【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第一章 常用逻辑用语综合检测 新人教A版选修1-1

第一章常用逻辑用语(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．命题：“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】 D2(2013·济南高二期末)若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是( )A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题【解析】命题p的逆命题与其否命题是互为逆否命题，具有相同的真假性，其他命题的真假无法确定．【答案】 B3．(2013·合肥高二检测)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】 D4．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0, 即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0,1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．【答案】 A5．(2012·安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当α⊥β时，由于α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，由面面垂直的性质定理知，b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a .∴“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分条件．而当a ⊂α且a ∥m 时，∵b ⊥m ，∴b ⊥a .而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a ⊥b ”的必要条件，故选A.【答案】 A6．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x ＞0，x ＋ax≥2”的充分必要条件；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0－1＞0，则下列结论中正确的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧綈q ”是真命题C ．命题“綈p ∧q ”是真命题D ．命题“綈p ∧綈q ”是真命题【解析】 当a ＝1时，x ＋a x＝x ＋1x≥2对∀x ＞0成立，但反之不成立，故“a ＝1”是“∀x ＞0，x ＋ax≥2”的充分不必要条件，p 为假命题，而q 为真命题，故只有C 正确．【答案】 C7．下列命题错误的是( )A ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”B ．“x ＝2”是“x 2－5x ＋6＝0”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0【解析】 A 、B 、D 都正确，对于C 选项，若p ∧q 为假命题，可能p 、q 均为假命题，也有可能p 、q 一真一假，故C 错．【答案】 C8．(2013·郑州高二检测)下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要条件是( ) A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【解析】 由a ＞b ＋1，得a ＞b ，反之不成立． 【答案】 A9．(2013·湛江高二检测)对∀x ∈R ，kx 2－kx －1＜0是真命题，则k 的取值范围是( ) A ．－4≤k ≤0 B ．－4≤k ＜0 C ．－4＜k ≤0D ．－4＜k ＜0【解析】 由题意即kx 2－kx －1＜0对任意x ∈R 恒成立，当k ＝0时，－1＜0恒成立；当k ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0Δ＝k 2＋4k ＜0，即－4＜k ＜0，所以－4＜k ≤0.【答案】 C 10．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【解析】 ①中，x 2＋2x >4x －3⇒(x －1)2＋2>0恒成立，①为真命题． ②中，由log 2x ＋log x 2≥2，且log 2x 与log x 2同号， ∴log 2x >0，∴x >1，②为真命题． ③中，易知“a >b >0且c <0时，c a >cb”，∴原命题为真命题，故逆否命题为真命题，③为真命题． 在④中，p 、q 均为真命题，则命题p ∧綈q 为假命题． 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)11．“相似三角形的面积相等”的否命题是________．它的否定是________． 【答案】 若两个三角形不相似，则它们的面积不相等 有的相似三角形的面积不相等 12．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)>0是假命题，f (2)>0是真命题，则实数m 的取值范围是______．【解析】 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ＝3－m ≤0，f 2 ＝8－m >0，∴3≤m <8.【答案】 [3,8)13．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 【解析】 由Δ＝16－4n ≥0得n ≤4，又∵n ∈N *，故n ＝1,2,3,4，验证可知n ＝3,4，符合题意；反之，当n ＝3,4时，可以推出一元二次方程有整数根．【答案】 3或4 14．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；②命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x 0∈N ，使x 30>x 20”； ③“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件； ④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题． 其中正确命题的序号是________． 【解析】 ①②④是假命题，③是真命题． 【答案】 ③三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分12分)π为圆周率，a 、b 、c 、d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d .(1)写出綈p 并判断真假；(2)写出p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．【解】 (1)綈p ：“若a π＋b ＝c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”． ∵a 、b 、c 、d ∈Q ，由a π＋b ＝c π＋d ， ∴π(a －c )＝d －b ∈Q ，则a ＝c 且b ＝d .故p 是真命题，∴綈p 是假命题．(2)逆命题：“若a ＝c 且b ＝d ，则a π＋b ＝c π＋d ”．真命题． 否命题：“若a π＋b ≠c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”．真命题． 逆否命题：“若a ≠c 或b ≠d ，则a π＋b ≠c π＋d ”．真命题．16．(本小题满分12分)设命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－a ＝0.命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1.如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．【解】 当p 为真时，Δ＝4a 2＋4a ≥0得a ≥0或a ≤－1，当q 为真时，(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞016－4 a ＋2 a －1 ≤0即a ≥2.由题意得，命题p 与q 一真一假．当命题p 为真，命题q 为假时，得a ≤－1或0≤a ＜2. 当命题p 为假，命题q 为真时，得a ∈∅. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0,2)．17．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.【证明】 充分性：∵∠A ＝90°， ∴a 2＝b 2＋c 2.于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0， ∴x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0. ∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0.∴该方程有两根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )，同样另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0，即[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )． 可以发现，x 1＝x 3， ∴方程有公共根．必要性：设x 是方程的公共根，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋b 2＝0， ①x 2＋2cx －b 2＝0. ②由①＋②，得x ＝－(a ＋c )，x ＝0(舍去)． 代入①并整理，可得a 2＝b 2＋c 2. ∴∠A ＝90°. ∴结论成立．图118．(本小题满分14分)(2012·陕西高考)(1)如图1所示，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)． 【解】(1)(1)法一 如图(1)，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)．因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为a π，n⊥π，所以a·n＝0.