2020-2021学年陕西省汉中市汉台中学西乡中学高二上学期期末联考数学(理)试题

汉中中学2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学(理科)试题一.选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.i 是虚数单位，则1i 1i -=+（ ） A. iB. -iC. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-． 故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8【答案】C【解析】 试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图3.设曲线2y ax =在点()1,a 处的切线与直线260x y --=平行，则a =( ) A. 1-B. 1C. 12-D. 12【答案】B【解析】∵2y ax =，∴2y ax '=，∴1|2x y a =='，∵曲线2y ax =在点()1,a 处的切线与直线260x y --=平行 ∴22a =，解得1a =．选B ．4.“01k <<”是“方程2212x y k-=表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 若方程2212x y k-=表示双曲线，则有0k >，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】因为方程2212x y k-=表示双曲线等价于0k >， 所以“01k <<”，是“方程2212x y k-=表示双曲线”的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于基础题.5.某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（ ）A. 80B. 90C. 120D. 150【答案】D【解析】【分析】 根据频率分布直方图计算成绩不低于80分的频率，然后根据频数=频率⨯总数可得所求．【详解】解：根据频率分布直方图，得；成绩不少于80分的频率为(0.0150.010)100.25+⨯=，所以估计成绩优秀的学生人数为6000.25150⨯=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了频率、频数的计算问题，也考查了数形结合的数学思想，属于基础题． 6.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品事先拟订的价格进行试销，得到如下数据．由表中数据求得线性回归方程ˆˆ4=-+y x a ，则15＝x 元时预测销量为（）A. 45件B. 46件C. 49件D. 50件【答案】B【解析】【分析】 计算出,x y 代入回归直线方程，求得$a，再令15x =求得预测值. 【详解】依题意 6.5,80x y ==，代入ˆˆ4=-+y x a 得$80 6.54106a =+⨯=，即ˆ4106y x =-+，当15x =时，$6010646y =-+=，故选B.【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点(),x y ，考查利用回归直线方程进行预测，属于基础题. 7.已知椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=（0a >，0b >）有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 5y x =±B. 3y x =±C. 5y x =±D. 2y x =±【答案】D【解析】【分析】求出椭圆焦点坐标，即为双曲线焦点坐标，再由双曲线中,,a b c 的关系求得a 后可得渐近线方程．【详解】椭圆E 的焦点为()3,0±．故22354a =-=．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±．故选D ．【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查其几何性质．属于基础题．8.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱C 1D 1的中点，则异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为（）A. 2 C. 6 【答案】C【解析】【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，写出A ，M ，B ，D 坐标，求出对应向量，即可求出结果．【详解】解：正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，M 为A 1B 1的中点，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，A （1，0，0），M （0，12，1），B （1，1，0），D （0，0，0）， AM u u u u r =（-1，12，1），()110DB =u u u r ，，， cos AM BD u u u u r u u u r ＜，＞=112362-+=-， 所以异面直线AM 与BD故选C ．【点睛】本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题．9.正四棱锥S ABCD -中，2SA AB ==，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）B. 6C. 3D. 3【答案】C【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出AC u u u r 和平面SBC 的法向量n r ，直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值即为AC u u u r 与n r 的夹角的余弦值的绝对值，利用夹角公式求出即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.有图知SO===，由题得()1,1,0A-、()1,1,0C-、()1,1,0B、(S.()2,2,0CA∴=-u u u r，(1,BS=--u u u r，(1,CS=-u u u r.设平面SBC的一个法向量(),,n x y z=r，则n BSn CS⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，x yx y⎧--+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，令z=0x=，2y=，(0,n∴=r.设直线AC与平面SBC所成的角为θ，则sin cos,3ACnθ===u u u rr.故选：C.【点睛】本题考查线面角的求解，利用向量法可简化分析过程，直接用计算的方式解决问题，是基础题.10.函数31()(1)3f x x a x=--在(,)x∈-∞+∞内是增函数，则（）A. 1a≥- B. 1a≥ C. 1a≤- D. 1a≤【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，再由单调性，得到()0f x'…恒成立，运用判别式不大于0，解出即可．【详解】解：因为31()(1)3f x x a x=--，所以2()(1)f x x a'=--，因为函数31()(1)3f x x a x=--在(,)x∈-∞+∞内是增函数，所以2()(1)0f x x a '=--≥恒成立，所以4(1)0a ∆=-≤，解得1a ≤，故选：D【点睛】本题考查函数的单调性及运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．11.已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,8B. []2,8C. (][),28,-∞+∞UD. [)2,8【答案】A【解析】【分析】 求导f ′（x ）＝2x a x -，转化为f ′（x ）＝2x 0a x-=在()1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解 【详解】∵f ′（x ）＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0a x -=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜，故选A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．12.定义在实数集上的可导函数()f x 是偶函数，若对任意实数x 都有()()12x f x f x '+<恒成立，则使关于x 的不等式22()(1)1x f x f x ->-成立的数x 的取值范围为（ ） A. }{|1x R x ∈≠±B. (-1，1)C. (1,0)(0,1)-UD. ()(),11,-∞-+∞U【答案】C【解析】【分析】 根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x ＜0的取值范围．【详解】解：当x ＞0时，由()()'12x f x f x +＜可知：两边同乘以2x 得： 2xf （x ）+x 2f ′（x ）﹣2x ＜0；设：g （x ）＝x 2f （x ）﹣x 2，则g ′（x ）＝2xf （x ）+x 2f ′（x ）﹣2x ＜0恒成立；∴g （x ）在（0，+∞）单调递减，由x 2f （x ）﹣f （1）＞x 2﹣1；∴x 2f （x ）﹣x 2＞f （1）﹣1；即g （x ）＞g （1），即0＜x ＜1；由于函数f （x ）是偶函数，∴g （﹣x ）＝（﹣x ）2f （﹣x ）﹣（﹣x ）2＝x 2f （x ）﹣x 2＝g （x ）；所以g （x ）＝x 2f （x ）﹣x 2也是偶函数；当x ＜0时，同理得：﹣1＜x ＜0．综上可知：实数x 的取值范围为：（﹣1，0）∪（0，1）．故选C ．【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.【答案】18【解析】 应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．14.已知2()x f x x e =+，曲线()y f x =在点(0,1)处的切线方程为_________ .【答案】1y x =+【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x ＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．【详解】解：由f （x ）＝x 2+e x ，得f ′（x ）＝2x +e x ，∴f ′（0）＝0+e 0＝1．∴曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的切线方程为y ＝x +1．故答案为y ＝x +1．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是基础的计算题．15.已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为________. 【答案】92【解析】【分析】根据抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，且过点(1,3)M ,可以设出抛物线的标准方程,代入(1,3)M 后可计算得92p =,再根据抛物线的几何性质可得答案. 【详解】因为抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，且过点(1,3)M , 所以可设抛物线的标准方程为:22(0)y px p =>,将(1,3)M 代入可得2321p =⨯,解得92p =, 所以抛物线的焦点到准线的距离为92p =. 故答案为:92. 【点睛】本题考查了求抛物线的标准方程,考查了抛物线的焦准距,属于基础题.16.焦点在x 轴上的椭圆22214x y b+=的离心率12e =，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA ⋅u u u r u u u r的最大值为___________.