比B方案多2分，有三类：第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为C41⋅[P(ξ=0)]3⋅P(ξ= 1)=16；第二类，A方案前三次得了一次1分，一次0分，一次﹣1分，最后一次得了1分，其概率为A33⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=118；第三类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为C21⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=154．故P(M3)=112+181+16+118+154=109324，∴最终选取A方案为小区管理方案的概率为P=P(M1)+P(M2)+P(M3)=19+19+109 324=181 324．【点评】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列，考查学生对数据的分析能力和处理能力，属于中档题．选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3的极坐标方程为ρ=√1+8sinθ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．（1）求直线l和曲线C3的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝14①．曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．整理得ρ2＝4ρcos θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4②． 所以①②两个方程相减得：3x ﹣y ﹣6＝0．曲线C 3的极坐标方程为ρ=√1+8sin θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为x 29+y 2=1．（2）直线l 与x 轴交于M （2，0）所以直线l 的参数方程为{x =2+√1010ty =3√1010t （t 为参数），代入x 29+y 2=1，得到：41t 2−2√10t −25=0．所以t 1+t 2=2√1041，t 1t 2=−2541故|1|MA|−1|MB||=|t 1−t 2t 1t 2|=√(t1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|═(2√1041)+41004122541=√45004122541=30√525=6√55． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝2x ﹣1﹣|x ﹣1|． （1）求不等式f （x ）＜3的解集；（2）若方程f （x ）＝x 2+ax 有两个不等实数根，求a 的取值范围．【分析】（1）将f （x ）写为分段函数的形式，然后由f （x ）＜3，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据方程f （x ）＝x 2+ax ，可得a =−x 2+2x−|x−1|−1x，然后构造函数g （x ）=−x 2+2x−|x−1|−1x，利用数形结合法求出a 的取值范围．解：（1）f （x ）＝2x ﹣1﹣|x ﹣1|={3x −2，x ≤1x ，x ＞1，∵f （x ）＜3，∴{3x −2＜3x ≤1或{x ＜3x ＞1，∴x ≤1或1＜x ＜3，∴x ＜3， ∴不等式的解集为（﹣∞，3）；（2）方程f （x ）＝x 2+ax ，即2x ﹣1﹣|x ﹣1|＝x 2+ax ，显然x ＝0不是方程的根，故a =−x 2+2x−|x−1|−1x，令g （x ）=−x 2+2x−|x−1|−1x ={1−x ，x ∈[1，+∞)−x −2x +3，x ∈(−∞，0)∪(0，1)， 当x ＜0时，−x −2x+3=(−x +2−x)+3＞2√2+3， 作出g （x ）的图象，如图所示：∵方程f （x ）＝x 2+ax 有两个不等实数根， ∴由图象可知a ∈(−∞，0)∪(2√2+3，+∞)．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．。

高三数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2．请将各题答案填写在答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}x y x A ln ==，{}3≤∈=x N x B ．则（ ） A ．A B ⊆ B ．{}0>=x x B A Y C ．B A ⊆ D ．{}321，，=B A I 2．ii +-1)1(5=（ ） A ．i 4- B ．i 4 C ．i +1 D ．i -13．“民以食为天，食以安为先．”食品安全是关系人们身体健康的大事．某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有48种、24种、30种、18种．现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．74．《九章算术》大约成书于公元一世纪．是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤．问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列{}n a ，41=a 斤，则=2a （ ）A ．2.5斤B ．2.75斤C ．3斤D ．3.5斤5．函数x x f 2sin 21)(+=的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．23π D ．π2 6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的右顶点为A ，直线)(23a x y +=与C 的一条渐近线在第一象限相交于点P ，若PA 与x 轴垂直，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．在1.5，3log 2．tan77°，25log 16这四个数中（ ）A ．最大的是tan77°，最小的是25log 16B ．最大的是1.5，最小的是25log 16C ．最大的是3log 2，最小的是tan77°D ．最大的是tan77°，最小的是1.58．