故a·c＝0，从而a⊥c.(2)法二如图(2)，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.因为PO⊥π，a π，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b 平面PAO，PO∩b＝P，所以a⊥平面PAO.又c 平面PAO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第一章 常用逻辑用语综合检测 北师大版选修1-1(时间120分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知命题p ：所有的有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )A ．(綈p )或qB ．p 且qC ．(綈p )且(綈q )D ．(綈p )或(綈q )【解析】 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而只有(綈p )或(綈q )为真命题．故选D.【答案】 D2. (2012·杭州高二检测)下列说法错误的是( )A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋2x 0－3<0，则綈p ：对任意的x ∈R ，x 2＋2x －3≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件 【解析】 对于D 选项，由sin θ＝12，得θ＝30°＋k ·360°或θ＝150°＋k ·360°(k ∈Z )；若θ＝30°，则sin θ＝12.所以“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件． 【答案】 D3. (2013·福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0, 即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0，1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．【答案】 A4. 命题“若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2<0”的逆否命题是( )A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数D ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数【解析】 根据逆否命题与原命题的关系即可选出A 项正确．【答案】 A5. 以下四个命题中，是假命题的为( )A ．“直线a ，b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a ，b 不相交”B ．“直线a ∥直线b ”的充要条件是“直线a ，b 与同一平面α所成的角相等”C ．“直线a ⊥直线b ”的充分不必要条件是“a 垂直于b 所在的平面”D ．“直线a ∥平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面α内的一条直线”【解析】 如正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，但任意两条侧棱都不平行．【答案】 B6. 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A ．x <0B ．x ≥0C ．x ∈{－1，3，5}D ．x ≤－12或x ≥3 【解析】 ∵2x 2－5x －3≥0，∴(x －3)(2x ＋1)≥0.∴x ≤－12或x ≥3. 而{－1，3，5}{x |x ≤－12，或x ≥3}． 【答案】 C7. 若命题“若p ，则q ”为真，则( )A ．qp B ．綈p q C ．綈q p D ．綈q p【解析】 由原命题和它的逆否命题为等价命题知选C.【答案】 C8. 由下列各组命题构成“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“綈p ”为真的是( )A ．p ：3是偶数；q ：4是奇数B ．p ：3＋2＝6；q ：5>3C ．p ：a ∈{a ，b }；q ：{a }{a ，b }D ．p ：Q R ；q ：N ＝Z【解析】 由题意可知p 为假q 为真，故只有选项B 满足题意．【答案】 B9. 给出下列命题，其中真命题为( )A ．对任意x ∈R ，x 是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x >1是1x<1的充要条件 【解析】 选项A 为假命题，例如4是有理数；选项B 是假命题，若xy ≠0，则x ，y全都不为0；选项C 是真命题；选项D 中，x >1是1x<1的充分不必要条件． 【答案】 C10. 对任意x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是( )A ．－4≤k ≤0B ．－4≤k ＜0C ．－4<k ≤0D ．－4<k <0 【解析】 k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0，解得－4＜k ≤0. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11. 命题p ：内接于圆的四边形对角互补，则p 的否命题是________，非p 是________．【解析】 否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论．【答案】 若四边形不内接于圆，则其对角不互补 内接于圆的四边形对角不互补12. 已知p ：x 2－x ≥6，q ：|x －2|≤3，且“p 且q ”与“綈q ”同时为假命题，则实数x 的取值范围为________．【解析】 若p 真，则x ≥3或x ≤－2；若q 真，则－1≤x ≤5.∵“p 且q ”与“綈q ”同为假命题，∴q 为真命题，p 为假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，－1≤x ≤5，即－1≤x <3. 【答案】 [－1，3)13. 已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________．【解析】 由x 2＋2x ＋a ≥0得a ≥－x 2－2x ，由题意知a ≥(－x 2－2x )min ，又－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，x ∈[1，2]，∴(－x2－2x)min＝－8.∴a≥－8.【答案】[－8，＋∞)14. 如果p：a＋b≠5，q：a≠2或b≠3，则p是q的______条件．【解析】命题“如果a＋b≠5，那么a≠2或b≠3”的逆否命题为“如果a＝2且b＝3，那么a＋b＝5”，显然是真命题，∴p q，即有：p是q的充分条件．同理：p不是q的必要条件，∴p是q的充分条件，但不是必要条件．【答案】充分不必要三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. (12分)写出下列命题的否定形式“綈p”，并判断它们的真假．(1)p：对任意的x，x2＋4x＋4≥0；(2)p：存在x，x2－4＝0.【解】(1)綈p：存在x，x2＋4x＋4<0.因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，所以“綈p”为假命题．(2)綈p：对任意的x，x2－4≠0，因当x＝2时，22－4＝0，所以“綈p”为假命题．16. (12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．【解】(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分；p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分；綈p：平行四边形的对角线不相等．由于p假q真，所以p或q真，p且q假，綈p真．(2)p或q：方程x2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等；p且q：方程x2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等；綈p：方程x2－16＝0的两根符号相同．由于p 真q 真，所以p 或q 为真，p 且q 为真，綈p 为假．17. (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝aq n＋b (a ，b ，q 都是常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1)．求证：数列{a n }是等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.【证明】 (1)充分性：由已知，得S n ＝aq n ＋b .∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，∴S n ＝aq n －a . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq 1－a ＝a (q －1)．当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －a －(aqn －1－a )＝aq n －aq n －1＝a (q －1)q n －1. 显然a 1＝a (q －1)满足上式，故n ∈N *时，a n ＝a (q －1)q n －1. 所以{a n }是以a 1＝a (q －1)为首项，以q 为公比的等比数列．(2)必要性：因为数列{a n }是等比数列，设首项为a 1，公比为q (q ≠1)．所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－qq n ，对比式子S n ＝aq n ＋b 可知， a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q ，∴a ＋b ＝0. 综合(1)(2)知，{a n }是等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.18. (14分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若条件p 是条件q 的充分条件，求实数a 的取值范围．【解】 A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}．