北京市第二中学2020-2021学年高一上学期第三学段考试(期末)数学试卷

北京二中2019—2020学年度第三学段高一年级学段考试试卷物理必修I命题人：审核人：得分：一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。

）1．在国际单位制中，下列选项属于基本单位的是A．力B．千克C．时间D．牛顿2．如图所示，小明用大小为F的力水平向右推木箱，但没能推动。

下列说法正确的是A．地面对木箱的摩擦力方向向右B．地面对木箱的摩擦力大小等于FC．地面对木箱的摩擦力大于FD．地面对木箱的最大静摩擦力一定等于F3．下列关于物体受力和运动的描述或者解释中，正确的是A．同一个物体在地球上和在月球上的惯性一样大B．汽车行驶速度越大，越难停下来，是因为速度大的物体惯性大C．摩擦力总是阻碍物体的运动D．人在沼泽地地里会往下陷，是因为人给沼泽地的压力大于沼泽地给人的支持力4．电灯悬挂于两墙之间，如图所示，悬绳的质量不计，现使悬点A上移，但保持O点位置不变，则A点在连续上移的过程中，绳OA、OB的拉力F A、F B将如何变化A．F A一直减小B．F A先减小后增大C．F B先增大后减小D．F B先减小后增大5. 如图所示，吊篮P悬挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳烧断的瞬间，吊篮P和物体Q的加速度大小是A．a P = a Q= g B．a P =2 g，a Q = gC．a P = g，a Q =2 g D．a P = 2g，a Q = 06．从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的v－t图像如图，在0~t0时间内A. Ⅰ、Ⅱ两个物体所受的合外力都在不断减小B. Ⅰ物体所受的合外力不断增大，Ⅱ物体所受的合外力不断减小C. Ⅰ物体的位移不断增大，Ⅱ物体的位移不断减小D. Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是(v1+v2)/2v1v2t0tⅠⅠvABCO7．某同学将重为50N 的物体带上电梯，并将它放在电梯中的力传感器上，若电梯由静止开始运动，并测得重物对传感器的压力F 随时间t 变化的图像，如图所示。

2021北京高一数学上学期期末汇编：三角函数一．选择题（共23小题）1．（2020秋•通州区期末）“，”是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020秋•通州区期末）已知函数：①，②，③，则其中最小正周期为的是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．（2020秋•通州区期末）已知为第三象限角，则下列判断正确的是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•通州区期末）下列各角中与终边相同的角是 A ．B ．C ．D ．5．（2020秋•顺义区期末）单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，从起始位置转过的角是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•海淀区校级期末）可化简为 A ．B ．C ．D ．7．（2020秋•东城区期末）若扇形的半径为1，周长为，则该扇形的圆心角为 A ．B ．C ．D ．8．（2020秋•东城区期末）已知，则 A ．B ．C ．D ．9．（2020秋•海淀区校级期末）已知，，，那么的值为 A ．2B ．C ．D ．10．（2020秋•丰台区期末）已知，，则的值为 26k παπ=+k Z ∈1sin 2α=()tan y x =sin ||y x =|sin |y x =π()θ()sin 0θ>cos 0θ>sin tan 0θθ⋅>sin 2tan 0θθ⋅>60︒()300-︒240-︒120︒390︒O e P A OP OA ()245π-125π145π245πsin 2021︒()sin 41︒sin 41-︒cos 41︒cos 41-︒π()π1π-2π-12π-tan 1α=-222sin 3cos (αα-=)74-12-1234222cos 3sin 1αα-=3(2πα∈-)π-tan α()2-1212-3sin 5α=2παπ<<tan α()A ．B ．C ．D ．11．（2020秋•西城区校级期末）已知角的终边经过点，那么 A ．B ．C ．D ．12．（2020秋•顺义区期末）“是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020秋•通州区期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度14．（2020秋•朝阳区期末）设函数，若存在实数，，，，满足当时，，则正整数的最小值为 A ．505B ．506C ．507D ．50815．（2020秋•朝阳区期末）已知，均为第一象限角，则“”是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．（2020秋•大兴区期末）等于 A ．B ．CD ．117．（2020秋•顺义区期末）在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，若，则 )A ．BC ．D ．18．（2020秋•大兴区期末）下列函数中，周期为且为偶函数的是 A ．B ．C ．D ．19．（2020秋•海淀区校级期末）已知，则的取值可以为 ABC ．D ．20．（2020秋•海淀区校级期末）如图，一个摩天轮的半径为，轮子的最低处距离地面3434-4343-α(3,4)P -sin (α=)3545-3434-sin θ3πθ=()cos 2y x =sin 2y x =()4π4π2π2π()4|sin|2xf x π=1x 2x ⋯n x 12n x x x <<⋯<12231|()()||()()||()()|2021n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋯⋯+-=n ()αβαβ<sin sin αβ<()3tan4π()1-αβy x =1cos 3α=-sin (β=1313-π()()tan 2f x x =()sin cos f x x x=()cos(2)2f x x π=+22()cos sin f x x x=-3sin()sin()2παπα--+=cos sin αα-()10m 2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于的时间大约是 A ．8分钟B ．10分钟C ．12分钟D ．14分钟21．（2020秋•海淀区校级期末）函数，，的值域为 A ．B ．C ．D ．22．（2020秋•丰台区期末）函数在区间上的最大值为 A ．B ．1CD ．223．（2020秋•顺义区期末）如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点，，分别是半径，及扇形弧上的三个动点（不同于，，三点），则关于的周长说法正确的是 A ．有最大值，有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值二．填空题（共12小题）24．（2020秋•通州区期末） ．25．（2020秋•通州区期末）已知某扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，则该扇形的半径为 ；面积为 ．26．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．27．（2020秋•大兴区期末）已知角终边与单位圆的交点为，则 ； ．28．（2020秋•顺义区期末）已知是第三象限角，且， ．29．（2020秋•顺义区期末） ．P P O 17m ()sin()2y x π=+(3x π∈-5]6π()1[2[1[,1]2-1[2-()2sin(6f x x π=-[,32ππ()2-OPQ r 4πA B C OP OQO P Q ABC ∆()5sin6π=αx P tan α=α1()2cos α=sin()απ+=α4cos 5α=-sin α=sin()4π-=30．（2020秋•海淀区校级期末）若角与角的终边关于直线对称，则角的终边上的所有角的集合可以写为 31．（2020秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则 ．保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则 ．32．（2020秋•丰台区期末）若函数的一个零点为，则 ．33．（2020秋•丰台区期末） ．34．（2020秋•朝阳区期末）若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为 ．35．（2020秋•通州区期末）若，是第二象限的角，则 ．三．解答题（共13小题）36．（2020秋•朝阳区期末）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值；（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值．37．（2020秋•通州区期末）已知函数，再从①，；②，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．（Ⅰ）求；（Ⅱ）写出的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；（Ⅲ）求函数在，上的最大值和最小值．38．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）写出函数的振幅、周期、初相；（Ⅱ）用“五点法”作出在一个周期内的图象（先列表，再画图）．β23πα=y x =βxOy αOx 12(,)13P m tan α=α2πβcos β=()sin(2)()22f x x ππϕϕ=+-<<6x π=ϕ=5tan4π=()cos(2)f x x ϕ=+3x π=ϕ4sin 5α=αtan 2α=2()2sin cos(2)13f x x x π=+--()6f π[0,]2x π∈()f x ()f x (0)m m >cos 2y x =m 212()2cos sin f x x x ωω=+11ω=22ω=11ω=21ω=(0)f ()f x ()f x [0]2π()2sin(26f x x π=+()f x ()f x39．（2020秋•通州区期末）已知锐角、的终边与单位圆的交点分别为，．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求．40．（2020秋•通州区期末）（1）若，求的值；（2）已知锐角，满足，若，求的值．41．（2020秋•顺义区期末）已知函数．（1）当时，求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上的最大值及最小值，并指出相应的值．42．（2020秋•大兴区期末）（Ⅰ）已知，求的值；（Ⅱ）若，求的一个值．43．（2020秋•海淀区校级期末）已知关于的方程的两根为和，．（1）求实数的值；（2）求的值．44．（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆的交点为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．45．（2020秋•朝阳区期末）已知函数αβ1(2A B tan βcos()πα+sin()αβ-3tan 4α=-sin cos sin cos αααα+-αβ11cos()14αβ+=-sin()αβ-=cos β1()sin(2)23f x x π=-x R ∈()f x ()f x [,]44ππ-x 1sin ,(,)32πααπ=∈tan αcos 2sin()x x x ϕ-=+ϕx 21204x bx -+=sin θcos θ3(,)44ππθ∈b 2sin cos 1cos sin θθθθ+-xOy αOx O e 1)2sin αsin()2πα-(0,)2πα∈()sin(sin )f x x αα=-()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④．（Ⅰ）请指出同时满足的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）求的单调递增区间．46．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围．47．（2020秋•大兴区期末）已知函数．（Ⅰ）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；（Ⅱ）说明函数的图象可以通过的图象经过怎样的变换得到？（Ⅲ）若，写出的值．48．（2020秋•东城区期末）已知函数，其中．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：（Ⅰ）的单调递增区间；（Ⅱ）在区间的最大值和最小值．条件①：函数最小正周期为；条件②：函数图象关于点对称；条件③：函数图象关于对称．2π(0)1f =-(03f π-=()f x ()f x ()f x ()2cos()sin 3f x x x π=-()f x ()f x ()f x [0]m m ()3sin(26f x x π=+()y f x =()y f x =sin y x =003(),[2,3]2f x x ππ=∈0x ()sin()f x x ωϕ=+0,(0,)2πωϕ>∈()f x ()f x [0,2π()f x π()f x (,0)6π-()f x 12x π=2021北京高一数学上学期期末汇编：三角函数参考答案一．选择题（共23小题）1．【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：等价于或，所以“，”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了三角方程的求解，属于基础题．2．【分析】根据三角函数的周期性进行判断即可．【解答】解：①的周期，满足条件．②是偶函数，图象不具备周期性，不满足条件．③的周期，则的周期，满足条件，故选：．