2020年4月稽阳联考高三数学试题卷含答案

绝密★启用前2020年浙江省稽阳联谊学校2020届高三毕业班下学期4月联考质量检测数学试题2020年4月一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()U C A B U = A ．{2,1,1,2}--B ．{2}C ．{1,2}D ．{0}2． 已知i 为虚数单位，其中(12)z i i +=-，则该复数的共轭复数是A ．2155i +B ．2155i - C ．2155i -+ D ．2155i --3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．323πB ．16643π-C ．6416π-D ．163π4．若,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩,则32z x y =-的最大值是A ．0B ．2C ．4D ．55．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示,则函数()log ()a f x x b =-+的图象是 正视图侧视图2A ．B ．C ．D ．6．设0,0a b >>,则“2a b +≥”是“222a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．设 1a <<,随机变量X 的分布列为 则当a 在(0,)3增大时,A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>,12,F F 为椭圆的左,右焦点,过2F的直线交椭圆与,A B两点,190AF B ∠=o,2223AF F B =u u u u r u u u u r ,则椭圆的离心率是A ．5 B ．5 C ．10 D ．109．如图：ABC ∆中,AB BC ⊥,60ACB ︒∠=,D 为AC 中点,ABD ∆沿BD 边翻折过程中,直线AB 与直线BC 所成的最大角,最小角分别记为11,αβ,直线AD 与直线BC 所成的最大角,最小角分别记为22,αβ,则有A ．1212,ααββ<≤B ．1212,ααββ<>C ．1212,ααββ≥≤A DCBA。

1绝密★启用前2020年浙江省稽阳联谊学校2020届高三毕业班下学期4月联考质量检测数学试题参考答案解析2020年4月1． B {2,1,0,1}A B =--U ，所以()U C A B U ={2}2． C 211255i z i i -==--+ 3．A 2224322433V πππ⋅⋅=⋅⋅-= 4．D 322z y x =-，有图像知取(1,1)-，最大值为5 5．D 因01,10a b <<-<<，有图像变换可知6．A 因为 2a b +≥可知2()22a b +≥,而222()2a b a b ++≥, 7．C 计算可知2211()3(2)4()336D X a a =--=--+ 8．B 设22113,2,23,22F A x F B x F A a x F B a x ===-=-,则222(5)(23)(22)x a x a x =-+-,可知3a x =,15,3AB a AF a ==,13cos 5F AB ∠=,1sin 25F AB ∠=,因A 为顶点,则5e =9．D 翻折到180o 时,,AB BC 所成角最小,可知130β=o ,,AD BC 所成角最小,20β=o ,翻折0o 时,,AB BC 所成角最大,可知190α=o ,翻折过程中,可知AD 的投影可与BC 垂直,所以,AD BC 所成最大角290α=o ,所以 1190,30αβ︒︒==,2290,0αβ︒︒==10．C 图像1y x =+与y x =有两个交点(0,0),(1,1),利用蛛网图,可知当10a <,则数列递减,所以0n a <,当101a <<,则数列递增,并且n a 趋向1,可知当11a >,则数列。

稽阳联考试卷命题设计分析表一、分析二、难度分布 三、目标2020年4月稽阳联考数学科试题卷一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()U C A B U = A ．{2,1,1,2}-- B ．{2} C ．{1,2} D ．{0}2． 已知为虚数单位，其中(12)z i i +=-，则该复数的共轭复数是 A ．2155i + B ．2155i - C ．2155i -+ D ．2155i -- 3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．323πB ．16643π-C ．6416π-D ．163π 4．若,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =-的最大值是A ．B ．C ．D ．5．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()log ()a f x x b =-+的图象是A ．B ．C ．D ．6．设0,0a b >>，则“2a b +≥”是“222a b+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．设 103a <<，随机变量的分布列为则当在(0,)3增大时，A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．已知椭圆:C 22221(0)xy a b a b +=>>，12,F F 为椭圆的左,右焦点，过2F 的直线交椭圆与,A B 两点，190AF B ∠=o，2223AF F B =u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率是A ．5 B ．5 C ．10 D ．109．如图：ABC ∆中，AB BC ⊥，60ACB ︒∠=，为AC 中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为11,αβ，直线AD 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为22,αβ，则有A ．1212,ααββ<≤B ．1212,ααββ<>C ．1212,ααββ≥≤D ．1212,ααββ≥>10．已知数列{}n a 满足：11n n a a +=+ ，1a a =，则一定存在，使数列中： A ．存在*n N ∈，有120n n a a ++<B ．存在*n N ∈，有12(1)(1)0n n a a ++--< C ．存在*n N ∈，有1255()()044n n a a ++--< D ．存在*n N ∈，有1233()()022n n a a ++--<二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分11．双曲线2213y x -=的焦距是 _________，渐近线方程是____________． 12．已知角的终边过点(1,2)-，则 tan α=_____________，sin 2α=____________． 13．5 展开式中常数项是___________，最大的系数．．是___________． A DCBA14．已知ABC ∆中，3,5AB BC ==，为线段AC 上一点,AB BD ⊥ ，34AD CD =，则AC = ____________，ABC ∆的面积是___________ ．15．已知函数2()2(0)f x x x a a =++< ，若函数(())y f f x = 有三个零点，则=__________．16．某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加,,A B C 三个志愿点的活动，每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一志愿点，高三学生不去志愿点，则不同的安排方法有__________________种（用数字作答）． 17．如图：已知矩形ABCD 中，1,2AD AB ==，为边AB 的中点，为边DC上的动点（不包括端点），DP DC λ=u u u v u u u v （01λ<<），设线段AP 与DE 的交点为，则 AG AP ⋅u u u v u u u v的最小值是__________________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

