线性时滞奇异系统的时滞相关鲁棒H_∞控制

第４４卷第５期　２０１５年９月　内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　ＶｏＬ　４４　Ｎｏ．５　Ｓｅｐｔ．２０１５　

线性时滞奇异系统的时滞相关鲁棒Ｈ∞控制　

王玉红　，海　泉　，皮建东　

（１．内蒙古化工职业学院，内蒙古呼和浩特０１００７０；２．内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特０１００２２）　

摘要：研究了线性时滞奇异系统的时滞相关鲁棒Ｈ。。控制问题．利用适当的参数待定的Ｌｙａｐｕｎｏｖ—　Ｋｒａｓｏｖｓｋｉｉ泛函和二次型的积分不等式方法获得了线性时滞奇异系统的鲁棒Ｈ　性能的时滞相关的判据，给出　鲁棒Ｈ。。状态反馈控制器存在的时滞相关的充分条件，并通过数值仿真例子验证了所提出方法的可行性．　关键词：奇异系统；时滞相关；鲁棒Ｈ　控制　中图分类号：Ｏ　２３１．１　文献标志码：Ａ　文章编号：１００１—８７３５（２０１５）０５—０５９０—０６　

在控制系统的设计中，系统的稳定性和性能是十分重要的指标，而时滞是引起系统不稳定和破坏系统性　能的根源口　．文献［３—４］研究了几类特殊的奇异系统，但未涉及时滞问题；文献［５－１利用ＬＭＩ方法给出一类　

具有输入和状态时滞的奇异系统的鲁棒Ｈ。。状态反馈控制器存在的时滞相关的充分条件；文献［６］通过建　

立新的积分不等式，并利用Ｂａｒｂａｌａｔ引理得到线性时滞不确定奇异系统的鲁棒Ｈ一性能的时滞相关的判据．　本文在文献１－６］的基础上研究线性时滞奇异系统的时滞相关鲁棒Ｈ。。控制问题，根据Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理　

论，以线性矩阵不等式的形式给出鲁棒Ｈ。。状态反馈控制器的设计方法，并通过数值仿真例子验证了本文所　提出方法的有效性．文中约定：若Ｘ是对称矩阵，ｘ≥０（Ｘ＞０，Ｘ＜０，Ｘ≤０）表示ｘ为半正定矩阵（正定　

矩阵，负定矩阵，半负定矩阵）；Ｍ　表示矩阵Ｍ的转置矩阵；＊表示对称矩阵的主对角线以上块矩阵的转　

置；，和０为适当阶数的单位矩阵和零矩阵．　

１　问题的描述　

考虑线性时滞奇异系统　

ｆＥ：ｆ（￡）一Ａｘ（　）＋Ａｄ１ｘ（ｔ—ｄ１（￡））＋Ａｄ２ｘ（ｔ—ｄ２（￡））＋Ｂｕ（　）＋Ｂ　１　（　），　

（　）一Ｃｘ（￡）＋Ｄｕ（　）＋Ｂ　２∞（￡），　（１）　｛　一　【（　）一　（ｆ），ｔ　Ｅ［一ｄ，０］，　

其中：ｚ（￡）Ｅ　Ｒ”为状态向量，“（　）∈Ｒ　为控制输人向量，　（￡）∈Ｒｐ为平方可积扰动输入向量，　（　）∈　

为被控输出向量；Ａ，Ａ　，Ａ　，Ｂ，Ｂ　，Ｂ　，Ｃ，Ｄ为具有适当维数的定常已知矩阵．Ｅ可能是奇异的，假设　

ｒａｎｋＥ—ｒ≤　，　（￡）∈ｃ（卜ｄ，０］，Ｒ”）为初始状态，ｄ　（　）（ｉ一１，２）为可微的有界时变时滞，且满足　

０≤ｄ　（￡）＜ｄ２（ｆ）≤ｄ＜ＣＫ３，ｄ　（　）≤ｄ　＜１（ｉ一１，２）．　（２）　当“（￡）一０，∞（　）一０时，系统（１）的线性时滞标称奇异系统为　ｆＥ　（ｆ）一Ａｘ（ｔ）＋Ａｄｌｌｚ（ｔ～ｄｌ（　））＋Ａ　２３２＂（ｔ—ｄ２（　）），　Ｉ２（　）一　（￡）．　’　