【答案】4【解析】【分析】 由椭圆22214x y b +=焦点在x 轴，得2a =，(2,0)A ，由离心率公式求出c ，再求出b ，利用坐标法求出PF PA u u u r u u u r g 为二次函数，配方法，利用x 的范围求出最值． 【详解】解：椭圆22214x y b+=焦点在x 轴，所以2a =，(2,0)A ，由离心率12c e a==，1c =，所以b =(1,0)F -设(,)P x y ，则(2,)PA x y =--u u u r ，(1,)PF x y =---u u u r ，则2(2)(1)PF PA x x y =---+u u u r u u u r g ，因为22334x y =-，代入化简得 22111(2)44PF PA x x x =-+=-u u u r u u u r g ，又[]2,2x ∈-， 当2x =-时，PF PA u u u r u u u r g 的最大值为4．故答案为：4．【点睛】考查椭圆定义，离心率公式，向量坐标运算，配方法求最值，属于中档题． 三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7228,2S a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若14n a n b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）413n n T -=. 【解析】【分析】（1）求7228,2S a ==，可以列出一个关于首项和公差的二元一次方程组，解这个方程组，求出首项和公差，进而求出等差数列{}n a 的通项公式；（2）直接利用等比数列的前n 项和公式求出n T .【详解】解：（1）由2171272128a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩， 所以n a n =.（2）14n n b -=，所以{}n b 的前n 项和1441143n n n T --==-. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式、等比数列前n 项和公式，考查了数学运算能力、解方程组的能力. 18.已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π. （1）求()f x 的单调递增区间； 的（2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =【解析】 【分析】（1）先由周期为π求出2ω=,再根据222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈进行求解即可；（2）先求出52666x πππ-≤-≤,可得12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,进而求解即可【详解】（1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈, ∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤, ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题.19.已知四棱锥A -BCDE ，其中AC =BC =2，AC ⊥BC ，CD //BE 且CD =2BE ，CD ⊥平面ABC ，F 为AD 的中点.（1）求证:EF //平面ABC ；（2）设M 是AB 的中点，若DM 与平面ABC ，求平面ACD 与平面ADE 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】 【分析】（1）取AC 中点G ，连结FG 、BG ，推导出四边形BEFG 是平行四边形，从而//EF BG ，由此能证明//EF 面ABC ．（2）由CD ⊥平面ABC ，是CMD ∠为DM 与平面ABC 所成角，以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CD 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面ACD 与平面ADE 夹角的余弦值． 【详解】证明：（1）取AC 中点G ，连结FG 、BG ，F Q 、G 分别是AD 、AC 的中点， //FG CD ∴，且12FG CD =．又//CD BE Q ，且2CD BE =，∴四边形BEFG平行四边形，//EF BG ∴，EF ⊄面ABC 且BG ⊂面ABC ，//EF ∴面ABC ．（2）CD ⊥Q 平面ABC ，CMD ∴∠为DM 与平面ABC 所成角，M Q 为AB 的中点，且2AC BC ==，AC BC ⊥，得CM =DM Q 与平面ABC，2CD =Q ，1BE =，以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CD 为z 轴建立空间直角坐标， 则()2,0,0B ， ()0,2,0A ， ()0,0,2D ， ()2,0,1E ，∴()0,2,2AD =-u u u r ， ()2,2,1AE =-u u u r，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =r，由·220·220n AD y z n AE x y z ⎧=-+=⎨=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取2y =，得()1,2,2n =r ， 而平面ACD 的法向量为()2,0,0CB =u u u r，2n CB ∴=r u u u rg ，2CB =u u u r，3n ==r 由1cos ,3||||n CB n CB n CB <>==r u u u r r u u u r g r u u u r g ， 得平面ACD 与平面ADE 夹角的余弦值为13．【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．20.已知函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值. 【答案】（1）1；（2）3-. 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数a 的值；（2）求导，求出[2,1]x ∈-时的极值，比较极值和(2)(1)f f -、之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.【详解】（1）3'2()31()33f x x ax f x x a =⇒=---，函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处取得极值，所以有2'3(1()01130)a f a --==⇒-=⇒；（2）由（1）可知：3'2()31()333(1)(1 )f x x x f x x x x =--=-=+-⇒，当(2,1)x ∈--时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，故函数在1x =-处取得极大值，因此3(1)(1) =13(1)1f -=--⨯--，3(2)(2)3(2) 1 3=f -=--⨯---，3(1)131 1=3f =-⨯--，故函数()f x 的最小值为3-.【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上 ．1）求C 的方程．2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 中点为M .证明：直线OM的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【答案】．1．22184x y += ．2．12OM k k ⋅=-【解析】试题分析：（Ⅰ）由2242,1,2a a b=+=求得228,4a b ==,由此可得C 的方程.（II ）把直线方程与椭圆方程联立得()222214280.kx kbx b +++-=,所以12222,,22121M M M x x kb b x y kx b k k +-===+=++于是1,2M OM M y k x k ==-12OM k k ⇒⋅=-. 试题解析：解：（Ⅰ2242,1,2a b=+=解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为2222184x y +=.（Ⅱ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠,()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b =+代入2222184x y+=得()222214280.k x kbx b +++-= 故12222,,22121M M M x x kb b x y kx b k k +-===+=++于是直线OM 的斜率1,2M OM M y k x k ==-即12OM k k ⋅=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.22.已知函数()ln ,(0,],f x ax x x e a R =-∈∈. （1）当a =1时，求函数()f x 单调区间；（2）若()0f x >在(0,]e 上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使函数()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.的【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在(]1,e 上单调递增；（2）1a e>；（3）2a e =. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数的表达式，求出()f x 的导数，得到函数()f x 的单调区间； （2）因为()0f x >在(0,]e 上恒成立，等价于ln xa x >在(0,]e 上恒成立，即max ln x a x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()ln x g x x=，利用导数求函数在(0,]e 上的最大值，即可得解；（3）先求出函数()f x 的导数，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出a 的值； 【详解】解：（1）当1a =时，l (n )f x x x -=，11()1x f x x x-'=-=，(]0,x e ∈， 令()0f x '>，解得：1x e <…，令()0f x '<，解得：01x <<，∴函数()f x 在()0,1上单调递减，在(]1,e 上单调递增；（2）因为()0f x >在(0,]e 上恒成立，即ln 0ax x ->在(0,]e 上恒成立， 等价于ln xa x>在(0,]e 上恒成立， 令()ln x g x x =，则()21ln x g x x -'=，令()21ln 0-'=>xg x x ，则0x e <<， 即()g x 在(0,]e 上单调递增，()()max 1g x g e e∴==， 1a e∴>（3）由()f x ax lnx =-，得11()ax f x a x x-'=-=，(]0,x e ∈， 当1a e…时，有()0f x '…恒成立，此时函数在(]0,e 上单调递减， ()()ln 13min f x f e ae e ae ∴==-=-=，4a e∴=（舍去)， 当1a e >时，令()0f x '>，解得：1x e a <<，令()0f x '<，解得：10x a<<，∴函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()1113min f x f ln a a ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，2a e ∴=，综上，2a e =时满足条件．【点睛】本题考察了函数的单调性，极值问题，考察导数的应用，属于中档题．。

