直线的参数方程教案1

三 直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。

三 直线的参数方程[学习目标]1.掌握直线的参数方程.2.能够利用直线的参数方程解决有关问题. [知识链接]1.若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？ 提示 参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.(t 为参数).2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？提示 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上；②当t ＜0时，M 0M →的方向向下；③当t ＝0时，点M 与点M 0重合. [预习导引] 直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点 M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M →|.要点一 直线参数方程的标准形式例1已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32ty ＝2＋12t ，(t 为参数).(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t 并说明t 的几何意义.解 (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0＝(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方). 规律方法 1.一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)唯一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数).跟踪演练1 直线l 经过点M 0(1，5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________.解析由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，代入直线方程x－y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1).根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1).答案 6(3＋1)要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长例2已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.解l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数).令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数). 其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.∵Δ＞0，可设t ′1，t ′2是方程的两根，由根与系数关系得t ′1＋t ′2＝32，t ′1t ′2＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t ′1|，|MB |＝|t ′2|，∴|MA |·|MB |＝|t ′1·t ′2|＝1， |AB |＝|t ′1－t ′2|＝14.规律方法 1.在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义.2.根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标).跟踪演练2 在极坐标系中，已知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长.解 (1)由已知得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32，半径为1，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1， 即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0，(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)得直线的直角坐标系方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1， 解得|AB |＝ 3.要点三 直线参数方程的综合应用例3 已知直线l 过定点P (3，2)且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值为最小时的直线l 的方程.解 设直线的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).由A ，B 是坐标轴上的点知y A ＝0，x B ＝0，∴0＝2＋t sin α，即|P A |＝|t |＝2sin α，0＝3＋t cos α，即|PB |＝|t |＝－3cos α，故|P A |·|PB |＝2sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3cos α＝－12sin 2α. ∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°，即α＝135°时， |P A |·|PB |有最小值.∴直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，化为普通方程为x ＋y －5＝0.规律方法 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.跟踪演练3在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ， 得ρ2＝2 5 ρsin θ. ∴x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)法一 直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5， 与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ， 得x 2－3x ＋2＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5). 又点P 的坐标为(3，5)， 故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二 将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0，(*)由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0. 故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根. ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4. ∴t 1＞0，t 2＞0.又直线l 过点P (3，5)， ∴由t 的几何意义， 得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1.经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量，可为正、为负，也可为零.2.在直线参数方程中，如果直线上的点M 1、M 2所对应的参数值分别为t 1和t 2，则线段M 1M 2的中点所对应的参数值为t 中＝12·(t 1＋t 2).1.直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A.40°B.50°C.－45°D.135°解析 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.答案 D2.若⎩⎨⎧x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t 的关系是( ) A.λ＝5t B.λ＝－5t C.t ＝5λD.t ＝－5λ 解析 由x －x 0，得－3λ＝t cos α，由y －y 0，得4λ＝t sin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t 2，得t ＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t ＝－5λ，所以t ＝5λ. 答案 C3.已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，则|AB |＝________.解析 将⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t 代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.又A (1，2)，所以|AB |＝52. 答案524.求直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋613t ，y ＝3＋413t (t 为参数)与直线l 2：x ＋y －2＝0的交点到定点(4，3)的距离.解∵l 1的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313·2t ＝4＋313t ′，y ＝3＋213·2t ＝3＋213t ′(t ′为参数).把l 1的参数方程的标准形式代入x ＋y －2＝0中， 得4＋313t ′＋3＋213t ′－2＝0. 解得t ′＝－13，∴|t ′|＝13.由|t ′|的几何意义为交点到点(4，3)的距离， ∴所求的距离为|t ′|＝13.一、基础达标1.直线⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A.(1，－2)B.(－1，2)C.(－2，1)D.(2，－1)解析 直线表示过点(1，－2)的直线. 答案 A2.下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t(t 为参数) B.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t(t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝1－2t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)解析 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C. 答案 C3.极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆D.圆、直线解析 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆.由⎩⎨⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线. 答案 D4.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( ) A.(3，－3) B.(－3，3) C.(3，－3)D.(3，－3)解析 将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6，因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3， 故AB 中点M 的坐标为(3，－3). 答案 D5.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________. 解析 直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案 36.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________.解析 曲线C 1和C 2的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝5(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①，x －y ＝1②联立①②解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2，1). 答案 (2，1)7.化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t ，(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义.解 由⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t 消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故斜率k ＝3＝tan α，由于0≤α<π，即α＝π3. 因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2， ∴|t |＝（x ＋3）2＋（y －1）22. 故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3，1)的向量M 0M →的模的一半.二、能力提升8.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________.解析 由⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s消去参数s ，得x ＝2y ＋1. 由⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12≠1a ，∴a ＝4.答案 49.若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析 将⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直.∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k .依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1， ∴k ＝－6.答案 －610.椭圆x 225＋y 216＝1上的点到圆x 2＋(y －6)2＝1上的点的距离的最大值是( )A.11B.74C.5 5D.9解析 由平面几何知识，椭圆x 225＋y 216＝1上的点到圆x 2＋(y －6)2＝1上的点的距离最大值＝椭圆上的动点到圆心的最大距离＋圆的半径.如图，设圆x 2＋(y －6)2＝1圆心为O ′，P (5cos θ，4sin θ)是椭圆上的点，则|PO ′|＝（5cos θ）2＋（4sin θ－6）2＝25cos 2θ＋16sin 2θ－48sin θ＋36＝－9sin 2θ－48sin θ＋61＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋832＋125≤－9⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋832＋125＝10 (当sin θ＝－1时取等号).则所求距离最大值为11.答案 A11.在直角坐标系中，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t(t 为参数)的直线l 被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C 所截，求截得的弦长.解参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t (t 为参数)表示的直线l 是过点A (2，0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线C 为圆x 2＋y 2－2x ＝0.此圆的圆心为(1，0)，半径为1，且圆C 也过点A (2，0)；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在Rt △OAB 中，|AB |＝2cos 30°＝ 3.12.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.三、探究与创新13.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围.解 (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1).(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32，52].。

高考复习小专题——直线的参数方程刘天鑫教学目标：1.掌握直线的参数方程的标准式和非标准式，理解标准式中参数t 的几何意义，能体会通过直线参数方程中参数的几何意义解决问题；2.熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3.利用直线的参数方程求线段的长，求距离，求与中点有关的问题。

教学重点：直线的参数方程标准式中参数t 的几何意义教学难点：利用直线的参数方程参数t 的几何意义解决问题教学手段：多媒体教学教学方法：启发式教学教学过程：二、本节知识点回顾：（1）标准式：过定点),(000y x M ,倾斜角为α的直线l 的参数方程为：（2）非标准式：过定点),(000y x M ,斜率)90(tan ≠==ααab k 的直线l 的参数方程为：（3）直线的参数方程标准式中，参数t 的几何意义是：M M t 0=, 即表示直线上任意一点M 到定点0M 的距离,且如果将此直线看成一条数轴（以M0为原点,直线向上的方向为数轴的正方向，长度单位与坐标轴的长度单位相同），那么M 点对应t 值就是M 点在此数轴上的坐标，)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα0220()1x x at t a b y y bt =+⎧+≠⎨=+⎩为参数，此时这就是t 的几何意义的真正含义。

（4）在直线的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα中，设B A ,为直线上的两点，其对应的参数分别为21,t t 则有：点B A ,之间的距离为： 21t t AB -=；线段AB 的中点M 对应的参数t 的值为221t t t +=； 定点),(000y x M 到B A ,两点的距离之和为2100t t B M A M +=+； 距离之积为 212100t t t t B M A M =⋅=⋅。

怎样判断点M 0与A,B 的位置？ 21t t +和21t t ⋅的正负。

《直线的参数方程》教学设计一、教学目标知识与技能：通过分析质点在匀速直线运动中时间与位置的关系，了解直线参数方程，体会参数的意义；通过直线的点斜式方程及向量法推导直线参数方程的标准形式与一般形式，理解标准形式中参数t 的几何意义，会初步利用参数的几何意义解决问题，体会直线参数方程在解决问题中的作用。

