2019-2020学年北京二中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，a∈A，则a的值可以为（）A．﹣2B．1C．0D．﹣12．（5分）已知命题p：∃x∈Q，x2﹣3＝0，则￢p为（）A．∃x∈Q，x2﹣3≠0B．∃x∉Q，x2﹣3＝0C．∀x∈Q，x2﹣3≠0D．∀x∉Q，x2﹣3＝03．（5分）函数y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为（）A．[4，9]B．[0，9]C．[0，4]D．[0，+∞）4．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝[m，+∞），若A⊆B，则实数m的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1] 5．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．2a＞a+b B．a+b＞b C．a2＞ab D．b2＞ab6．（5分）“x＞1”是“1x＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，T＝{x|x=ba，a，b∈A，a＞b}，则集合T中元素的个数为（）A．9B．10C．11D．128．（5分）若函数f（x）的定义域为D，对于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥1，称函数f（x）满足性质ψ，有下列四个函数①f（x）=1x，x∈（0，1）；②g（x）=√x；③h（x）＝x2（x≤﹣1）；④k（x）=11+x2其中满足性质ψ的所有函数的序号为（）A．①②③B．①③C．③④D．①②二、填空题（每题5分，共30分）9．（5分）已知a，b，c，d为互不相等的实数，若|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝．10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）+f（1）＝．11．（5分）若函数f （x ）为一次函数，且f （x +1）＝f （x ）﹣2，f （x ）的零点为1，则函数f （x ）的解析式为 ．12．（5分）某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数．且当年产量为200时，总成本为15000．记该产品的平均成本为f （Q ）（平均成本=总成本年产量），则当Q ＝ ，f （Q ）取得最小值，这个最小值为 ．13．（5分）设a ，b 为互不相等的实数，若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 满足f （a ）＝f （b ），则f （2）＝ ．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝ ．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有 个不同的零点．三、解答题（共80分） 15．解下列关于x 的不等式： （1）x 2﹣2x ﹣8≤0； （2）x 2+4x +5＞0； （3）x 2≤ax ．16．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，B ＝{x |2x ≥a }， （Ⅰ）当a ＝0时，求A ∩B ；（Ⅱ）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）记集合C ＝A ∩B ，若C 中恰好有两个元素为整数，求实数a 的取值范围． 17．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1（a ≠0）．（Ⅰ）比较f （1−√2）与f （1+√2）的大小，并说明理由； （Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）在[﹣1，2]上的最大值为4，求a 的值． 18．已知集合M ＝（﹣1，1），对于x ，y ∈M ，记φ（x ，y ）=x+y1+xy． （Ⅰ）求φ（0，12）的值；（Ⅱ）如果0＜x ＜1，求φ（x ，1﹣x ）的最小值； （Ⅲ）求证：∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．19．已知函数f （x ）满足：函数y =f(x)x 在（0，3]上单调递增． （Ⅰ）比较3f （2）与2f （3）的大小，并说明理由；（Ⅱ）写出能说明“函数y ＝f （x ）在（0，3]单调递增”这一结论是错误的一个函数； （Ⅲ）若函数的解析式为f （x ）＝ax 3+（1﹣a ）x 2，求a 的取值范围．20．设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）为平面直角坐标系上的两点，其中x A ，y A ，x B ，y B 均为整数．|x B ﹣x A |+|y B ﹣y A |＝3，则称点B 为点A 的“相关点”．点P 1是坐标原点O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，…，依此类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”．注：点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2． （Ⅰ）直接写出点O 与点P 1间的距离所有可能值； （Ⅱ）求点O 与点P 3间的距离最大值； （Ⅲ）求点O 与点P 2019间的距离最小值．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．【解答】解：x 2＞1，解得：x ＞1，或x ＜﹣1． 集合A ＝{x |x 2＞1}＝{x |x ＞1，或x ＜﹣1}，a ∈A ， 则a 的值可以为﹣2． 故选：A ．2．【解答】解：命题为特称命题， 则命题的否定为∀x ∈Q ，x 2﹣3≠0， 故选：C ．3．【解答】解：∵﹣2≤x ≤3，∴x ＝0时，y ＝x 2取最小值0；x ＝3时，y ＝x 2取最大值9， ∴y ＝x 2（﹣2≤x ≤3）的值域为[0，9]． 故选：B ．4．【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝[m ，+∞），A ⊆B ， ∴m ≤1，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．5．【解答】解：由a ＜b ＜0，取a ＝﹣2，b ＝﹣1，可排除A ，B ，D ． 故选：C ．6．【解答】解：当“x ＞1”则“1x ＜1”成立，当x ＜0时，满足“1x＜1”但“x ＞1”不成立，故“x ＞1”是“1x＜1”的充分不必要条件，故选：A ．7．【解答】解：a ＝1不适合题意，舍去． a ＝2时，b ＝1，可得：ba=12．a ＝3时，b ＝1，2，可得：b a=13，23．a ＝4时，b ＝1，2，3，可得：b a=14，12，34．a ＝5时，b ＝1，2，3，4，可得：b a=15，25，35，45．a ＝6时，b ＝1，2，3，4，5，可得：b a=16，13，12，23，56．可得：T ＝{x |x =ba ，a ，b ∈A ，a ＞b }＝{12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56}．∴集合T 中元素的个数为11． 故选：C ．8．【解答】解：①|1x 1−1x 2x 1−x 2|=|1x 1x 2|≥1(x 1，x 2∈(0，1))，故①正确； ②|√x1−√x 2x 1−x 2|=x +x ，当x 1＞4，x 2＞4时，√x 1+√x 2＞4，√x +√x 14，故②不正确；③|x 12−x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2|，当x 1≤﹣1，x 2≤﹣1时，|x 1+x 2|≥2，故③正确；④|11+x 12−11+x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2(1+x 12)(1+x 22)|≤|x 11+x 12|+|x 21+x 22|， 因为|x 1+1x 1|≥2，所以|x 11+x 12|≤12，同理|x 21+x 22|≤12，所以|x 11+x 12|+|x 21+x 22|≤1，故④不正确， 故选：B ．二、填空题（每题5分，共30分）9．【解答】解：∵|a ﹣c |＝|b ﹣c |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴a ﹣c +b ﹣c ＝0即a +b ﹣2c ＝0．①∵|b ﹣c |＝|d ﹣b |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴b ﹣c ＝d ﹣b 即2b ﹣c ﹣d ＝0．②①②相加可得：a +3b ﹣3c ﹣d ＝0．即a ﹣d ＝3（c ﹣b ）， 又因为|a ﹣c |＝|b ﹣c |＝|d ﹣b |＝1， 则|a ﹣d |＝3|b ﹣c |＝3． 故答案为：3．10．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣4x +1， 则f （0）＝0，f （1）＝1﹣4+1＝﹣2， 则f （0）+f （1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：﹣211．【解答】解：设f （x ）＝kx +b ，k ≠0， ∵f （x +1）＝f （x ）﹣2， ∴k （x +1）+b ＝kx +b ﹣2， 即k ＝﹣2，∵f （x ）＝﹣2x +b 的零点为1，即f （1）＝b ﹣2＝0， ∴b ＝2，f （x ）＝﹣2x +2 故答案为：f （x ）＝﹣2x +2．12．【解答】解：某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数，且当年产量为200时，总成本为15000． 可得15000＝40000a +3000，解得a =310， 所以C =310Q 2+3000， 该产品的平均成本为f （Q ）=3Q10+3000Q ≥2√3Q 10×3000Q=60．当且仅当3Q 10=3000Q，即Q ＝100时，f （Q ）取得最小值，最小值为60．故答案为：100；60．13．【解答】解：二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 的对称轴x =−a2， 又f （a ）＝f （b ）， ∴a +b ＝2•（a2），∴b ＝﹣2a∴f （2）＝4+2a +b ＝4， 故答案为：4．14．【解答】解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k＝4或k＝0．（2）∵g（x）={2x+1，x≤0x3+2x−16，x＞0，当x≤0时，2x+1＝0，得x=−1 2；此时f（x）=−12，由图可知有一个解；当x＞0时，g（x）＝x3+2x﹣16单调递增，∵g（2）＝﹣4，g（3）＝17，∴g（x）在（2，3）有一个零点x0，即f（x）＝x0∈（2，3）由图可知有三个解，∴共有四个解．故答案为4或0；4．三、解答题（共80分）15．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣8≤0，得（x﹣4）（x+2）≤0，所以﹣2≤x≤4，所以不等式的解集为{x|﹣2≤x≤4}；（2）因为x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，所以不等式x2+4x+5＞0的解集为R；（3）由x2≤ax，得x2﹣ax＝x（x﹣a）≤0，所以当a＝0时，x＝0；当a＞0时，0≤x≤a；当a＜0时，a≤x≤0，所以当a＝0时，不等式的解集为{0}；当a＞0时，不等式的解集为{x|0≤x≤a}；当a＜0时，不等式的解集为{x|a≤x≤0}．16．【解答】解：（Ⅰ）a＝0时，B＝{x|x≥0}，且A＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A ∩B ＝[0，1]； （Ⅱ）∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，且B ={x|x ≥a2}， ∴a2≤−1，∴a ≤﹣2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （Ⅲ）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴−1＜a 2≤0，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]．17．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ， 则f （1−√2）＝1+a ，f （1+√2）＝1+a ， 故f （1−√2）＝f （1+√2）；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有{a ＞04a 2＜4a，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（Ⅲ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1， 分2种情况讨论：①，a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ， 则有1+3a ＝4， 解可得：a ＝1，②，a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ， 则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3； 综合可得：a ＝1或﹣3．18．【解答】解：（1）φ(0，12)=0+121+0×12=12；（II ）φ(x ，1−x)=x+(1−x)1+x(1−x)=1−x 2+x+1，由于x ∈（0，1）时，−x 2+x +1∈(1，54]，所以φ(x ，1−x)∈[45，1)，即最小值为45；（III ）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＜1；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＞−1，综上，x+y1+xy∈M ．即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ． 19．【解答】解：（I ）3f （2）＜2f （3）， ∵y =f(x)x 在（0，3]上单调递增， ∴f(2)2＜f(3)3，∴3f （2）＜2f （3）；（II ）f （x ）＝﹣1或﹣x 2﹣9（III ）方法一：∵y =f(x)x =ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增， ∴y ′＝2ax +（1﹣a ）≥0在（0，3]上恒成立， 2ax ≥a ﹣1，当a ＞0时，因为x ≥a−12a 在（0，3]上单调递增， 所以0≥a−1a，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，x ≤a−12a在（0，3]上单调递增， 所以3≤a−12a ，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上：a ∈[−15，1]．方法二：当a ＞0时，对称轴x =a−1a ≤0时符合题意，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，对称轴x =a−12a ≤3时符合题意，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上，a ∈[−15，1]．20．【解答】解：（Ⅰ）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3或√5；（Ⅱ）因为点O （0，0），所以由第一问可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大， ∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（Ⅲ）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N *）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O与点P2016间的距离最小值为0，此时点P2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P2016（0，0）﹣﹣P2017（2，1）﹣﹣P2018（1，3）﹣﹣P2019（0，1），所以点O与点P2019间的距离最小值为1．。

第1页共10页启用前★绝密
2019-2020学年高一年级期中测试
数学试题
（考试时间：120分钟；满分：150分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合}01|{2x x A ，则下列式子表示正确的有（）
①A 1②A }1{③A ④A
}1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个
2．设集合{|12},{|}.A x x B x x a 若,A B 则a 的范围是(
)A ．2a B ．1a C ．1a D ．2
a 3．下列函数中，与函数()f x x 是同一函数的是（）
A ．2
()x
g x x B ．2()1
x x
g x x C ．2()g x x D ．33
()g x x 4．已知函数2()1f x x ax 在[2,)上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）A ．{4}B ．(,4]C ．(,4)D ．(,2]
5．已知函数2(1)1
()2a x f x x 是定义在R 上的偶函数，则实数a 值为（）
A ．1
B ．0
C ．1
D ．2
6．已知函数9,1
()72,1x x f x x x ，则不等式()3f x 的解集为（）
A ．(6,1]
B ．(1,2)
C ．(6,2)
D ．(6,2]
7．三个数 1.10.80.70.8,log 0.6,log 0.6a b c 之间的大小关系是（）
A ．c b a
B ．b
c a C ．c a b D ．a
c b 8．设函数f(x)=1
,1,1x x x x ,则f(f(-1))=()。

