理论力学：第10章 动量定理

力学复习选择：力系简化最后结果（平面，空间）牵连运动概念（运动参考系运动，牵连点运动） 平面运动刚体上的点的运动平面运动的动能计算（对瞬心，及柯里西算法） 质心运动定理（投影法x ，y ，z ，轨迹）惯性力系想一点简化计算：刚体系统平衡计算（多次取分能力体，一般为2次） 平面运动 速度的综合计算 动能定理应用动静法（其他方法不得分），已知运动求力（先用动能（动量）定理求运动，在用动静法求力）注意：1.功的单位是m WN ------∙2.注意检验fs N F f F ≤∙,判断是否是静摩擦，当为临界状态时max f s s N F F f F ==∙，纯滚动为静摩擦S F ,且只能根据平衡方程解出，与正压力无关。

动摩擦f NF f F =∙。

3. 动静法中惯性力简化()=-IC i i CIC c IC c F m a c F ma c M J α⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪⇒⎨⎬=------⎪⎪⎩⎭∑质心过点到底惯性力绕点的惯性力偶二维刚体4.e c i i F ma m a ==∑∑， 22d ,d i i cc c m r r r a m t==∑eF ∑=0，则x v =常数=0（初始静止）则c x =常数=坐标系中所在位置，且c S 为直线。

（一直运动求力）5.平面运动刚体动能*222121122c c c J T mv J ωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎩⎭瞬心法：柯里希法： 6.平面运动速度分析方法：a,基点法：,BA BA BA v v v v AB ω=+=，以Bv为对角线的平行四边形b,速度投影法：cos cos B B A A v v θθ=,,B A θθ是以AB 为基准。

c,速度瞬心法：***,*,0,0AB c c v v BC v a ACωω==∙=≠ 7.平面运动加速度分析：A.基点法：nB A BA BA a a a a τ=++，其中，多数情况下n A A A a a a τ=+，n B B B a a a τ=+注：当牵连运动为转动时，有科氏加速度k a ，2kr av ω=⨯大小：2kr a v ω=，方向：r v 向ω方向转90即可。

yOyO第十章 质心运动定理 动量定理 习题解[习题10-1] 船A 、B 的重量别离为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。

设船B 上有一人，重N 500，使劲拉动船A ，使两船靠拢。

若不计水的阻力，求当两船靠拢在一路时，船B 移动的距离。

解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。

因为质点系在水平方向不受力。

即：0=∑ixF，设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。

由质点系的动量定理得：t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+=tsm m t s m B A)(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=-s s )5.03.1()6(4.2+=-s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.3724m s ==[习题10-2] 电动机重1P ，放置在滑腻的水平面上，还有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置而且系统静止。

试求电动机的水平运动。

rC 3C v →y解：以电动机、匀质杆和球组成的质点系为研究对象。

其受力与运动分析如图所示。

匀质杆作平面运动。

→→→+=1212C C C C v v v ωl v r C =212cos C x C v t l v -=ωω→→→+=1313C C C C v v v ωl v r C 23=13cos 2C x C v t l v -=ωω因为质点系在水平方向上不受力，所以0==∑ix x F F由动量定理得：t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωωt m m m m m l v C ωωcos )(321321+++=At m m m m m l dtdx C ωωcos )(321321+++=tdt m m m m m l dx C ωωcos )(321321+++=tdt m m m m m l x C ωωcos )(321321⎰+++=)(cos )(321321t td m m m m m l x C ωω⎰+++=t m m m m m l x C ωsin )(321321+++=t P P P P P l x C ωsin )(321321+++=这就是电动机的水平运动方程。

第10章 动量定理主要内容10.1.1 质点系动量及冲量的计算质点的动量为v K m =质点系的动量为C i i m m v v K ∑=∑=式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中v Ci 为第i 个刚体质心的速度。

常力的冲量t ⋅=F S力系的冲量⎰∑=∑=21d )(t t i i t t F S S或⎰⎰=∑=2121d )(d )(R t t t t i t t t t F F S10.1.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即)(d de i tF K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。

（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(=∑e iF ，质点系动量守恒，即K =常矢量。

或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。

10.1.3 质心运动定理质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。

即()())(d d d de i i i c m tM t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为)(1Cie i ni m F a∑=∑=式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。

10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。

若流体的流量为Q ，密度为ρ。

流体流经弯管时的附加动约束力为)(12Nv v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。

基本要求1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。

2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。

当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。

3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。

第 第10 10章 动量定理和 动量定理和动量矩定理动量矩定理第 第10 10章 动量定理和动量矩定理 □ 动量定理、动量矩定理 □ 质心运动定理 □ 讨论□ 质点系相对质心的动量矩定理□动量定理和动量矩定理的应用□ 动量、动量矩动量、动量矩★ 质点动量质点动量 质点的动量质点的动量 (momentum) —— 质点的 质量与质点速度的乘积，称为质点的动量质量与质点速度的乘积，称为质点的动量 = vp m = 动量具有矢量的全部特征，所以动量 是矢量，而且是定位矢量。

是矢量，而且是定位矢量。

所有质点动量的矢量和，称为 所有质点动量的矢量和，称为质点系的动 量 量，又称为 ，又称为动量系的主矢量 动量系的主矢量，简称为 ，简称为动量主矢 动量主矢。

= ii im v p å = ★ 质点系动量质点系动量 质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬时都具有各自的动量矢。

质点系中所有质点动量矢的集合，称为 的动量矢。

质点系中所有质点动量矢的集合，称为动量系。

动量系。

= ) , , , ( 2 2 1 1 nn m m m v v v p × × × = 根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式 iii Cmm i i i C å = rr iii Cmm i i i C å = vv Cm v p =★ 冲量冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量，用I 表示即 I = F t若作用力F 为变量，在微小时间间隔d t 内，F 的冲量称为元冲量。

即 d I = F d t力F 在作用时间t 内的冲量是矢量积分ò = ttd F I★ 质点动量矩 ★ 质点系动量矩□ 动量矩动量矩( v r v M mm O ´ = ) ( 质点对于点 质点对于点OO 的位矢与质点 动量叉乘，所得到的矢量称为 质点对于点 质点对于点O O 的动量矩。