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B 中恰好发生一个” ．
解 事件“ A 和 B 中恰好发生一个”有下列多种表示形式
( A B) ( B A) ； AB
BA ； A B-AB ．
事件的运算律 (1)交换律 (2)结合律
A
BB
A ， AB BA ．
( A B) C A ( B C ) ， ( AB)C A( BC ) ． ( A B)C ( AC ) ( BC ) ， ( AB) C ( A C )( B C ) ．
例：在 E1 中， A1 {1}； 在 E2 中． B1 {(6,6)}, B2 {(1,1),(1, 2),(2,1)} ； 在 E4 中， C1 (10, 20) 均为随机事件．
其中 E1 中的 A1 和 E2 中的 B1 为基本事件．
由定义 1.3 知随机事件是样本空间 的子集．
(3)分配律
(4)摩根律
A B AB ， AB A B ．
注意：
(1)事件 B A =“ B 发生，且 A 不发生” ，因此
A B B A ；
(2)可以证明，对任意的事件 A 和 B ，恒有
A B AB A AB 。
(3) A
B AB 表示事件 A 和 B 都不发生；
K 皮尔逊 K 皮尔逊
定义 2.2（了解） （概率的公理化定义）设随机试验 E 的样本空间 为 ，对于每个事件 A ，赋予事件 A 一个实数 P ( A) ，如果
P ( ) 满足下列三条性质
⑴非负性： P( A) 0 ； ⑵规范性： P() 1； ⑶可列可加性： 设事件 A 1 , A2 , 任意的 i, j 1, 2,
B 为 A 和 B 的并集．
4. 交事件（积事件） 事件“ A, B 都发生”称为事件 A 和事 件 B 的交事件或积事件，记为 A
B 或 AB ．
从集合角度来讲， AB 为 A 和 B 的交集．显然有
AB A A B, AB B A B ．
5. 差事件 事件“ A 发生，且 B 不发生”称为事 件 A 与事件 B 的差事件，记为 A B ． 从集合角度来讲， A B { A, B} ．
性质 2.2 （规范性） P() 1， P() 0 ．
性质 2.3 （有限可加性）如果事件 A1,A2 , , An 两两互不相容，则
P( A1
A2
An ) P( A1 ) P( A2 )
P( An ) ．
性质 2.4 （差事件概率计算公式）设 A, B 为任意两个随机事件，则
4
例：下列试验均为随机试验：
E1 ：抛一枚硬币，观察其出现正面和反面的情况；
E2 ：同时掷两枚骰子，观察其出现的点数； E3 ：考查在一定时间段内某电话的呼唤次数； E4 ：考查某机械部件的抗压强度．
5
二、样本点、样本空间与随机事件
定义 1.2 随机试验 E 的每一个可能出现的结果称为随
机试验 E 的样本点，记为 ． 随机试验 E 的所有样本点的全体称为随机试验 E 的 样本空间，记为 ．
从实际意义上讲， P ( A) 的数值体现了随机事件 A 发生 的可能性的大小．
表 1.1 实验数 实验者 德 摩根 蒲 丰
抛硬币实验 正面向上 频数 k 1061 2048 6019 12012 正面向上
n
2048 4040 12000 24000
k 频率 n
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
当随机试验 E 中所出现的样本点属于集合 A 时，就 称随机事件 A 发生，否则就称随机事件 A 不发生．
通俗地讲，随机事件又是指每次试验中可能发生， 也可能不发生的随机现象．
这种描述与随机事件的集合描述是一致的，应该能 将其描述相互转化．
在每次试验中，必然发生的事件称为必然事件，从 集合角度看，必然事件为全集，即样本空间 。 在每次试验中， 不可能发生的事件称为不可能事件， 从集合角度看，不可能事件为空集 ．
2 {(i, j) i 1,2,3,4,5,6, j 1,2,3,4,5,6} ．
E3 ：考查在一定时间段内某电话的呼唤次数；
样本点为非负整数，样本空间为
3 {0,1, 2, } ．
E4 ：考查某机械部件的抗压强度．
样本点为正实数，样本空间为
4 (0, ) ．
定义 1.3 称样本点的集合为随机事件，简称为事件，记 为 A, B, C 等．由一个样本点构成的单点集称为基本事件．
随机试验 E 的样本空间 即为随机试验 E 的所有可 能出现的结果（样本点）组成的集合．
E1 ：抛一枚硬币，观察其出现正面和反面的情况；
样本点为 1 “出现正面”和 2 “出现反面” ，样 本空间为 1 {1,2 } ．
E2 ：同时掷两枚骰子，观察其出现的点数；