xC. y = x 2 - 4 x +5D. y = x -1 +27.已知函数 f ( x ) = ⎨ 2a是(－∞，＋∞)上的减函数，则 a 的取值范围是 ⎪⎩ x北京市 2019-2020 学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共 8 小题）1.方程-x 2-5x +6=0 的解集为（）.A. {-6,1}B. {2,3}C. {-1,6}D. {-2, -3}2.“ x > 2 ”是“ x 2 > 4 ”的 （）A. 必要不充分条件C. 充分必要条件B. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）.A. y = -3x - 1B. y = 24.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x 2 ，则 f (-1 ) = 2A. -C. -14 94B.D.1 4 9 45.设函数 f （x ）=4x + A. 有最大值 36.若函数 f ( x ) = x + A. －2C. 11 xax-1（x ＜0），则 f （x ）（ ）.B. 有最小值 3C. 有最小值 -5D. 有最大值 -5(a ∈R)在区间(1，2)上有零点，则 a 的值可能是( )B. 0D. 3⎧(a - 3)x + 5, x ≤ 1 ⎪, x > 1A. (0，3)B. (0，3]C. (0，2)D. (0，2]8.设函数 f （x ）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的 x ，y ∈R ，有|f （x ）-f （y ）|＜|x-y|并且函数 f （x +1）的对称中心是（-1，0），若函数 g （x ）-f （x ）=x ，则不等式 g （2x-x 2）+g （x-2）＜0 的解集是（）.A. (-∞,1)⋃ (2, +∞)C. (-∞, -1] ⋃ (2 , +∞ )B. (1,2 )D. (-1,2 )14.已知函数f (x)=⎨x,x<a．二、解答题（本大题共11小题，共80.0分）9.已知x1，x2是方程x2+2x-5=0的两根，则x12+2x1+x1x2的值为______．110.已知方程ax2+bx+1=0两个根为-，3，则不等式ax2+bx+1>0的解集为______．411.命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．的12.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．13.若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为______．⎧-x x+2x,x≥a⎩①若a=0，则函数f(x)的零点有______个；②若f(x)≤f(1)对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是______．15.设集合A={x2，x-1}，B={x-5，1-x，9}．（1）若x=-3，求A∩B；（2）若A∩B={9}，求A∪B．16.已知函数f(x)=ax-2 x．（1）求定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（1）+f（2）=0，证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f（x）在区间[1，4]上的最值．17.一元二次方程x2-mx+m2+m-1=0有两实根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）求x1•x2的最值；（3）如果x-x＞5，求m的取值范围．1218.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S元，AD的边长为x米，DQ的边长为y米，试建立S关于x的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．19.已知函数f（x）=x2+b x+c，其中b，c∈R．（1）当f（x）的图象关于直线x=1对称时，b=______；（2）如果f（x）在区间[-1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c-1；（3）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．f -⎪=-f ⎪=- ⎪=-x(-4x)⋅参考答案1【答案】A【详解】∵-x2-5x+6=0，∴x2+5x-6=0，∴(x+6)(x-1)=0，∴x=-6或1，方程-x2-5x+6=0的解集为{-6，1}．故选：A．2【答案】B【详解】因为x2>4⇔x>2或x<-2，所以，“x>2”能推出“x2>4”，“x2>4”不能推出“x>2”，“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件，故选B.3【答案】D【详解】由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上为减函数，故A错误；由反比例函数的性质可知，y=2x在区间(1，+∞)上为减函数，由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增．故选：D．4【答案】A【详解】由奇函数的性质结合题意可得：⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭本题选择A选项.5【答案】D 1 4.【详解】当x＜0时，f(x)=4x+11-1=-[(-4x)+]-1≤-2-x1-x-1=-5．当且仅当-4x=-11，即x=-时上式取“=”．x2∴f(x)有最大值为-5．21112∴0＜g(x)-g(y)故选：D．6【答案】A【详解】函数f (x)=x+a(a∈R)的图象在(1，)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2 x时，f(1)＝－2＜0，f(2)＝2－＝＞0，.故f(x)在区间(1，)上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.7【答案】D【详解】因为函数f(x)为R上的减函数，所以当x≤1时，f(x)递减，即a-3<0，当x>1时，f(x)递减，即a>0，且(a-3)⨯1+5≥2a，解得a≤2，1综上可知实数a的取值范围是(0,2]，故选D.8【答案】A【详解】由函数f(x+1)的对称中心是(-1，0)，可得f(x)的图象关于(0，0)对称即f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∵g(x)-f(x)=x，∴g(x)=f(x)+x，∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x)，∵对于任意的x，y∈R，有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，∴|g(x)-g(y)-(x-y)|＜|x-y|，∴g(x)-g(y)-(x-y)x-yg(x)-g(y)即|-1|＜1，x-yx-y＜2，＜1，由对任意实数x,y(x≠y)有g(x)-g(y)x-y>0得g(x)单调递增，∵g(2x-x2)+g(x-2)＜0，∴g(2x-x2)＜-g(x-2)=g(2-x)，< x < 3⎬ ⎧ ⎧ b ⎧4 ⎪⎪ a⎪⎪⎩ ⎩⎪ 本题正确结果： ⎨ x -< x < 3⎬∴2x-x 2＜2-x ，整理可得，x 2-3x +2＞0，解可得，x ＞2 或 x ＜1，故选：A ．9【答案】0【详解】∵x 1，x 2 是方程 x 2+2x-5=0 的两根，则 x 12+2x 1-5=0，x 1x 2=-5． ∴x 12+2x 1+x 1x 2=5-5=0．故答案为：0．10【答案】 ⎨ x -⎩ 1 4⎫⎭- = - + 3 a =- 43【详解】由题意得： ⎨⇒⎨ ⎪ 1 = - 1 ⨯ 3 ⎪b = 11 ⎪ a 431则不等式可化为： 4 x 2 - 11x - 3 < 0⇒- < x < 34⎧ ⎩1 ⎫4 ⎭11【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0【详解】命题为全称命题，则命题“∀x ＞0，x 2+2x-3＞0”的否定是为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0， 故答案为：∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．12【答案】2【详解】f (x )，g (x )分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，∴f (-x )=f (x )，g (-x )=-g (x )，∵f (x )-g (x )=x 3+x 2+2，∴f (-x )+g (-x )=x 3+x 2+2，则 f (1)+g (1)=-1+1+2=2．故答案为：213【答案】{-3，3}【详解】因为函数 f (x )=x 2-2x +1=(x-1)2，⎨ （ 所以对称轴为 x =1，顶点坐标为(1，0)．令 x 2-2x +1=4 得：x 2-2x-3=0，解得：x =-1 或 3，所以 a +2=-1 或 a =3，即：a =-3 或 3．故答案为：{-3，3}14【答案】(1). 2(2). ⎡⎣-1 - 2,1⎤⎦【详解】 ① ⎧- x 2 + 2 x , x ≥ 0当 a=0， f ( x ) = ⎨⎩ x, x < 0当 x ≥ 0 ,时， -x 2 + 2x =0，解得 x=2 或 x=0，当 x < 0 ，x=0 无解故有两个零点② （1）当 a > 1 时，f （1）=1，此时 f (a) > 1 ，不成立，舍；（2）当 a=1，此时 f （x ）的最大值为 f （1），所以成立；（3）当 a < 1 ， f ( x ) = ⎧- x x + 2x, x ≥ a⎩x, x < a⎧ x 2 + 2 x , x < 0令 g ( x ) = - x x + 2x = ⎨⎩- x 2 + 2 x, x > 0f ( x ) ≤ f (1) = 1∴ g ( x ) ≤ 1当 x<0 时， x 2 + 2 x ≤ 1, x ∈ [-1 - 2,0)当 x ≥ 0 时， - x 2 + 2 x ≤ 1 ，恒成立；故 a ≥ -1 - 2 ，综上 -1 - 2 ≤ a ≤ 1故答案为 ⎡⎣-1 - 2,1⎤⎦15【答案】 1）{9}（2）x =-3 时，A ∪B={-8，-4，4，9}，x =10 时， A ∪B={-9，5，9，100}．（ =(x 1-x 2)(1+)， ∴(x 1-x 2)(1+ )＜0，即 f (x 1)＜f (x 2)，（2）最小值为 - ，最大值为 1 （3） -1，- ⎪ （ 5 4【详解】(1)x =-3 时，A={9，-4}，B={-8，4，9}，∴A ∩B={9}；(2)∵A ∩B={9}，∴9∈A ，∴x 2=9，或 x-1=9，解得 x =±3 或 10，x =3 时，不满足集合 B 中元素的互异性，∴x =-3 或 10，由(1)知，x =-3 时，A ∪B={-8，-4，4，9}，x =10 时，A={100，9}，B={5，-9，9}，∴A ∪B={-9，5，9，100}．16【答案】 1） {x|x ≠ 0} ，奇函数 （2）单调递增，证明见详解，最大值【详解】(1)由题意可得，x ≠0，故定义域为 {x|x ≠ 0}7 2，最小值-1；∵f (-x )=-ax + 2 x=-f (x )，∴f (x )奇函数；(2)由 f (1)+f (2)=a-2+2a-1=0，∴a =1，f (x )=x-设 0＜x 1＜x 2，2 x，则 f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 2 +∵0＜x 1＜x 2，2 2 2- x x x x2 1 1 2∴x 1-x 2＜0，1+ 2 x x1 2＞0，2x x1 2∴f (x )在(0，+∞)上的单调递增，∴函数 f (x )在区间[1，4]上的最大值为 f (4)=72，最小值为 f (1)=-1．17【答案】 1） -2 ≤ m ≤ 2 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎝ 3 ⎭【详解】(1)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．∴ △=(-m )2-4(m 2+m -1)≥0，2 从而，x 1•x 2 最小值为 - ，最大值为 1．()从而解得： -1＜m ＜ - ，∴ m ∈ -1，- ⎪ ．()（从而解得：-2 ≤ m ≤2．3(2)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．1∴由根与系数关系得： x ⋅ x = m 2 + m - 1 = (m + )2 - 125 4，又由(1)得：-2 ≤ m ≤ 2 3，5 1 5∴ - ≤ (m + )2 - ≤ 1 ，4 2 45 4(3)∵一元二次方程 x 2-mx +m 2+m -1=0 有两实根 x 1，x 2．∴由根与系数关系得： x + x = m ，x ⋅ x = m 2 + m - 1 ，1 212∴ x - x = ( x - x )2 = ( x + x )2 - 4 x x = m 2 - 4 m 2+ m - 1 ＞ 5 ，1212121 21 32又由(1)得： -2 ≤ m ≤ ，3⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭18【答案】 1） S = 4000 x 2 +400000 x 2+ 38000, 0 < x < 10 2 ；（2）118000 元200 - x 2【详解】(1)由题意，有 AM = ，由 AM ＞0，有 0＜x ＜10 2 ；4x则 S=4200x 2+210(200-x 2)+80×2× (200 - x 2 4x)2 ；400000 - 4000x 2 + 10x 4400000 S=4200x 2+42000-210x 2+ =4000x 2+ +38000；x 2x 2∴S 关于 x 的函数关系式：S=4000x 2+400000 x 2+38000，(0＜x ＜102 )；(2)S=4000x 2+ 400000 400000+38000≥2 4000x 2 ⋅x 2 x 2+38000=118000；当且仅当 4000x 2=400000 x 2时，即 x = 10 时， 10 ∈(0，10 2 )，S 有最小值；2]2•[s+(1-s)2]2=1 -+c=c-∴当x=10米时，S m in=118000元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．19【答案】（1）-2（2）证明见解析（3）（0，1 16）【详解】(1)函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为x=-由f(x)的图象关于直线x=1对称，b 2，可得-b2=1，解得b=-2，故答案为：-2．(2)证明：由f(x)在[-1，1]上不单调，可得-1＜-b2＜1，即-2＜b＜2，b b2b2b2对任意的x∈R，f(x)≥f(-)=，2424b2由-2＜b＜2，可得f(x)≥c-＞c-1；4(3)f(x)在区间(0，1)上有两个不同的零点，设为r，s，(r≠s)，r，s∈(0，1)，可设f(x)=(x-r)(x-s)，由c2+(1+b)c=c(1+b+c)=f(0)f(1)=rs(1-r)(1-s)，且0＜rs(1-r)(1-s)＜[r+(1-r)16，则c2+(1+b)c∈(0，1 16)．1．已知集合 A = {-1，0,1,2}, B = x -2 < x ≤1 ，则 A ， } ，，北京市丰台区 2019-2020 学年度第一学期期中考试高一数学试卷考试时间：90 分钟第 I 卷（共 40 分）一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

2019-2020学年北京二中高一（上）期中数学试卷（含答案解析）2019-2020学年北京二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|xA. ?B. {x|?1<x<1}< p="">C. {x|x<?1}D. {x|x<1}2.下列函数是奇函数的是()A. B.C. D. y=e x+e?x3.已知集合A={x|x2?5x+4<0,x∈Z}，B={m,2}，若A?B，则m=()A. 1B. 2C. 3D. 54.若函数g(x)=f(x)+x3是偶函数且f(?1)=2，则f(1)=()A. 0B. 1C. 2D. 35.已知集合A={0,1,2}，B={?1,2,0,5}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,2}C. {0,?1}D. {0}6.设全集U=R，集合A={x|?1<xA. {x|?1<x≤0}< p="">B. {x|1<x<2}< p="">C. {x|0<x<1}< p="">D. {x|0≤x<1}7.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(?∞,0]上是减函数，若f(a)>f(2)，则实数a的取值范围是()A. a≤2B. a2C. a≥?2D. ?2≤a≤28.定义：区间[a,b]，(a,b]，(a,b)，[a,b)的长度均为b?a，若不等式1x?1+2x?2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A. 当m>0时，l=√m2+2m+9mB. 当m>0时，l=3mC. 当m<0时，l=?√m2+2m+9mD. 当m<0时，l=?3m9.函数y=|a|x?1|a|(a≠0且a≠1)的图像可能是()A.B.D.10. 下列函数f (x )中，满足对任意x 1,x 2∈(0,+∞)，当x 1f (x 2)的是( )A. f (x )=1x B. f (x )=(x ?1)2 C. f (x )=e xD. f (x )=ln (x +1)11. 在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q(辆/小时)：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V(千米/小时)：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K(辆/千米)：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V 和K 满足一个线性关系，即V =v 0(1?Kk 0)(其中v 0，k 0是正数)，则以下说法正确的是( )A. 随着车流密度增大，车流速度增大B. 随着车流密度增大，交通流量增大C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小12. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f (1+x)=f (1?x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=?x +1，设函数g(x)=e ?|x?1|(?1<=""A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 已知函数g (x )=x 2?2x (x ∈[2,4])，则g (x )的最小值_______14. 已知函数f (x )={2x ,x ≤0?x 2+1?,x >0，若f (a )=12，则实数a 的值为___________．______ ．16. 若函数f(x)=x(2x+1)(x?a)为奇函数，则 a =_________．17. 函数f(x)=x 2+2x ?3,x ∈[1,3]的值域为_____________．18. 设x ∈R ，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f[f(x)?e x ]=e +1成立，则f(2)的值为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.已知集合A={x|x2?2x?3<9?x2<6?2x}，求A∩B．20.已知函数f(x)=a?4x?a?2x+1+1?b,(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1(1)求a,b的值；(2)若使关于x的方程f(x)?k?4x=0在x∈[?1,1]上有解，求实数k 的取值范围．21.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(0,1)，对称轴为直线x=1．(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞)，求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+(1?a)x2+2x在区间[?3,1]上是单调函数，求实数a的取值范围；(3)若函数?(x)=f(x)，且函数?(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．x22.已知集合A={a1,a2,a3,…,a k}(k≥2)，若对于任意的a∈A，总有?a?A，则称集合A具有性质P.由A中的元素构成一个相应的集合：T={(a,b)|a∈A，b∈A，a?b∈A}，其中(a,b)是有序实数对．检验集合{0,1，2，3}与{?1,2，3}是否具有性质P，并求出其中具有性质P的集合所对应的集合T．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了并集及其运算.利用并集的运算计算得结论．【解答】解：因为集合A={x|x<1}，所以A∪B={x|x<1}．故选D.2.答案：C解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，根据奇函数和偶函数的性质进行求解即可．【解答】解：易知选项A为非奇非偶函数，B，D为偶函数，故选C．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合的知识，解答本题的关键是知道真子集的计算方法．【解答】解：∵A={x|x2?5x+4<0,x∈Z}={x|1<x< p="">又∵B={m,2}，A?B，∴m=3，故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．由函数g(x)=f(x)+x3是偶函数，则g(?1)=g(1)，又f(?1)=2，可得f(1)．【解答】解：∵g(?1)=f(?1)+(?1)3=f(?1)?1，g(1)=f(1)+13=f(1)+1由函数g(x)=f(x)+x3是偶函数且f(?1)=2，∴g(?1)=g(1)，即f(?1)?1=f(1)+1，∴f(1)=f(?1)?2=0，故选A．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了交集及其运算，元素与集合的关系的应用，解题的关键是熟练掌握交集及其运算，元素与集合的关系的计算，根据已知及交集及其运算，元素与集合的关系的计算，求出A∩B 的值．【解答】解：∵A={0,1,2}，B={?1,2,0,5}，∴A∩B=｛0，2｝．故选B．6.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的补集、交集运算．利用一元二次不等式的解法化简集合B，利用补集的定义求出C U B，由交集的定义可得结果．【解答】解：因为B={x|x(x?2)<0}={x|0<x<2}，< p="">所以C U B={x|x≤0或x≥2}，结合集合A={x|?1<x<1}，< p="">所以可得A∩(C U B)={x|?1<x≤0}，故选a．< p="">7.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性以及单调性，属于简单题，由题意得|a|>2，即可求得结果【解答】解：∵y=f(x)是R上的偶函数，且在(?∞,0]上是减函数∴y=f(x)在[0,+∞)是增函数∵f(a)>f(2)，∴|a|>2∴a2故选B8.答案：B解析：【分析】本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．当m>0时，∵1x?1+2x?2≥m?mx2?(3+3m)x+2m+4(x?1)(x?2)≤0，令f(x)=mx2?(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，根据韦达定理以及f(1)，f(2)的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断m<0的情况．< p="">【解答】解：当m>0时，∵1x?1+2x?2≥m?mx2?(3+3m)x+2m+4(x?1)(x?2)≤0，令f(x)=mx2?(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，< p="">则m(x?x1)(x?x2)(x?1)(x?2)≤0，且x1+x2=3+3mm=3+3m，∵f(1)=m?3?3m+2m+4=1>0，f(2)=4m?6?6m+2m+4=?2<0，且f(x)图象的对称轴为3+3m2m =32+32m>1，∴1<x1<2<x2，< p="">所以不等式的解集为(1,x1]∪(2，x2]，∴l=x1?1+x2?2=x1+x2?3=3+3m ?3=3m，当m<0时，结合穿针引线法可知l为无限大，故选：B．解析：【分析】本题考查指数函数图像，基础题;根据指数函数图象特点即可知选D．【解答】解：因为由题意|a|>0，且|a|≠1，只需考虑a>0，且a≠1的情况．函数y=a x?(a>0,a≠1)的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a>1时，函数y=a x?在R上是增函数，且图象过点(?1,0)，故排除A，B，当1>a>0时，函数y=a x?在R上是减函数，且图象过点(?1,0)，故排除C．故选D．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．【解答】解：“对任意x1,x2∈(0,+∞)，当x1f(x2)”说明函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，只有f(x)=1符合题意．x故选A．11.答案：D)(其中v0，k0是正数)，则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量解析：解：因为V=v0(1?K k先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属简单题．12.答案：B解析：本题主要考查了函数图象的性质及函数图象的作法，属中档题．由函数图象的性质得：f(x)的图象关于直线x=1对称且关于y轴对称，函数g(x)=e??|x?1|(?1<x< p="">函数图象的作法可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=1对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4，得解．【解答】解：由偶函数f(x)满足(1+x)=f(1?x)可得f(x)的图象关于直线x=1对称且关于y轴对称，函数g(x)=e??|x?1|(?1<x< p=""> 函数y=f(x)的图象与函数g(x)=e??|x?1|(?1<x<3)的图象的位置关系如图所示，< p="">可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=1对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4．故选B．13.答案：0解析：【分析】本题主要考查二次函数在区间上的最值，考查学生计算能力，属于基础题．解题关键是利用二次函数性质，求出单调区间，即可计算最值．【解答】解：g(x)=x2?2x=(x?1)2?1，所以二次函数对称轴为x=1，开口向上；因为x∈[2,4]，所以g(x)在[2,4]单调递增，所以g(x)的最小值g(2)=0；故答案为0．14.答案：?1或√22解析：【分析】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．【解答】解：当a ≤0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =?1，当a >0时，f(a)=12，即?a 2+1=12，解得a =√22，故答案为?1或√22．15.答案：lg6+12解析：【分析】利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：原式．故答案为：．16.答案：12解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题.根据函数的奇偶性的定义进行解答即可；【解答】解：函数f(x)的定义域为{x |x ≠?12且x ≠a}．又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a =12．17.答案：[0,12]解析：【分析】本题考查函数的最值，解题的关键是配方，确定函数的单调性，属于中档题．配方可得，f(x)=x2+2x?3=(x+1)2?4，函数的对称轴为直线x=?1，确定函数在[1,3]单调递增，从而可求函数值域．【解答】解：f(x)=x2+2x?3=(x+1)2?4的对称轴方程为x=?1，则在[1,3]为增函数，且f(1)=0,f(3)=12，所以函数f(x)=x2+2x?3,x∈[1,3]的值域为[0,12]，故答案为[0,12]．18.答案：e2+1解析：【分析】本题考查函数的解析式的求法，函数的单调性，属于中档题．利用已知条件求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：设t=f(x)?e x，则f(x)=e x+t，则条件f[f(x)?e x]=e+1等价为f(t)=e+1，令x=t，则f(t)=e t+t=e+1，∵函数f(x)为单调递增函数，则t=1是e t+t=e+1的唯一解，代入f(x)=e x+t，得f(x)=e x+1，即f(2)=e2+1．故答案为：e2+1．19.答案：解：∵x2?2x?3<?3(x?1)，解得?3<x<x<2}．由0<9?x2<6?2x，解得?3<x<?1}，< p="">∴A∩B=(?3,?1)．解析：解一元二次不等式，求得A和B，利用两个集合的交集的定义，求出A∩B．本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．20.答案：解：(1)设t=2x，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]；函数f(x)=a?4x?a?2x+1+1?b，(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1即g(t)=at2?2at+1?b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)；g(t)=at2?2at+1?b开口向上，对称轴方程为t=1，则g(t)在[2,4]上单调递增；g(2)=4a?4a+1?b=1，g(4)=16a?8a+1?b=9；所以a=1，b=0；(2)方程f(x)?k?4x=0在x∈[?1,1]上有解；即4x?2x+1+1=k?4x在x∈[?1,1]上有解；∴k=14x ?22x+1在x∈[?1,1]上有解；设?(x)=14x ?22x+1，令12x=m∈[12,2]；所以y=m2?2m+1=(m?1)2，(m∈[12,2])；则0≤m2?2m+1≤1；所以?(x)∈[0,1]；故实数k的取值范围[0,1]；解析：(1)设t=2x，g(t)=at2?2at+1?b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)，求二次函数在闭区间上的最值问题；(2)分离参数得k=14x ?22x+1在x∈[?1,1]上有解；即求函数?(x)=14x2x+1在[?1,1]上的值域；本题考查二次型函数的值域问题，考查换元思想，分离参数的思想，属于中档题．21.答案：解：(1)因为f(x)的图象经过点(0,1)，对称轴为直线x=1．所以c=1，?b2a=1，即b=?2a，所以f(x)=ax2?2ax+1，又f(x)的值域为[0,+∞)所以(?2a)2?4a=0，解得a=1或a=0(舍去)．所求函数f(x)的解析式为f(x)=x2?2x+1．(2)函数g(x)=f(x)+(1?a)x2+2x，由(1)得f(x)=ax2?2ax+1，所以g(x)=x2+2(1?a)x+1，因为函数g(x)在区间[?3,1]上是单调函数，所以a?1≥1或a?1≤?3，得a≥2或a≤?2，即所求实数a的取值范围为(?∞,?2]∪[2,+∞)．(3)由函数?(x)=f(x)x =ax2?2ax+1x=ax+1x2a，设1≤x1<x2≤2，< p="">(x1)??(x2)=ax1+1x1?(ax2+1x2)=(x1?x2)(a?1x1x2因为1≤x1<x2≤2，函数?(x)在区间[1,2]上是增函数，< p="">所以?(x1)??(x2)<0，所以a?1x1x2>0，即a>1x1x2对一切1≤x1<x2≤2恒成立，，< p="">所以a≥1，即所求实数a的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查二次函数及函数的单调性．(1)由已知得c=1，?b2a=1，即b=?2a，然后利用值域为[0,+∞)，得Δ=0，求得a即可求解;(2)利用二次函数的对称轴与区间的关系即可求解;(3)利用单调性的定义即可求解．22.答案：解：对于集合{0,1，2，3}，0∈{0,1，2，3}，?0∈{0,1，2，3}，所以{0,1，2，3}不具有性质P.由题意知{?1,2，3}具有性质P．由?1，2，3可以组成六对有序实数对，分别是(?1,2)，(?1,3)，(2,3)，(2,?1)，(3,?1)，(3,2)．根据集合T的定义一一检验，可知(2,?1)，(2,3)是集合T中的元素，所以与{?1,2，3}对应的集合T 是{(2,?1)，(2,3)}．解析：【分析】利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合T的定义写出T．</x2≤2恒成立，，<></x2≤2，函数?(x)在区间[1,2]上是增函数，<></x2≤2，<></x<?1}，<></x<3)的图象的位置关系如图所示，<></x<></x<></x1<2<x2，<></x2，<></x2，根据韦达定理以及f(1)，f(2)的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断m<0的情况．<></x≤0}，故选a．<></x<1}，<></x<2}，<></x<></x<1}<></x<2}<></x≤0}<></x</x<1}<>。