在底面为正三角形的三棱柱111C B A ABC -中，AB=2．AA 1=3．若该三棱柱的体积为3．则AA 1与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．43B ．32C ．41D ．31 9．在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AB=2CD ，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则（ ）A ．BF AC AE 52109-=B ．BF AC AE 5254-= C ．BF AC AE 4143+= D ．BF AC AE 4143-= 10．已知函数)02()62cos()(≤≤-++-=x mx x x f ππ，若曲线)(x f y =上总存在一点P ，使得曲线)(x f y =在点P 处的切线与曲线21x y =在点(1，1)处的切线垂直，则m 的取值范围为（ ） A ．]0,43[- B ．]0,3[- C ．]25,21[- D ．]21,25[- 11．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．425πB ．364π C ．π25 D ．π32 12．已知函数m x x f x +-=)21()(，322)(234++--=x x x x x g ，若R x ∈∀1，)1,0(2∈∃x ，。

2020年5月稽阳联谊学校高三联考英语试题卷本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第1卷1至8页，第II卷8至10页。

满分150分，考试用时120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卡上，否则无效。

第I卷注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在本试卷上，否则无效。

第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Who won the race this year?A. Mark.B. Ron.C. Ken.2.What is the man's problem?A. He wants more money.B. He wants to leave earlier.C. He wants to stop walking to school.3.Where are the speakers?A. In the mall.B. At the museum.C. On the street.4.What is the conversation mainly about?A. The weather.B. A school.C. Roads.5.What will the woman probably do?A. Ride the bicycle.B. Catch the bus.C. Drive the car.第二节（共15 小题；每小题1.5 分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳项，并标在试卷的相应位置。

2020届安徽省五校高三联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2{4,},1,A a B a ==，a R ∈，则A B U 不可能．．．是（ ） A ．{}1,1,4- B ．{}1,0,4 C ．{}1,2,4 D ．{}2,1,4-【答案】A【解析】由题选择A B U 不可能．．．的选项，依次检验找出矛盾即可. 【详解】 依次检验：如果是A 选项，则只能考虑1a =-，集合B 不满足元素互异性； 当0a =，B 选项正确； 当2a =，C 选项正确； 当2a =-，D 选项正确； 故选：A 【点睛】此题考查集合并集运算和元素互异性，对分析问题能力要求较高. 2．复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】根据复数实部为1，设出复数，求出模长，便可解得. 【详解】设复数1,1(1)1z bi z i b i =+-=+-=1=，解得1,1b z i ==+ 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，容易出现概念混淆不清，把虚部弄错.3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ） （参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【解析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长. 【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离2 1.25 1.768d =≈.故选：B 【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息. 4．数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k =（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25【答案】A【解析】通过数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-计算出n a ，再根据k a 求出k . 【详解】由题：()1n S n n =-，()11(2),2,n S n n n n N -+=--≥∈, 所以22n a n =-，2,n n N +≥∈ 当=1n 时，110212a S ===⨯-， 所以22n a n =-，n ∈+N510k a a -=，即22810k --=，解得：10k =. 故选：A 【点睛】此题考查数列前n 项和与通项n a 的关系，依据n S 求n a 还应注意考虑n 的取值范围.5．已知向量(),1a λ=-v，若()1,3b =-r ，33a a =v v v v ，则λ的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】两个向量模长相等，平方处理，即可转化成通过求a b ⋅r r的值解得未知数. 【详解】由题：33a a =v v v v ，所以2233a a -=+v v ，化简得：0a b ⋅=r r，即30λ--= 所以3λ=-. 