过程与方法：通过直线参数方程的推导与应用，培养学生分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想。

情感态度与价值观：通过建立直线参数方程的过程，培养学生数学抽象、数学建模以及逻辑推理的能力。

二、教学重、难点教学重点：建立直线的参数方程。

教学难点：理解参数t 的几何意义及其应用。

三、学情分析学生前面已经学习过参数方程的概念，普通方程与参数方程的互化，体验了参数方程在解决问题中的一些应用。

但是，由于学生刚刚接触参数方程的概念，所以对于直线参数方程中参数的选定还是比较困难的，根据确定直线的几何条件联想到向量进而建立联系也是难点。

四、教学过程复习引入：问题：选取适当参数，把直线方程23y x =+化为参数方程.【师生活动】教师提问，学生回答【设计意图】本问题是教材上一节课2.1中的例题，通过学生的回忆，既节省了时间，又让学生体会到直线参数方程对于大家来说是不陌生的，让学生认识到直线参数方程的形式不是唯一的。

探究一：把直线看作质点的匀速运动曲线，建立直线的参数方程问题：设质点从点00(,)M x y 出发，沿着与x 轴成α角的方向作匀速直线运动，其速率为0v .（1）写出质点在x 轴、y 轴上的速度分量；（2）设(,)M x y 为t 时刻质点所在位置，试用t 表示,x y【师生活动】教师提问，学生思考并回答【设计意图】从物理的角度引出直线的参数方程，选取时间t 为参数，这样可以使学生更深刻且自然的理解参数的意义，若不顾及t 的物理意义，则可以在参数t 与质点位置(,)x y 之间建立一个一一对应的关系。

《直线的参数方程》教案（第1课时）一、【教学目标】1、知识与技能：能根据直线的几何条件，选择参数写出直线的参数方程；能比较深刻的理解直线参数方程中参数t的几何意义并初步应用;2、过程与方法：启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用3、情感态度价值观：在探求直线参数方程中注重锻炼学生的发散式思维，在探究活动中培养学生思考问题的严密性和概括能力.二、【教学重点、难点】重点：联系向量知识写出直线的参数方程,并理解参数的几何意义；难点：从直线的几何条件联想到向量；参数t的几何意义及简单应用的探究.三、【教学方法与手段】启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用四、【教学过程】（一）复习引入1、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2、根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？3、根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样选择参数？（二） 任务一：探求直线的参数方程1.我们知道过定点000(,)M x y ，且倾斜角为α（2πα≠）的直线l 可以唯一确定，其普通方程是00tan ()y y x x α-=-.2.其参数方程如何建立呢？引导学生思考：倾斜角可以刻画直线的方向，那么能否换一个量来刻画直线的方向呢？从而引进直线l 的单位方向向量(c o s ,s i n ),[e αααπ=∈.又000(,)M M x x y y =--，0//M M e ，由向量共线定理的坐标表示易知存在实数t R ∈，使得00(,)(cos ,sin ),x x y y t αα--=化简得直线的参数方程为（三）梳理归纳（1）直线的参数方程中的变量和常量；（2）直线参数方程的形式；(3) 参数t 的取值范围是什么?（4) 参数t 的意义是什么? （问而不答，通过探究表让学生自己探究，见附页）{00cos ,(t )sin ,x x t y y t αα=+=+为参数随堂检测：（四） 探究参数的几何意义及简单应用梳理归纳：参数t 的意义主要体现在2个方面：①t 的大小（即绝对值）等于0M M 的长度（即0M 与M 的距离）； ②t 的正负决定了0M M 的方向.（五）、任务二：例题讲解通过例题数学生对直线参数方程以及参数t 的几何意义理解更清楚，如下例。

直线参数方程（第一课时）学案目标点击：1．掌握直线参数方程地标准形式和一般形式，理解参数地几何意义； 2．熟悉直线地参数方程与普通方程之间地互化；基础知识点击：1、直线参数方程地标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α地直线l 地参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 地几何意义：t 表示有向线段0p p u u u u r 地数量，P(y x ,) 为直线上任意一点.则0p p u u u u r=t ∣0p p u u u u r∣=∣t ∣(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应地参数分别为t 1、t 2，则1p p u u u r =t 2－t 1∣1p p u u u r∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上地点，所对应地参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3地参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2地中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程地一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =地直线地参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数） 一、直线地参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α地直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，直线L 地正方向）过点P 作y 轴地平行线，过P 0轴地平行线，两条直线相交于Q 点.1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝ Q P ＝0y y -∴0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 求地直线l 地参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)P在点P 0地上方；2.当t ＝0时，点P 与点P 0重合；3.当t<0时，点P 在点P 0地下方；x l特别地，若直线l 地倾斜角α＝0时，直线l⎧+=0tx x ① 当t>0时，点P 在点P 0地右侧； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0地左侧； 问题2：直线l 上地点与对应地参数t 是不是一对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上地方向为正方向，以定点P 0原坐标系地单位长为单位长，这样参数t 数轴上地点P 建立了 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t ∣问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2地中点，1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？根据直线l P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2∴|P 1P |＝|P 2P | P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2地中点则t 3＝221t t +（∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t ∴P 1P 3= t 3－t 1,P 2P 3=t 3－t 2,∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）基础知识点拨：1、参数方程与普通方程地互化例1：化直线1l 地普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数地几何意 义,说明∣t ∣地几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33设倾斜角为α，tg α=－33,α=π65, cos α =－23, sin α=211l 地参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 （t 为参数） t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应地点M(y x ,)地有向线段M M 0地数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1) 231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应地点M(y x ,)地有向线段MM 0地长.点拨：求直线地参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数地几何意义.例2：化直线2l 地参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，x x说明∣t ∣地几何意义.解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t31(1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ， 得)3(31+=-x y (点斜式)可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π普通方程为 01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应地点M(y x ,)地有向线段M M 0地长地一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t 地几何意义是不同地，直线1l 地参数方程 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程地标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 地几何意义是有向线段M M 0地数量.直线2l 地参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t 313y tx 是非标准地形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 地几何意义是有向线段M M 0地数量地一半.你会区分直线参数方程地标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t 331y tx （t 为参数）是否为直线l 地参数方程？如果是直线l 地参数方程，指出方程中地参数t 是否具有标准形式中参数t 地几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 地地普通方程 0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 地参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0地数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述地几何意义.点拨：直线地参数方程不唯一，对于给定地参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 地几何意义解决有关问题.问题5：直线地参数方程⎩⎨⎧+=+= t 331y tx 能否化为标准形式？是可以地，只需作参数t 地代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t 331yt x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l参数方程地标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t '地几何意义是有向线段M M 0地数量.2、直线非标准参数方程地标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程地一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00（t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 地几何意义是有向线段M M 0地数量. (2)当22b a +≠1时，则t 不具有上述地几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a by y t b a a x x 220220 t '地几何意义是有向线段M M 0地数量. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π地直线l 地标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2地点地坐标.解：直线l 地标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222（t 为参数）（1） 设直线l 上与已知点M 0相距为2地点为M 点，且M 点对应地参数为t,则|M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 地值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点地上方，其坐标为（－2－2，3＋2）； 当t=-2时，M 点在 M 0点地下方，其坐标为（－2＋2，3－2）.点拨：若使用直线地普通方程利用两点间地距离公式求M 点地坐标较麻烦， 而使用直线地参数方程，充分利用参数t 地几何意义求M 点地坐标较容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=οο20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）地倾斜角 . 解法1：消参数t,地34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式：⎩⎨⎧-+=-+=οο110sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数）∴此直线地倾斜角为110°。

课时教案一、课题直线的参数方程（第一课时，共两课时）二、教学目的1.了解直线参数方程的条件以及参数的几何性质2.能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程3.通过观察、探索、发现的过程，发展学生数学核心素养的“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三级目标。