绝密★启用前全国大联考2020届高三毕业班下学期4月联合质量检测数学(理)试题(解析版)2020年4月注意事项：1.考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置.2.考试时间120分钟，满分150分.3.本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料.4.考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布.5.本卷考查内容：高考全部内容.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.不等式110x ->成立的充分不必要条件是（ ） A. 1x > B. 1x >- C. 1x <-或01x << D. 10x -≤≤或1x >【答案】A【解析】【分析】 求解不等式110x->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】解110x ->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞，其充分不必要条件即该解集的真子集，结合四个选项A 符合题意.故选：A【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2.复数12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）B. 3C. 5【答案】C【解析】【分析】 根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解.【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-，()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算.3.已知随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=，则()3P X ≥=（ ） A. 0.64B. 0.32C. 0.36D. 0.72 【答案】B【解析】【分析】根据正态分布密度曲线性质()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 【详解】由题：随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=， 则()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 故选：B【点睛】此题考查根据正态分布密度曲线性质求解概率，关键在于熟练掌握正态分布密度曲线的相关性质，结合对称性求解.。

2020高考全国卷4月联考数学(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足1(ii i z-=-为虚数单位),则2z=()A.1+ iB.1-iC.2iD. -2i2.已知集合A=2{|13},{|2940},x x B y y y-≤<=-+≤则A∩B=()A.{x|-1≤x≤4}1.{|3}2B x x≤< C.{x|-1≤x<3} D.∅3.实数x,y满足不等式组1,22,22,x yx yx y+≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥-⎩则目标函数z=2x+ y的最大值为()A.3B.4C.5D.64.三只小松鼠小芳、小松和点点住在同一-棵大松树上,一天它们在一起玩智力游戏.小芳说:今天我们三个有的吃了松子;小松说:今天我们三个有的没吃松子;点点说:今天我没吃松子.已知它们三个中只有一个说的是真的，则以下判断正确的是()A.全吃了B.全没吃C.有的吃了D.有的没吃5.已知3sin(15),5α︒+=则cos(30)α︒-=()72.A2.B-72.C272.D2-6.已知函数||sin()xxf xe=,则函数y= f(x)的大致图象是7.志愿者团队安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序,一位志愿者说:不能先去甲，甲的困难户最多;另一位志愿者说:不能最后去丁，丁离得最远.他们总共有多少种不同的安排方法( )A.14B.12C.24D.288.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A 0,0,||)2πωϕ>>≤离原点最近的对称轴为0,x x =若满足0||,6x π≤,则称f(x)为“近轴函数”.若函数y = 2sin(2x -φ )是"近轴函数" ,则φ的取值范围是( )[,]62A ππ⋅ .[,]26B ππ-- .[,][,]2662C ππππ--⋃ .[,0][0,]66D ππ-⋃ 9.北宋徽宗在崇宁年间(1102年一1106 年)铸造崇宁通宝钱,因为崇宁通宝版别多样、铜质细腻、铸工精良,钱文为宋徽宗亲笔书写的“瘦金体”，所以后人写诗赞美日:“风流天子书崇观，铁线银钩字字端”.崇宁通宝被称为我国钱币铸造史上的一个巅峰铜钱直径3.5厘米,中间穿口为边长为0.9厘米的正方形.用一根细线把铜钱悬挂在树枝上,假定某位射手可以射中铜钱，但是射在什么位置是随机的(箭头的大小不计).这位射手射中穿口的概率最接近()1.6A 1.8B 1.10C 1.12D第9题图 第10题图 10.已知四棱锥S- ABCD 的底面是等腰梯形,AB// CD,AD= DC= BC= 1,AB =SA=2,且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S - ABCD 的外接球的体积为( )A.8π 82.3B π .82C π 2.3D π 11.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线20x -=与椭圆E 交于点P,与直线2(a x c c ==22a b -)交于点Q,O 为坐标原点,且2,OQ OP =u u u r u u r 则椭圆E 的离心率为() 1.2A 1.4B 3C 3D12.已知函数32()3f x x ax ax b =+++的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y= -12x+ m,若函数f(x)至少有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是()A.( -5,27)B.[-5,27]C.(-1,3]D.[-1,3] 二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数2,0,()(2),0,x e x f x f x x ⎧+≤=⎨->⎩则f(2020)=____14.已知点O 为坐标原点,向量(1,2),(,),OA OB x y ==u u u r u u u r 且10,OA OB ⋅=u u u r u u u r ||OB uuu r 的最小值____15.已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.满足2230,a c b ABC -+=V 的面积S =且A= 60°,则△ABC 的周长为____ 16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1212,,||10.F F F F =P 为双曲线右支上的一点,直线1PF 交y 轴于点M,交双曲线C 的一条渐近线于点N,且M 是1PF 的中点MN =u u u u r 2,NP uuu r 则双曲线C 的标准方程为____三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为,n S 满足242n n n S a a =+.等比数列{}n b 满足1122,.a b a b ==( I )求数列{}n a 与数列{n b }的通项公式;(II )若,n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和.n T18.(12分)如图,已知四棱锥S- ABCD 的底面ABCD 为直角梯形,AB// CD,AD ⊥CD,且AB= AD= 1, SC=2,SD CD SA ===E 为SC 的中点.( I )求证: BE//平面SAD;(II)求平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角的正弦值.19.(12分)已知抛物线2:2(0)C x py p =>与直线l:y= kx+2交于A,B 两点,O 为坐标原点.当k= 1时,OA ⊥OB. ( I )求抛物线C 的标准方程;(II)点F 为抛物线C 的焦点,求△FAB 面积的最小值.20.(12分) 已知函数2()2(1)1x e x e f x x e x e--=+-++ (I)求函数f(x)的单调区间; (II)设函数2ln(1)()()2(1)1x F x f x x e x m x -=-++++-,若F(x)≤0对任意x> 1恒成立,求实数m 的取值范围.21.(12分)2019年6月6日,中国商务部正式下发5G 商用牌照,中国正式进入5G 商用元年.在5G 基站的建设中对零部件的要求非常严格,一次质检人员发现有1个次品部件混入了5个正品部件中.从外观看这6个部件是完全一-样的,5 个正品部件一样重,1 个次品部件略轻一些现有两个方案通过用电子秤称重的办法把次品部件挑出来.A 方案:逐一称重，称重一次不能确定是否是次品部件,称重两次,若重量相同则都是正品部件如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重.依次进行,直到挑出次品部件. B 方案:把6个部件任意分成3组,每组2个，然后称重.(I)分析A,B两个方案,分别求出恰好称重3次挑出次品部件的概率;(II)如果称重一次需要2分钟,试比较A, B两个方案哪一个用时更少,并说明原因.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系x0y中,已知直线l的参数方程为1cos1sinx ty tαα=+⎧⎨=+⎩(α∈R,t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0.( I )求曲线C的直角坐标方程;(II)若曲线C上的点到直线l1,求tanα的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)= |x+a| +|x-1|.( I )当a=2时,解关于x的不等式f(x)- x≥8;(II )若关于x的不等式f(x)≤|x-5|在[0,2]上恒成立,求实数a的取值范围.。

