《向量的概念及表示》PPT课件

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《向量概念》课件

混合积的运算性质
总结词
掌握混合积的运算性质
详细描述
混合积具有一些重要的运算性质，包括交换律、结合律以及分配律。交换律指的是混合积的结果与向量的排列顺序无关；结合律指的是三个向量的混合积与它们的分组方式无关；分配律指的是一个向量与另外两个向量的混合积结果等于该向量与其中一个向量乘
积与另一个向量的混合积。
向量的混合积
06
混合积的定义
总结词
了解混合积的基本定义
详细描述
混合积是向量的一种运算方式，通过将三个向量的有序排列进行乘积，得到一个标量值。具体定义为向量a、b和c的混合积为a×(b×c)。
混合积的几何意义
总结词
理解混合积的几何解释
详细描述
混合积的几何意义在于表示三个向量的空间关系。具体来说，当三个向量构成一个右手坐标系时，它们的混合积为正；如果构成左手坐标系，则混合积为负。
外积的运算性质
总结词
阐述外积的运算性质
详细描述
外积具有一些重要的运算性质。首先，外积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。这意味着两个向量的外积与其顺序有关。其次，外积与标量乘法相结合满足分配律，即 $k(mathbf{A} times mathbf{B}) = (mathbf{A} times kmathbf{B})$。此外，外积还满足结合律，即 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。这些运算性质使得外积在向量运算中具有重要的作用。

5.1向量的概念及表示 ppt

(3)与零向量相等的向量是什么向量?
(4)与任何向量都平行的向量是什么向量? （零向量）
(5)若两向量在同一直线上,则它们是什么? （共线向量）
(6)非零向量相等的充要条件是什么? （方向相同，模相等）
(7)共线向量一定在一条直线形ABCDEF的中心,分别写出
教学目标：
1、理解向量、单位向量、相等向量的概念，会用字母表示向量。 2、掌握向量的集合意义，明确向量的模、零向量、单位向量的几何意义。 3、了解共线向量、平行向量的概念。
教学重点：
向量的概念、相等的概念、向量的几何表示等
难点：向量的概念。
向量的概念及表示
生活中有向量生活中用向量
猫能捉住老鼠吗?
F
(2) 与 OA 长度相等的向量有几个?
E
(3) 与 OA 共线的向量有哪几个?
课堂练习
1、下列说法正确的是（
C）
A.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； B.若 a 和 b 都是单位向量，则 a = b； C .设 O 是正 A B C 的中心，则向量 A O 、 O 、 O B C
是模相等的向量；
D.向量 A B 与 C D 是共线向量，则 A、 B 、 C 、 D
四点必在一直线上.
2、判断下列说法是否正确：
（ 1）若 a = b;则 a = b ; 变题：a = b ，则 a = b；（ 2）若 a ∥ b ,则 a = b; 变题：a = b ，则 a ∥ b；（ 3）若 a = b ,b = c ,则 a = c;

向量概念课件

点乘的几何意义是两个向量的投影长度乘积减去它们之间的角度余弦值。
几何意义
点乘在物理学、工程学、计算机图形学等领域有广泛应用，如力矩计算、速度和加速度的合成等。
应用
总结词：叉乘是两个向量之间的一种外积运算，结果是一个向量。
VS
混合积是三个向量之间的一种运算，结果是一个标量。
详细描述
混合积是三个向量之间的一种运算，其结果是一个标量。混合积的定义为三个向量的对应坐标相乘后再求和，即a·b·c=∑(a_i*b_j*c_k)。混合积的结果取决于三个向量的长度和它们之间的夹角。当三个向量两两垂直时，混合积的结果为0；当三个向量共线时，混合积的结决于它们的夹角和长度。
向量在汽车工程中的应用
向量可以用来表示和解决与水流方向、速度和水压力相关的问题，例如水轮机的设计和运行。
向量在水利工程中的应用
THANKS
感谢观看
详细描述
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示。
总结词
文字描述通常使用有向线段的起点和终点来表示，例如“A指向B”。坐标表示则是在二维或三维坐标系中，用起点和终点的坐标来表示向量。箭头表示则是用带箭头的线段来表示向量，箭头的长度代表向量的模，箭头的指向代表向量的方向。
详细描述
总结词
要点一
要点二
详细描述
点乘是两个向量之间的一种内积运算，其结果是一个标量。点乘的定义为两个向量的对应坐标相乘后求和，即a·b=∑(a_i*b_i)。点乘的结果取决于两个向量的长度和它们之间的夹角。当两个向量垂直时，点乘的结果为0；当两个向量同向时，点乘的结果为两向量长度的乘积；当两个向量反向时，点乘的结果为负的两向量长度的乘积。
总结词
向量的应用
CATALOGUE

