2020年中考数学复习 第7章 圆 第26课时 正多边形与圆的有关计算(精练)试题

第二十五讲与圆有关的计算【基础知识回顾】一、正多边形和圆：1、各边相等，也相等的多边形是正多边形2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫可用用α表示，α=，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r表示3、每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的三角形，被它的半径和边心距分成个全等的三角形【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】二、弧长与扇形面积计算：⊙O的半径为R，弧长为L，圆心角为n0，扇形的面积为S扇，则有如下公式：L=S扇= =【名师提醒：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴已知规则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等】三、圆柱和圆锥：1、如图：设圆柱的高为h,底面半径为R则有：⑴S圆柱侧=⑵S圆柱全=⑶V圆柱=2、如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则有：⑴S圆锥侧= 、⑵S圆锥全=⑶V圆锥=【名师提醒：1、圆柱的高有条，圆锥的高有条2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的，扇形的弧长是圆锥的4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n，若l=2r，则n= l=3r,则n= l=4r 则n= 】【典型例题解析】考点一：正多边形和圆例1 （2019•绵阳）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）D．A．6mm B．12mm C．对应训练1．（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A 3 B：2 C．1：2 D：2考点二：圆周长与弧长例2 （2019•黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD 在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为6π．思路分析：如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，对应训练2．（2019•遵义）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（）A．32πcm B．（2+32π）cm C．43πcm D．3cm考点三：扇形面积与阴影部分面积例3 （2019•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB 为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）对应训练3．（2019•乐山）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为．考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图例4 （2019•遂宁）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm对应训练4．（2019•攀枝花）一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）A．60°B．90°C．120°D．180°考点五：圆的综合题例5（2019•攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；对应训练【聚焦中考】1．（2019•滨州）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）B．3 ，3 C．6，3 D．A．6，1．B2．（2019•东营）如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）πa D．3aA．πa B．2πa C．123．（2019•泰安）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（）A．8 B．4 C．4π+4D．4π-44．（2019•济南）如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB=90°，以AB 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．4πB ．π-12C ．12D ．4π +125．（2019•莱芜）将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A ．BC ．D ．326．（2013•菏泽）在半径为5的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 （结果保留π）．7．（2019•聊城）已知一个扇形的半径为60cm ，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 cm ． 8．（2013•青岛）如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是 ．9．（2019•枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 经过点C ，AD ⊥EF 于点D ，∠DAC=∠BAC ．10．（1）PN与⊙O相切．证明：如图（一），连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．即PN与⊙O相切．（2）成立．证明：如图（二），连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．在Rt△AOM中，∴∠OMA+∠OAM=90°，【备考真题过关】一、选择题1．（2019•淮安）若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（）A．3πB．4πC．5πD．6πA．40°B．45°C．60°D．80°3．（2019•义乌）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 4．（2019•乌鲁木齐）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．3πD．4π5．（2019•南通）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm 6．（2019•黄石）已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（）A．90πcm2B．209πcm2C．155πcm2D．65πcm2 6．A7．（2019•舟山）如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（）A ．4πcmB ．74πcm C ．72πcm D ．7πcm8．（2019•南宁）如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm ，母线长为20cm ，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（ ） A ．150πcm 2B ．300πcm 2C ．600πcm 2D ．150πcm 29．（2019•台州）如图，已知边长为2的正三角形ABC 顶点A 的坐标为（0，6），BC 的中点D 在y 轴上，且在点A 下方，点E 是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE 的最小值为（ ） A ．3B ．C ．4D ．A ．πB ．24πC ．16πD ．12π11．（2019•襄阳）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E 、B ，E 是半圆弧的三等分点，A ．9πB C ．32π- D 23π 12．（2019•武汉）如图，⊙A 与⊙B 外切于点D ，PC ，PD ，PE 分别是圆的切线，C ，D ，E 是切点．若∠CDE=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R ，则»DE的长度是（ ） A ．(90)90x Rπ-⨯ B ．(90)90y Rπ-⨯ C ．(180)90x Rπ-⨯ D ．(180)90y Rπ-⨯A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题14．（2019•徐州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm ，则扇形的半径为 cm ．15．（2019•茂名）如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，则弧AB的长度为（结果保留π）．16．（2019•重庆）如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π）．17．（2013•孝感）用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为cm．18．（2019•宿迁）已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，则该圆锥的母线长是．19．（2019•玉林）如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是m．20．（2019•徐州）如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG 的面积为20cm2，则正八边形的面积为cm2．21．（2019•南京）△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是．27．（2019•衢州）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（»AB）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为．28．（2019•宿迁）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）三、解答题。