北京二中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={x|x2<9}，则A∩B=()A. {−2,−1,0,1，2，3}B. {−2,−1,0,1，2}C. {1,2,3}D. {1,2}2.以下四个命题：①∀x∈R，x2−3x+2>0恒成立；②∃x∈Q，x2=2；③∃x∈R，x2+1=0；④∀x∈R，4x2>2x−1+3x2，其中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 43.设等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1>0，公差d<0，a10⋅S21<0，则S n最大时，n的值为()A. 11B. 10C. 9D. 84.在如图所示的计算1+3+5+⋯+2013的值的程序框图中，判断框内应填入()A. i≤504B. i≤2009C. i<2013D. i≤2013]上的图象如图所示，则m、n的值可能是() 5.函数f(x)=ax m(1−2x)n(a>0)在区间[0,12A. m =1，n =1B. m =1，n =2C. m =2，n =3D. m =3，n =16. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,−π<φ<0)的最小正周期是π，将f(x)图象向左平移π3个单位长度后，所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f(x)( )A. 在区间[−π6,π3]上单调递减 B. 在区间[−π6,π3]上单调递增 C. 在区间[−π3,π6]上单调递减D. 在区间[−π3,π6]上单调递增7. 已知函数f(x)={2x −2,x ≤1,2+log 2x,x >1,则函数f(x)的零点为( )A. 14和1B. −4和0C. 14D. 18. 已知函数f(x)=(13)x −x 2，若f(x 0)=m ，x 1∈(0,x 0)，x 2∈(x 0,+∞)，则( )A. f(x 1)<m ，f(x 2)<mB. f(x 1)<m ，f(x 2)>mC. f(x 1)>m ，f(x 2)<mD. f(x 1)>m ，f(x 2)>m二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 9. 函数f(x)=2x 2−3x e x的单调增区间为______．10. 已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是________． 11. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ≥0,x +y +1≤0,x −y +2≥0,则z =x +2y 的最大值是________．12. 已知某四棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是______，其全面积是______．13.已知a1=1，a2=−11+a1，a3=−11+a2，…，a n+1=−11+an，….那么a2017=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若a=2，且▵ABC的面积为√3，求▵ABC的周长．15.根据空气质量指数AQI(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：AQI(数值)0～5051～100101～150151～200201～300>300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色某市2013年10月1日−10月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如图的条形图：(1)估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中度污染的概率；(2)在空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据中任取2个，求至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐红色的概率．16.已知数列{a n}各项均为正数，且a1=1，(1)设b n=1，求证：数列{b n}是等差数列；a n}的前n项和S n．(2)求数列{a nn+117.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(Ⅰ)求证：DE//平面A1CB；(Ⅱ)求证：A1F⊥BE．18.已知函数f(x)=2e x+m(x+1)，(m∈R)，e为自然对数的底数．(1)当m=1时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率e=√32，且经过点(√3,12)，A，B，C，D为椭圆的四个顶点(如图)，直线l过右顶点A且垂直于x轴．(1)求该椭圆的标准方程；(2)P为l上一点(x轴上方)，直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若S△PCD=2S△PEF，求点P 的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查集合的交集的运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．解：∵集合A={1,2，3}，B={x|x2<9}={x|−3<x<3],∴A∩B={1,2}．故选D．2.答案：A解析：本题主要考查命题真假的判定，逐题分析即可得解．解：∵Δ=(−3)2−4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2−3x+2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x=±√2时，x2=2，∴不存在x∈Q，使得x2=2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2+1≠0，∴③为假命题；④中，当x=1时，4x2=2x−1+3x2；则④为假命题．∴真命题的个数为0，故选A．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．=21a11.根据首项a1>0，公差d<0，a10⋅S21<0，可得a10>0，a11<0.根据其S21=21×(a1+a21)2单调性性质即可得出．=21a11．解：S21=21×(a1+a21)2∵首项a1>0，公差d<0，a10⋅S21<0，∴a10>0，a11<0．则S n最大时，n的值为10．故选B．4.答案：D解析：本题考查程序框图，属于基础题．解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=0+1，i=3，第二圈：S=1+3，i=5，第三圈：S=1+3+5，i=7，…依此类推，第1007圈：1+3+5+⋯+2013，i=2015，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i≤2013，故选D．。

故：B
【点睛】本题考查了函数的概念、函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
3.若集合 中只有一个元素，则
A. B. C. 0D. 0或
【答案】D
【解析】
【分析】
分 与 两种情况讨论元素的个数可得答案．
【详解】解：集合 中只有一个元素，
当 时，可得 ，集合 只有一个元素为： ．
当 时：方程 只有一个解：即 ，
二．填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
11.已知命题 ：“ ”，则 ：_________．
【答案】
【解析】
【分析】
写出全称命题的否定形式即可.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，
所以命题 ： 的否定形式为 ： .
故答案为：
12.函数 的定义域是__________，最小值是__________．
【解析】
分析】
（1）由 ，可知2是方程 和 的唯一公共解，进而可求出 ，解一元二次方程，可求出集合 ；
（2）由集合 ，可求出集合 ，进而分别求出 ，然后求出 即可.
【详解】（1）因为 ，所以2是方程 和 的唯一公共解，
则 ， ，解得 ，
所以 ，
.
（2）由 ， ，可得全集 ，
所以 ，则 .
20.已知集合 或 ，关于 的不等式 的解集为 .
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性得到 ，根据 在 上的单调性，结合 ，即可求解.
【详解】 函数 是定义在 上的偶函数， ，即 ，
， 在 上是增函数，
不等式 等价于 ，解得： ，
的解集为 .
故答案为： .
15.已知函数 ，若函数 与 轴有 个交点，则实数 的取值范围是_________．