陕西省汉中市2021届数学高二上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．一元二次不等式2201920200x x -++>的解集是 ( ) A ．()1,2020-B ．()2020,1-C ．()(),12020,-∞-⋃+∞D ．()(),20201,-∞-⋃+∞2．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为60的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，过点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，则AFM 的面积为( )A B ．C ．D ．3．命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得32x n ≤+”的否定形式是 A ．x R ∀∈，*n N ∃∈，使得32x n >+ B ．x R ∀∈，*n N ∀∈，使得32x n >+ C ．x R ∃∈，*n N ∃∈，使得32x n >+ D ．x R ∃∈，*n N ∀∈，使得32x n >+4．三棱锥A BCD -的棱长全相等，E 是CD 中点，则直线AE 与直线BD 所成角的正弦值为（ ）A.6D.125．设点P 是曲线335y x =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦， D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为15，则输出N 的值为( )A.0B.1C.2D.37．已知集合{}220A x x x =--<，{}2,1,0,1,2B =--，则AB =( )A.{}2,1,0--B.{}1,0,1-C.{}0,1D.{}0,1,28．若a b c ，，是不全相等的实数，求证：222a b c ab bc ca ++>++． 证明过程如下：a b c ∈R ，，，222a b ab ∴+≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥，又a b c ，，不全相等，∴以上三式至少有一个“=”不成立，∴将以上三式相加得2222()2()a b c ab bc ac ++>++，222a b c ab bc ca ∴++>++．此证法是（ ） A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法并用D ．反证法9．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，那么表中m 的值为（ ）A ．4B ．3.15C ．4.5D ．310．在用反证法证明命题“已知(),,0,2a b c ∈ 求证(2)a b -、(2)b c -、(2)c a -不可能都大于1”时，反证假设时正确的是（ ）A ．假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1B ．假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1C ．假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1D ．以上都不对 11．已知二项式(nx的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为 A.－20B.－15C.15D.2012．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B.(,1)-∞ C.(1,)+∞ D.(4,)+∞二、填空题 13．已知函数，是的导函数，则的值为______．14．已知圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为 . 15．如图所示，在三棱锥S ABC -中，2SA SC SB ==，且2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，M ，N分别是AB ，SC 的中点．则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为___________.16．一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为______． 三、解答题17．在如图所示的六面体中，面是边长为的正方形，面是直角梯形，，，. （Ⅰ）求证：//平面； （Ⅱ）若二面角为，求直线和平面所成角的正弦值.18．已知函数，且在和处取得极值．（1）求函数的解析式；（2）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．在中，角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.20．已知二次函数满足，且对任意恒有.（1）求的解析式；（2）设函数，其中为的导函数.若对任意，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围.21．矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．（Ⅰ）求边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形外接圆的方程；22．某电视台为宣传本市，随机对本市内岁的人群抽取了人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些” ，统计结果如图表所示.（1）分别求出的值；（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数；（3）若第1组回答正确的人员中，有2名女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中1名女性的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．1415．1016．三、解答题17．(1)证明见解析.(2) .【解析】试题分析：（1）连接相交于点,取的中点为,连接，易证四边形是平行四边形，从而可得结论；（2）以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则,计算法向量，根据公式即可求出.试题解析：(1):连接相交于点,取的中点为,连接.是正方形,是的中点,,又因为,所以且,所以四边形是平行四边形,,又因为平面平面平面(2)是正方形,是直角梯形,,,平面,同理可得平面.又平面,所以平面平面,又因为二面角为60°，所以,由余弦定理得,所以，因为半面，,所以平面,以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则,所以,设平面的一个法向量为,则即令，则，所以设直线和平面所成角为，则18．（1）；（2）或．【解析】试题分析：（1）由f（x）=ax3+bx2-2x在x=1或2处取得极值，可得f'（1）=f'（2）=0，故可得到a、b的方程组，求解即可；（2）曲线y=g（x）与x轴有两个交点，转化成g（x）=0有两个不同的实数解，然后利用导数研究函数的单调性和极值，然后依题意有g（x）极大值=0或g（x）极小值=0即可求出t的值．试题解析：（1），因为在和处取得极值，所以和是的两个根，则，解得，经检验符合已知条件，故；（2）由题意知，令得，或，随着变化情况如下表所示：由上表可知，又取足够大的正数时，，取足够小的负数时，，因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，得或，∴或，即存在，且或时，曲线与轴有两个交点．19．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）由，利用正弦定理可得，从而得，进而可得结果；（Ⅱ）结合（Ⅰ）由余弦定理可得，，即，.详解：（I）由题意得：.，即又，(Ⅱ)，，即点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.20．（1）；（2）【解析】分析：（1）设，代入已知，由恒等式知识可求得；（2）由（1）得，题意说明在上恒成立，由分离参数法得，问题转化为求的最小值．详解：（1）设，，.于是.解得，.所以.（2）由已知得在上恒成立.即在上恒成立.令，可得.函数在单调递增，.的取值范围是.点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想，例如常用分离参数法化为，这样只要求得的最小值，然后再解，即得范围．21．(1) (2)【解析】试题分析：（I）由已知中AB边所在直线的方程，且AD与AB垂直，我们可以求出直线AD的斜率，结合点在直线AD上，可得到AD边所在直线的点斜式方程，进而再化为一般式方程．（II）根据矩形的性质可得矩形ABCD外接圆圆心即为两条对角线交点M（2，0），根据（I）中直线AB，AD的直线方程求出A点坐标，进而根据AM长即为圆的半径，得到矩形ABCD外接圆的方程．试题解析：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．即．（II）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．22．（1）；（2）中位数为41.67，平均数为41.5；（3）.【解析】【分析】由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知，由此可求出a，b，x，y．设中位数为x，由频率分布直方图可知，且有，得，由此能估计这组数据的中位数和平均数．第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少抽中一名女性的概率．【详解】由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为，再结合频率分布直方图可知，，，，，设中位数为x，由频率分布直方图可知，且有，解得，∴估计这组数据的中位数为，估计这组数据的平均数为：，由知，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，共有：，，，，，，，，，个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件A，共有，，，，，，个基本事件，∴至少抽中一名女性的概率．【点睛】本题考查了中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，涉及列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。