2020届高三数学下学期4月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.设全集U＝R，若A＝{x|1}，则∁UA＝_____．【答案】{x|0≤x≤1}【解析】【分析】先解得不等式,再根据补集的定义求解即可【详解】全集U＝R,若A＝{x|1},所以,整理得,解得x＞1或x＜0,所以∁UA＝{x|0≤x≤1}故答案为：{x|0≤x≤1}【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义2.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________.【答案】17【解析】分析】由于分层抽样是按比例抽取，若设高三年级的学生抽取了人，则有，求出的值即可【详解】解：设高三年级的学生抽取了人，则由题意得，解得故答案为：17【点睛】此题考查分层抽样，属于基础题.3.过点且到原点距离最大的直线方程为________.【答案】【解析】【分析】若设点的坐标为，则所求的直线为过点且与垂直的直线，先求出直线的斜率，则可得所求直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程.【详解】解：设点的坐标为，则过点且到原点距离最大的直线方程为与垂直的直线，因为，所以所求直线的斜率为，所以所求的直线方程为，即故答案为：【点睛】此题考查两直线的位置关系，直线方程的求解，属于基础题.4.设无穷等比数列的公比为，首项，则公比的取值范围是________【答案】【解析】【分析】利用无穷等比数列极值的运算法则、化简，即可求解，得到答案．【详解】因为，又且，解得．【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的极限，以及数列极限运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题．5.满足约束条件的目标函数的最大值是_____.【答案】2【解析】【分析】作出可行域，再作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出约束条件所表示的平面区域如图所示(阴影部分), 易知在点(-2，0)上取得最大值，此时，故答案为：2.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域．本题可行域不是直接用二元一次方程组给出，而是由绝对值不等式给出，因此要由绝对值定义转化得到．6.若复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆，则复数满足的条件是________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义可知，，从而得到复数满足的条件是复数在以为圆心，4为半径的圆的内部.【详解】解：因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆，所以，根据复数差的几何意义可知表示复数到的距离小于4，即复数满足的条件是复数在以为圆心，4 为半径的圆的内部，如图所示故答案为：【点睛】此题考查了椭圆的定义，以及复数的几何意义，属于中档题.7.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_____________.【答案】４．【解析】试题分析：函数的图象与的图象都关于点对称，所以它们四个交点横坐标也分别成对关于点对称，每对和为2，所以总和为4．考点：函数图像与性质8.函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.【解析】【分析】可将原函数化为，可设，可判断为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可．【详解】因为设，所以；则是奇函数，所以在区间上的最大值为，即，在区间上的最小值为，即，∵是奇函数，∴，则 .故答案为：2．【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．9.已知，若数列、、、是一个单调递增数列，则的最大值为____.【答案】【分析】先由展开式通项求得，根据可得最大，由此求得的最大值.【详解】，展开式通项为，，由于数列、、、是一个单调递增数列，，即，解得，因此，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题．10.设，满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值.【详解】，令，则，，当且仅当时等号成立.故答案为:.【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.11.在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.【答案】（或C或边上的任意一点）【解析】【分析】因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可.【详解】解：因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，因为点M和N分别是矩形ABCD和的中心，所以,连接，则,所以即为经过三点的平面与正方体的截面，故点P可以是正方体表面上的点（或C或边上的任意一点）故答案为：（或C或边上的任意一点）【点睛】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档题.12.设、的定义域都为R，且是周期为4的奇函数，当时，，的周期为2，且，其中.若关于x的方程在区间上有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图像，数形结合即可.【详解】解：作出函数与的图像如图，由图可知，函数与仅有2个实数根；要使关于的方程有8个不同的实数根，则，与的图像有2个不同的交点，由到直线距离为1，得，解得，因为两点连线的斜率，所以即k的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查函数零点的判断，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，属于中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.在中，内角、、所对应的边分别为、、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】化简得到或，再判断充分必要性.【详解】，根据正弦定理得到：故或，为等腰或者直角三角形.所以“”是“是以、为底角的等腰三角形”的必要非充分条件故选B【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到或是解题的关键，漏解是容易发生的错误.14.已知函数为上单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图像上，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由给出的已知两点确定单调性，再由与的对应关系进一步求解即可【详解】由和为上的单调函数，可得为上的单调递减函数，则在定义域内也为单调递减函数；原函数过点和点，则过则，解得故选A【点睛】本题考查原函数与反函数的性质，原函数若单调，则原函数与反函数单调性相同，原函数定义域（值域）与反函数值域（定义域）相同，属于中档题15.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有( )A. 24种B. 48种C. 72种D. 120种【答案】B【解析】【分析】由排列组合及简单的计数问题得，将五个球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有.【详解】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五个球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有种，故选：B【点睛】此题考查了排列组合及简单的计数问题，属于中档题.16.如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到运动过程中，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题意，得到点在的边上沿逆时针方向运动，设正方体的棱长为，取线段的中点为，根据题意确定当动点运动到点时，，同理得到动点运动到线段或的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果.【详解】由题意可知：点在的边上沿逆时针方向运动，设正方体的棱长为，取线段的中点为，则当动点运动到点时，，同理，当动点运动到线段或的中点时，计算得.符合C选项的图像特征.故选C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤17.如图，是圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面.（1）求该圆锥的体积：（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)运用圆锥的体积公式求解；(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角公式求解.【详解】解：（1）设该圆锥的母线长为，底面圆半径为，高为，由题意，∴，底面圆周长，∴，∴，因此，该圆锥的体积；（2）如图所示，取弧的中点，则，因为垂直于底面，所以、、两两垂直以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，计算得，，，，所以，，设与所成角的大小为，则，所以，即异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查圆锥的体积和异面直线所成的角，属于基础题.18.已知函数（，为常数且），函数的图像关于直线对称.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用降幂公式及两角和与差的正弦公式化简函数得，由正弦型函数的对称性即可求出，最后代入周期计算公式即可得解； (2)由求出角A，利用余弦定理及均值不等式求出，利用与bc有关的面积公式求得的面积的最大值.【详解】(1)因为函数的图像关于直线对称，所以，，即，又，所以，，最小正周期为；(2) 因为，所以，因，则，所以，，，代入得，即，当且仅当时取等号，所以，所以的面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换化简函数，涉及降幂公式及两角和与差的正弦公式，正弦型函数的对称性，考查了余弦定理与均值不等式，属于中档题.19.某工厂在制造产品时需要用到长度为698mm的A型和长度为518mm的B型两种钢管，工厂利用长度为4000mm的钢管原材料，裁剪成若干A型和B型钢管。

