趣味数学中七桥问题与一笔画

七桥问题与一笔画的通解（论文拟稿）在柯尼斯堡的一个公园里，有七座桥将一条河上的两座岛和两岸相连接。

当时有人提出了这么一个问题：如何一次性不重复不遗漏走完七座桥。

后来，数学家欧拉将它变成了一个一笔画问题（如图）。

从欧拉的简化图来看，似乎我们无论如何，也不能一笔画完图形。

但是，这是为什么呢?在这个图中，有ABCD 4个点，有五条线汇聚到A点，三条线汇聚到B,C,D 点，我们可以把这种有奇数条线（3条及以上）汇聚的点称为奇点，作为对应，把有偶数条线（4条及以上）汇聚的点称为偶点。

那么，我们不难发现，在任意封闭图形中，奇点的个数一定是偶数。

因为一条线定连接两个点（或重合），若存在奇数个奇点，则此图形定不符合封闭图形定义。

从一个奇点来看，若要一笔画成，则此奇点定是起笔点或停笔点。

起笔点，停笔点只有两个，所以说，奇点为两个或没有奇点的封闭图形可以一笔画。

回来看七桥问题，图中有四个奇点，以任意两个作为起笔点和落笔点，则还有两个奇点无法连接。

故七桥问题无解。

从上面总结出以下结论：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。

(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。

)我们可以把得到的结论推广到所有一笔画解法存在问题，如汉字“田”，我们观察到，它有四个奇点，故不可以一笔画。

而汉字“日”，只有两个奇点，则可以一笔画。

早在1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，就阐述了这种方法，也为后来的数学新分支--拓扑学的建立奠定了基础。

从这里我们可以看出，伟大的创造一开始可能并不像我们想象的那么高深莫测，仔细观察生活，我们也会有了不起的发现。

小升初数学专项题第七讲一笔画与七桥问题_通用版第七讲一笔画与七桥问题【知识梳理】1.一笔画是指能够一笔画成的图形。

2.把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点，把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫做偶点，这样图形中要么是奇点，要么是偶点。

3.有2个奇点或0个奇点（全部是偶点）连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成。

4.七桥问题可以转化成一笔画问题解决。

【典例精讲1】一笔画就是笔不离纸，笔画不重复，一笔画出一个图形．你能用一笔画出下列图形吗？思路分析：能够一笔画成的图形，首先必须要相连，结果不相连就一定不能一笔画成，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画。

解答：观察图形可知（1）第一个图形全是偶点，所以能一笔画出；（2）第二个图形是2个奇点，剩下的都是偶点，所以能一笔画出。

小结：解决这类问题首先要看是不是连通图，其次看奇点或偶点的个数，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成。

【举一反三】1、下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？2.“九点连线”是一道著名的数学题，你能用一笔画4条连续的直线段，把图中所有的9个点都连起来吗？请你在下图画出来。

【典例精讲2】在一个城市中有七座桥和四个区域：能不能一次走遍所有的七座桥，而每座桥只准经过一次？思路分析：用“1、2、3、4、5、6、7”表示七座桥，它们连接着A、B、C、D 四个区域（如图所示），这样一来，七座桥的问题，就转变为一个一笔画问题，即能不能一笔从头到尾不重复地画出这个图形．解答：图中有4个奇点和一个偶点，奇点个数不是2个，因为C、D、E都是奇数点。

【答案】：：（1）不能不重复地走一次穿过每扇门。

（2）当关闭C和D之间的门；或关闭D和E之间的门；或关闭E通向过道的门时，可一次通过．（用A、B、C、D、E五个点表示五个房间，F点表示过道，用线把两个点连起来，于是走的路线就简化成一笔画问题。

一笔画问题
1.瑞士大数学家欧拉在七桥问题的过程中，发现了一笔画原理，这一原理被命名为“欧拉定理”：
（1）能一笔画的图形必须是连通的。

（2）凡是只由偶顶点组成的连通图形，一定可以一笔画出，画时可以由任一偶顶点为起点，最后仍回到这点。

(3)凡是只有两个奇顶点的连通图形一定可以一笔画出，画时必须以一个奇顶点为起点，以另一个奇顶点为终点。

（4）奇顶点个数超过两个的图形不能一笔画出。

2.能一笔画出的图形的奇顶点数目是2或0，如果图形有奇顶点2N（n为正整数）个，那么图形最少要用N笔画出。