2017-2018学年陕西省汉中市汉台中学、西乡中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知a、b都是正实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝4，d＝2，则a3＝（）A．4B．6C．8D．103．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜04．（5分）已知向量，则与的夹角为（）A．0°B．45°C．90°D．180°5．（5分）已知双曲线C：﹣＝1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆+＝1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝16．（5分）数列，，，…，的前n项和为S n＝（）A．B．+2nC．D．7．（5分）已知命题：p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0“，若命题“￢p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1或a＝1B．a≤﹣1或1≤a≥2C．a≥1D．a＞18．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin＜，＞的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知正项等差数列{a n}中，若a1+a2+a3＝15，若a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，则a10等于（）A．21B．23C．24D．2510．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．11．（5分）已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）12．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则的最大值是（）A．B．1C．D．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上，只填结果，不要过程）13．（5分）若变量x、y满足约束条件，且z＝2x+y的最大值和最小值分别为M和m，则M﹣m＝．14．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为．15．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，它的各项都是正数，且3a1，成等差数列，则＝．16．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝．三、解答题：（本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）（1）若x＞0，y＞0，x+y＝1，求证：．（2）已知实数a＞0，b＞0，且ab＝1，若不等式（x+y）•（）＞m，对任意的正实数x，y恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）已知四边形ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且P A＝PB＝PC＝PD ＝AB＝2，M是棱PC的中点．（1）求证：P A∥平面BMD；（2）求证：PC⊥平面BMD．19．（12分）设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．（1）设l的斜率为1，求|AB|；（2）求证：是一个定值．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）求点C到平面A1BC1的距离．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）设b n＝，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设∁n＝，数列{∁n C n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．22．（12分）已知直线y＝﹣x+1与椭圆+＝1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．2017-2018学年陕西省汉中市汉台中学、西乡中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：因为a＞0，b＞0，当a2＞b2时，有a＞b，即“a2＞b2”是“a＞b”的充分条件，当a＞b时，有a2＞b2，即“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件，综上知：已知a、b都是正实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的充要条件．故选：C．2．【解答】解：在等差数列{a n}中，a1＝4，d＝2，则由等差数列的通项公式a3＝a1+2d＝8，故选：C．3．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．4．【解答】解：设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得，∵0°≤θ≤180°∴θ＝90°故选：C．5．【解答】解：椭圆+＝1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c＝3，双曲线C：﹣＝1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，可得，即，可得＝，解得a＝2，b＝，所求的双曲线方程为：﹣＝1．故选：B．6．【解答】解：数列1，2，3，…的前n项和为S n＝（1+2+3+…+n）+（++…）＝+（）＝．故选：C．7．【解答】解：当命题为p真时，即：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“，即当x∈[1，2]时，（x2﹣a）min≥0，又当x＝1时，x2﹣a取最小值1﹣a，所以1﹣a≥0，即a≤1，当命题q为真时，即：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，所以△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，所以a≤﹣2，或a≥1，又命题“￢p且q”是真命题，所以q假p真，即，即实数a的取值范围是：a＞1，故选：D．8．【解答】解：分别以DA，DC，DD′为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设楞长为1，则D（0，0，0），B′（1，1，1），M（1，，0），C（0，1，0）；∴；∴cos＜＞＝．∴sin＜＞＝．故选：B．9．【解答】解：设公差为d，a3＝a1+2d由a1+a2+a3＝15，即3a2＝15，∴a2＝5，∴a1＝5﹣d，a3＝5+d又a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，可得：（a2+5）2＝（a1+2）（a3+13）∴100＝（7﹣d）（18+d）解得：d＝2或d＝﹣13∵等差数列{a n}是正项数列∴d＝﹣13（舍去）．∴a1＝3．a n＝a1+（n﹣1）d．∴a10＝21故选：A．10．【解答】解：∵a1＝1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴a n＝2n﹣1，∴S n＝＝n2，∴＝．令t＝n+1，则＝t+﹣2≥6﹣2＝4当且仅当t＝3，即n＝2时，∴的最小值为4．故选：A．11．【解答】解：∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，∴设椭圆和双曲线的长轴长分别为2a1，2a2，焦距为2c，设|PF1|＝x，|PF2|＝|F1F2|＝y，由题意得，∵椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，∴e1•e2＝＝＝，由三角形三边关系得|F1F2|+|PF2|＞|PF1|＞|PF2|，即2y＞x＞y，得到1＜＜2，∴1＜（）2＜4，∴0＜（）2﹣1＜3，根据复合函数单调性得到e1•e2＝＞．故选：C．12．【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：B．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上，只填结果，不要过程）13．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A，直线y＝﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z＝﹣2﹣1＝﹣3，此时N＝﹣3，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z＝2×2﹣1＝3，即M＝3，则M﹣N＝3﹣（﹣3）＝6，故答案为：6．14．【解答】解：∵横坐标为6的点到焦点的距离为8，∴该点到准线的距离为8，抛物线的准线方程为x＝﹣，∴6+＝8，求得p＝4，焦点到准线的距离为d＝﹣（）＝p＝4故答案为：4．15．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）由题意可得2×＝3a1+2a2，即，即q2﹣2q﹣3＝0解之可得q＝3，或q＝﹣1（舍去）故＝＝＝q4＝81故答案为：8116．【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|＝|BF'|＝6∵△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，∴由余弦定理|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62＝102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|＝8由此可得，2a＝|BF|+|BF'|＝14，得a＝7∵△ABF中，|AF|2+|BF|2＝100＝|AB|2∴∠AFB＝90°，可得|OF|＝|AB|＝5，即c＝5因此，椭圆C的离心率e＝＝故答案为：三、解答题：（本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．【解答】证明（1）：∵x＞0，y＞0，x+y＝1，∴+＝（x+y）（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当x＝y＝时取等号．∴：，解（2）：∵a，b，x，y均为正实数，且ab＝1，∴（x+y）•（）＝a+b++≥a+b+2≥2+2＝4＝4，当且仅当a＝b，＝，即a＝b＝1，x＝y时等号成立，故只要m＜4即可，所以实数m的取值范围是（﹣∞，4）．18．【解答】证明：（1）连结AC、BD交于点O，连结OP．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵P A＝PC，∴OP⊥AC，同理OP⊥BD，以O为原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，…………………（2分）P（0，0，），A（），B（0，），M（﹣，0，），∴＝（），＝（0，），＝（﹣，0，），＝（﹣，0，），＝（0，，0），设平面BMD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），＝0，∴，∵P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD．…………………（6分）（2）C（﹣），＝（﹣），＝0，＝0，∴PC⊥OB，PC⊥OM，∵OB∩OM＝O，∴PC⊥平面BMD．…………………（12分）19．【解答】解：（1）方法一：∵由题意可知抛物线的焦点F为（1，0），准线方程为x＝﹣1，∴直线l的方程为y＝x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得x2﹣6x+1＝0，∴x1+x2＝6，由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝8，|AB|＝8，方法二：直线l的斜率为1，则直线l的倾斜角为45°，则直线l过抛物线的焦点，则|AB|＝＝＝8，∴焦点弦|AB|为8；（2）证明：设直线l的方程为x＝ky+1，由，整理得y2﹣4ky﹣4＝0，∴y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4，，∵，＝（k2+1）y1y2+k（y1+y2）+1＝﹣4（k2+1）+4k2+1＝﹣3，∴＝﹣3是一个定值．20．【解答】证明：（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，所以AA1⊥平面ABC．（3分）解：（2）由（1）知，AA1⊥AC，AA1⊥AB．由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC．如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4）．设平面A1BC1的法向量为＝（x，y，z），则，即．令z＝3，则x＝0，y＝4，所以．同理可得，平面BC1B1的法向量为．所以cos＜＞＝．由题知二面角A1﹣BC1﹣B1为锐角，所以二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（3）由（2）知平面A1BC1的法向量为以，所以点C到平面A1BC1距离．21．【解答】（Ⅰ）证明：∵b n+1﹣b n＝＝＝＝2，∴数列{b n}是公差为2的等差数列，又＝2，∴b n＝2+（n﹣1）×2＝2n．∴2n＝，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴c n c n+2＝＝，∴数列{∁n C n+2}的前n项和为Tn＝…+＝2＜3．要使得T n＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解得m≥3或m≤﹣4，而m＞0，故最小值为3．22．【解答】解：（1）∵，2c＝2，∴a＝，b＝，∴椭圆的方程为．…（2分）联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝•＝．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，即x1x2+y1y2＝0，由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）＝0，由△＝（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1…（7分）∵，，∴y1y2＝（﹣x1+1）（﹣x2+1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1，∴x1x2+y1y2＝0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1＝0，∴，整理得：a2+b2﹣2a2b2＝0．…（9分）∴b2＝a2﹣c2＝a2﹣a2e2，代入上式得2a2＝1+，∴，…（10分）∵，∴，∴，∴，∴，∴适合条件a2+b2＞1．由此得，∴，故长轴长的最大值为．…（12分）。

