《直线的参数方程》课件1 (北师大版必修2)

b 叫做直线在 y 轴上的截距.
5.直线方程的一般式
关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 Ax+By+C=0，这个方 程(其中 A、B 不全为零)叫做直线方程的一般式．
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一、新课讲授： 6.中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 若两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段 PP 1 2 的中点坐标为(x，y)，则 x= 2 ，y= 2 ，
y2 y1 k 解： 当倾斜角 =90°时，斜率不存在；当 ≠90°时， x2 x1 ．
（1） k （3） k
2 (1) 3 2 (2) ； k 0； （ 2 ） 3 1 4 5 1
5 4 9 2 3 5 ； （4）∵倾斜角 =90°，
则此公式为线段 PP 1 2 的中点坐标公式．
x y y1 x x1 直线方程的五种形式的比较如下表： 1 a y2 by1 x2 x1
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一、新课讲授： 7.直线方程的不同形式间的关系
名称 点斜式 斜截式 两点式 方程的形式 y ― y 1= k ( x ― x 1) y=kx+b 常数的几何意义 适用范围
注：1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存 在.点斜式不能表示平行于 y 轴的直线，即斜率不存在的直线； 2.当直线 l 的倾斜角为 0°时，直线方程为 y y1 ； 3.当直线倾斜角为 90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示 .这时直线 方程为: x x1 . y y0 k 4. x x0 表示直线去掉一个点 P0 ( x0 , y 0 ) ； y y 0 k ( x x0 ) 表示一条直线.

2.根据条件写出下列直线的方程，并画出图形． (1)经过点 A(－1，2)，在 y 轴上的截距为－2； (2)在 y 轴上的截距是－5，倾斜角是 2x－2y＋1＝0 的倾斜角 的 3 倍． 解：(1)法一：由于这条直线在 y 轴上的截距为－2，可设直线 方程为：y＝kx－2，∵A(－1，2)在直线上，
k k>0 k<0 k＝0
b b>0 b＝0 b<0 b>0 b＝0 b<0 b>0 b＝0 b<0
直线特征 仅过第一、二、三象限 仅过第一、三象限及原点 仅过第一、三、四象限 仅过第一、二、四象限 仅过第二、四象限及原点 仅过第二、三、四象限
仅过第一、二象限 不过任何象限，为x轴
仅过第三、四象限
3.在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x－a正确的是 (A )
1.求满足下列条件的 直线方程． (1)过点 P(－4，3)，斜率 k＝－3. (2)过点 P(3，－4)，且与 x 轴平行． (3)过点 P(5，－2)，且与 y 轴平行． (4)过 P(－2，3)，Q(5，－4)两点． 解：(1)因为直线过点 P(－4，3)，斜率 k＝－3， 所以由直线的点斜式方程得直线方程为 y－3＝－3(x＋4)， 即 3x＋y＋9＝0. (2)与 x 轴平行的直线，其斜率 k＝0， 由直线的点斜式方程可得直线方程为 y－(－4)＝0(x－3)，
∴2＝－k－2，∴k＝－4.∴该直线的方程为 y＝－4x－2.
法二：由于直线过点 A(－1，2)和点(0，－2)， 所以该直线的斜率 k＝0－－（2－ －21）＝－4. 又该直线在 y 轴上的截距为－2， 故斜截式方程为 y＝－4x－2，如图(1)所示． (2)设 2x－2y＋1＝0 的倾斜角是 α，

导.学
(3)由直线的斜截式方程,得所求直线方程为 y=2x+5.
(4)∵直线 l1 的斜率为 2,在 y 轴上截距为 6,
∴直线 l 的斜率为-2,在 y 轴上的截距为 6,
∴直线 l 的方程为 y=-2x+6.
一条光线从点 A(3,2)出发,经过 x 轴反射后,通过点 B(1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.
∴直线方程为
-1 -2=Βιβλιοθήκη -4-1 3-2.
整理得 y=-5x+14.
(4)由题意可知,直线垂直于 x 轴,∴直线方程为 x=4.
直线的两点式方程
已知三角形的三个顶点是 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2).
(1)求 BC 边所在的直线方程;
(2)求 BC 边上的中线 AM 所在的直线方程.
B.直线的斜率不存在
C.直线的斜率存在
D.不同于上述答案
3
经过点(- 2,2)且倾斜角是 30°的直线的点斜式方程
是
4
.
写出斜率为-2,且在 y 轴上的截距为 t 的直线的方程,当
t 为何值时,直线通过点(4,-3)?并作出该直线的图像.
解析】(1)由直线方程的斜截式,可得方程为
y=-2x+t.
(2)将点(4,-3)代入方程 y=-2x+t,得-3=-2×4+t,解
示过任意两点的直线方程.
第五页，编辑于星期五：十二点 八分。
. .固 思
导.学
问题4
若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中
点M的坐标为(x,y),则
,此公式为线段
P1P2的中点坐标公式.

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5．化直线l的参数方程
x＝－3＋t， y＝1＋ 3t
(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，
说明|t|的几何意义．
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【解】 由xy＝ ＝－ 1＋3＋3tt， 消去参数t，得
直线l的普通方程为 3x－y＋3 3＋1＝0.
故k＝ 3＝tan α，即α＝π3，
几何意义为|
→ M0M
|＝4，且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方)．
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1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上
的动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)，这是直线参数方程的
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【解析】 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为y＝－32x＋72， ∴斜率k1＝－32， 显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直， ∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k. 依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. 【答案】 －6
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θ， θ
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t为参数)．
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.