三、课型与教法新授课引导—发现模式四、教学重点直线参数方程的构建五、教学难点从动点M点的坐标变成直线l的参数方程的转化、t的几何意义、证明直线的参数方程、辨别是否是直线的标准参数方程六、教学过程探究一建立已知直线的参数方程1.复习引入（1）若点是直线l上的两相异点，则直线l的方向向量为，倾斜角为时，直线单位方向向量为；（2）已知两个向量),则共线的充要条件是；（3）如果直线l过定点，且倾斜角为，则直线l的方程为。

2. 讲授新课问题1 如图1，位于原点的机器人以单位速度沿单位方向向量行走时间t到达点M，求M点的坐标。

借助前面准备的知识由三角函数的定义不难得到，写成方程即。

问题2 如图2，如果初始位置不在原点，而在点，其他条件不变，求点M的坐标。

借助前面问题1和坐标的定义，不难得到，写成方程即。

问题3一般地，设直线l过点，且倾斜角为，点为其上任意一点，求M点的坐标。

可以提示学生引入参数t，则学生可类比得到（t为参数），此即为过点且倾斜角为的直线l的参数方程。

问题4 你能写出具体推导过程吗？指导学生利用向量法证明，同时指导学生借助点斜式方程进行证明。

探究二直线参数方程中t的几何意义问题5直线的参数方程（t为参数）中哪些是变量？哪些是常量？很容易由问题1,2,3得出是变量，是常量。

问题6 参数的几何意义是什么？为什么？结合参数方程的推导过程，可以引导学生从，且，得到，也可由。

由此可知|t|表示直线上的动点到定点的距离，即为参数的几何意义。

问题7参数t的取值范围是什么？t的正负与点的位置之间有什么关系？由中的正负可确定和的大小，从而确定的正负与点位置之间的关系，再利用图3可知：当时，点在点的上方；当时，点在点的下方；当时，点与点重合。