定义１［　（１）矩阵对（Ｅ，Ａ）是正则，如果ｄｅｔ（５Ｅ—Ａ）≠０；（２）矩阵对（Ｅ，Ａ）是无脉冲，如果　

ｄｅｇ（ｄｅｔ（ｓＥ—Ａ））一ｒａｎｋ　Ｅ．　

收稿日期：　基金项目：　

作者简介：　通信作者：　２Ｏ１５—０３—０５　国家自然科学基金资助项目（１１４０２１２７）；国家地区科学基金资助项目（１１２６２０１　７）；内蒙古自然科学基金资助项目　（２０１３ＭＳ０１１４）　王玉红（１９８１一），女，内蒙古呼伦贝尔市人，内蒙古化＿丁职业学院讲师，硕士，主要从事控制系统、奇异系统的稳定性研究　皮建东（１９８０一），男，内蒙古呼和浩特人，内蒙古师范大学讲师，在读博士研究生，主要从事线性和非线性系统研究．

　第５期　王玉红等：线性时滞奇异系统的时滞相关鲁棒Ｈ。。控制　・　５９１　・　

定义２Ｃ　（１）线性时滞标称奇异系统（３）是正则、无脉冲的，如果矩阵对（Ｅ，Ａ）是正则、无脉冲的；　

（２）线性时滞标称奇异系统（３）是Ｌｙａｐｕｎｏｖ浙近稳定的，则线性时滞标称奇异系统（３）是鲁棒稳定的．　

引理１（积分不等式）　设ｚ（ｆ）Ｅ　Ｒ　具有一阶连续导数，则对任意已知常数矩阵Ｎ　∈Ｒ　”，Ｎ。∈Ｒ　，　

Ｎ。∈Ｒ　，时变时滞ｄ　（　）＞０，ｄ　（ｆ）＞０，有积分不等式　

／＂ｔ　ｄ，（￡）　一Ｉ　。　（ｓ）Ｅ　Ｅ　（５）ｄｓ≤　（￡）田＋（　２（　）～ｄｌ（￡））ｙ　ｙ］　（　）　２　成立，其中　Ｙ—ＥＮ　ａ　Ｎ２　Ｎ３］，　（￡）一　（￡）ｊｇＴ（￡一ｄ　（　））．７２Ｔ（ｔ—ｄｚ（￡））］　，　