陕西省汉中市汉源第一中学2020-2021学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A. 2B.C.D.参考答案：C【分析】连接圆心与弦的中点，则得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是，利用弧长公式求弧长即可．【详解】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选：C．【点睛】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．2. 已知复数，且，则的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】将复数代入，化简后可知对应的点在圆上.设过点的切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求得的值，表示的集合意义是与点连线的斜率，由此求得斜率的最大值.【详解】解：∵复数，且，∴，∴．设圆的切线，则，化为，解得．∴的最大值为．故选：C．【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.3. 已知函数有两个极值点，若，则关于x的方程的不同实根个数为( )A. 3 B．4 C．5 D. 6参考答案：A4. 已知数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣a n），通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的值为（）B C DD解答：解：a1=，f（1）=1﹣a1=；a2=，f（2）=×=；a3=，f（3）==．…由于f （1）=1﹣a 1==；f（2）=×==；f（3）===．…猜想f（n）的值为：f（n）=．故选D．点评：本题主要考查了归纳推理，考查了数列的通项公式．数列的通项公式是高考中常考的题型，涉5. 函数满足，那么函数的图象大致为（）参考答案：C略6. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的%，以下四个奖励模型中，能符合公司要求的是( )A． B． C． D．参考答案：B7. 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD=2，且AC与BD成60°，则四边形EFGH的面积为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】平面的基本性质及推论．【分析】如图所示，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，同理可得AC，可得四边形EFGH是菱形．根据AC与BD成60°，可得∠FEH=60°或120°．可得四边形EFGH的面积．【解答】解：如图所示，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥FG∥BD，EH=FH=AC=1．∴四边形EFGH是平行四边形，同理可得AC=1，∴四边形EFGH是菱形．∵AC与BD成60°，∴∠FEH=60°或120°．∴四边形EFGH的面积==．故选：B．8. 点到直线的距离是 （ ）A 、B 、C 、D 、参考答案：D9. 已知矩形ABCD ，，，将△ABD 沿矩形对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则( ) A ．，都存在某个位置，使得 B ．，都不存在某个位置，使得 C ．，都存在某个位置，使得 D ．，都不存在某个位置，使得参考答案： C10. .已知两点和，若曲线上存在点P ，使，则称该曲线为“Q 型曲线”. 给出下列曲线：①;②;③;④，其中为“Q 型曲线”的是 （ ）A. ①和②B. ②和③C. ①和④D. ②和④参考答案： D 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设等差数列的前项和为，若则参考答案： 112. 曲线在点处的切线方程为▲.参考答案：略13. 已知等比数列的前n 项和S n =4n +a ，则实数a= ． 参考答案：-1 略 14. 在数列中，=____________.参考答案： 31略15. 若是上的增函数，且，设，若“”是“的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.参考答案：16. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 _．参考答案：1017. 某学生5天的生活费(单位:元)分别为:, , 8, 9, 6. 已知这组数据的平均数为8, 方差为2,则 .参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年度第一学期期中质量检测高二数学试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．请将答案填写在答题纸相对应的位置．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合M ＝{x |x 2＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N 等于（ ） A. [1，2)B. [1，2]C. (2，3]D. [2，3]2. 已知,,a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A. ab ac >B. ()0c b a -<C. 22cb ab <D. ()0ac a c -<3. 在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定4. 不等式1021x x -≤+的解集为（ ） A. ,⎛⎤- ⎥⎝⎦112B. ,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦112 C. ,[),⎛⎫-∞-⋃+⎪⎝∞ ⎭112 D. [)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦5. 在ABC ∆中，若45A =°，60B =°，2a =．则b = A.B.2C.3 D. 266. 已知点(3,1)和点(4,6)-在直线320x y m -+=的两侧，则（ ） A.7m <-或24m >B. 724m -<<C. 7m =-或24m =D. 724m -≤≤7. 在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A. 3、8、13、18、23 B. 4、8、12、16、20 C. 5、9、13、17、21D. 6、10、14、18、228. 若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 3B. 3-C. 1D.3210. 不等式(1＋x )(1－x 2)>0的解集是（ ） A. {x |0≤x <1} B. {x |x <0且x ≠－1} C. {x |－1<x <1}D. {x |x <1且x ≠－1}11. 已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n nx x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A. (23)n －1 B. (23)nC.21n + D.12n + 12. 若,x y R ∈，且5x y +=，则33x y +的最小值是（ ） A. 183B. 46C. 63D. 10第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 在△ABC 中，其外接圆半径R ＝2，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为__________. 314. 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝_____，ac ＝________. 【答案】 (1). b ＝－3 (2). ac ＝915. 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 4成等比数列，则该等比数列的公比为_______. 【答案】1216. 设,x y R +∈且191x y+=，则x y +的最小值为________． 【答案】16三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在三角形ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC =14,DC=6，求AB 的长.【答案】AB =5618. 设2()(1)1f x m x mx m =+-+-.(1)当1m =时，求不等式()0f x ＞的解集： (2)若不等式()10f x +>的解集为332x <<，求m 的值． 【答案】（1）0x <或12x >；（2）97-.19. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥20. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. （1）求证：数列{a n ＋1}是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式. 【答案】（1） （2）a n ＝2n －1.21. 某集团准备兴办一所中学，投资1200万元用于硬件建设，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区的教育市场进行调查，得出一组数据列表(以班为单位)如下：班级学生数 配备教师数硬件建设（万元） 教师年薪（万/人） 初中 60 2.0 28 1.2 高中402.5581.6根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年收取学费600元，高中生每年收取学费1500元，因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班宜，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润为多少万元(利润＝学费收入－年薪支出)?【答案】学校可规划初中18个班，高中12个班，可获得最大利润45.6万元． 22. 设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos ,25B b ==. （1）当π6A =时，求a 的值； （2）当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值．【答案】（1）53a =（2）a c +=。

