奇异时滞系统的全阶规范观测器的设计

ｆ ｒ Ｓ ｎ ｕ ａ ｍ ｅ— ｄ ｌｙ Ｓ ｓｅ ｏ ｉｇ ｌ ｒ Ｔｉ — ｅａ ｙ ｔ ｍ
Ｌ Ｌ Ｕ ｉ—ｈ ａ．Ｗ Ｕ ｏ—ｗｅ ｕ Ｂａ ｉ
（ ｏｌ ｅｏ ｔｅ ａｃ ｎ ｆ ｍ ｔ ｎＳｉｎｅ Ｓ ａｎｉ ｏ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ， ｉｎＳ ａｘ ７０ ６ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ｈ ｍ ｔ ｓ ｄＩ ｏ ａ ｏ ｃｅｃ ， ｈａｘ Ｎ ｒ ｌ ｎ ｅｓｙ Ｘ ’ ｈｎ ｉ ０ ２ ｅ Ｍａ ｉ ａ ｎｒ ｉ ｍ ｖ ｉ ａ １
０ ±１ ± ， ， ， 中在原点解析的唯一分支 被称 ， ， ２… ± 其 Ｌｍ ｅ 函数有一个非 常重要的性质 ， ａ ｂ ｒＷ ｔ 如下式所示 ：
Ｖｚ∈ Ｃ ｍａＲ （ （ ） ＝ Ｒ （ （ ） ， ｘ ｅ Ｗｋ ） ｅ ｚ ）
为 主 支 （ ｏ ≥１ 。 ｗ （） ）
ｄ ｌｙ ｓ ｓｅ ． Ｆｉ ｌｙ，ｔ ｅｐａ ｒｕｓ ｓＭ ａｌｂ ｏｓｍｕｌｔ ｒｉｕｌｒｅ ｍｐｌ ｅａ ｙ ｔｍ ｎａｌ ｈ ｐｅ ｅ ｔａ ｔ ｉ ａ ｅａｐａ ｔｃ ａ ｘａ ｅ，ａ ｄ ｕｓ ｓｓｍｕ ｉｋ ｔ ａｉ ａ ｅｉｓｐ ａ — ｎ ｅ ｉ ｌｎ ｏｖ ｌｄ ｔ ｔ ｒ ｃ
献［］ ６ 中基 于 Ｌｍｂｒ Ｗ 函数研究 出了线性时滞系统 的稳定 ａ ｅ ｔ
１ 引 言
在 实际工程应用和控制系统中 ， 往往无 法直接测量控 制 对象 的状态 ， 因此需要通过状态观测器来实 现系统状态 的重 构， 从而实现系统 的状态反 馈 ， 使系统 能够按 预期 的指标运 行 。近年来 ， 随着奇 异 系统 的广泛 应用 ， 奇异 系统 的状 态观
均具有负 的实部＂ ， 或者在 Ｌａｕ ｏ 意义上 ， 的所有特征 ｙｐ ｎｖ ｅ
（） ｔ （ ２ １）
彳 （）＋ Ｂ ｔ ｒ ｅ ｆ （ — ）＋（ ｒ ｃ—Ｔ （ ） Ｔ ， ｅ＋ ｉ Ａ） ｔ ＋（ Ｅ＋
ｃｅ ｔｍａｒｘｄ ｅ ｔ ｅ ａｇ ｂ ａ ｃｓｒ ｃｕ ｅｏ ｉｇ ｌｒ ｉ ｉ ｎ ｔ ｕ ｏ ｔ ｌｅ ｒ ｉ ｔ ｔ ｒ ｆ ｎ ｕ ａ ｍｅ—ｄ ｌｙ ｓ ｓｅ ．Ｂ ｓ ｄ ｏ ｅｒ ｓ ａ ｃ ｎ ｅｇ ｎ ａｕ ｉ ｈ ｕ ｓ ｔ ｅａ ｙ ｔ ｍｓ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｉｅ ｖ ｌ ｅ—ａ — ｈ ｓ
是一 种 针 对 奇 异 时 滞 系 统 的观 测 器 设 计 的 有 效方 案 。 关键 词 ： 性 奇 异 时 滞 系统 ； 阶状 态 观 测 器 ； 征 值 配 置 线 全 特 中 图分 类 号 ：Ｐ ７ Ｔ２３ 文 献 标 识码 ： Ａ
Ｄｅ ｉ ｎ ｏ ｌ － ｒ ｅ ｒ ａ ｓ ｒ ｅ ｓｇ ｆＦｕ ｌ— ｏ ｄ ｒ Ｎｏ ｍ ｌＯｂ ｅ ｖ ｒ
初始条件 ：
系统状 态观测器 的研究 ， 而对综合这两种系统特性 的奇异 时滞系统的研究却不充分 。文献 ［ ］ ４ 主要利用线性矩 阵不等