初三数学正多边形和圆知识精讲一. 本周教学内容：正多边形和圆1. 正多边形的定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫正多边形。

2. 正多边形与圆的关系〔1〕把圆分成n〔n≥3〕等份，有如下结论：其一：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这圆是正n边形的外接圆。

其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形，这圆是正n边形的内切圆。

〔2〕任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

3. 有关概念〔1〕正多边形的中心〔2〕正多边形的半径〔3〕正多边形的边心距〔4〕正多边形的中心角4. 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

这里我们设：正n边形的中心角为α，半径为R，边心距为r，边长为a n，周长为P n，面积为S n，那么有：()1360α=°n()sin22180a R n n =°()cos 3180r R n=·°()414222R r a n =+()5P n a n n =· ()61212S n ra rP n n n ==· ()()()721802180正多边形的每一个内角·°，内角和·°=-=-n nn5. 每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。

二. 重点和难点：1. 重点是正多边形的计算问题，计算通常是通过解直角三角形来解决的，所以在解这类题时，要尽量创造直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去。

尤其是含30°、60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。

2. 难点是灵敏运用正多边形的知识和概念解题。

三. 易错点分析：1. 正多边形的定义要理解后记牢，这里各边都相等，各角都相等，缺一不可，边数一样多的正多边形是相似多边形。

2. 对于任意三角形来讲都有外接圆和内切圆，但注意只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆。