第二讲参数方程2.3直线的参数方程（第一课时）(谷杨华)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解直线参数方程的推导过程、掌握参数的几何意义，体会参数方程的优越性，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的特点．（二）学习目标1．利用向量，推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系．2．掌握并理解直线参数方程中参数的几何意义．3．能初步利用直线参数方程解决一些几何问题，体会参数方程的优越性．（三）学习重点1．直线参数方程的推导．2．直线参数方程中参数的几何意义．3．直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．（四）学习难点1．对直线参数方程的几何意义的理解．2．对直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务读一读：阅读教材第35页至第36页，填空：过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，这种形式称为直线参数方程的标准形式．其中参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |.若_0>t ，则0M M 的方向向上； 若_0<t _____，则0M M 的方向向下； 若___0=t ___，则M 与M 0重合．2．预习自测 （1）直线)(60sin 360cos 2为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=+-=的倾斜角α等于( ) A ．30° B ．60° C ．－45°D ．135°【知识点】直线的参数方程【数学思想】【解题思路】根据直线标准的参数方程可知直线的倾斜角【思路点拨】熟记直线的标准参数方程【答案】B ．（2）直线)0,(sin 2cos 1πααα<≤⎩⎨⎧+-=+=为参数t t y t x 必过点( ) A ．(1，－2) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(2，－1)【知识点】直线的参数方程 【数学思想】【解题过程】消去参数得到直线的普通方程为)1(tan 2-=+x y α，所以恒过定点 (1，－2)．【思路点拨】消去参数化为普通方程 【答案】A ．（3）．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的标准参数方程的是( )A.)(223221为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= B.)(5525551为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-= C.)(552155为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+== D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【知识点】直线的参数方程 【数学思想】【解题过程】由直线的标准参数方程形式易得选C 【思路点拨】熟记直线的标准的参数方程形式 【答案】C ．（4）已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212(t 为参数)与曲线C ：y 2＝8x . 交于A ，B 两点，求弦长|AB |.【知识点】直线的标准参数方程、直线与抛物线的位置关系 【数学思想】【解题过程】将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t .代入y 2＝8x ，并整理得3t 2－16t －64＝0，t 1＋t 2＝163，t 1t 2＝－643.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝323.【思路点拨】充分理解直线标准参数方程中参数的几何意义 【答案】323.(二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合实例，认识直线参数方程★ ●活动① 温故知新在必修2我们学习了直线及其方程，在平面直角坐标系中，两点或一点和直线的倾斜角确定一条直线，直线的方程形式主要有：1.点斜式： )(tan 00x x y y -=-α ,其中α为直线的倾斜角，定点),(00y x M ；2.斜截式：b kx y += ， 其中k 为直线的斜率，b 为直线在y 轴上的截距 ；3.两点式：010010x x x x y y y y --=-- ，其中直线经过两点的坐标为),(),,(112001y x P y x P4.截距式：1=+bya x ， 其中b a ,分别为直线在x 轴、y 轴上的截距 5.一般式：0=++C By Ax ，其中B A ,不同时为0【设计意图】简要回顾直线的有关内容，为得到直线的参数方程作铺垫． ●活动② 利用旧知、推导新概念 已知直线l 的倾斜角)2(παα≠和定点),(000y x M ，如何建立直线l 的参数方程？在直线l 上任取一点),(y x M ，则M M 0),(),(),(0000y y x x y x y x --=-=取直线l 的一个单位向量[)),0(),sin ,(cos πααα∈=e由e∥M M 0,根据向量共线基本定理，存在实数R t ∈,Oyx0MMeα使e t M M =0，即)sin ,(cos ),(00ααt y y x x =-- 于是 ,cos 0αt x x =- αsin 0t y y =- 整理得 ,cos 0αt x x += αsin 0t y y +=当倾斜角2πα=时，即直线l 的方程：0x x =时，也满足上式．因此，经过点),(000y x M ，倾斜角为)2(παα≠的直线l 直线的标准参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα【设计意图】利用向量的知识，推导得出直线的参数方程，培养学生严谨的思维和逻辑推理能力． 探究二 探究直线标准参数方程中参数的几何意义★▲ ●活动① 巩固理解，加深认识在上述直线的标准参数方程中，参数t 是否和圆中参数类似，具有一定的几何意义呢？因为)sin ,(cos αα=e 1，而e t M M =0t 的几何意义为：t 等于直线上动点M 到定点0M 【设计意图】通过对推导过程分析，得出参数t 几何意义，培养学生解析问题的能力．●活动② 升华认识、理解提升当πα<<0时，0sin >α，所以直线l 的单位向量e 的方向是向上的，于是的可得： 若0>t ，则0M M 的方向向上；若0<t ，则0M M 的方向向下； 若0=t ，则M 与M 0重合．【设计意图 加深对参数t 的认识，对直线参数方程进一步的了解．探究三 理论实践，探究直线参数方程的简单应用★▲活动① 巩固基础，检查反馈例1 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】 【解题过程】由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ，消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0. 【思路点拨】通过参数方程与普通方程互化求解． 【答案】x －y －1＝0．同类训练 求直线2x －y ＋1＝0的参数方程的标准形式， 【知识点】直线普通方程化为参数方程．【数学思想】【解题过程】根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α＝2，sin α＝255，cos α＝55，所以直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t (t 为参数)．．【思路点拨】通过直线确定斜率和定点，从而得到直线倾斜角α的ααcos ,sin 的值．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t (t 为参数)．【设计意图】巩固检查直线参数方程与普通方程互化，熟悉直线的参数方程． 例2 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】(1)由于直线l ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．【思路点拨】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t . 【答案】（1）α＝π6；（2）|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)同类训练 已知直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 231213(t 为参数) （1）求直线l 的普通方程，并求倾斜角； （2）若点)33,33(-M 在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】 （1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 231213消去参数t ，得 直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故k ＝3＝tan α，即α＝π3，因此直线l 的倾斜角为π3. （2）令33231=+t ，解得3326-=t ，所以M 对应的参数03326>-=t几何意义为|M 0M →|＝3326-，且M 0M →与e 方向相同(即点M 在直线l 上点M 0的右上方)．【思路点拨】将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【答案】（1）倾斜角为π3；（2）几何意义为|M 0M →|＝3326-，且M 0M →与e 方向相同(即点M在直线l 上点M 0的右上方)． 【设计意图】巩固检查直线参数方程与普通方程互化、参数的几何意义的理解．●活动② 强化提升、灵活应用例3 已知直线l ：01=-+y x 与抛物线2x y =交于B A ,两点，求线段AB 的长和点)2,1(-M 到两点B A ,的距离之积． 【知识点】直线参数方程的应用．【数学思想】【解题过程】因为直线l 定点M ，且l 的倾斜角为43π，所以参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=)(222221为参数t t y tx 代入抛物线的方程，得0222=-+t t设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ，由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=•-=+122121t t t t ． 所以，由t 的几何意义得 104)(2122121=-+=-=t t t t t t AB 22121==•=•t t t t MB MA 【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义． 【答案】（1）10=AB ；（2）2=•MB MA ．同类训练 直线l 1过点P (4,3)且倾斜角的正切值为23， (1)求l 1的参数方程；(2)若l 1和直线l 2：x ＋y －2＝0交于点Q ，求|PQ |.【知识点】直线参数方程的应用． 【数学思想】【解题过程】(1)l 1的倾斜角为α，满足tan α＝23.∴sin α＝213，cos α＝313. ∴l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313 t ，y ＝3＋213t (t 为参数)．(2)将上式代入x ＋y －2＝0，得4＋313 t ＋3＋213t －2＝0， ∴t ＝－13. ∴|PQ |＝|t |＝13.【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313 t ，y ＝3＋213t (t 为参数)；（2）|PQ |=13.【设计意图】巩固检查直线的参数方程中参数几何意义的应用．2. 课堂总结知识梳理（1）过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，这种形式称为直线参数方程的标准形式．（2）参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |.若0>t ，则0M M 的方向向上； 若0<t ，则0M M 的方向向下； 若0=t ，则M 与M 0重合． 重难点归纳（1）在直线的参数方程中，00,,y x α都是常数，其中α为直线的倾斜角，00,y x 是直线上一定点0M 的坐标),(00y x ，t 为参数．（2）利用直线参数方程中参数的几何意义解决问题时，必须先将直线化为标准的参数方程形式．（三）课后作业 基础型 自主突破1．直线)6(sin 2cos 3πααα=⎩⎨⎧+=+-=为参数，t t y t x 不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】直线⎩⎨⎧+=+-=ααsin 2tan 3t y t x 经过点(-3,2),倾斜角α=6π,所以不经过第四象限.【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】D ．2．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t (t 为参数)，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则|t |的几何意义是( )A ．M 0M →B ．MM 0→C ．||M 0M →D ．以上都不是【知识点】直线的参数方程中参数的几何意义．【数学思想】【解题过程】由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．【思路点拨】理解参数t 的几何意义．【答案】C ．3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0，∴直线l 的斜率k ＝－1.【思路点拨】转化为直线的普通方程求解．【答案】B ．4．一条直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)，另一条直线的方程是x －y －23＝0，则两条直线的交点与点(1，－5)之间的距离是( )A ．2 3B ．32C ．4 3D ．34【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】由题意可知，点(1，－5)在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)上．将参数方程代入x －y －23＝0，得6＋)2321(-t ＝23，所以t ＝23－612－32＝43，根据t 的几何意义，得两直线的交点与点(1，－5)之间的距离是43． 【思路点拨】直线参数方程中参数几何意义的应用． 【答案】C ．5．经过点M 0(1,5)，倾斜角是π3的直线l 的参数方程为_______________． 【知识点】直线的参数方程．【解题过程】代入直线的参数方程中可得．【数学思想】【思路点拨】熟记直线的参数方程．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)6．过点P ()－3，0且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 长为________．【知识点】参数方程中参数的几何意义． 【数学思想】【解题过程】直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0，设A ，B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10，|AB |＝|s 1－s 2|＝212214)(s s s s -+＝217. 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解． 【答案】217．能力型 师生共研7．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π6或5π6【知识点】参数方程、直线与圆的关系． 【数学思想】【解题过程】直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4，∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 【思路点拨】将直线和圆化为普通方程后求解． 【答案】D ．8．已知直线l 过点A(-2,3),倾斜角为135°,求直线l 的参数方程,并且求直线上与点A 距离为32的点的坐标. 【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】分类讨论的思想【解题过程】直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=135sin 3135cos 2t y t x (t 为参数) 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y tx 223222(t 为参数) ① 设直线上与点A 距离为32的点为B,且点B 对应的参数为t,则|AB|=|t|=32. 所以t=±32.把t=±32代入①,得当t=32时,点B 在点A 的上方,点B 的坐标为(-5,6); 当t=-32时,点B 在点A 的下方,点B 的坐标为(1,0).【思路点拨】直接根据直线的参数方程公式求解．【答案】 直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y tx 223222(t 为参数)；B 点的坐标(-5,6)或(1,0)．探究型 多维突破9．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.【知识点】直线的参数方程、圆的极坐标方程． 【数学思想】【解题过程】 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得22)22()223(+-t ＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.【思路点拨】运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算． 【答案】（1）x 2＋(y －5)2＝5；（2）3 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin )4(πθ-＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角； (2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求PBPA 11+.【知识点】参数方程、直线与椭圆的位置关系． 【数学思想】【解题过程】(1)由⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin )4(πθ-＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0， 所以21212121211111t t t t t t t t t t PB PA +=+=+=+=322. 【思路点拨】把握直线参数方程中参数的几何意义．【答案】（1）C 的普通方程为x 29＋y 2＝1，l 的倾斜角为π4；（2）PB PA 11+=322． 自助餐1．直线)(222221:为参数t t y tx l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=与圆)(sin 21cos 22为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=y x C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心【知识点】参数方程、直线与圆的位置关系．【数学思想】【解题过程】直线l 化为普通方程为01=+-y x ，圆C 化为普通方程为4)1()2(22=-+-y x ，圆心为)1,2(，半径为2，圆心到直线的距离r d <=+-=22112，但圆心不在直线上，故选D【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】D ．2．若直线的参数方程为)(131332131321为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=，则直线的斜率为（ ）A ．32B ．32-C ．23-D ．23 【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】将直线消去参数化为普通方程为0723=-+y x ，所以斜率为23-．【思路点拨】直线消去参数化为普通方程求解．【答案】C ．3．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，则它的斜截式方程为______________．【知识点】直线的参数方程与普通方程互化．【数学思想】【解题过程】将t x 212+=整理得42-=x t 代入t y 233+=中消去t ，整理可得．【思路点拨】将直线的参数方程中参数t 消去． 【答案】y ＝3x ＋3－23．4．在直角坐标系xOy 中，直线l(t 为参数).在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，若直线l 平分圆C 的周长，则a = ． 【知识点】直线的参数方程、圆的极坐标方程．【数学思想】【解题过程】直线的普通方程为043=++a y x ，圆的方程为1)1(22=+-y x ，依题意，直线经过圆心)0,1(代入直线得3-=a ． 【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】-3．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【知识点】参数方程、弦长公式． 【数学思想】【解题过程】椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得14)23()211(22=++t t ，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝167 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】AB ＝167．6．过点)0,1(-P 作倾斜角为α的直线与曲线12322=+y x 相交于M,N 两点.(1)写出直线MN 的参数方程. (2)求PN PM •的最小值. 【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】(1)因为直线MN 过点P(-1,0)且倾斜角为α,所以直线MN 的参数方程为:⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x (t 为参数). (2)将直线MN 的参数方程代入曲线12322=+y x ,得2(-1+tcosα)2+3(tsinα)2=6, 整理得(3-cos 2α)·t 2-4cosα·t -4=0, 设M,N 对应的参数分别为t 1,t 2, 则|PM|·|PN|=|t 1·t 2|=α2cos 34-,当cosα=0时,|PM|·|PN|取得最小值为34． 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】（1）⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x (t 为参数)；（2）34．。