①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当3a ＋1<2，即a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． ∵p 是q 的充分条件，∴AB ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2， 或⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1， 解得1≤a ≤3，或a ＝－1.故a 的取值范围为{a |1≤a ≤3，或a ＝－1}．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2.3 导学的四则运算法则课后知能检测新人教B版选修2-2一、选择题1．(2013·深圳高二检测)函数y＝cos (－x)的导数是( )A．cos x B．－cos xC．－sin x D．sin x【解析】y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x.【答案】 C2．若f(x)＝1－x2sin x，则f(x)的导数是( )A.－2x sin x－－x2xsin2xB.－2x sin x＋－x2xsin2xC.－2x sin x＋－x2sin xD.－2x sin x－－x2sin x【解析】f′(x)＝－x2x－－x2xsin2x＝－2x sin x－－x2cos xsin2x.【答案】 A3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15【解析】∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，令x＝0，得y＝9.【答案】 C4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y ＝f(t)＝10t，则在时刻t＝40 min的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14 mm/min 【解析】 f ′(t )＝1210t ·10＝510t ， ∴f ′(40)＝5400＝14. 【答案】 D 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2【解析】 设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1＝ln(x 0＋a )． 又由＝1x 0＋a＝1，解得x 0＋a ＝1， ∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.【答案】 B二、填空题6．(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.【解析】 因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12. 【答案】 127．已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ， ∴f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 【答案】 － 28．曲线y ＝e－2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积是________．【解析】 ∵y ′＝－2e －2x ，∴y ′|x ＝0＝－2，切线方程为y ＝－2x ＋2.∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0)，(1,0)，(23，23)． ∴S ＝12×1×23＝13. 【答案】 13三、解答题9．已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x 1＋x，x ≥0，其中a ＞0，若f ′(1)＝0，求a 的值． 【解】 f ′(x )＝[ln(ax ＋1)]′＋(1－x 1＋x)′ ＝a ax ＋1＋－2＋x 2，∴f ′(1)＝aa ＋1－12＝0， ∴a ＝1. 因此实数a 的值为1.10．若函数f (x )＝e x x在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值． 【解】 由于f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e c c， 又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x x －x 2，∴f ′(c )＝e c c －c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e cc －c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12. 11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】 (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12， ①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74. ② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x. (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 知， 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

第一章常用规律用语§1命题(老师用书独具)●三维目标1．学问与技能(1)了解命题的概念．(2)通过简洁的例子，让同学体会四种命题的构成形式．(3)通过实际例子，让同学体会四种命题的关系．2．过程与方法经受从具体数学实例中抽象出命题概念的过程，感受命题在数学学习中的重要性和广泛性．3．情感、态度与价值观通过命题的学习过程，使同学了解命题的基本学问，生疏命题的相互关系，提高思维的严谨性．●重点难点重点：1.命题的概念．2．四种命题的关系．难点：1.写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题．2．利用四种命题之间的关系推断命题的真假．对于命题概念的教学，要从具体实例中去认知，从命题与开语句的比较中去把握．对于命题的四种形式及其关系的教学，要遵循认知规律，通过例子，引导同学探究四种形式及其关系，即让同学经受概念的形成和抽象过程，再通过例题分析得出四种命题之间的关系．(老师用书独具)●教学建议1．教学中应多举出一些同学生疏的数学中的例子或生活中的实例．2．老师可以通过总结引例、例1、例2中的推断结果，引导同学归纳总结出四种命题的相互关系，以及互为逆否命题的两命题之间的等价关系图．3．在高中常用规律用语部分，一般只要求同学争辩“若p，则q”形式的命题，或者可以改写成“若p，则q”的形式的命题，而超出这一形式的命题，在这里不做争辩．●教学流程创设问题情境，引出问题――――→抽象概括命题的概念⇑命题的结构⇓命题的分类――――→提出问题同学探究四种命题――→例题四种命题之间的关系⇒反馈矫正⇒归纳总结课标解读1.了解命题的概念，会推断命题的真假．(重点)2．把握四种命题的结构形式，会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题．(重点)3．能用四种命题之间的相互关系推断四种命题的真假．(难点)命题及其形式【问题导思】下列能推断真假的语句序号是？①π是无理数吗？②x＞1.③2∈N.④若a ⊥b ，则a ·b ≤0. 【提示】 ③④能推断真假． 命题及其形式(1)定义：可以推断真假、用文字或符号表述的语句．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧真命题：推断为真的语句.假命题：推断为假的语句.(3)形式：通常表示为“若p ，则q ”的形式，其中p 是条件，q 是结论．四种命题及其相互关系【问题导思】 1．下面有四个命题． ①若x ＞1，则x ＞0. ②若x ＞0，则x ＞ 1. ③若x ≤1，则x ≤0. ④若x ≤0，则x ≤1.它们的条件和结论分别是什么？【提示】 命题①的条件是x ＞1，结论是x ＞0. 命题②的条件是x ＞0，结论是x ＞1. 命题③的条件是x ≤1，结论是x ≤0. 命题④的条件是x ≤0，结论是x ≤1.2．命题②、③、④的条件与结论与命题①的条件与结论有什么关系？ 【提示】 命题②的条件与结论分别是命题①的结论与条件． 命题③的条件与结论分别是命题①的条件的否定与结论的否定． 命题④的条件与结论分别是命题①的结论的否定与条件的否定． 1．四种命题互逆 命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件互否 命题 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定 互为逆一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定否命题2.四种命题之间的关系互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系．命题及其真假推断推断下列语句是否为命题，若是命题，推断其真假．①若a ＞b ，则2a ＞2B ．②y ＝sin x 是奇函数吗？ ③x 2－1＜0(x ∈Z )． ④空集是任何集合的子集．【思路探究】 推断一个语句是否为命题，关键是看能否推断其真假． 【自主解答】 ①由指数函数y ＝2x 的性质知，①是真命题． ②不是命题，不涉及真假．③不是命题，未给x 赋值之前，无法推断真假． ④由空集的性质知，④是真命题．1．推断一个语句是否为命题，关键看这个语句能否推断真假．2．推断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证；推断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．推断下列语句是否为命题，若是命题，推断其真假． (1)斜率相同的两直线平行．(2)若x ＋y 是有理数，则x ，y 均为有理数． (3)这是一棵大树．(4)当x ＝1时，x 2＋2x －3＝0. 【解析】 (1)是假命题．(2)是假命题．当x ＝2时，y ＝－2时，x ＋y 是有理数． (3)无法推断真假，不是命题． (4)是真命题．命题的结构把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并推断命题的真假．(1)矩形的对角线相等．