陕西省汉中市汉台中学、西乡中学2017-2018学年高二上学期期末联考（理）注意事项：1、试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，共4页。

2、答第I 卷前考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

3、第Ⅱ卷答在答卷纸的相应位置上，否则视为无效。

答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，把答案填在答题卡上。

1.已知a 、b 都是正实数, 那么""是"a>b"的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在等差数列{a n }中，,2,41==d a 则=3a （ ） A.4B.6C. 10D. 83.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A.对任意x R ∈，都有20x <B.不存在x R ∈，都有20x <C.存在0x R ∈，使得200x ≥D.存在0x R ∈，使得200x < 4.已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 ( )A.0°B.45°C.90°D.180°5．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） 22a b >A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=6．数列111123248，，，的前n 项和为n S =（ ） A. 21n n- B. n n n 22)1(++ C. ()11122n n n +-+ D. 12n n - 7.已知命题： []2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=，若命题“p ⌝且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A. 1a ≤-或1a =B. 1a ≤-或12a ≤≥C. 1a ≥D. 1a > 8.如图所示，正方体A ABCD B C D ''''-中， M 是AB 的中点，则><→→CM DB ,'sin 为（ ）A.12B. 21015C. 23D. 11159.已知正项．．等差数列{}n a 中．若12315a a a ++=，若 1232,5,13a a a +++成等比数列，则10a 等于（ ）A. 21B. 23C. 24D. 2510.已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．232-D ．9211.已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( ) A.(13，+∞) B.(15，+∞) C. (19，+∞) D.(0，+∞) 12．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=. 设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A.32 B. 1 C. 23 D. 61 二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上，只填 结果，不要过程）13.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝14.若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是____.15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，它的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则11975S S S S --= .16．已知椭圆的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点，.三、解答题：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文 字说明、演算步骤或推理过程) 17.（1）若0>x ，0>y ，1=+y x ，求证：411≥+yx . （2）已知实数0a >，0b >，且1ab =，若不等式m ybx a y x >+⋅+)(）（，对任意的正实数y x ,恒成立，求实数m 的取值范围22(0)y px p =>2222:1(0)x y C a b a b+=>>4,.10,6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率=18. 已知四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且PA=PB=PC=PD=AB=2， 是棱的中点．(1)求证：；(2) 求证：；19.设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点．(1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．20.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5. （1）求证：AA 1⊥平面ABC ； （2）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值； （3）求点C 到平面11A BC 的距离.21.已知数列{}n a 满足11=a ，nn a a 4111-=+，其中*N n ∈. （1）设122-=n n a b ，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设14+=n a c nn ，数列{}2+n n c c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得 11+<m m n c c T 对于*N n ∈恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．M PC PA //BMD 平面PC BMD ⊥平面22.已知直线与椭圆相交于A 、B 两点．（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB 的长； （2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．1y x =-+12222=+bya x ()0ab >>33OA OBO ]22,21[∈e参考答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDDCBCCBBCAB二、填空题：13. 6 14. 4 15. 81 16 .57三、解答题17.（1）证明：∵1=+y x ，0>x ，0>y∴0>xy，0>y x ，∴yyx x y x y x +++=+11 4222=⋅+≥++=yxx y y x x y . 当且仅当21==y x 时，等号成立..................................5分 （2）因为,,,a b x y 为正实数， 所以)22()(2a b ay bxx y a b a b ab ab ab x y x y+⋅+=+++≥++≥+=44ab =，当且仅当a b =，ay bx x y=，即a b =，x y =时等号成立，故只要4m <即可，所以实数m 的取值范围是(4),-∞………………10分 18.解：连结AC 、BD 交于点O ，连结OP 。

陕西省汉中市西乡县三里河中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. i是虚数单位,复数对应的点位于A第一象限 B第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B2. 已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为A. B. C. D.参考答案：D【分析】画出图象及直线，借助图象分析。

【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。

即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范围是。

故选D。

【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。

3. 命题“?x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．?x＞0，x2+x≤0B．?x≤0，x2+x＞0C．?x0＞0，x02+x0≤0D．?x0≤0，x02+x0＞0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“?”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“?x∈R，x2+x＞0“的否定是：?x0＞0，x02+x0≤0，故选：C【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．4. 已知偶函数在区间单调增加，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A略5. 命题：“?x＞0，x2+x≥0”的否定形式是（）A．?x≤0，x2+x＞0 B．?x＞0，x2+x≤0C．?x0＞0，x02+x0＜0 D．?x0≤0，x02+x0＞0参考答案：C【考点】命题的否定．【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：?x0∈R，x02+x0＜0，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．6. ①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是真命题”；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由复合命题的真假判断方法判断①；写出命题的否命题判断②，距离说明③是假命题．【解答】解：①∵p，q中只要有一个假命题，就有p∧q为假命题，∴命题①错误；②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是x，y∈R，“若xy≠0，则x2+y2≠0”是真命题”；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件为假命题，当直线与抛物线对称轴平行时，直线和抛物线也只有一个公共点．∴真命题的个数是1个．故选B．7. 已知集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：B8. 下列四个命题：（1）“若x2+y2=0，则实数x，y均为0”的逆命题（2）“相似三角形的面积相等”的否命题（3）“A∩B=A，则A?B”逆否命题（4）“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题，其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（3）（4）参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的逆命题，可判断（1）；写出原命题的否命题，可判断（2）；写出原命题的逆否命题，可判断（3）；写出原命题的逆否命题，可判断（4）；【解答】解：（1）“若x2+y2=0，则实数x，y均为0”的逆命题为“若实数x，y均为0，则x2+y2=0”为真命题；（2）“相似三角形的面积相等”的否命题为“不相似三角形的面积不相等”为假命题；（3）“A∩B=A，则A?B”为真命题，故其逆否命题也为真命题；（4）“末位数不是0的数可被3整除”为假命题，故其的逆否命题也为假命题，故选：C9. 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.,.则角C=( )A. B. C. D.参考答案：D10. 已知点A（，0）和P（，t）（t∈R）．若曲线x=上存在点B使∠APB=60°，则t的取值范围是（ ） A ．（0，1+] B ．[0，1+]C ．[﹣1﹣，1+]D ．[﹣1﹣，0）∪（0，1+]参考答案：D【考点】圆方程的综合应用． 【分析】曲线x=，即x 2+y 2=3（0≤x），如图所示的半圆，取B （0，）时，由∠APB=60°，可得k PB ==，解得t ，利用圆的对称性即可得出．【解答】解：曲线x=，即x 2+y 2=3（0≤x），如图所示的半圆，取B （0，）时，∵∠APB=60°，∴k PB ==，解得t=1+，利用圆的对称性可得：，0）∪．故选：D ．【点评】本题考查了圆的对称性、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线的直角坐标方程为_参考答案：12. 焦点在直线上，且顶点在原点的抛物线标准方程为 _____ ___。