故选：A 【点睛】此题考查向量的基本运算，对运算能力要求较高，在具体问题中适当处理坐标利于简化运算，如果此题先代入坐标运算，计算量很大，先处理模长大大降低计算量.6．曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．8【答案】D【解析】根据微积分基本定理，求出积分即是封闭图形面积 【详解】 由题：2222220((4))428x x x dx xdx x --===⎰⎰，所以，封闭图形面积为8. 故选：D 【点睛】此题考查用微积分基本定理进行简单计算，用来解决曲线围成封闭图形的面积.7．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题1012112+>S S S ，变形得1211a a >即可选出选项 【详解】由题：1012112+>S S S ，12111110S S S S ->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >. 故选：C 【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用1012112+>S S S .8．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据奇偶性排除A ，D ，根据()0,f π=(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负可选出选项. 【详解】由题可得2211()sin f x x x x π=+-是偶函数，排除A,D 两个选项， ()0,f π=当(0,)x π∈时，2211sin 0,x x x π>>，()0f x >， 当(,2)x ππ∈时，2211sin 0,x x x π<<，()0f x <， 所以当(2,2)x ππ∈-时，()f x 仅有一个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负便可得出选项.9．已知平面,,αβγ有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系（ ） A ．两两平行 B ．两两异面C ．两两垂直D ．两两相交【答案】A【解析】三个平面一有个公共点说明三个平面两两相交，且三条交线交于一点，可以考虑在长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，发现可以满足两两异面，两两垂直，两两相交的情况，不能满足两两平行. 【详解】取长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，三条交线就可以满足两两垂直，两两相交，也易作出两两异面，如图：平面1ADD ，平面11C DD ，平面111C A D ，取11C D 中点E ，111,,AD AC DE 两两异面，11111,,DD AD D C 两两相交，两两垂直，对于两两平行，考虑反证法：假设符合题意的三个平面内直线,,a b c 两两平行，则任意两条直线形成的平面共三个，这三个平面要么相交于同一条直线，要么三条交线两两平行，均与题目矛盾. 【点睛】此题考查线面位置关系，对空间图形的直观认识能力要求较高，解决这类问题可以作图处理，更可以考虑利用好身边的墙壁，桌面，笔模拟线面位置关系，更能直观地判定.10．安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A ．0.04y x =B ． 1.0151xy =-C ．tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()11log 310y x =- 【答案】D【解析】根据奖励规则，函数必须满足：(6,100]x ∈，增函数，3,0.2y y x ≤≤ 【详解】对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>不合题意； 对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>不合题意；对于函数：tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不满足递增，不合题意；对于函数：()11log 310y x =-，满足：(6,100]x ∈，增函数， 且()111111log 310010log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象：符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验.11．设函数()()21ln xf x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数），则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】利用导函数，得出函数单调性，分析函数极值与0的大小关系即可求解. 【详解】由题()()222,0x x e ef x e f x e x x'''=-=+>，所以()f x ¢在(0,)x ∈+∞单调递增， ()10f e '=-<，()220f e e '=->，所以()f x ¢的零点0(1,2)x ∈，且002xe e x =，且当0(0,)x x ∈时，()0f x ¢<，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，即()f x 在0(0,)x x ∈单调递减，在0(,)x x ∈+∞单调递增，()f x 的极小值()()000002221ln 2(1ln )xx e e f x e e x e x e=-+=-+= 0000112((1ln 2))2(2ln 2)e e x e x x x -+-=+--，00015(1,2),2x x x ∈+<， ()0512ln 2ln 2ln 2022f x e <--=-=<， 当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 所以共两个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数单调性与极值和函数零点问题，其中重点考查隐零点问题的处理，和极限思想的应用.12．锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b Aa+=，22BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．