【点评】本题主要考查三角函数周期的判断，结合三角函数的周期公式是解决本题的关键，是基础题．3．【分析】由的范围逐一核对四个选项得答案．【解答】解：为第三象限角，，，，故，错误；，故错误；，故正确．故选：．【点评】本题考查三角函数值的符号，是基础题．4．【分析】把角化为对于，，，的形式，再判断即可．【解答】解：对于，，与是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角．故选：．【点评】本题考查了终边相同的角的概念与应用问题，是基础题．5．【分析】利用一周为，然后求出每分钟转的弧度数，再求解24分钟转的弧度数即可．【解答】解：因为一周为，1sin 2α=1sin 2α=26k παπ==52,6k k Z παπ=+∈26k παπ=+k Z ∈1sin 2α=A tan y x =T π=sin ||y x =sin y x =2T π=|sin |y x =T π=B θθ tan 0θ∴>sin 0θ<cos 0θ<A B sin tan 0θθ⋅<C sin 2tan 2sin cos tan 0θθθθθ⋅=>D D 360k α⨯︒+k Z ∈[0α∈︒360)︒A 300136060-︒=-⨯︒+︒60︒B 2401360120-︒=-⨯︒+︒60︒C 120︒60︒D 390136030︒=⨯︒+︒60︒A 2π2π故10分钟转了，所以每分钟就转了，故24分钟转了，所以从起始位置转过的角是．故选：．【点评】本题考查了角的概念的理解和应用，解题的关键是求出每分钟转的弧度数，属于基础题．6．【分析】直接利用诱导公式化简即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．7．【分析】计算扇形的弧长，再求扇形弧长所对的圆心角．【解答】解：扇形的半径为1，周长为，所以扇形的弧长为，扇形弧长所对的圆心角为．故选：．【点评】本题考查了计算扇形弧长所对的圆心角应用问题，是基础题．8．【分析】利用“弦化切”及其平方关系化简已知等式即可得出．【解答】解：因为，则．故选：．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．9．【分析】利用同角三角函数间的基本关系即可求解．【解答】解：因为，可得，，因为，，所以．故选：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．2π2105ππ=242455ππ⨯=OP OA 245πD sin 2021sin(3606139)︒=︒⨯-︒sin(139)sin139sin 41=-︒=-︒=-︒B π2π-221ππ-=-C tan 1α=-222222222232321312sin 3cos 1(1)12sin cos tan sin cos tan αααααααα--⨯--====-++-+B 22222cos 3sin 2(1sin )3sin 1αααα-=--=21sin 5α=24cos 5α=3(2πα∈-)π-sin α=cos α=sin 1tan cos 2ααα==-D10．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可得，．【解答】解：，，，则．故选：．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【解答】解：由于角的终边经过点，，，，，故选：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．【解答】解：推不出，不是充分条件，推出，是必要条件，故选：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．13．【分析】利用诱导公式化简函数为，然后利用函数图象的平移推出正确选项．【解答】解：因为函数，所以可由的图象，向左平移个单位长度，得到函数的图象．故选：．【点评】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，函数图象的平移变换，注意三角函数的平移原则为“左加右减上加下减”．14．【分析】利用函数，得到的值域，从而得到，然后迭加得到，根据选项进行判断即可．【解答】解：由的值域可得，，即，故，即，当时，，当时，，故正整数的最小值为507．cos αtan α 3sin 5α=2παπ<<4cos 5α∴==-sin 3tan cos 4ααα==-B sin αα(3,4)P -3x ∴=4y =-||5r OP ==4sin 5y r α∴==-B sin θ=3πθ=3πθ=sin θ=B cos 2y x =sin(2)2y x π=+cos 2sin(22y x x π==+sin 2y x =4πsin[2()]sin(2)cos 242y x x x ππ=+=+=B ()4|sin|2xf x π=()f x 12|()()|4f x f x -…20214(1)n -…sin y x =()[0f x ∈4]12|()()|4f x f x -…12231|()()||()()||()()|4(1)n n f x f x f x f x f x f x n --+-+⋯+--…20214(1)n -…506n =4(1)20202021n -=<507n =4(1)20242021n -=>n故选：．【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数值域的应用，解题的关键是构造绝对值相加的等式，属于中档题．15．【分析】举例说明前面不能推后面，后面不能推前面，结合充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：取、，、均为第一象限角，且，但，、均为第一象限角，，取、，但，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查了三角不等式，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．16．【分析】利用诱导公式得到：．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．17．【分析】设的终边经过点，则由题意的终边经过点，利用任意角的三角函数的定义即可得解．【解答】解：在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，设的终边经过点，则的终边经过点，，．故选：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．18．【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性即可求解．【解答】解：，函数的周期为，故不满足题意；，函数的周期为，，是奇函数，故不满足题意；，是奇函数，故不满足题意；，最小正周期为且为偶函数，故满足题意．故选：．【点评】本题考查了函数的周期性以及函数的奇偶性，是基础题．C 60α=︒390β=︒αβαβ<sin sin αβ>αβsin sin αβ<390α=︒60β=︒αβ>αβ<sin sin αβ<D 3tantan 44ππ=-3tan tan()tan 1444ππππ=-=-=-B α(,)m n β(,)n m αβy x =∴α(,)m n β(,)n m 1cos 3α==- 1sin 3β∴==-D ()tan 2f x x =2πA ()sin cos sin 2f x x x x ==π()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-B ()cos(2)sin 22f x x x π=+=-C 22()cos sin cos 2f x x x x =-=πD D19．【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：因为所以，整理得，所以①当时，②当时，，则故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，诱导公式，同角三角函数的关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20．【分析】根据题意求出此人相对于地面的高度函数，利用，求出此人相对于地面的高度不小于17的时间即可．【解答】解：由题意知，，解得，所以在时摩天轮上某人所转过的角为，所以在时此人相对于地面的高度为，由，得，解得，所以，且，所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 ．故选：．【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．21．【分析】利用诱导公式将函数化简，再由余弦函数的性质即可求值域．【解答】解：，3sin()sin()3cos sin 2παπααα--+=+=223cos sin cos sin 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩210cos 10αα++=cos α=-cos α=sin α=cos sin αα-=cos α=sin α=cos sin αα-=C ()h t ()17h t …230T πω==15πω=t 15t πt 10sin12(0)15h t t π=+…10sin 121715t π+…1sin 152t π…56156t πππ… (52522)t (255)1022-=m B sin(cos 2y x x π=+=因为，，所以，，即函数的值域为，．故选：．【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数的最值，属于基础题．22．【分析】直接利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最大值．【解答】解：由于，所以，则：，故．所以当故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23．【分析】将、分别关于半径，对称的线段为，，将的周长的最值转化为三条线段的最值进行分析求解即可．【解答】解：将、分别关于半径，对称的线段为，，则的周长，当，，，共线时取等号，故的周长有最小值，最大值无限趋近，但取不到，故无最大值．故选：．(3x π∈-5]6πcos [x ∈1][1]B [,32x ππ∈[,663x πππ-∈1sin()[62x π-∈()f x ∈2x π=C AC BC AP AQ AC ''BC 'ABC ∆BC AB AC '++''AC BC AP BQ AC ''BC 'ABC ∆L BC AB AC BC AB AC C C =++='++'''''…C 'A B C ''ABC ∆OPQ ∆C【点评】本题考查了三角形周长最值的求解，涉及了线段求和的最值的解法，解题的关键是将其中两条线段作对称，当三条线段共线时找到最值，属于中档题．二．填空题（共12小题）24．【分析】利用诱导公式化简求值即可得解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．25．【分析】根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，再计算扇形的面积．【解答】解：扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，所以该扇形的半径为；面积为．故答案为：1，1．【点评】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用问题，是基础题．26．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：一个角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．27．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求出结果．【解答】解：由于角终边与单位圆的交点为，则，．故答案为：，．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．28．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算求解．【解答】解：因为是第三象限角，且，所以．故答案为：．51sin sin()sin 6662ππππ=-==1221||2l r α===221121122S r α=⋅=⨯⨯=扇形 αx P 1tan 2α∴==12α1(2cos α=1sin()sin 2απα+=-=-12-α4cos 5α=-3sin 5α==-35-【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．29．【分析】由题意利用诱导该公式，计算求得要求式子的值．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导该公式的应用，属于基础题．30．【分析】由已知利用终边相同的角的概念即可求解．【解答】解：角的取值集合是，，角与角的终边关于直线对称，可得，，可得角的取值集合是，，故答案为：，．【点评】本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．31．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．【解答】解：角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则，则，保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则．故答案为：，．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中应用，属于基础题．32．【分析】由函数的零点代入，由三角函数的值及的范围，可得的值．【解答】解：因为函数的一个零点为，所以，可得，，又因为，所以，故答案为：【点评】本题考查三角函数的性质及零点与方程根的关系，属于基础题．