用 i 表示第一枚骰子出现的点数，j 表示第二枚骰子出 现的点数，则每个样本点可用二维有序数组 (i, j ) 表示，其 中 1 i 6,1 j 6 ，因此样本空间为
例 2.2 设 A, B, C 为三个随机事件，已知
1 1 P ( A) P ( B ) P (C ) ，P( AB) 0 ，P( AC ) P( BC ) ， 4 16
求事件 A , B , C 都不发生的概率．
解 由于 ABC AB ，故由推论 2.1 知 P( ABC ) P( AB) ．又因为
例 2.1 设 A , B 为两个随机事件，已知
P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A B) 0.6 ，
试分别计算 P( AB), P( AB), P( A
B), P( A B) ．
解 由于 P( A B) P( A) P( B) P( AB) ，所以
0.6 0.5 0.4 P( AB) ，解得 P( AB) 0.3 ．
P( A B) P( A) P( AB) P( AB) ．
推论 2.1 当 B A 时，有
P( A B) P( A) P( B) ，且 P( B) P( A) ．
性质 2.5（对立事件概率计算公式）设 A 为任一随机事件，则
P( A) 1 P( A) ．
性质 2.6 （并事件概率计算公式）设 A, B 为任意两个随机事件， 则
P( A B) P( A) P( B) P( AB) ．
推论 2.2 设 A, B, C 为任意三个随机事件，则
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC ) ．
2.事件的相等 如果事件 A 和事件 B 相互包含，即 A B ，且 B A ， 就称事件 A, B 为相等事件，记为 A B ． 从集合角度来讲，两个集合完全相等．
3. 并事件 事件“ A, B 中至少发生一个”称为 事件 A 和事件 B 的并事件，记为 A 从集合角度来讲， A
B．
, An ,
两两互不相容， 即对
，当 i j 时，均满足 Ai Aj ，有
P( A1
A2
An
) P( A1 ) P( A2 )
P( An )
，
就称 P ( A) 为事件 A 的概率 ．
二、概率的性质
性质 2.1 （非负性）设 A 为任一随机事件，则 0 P( A) 1 ．
P( AB) 0 ，且 P( ABC ) 0 ，所以有 P( ABC ) 0 ．
进而得事件 A , B , C 都不发生的概率为
P( A B C) P( A B C) 1 P( A B C)
1 [ P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )] 1 1 1 1 1 3 1 0 0 ． 4 4 4 16 16 8
例 1.1 掷一枚骰子， 设事件 A {1,3,5}, B {1, 2} ， 求A B ，
AB, A B, B A, A ．
解
A B {1, 2,3,5}， AB {1} ， A B {3,5} ， B A {2} ， A {2, 4,6} ．
例 1.2 设有随机事件 A 和 B ，试用 A, B 表示事件“ A 和
AB A B 表示事件 A 和 B 中至少有一个不发生．
(4)推广
A1
A2
An =“ A 1, A 2,
． , An 中至少有一个发生”
A1 A2
A1 A2
An =“ A1, A2 ,
． , An 都发生”
An A1 A2
=“ A 1, A 2,
An
． , An 都不发生”
A1 A2
An A1
三、事件间的关系及其运算
1．事件的包含（子事件） 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，就称事件 A 包含于事件 B ， 或称事件 B 包含了事件 A ， 记为 A B 或 B A． 从集合角度来讲， A 为 B 的子集，故 也称事件 A 为事件 B 的子事件．显然有 A ．ABCABC ABC
ABC
ABC
ABC
（5） “ A 发生，且 B, C 至少有一个不发生” ．
A(B C) ABC A BC
§2 概率及其性质
一、概率的定义
定义 2.1（概率的统计定义）将随机试验 E 重复进行 n 次，如果
k 事件 A 发生了 k 次， 就称 k 为事件 A 发生的频数， 为事件 A 发 n k 生的频率． 如果当试验次数 n 越来越大时， 总在某一定值 p 的 n k 附近作微小的、稳定的波动，且当 n 时， 无限趋于 p ， n 就称 p 为事件 A 的概率 ，记为 P ( A) ，即 P( A) p ．