《向量的概念及运算》课件

THANKS
感谢观看
详细描述
向量的向量积定义为两个向量A和B的向量积是一个向量C，记作C=A×B，其长度和方向可以通过外积法则来确定。
向量的向量积的几何意义
总结词
向量的向量积在几何上表示两个向量的垂直交叉乘积，可以用来描述旋转和方向。
详细描述
向量的向量积的几何意义在于它表示两个向量的垂直交叉乘积，即当两个向量A和B的向量积存在时，它们之间的夹角为90度。
向量的数量积定义为两个向量的对应分量相乘，然后求和。具体公式为：$vec{A} cdot vec{B} = a times b cos theta$，其中$vec{A}$和$vec{B}$是向量，$a$和$b$分别是
向量$vec{A}$和$vec{B}$的模，$theta$是两向量的夹角。
向量的数量积的几何意义
详细描述
向量的数量积具有一些重要的性质，如分配律、结合律、交换律等。此外，向量的数量积还满足一些重要的结论，如向量的点乘为零的充要条件是两向量垂直等。这些性质和结论在解决实际问题中具有广泛的应用。
04
向量的向量积
向量的向量积的定义
总结词
线性代数中，向量的向量积是Байду номын сангаас个向量运算，其结果是一个向量。
向量的表示方法
总结词
向量可以用大写字母表示，如A、B 、C等，也可以用有向线段表示。
详细描述
在数学中，向量通常用大写字母表示，如A、B、C等。同时，向量也可以用有向线段表示，起点在原点，终点在平面内任意一点。
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小或长度，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$。
向量混合积的几何意义在于它表示三个向量的空间关系。具体来说，当三个向量形成一个闭合三角形时，向量混合积的值为正；当三个向量不形成闭合三角形时，向量混合积的值为负。

向量概念课件ppt

向量的叉乘
总结词
叉乘是两个向量之间的一种外积运算，结果是一个向量。
详细描述
叉乘的定义为两个向量$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$的叉乘等于它们的模长之积乘
以它们夹角的正弦值，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。叉乘的结果是一个向量，该向量垂直于作为运算输入的两个向量，并且其模长等于输入向量的模长之积乘以它们夹角的正弦值。叉乘具有反交换律，即
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$（在二维空间）或$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$（在三维空间）。
详细描述
向量的模也称为向量的长度或大小，用于衡量向量的大小。在二维空间中，向量的模可以通过计算 $sqrt{x^2 + y^2}$得到；在三维空间中，向量的模则是$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。向量的模具有一些重要的性质，如非负性、传递性和三角不等式等。
$mathbf{A} times mathbf{B} = mathbf{B} times mathbf{A}$。叉乘的结果可以解释为旋转一个向量绕着另一个向量
向量的混合积
总结词
混合积是三个向量之间的一种运算，结果是为三个向量$mathbf{A}$、 $mathbf{B}$和$mathbf{C}$的混合积等于它们的模长之积乘以它们夹角的余弦值，记作$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C})$。混合积的结果可以解释为三个向量在空间中形成的平行六面体的体积。混合积具有分配律和反交换律，即$mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{A} cdot mathbf{C}$以及$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = -

7.1向量的概念和向量的几何表示ppt

知识应用
例2 如图：在平行四边形ABCD中，找出与向量AD共线的非零向量．
D
A B
C
分析：共线的非零向量是所有方向相同和相反的非零向量．解：与向量AD共线的向量有AD，BC，DA，CB．
知识应用
例3：如图设O是正六边形ABCDEF的中心，请分别写出图中满足下列条件的向量：（1）与向量OB相等的向量； C B （2）向量OB的负向量；（3）与向量OB共线的非零向量． D A O E （1）与向量OB相等的向量有DC，EO，FA．（2）向量OB负向量有CD，OE，AF，BO．（3）与向量OB共线的向量有DC，EO，FA， CD，OE， AF，BO ．
主要概念
向量有两个要素：大小和方向向量的大小：是表示向量的有向线段的长度，也叫做向量的长度． AB 或 a 记作：相等的向量：大小相等且方向相同的向量．注：两个向量相等与它们的位置无关．
零向量：长度为零的向量，记作0或 AA
a
B D
它的方向不确定． A AB BA 注： 0的负向量规定为0 ； C 单位向量：长度为1的向量．思考：两个单位向量一定是相等向量吗？
相反，或者有一个是零向量．
知识应用
例1 如图：在平行四边形ABCD中，找出与向量AB相等的向量，以及AB的负向量． D C
A
B
分析：相等的向量即方向相同、大小相等的向量，用有向线段表示，即为方向相同、长度相等的有向线段．负向量即方向相反、大小相反的向量，用有向线段表示，即为方向相反，长度相等的有向线段．解： AB = DC - AB = BA = CD
主要概念
a长度相等且方向相反的向负向量：与非零向量 a 量称的负向量， a 记作：或称 a 的反向量．