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知集合A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，那么A∩B＝（）A．{1，3，5，6，8}B．{6，8}C．{3，5}D．{1，6，8} 2．（3分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b23．（3分）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②y=√x；③y=−1x；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（3分）如果幂函数f（x）＝x a的图象经过点（2，4），则f（x）在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值6．（3分）已知a＞0，那么a−2+4a的最小值是（）A．1B．2C．4D．5 7．（3分）下列函数中，与函数y＝x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=√x2B．y=x2x C．y=√x23D．y=(√x)28．（3分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 10．（3分）函数f(x)={x 2，x ≥tx ，0＜x ＜t （t ＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t 的取值范围是（ ） A ．1B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）11．（3分）若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f （x ）+f （﹣x ）＝0； （2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数：①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝﹣x 3；③f(x)=x −1x ；④f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0．其中是“理想函数”的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．（3分）对于集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（ ）①如果P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，那么P ⊆M ； ②如果c ＝4n +2，n ∈Z ，那么c ∉M ； ③如果a 1∈M ，a 2∈M ，那么a 1a 2∈M ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0二、填空题13．（3分）已知函数f(x)={1，x ≥0−2x ，x ＜0，如果f （m ）＝4，那么实数m 的值为 ．14．（3分）已知二次函数f （x ）满足如表所给对应关系：x 1 2 4 f （x ）﹣1则不等式f （x ）＜0的解集为 ．15．（3分）命题“∀x ∈R ，|x |+1≥1”的否定是 ．16．（3分）函数y ＝f （x ）（x ≠0）是奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，函数y ＝f （x ）单调递增．若f （1）＝0，则f （﹣1）＝ ；不等式f （x ）＜0的解集为 ． 17．（3分）若“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 18．（3分）已知函数f(x)=4√mx −2mx+1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．19．（3分）设函数f （x ）＝x ﹣[x ]（x ≥0），其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[√3]=1，[2]＝2．若函数y ＝kx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是 ．20．（3分）已知函数f(x)={x +4x ，0＜x ＜4−x 2+10x −20，x ≥4，若有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的值为 ，若存在0＜x 1＜x 2＜x 3＜x 4，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 ． 三、解答题21．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，B ={x|1x−1＞0}． （1）求（∁R B ）∪A ；（2）若集合C ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）＜0}（a ∈R ），且C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 22．函数f （x ）=ax+b 1+x 2是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （12）=25．（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明f （x ）在（﹣1，1）上是增函数； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．23．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）={30，0＜x ≤302x +1800x −90，30＜x ＜100（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．24．设函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （f （x ））的定义域交集为D ，集合M 是由所有具有性质：“对任意的x ∈D ，都有f （f （x ））＝x ”的函数f （x ）组成的集合．（1）判断函数f （x ）＝2x ﹣1和g(x)=1x是不是集合M 中的元素？并说明理由． （2）设函数f （x ）∈M ，且f （x ）＝kx +b （k ≠0），试求函数f （x ）的解析式． （3）已知f(x)=axx+b ∈M ，试求实数a ，b 应满足的关系．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{3，5}．故选：C．2．【解答】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c，∴A正确．故选：A．3．【解答】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①y＝﹣x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上是减函数；对于②y=√x，在（0，+∞）上是增函数；对于③y=−1x，为反比例函数，在（0，+∞）上是增函数；对于④y＝|x|，当x＞0时，y＝x，即其在（0，+∞）上是增函数；故选：A．4．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）＝2，又由函数为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故选：B．5．【解答】解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，4），∴f（2）＝2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（x）在定义域先递减再递增，有最小值，故选：C．6．【解答】解：根据题意，a−2+4a=a+4a−2，又由a＞0，则a−2+4a=a+4a−2≥2√a×4a−2＝2，当且仅当a＝2时等号成立，即a−2+4a的最小值是2；故选：B．7．【解答】解：判断与y＝x（x≥0）是否有相同图象，即是判断哪个函数与y＝x（x≥0）表示同一个函数，A.y=√x2=|x|，解析式不同，不是同一个函数；B.y=x2x的定义域为{x|x≠0}，而y＝x（x≥0）的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C.y=√x23=x23，解析式不同，不是同一个函数；D.y=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，定义域和解析式都相同，是同一个函数．故选：D．8．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．9．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1 升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1 升，故行驶1 小时，路程为80km，燃油为8 升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．10．【解答】解：∵y＝x2和y＝x在（0，+∞）上都是增函数，要想函数f(x)={x2，x≥tx，0＜x＜t（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，只需在端点处y＝x2的图象在y＝x的上方即可，∴t2≥t解得t≥1，故选：D．11．【解答】解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则函数f （x ）是奇函数；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，即（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，∴x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2），即函数f （x ）是单调递减函数． 故f （x ）为定义域上的单调递减的奇函数．①f （x ）＝x 2在定义域R 是偶函数，所以不是“理想函数”；②f （x ）＝﹣x 3在定义域R 上是奇函数，且在R 上单调递减，所以是“理想函数”； ③f （x ）＝x −1x在定义域所在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递增，所以不是“理想函数”；④f （x ）={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故选：C ．12．【解答】解：集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }， 对于①，b ＝2n +1，n ∈Z ， 则恒有2n +1＝（n +1）2﹣n 2，∴2n +1∈M ，即P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，则P ⊆M ，①正确； 对于②，c ＝4n +2，n ∈Z ，若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2＝4n +2， ∴4n +2＝（x +y ）（x ﹣y ）， 又x +y 和x ﹣y 同奇或同偶，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除， ∴4n +2∉M ，即c ∉M ，②正确； 对于③，a 1∈M ，a 2∈M ，可设a 1＝x 12﹣y 12，a 2＝x 22﹣y 22，x i 、y i ∈Z ； 则a 1a 2＝（x 12﹣y 12）（x 22﹣y 22）＝（x 1x 2）2+（y 1y 2）2﹣（x 1y 2）2﹣（x 2y 1）2＝（x1x2+y1y2）2﹣（x1y2+x2y1）2∈M那么a1a2∈M，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选：C．二、填空题13．【解答】解：当m≥0时，∵函数在x≥0时，f（x）＝1，∴f（m）＝1≠4，不合题意舍去；当m≤0时，∵函数x＜0时，f（x）＝﹣2x，∴f（m）＝﹣2m＝4，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：设函数f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），由表中数据知1和4是方程f（x）＝0的两根，又f（2）＝﹣1＜0，故此二次函数是开口向上的抛物线，并且与X轴交于两点（1，0）和（4，0），∴不等式f（x）＜0的解集为1＜x＜4．故答案为：（1，4）．15．【解答】解：命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是全称命题，其否定为特称命题，∴命题“∀x∈R，|x|+1≥1”的否定是“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．故答案为：“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．16．【解答】解：根据题意，因为函数y＝f（x）（x≠0）是奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，即f（1）＝0；当x∈（0，+∞）时，函数y＝f（x）单调递增，且f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f （x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x）＜0，综合可得：不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．17．【解答】解：因x 2﹣2x ﹣3＞0得x ＜﹣1或x ＞3，又“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知“x ＜a ”可以推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”， 反之不成立． 则a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．18．【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴不等式mx 2﹣2mx +1＞0的解集为R ， ①m ＝0时，1＞0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，{m ＞0△=4m 2−4m ＜0，解得0＜m ＜1，∴实数m 的取值范围是[0，1）． 故答案为：[0，1）．19．【解答】解：画出f （x ）的示意图如下：当y ＝kx 过（3，1）时，k =13，当y ＝kx 过（4，1）时，k =14， 所以k ∈（14，13），故答案为：（14，13）．20．【解答】解：不妨设x 1、x 2、x 3、x 4按从左到右顺序排列： 如下图：当y＝4或5时，有且仅有不相等的三个正数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则当y＝4时，x1＝2，x2＝4，x3＝6，此时x1+x2+x3＝12；当y＝5时，x1＝1，x2＝4，x3＝5，此时x1+x2+x3＝11．如图，，结合上问可知，当y∈（4，5）时，存在0＜x1＜x2＜x3＜x4，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），不妨令此时y＝a，则对于x1、x2满足方程x+4x=a，即x2﹣ax+4＝0，所以x1x2＝4；对于x3、x4满足方程﹣x2+10x﹣20＝a，即﹣x2+10x﹣20﹣a＝0，所以x3+x4＝10，则有x4＝10﹣x3，所以x 1x 2x 3x 4＝4x 3x 4＝4x 3（10﹣x 3）＝﹣4（x 3﹣5）2+100，其中x 3∈（4，5），则﹣4（x 3﹣5）2+100∈（96，100），故答案为：12或11；（96，100）．三、解答题21．【解答】解：（1）A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞1}，∴∁R B ＝{x |x ≤1}，（∁R B ）∪A ＝{x |x ≤3}；（2）C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，且C ⊆A ，∴{a ≥1a +1≤3，解得1≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围为[1，2]．22．【解答】解：（1）由题意得{f(0)=0f(12)=25， 由此可解得{a =1b =0， ∴f(x)=x 1+x 2． （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则有f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)， ∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，1﹣x 1x 2＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴f （x ）在（﹣1，1）上是增函数．（3）f （t ﹣1）+f （t ）＜0，∴f （t ﹣1）＜﹣f （t ），即f （t ﹣1）＜f （﹣t ），∵f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴﹣1＜t ﹣1＜﹣t ＜1，解之得0＜t ＜12．23．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时，f （x ）＝2x +1800x −90＞40， 即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40−x 10； 当30＜x ＜100时， g （x ）＝（2x +1800x −90）•x %+40（1﹣x %）=x 250−1310x +58；∴g （x ）={40−x 10x 250−1310x +58； 当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．24．【解答】解：（1）对任意x ∈R ，f （f （x ））＝2（2x ﹣1）﹣1＝4x ﹣3≠x ，所以f （x ）不是集合M 中的元素；g 对任意x ≠0，（g （x ））=11x =x ，所以g （x ）是集合M 中的函数；（2）因为函数f （x ）∈M ，所以f （f （x ））＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +（k +1）b ＝x ， 所以k 2＝1，（k +1）b ＝0，解得k ＝1，b ＝0，或k ＝﹣1，b 取任何实数，则f （x ）＝x 或f （x ）＝﹣x +b ；（3）因为f(x)=ax x+b ∈M ，所以f （f （x ））=a⋅ax x+b ax x+b +b =x ，即（a +b ）x 2﹣（a 2﹣b 2）x ＝0恒成立，故a +b ＝0．。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京22中学2019-2020学年度第一学期期中试卷高一年级数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试用时100分钟． 考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共15小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1.若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B =I （ ） A. {}0,1,2,3,4 B. {}0,4C. {}1,2D. {}3【答案】C 【解析】 【详解】因{}1,2A B =I ，所以选C.考点：本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答好集合题目的关键.2.命题“对x R ∀∈，都有20x ≥”的否定为（ ） A. 对x R ∀∈，都有20x <B. x R ∃∉，使得20x <C. 0x R ∃∈，使得200x <D. 0x R ∃∈，使得200x ≥【答案】C 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可． 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对x R ∀∈，都有20x ≥”的否定为：0x R ∃∈，使得200x <．故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题． 3.设a ，b ，c ∈R ，且a b >，则（ ）A. ac bc >B.11a b< C. 22a b > D. 33a b >【答案】D 【解析】当0c =时，选项A 错误； 当1,2a b ==-时，选项B 错误； 当2,2a b ==-时，选项C 错误； ∵函数3y x =在R 上单调递增， ∴当a b >时，33a b >． 本题选择D 选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 【此处有视频，请去附件查看】4.下列函数中与函数y x =是同一函数的是（ ）A. y x =B. y =C. y =D.2x y x= 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断函数的定义域和对应法则是否和y x =一致即可．【详解】解：A ．函数y x =，当0x <时，y x =-，对应法则不一样．不是同一函数；B ．函数y x ==的定义域为R ，和y x =的定义域相同，对应法则相同．是同一函数；C ．函数y x ==，对应法则不相同．不是同一函数；D ．函数2x y x=的定义域{|0}x x ≠，和y x =的定义域不相同．不是同一函数．故选B ．【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同．5.函数()12f x x=-的定义域是（ ） A. [)1,-+∞ B. [)()1,22,-⋃+∞C. (),-∞+∞D. [)1,2-【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，得到关于x 的不等式组，解出即可． 【详解】解：由题意得：1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x ≥-且2x ≠，故函数的定义域是[1,2)(2,)-+∞U ， 故选B ．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．6.若函数()f x 满足()211f x x -=+，则()1(f -= )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 满足()211f x x -=+，令0x =，可得()1f -的值．【详解】Q 函数()f x 满足()211f x x -=+，令0x =， 则()11f -=， 故选A ．【点睛】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 7.下列函数中，定义域为R 的单调递减函数是（ ） A. 2y x =-B. 1y x=C. y x =D.21y x =-+【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数、反比例函数、含绝对值函数和一次函数的单调性和定义域进行判断每个选项的正误即可．【详解】解：A ．2y x =-在R 上先增后减，不是单调函数，∴该选项错误； B ．1y x=的定义域是{|0}x x ≠，不是R ，∴该选项错误； C ．y x =在R 上先减后增，不是单调函数，∴该选项错误； D ．21y x =-+的定义域为R 且单调递减，∴该选项正确． 故选D ．【点睛】考查基本初等函数的单调性和定义域，是基础题． 8.“x a >”是“x a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.【详解】当“x a >”时，如1,1x a ==-，x a =，故不能推出“x a >” .当“x a >”时，必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题. 9.函数||x y x x=+的图象是（ ） A. B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图像上两个点()()1,2,1,2--，选出正确选项. 【详解】由于函数||x y x x=+经过点()()1,2,1,2--，只有C 选项符合. 故选C.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题.10.设函数f (x )＝21,1,2,1,x x x x⎧+≤⎪⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )A.15B. 3C.23D.139【答案】D 【解析】【详解】()231,33f >∴=Q , 22213((3))()()1339f f f ==+=,故选D.【此处有视频，请去附件查看】 11.是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A. ()()0f x f x -+=B. ()()2()f x f x f x --=-C. ()()0f x f x -≤D.()1()f x f x =-- 【答案】D 【解析】【详解】考点：函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：由函数为奇函数，可得到f （-x ）=-f （x ）且f （0）=0，通过加减乘除来变形，可得到结论．解答：解：∵f（x ）是定义在R 上的奇函数 ∴f（-x ）=-f （x ）且f （0）=0 可变形为：f （-x ）+f （x ）=0 f （-x ）-f （x ）=-2f （x ） f （x ）f （-x ）≤0 而由f （0）=0 由知D 不正确． 故选D点评：本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形，数学建模，用模，解模的意识要加强，每一个概念，定理，公式都要从模型的意识入手．12.已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( )A. 10-B. 6-C. 4-D. 2-【答案】A 【解析】()28242f a b -=---=，则826a b +=-，所以()28246410f a b =+-=--=-，故选A ．13.幂函数24m m y x =－（m Z ∈）的图象如图所示，则m 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，然后逐一代入验证即可得【详解】解：由函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小于0， 当0m =时，240m m -=，不合题意；当1m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意；当2m =时，244m m -=-，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意； 当3m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意． ∴m 的值为2． 故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的图象，考查了幂函数的性质，训练了代入验证法，是基础题． 14.函数()f x 是定义在[]6,6-上的偶函数,且在[]6,0-上单调递减,则一定有（ ） A. ()()340f f +>B. ()()320f f ---<C. ()()410f f -->D. ()()250f f -+-<【答案】C 【解析】 【分析】根据函数在[]6,0-上的单调性，得出(4)f -与(1)f -的大小关系，再结合()f x 为偶函数得到(4)f 与(1)f -的大小关系．而其它各项由于条件不足，不能判定它们的正误，由此可得答案．【详解】解：∵函数()f x 在[]6,0-上单调递减， ∴由41-<-可得(4)(1)f f ->-， ∵函数()f x 为偶函数，可得(4)(4)f f -=，f (4)f (1)∴>-，移项得()()410f f -->，得C 项正确；对于A 、D ，条件不足，无法判断()()34f f +和()()25f f -+-的正负值； 对于C ，32-<-，可得(3)(2)f f ->-，()()320f f ∴--->，得B 项错误.【点睛】本题给出函数的奇偶性和单调性，要求判断几个函数值的不等式的正误．着重考查了函数的简单性质和函数值比较大小等知识，属于基础题．15.已知函数f(x)＝224,04,0x x x x x x ⎧+≥⎨-<⎩若f(4－a)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，2) B. (2，＋∞)C. (－∞，－2)D. (－2，＋∞)【答案】A 【解析】 【分析】画出f(x)的图像，得函数f(x)在R 上递增，再利用函数的单调性解不等式f(4－a)＞f(a)得解.【详解】画出f(x)的图像如下，所以函数f(x)在R 上单调递增， 故f(4－a)＞f(a)⇔4－a ＞a ，解得a ＜2. 故答案为A【点睛】本题主要考查函数的单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷二、填空题16.计算：⎛⎫ ⎪⎝⎭3225=4______．【答案】1258【解析】 【分析】将分数指数幂转化为根式形式计算即可.【详解】解：⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3332255125428，故答案为1258【点睛】本题考查分数指数幂的计算，是基础题.17.已知0,0a b b +><，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是______．（用“>”号连接） 【答案】a b b a >->>- 【解析】 【分析】利用不等式的性质，及不等式的符号法则，先把正数的大小比较出来，再把负数的大小比较出来．【详解】解：∵0,0a b b +><，0,0a b a b ∴>->-<<，0a b b a ∴>->>>-，即a b b a >->>-． 故答案为a b b a >->>-.【点睛】在限定条件下，比较几个式子的大小，可以利用不等式的性质及符号法则直接推导． 18.若0x >,则2x x+的最小值为______，此时x =______． 【答案】(1).【解析】 【分析】直接利用基本不等式求最值即可.【详解】解：2x x +≥，当且仅当2x x=，即x =时，等号成立，故答案为；.【点睛】本题考查基本不等式求最小值，是基础题.19.函数()223x x x f =-+在[]0,3x ∈上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M N +=______．【答案】8 【解析】 【分析】求出()f x 的对称轴，可得在区间[]0,3上的单调性，可得最值，即可得到M N +的值． 【详解】函数()223x x x f =-+的对称轴为1x =，对称轴在区间[]0,3里面，即有()f x 在区间[]0,1上递减，在区间(]1,3递增， 可得最小值(1)2N f ==； 最大(3)6M f ==， 可得8M N +=． 故答案为8．【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意确定对称轴和区间的位置关系，考查运算能力，属于基础题．20.()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞-上单调递减，则a 的取值范围是______．【答案】5a ≤ 【解析】 【分析】若()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞-上单调递减，可得对称轴和区间的位置关系，进而可列不等式解得答案．【详解】解：函数()()2212f x x a x =+-+的图象是开口朝上，且以直线1x a =-为对称轴的抛物线，若()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞-上单调递减， 则14a -≥-，解得：5a ≤，故答案为5a ≤．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴和区间的关系是解答的关键21.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x －2)<f(1－x)，则x 的取值范围是________．【答案】[1，32) 【解析】【分析】 由题意得12111121x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解不等式组即得解.【详解】由题意，得12111121x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩,解得1≤x <32， 故满足条件的x 的取值范围是1≤x <32. 故答案为[1，32) 【点睛】(1)本题主要考查函数的单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则，不要漏掉了函数的定义域. 22.设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(2)0f =，则满足()0xf x >的x 的取值范围是__________． 【答案】(2,0)(0,2)-U . 【解析】 【分析】结合奇偶性和单调性求解不等式的范围【详解】()f x 在()0,+∞上是减函数，()20f =，故()0,2x ∈时，()()20f x f <=．()2,x ∈+∞时，()()20f x f <=．同理()2,0x ∈-时，()()20f x f <-=，(),0x ∈-∞时，()()20f x f >-=．由上可知()()2,00,2x ∈-⋃时，()0x f x ⋅>．【点睛】本题考查了抽象函数解不等式问题，结合奇偶性和单调性分类得出不等式的解集，需要掌握此类题目的解题方法23.设函数()3,2,x x a f x x x a⎧≤=⎨->⎩．①若0a =，则()f x 的最大值为______；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是______．【答案】 (1). 0 (2). (,0)-∞【解析】【分析】①当0a =时，研究其单调性，根据单调性求出最大值；②若()f x 无最大值，则302a a a<⎧⎨->⎩，解不等式组即可得答案． 【详解】解：①若0a =，则()3,02,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩， 当0x ≤时，3()f x x =，此时函数为增函数，当0x >时，()2f x x =-，此时函数为减函数，故当0x =时，()f x 的最大值为()00f =；②当0a >时，()3,2,x x af x x x a ⎧≤=⎨->⎩图像如图所示：由图可知存在最大值；当0a <时，()3,2,x x af x x x a ⎧≤=⎨->⎩图像如图所示：由图可知此时不存在最大值；由（1）知当0a =时，函数()f x 有最大值，综上所述，若()f x 无最大值，则0a <．故答案为0；(,0)-∞.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，难度中档．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）24.已知全集U =R ，集合{}13A x x =-<<，{}2320B x x x =-+>（1）求A B I ；（2）求()U C A B U【答案】（1）{|11x x -<<或23}x <<；（2）{|1x x <或}2x >【解析】【分析】（1）根据二次不等式解出集合B ，再由集合B ，最后求交集即可．（2）根据并集、补集的意义直接求解．【详解】解：（1）由已知{}{23201B x x x x x =-+>=<或}2x >， {}{131A B x x x x ⋂=-<<⋂<或}2x >={|11x x -<<或23}x <<．（2）{|1U C x A x =≤-Q 或3}x ≥，(){|1U A B C x x ∴=≤-⋃或{3}1x x x ≥⋃<或}{2|1x x x >=<或}2x >．【点睛】本题考查简单的一元二次不等式，以及集合的运算问题，较容易，属基本题．25.某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【答案】（1）见解析；（2）2.8万元【解析】试题分析：（1）由于A 产品的利润y 与投资量x 成正比例，B 产品的利润y 与投资量x 的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10﹣x 万元，设企业利润为y 万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f （x ）万元，B 产品的利润为g （x ）万元． 由题意设f （x ）=k 1x ，．由图知，∴ 又g （4）=1.6，∴．从而，（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10﹣x 万元，设企业利润为y 万元． （0≤x≤10） 令，则= 当t=2时，，此时x=10﹣4=6答：当A 产品投入6万元，则B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．26.已知函数()1=+x f x x ． （1）用函数单调性的定义证明函数()f x 在区间()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]0,3上的最大值和最小值；（第（．．2．）小题直接写出答案即可．．．．．．．．．．．） （3）若对任意[)1,x ∈+∞，()21>+f x a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为0，最大值34；（3）14a <- 【解析】【分析】 （1）根据函数单调性的定义，先任取121x x -<<，然后作差，变形，判断符号，得出结论即可；（2）根据函数的单调性来求函数在给定区间上的最值问题；（3）将问题转化为()min 21f x a >+，根据()f x 的单调性求出最小值，进而可以求出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）()f x 在()1,-+∞上为增函数，证明如下：任取121x x -<<，则()()()()12121212121111x x x x f x f x x x x x --=-=++++； 121x x -<<Q ， 121210,10,0x x x x ∴+>+>-<()()120f x f x ∴-<，()()12f x f x ∴<所以，()f x 在()1,-+∞上为增函数．（2）由（1）知()f x 在[]0,3上单调递增，∴()f x 的最小值为(0)0f =，最大值3(3)4f =； （3）对任意[)1,x ∈+∞，()21>+f x a 恒成立即()min 21f x a >+，由（1）知()f x 在[)1,+∞上单调递增， ()min 1(1)2f x f ∴==，1212a ∴>+， 解得：14a <-. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义、函数的最值问题，属于基础题．。