2020年4月稽阳联考数学科试题卷一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()U C A B U = A ．{2,1,1,2}-- B ．{2} C ．{1,2} D ．{0}2． 已知i 为虚数单位，其中(12)z i i +=-，则该复数的共轭复数是A ．2155i + B ．2155i - C ．2155i -+ D ．2155i --3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．323πB ．16643π-C ．6416π-D ．163π4．若,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =-的最大值是A ．0B ．2C ．4D ．55．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()log ()a f x x b =-+的图象是A ．B ．6．设0,0a b >>，则“2a b +≥”是“222a b +≥”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设 10a <<，随机变量X 的分布列为正视图则当a 在1(0,)3增大时，A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 为椭圆的左,右焦点，过2F 的直线交椭圆与,A B 两点，190AF B ∠=o，2223AF F B =u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率是ABCD9．如图：ABC ∆中，AB BC ⊥，60ACB ︒∠=，D 为AC 中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为11,αβ，直线AD 与直线BC所成的最大角，最小角分别记为22,αβ，则有A ．1212,ααββ<≤B ．1212,ααββ<>C ．1212,ααββ≥≤D ．1212,ααββ≥>10．已知数列{}n a满足：11n n a a +=+ ，1a a =，则一定存在a ，使数列中： A ．存在*n N ∈，有120n n a a ++<B ．存在*n N ∈，有12(1)(1)0n n a a ++--<C ．存在*n N ∈，有1255()()044n n a a ++--<D ．存在*n N ∈，有1233()()022n n a a ++--<二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分11．双曲线2213y x -=的焦距是 _________，渐近线方程是____________． 12．已知角α的终边过点(1,2)-，则 tan α=_____________，sin 2α=____________．13．5展开式中常数项是___________，最大的系数．．是___________． 14．已知ABC ∆中，3,5AB BC ==，D 为线段AC 上一点,AB BD ⊥ ，34AD CD =，则AC = ____________，ABC ∆的面积是___________ ．15．已知函数2()2(0)f x x x a a =++< ，若函数(())y f f x = 有三个零点，则 a =__________．A DCBADCBA16．某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加,,A B C 三个志愿点的活动，每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有__________________种（用数字作答）． 17．如图：已知矩形ABCD 中，1,2AD AB ==，E 为边AB 的中点，P 为边DC 上的动点（不包括端点），DP DC λ=u u u v u u u v（01λ<<），设线段AP 与DE 的交点为G ，则 AG AP ⋅u u u v u u u v的最小值是__________________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

2020年5月稽阳联考数学参考答案一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCADDACBDC二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分 11．4,3y x =± 12．42,5--13．55,4214．58 92 15．15a --= 16．40 17．31-三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。

18．（本题满分14分） （Ⅰ）33()sin cos 3sin()226f x x x x π=+=+（3分） 所以函数()f x 的周期为2π，23()3sin232f ππ== （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ），则()21cos(2)332x y f x π-+==⋅，（10分）因[0,]2x π∈， 42[,]333x πππ+∈，1cos(2)[1,]32x π+∈-（12分）则()2y f x =的取值范围为3[,3]4（14分）（Ⅱ）另解：因[0,]2x π∈， 2[,]663x πππ+∈，所以33sin()[,3]6x π+∈（11分）则()23[,3]4y fx =∈（14分） 19．（本题满分15分）解法（1）：（Ⅰ）证：取AD 的中点O ，连结,,PO EO 由,,PO AD EO AD PO EO O ⊥⊥=I 可知AD ⊥面,PEO 且PE ⊂面,PEO 则AD PE ⊥.（6分）（Ⅱ）法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（ 8分）作,,PQ CD PH OE ⊥⊥连HQ ，因PH ABCD ⊥平面，知HQ CD ⊥，由60PDC ∠=o 知1DQ =，1OH DQ ==，由3PO =,在Rt PHO ∆中，可知2PH =,则()1,0,2P （10分）()0,1,0A -，()0,1,0D ，()3,0,0E ,则()()()1,1,2,3,1,0,1,1,2PD DE PA =--=-=---u u u r u u u r u u u r设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r，则30-x y x y -=⎧⎪⎨+⎪⎩得(n =r 为其中一个法向量，（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅===⋅u u u r ru u u r r u uu r r （14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 法二：（体积法）设点A 到面PDE 的距离为h ，法一中已知点P 到面ABCD 的距离PH，则PE =9分）PDE ∆中，2,PD DE PE ===所以PDE ∆为直角三角形，由A PDE P ADE V V --=可知11112233322PDE ADE S h S h h ∆∆⋅=⇒⋅=⋅⋅=（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则sin 2h PA θ==,（14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 20．（本题满分15分）（Ⅰ）因为2112()n n n n a a a a +++-=- ，所以数列1{}n n a a +-是公比为2的等比数列，（3分）则11222n n n n a a -+-=⋅=， 121211()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L =21n- （7分）（Ⅱ）法1><<10分）又n b ==<= （13分）22311(()(22222222n n n n S ++≤-+-++-=-K （15分） 法（2）（数学归纳法）12n n b +=，122nn S +≤- ①当1n =时，14S =，右边24-<只要证：22<7<，所以1n =成立（9分）②假设n k =成立，即173722k k k S ++<-， 则当1n k =+，13473734k k k k k S S ++++=+<-+，要证：17310k k S ++<-，只要证：3431037k k k ++++<，只要证：34310237k k k +++<+， 只要证：234310614k k k ++<+成立，所以当1n k =+成立（14分）由①②可知，737n n S +≤-对*n N ∈成立（15分）21．