向量的概念及表示(公开课)-PPT

B.3
C.4
D.5
练习 3 .下列说法是否正确 A .若 | a | | b |, 则 a b B .若 | a | 0 , 则 a 0 C .若 | a | | b |, 则 a b或 a b D .若 a // b , 则 a b E .若 a b , 则 | a | | b | F .若 a b , 则 a 与 b 不是共线向量 G .若 a 0 , 则 a 0
◆速度是既有大小又有方向的量。
B
A
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些是向量？
一:向量定义
既有大小又有方向的量叫向量
向量现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？
建构数学三、向量的关系
平行向量：方向相同或相反的非零向量
叫做平行向量。记作： a//b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量：长度相等且方向相同的向量
叫做相等向量。记作： ab. 共线向量：平行向量也叫做共线向量。
相反向量：长度相等且方向相反的向量
叫做相反向量。记作： a
B
（2）FB、AF、MC
（3）BD、DC、EM
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量
中：
（1）与 A O 相等的向量为
；A
B
（2）与A O 共线的向量为（3）与 A O 的模相等的向量为

《向量的概念与表》课件

《向量的概念与表示》PPT 课件
目录
• 向量的基本概念 • 向量的加法与数乘 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01
向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，表示为有向线段。
详细描述
向量是数学中一个基本概念，表示为有向线段，由起点、终点和方向确定。向量的大小或模表示其长度或大小，而方向则由起点指向终点。
05
向量的混合积
混合积的定义
混合积
三个向量的有序实数乘积，记作$a cdot b cdot c$，其中$a, b, c$是三个向量。
定义公式
$a cdot b cdot c = |a||b||c| cos theta$，其中$theta$为向量$a, b, c$之间的夹角。
混合积的几何意义
01
混合积的几何意义：表示三个向量围成的平行六面体的体积。
02
当混合积为正时，三个向量围成的平行六面体体积为正；当混合积为负时，体积为负；当混合积为零时，三个向量共线。
混合积的运算律
交换律
$a cdot b cdot c = b cdot a cdot c$
结合律
$(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c$
几何意义
向量加法在几何上表示为平行四边形的对角线，或者三角形的一条边。
数乘
定义
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为向量。
性质
数乘满足结合律和分配律，即λ(μa)=μ(λa)和 λ(a+b)=λa+λb。
几何意义
数乘在几何上表示为将向量按比例放大或缩小。
向量加法和数乘的几何意义

向量的概念及表示 ppt课件

8
3．向量的有关概念：
（1）平行向量：方向相同或相反的向非量零叫向做量平叫行做向平行量向.记量作.记a 作// ba /./ b .
规定：0 与任一向量平行.
a
b
d
ba
c
讨论：a // b， b // c a // c？
PPT课件
9
3．向量的有关概念：
（1）相等向量：：长度相等且方向相同的向量叫做相
B
答：与 AB相等的向量有7个
与 AB长度相等的共线向量有15 个.
A
PPT课件
17
练习2:回答下列问题：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个
（1）向量的模：向量 AB 的大小称为向量的长度（或称为模），记作| AB|.
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作 0 .
（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做
单位向量0 .与0的含义与书写区别.
y
平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
O
1x
PPT课件
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4
问题1： 1、向量是如何定义的？
定义：既有大小又有方向的量统称为向量。
注：1.向量两要素：大小，方向
2.向量与数量的区别：
• 思考①1数：量在只质有量大小、重，可力以、比速较度大、小加。速度、身高、②面向量积有、方体向积，这大些小量双重中属，性__，_而__方_向__是_不__能
____比_较__大_小__的__，_因__此是向数量量不,能比较大小。 _____________________________是向量.