式的方法提出了一种 关于 奇异时滞 系统 的观测 器的设计 方 法 ， 而该方案 系数 矩 阵的求解 过程繁琐 ， 算量过 大。文 然 计
基金项 目： 国家 自然科学基金 （ ０７ １３ ； １９ １２ ） 陕西省 自然 科学基础研究 计划项 目（ Ｊ８ ２ ） Ｓ０ Ａ ０ 收稿 日期 ：０ ０— ４—０ 修回 日期 ：０ ０— ６—２ ２１ ０ ９ ２１ ０ ｌ
ｓ ｎ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｈ ａ ｅ ｎ ｒｄ ｃ ｓａ ｂ ａ ｄ—ｎ ｗ ｌ ｅ ｒｆ ｌ ｉ ｉｇ ｔ ｃ ｎ ｌｇ ，ｔｅ ｐ ｐ ｒｉｔｏ ｕ ｅ ｒ ｎ ｇ ｅ ｉ ａ ｕｌ—ｏ ｄ ｒｎ ｒ ａ ｂ ｅ ｅ ｆ ｌ ｅ ｒ ｓｎ ｕ ａ ｉ ｎ ｒ ｅ ｏ ｌｏ ｓ ｒ ｒ ｏ ｉ ａ ｉ ｇ ｌｒ ｔ ｍ ｖ ｎ ｍｅ—
测 器 的设 计 引起 了学 术 界 的 广 泛 关 注 。 而 奇 异 系 统 中 普 遍
性 的新判据 ， 本文利用这一稳定性新判定 和特征值配置技术 给出了奇异时滞系统 的全阶规范观测器的新 的设计步骤 。
２ 系统描述 和基本 结论
２ １ 系统 描 述 ．
考虑奇异时滞系统 ：
（） ＝ （）州 （ 一ｆ ）邶 “ ； （） Ｌ Ｙ ｔ ＝ Ｃ （） （） ｘ ｔ． （） １
存在 的时滞性是破坏 系统 稳定性 以及 降低 系统 性能 的重要 因素 ， 因此对奇异时 滞系统 的观测器 的设计 更具 实际 意义。
当前 文 献 主 要致 力 于 正 则 时滞 系 统 状 态 观 测 器 或 者 奇 异
２ ＡＴ ） Ｅ＋曰 Ｃ＝Ｔ Ａ
｛
（ ＝ （ ， ［ ０； ｇｆ ～ ，） ） ）∈
（） ３
３ Ｊ＝Ｔ ） Ｂ
【
互）ｘｔ０ （：， ． ￡ 。：
一
４ （）： ｔ ） ｔ ）＋
ｔ ｒ 渐进稳定 —）
其 中 ，， ， Ｒ ，（）∈Ｒ 为状态 向量 ， （）∈Ｒ Ｆ ＥＲ Ｇ∈ ｘ ｔ ” ｕｔ 为控制输入向量。
．
．
．
—
—
３ ７ ．— ９ ． ． —
２２ 基 本 结 论 ．
２２ １ Ｌｍ ｅｔ 函数 及其性质 ．． ａ ｂｒＷ
ｍ ｎ
（： ｒ ＝ （， 设出系的阶 ｎ ａ ｒ 可 计该统全 ）， ｎ ａ ）以 且ｋ Ｃ
定理 １若引理 １的条件 成立 ， （ Ａ， ） 可检测 的 ， ： 且 Ｔ Ｃ是
（） ： ￡
．
∑ｅＧ＋． Ｓ－ （蟛 （ Ｊ ｔ￣ ． ４ ∑ｅ（ ） ） ？） ｔ
一
ｂ 一
由引理 １的条件 中
啪
其 中：
＝
（ ｒ ）＋ Ｑ
（） ５
可知 ：
（… ）
Ⅳ］ ． （ ０ １）
Ｃ 为 ，，（）ｘ 的函数， ： ， Ｊｇ ｔ， ｒ 。 而 为Ｆ ， 的函数， ， ｒ 与ｇ
求出。其 中 （ ） Ｌｍｂｒ Ｗ 矩 阵函数 ， 为 ａ ｅｔ 且具 有无穷 多
个分支 （ ） 。 式 （） ４ 表明 正则时不 变 时滞 系统的稳 定性取 决 于矩 阵
对式 （ １ 两边 同时求导 ， １） 可得状态观测器的动态估计 ：
（）＝ ｔ ｔ （）一
：
ｓ ｜ 的特征值以及矩阵 ｅ 。具 体说来 ， Ｊ 的所有特征 值 ” 当ｓ
互 ｔ － （） （）＝ （）４ ．
（） ７
Ｌｍ ｅｔ 函数 的这个重要性质是本文判断系统渐进稳 ａ ｂ ｒＷ
