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状态观测器设计

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.. Chapter6 状态观测器设计

在工程实际中能量测的信号只是系统的输出y，而不是系统的内部状态。有的状态变量是物理量，有的则不是物理量，因而状态变量未必都可以测量得到。当状态不能全部量测时，我们就无法获得系统的状态信息，因而状态反馈在工程上就不能实现。1964年，LuenbergerGD（龙伯格）提出的“状态观测器”理论成功的解决了系统状态信息的获取问题。LuenbergerGD认为，当已知系统输入为u，系统的输出为y，他们必然与其内部状态x有联系，也就是说我们应该能通过测量),(yu对未知的状态量x进行推论和估计。

“状态观测器”本质上是一个“状态估计器”（或称动态补偿器），其基本思路是利用容易量测的被控对象的输入u和输出y对状态进行估计（和推测）。

6.1 观测器设计

考虑线性时不变系统

CxyBuAxx， （6-1）

基于（6-1）人为地构造一个观测器，观测器的输出为x~，如果能满足

0)~(limxxt （6-2）

则观测器的输出x~可以作为内部状态)(tx的估值，从而实现“状态重构-即重新构造“状态x~”来作为“原状态x”的估值。观测器的输出x~应该能由系统输入u和系统输出y综合而成（系统输入u和系统输出y在工程实际中容易检测到）。

t只是数学上的表述，实际工程中是很快的过程（

BuxAx~~，xCy~~ （6-3）

用该模拟部件（6-3）去再现系统（6-1）。因为模拟系统（6-3）是构造的，故x~是可量测的信息，若以x~作为x的估值。其估计误差为xxe~，（6-3）减（6-1），满足方程

Aee （6-4）

讨论：①若A存在不具有负实部的特征值，Aee将不会稳定，则当初始误差0)0(e，即)0()0(~xx时，有0)]()(~[limtxtxt，这样x~就不能作为x的估计值，即Aee不能作为一个观测器。原因是他是一个开环系统，当估计值产生误差时，由于没有反馈，不能消除误差。 .

..

图6-1 状态估计的开环处理方法

②改进措施，利用输出的估计误差yxCyyy~~作为反馈。此时构造的动态系统，即“LuenbergerGD状态观测器”的状态方程为

BuLyxLCAxCyLBuxAx~)()~(~~ （6-5）

图6-2 状态估计的闭环处理方法

观测器的输入为系统输出y和输入u的综合BuLyu~，观测器的输出为x~。

式中pnL~称为反馈增益阵。此时估计误差e~满足的方程为

)(]~)[(~~BuAxBuLyxLCAxxeAxLCxxLCA~)(

eLCAxxLCxxA~)()~()~(

即 eLCAeAeL~)(~~~

LCAAL~ （6-6）

（6-6）表明系统存在观测器，且观测器的极点可以任意配置的充要条件是该系统完全能观，即可以选择L，通过C阵来改变A的特征值，使得原0)det(AsI的非负实部的极点0)](det[)~det(LCAsIAsIL都具有负实部的极点。

可以选择合适的L，使eLCAe~)(~稳定，即特征值)(LCA都具有负实部，则对任意初值)0()0(~xe、以及任意输入u均有

0)]()(~[lim~limtxtxett （6-7）

因而x~可以作为x的估值，故eLCAe~)(~可作为BuAxx，Cxy的.

.. 一个观测器。

根据线性代数中矩阵特征值的性质，

)](det[])(det[)](det[TTTTLCAsILCAsILCAsI （6-8）

因此，选取适当矩阵L，使得LCA具有给定的特征值n，，，21，相当于选取适当矩阵K，使得KCATT的特征值是n，，，21，而后者正好是极点配置问题，即配置矩阵对），（TTCA所表示系统的极点。该极点配置问题有解的充要条件是），（TTCA能控。根据对偶原理：），（TTCA的能控性等价于），（AC的能观性。