2020-2021学年陕西省汉中市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设命题p ：(0,1)t ∃∈，tan 1t =，则p ⌝为（ ） A ．(0,1)t ∀∈，tan 1t ≠ B ．(0,1)t ∃∉，tan 1t ≠ C ．(0,1)t ∀∈，tan 1t = D ．(0,1)t ∃∈，tan 1t ≠【答案】A【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求出. 【详解】解：命题p ：(0,1)t ∃∈，tan 1t =，:(0,1)p t ∀∈∴⌝，tan 1t ≠.故选：A.2．已知空间向量(2,2,3),(0,6,)a b m =-=，若a b ⊥，则m =（ ） A ．14B ．1C ．2D ．4【答案】D【分析】利用0a b a b ⊥⇒⋅=列方程，解方程求得m 的值. 【详解】1230a b m ⋅=-=，解得4m =. 故选：D3．抛物线24x y =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．1y =-C ．116y =-D ．116x =-【答案】B【分析】由抛物线的标准方程求得12p=，从而可得答案. 【详解】因为抛物线的标准方程为24x y =， 所以抛物线的焦点在纵轴上，且开口向上， 可得24p =，则12p=， 所以准线方程为1y =-. 故选：B.4．已知集合{|213}A x x =-≥-，{}2|60B x x x =--<，则AB =（ ）A ．[1,)-+∞B ．[1,3)-C ．(,2)[1,)-∞--+∞D ．(2,)-+∞【答案】D【分析】根据题意，分别求得集合A 、B ，根据并集运算法则，即可求得答案. 【详解】由题意可得集合{|1}A x x =≥-，集合{}|23B x x =-<<， 所以{}|2A B x x =>-.故选：D5．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．14y x =±D ．4y x =±【答案】A【分析】根据双曲线方程，求得a ，b 的值，代入公式，即可得答案. 【详解】根据双曲线方程可得：221,4a b ==，所以1,2a b ==， 代入渐近线方程a y x b =±可得：12y x =± 故选：A6．现有下列两个命题：1p ：在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC CD BC =+；2p ：若,,,A B P Q 四点共面，则一定存在，,x y R ∈，使得PQ xPA yPB =+.那么( ) A ．1p 是真命题，2p 是假命题 B ．1p 与2p 都是真命题 C ．1p 是假命题，2p 是真命题 D ．1p 与2p 都是假命题【答案】D【分析】对p 1，利用向量的加法法则及相等向量计算出1AC 再判断；对p 2，在PA 与PB 共线时不一定有结论而作出判断，最后综合得解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，111AC AB BC DC BC =+=+，则11AC CD BC ≠+故1p 是假命题；若,,A B P 三点都在直线l 上，PA 与PB 共线，Q l ∉，PQ 与PA 不共线， 则,,x y R PQ xPA yPB ∀∈≠+， 故2p 是假命题. 故选：D7．已知x ，y 满足约束条件40220210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32x y -的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】D【分析】画出可行域，设32z x y =-，则322zy x =-，根据图象可得，当直线过点(3,1)B 时，截距2z-最小，z 有最大值，即可得答案. 【详解】画出可行域如图所示，设32z x y =-，当直线322zy x =-经过点(3,1)B 时，z 取得最大值，且max 33217z =⨯-⨯=.故选：D8．“直线l 与抛物线C 只有一个交点”是“直线l 与抛物线C 相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为直线l 与抛物线C 只有一个交点，可能是相切，也可能是相交(当直线l 与抛物线C 的对称轴平行时)，所以“直线l 与抛物线C 只有一个交点”是“直线l 与抛物线C 相切”的必要不充分条件 故选：B9．命题p ：奇函数的图象一定过坐标原点，命题q ：对任意的向量m ，n ，都有||||||m n m n ++，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ∨⌝【答案】B【分析】根据奇函数1()f x x=，可得在其x =0处无意义，故命题p 是假命题，根据向量的线性运算法则，即可判断命题q 的真假，分析选项，即可得答案. 【详解】奇函数的图象不一定过坐标原点， 例如奇函数1()f x x=在x =0处无意义，所以图象不经过坐标原点，故命题p 是假命题. 当m 与n 同向时，||||||m n m n +=+； 当m 与n 反向时，||||||m n m n +>+；当m 与n 不共线时，根据向量加法的三角形法则知，三角形的两边之和大于第三边，即||||||m n m n +>+.故命题q 为真命题，所以,(),()p q p q p q ∧∧⌝∨⌝均为假命题，()p q ⌝∧为真命题. 故选：B10．钝角ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知1a =，b =30A =，则C =（ ）A ．30B ．45C ．60D ．30或90【答案】A【分析】由正弦定理求出sin B ，可得出角B 的值，结合ABC 为钝角三角形进行检验，进而可求得结果.【详解】由正定理得1sin 30sin B=，则sin 2B =，得60B =或120. 当60B =时，90C =，不符合题意；当120B =时，30C =，合乎题意. 故选：A.11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23332m m S S =，33457m a m a m +-=+，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【分析】用1a 和q 表示出已知条件后可解得q ． 【详解】由已知1q ≠，则2211231231(1)33(1)32457m m m m m m S a q S a q a a q m a a q m ++⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪+⎩，解得512m q =⎧⎪⎨=⎪⎩． 故选：C ．12．设1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，直线y b =与C 相交于A 、B 两点（A 在第一象限），若梯形12F F AB 的面积大于3ab ，则C 的离心率的取值范围是（）A ．(1,3B ．()3+∞C ．(1,3+D ．()3++∞【答案】B【分析】求出A 、B 的坐标，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的不等式，由此可解得双曲线C 的离心率的取值范围.【详解】将y b=代入C 的方程，得x=，则点),Ab 、(),B b，AB =，则梯形12F FAB 的面积3S b ab =>，化简得3c a >，解得3ce a=> 故选：B.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.二、填空题13．椭圆22169x y +=的短轴长为___________.【答案】【分析】根据椭圆方程确定焦点位置求解. 【详解】因为69<， 所以椭圆的焦点在y 轴上， 所以26b =，则椭圆22169x y +=的短轴长为2b =.故答案为：14．设平面α的一个法向量为()1,2,2n =-，点(),,0,2,1A BE AB αα∈∉=，则AB 与α所成角的正弦值为____________.【答案】15【分析】根据向量的夹角公式，即可求得AB 与平面α所成角的正弦值. 【详解】设AB 与α所成角为θ，根据向量的夹角公式，可得AB 与平面α所成角的正弦值为sin 35,n AB cos n AB n ABθ==⋅==故答案为：2515. 15．已知0,0a b >>，且230a b ab +-=，则2a b +的最小值是___________. 【答案】3【分析】根据题意，化简可得12113a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据基本不等式“1”的活用，即可求得答案.【详解】因为230a b ab +-=，所以23a b ab +=，即12113a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以12112212(2)5(245)3333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当22b a a b=时，即1a b ==时，等号成立. 故答案为：316．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，PC ⊥平面ABCD ，且2PC =，若点E 为PC 的中点，则点D 到平面ABE 的距离为___________.【答案】22【分析】以点C 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系C xyz -，求出DA 的坐标以及平面ABE 的一个法向量n ，再利用公式||||DA n d n ⋅=求解即可. 【详解】以点C 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ，从而(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DA BA BE ===-.设平面ABE 的一个法向量为(,,)n a b c =，由法向量的性质可得00,00a n BA b c n BE ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎩ 令1c =，则0,1a b ==，所以(0,1,1)n =. 所以点D 到平面ABE 的距离||2||2DA n d n ⋅===. 故答案为：2.【点睛】方法点睛：求点到平面的距离的常见方法：1,、直接求出垂线段的长；2、利用体积相等列方程求解；3、建立空间坐标系利用公式求解.三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，57a =-，555S =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最小值及对应的n 值.【答案】（1）217n a n =-；（2）当8n =时，n S 的值最小，且864.S =- 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式即可求解. （2）利用等差数列的前n 项和公式配方即可求最值. 【详解】解:（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由题意可得515147,54555,2a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯=+=-⎪⎩解得115,2a d =-=.故11()217n a a n d n =+-=-. （2）由（1）可得()2116.2n n n n S na d n n -=+=- 因为28()64,n S n =--所以当8n =时，n S 取得最小值，最小值为864.S =-18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 0a B b A . （1）证明：A B =； （2）若3c =，7cos 8C =，求ABC 的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）首先利用正弦定理边角互化，再结合两角差的正弦公式证明；（2）根据（1）再结合余弦定理2222cos c a b ab C =+-，求,sin a C ，最后代入面积公式求解. 【详解】（1）证明：因为cos cos 0a B b A 所以sin cos sin cos 0A B B A -= 所以in 0()s A B -= 所以()A B k k Z π-=∈ 因为0A π<<，0B π<< 所以A B =（2）由（1）可知A B =，则a b = 由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 则22794a b ab +-= 即2194a = 解得6ab ==因为7cos 8C =所以15sin 8C =则ABC 的面积为1115915sin 662284ab C =⨯⨯⨯=. 19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点.（1）证明：//AB 平面11C D E .（2）若О为平面1111D C B A 的中心，求异面直线1C E 与AO 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2230【分析】()1由已知得11//AB C D ，根据线面平行的判断定理可得证；()2以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，由异面直线所成的角的向量求解方法可得答案.【详解】()1证明：因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11////AB CD C D ，所以11//AB C D ，又AB ⊄平面1111,C D E C D ⊂平面11C D E ， 所以//AB 平面11C D E .()2解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，设2,AB =则()()()()2,0,0,1,1,2,0,2,2,2,2,1A O C E . 因为1()2,()0,1,1,1,2C E AO -=-=，所以111230cos ,1556C E AO C E AO C E AO⋅==-=-⨯，又异面直线AO 所成角的范围为02π⎛⎤⎥⎝⎦，，所以异面直线1C E 与AO 所成角的余弦值为3015. 【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间异面直线所成的角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求向量关”，求出异面直线所构成的向量；第四，破“应用公式关”.20．直线:2l y x p =-与抛物线()2:20M y px p =>交于A ，B 两点，且5AB =．（1）证明：l 经过M 的焦点，并求p 的值；（2）若直线l '与M 交于C ，D 两点，且弦CD 的中点的纵坐标为3-，求l '的斜率． 【答案】（1）证明见解析；2p =；（2）23-． 【分析】（1）M 的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且直线:2l y x p =-经过点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得l 经过M 的焦点，然后联立直线与抛物线的方程消元，韦达定理可得1232px x +=，然后可求出p ；（2）利用点差法求解即可.【详解】（1）证明：因为M 的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且直线:2l y x p =-经过点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以l 经过M 的焦点联立222y px y x p⎧=⎨=-⎩，得22460x px p -+=设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232p x x +=则12552pAB x x p =++==，解得2p = （2）由（1）知M 的方程为24y x =，设()33,C x y ，()44,D x y ，则23324444y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减，得()()()3434344y y y y x x -+=-． 因为()34236y y +=⨯-=-， 所以l '的斜率为34343444263y y x x y y -===--+-．21．如图，在底面为平行四边形的四棱锥A BCDE -中，AE AD ⊥，::1:2:2AE EB BC =，AED CDE ∠=∠，AC DC =，点O 为DE 的中点.（1）证明：CO ⊥平面ADE .（2）求平面ABE 与平面AOC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25. 【分析】（1）先证明，CO ED ⊥，再证明CO AO ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证明；（2）以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法计算. 【详解】（1）证明：由题意BCDE 为平行四边形，且::1:2:2AE EB BC = 可得四边形BCDE 为菱形，连接CE ，在Rt ADE △中，∵12AE DE =， ∴60AED ∠=︒，则60CDE ∠=︒，所以CDE △为正三角形. 由点O 为DE 的中点，得CO ED ⊥. ∵点O 为DE 的中点，∴12AO ED EO ==， 又AC DC =，∴AC EC =， ∴"AOC △≌EOC △，则CO AO ⊥. ∵AO DE O ⋂=，∴CO ⊥平面ADE .（2）解：如图，不妨设2DE =，以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0D ，()0,1,0E -，()3,0,0C，)3,2,0B-，130,2A ⎛- ⎝⎭. 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11113013022m BE x y m EA y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 不妨令11z =，得()1,3,1m =--.设平面AOC 的一个法向量为()222,,n x y z =，则222301302n OC x n OA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2y ()0,3,1n =.∵03cos ,55m n m n m n⋅-===⨯，∴平面ABE 与平面AOC . 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，124F F =，且a =．（1）求C 的方程．（2）若A ，B 为C 上的两个动点，过2F 且垂直x 轴的直线平分2AF B ∠，证明：直线AB 过定点．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析．【分析】(1)由条件124F F =，可得c 的值，再由条件a =结合222a b c =+，可得答案.（2）由条件先得出220F A F B k k +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立得出韦达定理，代入结论220F A F B k k +=中可 求解.【详解】（1）解：因为1242F F c ==，所以2c =，所以224a b -=，又0a =>，所以28a =，24b =，故C 的方程为22184x y +=．（2）证明：由题意可知直线AB 的斜率存在，()22,0F ， 设直线AB 的方程为y kx m =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由221 84x yy kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222124280k x kmx m+++-=，则()()2222221641228648320k m k m k m∆=-+-=-+>，122412kmx xk+=-+，21222812mx xk-=+．设直线2F A，2F B的倾斜角分别为α，β，则παβ=-，22121222F A F By yk kx x+=+=--，所以()()1221220y x y x-+-=，即()()()()1221220kx m x kx m x+-++-=，所以()()12122240kx x m k x x m+-+-=，所以()22228422401212m kmk k m mk k-⨯+-⨯-=++，化简可得4m k=-，所以直线AB的方程为()44y kx k k x=-=-，故直线AB过定点()4,0．【点睛】本题考查求椭圆的方程和直线过定点问题，解答本题的关键是根据条件得出22F A F Bk k+=，设出直线AB的方程为y kx m=+，与椭圆方程联立由韦达定理代入解决，属于中档题.。