课题：直线的参数方程（1）教学设计教学目标:(一）知识目标1．了解直线参数方程的建立过程，会与普通方程进行互化；2. 初步掌握运用参数方程解决问题，理解其中参数t 的几何意义. (二)能力目标1.通过思考引入，让学生感受学习直线参数方程的必要性；2.通过学习直线的参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合以及运算求解能力. (三）情感目标1.培养学生的探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:1.联系数轴、向量积等知识；2.求出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系. 教学过程： 一、学前准备(1)若由a b →→与共线，则存在实数λ，使得 . (2)设e →为a →方向上的 ，则a →=︱a →︱e →.(3)已知=AB y x B y x A 则),,(),,(2211.==y x ),( . (4)经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的普通方程为 .(5)直线0=++C By Ax 的斜率=k ，倾斜角α与斜率k 的关系为 . 二、新课讲授探究新知（预习教材P35～P36，找出疑惑之处）1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”和“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程. 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，而直线l 的单位方向向量e →=（ ， ）因为M 0//e，所以存在实数t R ∈，使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα当堂训练（1）经过点)5,1(0M ,倾斜角为3π的直线l 的参数方程为 . （2）直线)(20cos 20sin 3为参数t s t y t x ⎝⎛=+=︒︒的倾斜角是( )︒20.A ︒70.B ︒110.C ︒160.D2、直线l 的参数方程的几种形式直线的参数方程形式不是唯一的，令ααsin ,cos ==b a ,则直线参数方程的标准形式可以是)1,0,(22200=+≥⎩⎨⎧+=+=b a b t bty y atx x 为参数直线的参数方程的一般式可以写成)(00为参数t dt y y ctx x ⎩⎨⎧+=+=，这里R d c ∈,,其中122=+d c 时，t有明确的几何意义，当122≠+d c 时，t 没有明确的几何意义. 直线的参数方程的一般式化为直线的参数方程的标准式的方法：),,0,,0()()(2222222222222222022220b dc da d c c t t d c db dcd a d c c t t d c d t d c d c d y y t d c d c c x x =+-=+-'=⋅+-≤=+=+'=⋅+≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+++=⋅+++=时，令，时，令其中，3、直线的参数方程中参数的几何意义x参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0t =.由于α为直线的倾斜角,且),0[πα∈，α是第二象限角，0sin ≥α.所以e的方向总是向上的，当M M 0与e (直线的单位方向向量)同向时，0>t ，当M M 0与e反向时，0<t ，当M 与M 0重合时，0=t .4、用直线l 的参数方程求弦长和弦的中点坐标的方法①已知直线l 过),(00y x M ，倾斜角为α，l 与圆锥曲线相交于B A ,两点，则求弦长AB 的方法如下：将直线l 的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα代入圆锥曲线的方程，消去y x ,得到关于t 的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21t t +，21t t 的值，代入弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙. ②弦的中点坐标对应的参数221t t t +=，先计算221tt t +=，再把t 代入直线l 的参数方程，即得到弦中点的坐标.三、知识应用例．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积.四、课堂检测直线)(,2333,211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于B A ,两点，则B A ,的中点坐标为（ ）)3,3.(-A )3,3.(--B )3,3.(-C )3,3.(-D五 、课堂小结（1）经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(s i n c o s 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，其中参数t 具有明确的意义. （2）直线的标准方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离，它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但是应用直线的参数方程时，应先判别是否是标准形式，再考虑t 的几何意义.(3)弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，定点M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙.弦的中点坐标对应的参数221t t t +=. 六、高考衔接(2016江苏)在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.七、作业布置课本p39 习题2.3第3题 八、课后反思。

直线的参数方程教学设计[全文5篇]第一篇：直线的参数方程教学设计《直线的参数方程》教学设计教学目标：1.联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系．教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题：1.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2.根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数，如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。

【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．二、直线参数方程探究1．问题：数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．2.问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．3.问题（1）：当点M在直线L上运动时，点M满足怎样的几何条件？【设计意图】明确参数．问题（2）：如何确定直线L的单位方向向量？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．4.问题：如何建立直线的参数方程?（得出直线的参数方程）【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．三、例题讲解例1.（题略）先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解。

《直线的参数方程》教学设计紫云民族高级中学高二数学组教学目标：1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系．教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题：1.共线向量的条件是什么？→→→→→→)//bλ(≠a=⇔baa2.直线方程的有几种形式？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。

【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．二、直线参数方程探究 问题1：经过点M(x0,y0),倾斜角为⎪⎭⎫⎝⎛≠2παα的直线l 的普通方程是________________________;合作探究：过定点0M ),(00y x ,倾斜角为α的直线L 的参数方程如何建立？)sin ,(cos αα=→e)(),(000y x y x M M --=),(00y y x x --=y xO),(y x M →e),(000y x M αle M M //0 1.由图可以看出： )sin ,(cos ),(00ααt y y x x =--αcos 0t x x =-αsin 0t y y =-⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ∴∴存在唯一的实数 使得 R t ∈et M M =0教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．得出结论：直线的参数方程，定点 ),(000y x M 倾斜角α00cos sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩直线的参数方程：（为参数）练一练1.写出满足下列条件直线的参数方程：（1）过点（2,3）倾斜角为4π（2）过点（4,0）倾斜角为32π知识探究一：由 e t M M =0 ,你能得到直线l 的参数方程中参数t 的几何意义吗？探究要求：8分钟。

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号：的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。

小结：（1）直线参数方程求法；（2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。

（四）、巩固训练1.已知过曲线上一点P 原点O 的直线PO 的倾斜角为，则P 点坐标是A.（3，4）B.C.（－3，－4）D.2.若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）．A.相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离 3：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.4，求直线为参数）t ty t x (11⎩⎨⎧-=+=与圆422=+y x 的交点坐标。

5：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义.点拨：注意在1、2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1,t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t313y t x 是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.（五）、课后作业 1.直线的参数方程是（ ）A.（t 为参数）B.（t 为参数）C. （t 为参数）D.（为参数）2.方程（t为参数）表示的曲线是（）．A.一条直线B.两条射线C.一条线段D.抛物线的一部分3.参数方程（为参数）化为普通方程是（）．A. B.C. D.4.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