sin(sin 44ππ-=-=α2{|23k πααπ=+}k Z ∈β23πα=y x =2222(23346k k ππππβππ=+-⨯-=-+k Z ∈β{|26k πββπ=-+}k Z ∈{|26k πββπ=-+k Z ∈}αβOx x αOx 12(,)13P m 513m ==121213tan 5512α==α2πβ12cos cos()sin 213πβαα=+=-=-1251213-ϕϕ()sin(2)(22f x x ππϕϕ=+-<<6x π=sin(2)06πϕ⋅+=3k πϕπ=-k Z ∈22ππϕ-<<3πϕ=-3π-33．【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果．【解答】解：，故答案为：1．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．34．【分析】余弦函数的图象的对称性，求得常数的一个取值．【解答】解：函数的图象关于直线对称，，，令，可得常数，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．35．【分析】先求出的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案．【解答】解：因为为第二象限的角，又，所以，，，故答案为：．【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．三．解答题（共13小题）36．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的变换，变形成正弦型函数，进一步求出结果；（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值；（Ⅲ）利用函数的图象的平移变换的应用和函数的对应关系的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数．所以．（Ⅱ）由于，所以，所以当时，，当时，．（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，5tan tan 144ππ== ϕ ()cos(2)f x x ϕ=+3x π=23k πϕπ∴⨯+=k Z ∈1k =3πϕ=3πtan αα4sin 5α=3cos 5α=-sin 4tan cos 3ααα∴==-22tan 24tan 217tan ααα==-24721()2sin cos(2)1cos 22cos 2sin(2)326f x x x x x x x ππ=+--=+-=-1()sin()6362f πππ=-=[0,]2x π∈52[,]666x πππ-∈-0x =1()(0)2min f x f ==-3x π=()()13max f x f π==()f x (0)m m >所得函数的图象与函数的图象重合，故，解得，当时，．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，属于基础题．37．【分析】若取①：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用正弦函数的对称性即可求解一条对称轴方程．（Ⅲ）由题意可求，利用正弦函数的性质即可求解其最值．若取②：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换及配方法化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）利用函数的周期性和对称性即可求解．（Ⅲ）由题意可求，利用二次函数的性质即可求解其最值．【解答】解：若取①，（Ⅰ），；（Ⅱ），的最小正周期，一条对称轴方程为．（Ⅲ），，函数在，，函数在，．若取②，（Ⅰ），；()sin(22)6g x x m π=+-cos 2y x =22()62m k k Z πππ-=+∈()3m k k Z ππ=+∈0k =3min m π=()f x 52444x πππ+……0sin 1x ……11ω=22:ω=2()2cos sin 2cos 2sin 21)14f x x x x x x π=+=++=++(0)1124f π∴=+==()14f x x π=++ ()f x ∴22T ππ==8x π=02x π……∴52444x πππ+……∴()f x [02π112π+=+()f x [0]2π5104π+=11ω=21:ω=222171()2cos sin 22sin sin 2(sin )84f x x x x x x =+=-+=--2171(0)2(0)284f ∴=-⨯-=（Ⅱ），的最小正周期，一条对称轴方程为．（Ⅲ），，函数在，上的最大值为：，函数在，上的最小值为：．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，属于中档题．38．【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式的形式，根据振幅为，周期，初相为，可得答案．（Ⅱ）根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期，的大致图象即可．【解答】解：（Ⅰ）由于，可得函数的振幅为2、周期为、初相为．（Ⅱ）列表如下：0200在一个周期内的图象如图所示：【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．39．【分析】先由已知求出，角的大小，进而可以对应各个问题逐个求解．【解答】解：由已知可得：，2171()2(sin )84f x x =-- ()f x ∴2T π=2x π=02x π……0sin 1x ∴……∴()f x [02π178()f x [0]2π21712(1184-⨯-=sin()y A x ωϕ=+A 2T πω=ϕ[02]π()2sin(26f x x π=+()f x π6π26x π+2ππ32π2πx12π-6π512π23π1112π()f x 2-()f x αβ,34ππαβ==（Ⅰ），，故，；（Ⅱ）故．【点评】本题考查了三角函数的定义以及求解三角函数值，考查了学生的运算能力，属于基础题．40．【分析】（1）弦化切即可求解；（2）根据已知求出对应的三角函数值，利用配凑法求出的值，由此可以求解．【解答】解：（1）因为，则；（2）因为锐角，满足，，则，，则，，所以，所以【点评】本题考查了两角和与差的三角函数求值的问题，涉及到角的范围，考查了学生的运算能力，属于基础题．41．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质求出函数的最小正周期和函数的单调区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．【解答】解：（1）函数，所以函数的最小正周期为．令，解得，tan tan14πβ==1cos()cos(cos332πππαπ+=+=-=-tan 1β=1cos()2πα+=-sin()sin cos cos sin sin coscossin3434ππππαβαβαβ-=-=-12-=sin()αβ-=cos 2β3tan 4α=-31sin cos tan 1143sin cos tan 1714αααααα-+++===-----αβ11cos()14αβ+=-sin()αβ-=(,)2παβπ+∈(0,)2παβ-∈sin()αβ+==1cos()7αβ-==cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()βαβαβαβαβαβαβ=+--=+-++-11111472=-⨯+=cos β==1()sin(223f x x π=-22T ππ==222()232k x k k Z πππππ-+-+∈……5()1212k x k k Z ππππ-++∈……故函数的单调递增区间为．（2）由于，所以，故，当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．42．【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．（Ⅱ）利用二倍角的正弦公式化简已知等式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，可得，可得（Ⅱ）若，可得，可得的一个值为．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．43．【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出的值即可；（2）由的值，利用完全平方公式求出的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出值．【解答】解：（1）方程的两根为、，，，，，，即，，解得：（负值舍去），5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈[,]44x ππ∈-52[,]366x πππ-∈-11()[,]24f x ∈-12x π=-12-4x π=141sin ,(,)32πααπ=∈cos α==sin tan cos ααα==cos 2sin()x x x ϕ=+152(cos )2sin(2sin()26x x x x πϕ=+=+ϕ56πbb sin cos θθ± 21204x bx -+=sin θcos θsin cos 2b θθ∴+=1sin cos 08θθ=> 3(,)44ππθ∈(42ππθ∴+∈)πsin cos )04πθθθ+=+>22221(sin cos )sin cos 2sin cos 1284b θθθθθθ∴+=++=+⨯=b =则（2），，．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．44．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义与诱导公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，根据，可得，进而得出及其周期、及其单调性．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，所以．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为，所以，所以，令，由得，，且的最小正周期为，即，于是，所以，由周期函数的定义可知，函数的最小正周期为．（在求周期时，直接用公式获得答案的，同样给分）由得，，所以函数的单调递增区间是．（9分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．45．【分析】（Ⅰ）若函数满足条件③，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件③；b =22213(sin cos )sin cos 2sin cos 1284θθθθθθ-=+-=-⨯= sin cos θθ∴-=sin cos θθ+ ∴22sin cos 1(sin cos )cos sin cos sin θθθθθθθθ++==--1sin 2α=(0,)2πα∈α()f x 1sin 2α=cos α=sin()cos 2παα-==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1sin 2α=(0,2πα∈6πα=1()sin(26f x x π=-126z x π=-x R ∈z R ∈sin y z =2πsin(2)sin z z π+=11sin(2)sin(2626x x πππ-+=-11sin((4))sin()2626x x πππ+-=-()f x 4π2||T πω=122,2262k x k k Z πππππ-+-+∈……2444,33k x k k Z ππππ-++∈……()f x 24[4,4],33k k k Z ππππ-++∈⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()f x (0)sin 1f A ϕ==-0A >02πϕ<<()f x（Ⅱ）由条件①，利用周期公式可求，由条件②，可得，由条件④，可得，结合范围，可求，可得函数解析式；（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则，这与，矛盾，故函数不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④，（Ⅱ）由条件①，可得，又因为，可得，由条件②，可得，由条件④，可得，又因为，所以，所以；（Ⅲ）由，，可得：，，可得的单调递增区间为，．【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．46．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可．（Ⅱ）根据函数的单调性进行求解即可．（Ⅲ）根据函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），即函数的周期．（Ⅱ）由，，得，，即，，即函数的单调递增区间为，，，1ω=2A =()06f π-=02πϕ<<3πϕ=()f x (0)sin 1f A ϕ==-0A >02πϕ<<()f x ()f x 22||ππω=0ω>1ω=2A =(2sin()033f ππϕ-=-+=02πϕ<<3πϕ=()2sin()3f x x π=+22232k x k πππππ-++……k Z ∈52266k x k ππππ-+……k Z ∈()f x 5[26k ππ-2]()6k k Z ππ+∈sin()y A x ωϕ=+21()2(cos )sin sin cos 2f x x x x x x x=+=+11cos 21sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x π-==-+=-22T ππ==222232k x k πππππ--+……k Z ∈522266k x k ππππ-+……k Z ∈51212k x k ππππ-+……k Z ∈[12k ππ-5]12k ππ+k Z ∈由，，得，，即，，即函数的单调递减区间为，，．（Ⅲ）当时，函数的递增区间为，，若函数在，上单调递增，则，即实数的取值范围是．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性，单调性的性质是解决本题的关键，是中档题．47．