(2)当m ＞14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根．(3)已知x ，y ∈N ＋，当x ＋y ＝2时，x ＝y ＝1.【思路探究】 分清命题的条件和结论，是解决这类问题的关键． 【自主解答】 (1)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；是真命题． (2)若m ＞14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根；是真命题．(3)已知x ，y ∈N ＋，若x ＋y ＝2，则x ＝y ＝1；是真命题．改写命题时，需要留意的事项：①分清命题中的条件和结论；②要留意叙述的完整性，比如第(1)题；③当命题有大前提时，不能把大前提写在条件中，应写在前面，仍旧作为命题的大前提，比如第(3)题．指出下列命题的条件和结论．(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2B ． (2)当x ＝1时，x 2＝1. (3)两个奇数的和是偶数．【解】 (1)条件：a ，b ，c 成等差数列，结论：a ＋c ＝2B ． (2)条件：x ＝1，结论：x 2＝1.(3)条件：两个数都是奇数，结论：它们的和是偶数．四种命题及其真假推断写出命题“若不等式x 2＋px ＋q ＞0的解集为R ，则p 2－4q ≤0”的逆命题、否命题、逆否命题，并推断其真假．【思路探究】 依据逆命题、否命题、逆否命题的定义去写，要留意： (1)分清命题的条件和结论；(2)“＞”的否定是“≤”．【自主解答】 逆命题：若p 2－4q ≤0，则不等式x 2＋px ＋q ＞0的解集为R ；假命题． 否命题：若不等式x 2＋px ＋q ＞0的解集不是R ，则p 2－4q ＞0；假命题． 逆否命题：若p 2－4q ＞0，则不等式x 2＋px ＋q ＞0的解集不是R ；真命题．互为逆否命题的两个命题同真假，因此，在直接推断一个命题的真假困难时，通常转化为推断它的逆否命题的真假．写出命题“末位数字是0的整数能被5整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并推断其真假． 【解】 逆命题：能被5整除的整数的末位数字是0，假命题． 否命题：末位数字不是0的整数不能被5整除，假命题． 逆否命题：不能被5整除的整数的末位数字不是0，真命题.对四种命题的结构生疏不清致误已知a，b∈R，命题“若a＋b＝2，则a2＋b2≥2”的否命题是() A．若a＋b≠2，则a2＋b2＜2B．若a＋b＝2，则a2＋b2＜2C．若a＋b≠2，则a2＋b2≥2D．若a2＋b2≥2，则a＋b＝2【错解】只否定结论，错选B；只否定条件，错选C；误将互否理解成互逆，错选D．【答案】 D【错因分析】对四种命题的结构形式生疏不清致误．【防范措施】把握四种命题的结构形式．原命题：若p，则q.逆命题：若q，则p.否命题：若p的否定，则q的否定．逆否命题：若q的否定，则p的否定．【正解】“a＋b＝2”的否定是“a＋b≠2”，“a2＋b2≥2”的否定是“a2＋b2＜2”，由否命题的定义知，选项A正确．【答案】 A1．推断一个语句是否为命题，关键看它能否推断真假．2．对于四种命题要把握其结构形式．3．由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易推断真假时，可以通过推断其逆否命题的真假来推断原命题的真假.1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思【解析】只有A选项能推断真假．【答案】 A2．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若b∉M，则a∈M B．若a∉M，则b∈MC．若b∈M，则a∉M D．若a∈M，则b∈M【解析】由原命题与其逆否命题等价知：选项C正确．【答案】 C3．命题：“菱形的对角线相互垂直”的条件是__________，结论是____________．【解析】该命题可写成：若一个四边形是菱形，则它的对角线相互垂直．所以，命题的条件是一个四边形是菱形，命题的结论是它的对角线相互垂直．【答案】一个四边形是菱形它的对角线相互垂直4．命题：若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断这些命题的真假．【解】逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题.一、选择题1．下列语句不是命题的是()A．3是15的约数B．3小于2C ．0不是自然数D ．正数大于负数吗？【解析】 选项D 是疑问句，没有对正数与负数的大小关系作出推断，故选D ． 【答案】 D2．若一个命题p 的逆命题是一个假命题，则下列推断肯定正确的是( ) A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的否命题是假命题 C ．命题p 的逆否命题是假命题 D ．命题p 的否命题是真命题【解析】 一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B ． 【答案】 B3．命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1＜x ＜1，则x 2＜1 C ．若x ＞1或x ＜－1，则x 2＞1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1【解析】 此命题的逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1. 【答案】 D4．假设坐标平面上一非空集合S 内的点(x ，y )，具有以下性质：“若x ＞0，则y ＞0”，试问下列哪个叙述对S 内的点(x ，y )必定成立( )A ．若x ≤0，则y ≤0B ．若y ≤0，则x ≤0C ．若y ＞0，则x ＞0D ．若y ＞0，则x ≤0【解析】 若x ＞0，则y ＞0⇔若y ≤0，则x ≤0，故选B ． 【答案】 B5．有下列四个命题，其中真命题是( ) ①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的否命题； ③“面积相等的三角形全等”的否命题；④“若x ≠π4＋2k π(k ∈Z )，则tan x ≠1”的逆否命题．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解析】 ①逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题； ②否命题为“若a ＋b ＜2，则a ，b 都小于1”，假命题；③否命题为“面积不相等的三角形不全等”，真命题； ④逆否命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4＋2k π(k ∈Z )”，假命题．【答案】 C 二、填空题6．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的________命题． 【解析】 依据四种命题的关系，易知s 是t 的否命题． 【答案】 否7．在命题“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为________． 【解析】 当a ＝1，b ＝－2时，a 2＜b 2，故原命题为假，所以它的逆否命题为假；当a ＝－2，b ＝1时，a ＜b ，故原命题的逆命题为假，所以原命题的否命题为假，故假命题的个数为3.【答案】 38．命题“负数的平方是正数”的否命题是________．【解析】 负数的否定是非负数，是正数的否定是不是正数，故命题的否定是：非负数的平方不是正数．【答案】 非负数的平方不是正数 三、解答题9．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式． (1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称；【解】 (1)若一个数是偶数，则它能被2整除； (2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．10．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出逆命题，推断其真假，并证明你的结论； (2)写出逆否命题，推断其真假，并证明你的结论．【解】 (1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.它是成立的，可用反证法证明： 假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，b ＜－a .由于f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )， 所以f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )与条件冲突，逆命题真．(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可用证明原命题为真来证明：由a＋b≥0，得a≥－b，b≥－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴逆否命题为真．11．a，b，c为三个人，命题A：“假如b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“假如c 的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小挨次是否能确定？请说明理由．【解】明显命题A和B的原命题的结论是冲突的，因此我们应当从它的逆否命题来看．由命题A为真可知，b不是最大时，则a是最小，∴c最大，即c＞b＞a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，即b＞a＞c.同理由命题B为真可得：a＞c＞b或b＞a＞c.故由A与B均为真可知b＞a＞c.∴a，b，c三人的年龄的大小挨次是：b最大，a次之，c最小.(老师用书独具)推断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．【思路探究】解答本题可先依据已知的命题利用判别式求出a的范围，再去推断命题的真假．【自主解答】法一写出原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．推断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，由于a＜1，所以4a－7＜0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．法二先推断原命题的真假．