信号与系统第三章答案2

y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t )
（1）对上式两边取傅里叶变换得：
( jw ) 2 Y ( jw ) + 4( jw )Y ( jw ) + 3Y ( jw ) = F ( jw )
1 1 Y ( jw ) 1 1 2 2 H ( jw ) = = = = 2 F ( jw ) ( jw ) + 4( jw ) + 3 ( jw + 3)( jw + 1) ( jw + 1) ( jw + 3) 1 h(t ) = F -1[ H ( jw )] = (e- t - e-3t )U (t ) 2
jw =-2
= -1
d [Y ( jw )g( jw + 2) 2 ] =2 j w =2 dw
jw =-3
K 3 = Y ( jw )g( jw + 3)
即
= -2
Y ( jw ) =
-1 2 -2 + + ( jw + 2) 2 jw + 2 jw + 3
根据傅里叶变换的性质：
- jtf (t ) «
1 1 g jw + 2 ( jw + 3)( jw + 1) K3 K1 K2 = + + jw + 2 jw + 3 jw + 1
用部分分式展开法：
K1 = Y ( jw )g( jw + 2) K 2 = Y ( jw )g( jw + 3) K 3 = Y ( jw )g( jw + 1)
h(t ) = F -1[ H ( jw )] = (2e -3t - e -2t )U (t )
（2）若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，系统的零状态响应 y f (t ) = f (t ) * h(t ) ，或者
y f (t ) = F -1[Y ( jw )] = F -1[ F ( jw )g H ( jw )]
=
jw =-3
1 2
= jw =-1
=
jw =-1
1 2
1 1 -1 Y ( jw ) = + 2 + 2 jw + 2 jw + 3 jw + 1
1 1 y f (t ) = F -1[Y ( jw )] = ( -e -2t + e -3t + e - t )U (t ) 2 2
方程 2：
y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
3.36 已知 LTI 系统的微分方程如下：
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t ) y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
（1） 求系统的频率响应 H（jw）和冲激响应 h（t） ； （2） 若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，求系统的零状态响应 y f (t ) 。 解： 方程 1：
所以 y（t）的频谱图为：
1 4 1 2
´
1 4
= 3.48 一 个 线 性 时 不 变 系 统 的 频 率 响 应 如 习 题 图 3-27 所 示 ， 若 输 入 sin 3t f (t ) = cos 5t ，求 y (t ) 。 t
j
p 2
-j
p 2
图 3-27
sin 3t sin 3t =3 = 3sa (3t ) « p g 6 (w ) t 3t
1 2
-6 -4
-2
1 2
Y2(jw) 1 2 0 2 4 6 w
+
1
= 从图中可以得到：
Y ( jw ) = g 2 (w + 5) + g 2 (w + 5) = =
解法 2：
Y ( jw ) = g 2 (w + 5) + g 2 (w + 5) 1 Sa (t ) « g 2 (w ) p
d F ( jw ) dw
1 jw + a d 1 -j [ ]= d w jw + a ( jw + a ) 2 d 1 -j - jte - atU (t ) « [ ]= d w jw + a ( jw + a ) 2 1 \ te - atU (t ) « ( jw + a ) 2 e - atU (t ) «
1 ( g 4 (w + 4) + g 4 (w - 4)) 的图形为： 2
即 Y1 ( jw ) =
1 2
j 求 Y2 ( jw ) = [ F ( jw )g H ( jw )] * [d (w + 4) - d (w - 4)] ： 2
j j 1 F ( jw )g H ( jw ) = g 4 (w )g j sgn(w ) = - g 4 (w )gsgn(w ) 的图形为： 2 2 2
2 1 p g 2 (w ) * p (d (w + 5) + d (w - 5)) p 2p
2 sa(t )gcos 5t p
根据傅里叶变换的频移特性：ejw0t f (t ) « F ( j (w - w0 )) 1 - j 5t e Sa(t ) « g 2 (w + 5) p 1 j 5t e Sa(t ) « g 2 (w - 5) p 1 1 \ y (t ) = F -1[Y ( jw )] = e- j 5t Sa (t ) + e j 5t Sa(t ) p p 1 = Sa(t )[e- j 5t + e j 5t ] p 2 = Sa(t ) sin(5t ) p \
f1(t)的频谱图为：
1 2
因为
x(t ) = F -1[ X ( jw )] = F -1[ F1 ( jw )g H1 ( jw )]
所以 x(t ) 的频谱图为：
1 2
´
1
H1(jw) w
-5 -3 0 3 5
1 2
=
1 X ( jw ) * p (d (w + 3) + d (w - 3))g H1 ( jw )] 2p 1 1 Y ( jw ) = X ( jw ) * p (d (w + 3) + d (w - 3))g H1 ( jw ) = ( X ( j (w + 3)) + X ( j (w - 3)))g H 2 ( jw ) 2p 2 y (t ) = ( x(t )gcos 3t ) * F -1[ H 2 ( jw )] = F -1[
所以：
y f (t ) = F -1[Y ( jw )] = (-te -2t + 2e -2t - 2e -3t )U (t )
3.42 如习 题图 3-23 所示系统 ，已知输入信号 f （ t ）的频谱为 F （ jw ） ，
H 2 ( jw ) = g6 (w ) ，试画出 x(t ), y (t ) 的频谱。
频谱图为：
j
p 2
p 2
-j
p 2
´
Y(jw) p2 j 4 -6 -2 2 0 2 p -j 4
= 由频谱图可以得到 Y（jw）的表达式为：
6
w
p2 Y ( jw ) = j [ g 4 (w + 4) - g 4 (w - 4)] 4 p = g 4 (w ) * jp [d (w + 4) - d (w - 4)] 4 p 1 = g 2p g 4 (w ) * jp [d (w + 4) - d (w - 4)] 4 2p
f1(t)
解： cos 5t « p (d (w + 5) + d (w - 5)) 频谱图为
f1 (t ) = f (t )gcos 5t F1 ( jw ) = 1 F ( jw ) * p [d (w + 5) + d (w - 5)] 2p 1 = [ F ( jw ) * d (w + 5) + F ( jw ) * d (w - 5)] 2 1 = [ F ( j (w + 5)) + F ( j (w - 5))] 2
由已知得：
F ( jw ) =
1 jw + 2
Y ( jw ) = F ( jw )g H ( jw ) =
1 1 + jw g jw + 2 ( jw + 3)( jw + 2) K11 K12 K2 = + + ( jw + 2) 2 jw + 2 jw + 3
采用部分分式展开法：
K11 = Y ( jw )g( jw + 2) 2 K2 =
（见课本 P85）
t gt (t ) « t sa( w ) 2
根据对称性：
t t sa( t ) « 2p gt (w ) 2
cos 5t « p [d (w + 5) + d (w - 5)]
f (t ) = sin 3t 1 p cos 5t « p g6 (w ) * p [d (w + 5) + d (w - 5)] = [ g 6 (w + 5) + g6 (w - 5)] t 2p 2
1 1 F ( jw ) * p [d (w + 4) + d (w - 4)] + [ F ( jw )g H ( jw )] * jp [d (w + 4) - d (w - 4)] 2p 2p = Y1 ( jw ) + Y2 ( jw )