【分析】（Ⅰ）用五点法作函数在一个周期上的简图；（Ⅱ）根据函数的图象变换规律，可得结论；（Ⅲ）由正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）列表：0300描点，连线，作图如下：（Ⅱ）法一：将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，再将得到的图象向左平移得到．法二：将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，3222232k x k πππππ+-+…k Z ∈51122266k x k ππππ++……k Z ∈5111212k x k ππππ++……k Z ∈5[12k ππ+1112k ππ+k Z ∈0k =[12π-512π()f x [0]m 5012m π<…m 5012m π<…sin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+26x π+2ππ32π2πx12π-6π512π23π1112π()f x 3-sin y x =3sin y x =123sin 2y x =12π()3sin(2)6f x x π=+sin y x =3sin y x =再将得到的图象向左平移得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到．（Ⅲ）若，则，即，或，，即，或，，又，所以或或．【点评】本题主要考查五点法作函数的图象，函数的图象变换规律以及正弦函数的性质，属于中档题．48．【分析】（Ⅰ）根据所选条件确定函数的解析式，再由正弦函数的单调性即可求得的单调递增区间；（Ⅱ）由正弦函数的性质即可求得最值．【解答】解：选择条件①②解答如下：（Ⅰ）由函数最小正周期，得．又图象关于点对称，有，又已知，故．因此．，解得，．所以的单调递增区间为．（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值1；当，即时，取得最小值．如果选择条件①③解答如下：由函数最小正周期，得．又函数图象关于对称，有，6π3sin(6y x π=+12()3sin(2)6f x x π=+03()2f x =033sin(2)62x π+=02266x k πππ+=+k Z ∈052266x k πππ+=+k Z ∈0x k π=k Z ∈03x k ππ=+k Z ∈0[2x π∈3]π02x π=03x π=73πsin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+()f x ()f x ()f x 2||T ππω==2ω=()f x (,0)6π-sin[2()]06πϕ⨯-+=(0,)2πϕ∈3πϕ=()sin(23f x x π=+222,232k x k k Z πππππ-+++∈由……51212k x k ππππ-++……k Z ∈()f x 5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈02x π (423)33x πππ+……232x ππ+=12x π=()f x 4233x ππ+=2x π=()f x ()f x 2||T ππω==2ω=()f x 12x π=sin(2)112πϕ⨯+=±。

北京市第二中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题一、选择题1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（ ）．A ．{}1,3B ．{}3,9C ．{}3,5,9D ．{}3,7,92．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[](2)f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ． 23．为了得到函数133xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(],1-∞-上是增函数，则（ ）．A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x =B ． 1()f x x -=C ．12()f x x =D ．3()f x x =6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）．A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x A ．(1),-∞B ．(3,)+∞C ．(1,2)D ．(2,3)8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称； （3）[]643log log (log 81)1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(8)f =__________．10．函数()f x =的定义域是__________．11．已知函数3()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可）14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t（年）的函数图像（如图）以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 三、解答题 15．计算：（1）2103227161)-+-． （2）7log 2222632log 3log log 778-+-．16．已知函数()f x =A ，{}B x x a =<．（1）若全集{}4U x x =≤，求U C A ． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．17．已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式．18．已知函数22()log (4)f x x =-． （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值．19．设函数()(0)y f x x x =∈≠R 且，对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=． （1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．北京市第二中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（ ）．A ．{}1,3B ．{}3,9C ．{}3,5,9D ．{}3,7,9【答案】B 【解析】2．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[](2)f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ． 2【答案】D 【解析】3．为了得到函数133x y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度【答案】D 【解析】4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(],1-∞-上是增函数，则（ ）．A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x =B ． 1()f x x -=C ．12()f x x =D ．3()f x x =【答案】B【解析】6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）．A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x A ．(1),-∞B ．(3,)+∞C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称； （3）[]643log log (log 81)1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C 【解析】二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(8)f =__________．【解析】10．函数()f x =的定义域是__________．【答案】2,13⎛⎤⎥⎝⎦【解析】11．已知函数3()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 【答案】(3,2) 【解析】12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 【答案】1 【解析】13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可） 【答案】指数函数或值为1或0的常函数 【解析】14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t（年）的函数图像（如图）以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 【答案】②④【解析】三、解答题 15．计算：（1）2103227161)-+-． （2）7log 2222632log 3log log 778-+-． 【答案】（1）334（2）1【解析】16．已知函数()f x =A ，{}B x x a =<．（1）若全集{}4U x x =≤，求U C A ． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）{}234U C A x x x =-<或≤≤ （2）3a >【解析】17．已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式．【答案】（1）2(5)3f =-（2）证明略 （3）0x >时，1()1xf x x-=+ 【解析】18．已知函数22()log (4)f x x =-． （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值． 【答案】（1）(2,2)- （2）当0x =时，()f x 的最大值是2【解析】19．设函数()(0)y f x x x =∈≠R 且，对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=．（1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．【答案】见解析【解析】（1）证略（2）证略（3x <<且0x ≠且12x ≠。

北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2020-2021学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。

2021年北京第二中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式并整理，即．现有周长为的△ABC满足：，试用“三斜求积术”求得△ABC的面积为（）A. B. C. D.参考答案：A∵∴由正弦定理得∵∴，，∴，∴故选A.2. 设f(x)＝a sin(x＋)＋b cos(x＋)＋4，其中a、b、、均为非零实数，若f(1988)＝3，则f(2013)的值为( )A.1B.5C.3D.不确定参考答案：B3.A．B．C．D．参考答案：B4. 直线l1、l2的斜率是方程x2－3x－1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（） [来源:高&考%资(源#网 ]A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直参考答案：D5. 满足“对定义域内任意实数，都有”的函数可以是（）A． B． C． D．参考答案：D6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：B略7. 将正整数排列如下：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……则图中数2020出现在( )A. 第64行3列B. 第64行4列C. 第65行3列D. 第65行4列参考答案：B【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判断出现在第几列，得到答案.【详解】每行的首个数字为：1,2,4,7,11…利用累加法：计算知：数出现在第行列故答案选B【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键.8. 已知点M是直线与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是( )A. B.C. D.参考答案：D直线与x轴的交点为，设直线的倾斜角为，则，，∴把直线绕点M按逆时针方向旋转45°，得到直线的方程是，化为，故选D. 9. 下列函数中，既是偶函数又在(－∞,0)上是单调递减的是A. B. C. D.参考答案：B【分析】可先确定奇偶性，再确定单调性．【详解】由题意A、B、C三个函数都是偶函数，D不是偶函数也不是奇函数，排除D，A中在上不单调，C中在是递增，只有B中函数在上递减．故选B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时可分别确定函数的这两个性质．10. 若，，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=3，则f(-1)= .参考答案：12. 已知直线：，：.若，则实数m=____．参考答案：【分析】根据直线互相垂直的判定公式得到结果.【详解】直线：，：.若，则故答案为：.【点睛】这个题目考查了已知两直线的位置关系求参数的应用，属于基础题.13. 当函数取得最大值时，___________.参考答案：14. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的周长为7,面积为，，则c= ．参考答案：3 15. 已知，满足tan （α+β）﹣2tan β=0，则tan α的最大值是 ．