** 更加一般的观测器模型为GyLuxHx~~ GLH、、为待定的常数矩阵。可以与 BuLyxLCAxCyLBuxAx~)()~(~~ 比较。

定理6-1(104P定理6.1.1)系统BuAxx，Cxy存在观测器，且观测器的极点可以任意配置的充要条件是该系统完全能观（与极点配置对偶）。

推理5-2 若系统 BuAxx，Cxy是不（完全）能观的（部分能观，部分不能观），则其存在观测器的充要条件是该系统不能观部分的极点具有负实部，并称这类系统是能检测的。

比照极点配置方法，可以得到观测器设计的3种方法：变换法、直接法、Ackermann公式法。常用的“LuenbergerGD状态观测器”有两种：全阶观测器（orderFull observer）和降阶观测器（orderReduced observer）

设系统是n阶的，则LCAAF~也为nn方阵。因此观测器的维数也为n，维数为n的观测器称为全阶观测器。

设计观测器时，主要有两条要求，一是要求他是稳定的，二是要求他具有一定的响应速度，即要求观测器的)(~tx较快的向系统状态)(tx收敛。

仅从响应速度来考虑，所选择的观测器极点的实部负得越多越有利于观测器的)(~tx较快的向系统状态)(tx收敛。但是，响应速度的加快会使观测器的频带变宽，从而降低系统抗高频干扰的能力，结果使存在于被控对象的输入与输出信号中高频噪声（如测量噪声）被增幅，并影响到观测器的输出)(~tx。因此设计观测器的关键是对其进行极点配置，在响应速度与抗干扰能力之间进行某些折中。 .

.. 例6-1（162P例6.6.1）系统uxxxx0101102121，21)01(xxy，设计观测器x~，要求观测器的极点为)22(，

解：nCACO21001rankrankrank，可设计（全阶）观测器。

∵ 12~pnL，故可设观测器的增益阵为 21llL

则有：011)01(0110~2121llllLCAAF

直接法：根据要求，希望观测器的（特征值）极点为)22(，为

sllsLCAsIsf2111)](det[)(希望44)2()1(22212ssslsls

比较上面二式同次幂系数得：3421llL，直接法手工计算，不适合4n的系统。

Ackermann公式法：根据对偶关系式和式Ackermann公式（5-25）

)())(100(11AfBAABBKn

应用对偶关系： TCB，TAA

TTTnTTTTAfCACACL)]())()(100[(11

即：100)(-11nCACACAfL3410)44(-12CACIAAL，结果相同

于是，0414~LCAAL

根据（6-5）BuLyxAxL~~~得观测器方程

uyxxxx0134~~0414~~2121

即yxxuyxxx3~4~4~~4~12211，Ackermann公式法便于计算机计算。 .

.. 上式清楚表明：

① 观测器是一个动态系统，他以被控对象的输入)(tu和输出)(ty作为观测器的输入，以其状态变量)(~tx作为观测器的输出。

② 观测器的设计归结于寻找实数矩阵L使观测器LCAAL~具有满意的极点。因此，观测器的设计本质上仍然属于极点配置问题。

由极点配置和观测器设计问题的对偶关系，也可以应用Matlab中极点配置的函数来确定所需要的观测器增益矩阵。

例如，对单输入单输出系统，观测器的增益矩阵可以由（6-9）函数得到

)V),C,A(Acker(L （6-9）

其中V是由期望的观测器极点所构成的向量，类似的，也可以用（6-10）来确定一般系统的观测器矩阵（要求V不包含相同极点）

)V),C,A(place(L （6-10）

例6-2（165P例6.1.2）对倒立摆设计一个极点是322,21j，10,43的观测器，使得可以通过小车的位移信息来估计“小车速度”、“摆杆偏移角”、“角速度”。

uxBuAxx101001100100001000010，xCxy]0001[

解：观测器模型为BuLyxLCAx~)(~，114pmn，，

执行以下m-文件

)011001；0000；1000；010(A；

)0001(C；

)10-10-sqrt(3)*2*j2-sqrt(3)*2*j2-(V；

)V),C,A(Acker(L；

3877-984-20724L .