（本题满分15分）（1）抛物线2:ax y C =即y a x 12=，准线方程为：a y 41-=，Θ点)1,(b P 到焦点的距离为45，1,45411=∴=+∴a a ∴抛物线C 的方程为2x y =（4分） （Ⅱ）解1：设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分）由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ， 22)2(442221+--=---=∴t t t t t t x ，同理可得212)1()1(1222++++=++-+++=t t t t t t x ，（10分）21122122x x x x x x k MN+=--=Θ，当AB MN //时，1=MN k ，得121=+x x （12分）22+--∴t t t 1212=+++++t t t ，22222++-+-=∴t t t t t ，222222++++--=∴t t t t tt 得0=t 或22+-∴t t 122-=+++t t （舍去）0=∴t （15分）解法2：设设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分）由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ，（11分）同理：2222(1)10x t x t -++-=，两式相减，可知22121222()+210x x t x x x ----=，因为121=+x x ，所以122()0t x x --=，则0t =（15分）22．（本题满分15分）（1）()23f x x a x =--，23()12323x af x x x --'=-=--，所以当0a ≤， ()0f x '≥，则3[,)2+∞上递增，当0a >，()0f x '=，232a x +=，所以233[,)22a +递减，23[,)2a ++∞递增（6分） （Ⅱ）()1()f x g x -≤，可知123axx a x ke ---≤，对3[,)2x ∈+∞恒成立，取32x =，可知32102ak e≥>（7分）因1a ≥，则2323,ax x a x x ke ke -≥-≥，则1231230ax x x a x ke x x ke ----≤----≤， 123x x x ke ---≤，（10分）123xx x k e---≤，（11分） 设123()x x h x ---=，(2)(232)()23xx x h x e x ---'=-， ()0h x '=可知2x =，72x =，则函数在3[,2)2递减，7[2,)2递增，7[,)2+∞递减， 所以max 37322237111()max{(),()}max{,}22222h x h h ee e===，所以3212k e≥（15分）。

2020届稽阳联谊学校2017级高三下学期4月联考数学试卷答案解析1． B {2,1,0,1}A B =--U ,所以()U C A B U ={2}2． C 211255i z i i -==--+ 3．A 2224322433V πππ⋅⋅=⋅⋅-= 4．D 322z y x =-,有图像知取(1,1)-,最大值为5 5．D 因01,10a b <<-<<,有图像变换可知6．A 因为 2a b +≥可知2()22a b +≥,而222()2a b a b ++≥, 7．C 计算可知2211()3(2)4()336D X a a =--=--+ 8．B 设22113,2,23,22F A x F B x F A a x F B a x ===-=-,则222(5)(23)(22)x a x a x =-+-,可知3a x =,15,3AB a AF a ==,13cos 5F AB ∠=,1sin 25F AB ∠=,因A 为顶点,则5e =9．D 翻折到180o 时,,AB BC 所成角最小,可知130β=o ,,AD BC 所成角最小,20β=o ,翻折0o 时,,AB BC 所成角最大,可知190α=o ,翻折过程中,可知AD 的投影可与BC 垂直,所以,AD BC 所成最大角290α=o ,所以 1190,30αβ︒︒==,2290,0αβ︒︒==10．C图像1y x =+与y x =有两个交点(0,0),(1,1),利用蛛网图,可知当10a <,则数列递减,所以0n a <,当101a <<,则数列递增,并且n a 趋向1,可知当11a >,则数列递减,并且n a 趋向1,则可知A,B 错误,又当1x >,13111()22y x x x x =+=+-<+--=,则当11a >,2a 一定小于32,则之后均小于32,所以D 错 ,对于C 可取132a =,满足要求 11．4,y =,因1,2,a b c ===。

2024年浙江省稽阳联谊学校高考数学联考试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知在复平面内()1i z +对应的点位于第二象限，则复数z 可能是（）A ．12i+B ．2i+C ．1i+D ．1i-2．已知集合(){}2|0log 12A x x =<-<，{}2|23B x x x =->，则A B = （）A ．()1,3B ．()2,3C ．()3,4D ．()3,53．722x x x ⎛⎝的展开式中的常数项是（）A ．224B ．448C ．560D ．280-4．“πsin 03x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭”是“1cos 2x =”的（）A ．充分必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件5．已知P ，(){}22,2|||Q x y x y x ∈+ ，则PQ 的最大值是（）A ．2B ．22C ．4D ．426．如图，战国时期楚国标准度量衡器——木衡铜环权1954年出土于湖南长沙，“木衡”杆长27厘米，铜盘直径4厘米.“环权”类似于砝码，用于测量物体质量.九枚“环权”重量最小的为1铢，最大的为半斤（我国古代1两24=铢，1斤16=两），从小到大排列后前3项为等差数列，后7项为等比数列，公比为2.若铜盘一侧某物体为2两13铢，则另一侧需要放置的“环权”枚数为（）A ．2枚B ．3枚C ．4枚D ．5枚7．设1x ，2x ，…，n x 是总体数据中抽取的样本，k 为正整数，则称()11n kk i i b x x n ==-∑为样本k 阶中心矩，其中11ni i x x n ==∑为样本均值.统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数——样本偏度3322s b bβ=来刻画偏离方向与程度.若将样本数据1x ，2x ，…，100x 绘制柱形图如图所示，则（）A ．0s β<B ．0s β=C ．0s β>D ．s β与0的大小关系不能确定8．已知定义在R 上的函数()f x 恒大于0，对x ∀，R y ∈，都有()()()224f x y f x f y +=⋅，且()11f =，则下列说法错误的是（）A ．()102f =B ．()()()20f x f x f ⋅-=C ．()20241k f k =∑是奇数D ．()f x 有最小值二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数()3221f x x x x =-++，下列说法正确的是（）A ．2222333f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．方程()32f x =有3个解C ．当[]0,2x ∈，()[]1,3f x ∈D ．过点()0,1作()y f x =的切线，有且仅有一条10．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且10a ≠向量()11,n a a S +=，()1,1n b S =+ ，对于任意*n ∈N ，都有a b，则下列说法正确的是（）A ．存在实数1a ，使得数列{}n S 成等比数列B ．存在实数1a ，使得数列{}n S 成等差数列C ．若11a =-，则12n n a a +-=D ．若12a =，则()()()()12422111111n n a a a a a +++++=- 11．已知正四棱台1111ABCD A B C D -，1124A B AB ==，球O 内切于棱台，点P 为侧面11A ADD 上一点（含边界），则（）A ．球O 的表面积为8πB ．三棱锥1P BCC -的外接球球心可能为O C ．若直线DP ⊥面11PB C ，则53DP =D ．平面1PBC 与球O 的截面面积最小值是π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知平面向量()1,2a =- ，()4,2a b +=，若()()a kb a kb +⊥- ，则k 的值可以是.（写出一个值即可）13．若0a >，0b >，则221min ,4ab a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大值是.（其中{}min ,a b 表示a ，b 中的较小值）14．已知左、右焦点为()1,0F c -，()2,0F c 的椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>），圆2C ：22252x y cx c +-+0=，点A 是椭圆1C 与圆2C 的交点，直线2AF 交椭圆1C 于点B .