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】转化思想；判别式法；三角函数的求值．【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，化为关于tan β的一元二次方程，利用判别式求出tan α的最大值．【解答】解：∵tan（α+β）﹣2tanβ=0， ∴tan（α+β）=2tanβ，∴=2tanβ，∴2tanαtan 2β﹣tanβ+tanα=0，① ∴α，β∈（，2π），∴方程①有两负根，tan α＜0， ∴△=1﹣8tan 2α≥0， ∴tan 2α≤，∴tanα≤﹣；即tanα的最大值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切公式，也考查了一元二次方程与根与系数的应用问题，是综合性题目．16. 若函数y=的定义域为R ，则实数a 的取值范围 ．参考答案：[0，）【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】由题意得不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：0≤a＜，故答案为：[0，）． 17. 已知正数满足，则的最小值为 .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021北京第二中学分校高中必修一数学上期末一模试题(含答案)一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,24．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞5．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12BC．2D ．26．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．77．若x 0＝cosx 0，则（ ）A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 8．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7-UC ．()()2,02,-+∞UD ．[)(]7,22,7--U10．曲线241(22)y x x =-+-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 11．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1} B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5} 12．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___．14．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.15．函数20.5log y x =________ 16．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.17．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 18．已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________．19．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______.20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B I U ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．22．为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x 分别满足()8f x =+1()124g x x =+.设甲大棚的投入为a ，每年两个大棚的总收入为()F a .（投入与收入的单位均为万元）（Ⅰ）求(8)F 的值.（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人()F a 最大？并求最大年总收入.23．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()20201f =，且当1x >时，()0f x >. （1）求()1f ；（2）求证：()f x 在定义域内单调递增;（3）求解不等式12f<. 24．设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.25．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？26．已知函数()212xxk f x -=+（x ∈R ） （1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．4．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.343066f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.078044f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y x a a -[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．【详解】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．10．A解析：A 【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法11．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}=∴⋃=⋃=痧．故选C.2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．12．A解析：A【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题13．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0由函数单调性可得在（04）上f（x）＜0在（4+∞）上f（x）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根解析： [-4，0]∪[4，+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f（x）＜0，在（4，+∞）上，f（x）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案.【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，又由f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f（x）＜0，在（4，+∞）上，f（x）＞0，又由函数f（x）为奇函数，则在（-4，0）上，f（x）＞0，在（-∞，-4）上，f（x）＜0， 若f （x ）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4， 则不等式f （x ）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）； 故答案为：[-4，0]∪[4，+∞）． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．14．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故解析：3 【解析】 【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合. 【详解】因为函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=, 所以(3)(6)0m m --=, 所以3m =或6m =-, 当3m =时,12()f x x-=,其图象不过原点,符合题意;当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意. 综上所述:3m =. 故答案为:3 【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.15．【解析】【分析】先求得函数的定义域然后利用同增异减来求得复合函数的单调区间【详解】依题意即解得当时为减函数为减函数根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查复合函数的单 解析：[)1,0-【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用“同增异减”来求得复合函数的单调区间. 【详解】依题意220.50log 0x x ⎧>⎨≥⎩，即201x <≤，解得[)(]1,00,1x ∈-U .当[)1,0x ∈-时，2x 为减函数，0.5log x 为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知，函数y =递增区间是[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查复合函数的单调区间的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.16．【解析】【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得解析：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a 的取值范围. 【详解】当1x ≥时,()12x f x -=,此时值域为[)1,+∞ 若值域为R ,则当1x <时.()()123f x a x a =-+为单调递增函数,且最大值需大于等于1 即1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩,解得102a ≤<故答案为:10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.17．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围． 【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．18．【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数∵函数故计算得出：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段解析：13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】若对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立， 则函数()f x 在R 上为减函数，∵函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，故22012(2)12a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩， 计算得出：13,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.19．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：{}1-【解析】 【分析】由幂函数()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求出a 的值． 【详解】因为11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，幂函数为奇()a f x x =函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <， 1a ∴=-．故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题解析：5 【解析】 【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ，cos 1x =-的解有π， cos 1x =的解有0,2π,故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】 【分析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈.【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．22．（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元. 【解析】 【分析】（I ）根据题意求得()F a 的表达式，由此求得()8F 的值.（II ）求得()F a 的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得()F a 的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入. 【详解】（Ⅰ）由题意知11()8(20)122544F a a a =+-+=-+，所以1(8)825394F =-⨯+=（万元）. （Ⅱ）依题意得2,218202a a a ⎧⇒⎨-⎩…剟….故1()25(218)4F a a a =-+剟.令t =t ∈，2211()25(5744G t t t =-++=--+，显然在上()G t 单调递增，所以当t =18a =时，()F a 取得最大值，max ()44.5F a =.所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元. 