北京市2019学年高一上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 如果A=（-1，+∞），那么正确的结论是（）A. 0 AB. {0} AC. {0} AD.2. 函数f（x）= ，则 =（）A. 0B. -C.D. -3. 与函数y=lg（x-1）的定义域相同的函数是（）A. y=x-1B. y=|x-1|C. y=D. y=4. 若函数 f(x)= + 与 g(x)= 的定义域均为 R ，则A. f(x) 与 g(x) 均为偶函数B. f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数C. f(x) 与 g(x) 均为奇函数D. f(x) 为偶函数． g(x) 为奇函数5. 设a=lg 0.2，b= ，c= ，则（）A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a6. 若指数函数y= 在（-∞，+∞）上是减函数，那么（）A. 0<a<1B. -1<a<0C. a=-1D. a<-17. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A．B．C．D．8. 已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时f（x）=2 -2，则f（x）<0的解集是（）A. （-1，0）________B. （0，1）________C. （-1，1）________D. （-∞，-1）（1，+∞）9. 某商店卖出两套不同品牌的西服，售价均为1680元。

以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店（）A. 不亏不盈________B. 盈利372元C. 亏损140元________D. 盈利140元10. 设函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则（）A. B.C. D.二、填空题11. = _______ 。

12. 已知函数为奇函数，若，则．13. 函数f（x）= 在区间（-∞，-1]上是增函数，则实数a的取值范围为_____ 。

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B ＝（）A．{2，3，4，5}B．{3}C．{1，4，5}D．{1，3，4，5}2．（5分）函数f(x)=√x−1x−2的定义域是（）A．R B．{x|x＞2}C．{x|x≥1}D．{x|x≥1且x≠2} 3．（5分）若a＞b，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．1a ＜1b4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝|x|C．y＝2x+1D．y=−√x 5．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞06．（5分）下列函数中：①y=2x②y=1(x+1)2③y＝x2+1④f(x)={x+1，x＜01−x，x＞0偶函数的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）9．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1C．f(x)=4x D．f（x）＝x﹣|x|10．（5分）函数f（x）=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁U A ）∩B ＝ ．12．（5分）已知f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （f （﹣1））的值为 ．13．（5分）函数y ＝x 2+3x ﹣1，x ∈[﹣2，3]的值域是 ． 14．（5分）若x ＞0，则f(x)=4x +19x的最小值为 ． 15．（5分）若二次函数f （x ）的图象关于x ＝2对称，且f （a ）≤f （0）＜f （1），则实数a 的取值范围是 ．16．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i ）男学生人数多于女学生人数； （ii ）女学生人数多于教师人数； （iii ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ． 三.解答题：本大题共3小题，共30分17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，B ＝{x |x 2+4x +3＜0}，C ＝{x |2k ﹣1＜x ＜2k +3}． （1）求A ∪B ；（2）若C ⊆A ∪B ，求实数k 的取值范围． 18．（8分）已知a ，b ＞0，证明：a 3+b 3≥a 2b +ab 2．19．（12分）已知函数f（x）=2x−1a，g(x)=2x−1a（a∈R，a≠0）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20．（4分）已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝．21．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集是．22．（4分）已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是．（只填写序号）23．（4分）设f(x)={(x−a)2，x≤0 x+1x，x＞0．（1）当a=12时，f（x）的最小值是；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是．24．（4分）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．（10分）已知函数f（x）＝x2+a|x﹣1|．（1）当a＝2时，解方程f（x）＝2；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．26．（10分）设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”．（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．【解答】解：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}， ∴A ∩B ＝{3}． 故选：B ．2．【解答】解：函数f(x)=√x−1x−2中， 令{x −1≥0x −2≠0， 解得x ≥1且x ≠2，所以函数f （x ）的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}． 故选：D ．3．【解答】解：由a ＞b ，可得ac 与bc 大小关系不确定，ac 2≥bc 2，a +c 2＞b +c 2，1a与1b 的大小关系不确定． 因此只有C 确定． 故选：C ．4．【解答】解：由二次函数的性质可知，y ＝x 2﹣2x 在（0，+∞）上先减后增，故A 错误； y ＝|x |在（﹣∞，0）上为减函数，（0，+∞）上为增函数，故B 错误； 由一次函数的性质可知，y ＝2x +1在（0，+∞）上为增函数，故C 错误；由幂函数的性质可知，y =√x 在（0，+∞）上为增函数，从而有y =−√x （0，+∞）上为减函数，故D 正确； 故选：D ．5．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0 故选：B ．6．【解答】解：①由y =2x =f （x ），可得f （﹣x ）=−2x =−f （x ），即不为偶函数； ②f （x ）=y =1(x+1)2的定义域为{x |x ≠﹣1}，关于原点不对称，不是偶函数；③由二次函数的性质可知，y ＝x 2+1的图象关于y 轴对称，为偶函数； ④由f(x)={x +1，x ＜01−x ，x ＞0可得f （﹣x ）={1+x ，x ＜0−x +1，x ＞0=f （x ）是偶函数．故选：C．7．【解答】解：∵x2﹣x＞0⇔x＞1或x＜0，∴当x＞1时，x2﹣x＞0成立，当x2﹣x＞0时，x＞1不一定成立，∴“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件．故选：A．8．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x﹣3，∴f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，由函数零点判定定理可知，函数在（1，2）上一定存在零点．故选：B．9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝（x+2）2，f（2x）＝（2x+2）2＝4（x+1）2，2f（x）＝2（x+2）2，f（2x）≠2f（x）；对于B，f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1，2f（x）＝2（x+1）＝2x+2，f（2x）≠2f（x）；对于C，f（x）=4x，f（2x）=42x=2x，2f（x）=8x，f（2x）≠2f（x）；对于D，f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2x﹣2|x|，2f（x）＝2x﹣2|x|，f（2x）＝2f（x），符合题意；故选：D．10．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）=bc2＞0，∴b＞0，由f（x）＝0得ax+b＝0，即x=−b a，即函数的零点x=−ba＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合∁U A＝{x|x≤0或x≥2}，所以集合（∁U A ）∩B ＝{﹣3，﹣1，3}． 故答案为：{﹣3，﹣1，3}． 12．【解答】解：根据题意，f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （﹣1）＝3×（﹣1）2＝3， 则f （f （﹣1））＝f （3）＝2×3﹣1＝5； 故答案为：5．13．【解答】解：因为y ＝x 2+3x ﹣1，所以函数对称轴为x =−32，因为x ∈[﹣2，3]，所以当x =−32时，y 的值最小为(−32)2+3×(−32)−1=−134， 当x ＝3时，y 的值最大为32+9﹣1＝17， 所以函数的值域为[−134，17]． 故答案为：[−134，17]． 14．【解答】解：∵x ＞0，∴4x +19x ≥2√4x ⋅19x =43（当且仅当4x =19x 即x =16时，取“＝”号）， ∴当x =16时，f （x ）最小值为43．故答案为：43．15．【解答】解：由题意可知二次函数f （x ）的对称轴为x ＝2， 因为f （0）＜f （1），所以f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，所以二次函数f （x ）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． ①当a ∈（﹣∞，2）时：{a ＜2a ≤0，解得a ≤0．②当a ∈（2，+∞）时：因为f （4）＝f （0）， 所以{a ＞2a ≥4，解得a ≥4．综上所求：a ≤0或a ≥4． 故答案为：a ≤0或a ≥416．【解答】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则{x＞yy＞42×4＞x，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则{x＞yy＞z2z＞x，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12三.解答题：本大题共3小题，共30分17．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x2+4x+3＜0}＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，则A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）由C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}，且C⊆A∪B，令2k﹣1≥3或2k+3≤﹣1，解得k≥2或k≤﹣2，所以实数k的取值范围是k≤﹣2或k≥2．18．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，（a﹣b）2≥0，∴（a﹣b）2（a+b）≥0，则有a3+b3≥a2b+b2a．19．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）=2x−1．∵f（x）＞0，∴2x−1＞0，∴0＜x＜2，∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}；（2）f （x ）+g （x ）=2x −1a +2x −1a =2x +2x −2a， ∵f （x ）+g （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴2a ≤2x+2x 在（0，+∞）上恒成立，∴只需2a≤(2x+2x)min ．∵当x ＞0时，2x+2x ≥2√2x⋅2x =4，当且仅当x ＝1时取等号，∴(2x +2x)min =4，∴2a≤4，∴a ＜0或a ≥12，∴a 的取值范围为（﹣∞，0）∪[12，+∞）．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 20．【解答】解：∵M ＝{0，1，2，3}，N ＝{0，2，4，6}， ∴M ∩N ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．21．【解答】解：根据绝对值的意义可得，|x ﹣1|+|x +2|表示数轴上的x 对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而﹣3、2对应点到1和﹣2对应点的距离之和正好等于5， 故不等式|x ﹣1|+|x +2|≤5的解集是[﹣3，2]， 故答案为：[﹣3，2]．22．【解答】解：已知x ＞y ＞z ，x +y +z ＝0，则①x ＞0，y ＞0，z ＜0，②x ＞0，y ＜0，z ＜0，③x +z ＝0，y ＝0．所以①xz ＜yz 正确．②xy ＞yz ，不正确．③xy ＞xz ，正确．④x |y |＞z |y |，不正确． 故答案为：①③．23．【解答】解：（1）当a =12时，当x ≤0时，f （x ）＝（x −12）2≥（−12）2=14， 当x ＞0时，f （x ）＝x +1x≥2√x ⋅1x=2，当且仅当x ＝1时取等号， 则函数的最小值为14，（2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件．若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数， 则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2，要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2≤2，即0≤a ≤√2， 即实数a 的取值范围是[0，√2]， 故答案为：14，[0，√2]．24．【解答】解：解：由题意集合M ＝{x ∈N *|1≤x ≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A 1＝{1，4，5，6，7}，A 2＝{3，12，13，14，15}，A 3＝{2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3取最小值：X 1+X 2+X 3＝8+18+13＝39，当A 1＝{1，4，5，6，15}，A 2＝{2，7，8，9，14}，A 3＝{3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3＝16+16+16＝48，当A 1＝{1，2，3，4，15}，A 2＝{5，6，7，8，14}，A 3＝{9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3取最大值：X 1+X 2+X 3＝16+19+22＝57， ∴X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为：39+57＝96． 故答案为：96．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2+2|x ﹣1|＝2． 当x ＜1时，x 2+2（1﹣x ）＝2，x 2﹣2x ＝0，得x ＝0； 当x ≥1时，x 2+2（x ﹣1）＝2，x 2+2x ﹣4＝0，得x =√5−1． 综上，方程f （x ）＝2的解为x ＝0或x =√5−1．（2）x ≥1时，f （x ）＝x 2+a （x ﹣1）＝x 2+ax ﹣a 在[1，+∞）上单调递增， 则x =−a2≤1，故a ≥﹣2； 0≤x ＜1时，f （x ）＝x 2﹣ax +a ，x =a2≤0，故a ≤0． 且1﹣a +a ≤1+a ﹣a 恒成立．综上，实数a 的取值范围是[﹣2，0]．26．【解答】解：（1）若f （x ），g （x ）为任意一对“K 函数”，求d 的值；由f （x ）＝x +1＝0，得x ＝﹣1，所以g （f （﹣1））＝g （0）＝1，故x ＝﹣1不是g （f （x ））的零点，故不满足②，所以不是一对“K 函数”，（2）设r 为方程的一个根，即f （r ）＝0，则由题设得g （f （r ））＝0． 于是，g （0）＝g （f （r ））＝0，即g （0）＝d ＝0．所以d ＝0，反之g （f （x ））＝f （x ）[f 4（x ）+bf （x ）+cf （x ））＝0，则f （x ）＝0成立，故d ＝0；（3）因为d ＝0，由a ＝1，f （1）＝0得b ＝﹣c ，所以f （x ）＝bx 2+cx ＝﹣cx （x ﹣1），g （f （x ））＝f （x ）[f 2（x ）﹣cf （x ）+c ]， 由f （x ）＝0得x ＝0，1，可以推得g （f （x ））＝0，根据题意，g （f （x ））的零点均为f （x ）的零点，故f 2（x ）﹣cf （x ）+c ＝0必然无实数根 设t ＝﹣cx （x ﹣1），则t 2﹣ct +c ＝0无实数根，当c ＞0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≤c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24， 所以h （t ）min ＝h （c4）＞0，即c 216−c 24+c ＞0，解得c ∈（0，163），当c ＜0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≥c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24，所以h （t ）min ＝h （c2）＞0，即c −c 24＞0，解得c ∈（0，4），因为c ＜0，显然不成立，当c ＝0时，b ＝0，此时f （x ）＝0在R 上恒成立，g （f （x ））＝c ＝0也恒成立， 综上：c ∈[0，163）．。