直线的参数方程教学目标：1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系．教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题：1.圆，椭圆，双曲线，抛物线的参数方程．2.直线的方向向量的概念．3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？直线的方程有几种形式？4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．5.如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．二、直线参数方程探究1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M 的坐标为，那么：①为数轴的单位方向向量，方向与数轴的正方向一致，且OM tOA=；②当OM与方向一致时（即OM的方向与数轴正方向一致时），0t>；当OM与方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），0t<；当M与O重合时，0t=；③||=．教师用几何画板软件演示上述过程．OM t【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．2.类比分析，异曲同工问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线上的定点为原点，与直线平行且方向向上(的倾斜角不为0时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量确定直线的正方向，同时在直线上确定进行度量的单位长度，这时直线就变成了数轴．于是，直线上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．3. 选好参数问题（1）：当点M 在直线上运动时，点M 满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线当成数轴后，直线上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M t e =．因此点M 在数轴上的坐标决定了点M 的位置，从而可以选择作为参数来获取直线的参数方程．【设计意图】明确参数．问题（2）：如何确定直线的单位方向向量？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．4. 等价转化，深入探究问题：如果点,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、，怎样用参数表示,x y ？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：因为(c oe αα=，（[0απ∈），000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y=-=--， 0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （为参数）． 教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数的取值范围是什么？③参数的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，是常量，,,x y t 是变量；②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，表示直线上的动点M 到定点的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．三、运用知识，培养能力 练习）为参数）的倾斜角是（（）直线（160.110.70.20.20cos 20sin 31000000⎩⎨⎧=+=D C B A t t y t x例1.已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由210x y y x+-=⎧⎨=⎩，得210(*)x x +-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-⋅=-，．AB ∴===由（*）解得12x x ==12y y ∴==．所以1313((2A B ---，．则MA MB⋅=2===．解法二、因为直线过定点M ，且的倾斜角为34π，所以它的参数方程是31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （为参数），即122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （为参数）． 把它代入抛物线的方程，得220t-=， 解得12t =，22t =． 由参数的几何意义得：12AB t t =-122MA MB t t ⋅==．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．探究：直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，对应的参数分别为12,t t ．（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数的值是多少？先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：12121M M t t =-（）， 1222t t t +=（） 【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．四、课堂练习2.已知过点(2,0)P ，斜率为43的直线和抛物线22y x =相交于A,B 两点，设线段AB 的中点为M ，求点M 的坐标．1121.(520,x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩=一条直线的参数方程是为参数），另一条直线的方程是则两直线的交点与点（1，-5）间的距离是解：设过点(2,0)P 的直线AB 的倾斜角为，由已知可得：3cos 5α=，4sin 5α=． 所以，直线的参数方程为32545x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）． 代入22y x =，整理得2815500t t --=．中点M 的相应参数是1215216t t t +==， 所以点M 的坐标是413(,)164． 【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识．五、归纳总结，提升认识1．知识小结本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并熟记直线的参数方程，体会直线参数方程在解决有关问题时的作用．【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．六、布置作业，巩固提高1. 教材P41—1 ；2. 思考题：若直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （b a ,为常数，为参数），请思考参数的意义．【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．七、板书设计．。