若1AF AB =，则椭圆的离心率是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知ABC 面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：①)2224;S a b c +-；②sin cos2A Bc A +=；③()πsin cos 6c A C b C ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(1)求角C ；(2)若3c =，D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，ABC ，求角平分线CD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16．如图，五面体ABCDEF 中，已知面ADE ⊥面CDEF ，AB CD EF ∥∥，AD AE =，CD AD ⊥.(1)求证：AB AE ⊥.(2)若224AB CD EF ===，π3ABC AED ∠=∠=，点P 为线段AF 中点，求直线BP 与平面BDF 夹角的正弦值.17．盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入个同k （N k ∈）色球.(1)若0k =，记抽取n 次中恰有1次抽中黑球的概率为n P ，求n P 的最大值；(2)若1k =，记事件1B 表示抽取第i 次时抽中黑球.（ⅰ）分别求()123P B B B ，()123P B B B ，()123P B B B ；（ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n 次中恰有2次抽中黑球的概率.18．已知抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点为F ，A ，B 是抛物线Γ上两点（A ，B 互异）.(1)若AF FB =，且2AB =，求抛物线Γ的方程.(2)O 为坐标原点，G 为线段AB 中点，且12OG AB =.（ⅰ）求证：直线AB 过定点；（ⅱ）x 轴上的定点E 满足EO 为AEB ∠的角平分线，连接AE 、BE ，延长BO 交AE 于点P ，延长AO 交BE 于点Q ，求OPQ S 的最大值（用含p 的代数式表示）.19．已知函数()12ln x f x e a x x a-=+-，a R ∈(1)当2a =-时，求()f x 的最小值；(2)若()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；(3)当01a <<时，设1x 为函数()f x 的极大值点，求证：()11f x e<.1．A【详解】解：()()12i 1i 13i ++=-+，对应的点为()1,3-，在第二象限，A 正确；()()2i 1i 13i ++=+，对应的点为()1,3，不在第二象限，B 错误；()()1i 1i 2i ++=，对应的点为()0,2，不在第二象限，C 错误；()()1i 1i 2-+=，对应的点为()2,0，不在第二象限，D 错误．故选：A.根据复数的乘法运算，逐一核对选项即可．本题考查复数的几何意义，属于基础题．2．D【详解】解：集合(){}2|0log 12{|25}A x x x x =<-<=<<，{}2|23{|3B x x x x x =->=>或1}x <-，故()3,5A B = .故选：D.先求出集合A ，B ，再结合交集的运算，即可求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．3．B【详解】解：二项式7x⎛ ⎝的展开式的通项公式为3772177(2)rr r r r r r T C x C x --+⎛==⋅- ⎝，0r =，1， (7)令3722r-=-，则6r =，所以多项式的展开式的常数项为26627(2)448x C x -⋅⋅-=.故选：B.求出二项式7x⎛⎝的展开式的通项公式，然后令x 的指数为–2，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．4．C【详解】解：由πsin 03x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()ππ3x k k Z =-∈1cos 2x ⇒=，即充分性成立；反之，()1πcos π23x x k k Z =⇒=±∈，即必要性不成立，故“πsin 03x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭”是“1cos 2x =”的充分不必要条件．故选：C.利用充分条件与必要条件的概念判断即可．本题考查正弦函数的图象与性质及充分条件与必要条件的应用，属于中档题．5．C【详解】解：P ，(){}22,2|||Q x y x y x ∈+ ，如图，故P ，Q 在两圆及其内部的范围内，所以PQ 得最大值为4.故选：C.先求出P ，Q 两点的轨迹，再结合图形，即可求解．本题主要考查两点之间的距离，属于基础题．6．B【详解】解：设数列{}n a ，11a =，9192a =，由3a ，4a ，…，9a 成等比数列，公比为2，则332n n a -=⋅，3n ，故由1a ，2a ，3a 成等差数列，得n a n =，3n ，2两13铢需要放置一枚2两，一枚12铢，一枚1铁的环权，故需要3枚．故选：B.根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．本题主要考查数列的应用，属于基础题．7．C【详解】解：样本偏度反应数据偏离方向与程度，由图表可得，有比较多的小于样本均值3.4x =的数据，当右侧有长尾时，受极端值影响，()10033110100i i b x x ==->∑，而样本方差20b >，则0s β>.故选：C.由图可知，右拖尾时30b >，而样本方差20b >，从而判断s β的符号．本题主要考查了频数分布直方图的应用，属于基础题．8．D【详解】解：()()()224f x y f x f y +=⋅，取0y =，则()()()240f x f x f =，故()102f =，选项A 正确；取y x =-，则()()()24f x f x f x -=⋅-，则()()14f x f x ⋅-=，选项B 正确．取0x =，12y =，则()()211402f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取12y =，()()()211422f x f x f f x ⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭，()12k f k -=，则()20241k f k =∑是奇数，选项C 正确；取函数()12x f x -=，符合题目条件，但此时()f x 无最小值，故选项D 错误．故选：D.根据已知条件，结合赋值法，即可求解．本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．9．AC【详解】解：对于A ，()3221f x x x x =-++，则()2341f x x x '=-+，所以()64f x x ='-'，由()0f x ''=，得23x =，所以()y f x =关于22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中心对称，所以2222333f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ，因为()3221f x x x x =-++，所以()2341f x x x '=-+，令()0f x ¢>，得1x >，或13x <，令()0f x '<，得113x <<，所以()f x 在()1,+∞，1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在13x =处有极大值，极大值为131327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为313272<，所以方程()32f x =有唯一解，故B 错误；对于C ，由B 可知，()f x 在10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，又因为()01f =，131327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11f =，()23f =，所以()f x 的最大值为3，最小值为1，即()[]1,3f x ∈，故C 正确；对于D ，若点()0,1为切点，由()01f '=，可得切线方程为1y x -=，即10x y -+=，若点()0,1不是切点，设切点坐标为()320000,21x x x x -++，且00x ≠，则切线的斜率()2000341k f x x x '==-+，所以切线方程为()()()32200000021341y x x x x x x x --++=-+-，又因为切线方程过点()0,1，所以()()()322000000121341x x x x x x --++=-+-，解得01x =或0（舍去），所以切线方程为10y -=，即1y =.综上所述，过点()0,1作()y f x =的切线有2条，故D 错误．故选：AC.由()0f x ''=可求出()f x 的对称中心，进而可判断A ，求导得到()f x 的单调性和最值，进而可判断BC ，分点()0,1是切点和不是切点两种情况讨论，结合导数的几何意义可判断D.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．10．