【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查含有根式的函数的最值的求法，属于中档题.23．（1）0；（2）证明见解析；（3）()()1,02019,2020x ∈-U 【解析】 【分析】（1）取1x y ==，代入即可求得()1f ； （2）任取210x x >>，可确定()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=>⎪⎝⎭，根据单调性定义得到结论； （3）利用12f=将所求不等式变为f f<，结合定义域和函数单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）取1x y ==，则()()()111f f f =+，解得：()10f = （2）任取210x x >>则()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=⋅-= ⎪⎝⎭()()221111x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭210x x >>Q 211x x ∴> 210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，即()()210f x f x -> ()f x ∴在定义域内单调递增（3）()20201f ff=+=Q12f∴=12ff ∴<=由（2）知()f x 为增函数220190x x ⎧->⎪∴< 解得：()()1,02019,2020x ∈-U 【点睛】本题考查抽象函数单调性的证明、利用单调性求解函数不等式的问题；关键是能够通过单调性的定义证明得到函数单调性，进而根据函数单调性将函数值的比较转化为自变量的比较；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误. 24．（1）4,2a b ==（2）2log x =（3）()[]0,240g x ∈ 【解析】 【分析】（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可 （2）令()0f x =得421x x -=，即()22210xx --=，然后解出即可（3）()42xxg x =-，令2x t =，转化为二次函数 【详解】（1）由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得4,2a b ==；（2）由（1）知()()2log 42xxf x =-，令()0f x =得421xx -=，即()22210xx --=，解得122x =，又20,2x x >∴=，解得2log x = （3）由（1）知()42xxg x =-，令2x t =，则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈， 因为()g t 在[]1,16t ∈上单调递增所以()[]0,240g x ∈， 25．(1)()) 05f x x =≥，()()205g x x x =≥；(2) 当投资A 产品116万元，B 产品15916万元时，收益最大为16140. 【解析】 【分析】（1）设出函数解析式，待定系数即可求得；（2）构造全部收益关于x 的函数，求函数的最大值即可. 【详解】（1）由题可设：()f x k =，又其过点()1,0.2， 解得：10.2k =同理可设：()2g x k x =，又其过点()1,0.4， 解得：20.4k =故())05f x x =≥，()()205g x x x =≥ （2）设10万元中投资A 产品x ，投资B 产品10x -，故：总收益()()10y f x g x =+-=5+()2105x - 7a +t =，则t ⎡∈⎣，则：221455y t t =-++=2211615440t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭故当且仅当14t =，即116x =时，取得最大值为16140. 综上所述，当投资A 产品116万元，B 产品15916万元时，收益最大为16140. 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、以及实际问题与函数的结合，属函数基础题. 26．（1）1k =（2）30a -≤≤ 【解析】 【分析】（1）根据()00f =计算得到1k =，再验证得到答案.（2）化简得到()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立，计算得到答案. 【详解】（1）因为()f x 为奇函数且定义域为R ，则()00f =，即002021k -=+，所以1k =.当1k =时因为()f x 为奇函数，()()12212121x x x x f x f x -----===-++，满足条件()f x 为奇函数.（2）不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立即()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，因为()f x 为奇函数，所以()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立（*）在R 上任取1x ，2x ，且12x x <，则()()()21121212122221212()()12121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， 因为21x x >，所以1120x +>，2120x +>，21220x x ->， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递减； 所以（*）可化为24x ax -≤-对[]1,2x ∈-恒成立， 即240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立.令()24g x x ax =+-，因为()g x 的图象是开口向上的抛物线，所以由()0g x ≤有对[]1,2x ∈-恒成立可得：()()10,20,g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即140,4240,a a --≤⎧⎨+-≤⎩解得：30a -≤≤，所以实数a 的取值范围是30a -≤≤. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.。

北京第二中学2020年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内,若是目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无数个,则a的值等于A. B.1 C.6 D.3参考答案：B将z=ax+y化为斜截式y=-ax+z(a>0),则当直线在y轴上截距最大时,z最大.∵最优解有无数个,∴当直线与AC重合时符合题意.又kAC=-1,∴-a=-1,a=1.2. 与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（）A. 2x+y－3=0B. 2x+y+3=0C. x+2y+3=0D. x+2y－3=0参考答案：A在所求直线上取点（x，y），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，b），则∴a=2-x，b=-y，∵（a，b）在直线2x+y-1=0上∴2a+b-1=0∴2（2-x）-y-1=0∴2x+y-3=0故选A3. 已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m则f（5）+f（﹣5）的值为( ) A．4 B．0 C．2m D．﹣m+4参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由题意设g（x）=ax7﹣bx5+cx3，则得到g（﹣x）=﹣g（x），即g（5）+g（﹣5）=0，求出f（5）+f（﹣5）的值．【解答】解：设g（x）=ax7﹣bx5+cx3，则g（﹣x）=﹣ax7+bx5﹣cx3=﹣g（x），∴g（5）=﹣g（﹣5），即g（5）+g（﹣5）=0∴f（5）+f（﹣5）=g（5）+g（﹣5）+4=4，故选A．【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求值，根据函数解析式构造函数，再由函数的奇偶性对应的关系式求值．4. 已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．3参考答案：B【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用韦达定理和等差数列的性质能求出a5．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，∴a3+a7=2a5=8，解得a5=4．故选：B．5. 下列四组函数，表示同一函数的是（）A．, B．，C．， D．＞,参考答案：D6. 已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A. （–1，1）B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）参考答案：C【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.7. 下列各式中值等于的是（）A． B. C. D.参考答案：B8. 中,、、C对应边分别为、、.若,,,且此三角形有两解,则的取值范围为 ( )A. B. C. D.参考答案：A9. 函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（）8参考答案：B10. （5分）已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直平行六面体}，则（）A．A?B?C?DB．C?A?B?DC．A?C?B?DD．它们之间不都存在包含关系参考答案：C考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据这六种几何体的特征，可以知道包含元素最多的是直平行六面体，包含元素最少的是正方体，其次是正四棱柱，得到结果．解答：在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，最小的是正方体，其次是正四棱柱，在四个选项中，只有C符合这四个之间的关系，其他的不用再分析，故选C．点评：本题考查四棱柱的结构特征，考查集合之间的包含关系的判断及应用，是一个比较全面的题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数是奇函数，当时，；则当时，_____________________.参考答案：12. 函数的单调递减区间参考答案：13. 若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围．参考答案：[0，）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意得不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：0≤a＜，故答案为：[0，）．14. 函数的最小正周期是 .参考答案：2略15. 已知=（2，0），=（1，），若（1﹣λ）+λ﹣=（λ∈R），则||的最小值为．参考答案：【考点】向量的模．【分析】求出的坐标，得出||关于λ的函数，利用二次函数的性质得出最小值．【解答】解：∵（1﹣λ）+λ﹣=，∴=（1﹣λ）+=（2﹣λ，），∴||===2≥2×=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的模长计算，属于中档题．16. 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是．参考答案：（﹣，）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，过定点A（1，2）作圆的切线有两条，点A必在圆外，推出不等式，然后解答不等式即可．【解答】解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为（﹣，﹣1），半径r=，条件是4﹣3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即＞．化简得a2+a+9＞0．由4﹣3a2＞0，a2+a+9＞0，解之得﹣＜a＜，a∈R．故a的取值范围是（﹣，）．【点评】本题考查圆的切线方程，直线和圆的方程的应用，考查一元二次不等式的解法，逻辑思维能力，是中档题．17. 已知偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则f、f、f从小到大的顺序参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021北京市高中必修三数学上期末试题含答案一、选择题1．在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >2．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A ．85B ．84C ．83D ．813．执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（ ）A ．3B ．52C ．12D ．34-4．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A．30B．20C．12D．85．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（）A．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B．该校只有50名学生不喜欢阅读C．该校只有50名学生喜欢阅读D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸6．