ANLI POUXI案例剖析117数学学习与研究2019.17“直线的参数方程”（第一课时）教学设计◎王进（山东省聊城市第三中学，山东聊城252000）一、教材分析本课是普通高中课程标准教科书数学（选修4－4）人教A 版第二讲第三节第一课时．参数方程相对普通方程，是曲线的另一种表达形式，它弥补了普通方程表示曲线方程的不足，是“数”与“形”的又一次完美结合．本节是在认识了曲线的参数方程的基础上，进一步探究直线的参数方程．本节课所学内容是前面学习内容的延续，符合数学逻辑，所涉及的研究方法可类比之前研究圆和圆锥曲线的参数方程的方法，具有延续性．从本节课的内容特点分析，学习过程中历经发现问题、提出问题，在讨论和比较中充分体会直线的参数方程在解决直线上两点间距离时的优越性，体会直线的参数方程的应用价值．通过上述过程，学生完善了知识结构，体会到直线的参数方程式参数方程内容的延续、方法的再现，并从中培养学生的探究习惯和使用类比的方法来研究问题，提高应用意识．二、学情分析在必修2已学习了直线的5种方程和圆的两种方程，在选修2－1也已学习了圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程，这些都是在直角坐标系中建立的普通方程；在本册第二讲的前两节刚刚学习圆锥曲线的参数方程，会普通方程和参数方程的互化，体验了参数方程在解决问题（如最值问题、定值问题）中的一些应用，对参数方程在求轨迹与解题方面的优越性有了一定的体验．从方法上看，关于参数方程中参数的选择，圆的参数方程中参数是从物理意义引入，再阐明其几何意义，抛物线的参数选择有两个方向，首先在参数方程的引例中物理意义引入，在后面抛物线的参数方程中，又得到了两种几何意义上的参数．直线的参数方程中参数的选定对学生相当困难，虽然可以根据确定直线的几何条件联想到向量，但是，如何建立联系是难点，特别是学生对单位向量不了解．授课对象为山东省聊城第三中学高二下学期学生，学生对平面向量（高一必修四学习过）的知识有所遗忘，但学生的学习习惯较好，课堂所设计的问题基本解决．三、教学目标设计根据内容解析与学情分析，参照《普通高中数学课程标准（实验）》的要求，作为第一课时，确定这节课的教学目标如下．（1）通过确定直线的几何条件，引导学生利用向量工具建立直线的参数方程，培养数学建模的素养；会求解直线上两点间的距离，直线上某些特殊点对应的参数，体会参数方程相对普通方程的优越性，提升数学运算素养；在参数方程推理过程中，提升数学抽象、数学建模的核心素养；（2）体会从特殊到一般，数形结合等数学思想在参数方程中的应用；（3）体会参数在应用的过程中要经历引参、用参、消参，体会参数的“无私奉献的精神”，对学生适当地进行情感态度价值观培养．根据以上背景分析与目标分析，确定本节课的教学重点与教学难点如下．教学重点：直线的参数方程中对参数几何意义的理解以及参数方程的简单应用．教学难点：直线的参数方程中参数的选择、直线的单位方向向量的确定．四、教学设计思路与教法分析按照提出问题—独立思考—探究合作—小组展示—应用回顾的顺序，学习的过程中，体验从特殊到一般，一般到特殊探索、解决问题的途径．在数形结合、转化与化归的过程中，在提出问题、解决问题的过程中，提升学生利用数学知识分析问题、解决问题的能力，提升数学素养，提高应用意识．教学方法：根据新课程理念，坚持“以学生为主体，教师为主导”的原则，结合学生特点，本节主要采用启发学生自主探究和引导小组讨论的教学方法，并借助多媒体辅助教学来提高课堂效率．五、教学过程设计（一）问题引入教师引语：同学们，我们在必修2已经学习了直线的五种方程，在选修2－1也已学习了圆锥曲线的普通方程，在本册前面两节，我们刚刚学过圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，体会到了参数方程在解决最值、距离等问题时的优越性，那么直线的参数方程是什么呢？它又会给我们带来哪些惊喜呢？下面我们进入今天的学习．设计意图：联系前面的知识，回忆有关内容，激发学生兴趣，面对解析几何部分学生有些望而生畏，本节又激发了学生学好解析几何的信心．展示本节课的学习目标．问题1（1）在平面直角坐标系中，确定一条直线需要哪几个条件？（2）当已知直线上一个定点（x 0，y 0），倾斜角为α时说出直线的方程．（3）①数乘向量λa 的长度与方向是怎样规定的？②共线向量定理师生活动：教师提出问题，学生思考后回答，引导学生对本源性的知识回顾．第（1）个问题中，学生说两个点，或是一个点和斜率，在此就暴露了学习中的不严谨．紧接着第（2）个问题，学生使用了点斜式方程，但又忽略了斜率不存在的情况，在此纠正错误，并为参数方程中不需讨论倾斜角等不等于90度埋下伏笔；另外，从向量的角度，倾斜角体现了方向，一个点，为直线参数方程的推导中向量这个工具的引入打下基础．第（3）个问题，学生可能不知道和本节课的联系，但在接下来借助向量的运算中推导参数的几何意义提供理论依据，让学生体会基础知识的重要性．设计意图：通过对直线和向量知识的回顾，回归本源，启发知识联想，为利用向量解决参数方程问题做好铺垫．在此体会解析几何研究问题的视角，数与形的结合．（二）新知探究问题2（1）如何利用倾斜角α写出直线l 的单位方向向量e ？并说明e 的方向；（2）如何用e 和M 0的坐标表示直线上任意一点M 的坐标？师生活动：学生阅读教材后思考，然后小组讨论，并将讨论结果展示．第（1）个问题中表示单位方向向量e 时用到了任意角三角函数的定义，这里体现学生的学习基础，并体会知识的联系（本身向量和三角函数就有很紧密的联系），说明e 的方向需要数形结合来看；第（2）个问题是难点，在此需要引入参数，怎么想到设t ，学生在已经阅读完教材后再回答，难度降低，在此用到了共线向量基本定理，又是基础知识的应用，学生进一步体会到基础的重要性．教师板演，推出M 点坐标的表达式．设计意图：学生阅读教材，思考，小组讨论，展示，这些案例剖析ANLI POUXI118数学学习与研究2019.17环节的设计，培养学生独立思考的习惯，交流展示激发学生的参与感，培养学生的交流能力，表达的能力．在这两个问题中用到了任意角三角函数的定义、共线向量基本定理，使学生体会知识的连贯性和基础知识的重要性．展示直线的参数方程．设计意图：学生可以体会到直线的参数方程可以理解为平面上两种不同坐标系下的坐标变换，即平面上同一点的一维坐标t 与二维坐标（x ，y ）之间的换算式．问题3（1）我们是否可以根据t 的值来确定向量M 0→ M 的方向呢？（2）直线的参数方程中参数t 的几何意义是什么？范围是什么？师生活动：学生思考三分钟并回答．第（1）（2）两个问题，分别使用数乘向量对方向和大小的规定推导出，基于前面已经回顾过这个知识，学生应该能联想到；设计意图：明确参数决定向量的方向和几何意义，第（1）个问题为下面推导直线上两点间的距离做好铺垫，理解参数中各个量的意义，为正确使用打下基础．（三）典例探究例1（1）若直线的参数方程为x =－1+t sin40ʎ，y =3+t cos40{ʎ（t 为参数），则其倾斜角等于．（2）求经过点M 0（1，2槡3），倾斜角是π3的直线l 的参数方程；并判断点P （2，3），Q （－1，0）是否在直线上？如果在请求出该点对应的参数t ，在下面网格中标出该点，并指出t 的几何意义．师生活动：学生练习，体验写出直线的参数方程的步骤以及关注的问题．设计意图：第（1）个小题使学生加深理解直线的参数方程的特征；第（2）个小题使学生加深对参数t 的几何意义的理解，在图中标出使学生初步理解了参数的作用，为例2的求解作铺垫．思考1通过例题1你的收获有哪些？师生活动：学生思考后回答．设计意图：再次加深对参数t 的几何意义的理解，培养学生思考的习惯，总结归纳的方法．例2已知直线l ：x +y －1=0与抛物线y =x 2交于A ，B 两点，求线段的长度和点M （－1，2）到A ，B 两点的距离之积．师生活动：学生练习，引导学生思考在学习本节前，我们已经有方法来求解这个问题了，PPT 中展示：联立方程组使用弦长公式求AB 长度，以及求出A 、B 两点坐标再求距离之积，学生能感受这种方法的麻烦，计算量大；教师在此引导，基于直线参数方程中t 的几何意义表示距离，我们是否能尝试使用直线的参数方程来解决这个问题呢？在此设计了三个问题引导做出例2．（1）如何写出直线l 的参数方程？（2）如何求出交点A ，B 对应的参数t 1，t 2？（3）|AB |，|MA |，|MB |与t 1，t 2有什么关系？学生边说，教师画图板演解题步骤．第（3）问题在前面的铺垫下学生不难得出结果．设计意图：仍然以问题做引导，从中体会参数方程在解决这类距离问题中的优越性，如计算量小等；在第（3）个问题的解答中使用数形结合，共同推导出结果．巩固对直线的参数方程的理解，特别是参数的几何意义的理解，掌握利用直线的参数方程求解直线与圆锥曲线位置关系问题的思路与方法，在此过程中体验直线的参数方程在解题中的优越性．探究与合作直线x =x 0+t cos α，y =y 0+t sin {α（t 为参数）与曲线y =f （x ）交于M 1，M 2两点，对应的参数分别和t 1，t 2．曲线的弦M 1M 2的长是多少？师生活动：学生独立思考，小组讨论，小组代表讲解展示．设计意图：依照从特殊到一般的推导的手法，学生不难找到方法，这是利用直线的参数方程求解直线与圆锥曲线相交弦长问题的思路与方法，其实可以推广到直线上任意两点间的距离．学生在黑板上讲解锻炼了其表达的能力，增加了学生的参与度．思考2通过例2你的收获有哪些？师生活动：学生独立思考，回答．设计意图：加深直线的参数方程的应用意识，培养学生思考的习惯，总结归纳的方法．（四）课堂达标1．经过原点，斜率等于－1的直线的参数方程为（）．A．x =槡22t ，y =槡22{t （t 为参数）B．x =－槡22t ，y =槡22{t（t 为参数）C．x =－槡22t ，y =－槡22{t（t 为参数）D．x =－t ，y =－{t （t 为参数）2．若直线的参数方程为x =2+t sin410ʎ，y =3+t cos410{ʎ（t 为参数），则该直线的倾斜角为（）．A．410ʎB．50ʎC．40ʎD．130ʎ3．求直线x =2+12t ，y =槡32{t（t 为参数）被双曲线x 2－y 2=1所截得的弦长|AB |．师生活动：学生练习，板演．设计意图：这3个问题是对本节课所学内容的考查，夯实基础．（五）课堂小结（1）通过本节课的学习，你对直线的参数方程有哪些认识？（2）本节用到的数学思想方法有哪些？师生活动：学生回答，教师补充．设计意图：培养学生总结归纳的习惯，数学思想方法（本节主要用到是数形结合、从特殊到一般、转化等数学思想方法）的总结能使学生体会方法的普遍性和应用性，体会数学是普通的，是简单的．（六）课后作业教材39页习题2．31．2预习教材37页至39页例2、例3、例4六、教学反思优点：学生在课堂的参与度很高，充分调动了学生积极性．会求解直线上两点间的距离，直线上某些特殊点对应的参数，体会参数方程相对普通方程的优越性，提升数学运算素养；在参数方程推理过程中，提升数学抽象、数学建模的核心素养；体会从特殊到一般，数形结合等数学思想在参数方程中的应用；体会参数在应用的过程中要经历引参、用参、消参，体会参数的“无私奉献的精神”，对学生适当地进行情感态度价值观培养．不足：（1）现代教学工具使用不足，比如，在研究t 的几何意义时，如果使用几何画板进行动态展示，然学生先体会t 取特殊值1，2，－1，－2等时对应的几何意义，再进行归纳，学生可能更容易接受．（2）在作业布置中，本节没有涉及直线的标准参数方程和直线的非标准参数方程的对比，而这恰是学生在以后做题时的一个易错点，所以可以布置一个探究性问题，探究非标准直线的参数方程，提高解题能力．。