定 性 的一 个 主要 工 具 。
式 （ ） ｚ ｔ Ｒ 是状态 向量 ，（）∈Ｒ ７ 中 （） ｔ 是 （） ｔ 的估计 ， ，
，
２２ ２ 线性 时滞 系统渐进稳定性 ．． 文献 ［ ］ 于 Ｌ ｍ ｅｔ 函数 给 出了正 则时 不变 时滞 ６基 ａ ｂｒ Ｗ
第２卷 第６ ８ 期
文 章 编 号 ：０ ６—９ ４ （ ０ １ ０ １０ ３ ８ ２ １ ）６—０ ９ ｏ ３７一 ４
计
算
机
仿
真
２１ 月 ０ 年６ １
奇 异 时 滞 系 统 的 全 阶 规 范 观 测 器 的 设 计
卢丽华 ， 吴保卫
（ 陕西师范大学数学与信息科学学院， 陕西 西安 ７０ ６ ） １０ ２
系统 ： ｆ ｔ 互 ｔ ＋Ｆ ｘ ｔ ）＋Ｇ （）Ｊ＞ ； 互（）＝ （） （ —ｒ ｔ ， ０ ｒ
Ｂ， ．Ｎ是未知的 ， Ｂ ，， ， 并且使得 （） ｔ渐进趋于 （） ｔ 的适 当 定理 ２ 如果存在矩 阵 ｒ满足以下条件 ： ：
１ 他 ＋ ｃ ： ）
维数实矩阵。
摘要 ： 由于奇异时滞系统代数结构 的复杂性 ， 往往在构造观测器的结构和计算系数矩阵时遇到很大的困难 。利用 Ｌ ｍ ｅｔ ａ ｂｒＷ 函数的特征值配置技术 ， 给出了奇异时滞系统的全阶规 范观测器 的新 的设 计步骤。在此基础上 ， 利用 Ｓｍｕｉｋ建模对观测 ｉ ｌ ｎ 器的可行性进行了验证 ， 并通过 Ｍａａ ｌ ｆ ｂ对具体算例进行 了仿真 。仿真结果表明系统 的动 态误差 状态渐进稳定 。因此 ， 算法
文献 ［ ］ 出了 Ｌｍ ｅｔ 函数 Ｗ＝Ｗ（ ） ５给 ａ ｂｒＷ ｚ 的定 义 ， 即 ｗ ” 的解 ， 中 ： —ｃ， 将 。 ｅ＝ 其 ｃ 平面映射到 平面 。Ｌｍ— ａ
ｂｒ Ｗ 函数是一个多值函数 ， ｅｔ 它有无穷 多个 分支 ， 为 ， 记 ｋ
＝
状 态 观测 器 。
ＡＢＳ ＴＲＡＣＴ ：Ｗｅ ｏ ｅ ｏ ｆｏ ｔ ｔ ｎ ｒ ｂｅ ｎ ｂ ｉ ｉ ｇ ｔｅ ｓｒ ｃ ｕ ｅ ｏ ｂ ｅ ｖ ｒ ａ ｄ ｃ ｍｐ ｔ ｇ ｔｅ ｃ ｅ￣ ｆ ｎ ｃ ｎ ｒ ｎ ｈ ｍａ ｙ ｐ ｏ ｌｍｓｉ ｕ ｌ ｎ ｈ ｔ ｔ ｒ ｆ ｓ ｒｅ ｎ ｏ ｕ ｉ ｈ ｏ ｆ 一 ｔ ｗｉ ｄ ｕ ｏ ｎ
ｉ ａ ｔｃ ｌａ ｆｅ ｔ ｅ ｓｐｒ ｃｉａ ｎｄ ｅ ｃｉ ． ｖ
ＫＥＹＷ ＯＲＤＳ：Ｌ ｎ ａ ｉ ｇ ｌ ｒｔ ｉ ｅ ｒｓｎ ｕ ａ ｉ ｍｅ—ｄ ｌｙ ｓ ｓ ｍ ；Ｆ ｌ —ｏ ｄ ｒｎ ｒ ａ ｏ ｓ ｒ ｅ ；Ａｓ ｉ ｍｅ ｔ ｆｅｇ ｎ ａｕ ｅａ ｙ ｔ ｅ ｕｌ ｒ ｅ ｏ ｍ ｌ ｂｅｖ ｒ ｓ ｎ ｇ ｎ ｉｅ ｖ ｌ ｅ ｏ
Ｖ ｉ 一ｒ ］ｘｔ ＋ ）＝ （） ｆ ［ Ｊ０ ，（ ｓ ｓ． ｓ． ， ｏ
（） ２
式（ ） １ 中 （ ） ｔ ∈Ｒ 是状态 向量 ， （）∈Ｒ Ⅱｔ 是 控制输入 向量 ， Ｙｔ （）∈Ｒ 是输 出向量 ， ０ 是时滞 常数 ， Ａ， Ｂ， ｒ＞ ， Ｅ， Ａ ， Ｃ是 已 知的常实系数 矩 阵 ， ｒｎＥ＜／ 且 ａｋ ＇ ｔ 。式 （ ） （。 ）∈Ｒ× ２ 中 ｔ， Ｃ ， … ＝Ｃ ［一 ０ ， ， … Ｃ （ ， ］Ｒ ） 即从 ［一ｒ０ 到 的所有 连续 Ｊ ］ ， 向量值 函数 的集合 。