2019北京二中教育集团高一（上）期中数学一、选择题（每小题6分，共60分）1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}2．若集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2+2}，则A∩B等于A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．[2，＋∞) D．φ3. 下列各组函数表示同一函数的是A. f(x)=√x2,g(x)=(√x)2B. f(x)=x+1,g(x)=x2−1x−1C. f(x)=x2,g(x)=(x+1)2D. f(t)=|t|,g(x)=√x24．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有A．②B．②③C．①②③D．①②③④5．已知函数y=√1−x2x2−3x−2的定义域为A．(−∞，1]B．(−∞，2]C．(−∞，−12)∩(−12，1]D．(−∞，−12)∪(−12，1]6. 函数f(x)=|x−2|x的单调递减区间是A．[1,2]B．[−1,0]C．(0,2]D．[2，+∞) 7．已知函数f(x)=4x2−mx+5在区间[−2，+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是A．f(1)≥25B．f(1)=25C．f(1)≤25D．f(1)>258.“不等式x2−x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是A. m>14B. m>0C. 0<m<1D. m>09．下列说法正确的个数有①若a>b,则1a <1b②若c>a>b>0，则ac−a >bc−b③若a<0,−1<b<0,则ab2>a④若m>0,b>a>0,则b+ma+m >ba⑤当x>0时，x2+1x2+1的最小值为1A．1 B．2 C．3 D．410．已知x>0，y>0，且2x +1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是A．(−∞，−2]∪[4，+∞)B．(−∞，−4]∪[2，+∞)C．(−2,4)D．(−4,2)二、填空题（每小题6分，共36 分）11．“∀x>0,x2−2x+1≥0”的否定是_____________________．12．若函数f(x)满足f(3x+2)9x+8，则f(x)的解析式是____________________．13．设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(m−1)>f(2m−1)，则实数m的取值范围是_________________．14．已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为(−13,12)，则不等式cx2+2x+a<0的解集为________________．15．已知关于x的不等式ax2+ax+1>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．16．设函数y=x2−2x,x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)=_____________．三、解答题（共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题14分）已知集合A={x|xx−1≥0,x∈R},B={x|x2−2ax+a2−1≤0}(1)若a=2，求AIB(2)若AUB=A，求实数a的取值范围18．（本小题 14分）若二次函数满足f(x+1)−f(x)=2x且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围．19. （本小题14分）已知函数f(x)=x−a在区间(1,+∞)上单调递增x−1(1)利用函数的单调性定义求出实数a的取值范围；(2)若对∀x1,x2∈[2,a+2]都有|f(x1)−f(x2)|≤1成立，求实数a的最大值.20. （本小题12分）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点P在矩形的边上沿A→B→C→D运动，与此同时动点M在CD边上由C 向D运动，速度是点P的四分之一，记∆APM的面积为y，点P经过的路程为x.(1)求y关于x函数关系式y=f(x);(2)画出函数y=f(x)的图象，并结合图象求出∆APM面积的最大值和相应的x的值.word下载地址。

北京市第二中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题一、选择题1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（ ）．A ．{}1,3B ．{}3,9C ．{}3,5,9D ．{}3,7,92．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[](2)f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ． 23．为了得到函数133xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(],1-∞-上是增函数，则（ ）．A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x =B ． 1()f x x -=C ．12()f x x =D ．3()f x x =6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）．A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x A ．(1),-∞B ．(3,)+∞C ．(1,2)D ．(2,3)8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称； （3）[]643log log (log 81)1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(8)f =__________．10．函数()f x =的定义域是__________．11．已知函数3()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可）14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t（年）的函数图像（如图）以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 三、解答题 15．计算：（1）2103227161)-+-． （2）7log 2222632log 3log log 778-+-．16．已知函数()f x =A ，{}B x x a =<．（1）若全集{}4U x x =≤，求U C A ． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．17．已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式．18．已知函数22()log (4)f x x =-． （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值．19．设函数()(0)y f x x x =∈≠R 且，对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=． （1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．北京市第二中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（ ）．A ．{}1,3B ．{}3,9C ．{}3,5,9D ．{}3,7,9【答案】B 【解析】2．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[](2)f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ． 2【答案】D 【解析】3．为了得到函数133x y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度【答案】D 【解析】4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(],1-∞-上是增函数，则（ ）．A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x =B ． 1()f x x -=C ．12()f x x =D ．3()f x x =【答案】B【解析】6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）．A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x A ．(1),-∞B ．(3,)+∞C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称； （3）[]643log log (log 81)1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C 【解析】二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(8)f =__________．【解析】10．函数()f x =的定义域是__________．【答案】2,13⎛⎤⎥⎝⎦【解析】11．已知函数3()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 【答案】(3,2) 【解析】12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 【答案】1 【解析】13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可） 【答案】指数函数或值为1或0的常函数 【解析】14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t（年）的函数图像（如图）以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 【答案】②④【解析】三、解答题 15．计算：（1）2103227161)-+-． （2）7log 2222632log 3log log 778-+-． 【答案】（1）334（2）1【解析】16．已知函数()f x =A ，{}B x x a =<．（1）若全集{}4U x x =≤，求U C A ． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）{}234U C A x x x =-<或≤≤ （2）3a >【解析】17．已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式．【答案】（1）2(5)3f =-（2）证明略 （3）0x >时，1()1xf x x-=+ 【解析】18．已知函数22()log (4)f x x =-． （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值． 【答案】（1）(2,2)- （2）当0x =时，()f x 的最大值是2【解析】19．设函数()(0)y f x x x =∈≠R 且，对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=．（1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．【答案】见解析【解析】（1）证略（2）证略（3x <<且0x ≠且12x ≠。

2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．（5分）设集合M ＝{m ∈Z |﹣3＜m ＜2}，N ＝{n ∈Z |﹣1≤n ≤3}，则M ∩N ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，0，1}C ．{0，1，2}D ．{﹣1，0，1，2}2．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ） A ．y =|x|x 与y ＝1 B ．y =√(x −1)2与y ＝x ﹣1 C ．y =x 2x 与y ＝xD ．y =x 3+xx 2+1与y ＝x 3．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（ ） A ．y ＝﹣x +1B ．y ＝x 2﹣4x +5C ．y =√xD ．y =1x4．（5分）命题“对任意a ∈R ，都有a 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0 B ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0 C ．存在a ∈R ，使得a 2≥0D ．存在a ∉R ，使得a 2＜05．（5分）已知函数f （x ）的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f [f （13）]＝（ ）A ．−13B ．13C ．−23D ．236．（5分）已知a ，b 是实数，则“a ＞b ＞0且c ＜d ＜0”是“ad＜b c ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知集合M ={x ∈R |#/DEL/##/DEL/#5−|2x −3|为正整数}，则M 的所有非空真子集的个数是（ ） A ．30B ．31C ．510D ．511二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 9．（5分）方程组{3x +y =22x −3y =27的解集用列举法表示为 ．10．（5分）已知函数f(x)={x +2，x ≤0−x +2，x ＞0，则方程f （x ）＝x 2的解集为 ．11．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 12．（5分）若函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣1）x +2在区间（1，4）上不是单调函数，那么实数a 的取值范围是 ．13．（5分）几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ）时给出了下面几个结论： ①函数f （x ）的值域为（﹣1，1）； ②若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）； ③f （x ）在（0，+∞）是增函数；④若规定f 1（x ）＝f （x ），且对任意正整数n 都有：f n +1（x ）＝f （f n （x ）），则f n (x)=x1+n|x|对任意n ∈N *恒成立．上述结论中正确结论的序号为 ．14．（5分）函数f （x ）＝2x 2﹣4x +1，g （x ）＝2x +a ，若存在x 1，x 2∈[12，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．（10分）设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2﹣7x +3≤0}，B ＝{x |x 2+a ＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．16．（10分）已知二次函数f（x）＝x2+2bx+c（b，c∈R）．（1）已知f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤1}，求实数b，c的值；（2）已知c＝b2+2b+3，设x1、x2是关于x的方程f（x）＝0的两根，且（x1+1）（x2+1）＝8，求实数b的值；（3）若f（x）满足f（1）＝0，且关于x的方程f（x）+x+b＝0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b的取值范围．17．（10分）已知函数f(x)=x+4 x．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）指出该函数在区间（0，2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数g(x)={f(x)，x＞05，x=0−f(x)，x＜0，当x∈[﹣1，t]时g（x）的取值范围是[5，+∞），求实数t的取值范围．（只需写出答案）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．（6分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如表：x123f（x）213x123g（x）321则方程g[f（x）]＝x+1的解集为（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3} 19．（6分）已知f（x）是定义在（﹣4，4）上的偶函数，且在（﹣4，0]上是增函数，f（a）＜f（3），则a的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣4，﹣3）∪（3，4）20．（6分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +5在x ∈[1，3]上有零点，则正数a 的所有可取的值的集合为（ ） A ．[73，3]B ．[√5，+∞)C ．[√5，3]D ．(0，√5]五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 21．（6分）已知函数f(x)=√1−x +√x +3，则函数f （x ）的最大值为 ，函数f （x ）的最小值点为 ．22．（6分）关于x 的方程g （x ）＝t （t ∈R ）的实根个数记为f （t ）． （1）若g （x ）＝x +1，则f （t ）＝ ；（2）若g(x)={x ，x ≤0，−x 2+2ax +a ，x ＞0，（a ∈R ），存在t 使得f （t +2）＞f （t ）成立，则a 的取值范围是 ．23．（6分）对于区间[a ，b ]（a ＜b ），若函数y ＝f （x ）同时满足： ①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ），x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]， 则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间． （1）写出函数y ＝x 2的一个“保值”区间为 ；（2）若函数f （x ）＝x 2+m （m ≠0）存在“保值”区间，则实数m 的取值范围为 ． 六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．（14分）已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数． （1）若函数f （x ）＝[x ]，求f （1.2），f （﹣1.2）的值； （2）若函数f(x)=[x+12]−[x2](x ∈R)，求f （x ）的值域； （3）若存在m ∈R 且m ∉Z ，使得f （m ）＝f （[m ]），则称函数f （x ）是Ω函数，若函数f(x)=x +ax是Ω函数，求a 的取值范围．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{﹣1，0，1}，故选：B．2．【解答】解：针对选项A：y=|x|x的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为x∈R，故错误．对于选项B：y=√(x−1)2=|x−1|和函数y＝x﹣1不相等，故错误．对于选项C：y=x2x的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为x∈R，故错误．对于选项D：y=x3+xx2+1的定义域为x∈R，函数y＝x的定义域为x∈R，故正确．故选：D．3．【解答】解：对于选项：A由于y＝﹣x+1在实数范围内为减函数，故错误．对于选项：B由于函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，该函数为开口方向向上，对称轴为x ＝2的抛物线，故函数的图象在（0，2）上单调递减，故错误．对于选项：C函数的图象为第一象限内的幂函数，由于α=12，所以函数的图象单调递增，故正确．对于选项：D函数的图象为双曲线，所以函数y=1x在（0，2）上单调递减，故错误．故选：C．4．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为：存在a0∈R，使得a02＜0．故选：B．5．【解答】解：由图象知f（x）={x+1(−1＜x＜0) x−1(0＜x＜1)∴f(13)=13−1=−23，∴f(f(13))=f(−23)=−23+1=13． 故选：B ．6．【解答】解：当c ＜d ＜0，所以1d＜1c ＜0，故−1d ＞−1c ＞0，由于a ＞b ＞0， 所以−ad ＞−bc ＞0， 故ad＜b c ．但是a d＜b c，整理得ac−bd cd＜0，整理不出a ＞b ＞0且c ＜d ＜0．故“a ＞b ＞0且c ＜d ＜0”是“ad＜b c ”的充分而不必要条件． 故选：A ．7．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图， 可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项， 故选：C ．8．【解答】解：集合M ={x ∈R |#/DEL/##/DEL/#5−|2x −3|为正整数}，故5﹣|2x ﹣3|＞0，整理得|2x ﹣3|＜5，即﹣5＜2x ﹣3＜5， 解得﹣1＜x ＜4， 由于集合M 为正整数，所以M ＝{−12，0，12，1，32，2，52，3，72}，故集合M 的所有非空真子集的个数是29﹣2＝510． 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 9．【解答】解：{3x +y =22x −3y =27整理得{9x +3y =62x −3y =27，解得{x =3y =−7，转换为列举法为{（3，﹣7）}． 故答案为：{（3，﹣7）}．10．【解答】解：根据函数的解析式f(x)={x +2，x ≤0−x +2，x ＞0，当x≤0时，x+2＝x2，解得x＝2或﹣1，（正值舍去），故x＝﹣1．当x＞0时，﹣x+2＝x2，解得x＝﹣2或1（负值舍去），故x＝1．所以解集为{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}．11．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+4x≥4×2×√900x⋅x=240（万元）．当且仅当x＝30时取等号．故答案为：30．12．【解答】解：根据函数的图象，函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴方程为x＝1﹣a，由于函数在区间（1，4）上不是单调函数，所以1＜1﹣a＜4，解得：﹣3＜a＜0．故答案为：（﹣3，0）．13．【解答】解：①正确；∵|x|＜1+|x|，∴x1+|x|∈(−1，1)，故函数值域（﹣1，1）．②正确；f（x）=x1+|x|是一个奇函数，当x≥0时，f（x）=x1+x=1−11+x，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f（x）=x1+|x|(x∈R)是一个增函数，∴x1≠x2，一定有f（x1）≠f（x2）；③正确；由②可知f（x）在（0，+∞）是增函数．④正确；当n＝1时，f1（x）＝f（x）=x1+|x|，f2（x）=x1+|x|1+|x|1+|x|=x1+2|x|，当n＝k时，f k（x）=x1+k|x|成立，当n＝k+1时，f k+1（x）=x1+k|x|1+|x|1+k|x|=x1+(k+1)|x|成立，由数学归纳法知，此命题正确．故答案为：①②③④．14．【解答】解：∵函数f （x ）＝2x 2﹣4x +1＝2（x ﹣1）2﹣1；∴当12≤x ≤2时，当x ＝1时，f （x ）有最小值﹣1；当x ＝2时，f （x ）有最大值1；即﹣1≤f （x ）≤1，则f （x ）的值域为[﹣1，1]；当12≤x ≤2时，2×12+a ≤g （x ）≤4+a ，即1+a ≤g （x ）≤4+a ，则g （x ）的值域为[1+a ，4+a ]，若存在x 1，x 2∈[12，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）， 则[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]≠∅， 若[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]＝∅， 则1+a ＞1或4+a ＜﹣1， 得a ＞0或a ＜﹣5，则当或[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a ≤0， 即实数a 的取值范围是[﹣5，0]， 故答案为：[﹣5，0]．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．【解答】解：（1）A ＝{x |2x 2﹣7x +3≤0}＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝﹣4时，B ＝{x |﹣2＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |12≤x ＜2}，A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤3}． （2）∁R A ＝{x |x ＜12或x ＞3}． 当（∁R A ）∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅．①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |−√−a ＜x ＜√−a }， 要使B ⊆∁R A ，需√−a ≤12， 解得−14≤a ＜0．综上可得，a 的取值范围为a ≥−14．16．【解答】解：（1）由题可知：﹣1，1为方程x 2+2bx +c ＝0的两个根； 所以，{1−2b +c =0，1+2b +c =0.解之得：b ＝0，c ＝﹣1；（2）因为c ＝b 2+2b +3，f （x ）＝x 2+2bx +c ＝0，所以x 2+2bx +b 2+2b +3＝0 因为x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2bx +b 2+2b +3＝0的两根， 所以△＝4b 2﹣4b 2﹣8b ﹣12≥0即b ≤−32； 所以{x 1+x 2=−2b x 1x 2=b 2+2b +3，因为（x 1+1）（x 2+1）＝8，所以x 1x 2+x 1+x 2＝7，所以﹣2b +b 2+2b +3＝7； 所以b 2＝4，所以b ＝2或b ＝﹣2，因为b ≤−32，所以b ＝﹣2； （3）因为f （1）＝0，所以c ＝﹣1﹣2b 设g （x ）＝f （x ）+x +b ＝x 2+（2b +1）x ﹣b ﹣1， 则有{g(−3)＞0g(−2)＜0g(0)＜0g(1)＞0解得15＜b ＜57，故b 的取值范围为(15，57)；17．【解答】解：（1）因为函数f(x)=x +4x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 所以x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，﹣x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 函数f(x)=x +4x 的定义域关于原点对称， 因为f(−x)=−x −4x =−f(x)， 所以f （x ）是奇函数．（2）函数f （x ）在区间（0，2]上是减函数，证明：任取x 1，x 2∈（0，2]，且0＜x 1＜x 2≤2，f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2， 因为0＜x 1＜x 2≤2，所以2≥x 2＞0，2＞x 1＞0，所以4＞x 1x 2，所以x 1x 2﹣4＜0， 又因x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞0，所以f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x1x2−4)x1x2＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（0，2]上是减函数．（3）实数t的取值范围为[0，1]．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．【解答】解：若x＝1，则g[f（1）]＝g（2）＝2，而x+1＝1+1＝2，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝2，则g[f（2）]＝g（1）＝3，而x+1＝2+1＝3，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝3，则g[f（3）]＝g（3）＝2，而x+1＝3+1＝4，即方程g[f（x）]＝x+1不成立．即方程的解为{1，2}，故选：C．19．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在（﹣4，4）上的偶函数，且在（﹣4，0]上是增函数，则f（x）在区间[0，4）上为减函数，又由f（a）＜f（3），则f（|a|）＜f（3），则有|a|＞3，解可得：a＞3或a＜﹣3；又由函数的定义域为（﹣4，4），即a的取值范围为（﹣4，﹣3）∪（3，4）；故选：D．20．【解答】解：x∈[1，3]，x2﹣2ax+5＝0得2a=x2+5x=x+5x≥2√5，当且仅当x=√5成立，又y＝x+5x，y（1）＝6，y（3）=143，所以y∈[2√5，6]，要使函数f（x）＝x2﹣2ax+5在x∈[1，3]上有零点，即2a∈[2√5，6]，a∈[√5，3]，故选：C．五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21．【解答】解：f(x)=√1−x+√x+3的定义域为[﹣3，1]，由基本不等式√a 2+b 22≥a+b 2，得√1−x +√x +1≤2√2，当1﹣x ＝x +3，即x ＝﹣1时，成立，当x ＝﹣3，1时f （x ）＝0，故答案为：2√2；﹣3，1．22．【解答】解：（1）g （x ）＝x +1的值域为R 且在R 上为单调递增函数，则方程g （x ）＝t 只有一个解，所以f （t ）＝1；（2）存在t 使得f （t +2）＞f （t ）成立；即方程的g （x ）＝t +2根的个数比方程g （x ）＝t 的根的个数多；当a ≤0 时，作出函数g （x ）的图象；显然不满足方程的g （x ）＝t +2根的个数比方程g （x ）＝t 的根的个数多；当a ＞0时，作出函数g （x ）的图象；要存在t ，使得方程的g （x ）＝t +2根的个数比方程g （x ）＝t 的根的个数多；则要求二次函数的最大值要大于2；即−4×a−4a 2−4＞2，解得a ＞1；故答案为：1，（1，+∞）．23．【解答】解：（1）由“保值”区间的定义可得函数y ＝x 2的一个“保值”区间为[0，1]；（2）易知，函数f （x ）＝x 2+m （m ≠0）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0），①当[a ，b ]⊆（0，+∞）时，则{a 2+m =a b 2+m =b，即方程x 2﹣x +m ＝0有两个不相等的正根，则{1−4m ＞0m ＞0，解得0＜m ＜14； ②当[a ，b ]⊆（﹣∞，0）时，则{a 2+m =b b 2+m =a ，则a +b ＝﹣1，则{a 2+m =−1−a b 2+m =−1−b，即方程x 2+x +m +1＝0有两个不相等的负根，则{1−4(m +1)＞0m +1＞0，解得−1＜m ＜−34； ③当a ＝0时，此时f （0）＝0，则m ＝0，与题设矛盾；④当b ＝0时，则{f(a)=a 2+m =0f(0)=m =a，即m 2+m ＝0，解得m ＝﹣1或m ＝0（舍去）； 综上，实数m 的取值范围为[−1，−34)∪(0，14)．故答案为：[0，1]；[−1，−34)∪(0，14)．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．【解答】解：（1）已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数，所以f （1.2）＝1，f （﹣1.2）＝﹣2．（2）方法1：因为x+12−x 2=12， 所以，只可能有两种情况：（1）存在整数t ，使得t ≤x 2＜x+12＜t +1，此时[x 2]=[x+12]=t ，f （x ）＝0；（2）存在整数t ，使得x 2＜t ≤x+12，此时[x 2]=t −1，[x+12]=t ，f （x ）＝1． 综上，f （x ）的值域为{0，1}．（3）当函数f(x)=x +a x 是Ω函数时，若a ＝0，则f （x ）＝x 显然不是Ω函数，矛盾．若a ＜0，由于都在（0，+∞）单调递增，故f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 同理可证：f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，此时不存在m ∈（﹣∞，0），使得 f （m ）＝f （[m ]），同理不存在m ∈（0，∞），使得 f （m ）＝f （[m ]），又注意到m [m ]≥0，即不会出现[m ]＜0＜m 的情形，所以此时f(x)=x +a x 不是Ω函数．当a ＞0时，设f （m ）＝f （[m ]），所以m +a m =[m]+a [m]，所以有a ＝m [m ]，其中[m ]≠0，当m ＞0时，因为[m ]＜m ＜[m ]+1，所以[m ]2＜m [m ]＜[m ]（[m ]+1），所以[m ]2＜a ＜[m ]（[m ]+1）．当m ＜0时，[m ]＜0，因为[m ]＜m ＜[m ]+1，所以[m ]2＞m [m ]＞[m ]（[m ]+1），所以[m ]2＞a ＞[m ]（[m ]+1）．记k ＝[m ]，综上，我们可以得到：a 的取值范围为{a ∈R |a ＞0且∀k ∈N *，a ≠k 2且a ≠k （k +1）}．。