【2020中考数学专项复习】：正多边形与圆的有关的证明和计算【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O 与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（）A.4B.92C.112D.5【思路点拨】首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE 的长加上半径即为AD的长．【答案】D；【解析】解：∵AB=4，∠B=90°，∴9042180AEππ⨯==，∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，∴⊙O的周长为2π，∴⊙O的半径为1，∴AD=BC=BE+EC=4+1=5.故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式. 举一反三：【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习7】【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.【答案】解：连结OA、OB、OC，设OA′交AB于K，OE′交CD于H，∵∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，∠COH=120°-∠KOC，∴∠AOK=∠COH，又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，∴△AOK≌△COH，由△AOK≌△COH，得S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC，∴S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.S五边形OKBCH：S阴影= 21=42.即重叠部分面积与阴影部分面积之比为：12 .【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算 自主学习8】【变式2】 已知：正十边形的半径是R ，求证：它的边长为1011)2a R =.【答案】证明：作∠OAB 的平分线AM 交OB 于M ，则∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°， ∴OM=MA=AB ，则△ABM ∽△OAB 得：OA AB=AB BM用R ，a 10分别表示OA ，AB ，BM ，代入以上比例式整理得a 102+ Ra 10-R 2=0,解关于a 10的一元二次方程得1011)2a R =（负值已舍去）.类型二、正多边形与圆综合运用2．如图所示，AB 是半圆的直径，AB ＝2r ，C 、D 为半圆的三等分点，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中阴影部分是一个不规则图形，可利用C 、D 是半圆的三等分点，得到AC BD =，从而 有∠CDA ＝∠DAB ，进而CD ∥AB ，故有△ACD 与△OCD 的面积相等，将阴影部分的面积转化为 扇形OCD 的面积． 【答案与解析】解：连接OC 、OD 、CD ．∵ AC BD =，∴ ∠CDA ＝∠DAB ．∴ CD ∥AB ，∴ ACD OCD S S =△△． ∴ OCD S S =阴影扇形．又∵ ∠COD ＝13∠AOB ＝60°， ∴ 2226013603606OCDn r r S S r πππ====阴影扇形．【总结升华】本题容易误认为阴影部分是扇形，对扇形的定义、图形理解不准确，此阴影部分为不规则图形，应利用等积转化法转化为规则图形——扇形．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．449π-B ．849π-C ．489π-D ．889π- 【答案】连接AD ，则AD ⊥BC ，阴影部分面积ABC EAF S S =-△扇．故21802842423609S ππ⨯=⨯⨯-=-阴影． 答案：B3．有一个两直角边分别为15cm 和20cm 的直角三角形，若绕一边旋转一周，可得到几种几何体？你能分别求出其全面积吗？【思路点拨】可将直角三角形绕边长为15cm 的直角边旋转一周，所得几何体是底面半径为20cm ，锥高为15cm 的圆锥体；绕边长为20cm 的直角边旋转一周，可得底面半径为15cm ，锥高为20cm 的圆锥体；绕斜边旋转一周，可得两个圆锥的组合体，按这三种情况分别计算全面积即可． 【答案与解析】解：三种．由图①可知，以AC ＝15cm 为轴旋转一周，则其全面积22020S S S ππ=+=⨯⨯侧底 2900(cm )π=．由图②可知，以BC ＝20为轴旋转一周，则其全面积21515S S S ππ=+=⨯⨯圆侧 2375225600(cm )πππ=+=．如图③所示，以AB 为轴旋转一周，得一个圆锥组合体，其全面积S 是上下两个锥体的侧面积之和． 作CD ⊥AB 于D ，则1122ABC S AC BC AB CD ∆==， ∴ 201512cm 25CD ⨯==，即底面半径为12cm ． ∴ S ＝π×12×20+π×12×15＝240π+180π＝420π(cm 2)．【总结升华】利用面积公式计算时，要仔细分析题意，找准已知量和未知量，特别注意全面考虑问题，分情况逐一计算，防止漏解．4．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6cm 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？【思路点拨】小猫所经过的路程要最短，应该求圆锥侧面展开后两点B 、P 之间的线段长度. 【答案与解析】解：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，展开后圆心角度数为n °，则底面圆的周长为2πr ，侧面展开图的弧长为180n l π，∴ 2180n ll ππ=． ∵ 轴截面△ABC 为等边三角形， ∴ AB ＝BC ，即26l r ==． ∴ r ＝3． ∴ 623180n ππ⨯⨯=． ∴ n ＝180，即其侧面展开图为半圆，如图所示，则△ABP 为直角三角形，BP 为最短路线．在Rt △ABP 中，BP ===．答：小猫所经过的最短路程为． 【总结升华】将所求问题转化为平面上两点之间线段最短的问题，充分利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长沟通空间元素与平面元素之间的关系．5．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，分别以OB ，OD 为直径作⊙O 1，⊙O 2．(1)求⊙O 1的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【思路点拨】连接O 1E ，求出一个小弓形的面积再乘以4即可.【答案与解析】解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∴ BD ==．∴ ⊙O 1的半径为1144BD =⨯=即⊙O 1．(2)连接O 1E ，∵ BD 为正方形ABCD 的对角线，∴ ∠ABO ＝45°．∵ O 1E ＝O 1B ，∴ ∠BEO 1＝∠EBO 2＝45°．∴ ∠BO 1E ＝90°．∴ 111O BE O BE S S S =-=△扇形211122π⨯=-． 根据图形的对称性得 S 1＝S 2＝S 3＝S 4，∴ 1424S S π==-阴影．【总结升华】求阴影部分面积时，一般要将阴影部分面积转化为几个规则图形的面积求差或和.举一反三：【变式】已知：如图所示，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，且OA与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，求O点移动的距离．