Ｕｏ　Ｎ　Ｅ　—Ｎ　Ｅ　］　１Ｉ—ｌ＊　Ｎ　Ｅ＋Ｅ　Ｎ　２　Ｅ　Ｎ　３一．Ｎ　Ｅ　Ｉ．　

Ｊ＊　＊　一～　Ｅ—　Ｎ。Ｉ　

引理２　。　（Ｓｃｈｕｒ补引理）　对给定对称矩阵Ｓ一　－￥

ｎ１１　１　２］，其中ｓ¨∈Ｒ　ｒ，则条件：ｃ　ｓ＜。；　

（２）Ｓｌｌ＜０，Ｓ２２一ｓ　ｓ－１１　Ｓ　。＜０；（３）Ｓ２２＜０，Ｓ１１一Ｓ１２Ｓ　ｓ丁２＜０是等价的．　对线性多时滞奇异系统（１），考虑状态反馈控制器　

（￡）一Ｋｘ（　），Ｋ　Ｅ　Ｒ　”，　（４）　则相应的闭环系统为　

『Ｅ　（　）一Ａ　ｚ（￡）＋Ａｄ１ｚ（￡一ｄ１（￡））＋Ａ　（≠一ｄ２（￡））＋Ｂ　ｌ∞（　），　…　ｃ　（ｆ）一Ｃｋｚ（ｆ）＋Ｂ　ｚ叫（ｆ），　

其中Ａ　一Ａ十ＢＫ，Ｃ　一Ｃ＋ＤＫ．　定义３［６］　系统（１）具有鲁棒Ｈ。。性能是指，当　（￡）一０时，对于指定的衰减度ｙ＞０，如果系统（１）鲁棒　

稳定，且对于零初始条件的ｚ（　）（Ｉｚ（Ｏ）一０）和任意扰动输入叫（　）Ｅ　Ｌ２［０，。。），有　

ｒ∞　Ｊ—Ｉ（　（ｆ）　（　）一），　（　）　（￡））ｄｔ＜０．　Ｊ　０　

２　鲁棒稳定性分析　

定理１　对任意满足（２）式的时变时滞ｄ　（　）（　一１，２），线性时滞标称奇异系统（３）是鲁棒稳定的，若存　

在适当维数的正定对称矩阵Ｐ＞０，Ｑ，＞０，Ｑ　＞０，矩阵ｓ，Ｎ　，Ｎ：，Ｎ。使得如下线性矩阵不等式成立：　

其中　Ａ＝＝　Ａ１１以１２　Ａ１３　Ｎ　ｄＡ　

＊　Ａ　Ａ２。ｄＮ　ｄＡ１　

＊　＊　Ａ。。　Ｎ　ｄａＬ　

＊　＊　＊　一　Ｊ　０　

＊　＊　＊　＊　一　Ｊ　＜０，　

Ａ１１一Ａ　ＰＥ＋ＳＲ　Ａ＋Ｅ　ＰＡ＋ＡｒＲＳ　＋Ｑｌ＋Ｑ２，　Ａ１２一ＳＲｒＡｄ１＋Ｅ　ＰＡｄ１＋Ｎ　Ｅ，　

Ａｌ３一ＳＲ　Ａｄ２＋Ｅ　ＰＡｄ２一Ｎ　Ｅ，　Ａ２２一一（１一ｄ　）Ｑ１＋Ｎ　Ｅ＋Ｅ　Ｎ　２，　

Ａｚ３一Ｅ　Ｎ　３一Ｎ　Ｅ，　Ａ。３一一（１～ｄ　）Ｑ２一Ｎ　Ｅ—Ｅ　Ｎ　３，　

且Ｒ　Ｅ　Ｒ　一　为任意满足ＥｒＲ＝０的列满秩矩阵．　

证明　因为ｒａｎｋ　Ｅ—ｒ≤ｎ，则存在可逆矩阵Ｇ和Ｈ　Ｅ　Ｒ　，使得　

—ＧＥＨ＝＝：　暑］，　

ＦＯ７——　则Ｒ可以参数化为Ｒ—Ｇ　ｌ—ｌ，其中　Ｅ　Ｒ　一　为任意非奇异矩阵．类似地　ｌ　Ｉ　（６）　

（７）

　－　５９２　・　内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）　第４４卷　

一ＧＡＨ一　Ａ　Ｉ；　—Ｇ－ＴｐＧ～：　—Ｐ　ｌ；　＿Ｇ　一圈；　ＬＡ

ｚ　Ａｚｚ＿Ｊ　ＬＰ。　Ｐ２　

—Ｈ　ｓ一　：］；一Ｎ１＝Ｇ－ＴＮ￣Ｈ＝　：　］．　ＬＳｚ　Ｊ　ＬＮ　Ｎｚｍｊ　

因以１１＜０，Ｑｌ＞０，Ｑ２＞０，则　一Ａ　ＰＥ＋ＳＲ　＋Ｅ　ＰＡ＋Ａ　Ｓ了、＜０。　

：Ｈ　ｒ　一一ＡＴｐ—Ｅ—　＿＿＿ＳＲＴ　ｑ－一Ｌ￣Ｐ——　一ＡＴ—Ｈ　Ｈ　Ａ　ＰＥ　ＳＲｒＡ　ＥＴｐＡ　ＡＴＲ　Ｓ—Ｔ一１　ｌ１　一一一　一一　ｊ＜０．　（８）＝　一　Ｔ—ｌ～　Ｊ＜／　ｆ　１　ｌ