.. 相应的观测器为

yuxBuLyxLCAx3877984207241010~0110387710098401020700124~)(~

状态估计的误差动态方程为

eeLCAe~0110387710098401020700124~)(~

以下通过仿真来检验观测器的效果。取初始误差向量为

Te1.01.021)0(~

执行以下m-文件

% 输入误差系统的状态空间模型

)01103877；100984；010207-；00124-(AA；

)0000(BB；；；；

)0001(C；0D；

)0.1-0.1;2;1;(e0；

% 误差系统的初始状态响应

4:01.0:0t

)DC,BB,AA,(sssys；

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利用MATLAB设计状态观测器

利用MATLAB设计状态观测器

利用MATLAB设计状态观测器

本节将介绍用MATLAB设计状态观测器的若干

例子。我们将举例说明全维状态观测器和最小阶状态

观测器设计的MATLAB方法。

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[例1] 考虑一个调节器系统的设计。给定线性定常系

统为

CxyBuAxx=+=&

式中

]01[,10,06.2010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=CBA

且闭环极点为)2,1(==isiμ，其中

4.28.1,4.28.121jj−−=+−=μμ

期望用观测-状态反馈控制，而不是用真实的状态

反馈控制。观测器的期望特征值为

821−==μμ

试采用MATLAB确定出相应的状态反馈增益矩阵K

和观测器增益矩阵eK。 [解] 对于题中给定的系统，可利用如下MATLAB

Program 1来确定状态反馈增益矩阵K和观测器增益

矩阵eK。

MATLAB Program 1

% Pole placement and design of observer ------

% ***** Design of a control system using pole-placement

% technique and state observer. Solve pole-placement

% problem *****

% ***** Enter matrices A,B,C,and D *****

A=[0 1;20.6 0];

B=[0;1]

C=[1 0];

D=[0];

% ***** Check the rank of the controllability matrix Q *****

Q=[B A*B];

Rank(Q)

ans=

2

% ***** Since the rank of the controllability matrix Q is 2,

实验五 状态观测器的设计

实验五 状态观测器的设计

实验五 状态观测器设计

一、实验目的：

（1） 理解观测器在自动控制设计中的作用

（2） 理解观测器的极点设置

（3） 会设计实用的状态观测器

二、实验原理：

如果控制系统采用极点配置的方法来设计，就必须要得到系统的各个状态，然后才能状态反馈进行极点配置。然而，大多数被控系统的状态是不能直接得到的，怎么办？于是提出了利用被控系统的输入量和输出量重构原系统的状态，这样原系统的状态就能被等价取出，从而进行状态反馈，达到改善系统的目的。另外，状态观测器可以用来监测被控系统的各个参量。

观测器的设计线路不是唯一的，本实验采用较实用的设计。

给一个被控二阶系统，其开环传递函数是

12(1)(1)KTsTs ，12 KKK

设被控系统状态方程

X=AX+BuY=CX

构造开环观测器，X 、Y为状态向量和输出向量估值

X=AX+BuY=CX

由于初态不同，估值X状态不能替代被控系统状态X，为了使两者初态跟随，采用输出误差反馈调节，即加入H(Y-Y)，即构造闭环观测器，闭环观测器对重构造的参数误差也有收敛作用。

X=AX+Bu+H(Y-Y)Y=CX

也可写成 X=(A-HC)X+Bu+HYY=CX

只要（A-HC）的特征根具有负实部，状态向量误差就按指数规律衰减，且极点可任意配置，一般地，（A-HC）的收敛速度要比被控系统的响应速度要快。工程上，取小于被控系统最小时间的3至5倍，若响应太快，H就要很大，容易产生噪声干扰。

实验采用X=AX+Bu+H(Y-Y)结构，即输出误差反馈，而不是输出反馈形式。

由图可以推导： 11112222[()]1[()]1KxuYygTsKxuYygTs

所以： 111111112222122121 ()1 ()KgKxxuYyTTTKgKxxxYyTTT

全维状态观测器的设计

全维状态观测器的设计

•可修编

实验报告

课程践性系统理抡基碣实验日期2016年6月6日 专业册级学号同组人 实验名称全维狀盗现測器的投廿坪分 批阅敎斷签字

一、实鲨目的

1. 学习用状态观测器获取系统状态IS it li ft方法，了解全细状态观测器的 根点对状态的估it误差的靈响；

2. 拿捋全维状态观測器的设it方法;