2018-2019学年北京二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的，共8小题，每小题5分，共40分。

请将答案填涂在机读卡上。

)1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】，B={x∈R|x＜﹣1，或x＞3}；∴A∩B={x∈R|x＞3}．故选：D．【点睛】本题考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算．2. 下列四个命题中，假命题为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】试题分析：由题可知，对于选项A，指数函数的值域为，对任意均成立，对于选项C，当时，，对于选项D，当时，，于是选B考点：命题的判断3.已知等差数列的前n项和为，且满足，则数列的公差是（）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】在题设条件的两边同时乘以6，然后借助前项和公式进行求解．【详解】解：，，，．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意前项和公式的灵活运用，属于基础题．4.如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为则判断框中应填入的条件是（）A. T>4B. T<4C. T>3D. T<3【答案】B 【解析】 考点：程序框图．解答：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 是否继续循环 i T S 循环前/1 0 0 第一圈 是 2 1 第二圈 是 3 2 第三圈 是 4 3 第四圈 是 5 4 第五圈 否 即T=4时退出循环故继续循环的条件应为：T ＜4 故选B ．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5.函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可以为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】因为，故当时，的符号不确定，因此不单调，即答案A不正确；对于答案B，因，故函数是递减函数，但函数有两个零点，则答案B不正确；对于答案D，因时，无零点，故答案不正确；而，故函数在时，是单调递减函数，当时，函数也单调递减函数，应选答案C。

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，2，3，4} B ．{0，4}C ．{1，2}D ．{3}2．（4分）已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为（ ） A ．a +bB ．a ﹣bC ．abD ．ab3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．f （x ）＝ln |x |B ．f （x ）＝2﹣xC ．f （x ）＝x 3D ．f （x ）＝﹣x 24．（4分）设函数D(x)={1，x ∈Q 0，x ∉Q，则f[f(−√2)]的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．不存在5．（4分）已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．（4分）设a 、b 是实数，则“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（4分）已知函数f （x ）=6x −log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）8．（4分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M ．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则E 1E 2的值所在的区间为（ ）A ．（1，2）B ．（5，6）C ．（7，8）D ．（15，16）二、填空题共10小题，每小题4分，共40分 9．（4分）函数f （x ）=√2x −4的定义域为 ．10．（4分）已知函数f(x)={2x ，x ＞1log 12x ，0＜x ≤1，则f(f(14))= ；若f （x ）＝1，则x＝ ．11．（4分）函数f(x)=x+2x−1（x＞1）的最小值是；取到最小值时，x＝．12．（4分）设a为常数，函数f（x）＝x2﹣6x+3，若f（x+a）为偶函数，则a＝．13．（4分）定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为．14．（4分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．15．（4分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为．16．（4分）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}，那么：（1）函数g（x）＝x2﹣2的“不动点”为；（2）集合A与集合B的关系是．17．（4分）若x、y∈R+，且1x+3y=4，则yx的最大值为．18．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2ax+a，其中a∈R①f（−12）＝②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．（13分）已知全集U＝R，集合P＝{x|x（x﹣2）≥0}，M＝{x|a＜x＜a+3}．（Ⅰ）求集合∁U P；（Ⅱ）若a＝1，求集合P∩M；（Ⅲ）若∁U P⊆M，求实数a的取值范围．20．（13分）解下列关于x的不等式（Ⅰ）（x﹣1）（x﹣2）＜0；（Ⅱ）|2x﹣1|＜3；（Ⅲ）x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＞0．21．（13分）已知函数f(x)=x+1 x+2．（Ⅰ）求f[f（1）]的值；（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范围；（Ⅲ）判断函数在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．22．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1，x∈[0，2]上．（Ⅰ）若a＝﹣1，则f（x）的最小值；（Ⅱ）若a=12，求f（x）的最大值；（Ⅲ）求f（x）的最小值．23．（13分）如果定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）＝1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．那么就称函数f（x）为“梦幻函数”．（Ⅰ）分别判断函数f（x）＝x与g（x）＝2x，x∈[0，1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；24．（13分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）＝ax2+bx+c 的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a＝1，b＝2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y＝x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数y=12x2+12的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．故选：C．2．【解答】解：∵In2＝a，In3＝b，又∵log32=ln2 ln3∴log32=a b故选：D．3．【解答】解：函数f（x）＝ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）＝2﹣x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）＝x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）＝﹣x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．4．【解答】解：∵函数D(x)={1，x∈Q 0，x∉Q，∴f（−√2）＝0，∴f[f(−√2)]=f（0）＝1．故选：B．5．【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2=log1215=log2−15−1=log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52=1log25，c＝0.50.2=(12)15=√125=1√25．而log25＞log24＝2＞√25，∴1log 25√25．∴a ＜c ， ∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．6．【解答】解：若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2成立，若a ＝﹣2，b ＝1，满足a 2＞b 2，但a ＞b ＞0不成立， 故“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件， 故选：C ．7．【解答】解：∵f （x ）=6x−log 2x ， ∴f （2）＝2＞0，f （4）=−12＜0， 满足f （2）f （4）＜0，∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C ．8．【解答】解：lgE ＝4.8+1.5M ，∴lgE 1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE 2＝4.8+1.5×7.5＝16.05， ∴E 1＝1016.8，E 2＝1016.05， ∴E 1E 2=100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×√3＞5， ∴E 1E 2的值所在的区间为（5，6），故选：B ．二、填空题共10小题，每小题4分，共40分 9．【解答】解：由题意得：2x ﹣4≥0，解得：x ≥2， 故函数的定义域是[2，+∞）， 故答案为：[2，+∞）．10．【解答】解：函数f(x)={2x ，x ＞1log 12x ，0＜x ≤1，则f(f(14))=f （log 1214）＝f （2）＝22＝4，若f （x ）＝1，若x ＞1，可得2x ＝1，解得x ＝0（舍去）； 若0＜x ≤1，可得log 12x ＝1，解得x =12，综上可得x =12． 故答案为：4，12．11．【解答】解：∵x ＞1， ∴x ﹣1＞0，由基本不等式可得y ＝x +2x−1=x ﹣1+2x−1+1≥2√(x −1)⋅2x−1+1＝2√2+1， 当且仅当x ﹣1=2x−1即x ＝1+√2时，函数取得最小值2√2+1． 故答案为：2√2+1；1+√2．12．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣6x +3＝（x ﹣3）2﹣6，为二次函数且其对称轴为x ＝3，f （x +a ）＝（x +a ﹣3）2﹣6，为偶函数，必有a ＝3； 故答案为：313．【解答】解：∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （﹣3）＝0，得﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，由f （﹣0）＝﹣f （0），得f （0）＝0， 作出f （x ）的草图，如图所示：∴f （x ）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞）， 故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．14．【解答】解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题， 则若a ＞b ＞c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣315．【解答】解：∵（ⅰ）A ∪B ＝{1，2，3，4}，A ∩B ＝∅；（ⅱ）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素． 则A ，B 不能为空集，且A ，B 不能均为二元集合， 若A 含一个元素，则该元素只能是3，即A ＝{1} 若A 含三个元素，则元素不能有3，即A ＝{1，2，4} 故答案为：{3}或{1，2，4}（答对一个给3分）16．【解答】解：（1）∵若f （x 0）＝x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”，即即A ＝{x |f （x ）＝x }，设函数g （x ）＝x 2﹣2的“不动点”为x 0，x 02﹣2＝x 0，求得x 0＝2，或x 0＝﹣1，故A ＝{2，﹣1}．故答案为：x 0＝2，或x 0＝﹣1．（2）∵满足f [f （x 0）]＝x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”，即B ＝{x |f [f （x ）]＝x }． ∵函数g （x ）＝x 2﹣2，∴函数g [g （x ）]＝g 2（x ）﹣2＝[x 2﹣2]2﹣2＝x 4﹣4x 2+2， 由g [g （x ）]＝x 2，可得 x 4﹣4x 2+2＝x ，求得x ＝2，故B ＝{2}， ∴B ⫋A ， 故答案为：B ⫋A ．17．【解答】解：∵x 、y ∈R +，且1x+3y =4，∴y =43−13x ， ∵x ＞0，y =43−13x＞0， ∴0＜1x ＜4， 则yx =43x−13x 2=−13(1x)2+43⋅1x，结合二次函数的性质可知，当1x=2即x =12时，y x取得最大值43．故答案为：4318．【解答】解：①f （−12）＝﹣f （12）＝﹣[（12）2﹣a +a ]=−14；②因为f （x ）是R 上的奇函数，且值域为R ，所以x ＞0时，△＝（﹣2a ）2﹣4a ≥0，解得：a ≤0或a ≥1；故答案为：①−14；②（﹣∞，0]∪[1，+∞）三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U ＝R ，集合P ＝{x |x （x ﹣2）≥0}＝{x |x ≤0或x ≥2}， ∴集合∁U P ＝{x |0＜x ＜2}．（Ⅱ）a ＝1时，M ＝{x |a ＜x ＜a +3}＝{x |1＜x ＜4}． ∴集合P ∩M ＝{x |2≤x ＜4}．（Ⅲ）∵集合∁U P ＝{x |0＜x ＜2}，M ＝{x |a ＜x ＜a +3}， ∁U P ⊆M ，∴{a ≤0a +3≥2，解得﹣1≤a ≤0． ∴实数a 的取值范围是[﹣1，0]．20．【解答】解：（Ⅰ）由（x ﹣1）（x ﹣2）＜0，可得1＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |1＜x ＜2}．（Ⅱ）由|2x ﹣1|＜3，可得﹣3＜2x ﹣1＜3，求得﹣1＜x ＜2， 故原不等式的解集为（﹣1，2）．（Ⅲ）由x 2﹣（3a +1）x +2a （a +1）＞0，可得[x ﹣（2a ）][x ﹣（a +1）]＞0， 当2a ＞a +1时，即a ＞1时，不等式的解集为（﹣∞，a +1）∪（2a ，+∞）； 当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠2}；当2a ＜a +1时，即a ＜1时，不等式的解集为（﹣∞，2a ）∪（a +1，+∞）．21．【解答】解：（Ⅰ）f [f （1）]=f(23)=23+123+2=58； （Ⅱ）由f （x ）＞1得，x+1x+2＞1，化简得，1x+2＜0，∴x ＜﹣2，∴x 的取值范围为（﹣∞，﹣2）； （Ⅲ）f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f （x ）在（﹣2，+∞）上是增函数，证明如下： 设x 1＞x 2＞﹣2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)， ∵x 1＞x 2＞﹣2，∴x 1﹣x 2＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0， ∴x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)＞0，∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（﹣2，+∞）上是增函数．22．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝﹣1时，f （x ）＝x 2+2x +1， 因为x ∈[0，2]，f （x ）min ＝1； （Ⅱ）当a =12，f （x ）＝x 2﹣x +1， 因为x ∈[0，2]，f （x ）max ＝3； （Ⅲ）当a ＜0时，f （x ）min ＝1， 当0≤a ≤2时，f （x ）min ＝1﹣a 2， 当a ＞2时，f （x ）min ＝5﹣4a ， 综上：f(x)={1a ＜01−a 20≤a ≤25−4aa ＞2．23．【解答】解：（Ⅰ）①显然，在[0，1]上满足f （x ）＝x ≥0，g （x ）＝2x ≥0； ②f （1）＝1，g （1）＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f （x 1+x 2）﹣[f （x 1）+f （x 2）]＝x 1+x 2﹣[x 1+x 2]＝0，即f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立；∴f （x ）＝x 是“梦幻函数”，g （x ）＝2x 不是“梦幻函数”；（Ⅱ）设x 1，x 2∈[0，1]，x 1＜x 2，则x 2﹣x 1∈（0，1]，∴f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）﹣f （x 2﹣x 1+x 1）≤f （x 1）﹣[f （x 1）+f （x 2﹣x 1）]＝﹣f （x 2﹣x 1）≤0， ∴f （x 1）≤f （x 2），∴f （x ）在[0，1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立， ∴0≥2f （0），又f （x ）≥0，∴f （0）＝0，∴当x ＝0时，f （x ）取最小值f （0）＝0，当x ＝1时，f （x ）取最大值f （1）＝1．24．【解答】解：（1）函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣1，0）， 可得a ﹣b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2， 则f （x ）＝x 2+2x +1，由新定义可得g （x ）＝x 为函数f （x ）的一个承托函数；（2）假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f （x ）的一个承托函数， 且f （x ）为函数y =12x 2+12的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤12x2+12恒成立，令x＝1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a＝c；又（a−12）x2+bx+c−12≤0恒成立，可得a＜12，且b2﹣4（a−12）（c−12）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a−12）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a＝c＜12，b＝1﹣2a，可取a＝c=14，b=12．满足题意．。