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A，B两个贫困县各有15名村代表，最终A县有5人表现突出，B县有3人表现突出，现分别从A，B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是（）A．13B．47C．23D．567．设A为定圆C圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A2倍的概率（）A．34B．35C．13D．128．下列赋值语句正确的是( ) A ．s ＝a ＋1 B ．a ＋1＝s C ．s －1＝a D ．s －a ＝19．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，L ，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）． A ．151B ．168C ．1306D ．140810．按照程序框图（如图所示）执行，第3 个输出的数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2912．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．15二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．若正方形ABCD 的边长为4, E 为四边形上任意一点,则AE 的长度大于5的概率等于______15．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则()E X =______________．16．已知样本数据为40，42，40，a ，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________.17．农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为___ 18．为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为________．19．现有编号为1，2，3，…，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是__________．20．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为___________三、解答题21．某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A类学生，已知体育健康A类学生中有10名女生.（Ⅰ）根据已知条件完成下面22列联表，并据此资料你是否认为达到体育健康A类学生与性别有关？非体育健康A类学生体育健康A类学生合计男生（Ⅱ）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生，已知体育健康A +类学生中有2名女生，若从体育健康A +类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率. 附：()()()()()22n ad bc k a c b d c d a b -=++++22．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 000人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1个人为在校学生的概率．23．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[]185,195（单位:cm ）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在[)145,155和[]185,195（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm 的概率．24．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. （1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率； （2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.25．某单位为了解其后勤部门的服务情况，随机访问了40名其他部门的员工，根据这40名员工对后勤部门的评分情况，绘制了频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（1）求a 的值；（2）估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的中位数；（3）以评分在[)40,60的受访者中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤部门评分在[)40,50内的概率.26．在最强大脑的舞台上，为了与国际X 战队PK ，假设某季Dr.魏要从三名擅长速算的选手A 1,A 2,A 3，三名擅长数独的选手B 1,B 2,B 3，两名擅长魔方的选手C 1,C 2中各选一名组成中国战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C 1已确定入选，而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等.(Ⅰ)求A 1被选中的概率； (Ⅱ)求A 1,B 1不全被选中的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据二项式5(2)x +展开式的通项公式，求出3x 的系数，由已知先求a 的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件． 【详解】解：由于32300(21)|6a x dx x x =-=-=⎰，Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅，令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅；3x ∴的系数是32352140C ⋅⋅=．∴程序运行的结果S 为360，模拟程序的运行，可得6k =，1S = 不满足条件，执行循环体，6S =，5k = 不满足条件，执行循环体，30S =，4k = 不满足条件，执行循环体，120S =，3k = 不满足条件，执行循环体，360S =，2k =由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为360． 则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <？ 故选A ． 【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解． 【详解】由一组数据的茎叶图得： 该组数据的平均数为：1(7581858995)855++++=． 故选：A ． 【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可. 【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=， 不满足退出循环的条件，则3x =，第二次执行循环：12y =，此时52y x -=， 满足退出循环的条件，故输出的y 值为12，故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．A解析：A 【解析】从流程图看，该程序是利用辗转相除法计算,m n 的最大公约数.题设中已知72m =，输入的数为n ，程序给出了它们的最大公约数为6，比较四个数，只有72,30的最大公约数为6，故输入的数n 的值为30，选A. 5．A解析：A【解析】【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.【详解】根据频率分布直方图可列下表：故选A.【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.6．B解析：B【解析】【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解．【详解】由已知有分别从A，B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有1111 151********C C C C⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B县选取的人表现不突出，则共有1151260C C⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是604 1057=.故选：B．【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.7．D解析：D【解析】【分析】的图象的测度，再代入几何概型计算公式求解，即可得到答案．【详解】根据题意可得，满足条件：“弦的长度超过2R 对应的弧”，其构成的区域为半圆»NP, 则弦长超过半径2倍的概率»12NP P ==圆的周长，【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算中的“几何度量”，对于几何概型的“几何度量”可以线段的长度比、图形的面积比、几何体的体积比等，且这个“几何度量”只与“大小”有关，与形状和位置无关，着重考查了分析问题和解答问题的能力．8．A解析：A【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，B 、C 、D 都不正确．选A.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用组合数列总事件数，根据等差数列通项公式确定所求事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：共有318C 17163=⨯⨯种事件数，选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-， 由1、4、7、10、13、16，可得4种， 由2、5、8、11、14、17，可得4种， 由3、6、9、12、15、18，可得4种，4311716368p ⨯==⨯⨯．选B ． 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.10．B解析：B 【解析】第一次输出1,A =第二次输出123A =+=，第三次输出325A =+= ，选B.11．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x 的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m 的值即可． 【详解】 由题意可得：810111214115x ++++==，由线性回归方程的性质可知：99112744y =⨯+=， 故21252835275m++++=，26m ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．12．A解析：A 【解析】 【分析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数p 的取值范围，于此可得出整数p 的最小值. 【详解】0S p =<满足条件，执行第一次循环，0021S =+=，112n =+=；1S p =<满足条件，执行第二次循环，1123S =+=，213n =+=； 3S p =<满足条件，执行第二次循环，2327S =+=，314n =+=. 7S p =<满足条件，调出循环体，输出n 的值为4.由上可知，37p <≤，因此，输入的整数p 的最小值是4，故选A. 【点睛】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简根据三角函数的变化规律求出函数的解析式即可计算出的值【详解】由题意可得因此故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简三角函数图象变换在三角图象相位变换的解析：【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数sin 22y x x =-的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数()y g x =的解析式，即可计算出56g π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【详解】sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭Q ，由题意可得()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此，5552sin 22sin 2sin 22sin 66333g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为 【点睛】本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为()()sin 0y A x b ωϕω=++≠（或()()cos 0y A x b ωϕω=++≠）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量x 上进行加减，考查计算能力，属于中等题．14．【解析】【分析】确定在正方形的位置即可求解【详解】由题时则当在上运动时的长度大于5故的长度大于5的概率等于故答案为【点睛】本题考查长度型几何概型确定的轨迹是关键是基础题解析：18【解析】 【分析】确定E 在正方形的位置即可求解 【详解】由题3BG DF ==时5AG AF ==，则当E 在,GC CF 上运动时，AE 的长度大于5 故AE 的长度大于5的概率等于111168+=故答案为1 8【点睛】本题考查长度型几何概型，确定E的轨迹是关键，是基础题15．【解析】【分析】列出随机变量的分布列求解【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型所以：其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为： 5 4 3 4 2 则【点睛】本题考查几何概型及随解析：3.5625【解析】【分析】列出随机变量的分布列求解.