3. 拿捋带有狀态规測器的状态反饋系躱设廿方法。

二、实验容

a） 用状态反馈配置系説的用环根点：一2±丿・2朽,一5；

b） 设廿全细狀态规測器，规测器的极点为：一5±/2巧,一10；

0研究规测器tUE置对估计状态逼近被估it值的影响；

d）求系统的传递函数（带规测器及不帑观测器时）;

绘制系躱的输出阶跃响应曲线。

三. 实螫环境

MATLAB6.5 ・0 1 o' o A = 0 0 1 ,b = 0

-6 -11 6

1 c = p 0 0] 开环系统 x = Ax + bu

y = ex •可修编

0.实验眾理（或程序框图）及步驟

利用状态反饋可以便闭环系就的根点配置在所希里的位置上，以条件是 必须对全部状态变量邵能iSliH量，但在实际系统中,并不是所有狀盗变量 那能测量的，这就给狀态反锁的实现it成了困难。SUtl设法利用已*11的信 息（输岀量y和输人量x）,通过一个模塑車新构适系貌状态以对状态变量进 fiIfiito该模塑就枕为狀态规測器。若状态观测器的阶次与系貌的阶次是曲 同的，这样的状态规汹器就祢力全维狀态观测器或全阶观測器。

设系説完全可观，剧可fiiia图4"所示的狀态规测器

图4-1全维状态範測器

为求岀状态焜测器的反備ke熾益，与板点配置类做，也可有两种方法:

方法一：构造变换矩阵Q，便系统变成标旌能规里，然后根齬特征方程

求 HI ke；

方法二：是可采用Ackermann公式：& =①(A)Q：［o 0・・・0 if, 其中0。力可规性矩眸。

利用对偶原理，可便设廿冋题大为简化。首先构造对偶系貌 •可修编

一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计

一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计

一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计

一阶倒立摆系统是控制工程中常见的一个具有非线性特点的系统，它由一个摆杆和一个质点组成，质点在摆杆上下移动，而摆杆会受到重力的作用而产生摆动，需要通过控制来实现倒立的功能。以下是一阶倒立摆系统的模型分析、状态反馈与观测器设计的详细介绍。

一、系统模型分析:

一阶倒立摆系统是一个非线性动力学系统，可以通过线性化的方式来进行模型分析。在进行线性化之前，首先需要确定系统的状态变量和输入变量。对于一阶倒立摆系统，可以将摆杆角度和质点位置作为状态变量，将水平推力作为输入变量。

在对系统进行线性化之后，可以得到系统的状态空间表达式:

x_dot = A*x + B*u

y=C*x+D*u

其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量。A、B、C和D是系统的矩阵参数。

二、状态反馈设计:

状态反馈是一种常用的控制方法，通过测量系统状态的反馈信号，计算出控制输入信号。在设计状态反馈控制器之前，首先需要确定系统的可控性。

对于一阶倒立摆系统，可以通过可控性矩阵的秩来判断系统是否是可控的。如果可控性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可控的。 在确定系统可控性之后，可以通过状态反馈控制器来实现控制。状态反馈控制器的设计可以通过选择适当的反馈增益矩阵K来实现。

具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将状态反馈控制器加入到系统模型中。状态反馈控制器的输入是状态变量，输出是控制输入变量。然后，通过调节反馈增益矩阵K的值，可以实现对系统的控制。

三、观测器设计:

观测器是一种常用的状态估计方法，通过测量系统的输出信号，估计系统的状态。在设计观测器之前，首先需要确定系统的可观性。

对于一阶倒立摆系统，可以通过可观性矩阵的秩来判断系统是否是可观的。如果可观性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可观的。

在确定系统可观性之后，可以通过观测器来实现状态估计。观测器的设计可以通过选择适当的观测增益矩阵L来实现。