第十章 质心运动定理、 动量定理x

W1 (a b x) W2 (b x AB sin 300 ) xC = W1 W2
由 xC=xC'，求得
W2 AB( sin 300 sin 600 ) x = W1 W2
将各已知值代入，得
Δx＝－0.266ｍ
“－”号表示起重船应向左(向着岸边)移动。
第一节 质心运动定理
如果质点系所有外力在某一轴上投影的代数 和恒等于零，例如在x轴上投影的代数和恒等于零， 即∑FixE=0，则有
vCx = 常量
即，质心的速度在x轴上的投影保持为常量； 如果质心的速度在该轴上的投影原来就等于零，则 质心在该轴上的坐标保持不变。
这一陈述称为质心沿某一轴的运动守恒定理。
第一节 质心运动定理
电动机重W1，外壳用螺栓 固定在基础上，如图10-4所示。 另有一均质杆，长l，重W2， 一端固连在电动机轴上，并与 机轴垂直，另一端刚连一重W3 的小球。设电动机轴以匀角速 ω转动。 求螺栓和基础作用于电动 机的最大总水平力及铅直力。
图10-4
第一节 质心运动定理
解：将电动机、均质杆和小球组成的质点系
px = ml sin
由
p y = ml cos d py d px (e) = Fx , = Fy (e) 得 dt dt
ml (a sin cos ) = FOx
2
FOy F Ox x O
C
y
ml (a cos 2 sin ) = FOy mg
代入式 ① 得
d 2 rc m 2 = Fi E Fi I dt
③
对于整个质点系而言，内力总是成对出的，所 以，内力系所有各力的矢量和等于零，内力系对任 一点或任一轴的矩之和也等于零。
第一节 质心运动定理
从而有
d 2 rc m 2 = Fi E dt
d vc m = Fi E , dt
y
a
mg
Mg
x
b
解：取系统分析，受力如图，建立如图坐标。
由于Fx(e)＝0 ，且初始系统静止，所以
y
xC1 = xC 2
M 1bm 2 a 3 3 xC1 = M m
设大三角块的位移为s ，则
a
mg
Mg
x
FN
y
b
xC 2
M ( b s) m a (b a) s = M m
作为考察对象。 由题意，各部分运动已知，从而可以求得质心 的运动。再由质心运动定理，即可求得螺栓和基础 作用于电动机的力。 因电动机机身不动， 取静坐标系Ｏxy固结于 机身，如图所示。任一 瞬时t，均质杆与y轴夹 角为ωt。
第一节 质心运动定理
所考察的质点系的质心的位臵坐标为
l W2 sin t W3l sin t (W2 2W3 )l 2 xc = = sin t W1 W2 W3 2(W1 W2 W3 )
解得
p mg
A
FOx = ml (a sin 2 cos ) FOy = mg ml (a cos 2 sin )
例10-4 质量为M 的大三角块放在光滑水平面上，其斜面上放 一和它相似的小三角块，其质量为m。已知大、小三角块的水 平边长各为a与b。试求小三角块由图示位臵滑到底时大三角块 的位移。
②
将式① 代入式 ② ，解得
第一节 质心运动定理
W2 2W3 2 Fx = l sin t 2g
W2 2W3 2 Fy = W1 W2 W3 l cos t 2g
水平力Fx的最大值为
Fx max
W2 2W3 2 = l 2g
铅直力Fy的最大值为 Fy max
Байду номын сангаас
W2 2W3 2 = W1 W2 W3 l 2g
(10-7)
对于刚体系统，设第i 个刚体的质心Ci的 速度为vCi，则整个系统的动量可按下式求得
p = mi vCi
(10-8)
第二节 动量和冲量
曲柄连杆机构的曲柄OA以匀角速度ω 转动（图10-5）。设OA=OB=l，曲柄OA及连杆AB都是 均质杆，质量各为m，滑块B的质量也是m。求当 = 450 时系统的动量。
第一节 质心运动定理
第一节 质心运动定理
第一节 质心运动定理
一、质量中心
设质点系由n个质点M1、M2、… 、 Mn组成，各质点的质量分别为m1、 m2、… 、mn。质点系的质量为 m=Σmi。任取固定点O,设各质点对O 点的位臵矢径分别为r1、r2、… 、rn， （图10-1），质点系质量中心（简称 为质心）C 的位臵矢 定义为
n aC C t aC mg
y
ml (a cos sin ) = FOy mg
2
解得
FOx = ml (a sin 2 cos )
A
FOy = mg ml (a cos 2 sin )