【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型，所以：其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为：X54342P 183165161418则()54342 3.56258161648E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查几何概型及随机变量的分布列.16．【解析】【分析】由平均数的公式求得再利用方差的计算公式求得即可求解【详解】由平均数的公式可得解得所以方差为所以样本的标准差为【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差标准差的计算着重考查了运算与求解能221【解析】【分析】由平均数的公式，求得49a =，再利用方差的计算公式，求得2283s =，即可求解. 【详解】由平均数的公式，可得1(4042404344)436a +++++=，解得49a =， 所以方差为2222222128[(4043)(4243)(4043)(4343)(4343)(4443)]63s =-+-+-+-+-+-=，所以样本的标准差为s = 【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差、标准差的计算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.17．【解析】【分析】基本事件总数事件至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶包含的基本事件个数由此能求出事件至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶的概率【详解】为了迎接新年小康小梁小谭小刘小林每人写了一张心愿卡设计了 解析：31120【解析】 【分析】基本事件总数55n A =，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数21335255m C C C C =++，由此能求出事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率．【详解】为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡， 设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶．现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，基本事件总数55120n A ==，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数2133525531m C C C C =++=，∴事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为31120m p n ==， 故答案为31120． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．1-π12【解析】【分析】由题意得长方形的面积为S=3×2=6以O 点为原型半径为1作圆此时圆在长方形内部的部分的面积为Sn=π2再由面积比的几何概型即可求解【详解】由题意如图所示可得长方形的面积为S 解析：【解析】 【分析】由题意，得长方形的面积为，以O 点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，再由面积比的几何概型，即可求解.【详解】由题意，如图所示，可得长方形的面积为，以O 点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，所以取到的点到的距离大于1的表示圆的外部在矩形内部分部分， 所以概率为.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19．80【解析】【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有5101520253035404550556065707580859095100 解析：80 【解析】 【分析】本道题一一列举，把满足条件的编号一一排除，即可． 【详解】该数可以表示为32,5,73k m n ++，故该数一定是5的倍数，所以5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100，该数满足减去3能够被7整除，只有10,45,80，而同时要满足减去2被3整除，所以只有80. 【点睛】本道题考查了列举法计算锁编号问题，难度一般．20．4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4因此当n=4时满足判断框的条件故跳出循环程序故输出的n 的值为4故答案为4解析：4 【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4， 因此当n=4时，满足判断框的条件，故跳出循环程序． 故输出的n 的值为4． 故答案为4．三、解答题21．（Ⅰ）见解析，没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关（Ⅱ）710【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅱ）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】（Ⅰ）由频率颁布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A 类学生有25人，从而22⨯列联表如下：22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯；所以没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，体育健康A +类学生为5人，记a 、b 、c 表示男生，D 、E 表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为{ab Ω=，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE ；Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中至少有1名是女生”这一事件，则{A aD =，aE ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE 共计7种；故所求的概率值为P=（A）7 10 =．【点睛】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．22．(1)22.(2)8 15【解析】【分析】（1）先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06，由已知条件求出x，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用抽样比能求出应在“无所谓”态度抽取的人数；（2）先根据分层抽样，求出在校学生和社会人士的人数，再计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰好1个人为在校学生的情况数，代入古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】(1)由抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06，∴1200.063000x+=，∴60x=，∴持“无所谓”态度的人数共有3000210050012060220----=，∴应在“无所谓”态度抽取300220223000⨯=人，(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为12064180⨯=人，分别记为1，2，3，4，社会人士为6062180⨯=人，记为,a b，则这6人中任意选取2人，共有15种不同情况，分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,)a，(1,)b，(2,3)，(2,4)，(2,)a，(2,)b，(3,4)，(3,)a，(3,)b，(4,)a，(4,)b，(,)a b，这2人中恰好有1个人为在校学生：(1,)a，(1,)b，(2,)a，(2,)b，(3,)a，(3,)b，(4,)a，(4,)b共8种，故这2人中恰好有1个人为在校学生的概率为8 P=15.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中正确利用列举法列举出基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．23．（1）4（2）171.5?cm（3）2 5【解析】试题分析：（1）根据频率直方图的总面积为1，可求得a0.010=,n=N*高*组距400.01104⨯⨯=．（2）平均数为，每个区间的中点值与频率乘积和．（3）学生身高在[]185,195内的人有4个，记这四人为a,b,c,d ．所以，身高在[)145,155和[]185,195内的男生共6人．采用枚举可得总共15个基本事件，满足的有6个．()62P M 155==． 试题解析：（Ⅰ）根据题意， ()0.005a 0.0200.0250.040101++++⨯=. 解得 a 0.010=．所以样本中学生身高在[]185,195内（单位:cm ）的人数为400.01104⨯⨯=． （Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则x 1500.051600.21700.41800.251900.1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7.532684519171.5=++++= ．所以，该校男生的平均身高为171.5cm ．（Ⅲ）样本中男生身高在[)145,155内的人有400.005102⨯⨯=（个），记这两人为A,B ．由（Ⅰ）可知，学生身高在[]185,195内的人有4个，记这四人为a,b,c,d ． 所以，身高在[)145,155和[]185,195内的男生共6人．从这6人中任意选取2人，有b,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB ， 共15种情况．设所选两人的身高都不低于185cm 为事件M ，事件M 包括ab,ac,ad,bc,bd,cd ，共6种情况．所以，所选两人的身高都不低于185cm 的概率为()62P M 155==． 24．（1）1225；（2）2125.【解析】分析：（1）先求出全体基本事件共有25种情形，再求出取到的2个球中恰好有1个是黑球的情况有12种，即可得到答案；（2）求对立事件没有一个红球，即全是黑球的情况，从而即可求出. 详解：全体基本事件共有25种情形，（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形， 故概率1225P =. （2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球， 即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形， 即42112525P =-=.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法． 25．（1）0.01a =；（2）中位数75；（3）35【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列方程，解方程求得a 的值. （2）根据频率分布直方图，求得中位数的估计值.（3）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】（1）依题意()0.0050.0150.020.03101a ++++⨯=，解得0.01a =. （2）由于()0.0050.010.02100.35++⨯=，所以中位数为0.50.3570750.03-+=. （3）[)40,50的人数为400.005102⨯⨯=，记为1,2；[)50,60的人数为400.01104⨯⨯=，记为3,4,5,6.从1,2,3,4,5,6中任取两人，可能情况有：12,13,14,15,16,23,24,25,26，34,35,36,45,46,56共15种，其中至少有1人对后勤部门评分在[)40,50内的为12,13,14,15,16,23,24,25,26共9种，故随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤部门评分在[)40,50内的概率为93155=. 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查利用频率分布直方图计算中位数，考查古典概型的计算，属于基础题. 26．（Ⅰ）13（Ⅱ） 89【解析】分析：(Ⅰ)利用古典概型概率公式求出A 1被选中的概率； (Ⅱ)利用对立事件概率公式求出求A 1,B 1不全被选中的概率.详解：(Ⅰ)从擅长速算、数独的6名选手中各选出1名与魔方选手C 1组成中国战队的一切可能的结果组成集合Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}， 由9个基本事件组成．由题知每一个基本事件被抽取的机会均等，用M 表示“A 1被选中”，则 M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 1)}， 因而.(Ⅱ)用N 表示“A 1、B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A 1、B 1全被选中”，由于＝{(A1，B1，C1) }，∴，从而点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.。