则ABC ∆面积的取值范围是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()3,23C ．()1,2D ．433,⎛⎫ ⎪ ⎪⎭【答案】D【解析】根据三角关系求出角B ，根据向量数量积求出边c ，作出三角形，数形结合求解. 【详解】由题sin sin5A C b Aa+=，三角形ABC ∆中，A B C π++=，A C B π+=-， 结合正弦定理，sin sin sin 5sin B B A A π-=，sin sin 5BB π-=，B 为锐角， 所以5B B π-=，=6B π， 22BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，即cos cos 22ac B bc A c +=，由射影定理：22c =， 作图：在1Rt ABC ∆中，122cos 66BC π==u u u r 在2Rt ABC ∆中，22246cos6BC π==u u u r 当点C 在线段12C C 之间（不含端点）时，三角形ABC ∆为锐角三角形，1143223,22ABCS BC =⨯⨯∈⎭V u u u r ， 所以面积取值范围433,3⎭故选：D【点睛】此题考查锐角三角形三内角和关系，正余弦定理，边角互化综合应用，重在数形结合思想.二、填空题13．已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR u u u r u u u r的最大值是____________．【答案】90o【解析】平面直角坐标系中作出可行域，观察图象,PR QR u u u r u u u r 即,RP RQ u u u r u u u r的最大值，由图便知.【详解】作出可行域如图所示：解出(0,3),(3,0)A B ，结合图象观察可得,RP RQ u u u r u u u r 的最大值即0,90RA RB =u u u r u u u r .故答案为：90o 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，向量夹角，数形结合思想，属于简单题目，如果不结合图象分析，计算量会很大.14．cos102cos20cos10-⋅=o o o ____________． 【答案】3 【解析】三角恒等变换，处理角度cos10cos(2010)=-o o o 即可. 【详解】由题：cos102cos20cos10cos(2010)2cos20cos10-⋅=--⋅o o o o o o ocos20cos10sin 20sin10cos20cos10(cos20cos10sin 20sin10)=⋅+⋅-=-⋅-⋅o o o o o o o o o o 3cos30=-=-o 故答案为：3- 【点睛】此题考查三角恒等变换，关键在于合理处理两个角度，便于运算，此题陷阱在于两个角度有很多特殊关系，不易找准方向.15．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________.【答案】1或1e【解析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案。

2020年11月稽阳联考数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.B3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.D 10.D各 题 详 细 参 考 解 答1.解：由于{|14},{|23}M x x N x x =-<<=-<<，从而{|13}M N x x =-<<，选B.2. 解：由于(1i)11222i i i z i +===-+-，则||2z =.选B. 3. 解：如图，不等式组2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩的阴影部分，从而当4,2x y ==时，26y x +-有最小值2-，选A. 4. 解：由于sin ()2cos x xf x x=-为偶函数， 且()f x 在0x =右侧取值正，故选A.5. 解：充分性：log 2log 201110|1||1|b a a b a b a b >>⇒>>⇒->->⇒->-，充分性成立.必要性：取12,2a b ==，则1|1||b 1|12a ->-⇒>成立,而条件不成立，故log 2log 20b a >>是|1||1|a b ->-的充分不必要条件，故选C.6.解：该几何体为一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图，()1211112247222S +⋅⋅=⨯++⨯=11152=11221323V V V ⋅=-⋅⋅-⋅⋅⋅=柱锥，故选 A.7. 解：椭圆2C 关于点00(,)P x y 的切点弦AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩得点E ⎫，同理F ，则()()()()22222200000048361213422OE OF x y y y -⋅=+==---，故选B. 8. 解：构建直三棱柱ABE CDF -，设,G H 分别为,ABE CDF ∆∆的外心，连接GH ，取其中点O ，则O 为直三棱柱ABE CDF -的外接球的球心，也为四面体ABCD 的外接球的球心，因为异面直线AB 与CD 所成的角为60，所以60ABE ∠=.设三棱柱底面三角形ABE ∆的外接圆半径为r ，则2r ==，1A2sin 6023AE r ==222222cos6012AE AB BE AB BE AB BE AB BE =+-⋅⋅⇒+-⋅=，所以22122AB BE AB BE AB BE AB BE AB BE =+-⋅≥⋅-⋅=⋅所以111sin 60332A BCD ABE CDF V V AB BE BC AB BE --==⋅⋅⋅⋅⋅=⋅≤ 故四面体ABCD 的体积的最大值为故选A. 9. 解：由于12212()()22p p p p p p a a S p a a pa ++==+≠，故选项A 错误.由于m p q n -=-，则[()][()]p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅=222[()][()]()()()()()m n m n m n a q n d a q n d a a q n d a a q n d q n d n m --⋅+--⋅=----=---22()0q n d --<，故选项B 错误.