由于a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥74.由于a≥74，所以a≥1，所以原命题为真．也说明逆否命题为真．此类问题的求解，可先写出原命题的逆否命题，再推断其真假．也可以通过推断原命题的真假，来间接推断其真假．至于用哪种方法，要看原命题与它的逆否命题哪一个更好推断．若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不行能都是奇数．【解】法一(逆否证法)依题意，就是证明命题“若a2＋b2＝c2，则a，b，c不行能都是奇数”为真命题．为此，只需证明其逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2”为真命题即可．若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．于是a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立．法二(反证法)假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b 2≠c2，与a2＋b2＝c2冲突．所以假设不成立，从而原命题成立．§2充分条件与必要条件2．1充分条件2．2必要条件2．3充要条件(老师用书独具)●三维目标1．学问与技能通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义．2．过程与方法(1)通过判定定理、性质定理，挂念同学抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好地理解概念．(2)通过充分条件、必要条件的学习，培育同学进行简洁推理的技能，进展同学的思维力量．3．情感、态度与价值观(1)在日常生活和学习中，养成说话精确、做事有条理的良好习惯．(2)在探求未知、生疏客观世界的过程中，能运用数学语言合乎规律地进行争辩和质疑，提高思维的规律性．●重点难点重点：1.理解充分条件、必要条件的含义．2．充分条件、必要条件、充要条件的推断．难点：对必要条件的理解．在教学过程中，留意把教材内容与生活实际结合起来，加强数学教学的实践性，在教学方法上接受“合作—探究”的开放式教学模式，在合作中去领悟充分条件、必要条件的含义；在探究中，体会充分条件、必要条件的推断方法．(老师用书独具)●教学建议教学必需遵循同学的认知规律，尽可能地让同学去经受学问的形成与进展过程，引导同学分析实例，让同学从实例中抽象出数学概念．在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代数较广领域，但不行拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与同学的学问结构同步进展完善．●教学流程创设情境，激发爱好引导归纳，给出定义深化探究，获得新知反馈练习，形成方法总结反馈，拓展引申课标解读1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．(重点)2．充分条件、必要条件与充要条件的推断．(难点)3．利用条件关系求字母的取值范围．(难点)充分条件与必要条件【问题导思】已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.(1)由k1＝k2能推出l1∥l2吗？【提示】当k1＝k2，b1＝b2时，l1与l2重合，故由k1＝k2不能推出l1∥l2.(2)由l1∥l2能推出k1＝k2吗？【提示】由l1∥l2能推出k1＝k2.1．推断符号“⇒”的含义“若p，则q”为真，是指由条件p经过推理可以得到结论q，记作p⇒q，读作“p推出q”．2．充分条件与必要条件推式“若p，则q”真，即p⇒q“若p，则q”的逆命题真，即q⇒pp是q的充分条件必要条件q是p的必要条件充分条件充要条件【问题导思】一天，你与你的妈妈到她的同事家做客，你的妈妈向她的同事介绍：“这是我的女儿”，请问：你还需要介绍：“这是我的妈妈”吗？为什么？【提示】不需要，由于由A是B的女儿，可推出B是A的妈妈，反之亦然．假如p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇒q.充分条件、必要条件、充要条件的推断(1)“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)对于数列{a n}，“a n＋1＞|a n|(n＝1,2，…)”是“{a n}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【思路探究】着眼点分清条件p与结论q分别推断“若p，则q”与“若q，则p”的真假【自主解答】(1)当a＝c＝－1，b＝0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅.反过来，由一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R，得⎩⎪⎨⎪⎧a＞0Δ＝b2－4ac＜0，因此，b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的必要不充分条件．(2)由a n＋1>|a n|≥a n，得a n＋1＞a n，∴{a n}是递增数列．反过来，由{a n}是递增数列，知a n＋1＞a n，但不肯定有a n＋1＞|a n|，如递增数列{－(12)n}中，a1＝－12，a2＝－14，a2＞|a1|不成立．因此，“a n＋1＞|a n|(n＝1,2，…)”是“{a n}为递增数列”的充分不必要条件．【答案】(1)B(2)A除了用定义推断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系推断：已知集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．提示：在推断充分条件与必要条件时，要留意分清条件和结论．(1)“|x|＜1且|y|＜1”是“点P(x，y)在圆x2＋y2＝1内”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)当x＝y＝32时，x2＋y2＝32＞1，所以点P(x，y)不在圆内；反过来，当点P(x，y)在圆内时，x2＋y2＜1，所以x2＜1，y2＜1，所以|x|＜1，|y|＜1.因此，“|x |＜1且|y |＜1”是“点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1内”的必要不充分条件． (2){a n }是递增数列，可得a 1＜a 2＜a 3；反过来，由a 1＜a 2＜a 3， 得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，当a 1＞0时，q ＞1；当a 1＜0时，0＜q ＜1. ∴a n ＋1－a n ＝a 1q n －1(q －1)＞0， ∴a n ＋1＞a n ， ∴{a n }是递增数列．因此，“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充要条件． 【答案】 (1)B (2)C充分条件、必要条件的应用已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＞0，且p 是q 的充分条件，求k 的取值范围．【思路探究】 求出p 、q 对应的集合A 、B ――→充分条件A ⊆B →k 满足的条件――→解不等式k 的取值范围 【自主解答】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k 4.由x 2－x －2＞0，得x ＜－1或x ＞2. 设A ＝{x |x ≤－k4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞2}．由p 是q 的充分条件，得A ⊆B ． ∴－k4＜－1，∴k ＞4.即k 的取值范围为(4，＋∞)．1．涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理．2．解决本题的关键是把p 、q 之间的关系转化为p 、q 所表示集合之间包含关系，然后，建立关于参数的不等式(组)求解．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围．【解】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k4；由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2. 设A ＝{x |x ≤－k4}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，由p 是q 的必要条件，得A ⊇B ． ∴－k4≥2，∴k ≤－8.即k 的取值范围为(－∞，－8].充要条件的证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：“对任意n ∈N ＋，S n ＝(a 1＋a n )n2”是“数列{a n }是等差数列”的充要条件．【思路探究】 分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”． 【自主解答】 必要性：由等差数列的前n 项和计算公式，得S n ＝(a 1＋a n )n 2.充分性：由S n ＝(a 1＋a n )n 2，得S n ＋1＝(a 1＋a n ＋1)(n ＋1)2.两式相减得，a n ＋1＝a 12＋(n ＋1)a n ＋12－na n2整理得(n －1)a n ＋1＝na n －a 1， na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1－a 1， 两式相减得，na n ＋2－(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n 整理得2na n ＋1＝na n ＋2＋na n∴2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，∴数列{a n }是等差数列．1．首先分清条件和结论．本例中条件是“对任意n ∈N ＋，S n ＝(a 1＋a n )n2”，结论是“数列{a n }是等差数列”．2．分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性(证明先后挨次不作要求)．3．证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N ＋)，求证：数列{a n }为等差数列的充要条件是a 1＝1. 