【解析】(1)∵k=3,经过点(5,-4), ∴由点斜式方程得 y-(-4)=3(x-5), 即 y+4=3(x-5).
(2)∵k=-2,b=2, ∴由斜截式方程得 y=-2x+2. (3)∵直线过点(2,1)和(3,-4), ∴直线方程为
������ -1 ������ -2 -4 -1 3 -2
2
直线方程可表示成点斜式方程的条件是( C ). A.直线不过原点 B.直线的斜率不存在 C.直线的斜率存在 D.不同于上述答案
经过点(- 2,2)且倾斜角是 30°的直线的点斜式方程 是 .
3
4
写出斜率为-2,且在 y 轴上的截距为 t 的直线的方程,当 t 为何值时,直线通过点(4,-3)?并作出该直线的图像.
问题1
(1)图片中飞逝的流星划出一条美丽的弧线,这条弧线可 以近似看作 直线 .
(2)经过点P0(x0,y0)的直线l有无数条,可分为两类:
(i)斜率存在,设斜率为k,则直线方程为 y-y0=k(x-x0) , 这个方程是由直线上 点P0(x0,y0) 及其 斜率k 确定的, 所以叫作直线的 点斜式 方程. (ii)斜率不存在,则直线方程为 x=x0 .
������ +3 ������ -3 2+3 0-3
=
,
整理得 5x+3y-6=0,所以 BC 所在的直线方程为 5x+3y-6=0. (2)因为 B(3,-3),C(0,2),所以由中点坐标公式可得 BC 边上 中点 M 的坐标为 x= 的方程为 =
3+0 3 2 2
= ,y=
-3+2 2
=- .由两点式方程可得直线 AM
【解析】(1)由直线的点斜式方程,得 y=2(x-2), ∴所求直线方程为 2x-y-4=0. (2)由题意得 k=tan 45°=1,∴所求直线方程为 y-3=x-2,即 xy-1=0.

3 y2
x3 y3
3
O
x
北师大版高中数学必修《直线的方程 》PPT标 准课件 1
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例1:已知三角形的三个顶点A(－5, 0)，
B(3, －3)，C(0, 2)，求:
(2)BC边上中线AM所在直线的方程；
解:
y
x 30 2
32
2
2312M23,12A
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴 重合的直线．
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P1x1,y1
P1x2,y2
P1x2,y2
P1x1,y1
新知拓展
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yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
O
x
x
y
x1 x2
2 y1 y2
2
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重心坐标公式:
在ABC中A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
则重心G(x,y) ：
y
C A
G
B
x
y
x1 y1
x2
解:
kBC-53，kl
1 3 kBC 5
y13x3 A 2 5 2
3x5y70
y
C
l
O Mx
B
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(2)由于直线过点P（3,4）且与x轴平行，即斜率为0，
所以直线方程为y=4；
(3)由于直线过点P（3,4）且与x轴垂直，所以直线方程为x=3。
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④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x 轴重合。
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y 轴重合。
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2),P2(3, 5) ,求直线l 的方程。 已知直线 l经过两点 P1(1,
解：根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，
然后求出直线的斜率，
3 从而可求出直线方程：y 2 (x 1) 2
注意：①直线方程的两点式应用的前提条件是：x1≠x2，y1≠y2，即直线的斜
率不存在及斜率为零时，没有两点式方程。当x1＝x2时，直线方程为x＝x1； 当y1＝y2时，直线方程为y＝y1。 ②直线方程的两点式与直线上两点的顺序无关。 ③两点式方程若变形为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，则此方程不再受
②截距式方程的适用条件是a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示过
原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线。
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（6）直线方程的一般式： 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0 )，
表示的是一条直线 ，我们把它叫作直线方程的一般式。
注意：①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交。 ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线与y 轴平行，与x 轴垂直。 ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线与x 轴平行，与y 轴垂直。
x1≠x2且y1≠y2的限制，可表示过(x1，y1)，(x2，y2)的所有直线。
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解析几何(jiě xī jǐhé)初步
第二章
第一页，共44页。
§1 直线(zhíxiàn)与直线(zhíxiàn)的方 程
1．2 直线(zhíxiàn)的方程
第二章
第二页，共44页。
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课后强化作业
第三页，共44页。
课前自主预习
第四页，共44页。
• [答案(dáàn)] D
第十三页，共44页。
[解析] 对于 A，当过点 P(x0，y0)的直线与 x 轴垂直时， 不能用方程 y－y0＝k(x－x0)表示．对于 B，当过点 P(x0，y0)的 直线与 x 轴垂直时，不能用方程 y＝kx＋b 表示．对于 C，当过 点 P(x0，y0)的直线过原点时，不能用方程ax＋by＝1 表示．
第二十七页，共44页。
• 2．由于直线的截距式方程不能表示与坐标轴 垂直和过原点的直线，所以在利用待定系数 法设直线的截距式方程求解时，要注意这一 局限性，避免造成丢解．一般地，当直线在 两坐标轴上的截距相等(xiāngděng)、在两坐 标轴上的截距互为相反数、在x轴上的截距是 在y轴上截距的k(k≠0)倍时，经过原点的直线 均符合这些要求，求其方程时应分类讨论．
• 我们知道水(H2O)是由氢、氧两种元素组成的 无机物，在常温常压下是无色无味的透明液 体，但在100℃以上，水就会慢慢地变成水蒸 汽，而当温度低于0℃时它又会凝结变成冰而 成为固体．所以(suǒyǐ)说水这种无机物会随 着外界条件的变化而有多种不同的表现形 式．
第五页，共44页。
• 无独有偶，数学上也有很多的问题有很多不 同的“表现”形式，比如今天我们要学习的 直线方程(fāngchéng)就有五种不同的形 式．下面就让我们一起来看看直线方程 (fāngchéng)的这五种形式各有什么特点吧．