BCD【详解】解：由10a ≠，向量()11,n a a S += ，()1,1n b S =+ ，对于任意*n ∈N ，都有a b ，可得()111n n S a S +=+，若11a =，则11n n S S +-=，可得{}n S 是等差数列，故B 正确；若11a ≠，可得11111111n n a a S a S a a +⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，可得1111111n n a a S a a +=---，则()1nn a a =，故A 错误；若11a =-，则(1)n n a =-，12n n a a +-=，故C 正确；若12a =，则2n n a =，()()()()()()()()2222422121212121212121nn-++⋯⋯+=-++⋯+ 1122211n n a ++=-=-，故D 正确．故选：BCD.由向量共线的坐标表示推得()111n n S a S +=+，讨论1a 的值，结合等差数列和等比数列的定义和通项公式，可得结论．本题考查数列的递推式和向量共线的坐标表示、等差数列和等比数列的定义、通项公式，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．11．ACD【详解】解：已知正四棱台1111ABCD A B C D -，1124A B AB ==，球O 内切于棱台，点P 为侧面11A ADD 上一点（含边界），对于A 选项，取AD ，BC ，11B C ，11A D 的中点分别为M ，N ，X ，Y ，再取MN ，XY 的中点为S ，R ，则2MN =，4XY =，球O 内切于棱台，则O 点即为梯形MNXY 内切圆心，易知O 为SR 中点，且MO ，YO 均为角平分线，故OYR MSO △∽△，则r OR OS ====故球O 的表面积24π8πS r ==，故A 选项正确；对于B 选项，由上述分析可得，3MY XN ==，则正四棱台1111ABCD A B C D -的侧棱1AA =，作OE XN ⊥，垂足为E ，则E 为XN 三等分点（靠近N ）.设E N h '=，由勾股定理得22221E N BN E X B X '+=+'，则2h =，11B BC 的外接圆心E '为XN 三等分点（靠近X ），则三棱锥11P B BC -的外接球球心O '满足'⊥O E 平面11B BC ，显然OE ⊥平面11B BC ，故三棱锥11P B BC -的外接球球心不可能为O ，故B 选项错误；对于C 选项，若直线DP ⊥平面11PB C ，作11DH B C ⊥，垂足为H ，则P 的轨迹为以DH 为直径的圆，圆所在的平面与11B C 垂直，又点P 为侧面11A ADD 上一点（含边界），取1C X ，1D Y 的中点1Z ，2Z ，作12Z G Z D ⊥，垂足为P ，此时53DP =，故C 选项正确；对于D 选项，平面1PBC 与球O 的截面为圆，半径0r 满足2220r d r +=，故只需找离O 最远的平面1PBC 即可，显然观察四个顶点即可，其中P 取A ，1D 时为同一平面11ABC D ，此时显然离O 较近，当P 取1A 时，作OF BR ⊥，垂足为F ，则OF ⊥平面1PBC ，105d =；当P 取D 时，作1OG C S ⊥，垂足为G ，则OG ⊥平面1PBC ，1d =，故0max 1r =，故圆的截面面积为π，故D 选项正确．故选：ACD.对于A ：取AD ，BC ，11B C ，11A D 的中点分别为M ，N ，X ，Y ，再取MN ，XY 的中点为S ，R ，证出OYR MSO △∽△，进而求得r 即可；对于B ：利用条件得出三棱锥11P B BC -的外接球球心O '满足'⊥O E 平面11B BC ，显然OE ⊥平面11B BC ，即可判断；对于C ：若直线DP ⊥平面11PB C ，则P 的轨迹为以DH 为直径的圆，求解即可；对于D ：当P 取D 时，作1OG C S ⊥，垂足为G ，则OG ⊥平面1PBC ，1d =，即可得解．本题考查的知识点：棱台的性质，棱台和球的关系，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于中档题．12．【详解】解：平面向量()1,2a =- ，()4,2a b += ，∴()()3,4b a b a =+-=，∴()13,24a kb k k +=+-+ ，()13,24a kb k k -=---，∵()()a kb a kb +⊥- ，∴()()22225250a kb a kb a k b k +⋅-=-=-= ，解得5k =±.故答案为：利用平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质求解．本题考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．12【详解】解：设221min ,4M ab a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，则M ab ，2214M a b + ，所以2224ab M a b +，即12M =，当且仅当2a b =时取等号．故答案为：12.设221min ,4M ab a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，则M ab ，2214M a b + ，即2224ab M a b + ，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．14【详解】解：设2C ：222502x y cx c +-+=与x 轴的交点为P ，Q ，不妨设,02c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0Q c ，11223PF QF PF QF ==，根据阿波罗尼斯圆的定义，得到123AF AF =，又1AF AB =，则222BF AF =，因为22cos b AF a θ=+，22cos b BF a θ=-，代入222BF AF =，得到cos 3a c θ=，在12AF F △中，132AF a =，22aAF =，由余弦定理得22294224423a a a a c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得33c a =.故答案为：3.根据阿波罗尼斯圆的定义，得到123AF AF =∣，再得到cos 3a cθ=，最后利用余弦定理求出e .本题考查椭圆的性质，属于中档题．15．(1)π3C =；【详解】解：（Ⅰ）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得14sin 2cos 2ab C ab C ⨯=，可得tan C =()0,πC ∈，所以π3C =；若选②，由正弦定理可得：sin sin sin cos 2C C A A =，因为sin 0A >，所以2sin cos cos 222C C C=，cos 02C ≠，可得1sin 22C =，再由()0,πC ∈，可得π26C =，即π3C =；若选③，由正弦定理可得：πsin sin sin cos 6C B B C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，sin 0B >，可得ππcos cos 26C C ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,πC ∈，可得ππ26C C -=-，解得π3C =；（Ⅱ）因为3c =，D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，ABC 的面积为4，所以()1π1π53sin sin 23264ab a b CD =+⋅⨯=，可得5ab =，()a b CD +⋅=由余弦定理可得22222cos ()3c a b ab C a b ab =+-=+-，即2935CD ⎛=-⨯ ⎝⎭，解得524CD =.即角平分线CD（Ⅰ）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得tan C 的值，再由角C 的范围，可得角C 的大小；选②，由正弦定理及半角公式可得sin2C的值，再由角C 的范围，可得角C 的大小；若选③，由正弦定理及诱导公式可得角C 的大小；（Ⅱ）由等面积法及余弦定理可得角平分线CD 的值．本题考查正弦定理，余弦定理的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．16．(1)证明见解析；77.【详解】解：（Ⅰ）证明：取DE 中点M ，连接AM ，因为AD AE =，所以AM DE ⊥，又因为面面ADE ⊥面CDEF ，且面ADE 面CDEF DE =，所以AM ⊥面CDEF ，CD ⊂面CDEF ，所以AM CD ⊥，又因为CD AD ⊥，且AM AD A = ，所以CD ⊥面ADE ，所以CD AE ⊥，又AB CD ，所以AB AE ⊥；（Ⅱ）因为在直角梯形ABCD 中，π3ABC ∠=，AB 4=，2CD =，易求得AD =AD AE =，3AED π∠=，所以三角形ADE 为等边三角形，如图，以M 为原点建立直角坐标系，()0,0,0M ，()0,0,3A ，)2,0F ，()0,4,3B ，()D ，因为P 是AF 中点，所以点P 坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，所以33,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，)2,3BF =--，()2,0DF =，设面BDF 的法向量为(),,n x y z =r，则23020BF n y z DF n y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，则可取(1,n =，所以||sin |cos ,|||||BP n BP n BP n θ⋅=〈〉==⋅（Ⅰ）由已知证出AM ⊥面CDEF ，则AM CD ⊥，进而得出CD ⊥面ADE ，再根据AB CD 以及线面垂直的性质定理即可得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面BDF 的法向量，结合向量夹角公式即可求解．