由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误. 设0x q n m p =-=->，则2()()()0pq mn n x m x mn x n m x -=+--=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+. 故222211()()22p q m n p q m n m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.221111(1)(1)(2)(1)(1)[][]2224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d --+---⋅=+⋅+=++22221111(2)(1)(1)(2)(1)(1)2424mn m n mn p q mn m n mn m n mna a d d mna a d d +---+---<++≤++m n S S =⋅.由此1111p q m n m n p q p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S S S S S ++++=>>=+，故选项D 正确. 故选D. 注：本题也可用特殊数列代入，利用排除法求解.10. 解：由于ln (21)10ln 21(1)(2)x e a x b x ex a x b +--++≤⇔+-≤+-+.此不等式对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则需要保证10a +>.令1x e =，则11ln 21(1)2a b e e+-≤+-- 从而1(1)2a b e +≥+，从而211b a e+≤+.另一方面，当31,1a e b =-=时，ln (21)10x e a x b +--++≤即为ln 20x ex -+≤，设()ln 2(0)f x x ex x =-+>，则11'()0ex f x e x x -=-=≥得10x e <≤，故()f x 在1(0,]e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减，从而1()()0f x f e ≤=，即31,1a e b =-=可使不等式恒成立，从而21b a ++可取1e .综合上述，当21b a ++取最大值1e 时，31a e =-.故选D.第Ⅱ卷（非选择题部分 共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。

2020年5月稽阳联考数学参考答案一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCADDACBDC二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分 11．4,3y x =± 12．42,5--13．55,4214．58 92 15．15a --= 16．40 17．31-三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。

18．（本题满分14分） （Ⅰ）33()sin cos 3sin()226f x x x x π=+=+（3分） 所以函数()f x 的周期为2π，23()3sin232f ππ== （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ），则()21cos(2)332x y f x π-+==⋅，（10分）因[0,]2x π∈， 42[,]333x πππ+∈，1cos(2)[1,]32x π+∈-（12分）则()2y f x =的取值范围为3[,3]4（14分）（Ⅱ）另解：因[0,]2x π∈， 2[,]663x πππ+∈，所以33sin()[,3]6x π+∈（11分）则()23[,3]4y fx =∈（14分） 19．（本题满分15分）解法（1）：（Ⅰ）证：取AD 的中点O ，连结,,PO EO 由,,PO AD EO AD PO EO O ⊥⊥=I 可知AD ⊥面,PEO 且PE ⊂面,PEO 则AD PE ⊥.（6分）（Ⅱ）法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（ 8分）作,,PQ CD PH OE ⊥⊥连HQ ，因PH ABCD ⊥平面，知HQ CD ⊥，由60PDC ∠=o 知1DQ =，1OH DQ ==，由3PO =,在Rt PHO ∆中，可知2PH =,则()1,0,2P （10分）()0,1,0A -，()0,1,0D ，()3,0,0E ,则()()()1,1,2,3,1,0,1,1,2PD DE PA =--=-=---u u u r u u u r u u u r设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r，则30-x y x y -=⎧⎪⎨+⎪⎩得(n =r 为其中一个法向量，（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅===⋅u u u r ru u u r r u uu r r （14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 法二：（体积法）设点A 到面PDE 的距离为h ，法一中已知点P 到面ABCD 的距离PH，则PE =9分）PDE ∆中，2,PD DE PE ===所以PDE ∆为直角三角形，由A PDE P ADE V V --=可知11112233322PDE ADE S h S h h ∆∆⋅=⇒⋅=⋅⋅=（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则sin 2h PA θ==,（14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 20．