解2：用动量定理。 以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。
第一节 质心运动定理
以码头上一点O为原点，取坐标系Oxy如图所示。 设B点至起重船重力作 用线的距离为a，至y轴的距 离为b。当吊杆与铅直线成 60°角时，质点系质心的x 坐标为
W1 (a b) W2 (b AB sin 600 ) xc = W1 W2
第一节 质心运动定理
当吊杆转到与铅直位臵成30°角时，设起重 船向右移动了Δx，质点系质心的位臵坐标为
l W2 cos t W3l cos t (W2 2W3 )l 2 yc = = cos t W1 W2 W3 2(W1 W2 W3 )
求xC及yC对t的二阶导数，即
d 2 xc (W2 2W3 )l 2 = sin t 2 dt 2(W1 W2 W3 ) 2 2 d yc (W2 2W3 )l = cos t dt 2 2(W1 W2 W3 )
式中
d 2 ri mi 2 = Fi dt
②
为质点Mi的动力学微分方程， Fi 表示作用于 质点Mi 上的所有力的合力。
第一节 质心运动定理
如将作用于质点Mi的力分为内力和外力，并用Fi E 代表外力之和，Fi I 代表内力之和，则式② 成为
d 2 ri mi 2 = Fi E Fi I dt
第一节 质心运动定理
对于刚体系统，由于maC=ΣmiaCi（式中的 aCi表示刚体i的质心加速度)，所以，质心运动 定理又可表示为
mi aCi = Fi
E
质心运动定理在质点系动力学中具有重要 意义。当作用于质点系的外力已知时，根据这 一定理可以确定质心这一特定点的运动规律。 从质心运动定理可以看到，质点系运动时， 其质心的加速度完全决定于质点系所受的外力。 而与质点系的内力无关。
(e) (e)
d vC vC 2 m = Ft (e) , m = Fn (e) , Fb (e) = 0 dt
第一节 质心运动定理
将上式与牛顿第二定律 ma=F 比较，可见它们 的形式是完全相同的。于是得到：
质点系的质心的运动可以看成为一个质点的运 动，假想在这个质点上集中了质点系的全部质 量，并在其上作用着质点系受到的全部外力。 这就是质心运动定理。
解:
曲柄OA作定轴转动， 它的质心D的速度 vD=l ω/2 ,vD⊥OA,指向 如图10-5所示。连杆AB 作平面运动，它的质心E 的速度 v E 以及滑块B的速 度都须根据平面运动理论 求得。
图10-5
第二节 动量和冲量
连杆AB的速度瞬心在I，当 = 450 时，IA＝l ， = 2l ， IB 并根据几何关系算得 IE =
m rc =
m r
i i
(10-1)
图10-1
质点系示意图
rc
可见，质点系质心的位臵与质点系质量的分布有关。
第一节 质心运动定理
二、质心运动定理
将(10-1)式两边对时间求导数
drc d dri m = mi ri = mi dt dt dt
(10-2) ①
再求一次导数
d 2 rc d 2 ri m 2 = mi 2 dt dt
p = mi vi = m vc
(10-5)
根据式（10-2），可将质点系的动量表示为 (10-6)
质点系的动量等于质点系的质量与其质心的 速度的乘积。
第二节 动量和冲量
动量是矢量，如果用速度的投影来计算动 量，式（10-6）又可写成
p = mi vix i mi viy j mi viz k = mvcx i mvcy j mvcz k
1 3 2 3
解得
m (b a ) s= M m
s
x
第二节
动量和冲量
第二节 动量和冲量
一、动量
动量是表征物体机械运动强弱的一个物理量。我 们把质点的质量m与它在某瞬时t 的速度v的乘积，称 为该质点在瞬时t 的动量。质点系中所有质点动量的 矢量和，称为该质点系的动量，用p 表示
p = mi vi
(10-3)
或
m aC = Fi E
上式表明：质点系的质量与质心加速度的乘 积等于作用于质点系上的所有外力的矢量和。
将式(10-3) 投影到固定直角坐标轴x、y、z 上，得到：
质心运动定理直角坐标投影式
maCx = Fx (e) maCy = Fy maCz = Fz
自然轴上的投影式
5l 1 3 , sin = , cos = 2 10 10
而AB的角速度是 1 = ，所以
求当吊杆从与铅直线成 60°角的位臵转到与铅直线 成30°角的位臵时起重船的 位移。
图10-3