【证明】 必要性：由a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，得 a 2＝3－a 1，a 3＝5－a 2＝2＋a 1， 由数列{a n }是等差数列，得 2a 2＝a 3＋a 1，∴2(3－a 1)＝(2＋a 1)＋a 1， 解得a 1＝1.充分性：由a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋1＋a n ＋2＝2(n ＋1)＋1＝2n ＋3， 两式相减得a n ＋2－a n ＝2，∴数列{a 2n －1}是首项为a 1＝1，公差为2的等差数列． ∴a 2n －1＝1＋2(n －1)＝2n －1，即当n 为奇数时，a n ＝n . 当n 为偶数时，n ＋1是奇数， ∴a n ＋1＝n ＋1，∴a n ＝(2n ＋1)－a n ＋1＝(2n ＋1)－(n ＋1)＝n . 综上得a n ＝n ，∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1.因此，数列{a n }是等差数列.充分、必要条件颠倒致误已知p ：x 2－x －2＜0，q ：x ∈(－1，m )，且p 是q 的充分不必要条件，则( )A ．m ＞2B ．m ≥2C ．－1＜m ＜2D ．－1＜m ≤2【错解】 由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2)． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴(－1，m )(－1,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1m ＜2即－1＜m ＜2，故选C. 【答案】 C【错因分析】 颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误．【防范措施】 在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p 和结论q .只有分清条件和结论才能正确推断p 与q 的关系，才能利用p 与q 的关系解题．在由条件p 与结论q 之间的关系求字母的取值范围时，将p 与q 之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法．【正解】 由x 2－x －2＜0，得x ∈(－1,2)． ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴(－1,2)(－1，m )，∴m ＞2.故选A. 【答案】 A1．推断p 是q 的什么条件，其实质是推断p ⇒q 与q ⇒p 两个命题的真假．2．当不易推断p ⇒q 与q ⇒p 的真假时，可从集合的角度入手．首先建立与p 、q 相应的集合，即p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}.若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件若A B ，且B A ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3.命题“若p ，则q ”为真、p ⇒q 、p 是q 的充分条件、q 是p 的必要条件，这四种形式表达的是同一规律关系，只是说法不同而已.1．“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当x ＝π4时，y ＝sin 2x 取最大值1；但当y ＝sin 2x 取最大值1时，x 不肯定等于π4，比如x ＝54π.因此“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的充分不必要条件．【答案】 A2．(2021·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且 a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．【答案】 A3．用符号“⇒”、“⇐”、“⇔”填空： (1)x ＝0________x ＜1；(2)整数a 能被2整除________整数a 是偶数；(3)M ＞N ________log 2M ＞log 2N .【解析】 利用这三种符号的意义求解． 【答案】 (1)⇒ (2)⇔ (3)⇐4．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是什么？ 【解】 由直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切，得|1＋1＋m |12＋12＝ 2. 解得m ＝0或－4.又当m ＝0或－4时，直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切．因此，直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝0或－4.一、选择题1．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 当a ＝1时，N ＝{1}⊆M ；但当N ⊆M 时，推不出a ＝1，比如a ＝ 2.故选A. 【答案】 A2．“sin A ＞cos B ”是△ABC 为锐角三角形的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 当A ＝120°，B ＝45°时，△ABC 为钝角三角形；当△ABC 是锐角三角形时，A ＋B ＞90°，A ＞90°－B ，又0°<A,90°－B <90°，则sin A ＞sin(90°－B )＝cos B ．【答案】 B3．已知p ：lg x ＜0，那么命题p 的一个必要不充分条件是( ) A ．0＜x ＜1 B ．－1＜x ＜1 C.12＜x ＜23 D ．12＜x ＜2 【解析】 由x 2 lg x ＜0，得0＜x ＜1.设p 的一个必要不充分条件为q ，则p ⇒q ，但q ⇒/p .故选B ． 【答案】 B4．(2022·天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 不等式2x 2＋x －1＞0的解集为x ＞12或x ＜－1，所以“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”成立的充分不必要条件，选A.【答案】 A5．(2021·江浙高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．【答案】 B 二、填空题6．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________________． 【解析】 对a 分a ＝0和a ≠0两种状况争辩．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c ＞07．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：(1)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数”的________； (2)“sin α＞sin β”是“α＞β”的________； (3)“x ∈M ∩N ”是“x ∈M ∪N ”的________；(4)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的________．【解析】 利用定义求解．【答案】 (1)充要条件(2)既不充分也不必要(3)充分不必要(4)必要不充分 8．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________． ①p 是q 的充分条件； ②p 是q 的必要条件； ③q 是p 的充分条件； ④q 是p 的必要条件．【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确． 【答案】 ①④ 三、解答题9．已知：p ：x ＞1，q ：1x ＜1，试推断p 是q 的什么条件？【解】 由1x ＜1，得1－x x ＜0，∴x (x －1)＞0， ∴x ＞1或x ＜0. ∴{x |x ＞1}{x |1x ＜1}，∴p 是q 的充分不必要条件．10．已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，试问：(1)s 是q 的什么条件；(2)r 是q 的什么条件；(3)p 是q 的什么条件．【解】 p 、q 、r 、s 的关系可以用右图表示： (1)∵s ⇒r ，r ⇒q ， ∴s ⇒q ，又q ⇒s ， ∴s 是q 的充要条件． (2)∵q ⇒s ，s ⇒r ， ∴q ⇒r ，又r ⇒q ， ∴r 是q 的充要条件． (3)∵q ⇒s ，s ⇒r ，r ⇒p∴q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．11．已知p ：x －2x －(3a ＋1)＜0，q ：x －a 2－2x －a ＜0，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 由q 是p 的必要条件，可知{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}⊆{x |x －a 2－2x －a＜0}．由a 2＋2＞a ，得{x |x －a 2－2x －a＜0}＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}， 当3a ＋1＞2，即a ＞13时，{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，∴⎩⎨⎧a ≤2a 2＋c ≥3a ＋1， 解得13＜a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}＝∅，符合题意；当3a ＋1＜2，即a ＜13时，{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a ＜13.综上得，a ∈[－12，3－52].(老师用书独具)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 【思路探究】 先由必要性求出n 值，再验证所求得的n 值满足充分性． 【自主解答】 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0， ∴n ＝3或n ＝4.当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 【答案】 3或4在一些充要条件的命题中往往是“A 的充要条件是B ”，这种状况下的条件实际是B ，结论是A ，因此其充分性是B ⇒A ，必要性是A ⇒B ．在寻求A 成立的充要条件时，可先由A ⇒B ，再验证B ⇒A .