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1}D ．{0，1，2}2．（5分）如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．﹣ab ＜﹣a 2D ．−1a ＜−1b3．（5分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A ．y =√x −1B ．y =1x−1C ．y =√x 2+1D ．y =√1x−14．（5分）已知f （x ）＝ax 3+bx ﹣4，若f （2）＝6，则f （﹣2）＝（ ） A ．﹣14B ．14C ．﹣6D ．105．（5分）设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f(x)=x 2−1x−2在区间（1，3）内的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．（5分）已知命题“∃x ∈R ，2x 2+（a ﹣1）x +12≤0是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣3，+∞）D ．（﹣3，1）8．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，94]B ．（﹣∞，73]C ．（﹣∞，52]D ．（﹣∞，83]二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．（5分）已知x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4，则x 2﹣5xy +6y 2的值为 ．10．（5分）已知α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则α2﹣2αβ+β2＝ ． 11．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 12．（5分）已知函数f （x ）={x 2+1(x ≥0)−2x(x ＜0)，若f （x ）＝10，则x ＝ ．13．（5分）若二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解，求实数k ＝ ． 14．（5分）已知λ∈R ，函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ，当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．（10分）已知集合A ＝{x |﹣4+a ＜x ＜4+a }，B ＝{x |x+1x−5≥0}．（1）若a ＝1，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．16．（10分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时有f （x ）=4xx+4 （1）判断函数f （x ）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （2）求函数f （x ）的解析式（写成分段函数的形式）．17．（10分）已知关于x 的不等式（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2的解集为A ，且3∉A ． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求集合A ．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．（4分）函数y =√x +1+√3−x 的定义域是 ． 19．（4分）已知函数f （x ）=11+x 2，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14）＝ ．20．（4分）设x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5，则√xy的最小值为 ．21．（4分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．22．（4分）设函数f （x ）的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x ∈D ，都有f （x +m ）＞f （x ），则称f （x ）为D 上的“m 型增函数”．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0．（1）若方程有实数根，求实数k的取值范围；（2）如果k是满足（1）的最大整数，且方程x2﹣4x+2k＝0的根是一元二次方程x2﹣2mx+3m ﹣1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．24．（10分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x＝1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．25．（10分）对于区间[a，b]（a＜b），若函数y＝f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y＝f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．（1）求函数y＝x2的所有“保值”区间；（2）函数y＝x2+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．【解答】解：因为A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：A．2．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，可得1a =−121b=−1，∴1a＞1b，故A不正确．可得ab＝2，b2＝1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab＝﹣2，﹣a2＝﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．3．【解答】解：A．y=√x−1≥0，故A不符合；B.y=1x−1∈(−∞，0)∪(0，+∞)，故B不符合；C.y=√x2+1≥1，故C不符合；D.y=√1x−1的定义域为{x|x＞1}，当x＞1时，1x−1＞0，∴y=√1x−1＞0，故D符合．故选：D．4．【解答】解：∵f（x）＝ax3+bx﹣4∴f（x）+f（﹣x）＝ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4＝﹣8∴f（x）+f（﹣x）＝﹣8∵f（2）＝6∴f（﹣2）＝﹣14故选：A．5．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故选：A．6．【解答】解：f′（x）＝2x+1x2，当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，3）上单调递增，又f（1）＝﹣2＜0，f（3）=203＞0，∴f（x）在（1，3）上有1个零点．故选：B．7．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+12＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×12＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．8．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[−14，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[−12，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x ∈（2，3]时，由4（x ﹣2）（x ﹣3）=−89解得x =73或x =83， 若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m ≤73． 故选：B ．二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．【解答】解：∵x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4， ∴x 2﹣5xy +6y 2＝（x ﹣2y ）（x ﹣3y ） ＝6×4＝24． 故答案为：24．10．【解答】解：∵α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根， ∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣7，则α2﹣2αβ+β2＝（α+β）2﹣4αβ＝（﹣2）2﹣4×（﹣7）＝32． 故答案为：32．11．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+4x ≥4×2×√900x ⋅x =240（万元）． 当且仅当x ＝30时取等号． 故答案为：30．12．【解答】解：令x 2+1＝10， 解得，x ＝3或x ＝﹣3（舍去）； 令﹣2x ＝10，解得，x ＝﹣5； 故答案为：3或﹣5．13．【解答】解：由3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1得，两直线的交点坐标为（2，﹣1）， ∵二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解， ∴点（2，﹣1）在直线y ＝kx ﹣9上， ∴﹣1＝2k ﹣9，∴k ＝4． 故答案为：4．14．【解答】解：当λ＝2时函数f （x ）={x −4，x ≥2x 2−4x +3，x ＜2，显然x ≥2时，不等式x ﹣4＜0的解集：{x |2≤x ＜4}；x ＜2时，不等式f （x ）＜0化为：x 2﹣4x +3＜0，解得1＜x ＜2，综上，不等式的解集为：{x |1＜x ＜4}． 函数f （x ）恰有2个零点， 函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x |1＜x ＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．【解答】解：B ＝{x |x ≤﹣1或x ＞5}， （1）若a ＝1，则A ＝{x |﹣3＜x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x |﹣3＜x ≤﹣1}； （2）∵A ∪B ＝R ， ∴{−4+a ≤−14+a ＞5， ∴1＜a ≤3，∴实数a 的取值范围为（1，3]．16．【解答】解：（1）函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增．证明：设x 1＞x 2≥0，则f(x 1)−f(x 2)=4x 1x 1+4−4x2x 2+4，=16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16，又x 1＞x 2≥0，所以x 1﹣x 2＞0，x 1x 2≥0，x 1+x 2＞0， 所以16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16＞0．则f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），故函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增； （2）由于当x ≥0时有f(x)=4x x+4， 而当x ＜0时，﹣x ＞0，则f(−x)=−4x−x+4=4xx−4=f(x)， 即f(x)=4xx−4（x ＜0）． 则f(x)={4xx+4(x ≥0)4xx−4(x ＜0)． 17．【解答】解：（I ）∵3∉A ，∴当x ＝3时，有（ax ﹣1）（x ﹣2）≤2， 即3a ﹣1≤2； 解得a ≤1，即a 的取值范围是{a |a ≤1}；…（3分） （II ）（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2， ∴（ax ﹣1）（x ﹣2）﹣2＞0， ∴ax 2﹣（2a +1）x ＞0，…（4分） 当a ＝0时，集合A ＝{x |x ＜0}；…（5分）当a ＜−12时，集合A ={x|0＜x ＜2+1a }；…（6分） 当a =−12时，原不等式的解集A 为空集；…（7分） 当−12＜a ＜0时，集合A ={x|2+1a ＜x ＜0}；…（8分） 当0＜a ≤1时，集合A ={x|x ＜0或x ＞2+1a}．…（9分）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．【解答】解：要使函数y =√x +1+√3−x 的解析式有意义， 自变量x 须满足：的解：要要{x +1≥03﹣x ≥0 即∴{x ＜−1x ≤3解得∴﹣1≤x ≤3∴y =√x +1+√3−x 定义域为[﹣1，3] 故答案为：[﹣1，3]19．【解答】解：∵f （x ）=11+x 2，∴f （1x ）=x 21+x 2，∴f （x ）+f （1x）=11+x 2+x 21+x 2=1， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14） ＝f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （13）+f （4）+f （14）＝312，故答案为：312．20．【解答】解：x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5， 则√xy=√xy=√xy=2√xy +6xy； 由基本不等式有： 2√xy 6xy ≥2√2√xy ⋅6xy=4√3； 当且仅当2√xy =6xy 时，即：xy ＝3，x +2y ＝5时，即：{x =3y =1或{x =2y =32时；等号成立， 故(x+1)(2y+1)√xy的最小值为4√3；故答案为：4√321．【解答】解：①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元）， 即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得（m ﹣x ）×80%≥m ×70%， 即有x ≤m8恒成立， 由题意可得m ≥120， 可得x ≤1208=15， 则x 的最大值为15元． 故答案为：130，1522．【解答】解：∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝|x ﹣a |﹣a （a ∈R ），得f （x ）={|x −a|−a ，x ＞00，x =0−|x −a|+a ，x ＜0，f （x +20）＞f （x ），∵f （x ）为R 上的“20型增函数”， ∴f （x +20）＞f （x ），当x ≥0时，|20+x ﹣a |﹣a ＞|x ﹣a |﹣a ，式子|x +20﹣a |＞|x ﹣a |的几何意义为数轴上到点a 的距离小于到点a ﹣20的距离， 又x ＞0，∴a +a ﹣20＜0，解得a ＜10；当x ＜0＜x +20时，|x +20﹣a |﹣a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20﹣a |+|x +a |＞2a 恒成立， ∴根据几何意义得|2a ﹣20|＞2a ，即a ＜5；当x ＜x +20＜0时，﹣|x +20+a |+a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20+a |＜|x +a |恒成立， ∴﹣a ﹣a ﹣20＞0，即a ＜10． ∴实数a 的取值范围是a ＜5． 故答案为：（﹣∞，5）五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 23．【解答】解：（1）由题意△≥0， ∴16﹣8k ≥0， ∴k ≤2．（2）由题意k ＝2，方程x 2﹣4x +2k ＝0的根，x 1＝x 2＝2， ∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的一个根为2， ∴4﹣4m +3m ﹣1＝0， ∴m ＝3，方程为x 2﹣6x +8＝0， ∴x ＝2或4，∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的另一个根为4．24．【解答】（Ⅰ）解法一：因为f （x ）＝（x ﹣2）（x +a ）＝x 2+（a ﹣2）x ﹣2a ， 所以，f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2． 由2−a 2=1，得a ＝0．解法二：因为函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 所以必有f （0）＝f （2）成立， 所以﹣2a ＝0，得a ＝0．（Ⅱ）解：函数f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2．①当2−a 2≤0，即 a ≥2时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （0）＝﹣2a ．②当0＜2−a 2＜1，即 0＜a ＜2时， 因为f （x ）在区间(0，2−a 2)上单调递减，在区间(2−a 2，1)上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f(2−a 2)=−(2+a 2)2．③当2−a 2≥1，即 a ≤0时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递减，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （1）＝﹣（1+a ）．25．【解答】解：（1）因为函数y ＝x 2的值域是[0，+∞），且y ＝x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]， 所以[a ，b ]⊆[0，+∞），所以a ≥0，从而函数y ＝x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{a 2=a b 2=b.解得{a =0，或a =1b =0，或b =1.又a ＜b ，所以{a =0b =1.所以函数y ＝x 2的“保值”区间为[0，1]．…（3分） （2）若函数y ＝x 2+m （m ≠0）存在“保值”区间，则有：①若a ＜b ≤0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递减，所以 {a 2+m =b b 2+m =a.消去m 得a 2﹣b 2＝b ﹣a ，整理得（a ﹣b ）（a +b +1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b +1＝0，即 a ＝﹣b ﹣1．又{b ≤0−b −1＜b所以 −12＜b ≤0． 因为 m =−b 2+a =−b 2−b −1=−(b +12)2−34(−12＜b ≤0)，所以 −1≤m ＜−34．…（6分） ②若b ＞a ≥0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递增，所以 {a 2+m =a b 2+m =b.消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以 a +b ﹣1＝0，即 b ＝1﹣a ．又{a ≥0a ＜1−a所以 0≤a ＜12． 因为 m =−a 2+a =−(a −12)2+14(0≤a ＜12)，所以 0≤m ＜14．因为 m ≠0，所以 0＜m ＜14．…（9分）综合①、②得，函数y＝x2+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是[−1，−34)∪(0，14)．…（10分）。