＊　Ａ　ｓ　－＋－Ｓ。　西　Ａ　２２｛　由式（８）得　

ＡｋＯＳ　＋Ｓ　１　Ａ　＜０，　（９）　

因此Ａｚｚ是非奇异的，且有ｄｅｔ（ｓＥ—Ａ）不恒等于零和ｄｅｇ（ｄｅｔ（ｓＥ～Ａ））一ｒ＝ｒａｎｋＥ．由定义１知，矩阵对　

（Ｅ，Ａ）是正则的、无脉冲的，由定义２知，线性时滞标称奇异系统（３）是正则的、无脉冲的．令　

Ｖ（ｘ（￡））一Ｖ１（　（　））＋Ｖ２（　（￡））＋Ｖ３（　（￡））＋Ｖ４（ｚ（ｆ）），　（１０）　

其中　Ｖ１（ｚ（　））一ｚ　（￡）Ｅ　ＰＥｘ（￡），　Ｖ２（￡）一Ｉ　ｚ　（　）Ｑｌｚ（　）ｄｓ，　

３（￡）一Ｉ　（５）Ｑ２．２７（　）ｄｓ，　Ｖ４（　）一Ｉ　Ｉ　１、（　）Ｅ　Ｅ　（　）ｄｓｄＯ，　

则Ｖ（ｘ（￡））沿系统（３）对时间ｔ求导得　

Ｖ（ｘ（￡））＝Ｖ１（ｚ（￡））＋Ｖ２（　（￡））＋Ｖ３（ｚ（　））＋Ｖ４（ｚ（　）），　其中　

ｊ（　（　））一ｊ　（　）Ｅ　ＰＥｘ（　）＋　（　）￡　’ＰＥｔＥ（　）一　２　Ｖｘ　（　）Ａ。ｒＰＥｘ（　）＋　（　—ｄ】（ｆ））Ａ丁ｌ　ＰＥｘ（￡）＋，２７　（　一ｄ２（￡））Ａ矗ＰＥ　（￡）］，　

、厂２（Ｔ（￡））一　了、（￡）Ｑ１ｘ（ｆ）一（１～ｄ１（　））　。ｆ（　一ｄ１（￡））Ｑ１　（￡一ｄ１（ｆ）），　

Ｖ３（　（￡））一　（￡）Ｑ２ｘ（　）一（１～ｄ２（￡））　（￡一ｄ２（￡））Ｑ２．２７（　—ｄ２（　）），　

（　（　））一　ｒ（ｆ）Ｅ　￡　（￡）一ｒ　（　）Ｅ　Ｅ　（ｓ）ｄｓ≤　（￡）Ｅ　Ｅ　（￡）一ｒ　Ｉ“’圣　（　）Ｅ　Ｅ　（ｓ）ｄ　—　

ｄｘ　（ｔ）ＡＴＡｘ（　）＋２ｄｘ　（￡）Ａ　Ａｄ１　ｚ（　一ｄ１（ｆ））＋２ｄ　（　）Ａ　Ａ　２ｚ（　～ｄ２（　））＋　

２ｄｘ　（　一ｄ１（　））Ａ五Ａｄ２ｚ（　一ｄ２（ｆ））＋ｄｘ　’（　一ｄ１（　））Ａ　Ａ　ｌ　（￡一ｄ１（ｆ））＋　

ｄｘ　（　一ｄ２（　））Ａ￣２Ａｄ２　（ｆ—ｄ２（　））一ｌ　叠　（ｓ）Ｅ　Ｅ　（ｓ）ｄｄ　ｓ．　ｒ　（ｆ）　

因此，有　

Ｖ（ｘ（￡））≤　Ｔ（￡）［２Ａ　ＰＥ＋Ｑｌ＋Ｑ２＋ｄＡ　Ａ］ｚ（￡）＋２ｘ　（￡）［Ｅ　ＰＡｄ　＋ｄＡ　Ａ　］ｚ（￡一ｄｌ（　））＋　

２ｘ　（￡）［Ｅ　ＰＡ　ｚ＋ｄＡ　Ａ　２］　（￡～ｄ　（￡））＋ｘＴ（￡一ｄ　（　））［一（１一　Ｉ（　））Ｑｌ＋　ＬＡ　？］×　

（ｆ—ｄｌ（￡））＋２ｘ　（￡一ｄ１（ｆ））ｄＡＴＡｄ２Ｉｚ（　一ｄ２（￡））＋　

（￡～ｄ２（￡））［（　２（￡）一１）Ｑ２＋ｄＡＴＡｄ２］ｘ（　一ｄ２（ｆ））一Ｉ　（　）ＥｒＥｃＥ（　）ｄｓ．　一　．　・　一　ｒ卜　（ｆ）　

由Ｅ　一０，有０＝２叠　（ｔ）ＥｒＲｓｒｘ（　）一２［　（　）＋Ａｄ１ｘ（ｔ～ｄ１（　））＋Ａｄ２ｚ（￡一ｄ　（ｆ））２；ＲＳ　（ｆ），　

则Ｖ（ｘ（ｆ））≤　（ｆ）　（￡）．其中　一ｆ＊　ｌｎ＾　

ｌ＊　ｎ　

ｎ玉　

＊　ｎ　

玉　

ｎ南　

＾一Ａ　ＰＥ＋Ｅ　ＰＡ＋Ａ　ＲＳ　＋ＳＲ　Ａ＋Ｑ１＋Ｑ２＋ｄＮＴＮ　＋ｄＡＴＡ，