向量的概念及表示ppt

数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
2020/2/11
BACK
在下列结论中，哪些是正确的？（1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等；（4）两个相等向量的模相等。
2020/2/11
正确的有：（4）
练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量 AO,BO,CO是 (B )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量 C
D.共起点的向量
A2020/2/11
O
B
练习:
1. 命题：“│a│=│b│”成立，则“ a = b ”一定成
立
×
2020/2/11
BACK
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则 c =____
c
r
r
- ( - a) =？
b
2020/2/11
三：向量之间的关系
5.共线向量与平行向量的关系：
rrr a// b// c
r a
,
br ,cr为
共
线向量
r a r b r c
rr r bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
2020/2/11
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
位移和距离这两个量有什么不同？
2020/2/11
上海
台北香港
合作探究：
观察下述三个量有什么区别？
m=20kg
(1)
F=20N
(2)

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大小记着：│AB│
Ｂ
A
a
②也可以表示： a b c d ….
大小记为┃a┃
7
说明1：
我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量
如图：他们都表示 a
a
同一个向量。
1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为
什么？不是，温度只有大小，没有方向。
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
为什么？
说明：在平行向量、共线向量、相等向量
的概念中应注意零向量的特殊性
13
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
在图中所标u出uur 的向量中： (1)试找出与FuEur共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；
uur uuur （3）OA与BC相等吗？
E O
F
D C
若不相等，则之间有什么关系？
解：（1）BuuuuCrr，OuuAuruuur
A
B
（2）BC FE
uur uuur uur uur
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
但是它们方向相反，故这两个向量不相等.
uuur uuur
OA BC
14
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB，
分别以图中的格点为起点和终点作向量，
（1）其中与 AB 相等的向量有多少个？
（2）与 AB 长度相等的共线向量有多少个？
（ AB除外）
B
uuur
(1)共有7个向量与AB相等
uuur
A
(2)共有15个向量与AB共线
15
合作探究：
如图：以1×1方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，可得到多少种不同的模？有多少种不同的向量？
➢我r 们规定零向量与任一向量平行
ra b
r
rrr
记做：a// b// c
c
r e
ur f
r ur 那么e与 f 之间是什么关系？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？
11
三：向量之间的关系
4.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量
A
D
uuur uuur
记作：AB DC
B
C
s
相反向量的定义：我们把与a
共线向量或者说平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？不一定
BACK 22
练习：在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
BACK 23
在下列结论中，哪些是正确的？（1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
共有2种不同的模
共有8种不同的向量
16
若改为1×2的方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，可得到多少种不同的模？多少种不同的向量呢？
共有4种不同的模
共有14种不同的向量
17
欢迎来到：过关竞技场
★题：
1
2
3
4
5
6
★★题：
7
8
9
10
★★★题：
11
12
18
练习： 1、单位向量是否一定相等？
不一定
1
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗……
请问：金钱豹能追上小狗吗？为什么？
2
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信息导弹是否能击中目标？
答案：不能，因为没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
1200公里
2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。 0 向量大小为0，方向
不确定的。可以是任意方向单位向量大小为1，方向不一定相同。单位向量可以有无数多个
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量
它们的终点的轨迹是什么图形？
10
三：向量之间的关系
3.平行向量的定义：
➢方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
r 向量叫做a
长度相等，方向相反的
r
的相反向量. 记做：- a
r a
r rr r
r c
c= -a a = -c
r
r
- ( - a) =？
b
12
三：向量之间的关系
5.共线向量与平行向量的关系：
rrr a// b// c
r a
,br ,cr为
共
线
向量
r a r b r c
rr r bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等；（4）两个相等向量的模相等。
正确的有：（4）
24
练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 ( B)
A.相等向量 B.模相等的向量
C.共线向量 D.共起点的向量 C
A
O
B
25
练习:
2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
不是，方向不同
8
说明2：有向线段与向量的区别：
有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有
方向。
B
D
B
D
A
C
A
C
有向线段AB、CD是不同的。
向量 AB、CD 是同一个向量。
9
说明3：两个特殊向量
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0
2、单位向量的大小是否一定相等？
一定
BACK
19
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
BACK
20
练习 1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
BACK
21
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
5
靖江市刘国钧中学瞿竞泓
2020年4月11日星期六7时41分24秒
6
一、向量的定义既有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ。
1. 命题：“│a│=│b│”成立，则“ a = b ”一
定成
×
立
BACK
26
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则 c =__0__
BACK
27
练习：
1.与非零向量 a 平行的向量中，
不相等的单位向量有__2___个.
3
湖面上有三个景点O,A,B,
（如图）一游Leabharlann 将游客从景点O送至景点A,半小时后，游艇再将游客送至景
o
点B.从景点O到景点A有
一个位移，从景点A到景
B
点B也有一个位移。
位移和距离这两个量有什么不同？
位移既有大小又有方向，
A
距离只有大小没有方向
4
合作探究：
观察下述三个量有什么区别？
m=20kg
(1)