函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π的充要条件是a ＝________. 【解析】 f (x )＝cos 2ax ， 由f (x )的最小正周期是π，得2π|2a |＝π，∴a ＝±1. 当a ＝1时，f (x )＝cos 2x ；当a ＝－1时，f (x )＝cos(－2x )＝cos 2x . ∴当a ＝±1时，f (x )的最小正周期都是2π2＝π.∴a ＝±1.【答案】 ±1§3全称量词与存在量词3．1全称量词与全称命题3．2存在量词与特称命题3．3全称命题与特称命题的否定(老师用书独具)●三维目标1．学问与技能(1)通过生活和数学中的丰富实例，让同学理解全称量词与存在量词的意义．(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．过程与方法在使用量词的过程中，加深对以往所学学问的理解，并通过对所学数学学问的梳理，构建新的理解．3．情感、态度与价值观通过量词的学习，体会运用量词表述数学内容的精确性、简洁性，并能运用数学语言进行争辩和沟通．●重点难点重点：理解全称量词和存在量词．难点：1.含有一个量词的命题的否定．2．含有一个量词的命题的真假推断．教学时，要从同学的认知水平入手，通过几组例子，引导同学观看、比较、分析，来理解量词的含义；并通过争辩、探究、发觉归纳出含有一个量的命题的否定方法及真假推断方法，从而突出重点，化解难点．(老师用书独具)●教学建议本节课宜接受探究式教学模式，即在教学过程中，在老师的启发引导下，以含有一个量词的命题的否定方法及真假推断方法为探究内容，让同学通过个人探究、小组争辩等多种解难释疑的尝试活动去发觉方法、总结规律，通过例题与练习让同学在应用规律方法解决问题的过程中加深对规律方法的生疏．●教学流程通过实例引入课题――→探究全称量词与存在量词的意义―→全称命题与特称命题的定义――→探究发觉全称命题与特称命题的真假推断方法――→争辩归纳含有一个量词的命题的否定―→小结课标解读1.理解全称量词和存在量词的意义．(重点)2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点)3．能推断含有一个量词的命题的真假．(难点)全称命题与特称命题【问题导思】下面有两个命题：①高二(1)班的每一位同学的年龄都不小于15岁；②高二(1)班存在一位同学的年龄不小于15岁．(1)这两个命题的含义相同吗？【提示】不同．(2)造成含义不同的缘由是什么？【提示】这两个命题使用了不同的量词．命题①使用的量词是“每一位”；命题②使用的量词是“存。

第一章常用逻辑用语(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句是命题的为( )A．你到过北京吗？B．对顶角相等C．啊！我太高兴啦！D．x2＋2x－1＞0【解析】A是疑问句，C是感叹句都不是命题，D不能判断真假，只有B是命题．【答案】 B2．下列说法正确的是( )A．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真【解析】一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题，它们同真同假，只有D正确．【答案】 D3．命题“∃x0∈R，x20－2x0＋1＜0”的否定是( )A．∃x0∈R，x20－2x0＋1≥0B．∃x0∈R，x20－2x0＋1＞0C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0D．∀x∈R，x2－2x＋1＜0【解析】特称命题的否定是全称命题，“x20－2x0＋1＜0”的否定是“x2－2x＋1≥0”．【答案】 C4．(2013·石家庄高二检测)若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题【解析】由真值表知，若p真q假，则p∧q假，p∨q真，綈p假，綈q真，只有D 正确．【答案】 D5．(2013·东营高二检测)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( ) A．ac2＜bc2B．a2＞ab＞b2C.1a＜1bD.ba＞ab【解析】∵a＜b＜0，∴a 2＞ab ，且ab ＞b 2，B 正确．【答案】 B6．“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的否命题是( )A ．若x 2≠1，则x ＝1或x ＝－1B ．若x 2＝1，则x ≠1且x ≠－1C ．若x 2≠1，则x ≠1或x ≠－1D ．若x 2≠1，则x ≠1且x ≠－1【解析】 否命题是命题的条件与结论分别是原命题条件的否定和结论的否定，“或”的否定是“且”．【答案】 D7．设p ：log 2x ＜0，q ：(12)x －1＞1，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 由log 2x ＜0，得0＜x ＜1，即p ：0＜x ＜1；由(12)x －1＞1得x －1＜0，∴x ＜1，即q ：x ＜1； 因此p ⇒q 但qp .【答案】 B8．下列命题的否定是真命题的是( )A ．有理数是实数B ．末位是零的实数能被2整除C ．∃x 0∈R,2x 0＋3＝0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＞0【解析】 只有原命题为假命题时，它的否定才是真命题，A 、B 、C 为真命题，D 为假命题．【答案】 D9．下列有关命题说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．“1是偶数或奇数” 为假命题D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题【解析】 “若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错； ∵由x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，而x 2－5x －6＝0时x ＝－1或x ＝6，∴由x 2－5x －6＝0x ＝－1. 因此x ＝－1是x 2－5x －6＝0的充分不必要条件，故B 错；∵1是奇数，∴C 错．D 中原命题为真，其逆否命题也为真，故D 正确．【答案】 D10．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③命题“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b ”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【解析】 ①中，x 2＋2x ＞4x －3⇒(x －1)2＋2＞0恒成立，①真．②中，由log 2x ＋log x 2≥2，且log 2x 与log x 2同号，∴log 2x ＞0，∴x ＞1，故②为真命题．③中，易知“a ＞b ＞0且c ＜0时，c a ＞c b ”．∴原命题为真命题，故逆否命题为真命题，③真．④中，p 、q 均为真命题，则命题p ∧綈q 为假命题．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是________．【答案】 若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.12．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)＞0是假命题，f (2)＞0是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝3－m ≤0f ＝8－m ＞0，∴3≤m ＜8.【答案】 [3,8)13．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵由綈p 是綈q 的充分条件(即綈p ⇒綈q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6.【答案】 [－1,6]14．在下列四个结论中，正确的序号是________．①“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件；②“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；④“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的必要不充分条件．【解析】 ①当x ＝1时，x 2＝x 成立，反之，不一定，所以“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件，故①正确；②函数y ＝cos 2kx －sin 2kx ＝cos 2kx ，其最小正周期T ＝2π|2k |＝π|k |，当k ＝1时，T ＝π；当π|k |＝π时，k ＝±1，所以②不正确； ③转化为等价命题，即判断“x 2＝1”是“x ＝1”的充分不必要条件，由于x 2＝1时，x ＝±1，不一定x ＝1，所以不充分，即③不正确；④a ＋c ＞b ＋d a ＞b 且c ＞d ，但a ＞b 且c ＞d 时，必有a ＋c ＞b ＋d ，所以④正确． 综上可知，正确结论为①④.【答案】 ①④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)π为圆周率，a 、b 、c 、d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d .(1)写出p 的否定并判断真假；(2)写出p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．【解】 (1)綈p ：“若a π＋b ＝c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”．∵a 、b 、c 、d ∈Q ，由a π＋b ＝c π＋d ，∴π(a －c )＝d －b ∈Q ，则a ＝c 且b ＝d .故p 是真命题，∴綈p 是假命题．(2)逆命题：“若a ＝c 且b ＝d ，则a π＋b ＝c π＋d ”．真命题；否命题：“若a π＋b ≠c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d .”真命题；逆否命题：“若a ≠c 或b ≠d ，则a π＋b ≠c π＋d ”．真命题．16．(本小题满分12分)分别指出由下列各组命题构成的“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假．