2019-2020学年陕西省汉中市高三（上）期末数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z1=1+i，z2=3﹣2i，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1763．两向量，则在方向上的投影为（）A．（﹣1，﹣15） B．（﹣20，36）C．D．4．已知命题p：0＜a＜4，命题q：函数y=ax2﹣ax+1的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．6．已知某名校高三学生有2000名，在某次模拟考试中数学成绩ζ服从正态分布N，已知P=0.45，若年段按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分以上的试卷中抽（）A．4份B．5份C．8份D．10份7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．π B．6πC．π D．π8．若椭圆和双曲线C：2x2﹣2y2=1有相同的焦点，且该椭圆经过点，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=cosωx 的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．设a=dx，则二项式（x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣8011．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2C．2D．312．设函数f（x）=（其中a∈R）的值域为S，若[1，+∞）⊆S，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[1，]∪（，2]C．（﹣∞，）∪[1，2]D．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．14．点M到F（4，0）距离比它到直线x+6=0距离小2，则M的轨迹方程为．15．设等比数列{a n}的公比为q，若S n，S n，S n+1成等差数列，则=．﹣116．某工厂接到一任务，需加工6000个P型零件和2000个Q型零件．这个厂有214名工人，他们每一个人用以加工5个P型零件的时间可以加工3个Q型零件，将这些工人分成两组同时工作，每组加工一种型号的零件．为了在最短时间内完成这批任务，则加工P型零件的人数为人．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）．（I）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面积为2，求c的值．18．如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC=，AB=CC1=2，∠BCC1=，点E在棱BB1上．（1）求C1B的长，并证明C1B⊥平面ABC；（2）若BE=λBB1，试确定λ的值，使得二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．19．为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为S n”．（1）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）．20．已知直线l：，圆O：x2+y2=5，椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．（1）求椭圆E的方程；（2）过圆O上任意一点作两条直线与椭圆E分别只有唯一一个公共点，求证：这两直线斜率之积为定值．21．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a=n且n∈N*，设x n是函数f n（x）=nx3+2x﹣n的零点．（i）证明：n≥2时存在唯一x n且；（i i）若b n=（1﹣x n）（1﹣x n+1），记S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜1．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.《选修4-1：几何证明选讲》22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．《选修4-4：坐标系与参数方程》23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2019-2020学年陕西省汉中市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z1=1+i，z2=3﹣2i，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，得到复数对应的点，则答案可求．【解答】解：∵z1=1+i，z2=3﹣2i，∴===﹣i．∴在复平面内对应的点为（，﹣），∴在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．3．两向量，则在方向上的投影为（）A．（﹣1，﹣15） B．（﹣20，36）C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出．【解答】解：∵，∴=4×（﹣5）+（﹣3）×（﹣12）=16，==13，∴在方向上的投影为=，故选：C．4．已知命题p：0＜a＜4，命题q：函数y=ax2﹣ax+1的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于命题q：当a=0时，函数y=ax2﹣ax+1=1，恒为正，满足条件；当a≠0时，可得，解得a．即可判断出．【解答】解：对于命题q：当a=0时，函数y=ax2﹣ax+1=1，恒为正，满足条件；当a≠0时，可得，解得0＜a＜4．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．5．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．6．已知某名校高三学生有2000名，在某次模拟考试中数学成绩ζ服从正态分布N ，已知P=0.45，若年段按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分以上的试卷中抽（ ）A ．4份B ．5份C ．8份D ．10份 【考点】分层抽样方法． 【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N ．得到考试的成绩ξ关于ξ=120对称，根据P=0.45，得到P （ξ＞140）=0.05，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数． 【解答】解：由题意，考试的成绩ξ服从正态分布N ． ∴考试的成绩ξ关于ξ=120对称， ∵P=0.45，∴P=2×0.45=0.9，∴P （ξ＞140）=P （ξ＜100）=（1﹣0.45×2）=0.05， ∴该班数学成绩在140分以上的人数为0.05×100=5． 故选：B ．7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．πB ．6πC ．πD ．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加．【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1， ∴几何体的体积V=V 半圆锥+V 半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．故选C ．8．若椭圆和双曲线C ：2x 2﹣2y 2=1有相同的焦点，且该椭圆经过点，则椭圆的方程为（ ）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c=1，再由椭圆的定义，运用两点的距离公式计算可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．【解答】解：双曲线C：2x2﹣2y2=1的焦点为（﹣1，0），（1，0），即有椭圆的c=1，由椭圆的定义可得2a=+=4，解得a=2，b==，即有椭圆的方程为+=1．故选：B．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数的图象求出函数的周期，然后求出ω，通过函数图象经过的特殊点求出φ，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．【解答】解：由函数的图象可知函数的周期为：T=4×（﹣）=π，所以ω==2，因为函数的图象经过（，0），所以：sin（2×+φ）=kπ，k∈Z，可解得：φ=kπ﹣，k∈Z由于：|φ|＜，可得：φ=，所以：f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos2（x﹣），g（x）=cos2x，所以，要得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象向左平移个单位长度即可．故选：B．10．设a=dx，则二项式（x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣80【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出定积分a的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r 的值，即可计算结果．【解答】解：∵a=dx=lnx=lne2﹣ln1=2﹣0=2，∴（x2﹣）5=（x2﹣）5的展开式的通项公式为：T r+1=•x2（5﹣r）•=•（﹣2）r•x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3，∴（x2﹣）5的展开式中含x项的系数为•（﹣2）3=﹣80．故选：D．11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2C．2D．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．【解答】解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，=•a2•h=9，∵V棱锥S﹣ABCD∴a2=，∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，∵SM⊥平面ABCD，∴△OMB是直角三角形，∴OM2+MB2=OB2，∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2∴2hR=h2+，即R=+=+=≥3=．当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．故选：A．12．设函数f（x）=（其中a∈R）的值域为S，若[1，+∞）⊆S，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[1，]∪（，2]C．（﹣∞，）∪[1，2]D．（，+∞）【考点】函数的值域．【分析】对a=0，a＞，a＜0分类求出分段函数的值域S，结合[1，+∞）⊆S，由两集合端点值间的关系列不等式求得a的取值范围．【解答】解：a=0，函数f（x）==，函数的值域为S=（0，+∞），满足[1，+∞）⊆S，a＞0，当x≥0时，f（x）=asinx+2∈[2﹣a，2+a]；当x＜0时，f（x）=x2+2a∈（2a，+∞）．若0，f（x）的值域为（2a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2a＜1，∴0；若，即，f（x）的值域为[2﹣a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2﹣a≤1，∴1≤a≤2；若2+a＜2a，即a＞2，f（x）的值域为[2﹣a，2+a]∪（2a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2a ＜1，∴a∈∅；a＜0，当x＜0，f（x）=x2+2a＞2a，此时一定有[1，+∞）⊆S．综上，满足[1，+∞）⊆S的a的取值范围是（﹣∞，）∪[1，2]．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：114．点M到F（4，0）距离比它到直线x+6=0距离小2，则M的轨迹方程为y2=16x．【考点】点到直线的距离公式．【分析】由题意得点M的轨迹是以F为焦点，以直线x+4=0为准线的抛物线，设方程为y2=2px，则=4，求得p值，即得抛物线方程．【解答】解：由题意得点M 到F （4，0）的距离和它到直线x +4=0的距离相等， ∴点M 的轨迹是以F 为焦点，以直线x +4=0为准线的抛物线， 设方程为y 2=2px ，则=4，∴p=8，故点M 的轨迹方程是y 2=16x ， 故答案为：y 2=16x ．15．设等比数列{a n }的公比为q ，若S n ，S n ﹣1，S n+1成等差数列，则= 4 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得2S n ﹣1=S n +S n+1=S n ﹣1+a n +S n ﹣1+a n +a n+1，从而得到q==﹣2，由此能求出的值．【解答】解：∵等比数列{a n }的公比为q ，S n ，S n ﹣1，S n+1成等差数列， S n 、S n ﹣1、S n+1成等差数列，则2S n ﹣1=S n +S n+1=S n ﹣1+a n +S n ﹣1+a n +a n+1， a n+1=﹣2a n ， q==﹣2，==q 2=（﹣2）2=4．故答案为：4．16．某工厂接到一任务，需加工6000个P 型零件和2000个Q 型零件．这个厂有214名工人，他们每一个人用以加工5个P 型零件的时间可以加工3个Q 型零件，将这些工人分成两组同时工作，每组加工一种型号的零件．为了在最短时间内完成这批任务，则加工P 型零件的人数为 137 人．【考点】根据实际问题选择函数类型；简单线性规划．【分析】设最短加工时间为x ，建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：设最短加工时间为x ， 则加工P 型零件的人数为=，则加工Q 型零件的人数为，则满足+=214， 即=214， 即=214，则=，则加工P型零件的人数为=1200×=137.57，故加工P型零件的人数为137人，故答案为：137三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）．（I）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面积为2，求c的值．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（I）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可确定出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（C）=1确定出C的度数，sinB=2sinA利用正弦定理化简得到b=2a，利用三角形面积公式列出关系式，把sinC与已知面积代入求出ab的值，联立求出a与b的值，利用余弦定理求出c的值即可．【解答】解：（I）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π；（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C+）+=1，∴sin（2C+）=，∵＜2C+＜，∴2C+=，即C=，∵sinB=2sinA，∴b=2a①，∵△ABC面积为2，∴absin=2，即ab=8②，联立①②，得：a=2，b=4，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=12，即c=2．18．如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC=，AB=CC1=2，∠BCC1=，点E在棱BB1上．（1）求C1B的长，并证明C1B⊥平面ABC；（2）若BE=λBB1，试确定λ的值，使得二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由余弦定理，得C1B=，由勾股定理得C1B⊥BC．由线面垂直得AB⊥BC1，由此能证明C1B⊥平面ABC．（2）以B为空间坐标系的原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．【解答】解：（1）因为BC=，CC1=BB1=2，∠BCC1=，在△BCC1中，由余弦定理，得C1B==，…所以C1B2+BC2=CC12，即C1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC．…（2）由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（，0，0），=（0，2，﹣），=+λ=+λ=（﹣λ，0，λ﹣），设平面AC1E的一个法向量为=（x，y，z），则，令z=，得=（，1，），平面C1EC的一个法向量=（0，1，0），∵BE=λBB1，确定λ的值，使得二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为，∴cos＜＞===，解得，∴当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．…19．为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为S n”．（1）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）当S6=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为，由此能求出S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率．（2）由X=|S5|可知X的取值为10，30，50，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）当S6=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为…故所求概率为：…（2）由X=|S5|可知X的取值为10，30，50可有，，…故X的分布列为：X 10 30 50PE（X）==．…20．已知直线l：，圆O：x2+y2=5，椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．（1）求椭圆E的方程；（2）过圆O上任意一点作两条直线与椭圆E分别只有唯一一个公共点，求证：这两直线斜率之积为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得圆心到直线的距离，运用弦长公式，由离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设过P的椭圆E的切线l0的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，化简整理，再由韦达定理，即可得到斜率之积为定值．【解答】解：（1）设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d==，则l被圆O截得的弦长为2=2，所以b=．由题意得=，且a2﹣b2=c2，∴a2=3，b2=2，∴椭圆E的方程为+=1；（2）过P（x0，y0）的直线与椭圆E分别只有唯一的公共点，设过P的椭圆E的切线l0的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），整理得y=kx+y0﹣kx0，联立直线l0与椭圆E的方程得，消去y得2[kx+（y0﹣kx0）]2+3x2﹣6=0，整理得（3+2k2）x2+4k（y0﹣kx0）x+2（kx0﹣y0）2﹣6=0，∵l0与与椭圆E分别只有唯一的公共点（即与椭圆E相切），∴△=[4k（y0﹣kx0）]2﹣4（3+2k2）[2（kx0﹣y0）2﹣6]=0，整理得（2﹣x）k2+2x0y0k﹣（y﹣3）=0，设满足题意的与椭圆E分别只有唯一的公共点的直线的斜率分别为k1，k2，则k1k2=﹣．∵点P在圆O上，∴x02+y02=5，∴k1k2=﹣=﹣1．∴两条切线斜率之积为﹣1．21．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a=n且n∈N*，设x n是函数f n（x）=nx3+2x﹣n的零点．（i）证明：n≥2时存在唯一x n且；（i i）若b n=（1﹣x n）（1﹣x n+1），记S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜1．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导得到单调区间（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f n（x）=nx3+2x﹣n在R上单调递增，证明f n（）=﹣即可．（ii）利用数列裂项求和和不等式放缩技巧证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2，若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；若a＜0，令f'（x）＞0，∴或，函数f（x）的单调递增区间为和；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f n（x）=nx3+2x﹣n在R上单调递增，又f n（1）=n+2﹣n=2＞0，f n（）====﹣当n≥2时，g（n）=n2﹣n﹣1＞0，，n≥2时存在唯一x n且（i i）当n≥2时，，∴（零点的区间判定）∴，（数列裂项求和）∴，又f1（x）=x3+2x﹣1，，（函数法定界），又，∴，∴，（不等式放缩技巧）命题得证．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.《选修4-1：几何证明选讲》22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【分析】（1）先由角相等∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；（2）由于∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，从而得出两个三角形相似：“△APC～△ACD”结合相似三角形的对应边成比例即得AP•AD的值．【解答】解：（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，∴△DPC～△DBA，∴又∵AB=AC，∴（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC～△ACD∴，∴AC2=AP•AD=9《选修4-4：坐标系与参数方程》23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】根据极坐标与直角坐标的对应关系得出l的普通方程，根据图象变换先写出C2的普通方程，再转化为参数方程．【解答】解：∵ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，即2ρcosθ﹣ρsinθ﹣6=0．∴直线l的直角坐标方程为：2x﹣y﹣6=0，曲线C2的直角坐标方程为：，令=cosθ，=sinθ，则x=cosθ，y=2sinθ．∴曲线C2的参数方程为：．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．2020年7月31日。