本题考查线线垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．17．(1)49；(2)（ⅰ）110，110，110；（ⅱ）()()()2112n n n -++【详解】解：（Ⅰ）若0k =，设抽取n 次中抽中黑球的次数为X ，则1,3X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()11112213333n n n nn P P X C --⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由()1213n n n P P n++=，12345P P P P P >=><>…，故n P 最大值为2P 或3P ，即n P 的最大值49；（Ⅱ）（ⅰ）()()()()123121321123134510||P B B B P B P B B P B B B ==⨯⨯= ，()()()()123121321213134510||P B B B P B P B B P B B B ==⨯⨯=，()()()()123121321||213134510P B B B P B P B B P B B B ==⨯⨯= ；（ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n 次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关，则()()()()()212341211223123456212n n n n n n P C P B B B B B n n n ---==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++ .（Ⅰ）利用独立事件的概率乘法公式求解；（Ⅱ）（ⅰ）利用条件概率公式求解；（ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n 次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关，再结合独立事件的概率乘法公式求解．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于中档题．18．(1)22y x=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）249p .【详解】解：（Ⅰ）因为AF FB =，则线段AB 是抛物线的通径，所以22AB p ==，得到1p =，抛物线方程为22y x =.（Ⅱ）（ⅰ）证明：因为12OG AB =，所以O 在以AB 为直径的圆上，所以90AOB ∠=︒，所以1OA OB k k ⋅=-，设211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫⎪⎝⎭，则21222112222AB y y pk y y y y p p-==+-，所以直线AB 方程为1212122y y py x y y y y =+++，又12221OA OB p pk k y y ⋅=⋅=-，所以2124y y p =-，AB 方程为()21212122422p p py x x p y y y y y y -=+=-+++，直线AB 过定点()2,0p .（ⅱ）设()0,0E x ，EO 为AEB ∠的角平分线，则0AE BE k k +=，12221200022y y y y x x pp+=--，整理得()()22120210220y y px y y px -+-=，因为2124y y p =-，解得02x p =-，即1OA k k =，2OB k k =，不妨设10k >，因为121k k =-，则21122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理22222,p p B k k ⎛⎫⎪⎝⎭，直线EA 的方程为()12121k y x p k =++，与直线2y k x =的交点横坐标12122P pk x k k =-，同理21222Q pk x k k =-，所以12OPQ QS OP OQ ==△2p =2p=()()()()()22111112221224221111121111222122252125k k k k k k p p p k k k k k k +++===⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭，令111k t k +=，则2t ，所以()22212212252OPQ t S p p t t t=⋅=⋅-++△，当且仅当2t =，取最大值249p .（Ⅰ）利用抛物线的性质即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）因为12OG AB =，则可推得1OA OB k k ⋅=-，设211,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出122AB p k y y =+，进一步可得直线AB 的方程1212122y y py x y y y y =+++，然后由12221OA OB p pk k y y ⋅=⋅=-，可得2124y y p =-，代入直线AB 的方程即可得证；（ⅱ）设()0,0E x ，EO 为AEB ∠的角平分线，则0AE BE k k +=，可得02x p =-，即1OA k k =，2OB k k =，不妨设10k >，因为121k k =-，则21122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理22222,p p B k k ⎛⎫⎪⎝⎭，直线EA 的方程为()12121k y x p k =++，与直线2y k x =的交点横坐标12122P pk x k k =-，同理21222Q pk x k k =-，表示出12OPQ S OP OQ =△，运用换元法求解即可．本题考查抛物线的方程与性质，考查联立直线与抛物线的方程解决综合问题，属于中档题．19．(1)最小值为1；(2)[)1,a ∈+∞(3)证明见解析【详解】解：（Ⅰ）当2a =-时，()12ln x f x e x x -=-+，定义域为()0,∞+，则()121x f x e x-'=-+，由()1220x f x e x -=+'>'，可得()f x '在()0,∞+单调递增，且()10f '=，故()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，则()f x 的最小值为()11f =；（Ⅱ）若()f x 在定义域内单调递增，则()0f x ' 在()0,x ∈+∞上恒成立，()1122x x xe x aa a f x e x a x--'-+=+-=，令()12x g x xex a a -=-+，则()()()2110a a g a+-= ，且()00g a = 可知1a ，下证1a 时，()0g x ，由()12x h a xex a a-=-+关于1a 单调递增，则()121x h a xe x --+ ，令()121x G x xex -=-+，则()()112x G x x e -'=+-，故()G x '在()0,x ∈+∞上单调递增，且()10G '=，则()G x 在()0,1上单调遂减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10G x G = ，综上所述，[)1,a ∈+∞时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；（Ⅲ）()12x a f x e x a -=+-'，()12x a f x e x-'=-'，则()f x ''在()0,∞+上单调递增，且存在唯一0x ，使得()00f x ''=，故()f x '在()00,x 上单调遂减，()0,x +∞单调递增，其中0120x x e a -=，且由()0,1a ∈，则()00,1x ∈，而()()000110012002210x x x a f x e x e x a x e---=+-'=+-<，故存在唯一极大值点1x 与极小值点2x ，满足102x x x <<，又()111120x a f x e x a -=+-='，则11112x x x e a a-=+，由()122120a f a e a a-=+-<-<'，故11x a <<，()()()()()111111*********ln 1ln 11ln 1x x x f x e a x x x e a x x e x x a---=+-=-+-<-+-，令()()()11ln 1x x x e x x ϕ-=-+-，()0,1x ∈，则()1ln 0x x xe x ϕ-=-+<'，0x +→时，()ln 10x x -<，0x =时，()111x x e e--=，所以()1x eϕ<，即()11f x e<.（Ⅰ）当2a =-时，()12ln x f x e x x -=-+，定义域为()0,∞+，求导得到()f x 的单调性，进而求出()f x 的最值；（Ⅱ）若()f x 在定义域内单调递增，则()0f x ' 在()0,x ∈+∞上恒成立，由()10f ' 可得1a ，再证1a 时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增即可；（Ⅲ）求导可知存在唯一0x ，使得()f x '在()00,x 上单调递减，()0,x +∞单调递增，进而可得102x x x <<，再结合()10f x '=证明即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．。