(1)p ：x ＝2是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解，q ：x ＝4是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解；(2)p ：不等式x 2－4x ＋4＞0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.【解】 (1)p 或q ：x ＝2是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解或x ＝4是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解．(真) p 且q ：x ＝2是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解且x ＝4是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解．(真) 非p ：x ＝2不是方程x 2－6x ＋8＝0的一个解．(假) (2)p 或q ：不等式x 2－4x ＋4＞0的解集为R 或不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.(假) p 且q ：不等式x 2－4x ＋4＞0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.(假) 非p ：不等式x 2－4x ＋4＞0的解集不为R .(真)17．(本小题满分12分)(2013·抚州高二检测)p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2≤9，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[2,3]，求实数m 的值．(2)若p 是綈q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[2,3]，∴m ＝5.(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －3＞3或m ＋3＜－1，∴m ＞6或m ＜－4.18．(本小题满分14分)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．【解】 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1. 乙命题为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是{a |a ＜－12或a ＞13}． (2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a ＜－12， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或－1≤a ＜－12}．。

【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学第一章直线‘多边形’圆课时作业7 北师大版选修4-1一、选择题1. 如图1－2－73，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：图1－2－73①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③【解析】∵CF＝CE，BF＝BD，∴BC＝CE＋BD.∴AB＋BC＋CA＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝AD＋AE，故结论①正确．连接DF，则∠FDA＝∠DGA.又∵∠A＝∠A，∴△ADF∽△AGD.∴ADAG＝AFAD.∴AD2＝AF·AG.又AE＝AD，∴AD·AE＝AF·AG.故结论②正确，容易判断结论③不正确，故选A.【答案】 A2．PT切⊙O于点T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT ＝( )A.45B.12C.38D.34【解析】 如图所示，连接OT ，根据切割线定理，可得PT 2＝PA ·PB ，即42＝2×PB ，∴PB ＝8，∴AB ＝PB －PA ＝6， ∴OT ＝r ＝3，PO ＝PA ＋r ＝5，∴cos ∠BPT ＝PT PO ＝45.【答案】 A3．如图1－2－74，点P 在⊙O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切⊙O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝( )图1－2－74A ．2 3 B. 3 C ．2D ．4【解析】 如题图，连接OC ，由切割线定理知，PC 2＝PA ·PB ，∴PC 2＝(2＋4)×2＝12， ∴PC ＝23， ∴PO ＝PC 2＋OC 2＝4. 又OC ⊥PC ， ∴CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3. 【答案】 B4．如图1－2－75，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D 点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于( )图1－2－75A. 3 B．2 2C．2 D．1【解析】连接OD，则OD⊥BD，∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴ODAC＝BDBC，设⊙O的半径为a，∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，∴BE＝EC＝2a，BO＝3a，BD＝22a，BC＝4a，由题知AD、AC均为⊙O的切线，∵AD＝2，∴AC＝2.∴a2＝22a4a，即a＝2，∴BE＝2 2.【答案】 B二、填空题5．(2013·北京高考)图1－2－76如图1－2－76，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.【解析】 由于PD ∶DB ＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a . 根据切割线定理有PA 2＝PD ·PB .又PA ＝3，PB ＝25a ， ∴9＝9a ·25a ，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5.在Rt △PAB 中，AB 2＝PB 2－AP 2＝25－9＝16，故AB ＝4. 【答案】 9546．(2013·周口模拟)如图1－2－77，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与PQ 相交于Q 点，若AQ ＝6，AC ＝5，则弦AB 的长是________．图1－2－77【解析】 ∵PQ 为切线， ∴∠PAC ＝∠ABC . ∵AC 是∠PAB 的平分线， ∴∠BAC ＝∠PAC . ∴∠ABC ＝∠BAC ， ∴AC ＝BC ＝5， 由切割线定理， 可得AQ 2＝QB ·QC ， ∴62＝QB ·(QB ＋5)， 解得QB ＝4. ∵∠QAB ＝∠QCA ， ∴△QAB ∽△QCA ， ∴AB AC ＝QA QC，∴AB 5＝64＋5， 解得AB ＝103.【答案】103三、解答题7．已知如图1－2－78所示，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于点C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2，求：图1－2－78(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .【解】 (1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x . 根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )． 解得x ＝2， ∴BC ＝3x ＝3 2.(2)在Rt △ABC 中，AC ＝BC 2－AB 2＝14，由割线定理，得CD ·AC ＝CN ·CM ， ∴CD ＝CN ·CM AC ＝2147， ∴r ＝12(AC －CD )＝12(14－2147)＝51414.8．如图1－2－79，自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP ＝∠MPB .图1－2－79【证明】 ∵PA 与圆相切于A ， ∴MA 2＝MB ·MC . ∵M 为PA 中点， ∴PM ＝MA ， ∴PM 2＝MB ·MC ， ∴PM MC ＝MB PM. ∵∠BMP ＝∠PMC ，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP＝∠MPB.9．如图1－2－80，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O 是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E.图1－2－80(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长．【解】(1)证明∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上．连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC.∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6.又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴BCAC＝ECEA＝22，即AC＝2BC.又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2 3.10．如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C，TA、TB与小圆分别相交于点E、F，FE的延长线交两圆的公切线TP于点P.求证：(1) ；(2)AC·PF＝BC·PT.【证明】(1)设小圆的圆心为点O，连接OC.∵AB切小圆于点C，∴OC⊥AB.∵∠1＝∠3＝∠2，∴EF∥AB，∴OC⊥EF，∴.(2)∵EF∥AB，∴AEBF＝ATBT＝TETF.∵AB切小圆于点C，∴AC2＝AE·AT，BC2＝BF·BT，∴AC2BC2＝AE·ATBF·BT＝TE2TF2，ACBC＝TETF.∵PT是公切线，∴∠PTF＝90°，∵TF是⊙O的直径，∴TE⊥PF，△PTF∽△TEF，∴PTPF＝TETF，∴ACBC＝PTPF，∴AC·PF＝BC·PT.。