（本题满分15分）（Ⅰ）因为2112()n n n n a a a a +++-=- ，所以数列1{}n n a a +-是公比为2的等比数列，（3分）则11222n n n n a a -+-=⋅=， 121211()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L =21n- （7分）（Ⅱ）法1><<10分）又n b ==<= （13分）22311(()(22222222n n n n S ++≤-+-++-=-K （15分） 法（2）（数学归纳法）12n n b +=，122nn S +≤- ①当1n =时，14S =，右边24-<只要证：22<7<，所以1n =成立（9分）②假设n k =成立，即173722k k k S ++<-， 则当1n k =+，13473734k k k k k S S ++++=+<-+，要证：17310k k S ++<-，只要证：3431037k k k ++++<，只要证：34310237k k k +++<+， 只要证：234310614k k k ++<+成立，所以当1n k =+成立（14分）由①②可知，737n n S +≤-对*n N ∈成立（15分）21．（本题满分15分）（1）抛物线2:ax y C =即y a x 12=，准线方程为：a y 41-=，Θ点)1,(b P 到焦点的距离为45，1,45411=∴=+∴a a ∴抛物线C 的方程为2x y =（4分） （Ⅱ）解1：设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分）由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ， 22)2(442221+--=---=∴t t t t t t x ，同理可得212)1()1(1222++++=++-+++=t t t t t t x ，（10分）21122122x x x x x x k MN+=--=Θ，当AB MN //时，1=MN k ，得121=+x x （12分）22+--∴t t t 1212=+++++t t t ，22222++-+-=∴t t t t t ，222222++++--=∴t t t t tt 得0=t 或22+-∴t t 122-=+++t t （舍去）0=∴t （15分）解法2：设设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分）由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ，（11分）同理：2222(1)10x t x t -++-=，两式相减，可知22121222()+210x x t x x x ----=，因为121=+x x ，所以122()0t x x --=，则0t =（15分）22．（本题满分15分）（1）()23f x x a x =--，23()12323x af x x x --'=-=--，所以当0a ≤， ()0f x '≥，则3[,)2+∞上递增，当0a >，()0f x '=，232a x +=，所以233[,)22a +递减，23[,)2a ++∞递增（6分） （Ⅱ）()1()f x g x -≤，可知123axx a x ke ---≤，对3[,)2x ∈+∞恒成立，取32x =，可知32102ak e≥>（7分）因1a ≥，则2323,ax x a x x ke ke -≥-≥，则1231230ax x x a x ke x x ke ----≤----≤， 123x x x ke ---≤，（10分）123xx x k e---≤，（11分） 设123()x x h x ---=，(2)(232)()23xx x h x e x ---'=-， ()0h x '=可知2x =，72x =，则函数在3[,2)2递减，7[2,)2递增，7[,)2+∞递减， 所以max 37322237111()max{(),()}max{,}22222h x h h ee e===，所以3212k e≥（15分）。

2020年11月稽阳联谊学校高三联考数学试题卷命题人： 审稿人：本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页，满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n) 棱台的体积公式球的表面积公式)2211(31S S S S h V ++=24R S π=其中S 1, S 2分别表示棱台的上下底面 球的体积公式：334R V π=球 （其中R 表示球的半径）面积，h 表示棱台的高第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|14},{|60}M x x N x x x =-<<=--<，则M N = （ ）A. {|14}x x -<<B. {|13}x x -<<C. {|23}x x -<<D. {|24}x x -<<2. 已知复数1iz i=-，其中i 为虚数单位，则||z = （ ） A.12B. 2C. D. 2 3. 若变量y x ,满足2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则26y x +-的最小值是 （ ）A. 2-B. 45-C. 4-D. 12-4.已知函数sin ()2cos x xf x x=-的图象可能为 （ ）A B C D5. 已知0,0a b >>，则“log 2log 20b a >>”是“|1||1|a b ->-”的 （ ） A ．充要条件B C ．充分不必要条件D 6. A.7，53 C. 3+537. 如图，已知点00(,)P x y 过点P 作椭圆222:143x y C +=直线AB 交1C 的两渐近线于点OE OF ⋅的值为A. 34C. 438. 四面体ABCD 中，,AB BC ⊥若四面体ABCD A. 23 B. 43 C. 3 D.39.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若,p m n q <<<且*,,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是 （ ）A. 22p p S p a =⋅B. p q m n a a a a >C. 1111p q m n a a a a +<+D. 1111p q m nS S S S +>+ Oxy Ox y Oxy10. 已知e 为自然对数的底数，,a b 为实数，且不等式ln (21)10x e a x b +--++≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立.则当21b a ++取最大值时，a 的值为 （ ） A. 2e B. 21e - C. 3e D. 31e - 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。