直线的参数方程教案word文档直线的参数方程教学目标：1.联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学手段：多媒体课件教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题：1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程2.直线的方向向量的概念3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程5.如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备二、直线参数方程探究1回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为，那么：为数轴的单位方向向量，方向与数轴的正方向一致，且；当与方向一致时（即的方向与数轴正方向一致时），；当与方向相反时（即的方向与数轴正方向相反时），；当M与O重合时，；教师用几何画板软件演示上述过程【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备2.类比分析，异曲同工问题：(1)类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？(2)把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线上的定点为原点，与直线平行且方向向上(的倾斜角不为0时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量确定直线的正方向，同时在直线上确定进行度量的单位长度，这时直线就变成了数轴于是，直线上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备3.选好参数，柳暗花明问题(1)：当点M在直线上运动时，点M满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线当成数轴后，直线上点M 运动就等价于向量变化，但无论向量怎样变化，都有因此点M在数轴上的坐标决定了点M的位置，从而可以选择作为参数来获取直线的参数方程【设计意图】明确参数问题(2)：如何确定直线的单位方向向量？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出，从而明确直线的方向向量可以由倾斜角来确定当时，所以直线的单位方向向量的方向总是向上【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想4.等价转化，深入探究问题：如果点,M的坐标分别为，怎样用参数表示？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流过程如下：因为，（），所以存在实数，使得，即于是，即，因此，经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）教师提出如下问题让学生加强认识：直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？参数的取值范围是什么？参数的几何意义是什么？总结如下：，是常量，是变量；；由于，且，得到，因此表示直线上的动点M到定点的距离当的方向与数轴（直线）正方向相同时，；当的方向与数轴（直线）正方向相反时，；当时，点M与点重合【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义三、运用知识，培养能力例1.已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点到A,B两点的距离之积先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由，得设，,由韦X定理得：由（_）解得，所以则解法二、因为直线过定点M，且的倾斜角为，所以它的参数方程是（为参数），即（为参数）把它代入抛物线的方程，得，解得，由参数的几何意义得：，在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力探究：直线（为参数）与曲线交于两点，对应的参数分别为(1)曲线的弦的长是多少？(2)线段的中点M对应的参数的值是多少？先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：，【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力例2、经过点作直线，交椭圆于A,B两点如果点M恰好为线段AB的中点，求直线的方程分析：引导学生以M作为直线上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B两点对应的参数分别为，则由求出直线的斜率教师板书，过程如下：解：设过点的直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程，整理得因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为，则因为点M为线段AB的中点，所以，即于是直线的斜率因此，直线的方程是，即教师引导学生课下用其他方法解决思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线的方程怎样求？由学生课下解决【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用四、自主解决，深入理解已知过点，斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标本题由学生独立完成，教师补充完善解：设过点的直线AB的倾斜角为，由已知可得：，所以，直线的参数方程为（为参数）代入，整理得中点M的相应参数是，所以点M的坐标是【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识五、归纳总结，提升认识先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结教师在学生总结的基础上再进行概括1知识小结本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用2思想方法小结在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力六、布置作业，巩固提高1.教材P391,3；2.思考题：若直线的参数方程为（为常数，为参数），请思考参数的意义【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间七、板书设计直线的参数方程1.直线的参数方程3.例题分析2.弦长公式教案设计说明本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标表示，因此可以选择坐标为直线参数方程中的参数从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标与坐标及倾斜角之间关系的问题这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性。

《直线的参数方程》教学设计【教学目标】1.知识与技能：掌握直线参数方程的形式，会将一般形式转化成标准形式，提升学生数学运算的数学素养；理解并会应用参数的几何意义解决有关的问题。

2.过程与方法：通过参数方程的推导过程学会直线普通方程与参数方程之间互化的方法；通过参数几何意义的讨论，树立数形结合的思想，提升学生数据分析能力和数学建模能力。

3.情感态度与价值观：在参数方程的推导过程中，培养学生逻辑思维的严谨性提升学生逻辑推理的数学素养；在小组讨论和合作交流中，提升学习数学的兴趣.【教学思想】人本教育【课程资源】白板 课助手【教学内容】选修4-4 直线的参数方程 第一课时【教学重点、难点】教学重点：直线参数方程的标准形式及其应用；教学难点：对直线参数方程标准形式中的参数的几何意义的理解.【教法学法与工具】采用启发学生自主探究和引导学生小组讨论的方法，并借助多媒体辅助教学来提高课堂效率。

同时在探究问题时留给学生足够的时间，以利于开放学生的思维。

【教学过程安排】整个教学过程设计为如下教学环节：（一）追根溯源 温故知新；（二）问题驱动；（三）概念形成；（四）合作探究；（五）思维升华；（六）知识应用；（七）课堂小结；（八）布置作业（一）追根溯源 温故知新提出问题：你有哪些方法表示一条直线？设计意图：通过回顾必修二和必修四中直线方程的研究方法，提出问题，以激发学生的求知欲,也为这节课做好知识准备。

（二）问题驱动探究一：设质点从点),(000y x M 出发，沿着与x 轴正方向成α角的方向匀速直线运动，其速率为0v 你能建立质点运动的轨迹的参数方程吗？)0(sin cos 0000≥⎩⎨⎧+=+=t tv y y tv x x αα设计意图：探究一，以学生现有知识轻而易举就能解决，而且能很清楚的知道，此tv的物理意义，从而为后面研究直线参数方程的标准形式中的参数的时t的物理意义和几何意义奠定基础。

如果忽略上面方程中t的物理意义，允许其取负值，那么这个方程就是直线的一种参数方程形式。

15. 直线的参数方程（1） 主备： 审核：学习目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义；2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程.学习重点：直线参数方程的简单应用.学习难点：直线参数方程中参数意义的理解.学习过程：一、课前准备：阅读教材3536P P -的内容，了解直线参数方程的推导过程，并思考以下问题：1.将参数方程122x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通方程是 . 2.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？答：3. 你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？答：二、新课导学：（一）新知：直线参数方程的推导过程： 设e 是与直线l 平行且方向向上（l 的倾斜角不为0）或向右（l 的倾斜角为0）的单位方向.设直线l 的倾斜角为α，定点为0M 和动点M 的坐标分别为00(,)x y 、(,)x y . 思考以下问题： （1）如何利用倾斜角α写出直线l 的单位向量e ？ 答： (cos ,sin )e αα= （2）如何用e 和0M 的坐标表示直线l 任意一点M 的坐标？答：因为00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=-- 又0//M M e ，所以存在唯一实数t R ∈，使得0M M te = ，所以00(,,)(cos ,sin )x x y y t αα--=，所以00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 这就是经过点000(,)M x y 且倾斜角为α的直线的参数方程.(3) 参数t 的几何意义是什么？ 答：t 表示参数t 对应的点M 到定点0M 的距离；当0M M 与e 同向时，t 取正数，当0M M 与e 反向时，t 取负数，当0M 与M 重合时，0t =.（4）练习：①直线003sin20cos20x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）的倾斜角为 ；②直线10x y +-=的一个参数方程是 .(二)典型例题：【例1】直线l ：30x y --=与抛物线24y x =交于两点A 、B ，求线段AB的长和点(0,3)M -到A 、B 两点的距离之积.【解析】点(0,3)M -在直线l 上，直线l 的倾斜角为4π，所以直线l 的参数方程为 0cos 4 3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩为参数（），即 3 x t y ⎧⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数（）， 代入抛物线方程，得2102180t t -+=，设该方程的两个根为1t 、2t ，则1212 102 18t t t t +=⋅=，，所以弦长为 ()22121212 4 (102)41882AB t t t t t t =-=+-=-⨯=12||||||18MA MB t t ⋅==.动动手：1.试用选修1-1中的方法解例1.【解析】2.直线00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线()y f x =交于1M 、2M ，对应的参数分别为1t 、2t . 问（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？【解析】将直线的参数方程代入曲线方程后得到一个关于t 的方程：00(cos ,sin )0f x t y t αα++=，这个方程的解为1t 、2t ，对应的点是直线与曲线的交点1M 、2M ，所以（1）由参数的几何意义得1212||||M M t t =-.（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是122t t +. （同学们自己画图验证，要分000(,)M x y 在线段12M M 内和在线段12M M 外两种情况）.3.求直线12 2 3 x t t y ⎧=+⎪⎨⎪⎩（为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长. 【解析】三、总结提升：1．直线的参数方程与普通方程00tan ()y y x x α-=-的关系：由00tan ()y y x x α-=-得00sin cos y y x x αα--=，令00sin cos y y x x t αα--==， 得直线的参数方程.2.注意直线的参数方程与向量的知识的联系.3.要了解直线参数方程中参数t 的几何意义.4.简单应用：用参数t 可以表示点的坐标、直线上两点间的距离、直线被曲线截得的弦长，还可以表示弦的中点对应的参数.四、反馈练习：1．直线3()14x at t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点 （ ） A . (3,1)-- B . (3,1)- C . (3,1)- D . (3,1)2．在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是 （ ）A .122t t - B . 122t t + C . 12||2t t - D . 12||2t t + 3. 直线22()32x t t y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -2的点的坐标是 （ ） A .(3,4)-或(1,2)- B . (3,4)-或(1,2)-C . (3,4)-或(1,2)-D . (3,4)--或(1,2)-4. 直线112333x t y =+=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为 （ ）A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)-5. 过点10(,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求P M P N ⋅的最小值及相应的α的值．【解析】五、学后反思：。