【答案】解：观察图形可知O点移动距离即为扇形滚动距离，而扇形滚动距离为优弧AOB的弧长．∵12S l R=⨯弧扇，∴223010(cm)6SlRππ⨯===弧．答：O点移动的距离为10π cm．6．如图，已知在⊙O中，43AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径．【思路点拨】（1）阴影部分是一个扇形，扇形圆心角∠BOD ＝2∠BOC ＝2×2×30°＝120°，只需通过解直角三角形求出OB 的长，即可利用扇形面积2360n r π=求出阴影部分面积．（2）扇形弧长是圆锥的底面周长，由条件求出BCD 的长l ，利用2l r π=可求出半径r 的长．【答案与解析】解：(1)过O 作OE ⊥AB 于E，则12AE AB == 在Rt △AEO 中，∠BAC ＝30°，cos30AE OA =°． ∴4cos302A OA ===°．又∵ OA ＝OB ，∴ ∠ABO ＝30°．∴∠BOC＝60°．∵ AC⊥BD，∴BC CD=．∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°．∴221201643603603n OASπππ==⨯=阴影．(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴12024180rππ=⨯．∴43r=．【总结升华】用扇形围成圆锥，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的底面周长.中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是（）度．A.60B.90C.120D.1502．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，4tan3α=，则圆锥的底面积是（）平方米．A.9πB.16πC. 25πD.36π3．某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m 长为半径的扇形区域内（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ）A ．6πm 2B ．5πm 2C ．4πm 2D ．3πcm 24．如图所示，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．如图所示，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC ，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 （ ）A ．13B ．6C ．3D ．4 6．已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是( )A ．0，1，2，3B ．0，1，2，4C ．0，1，2，3，4D ．0，1，2，3，4，5二、填空题7．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是________．8．如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为________．9．如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为__________米．10．将半径为10cm，弧长为12π的扇形围成圆锥(接缝忽略不计)，那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值是________．11．如图所示是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．在母线OF上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为________cm．12．如图，扇形OAB，∠AOB＝90°，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是________．三、解答题13．如图所示，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝DPA＝45°．(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．14.如图AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．15．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE ⊥AB 于F ，C 是AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．(1)求证：P 是△ACQ 的外心；(2)若3tan 4ABC ∠=，CF ＝8，求CQ 的长； (3)求证：(FP+PQ)2＝FP ·FG ．16. 如图，△ABC 内接于⊙O ，且∠B ＝60°．过点C 作圆的切线l 与直径AD 的延长线交于点E ，AF ⊥l ，垂足为F ，CG ⊥AD ，垂足为G ．(1)求证：△ACF ≌△ACG ；(2)若AF ＝AF =，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】圆锥的底面周长为22510r πππ=⨯=，所以它的侧面展开图的圆心角是1801015012n ππ⨯==°． 2.【答案】D ； 【解析】因为4tan 3AO BO α==，AO ＝8，所以BO ＝6，所以圆锥的底面积是2636ππ=． 3.【答案】A ； 【解析】五个扇形的半径都为2cm ，设其圆心角分别为1n °，2n °，3n °，4n °，5n °，则无法直接利用扇形面积公式求解，可以整体考虑，123455n n n n n ++++=°°°°°边形形 内角和＝(5-2)×180°＝540°，∴ 2254026(m )360S ππ⨯==阴影． 4.【答案】A ；【解析】如果分别求S Ⅰ和S Ⅲ得阴影面积则很复杂，由旋转前后图形全等，易得S Ⅰ＝S Ⅱ，∴ 26066360ABB S S S S S S ππ'⨯=+====ⅠⅢⅡⅢ阴影扇形+． 5.【答案】B ；【解析】要求围成的圆锥的底面圆半径，只要求出扇形ABC 中BC 的弧长，该弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长，再根据周长即可以求出半径．∵ 直径为2，∠BAC ＝60°∴ AC ，∴ BC ，设底面圆的半径为r ，则由2r π=解得r = 6.【答案】C ；【解析】∵ 32+42＝52，∴ 这个三角形是直角三角形，且其内切圆半径34512r +-==．则这个三角形的边与半径为1的圆的公共点个数有如下情况：共有0，1，2，3，4五种情况．二、填空题7．【答案】3；【解析】设圆锥的母线长为R ，侧面展开图半圆弧长为l ，圆锥底面积半径为r ， 则有：218018360R ππ=． ∴ R 2＝36，R ＝6．又1182Rl π=． ∴ 2l π=，∴ 2πr ＝6π，r ＝3．8．【答案】3π； 【解析】设⊙O 与BC 切于D 点，连接OD ，OC ．在Rt △ODC 中，112122DC BC ==⨯=．∠OCD ＝30°．∴ tan 303OD DC ==°．∴ 3OD =，则22O 3S r πππ===⎝⎭⊙．9．【答案】0.4；【解析】如图，过O 作OC ⊥AB 于C ，并延长并AB 于D ．在Rt △OBC 中，212OB ==，11 1.60.822BC AB ==⨯=．∴ 20.6OC ==．∴ CD ＝OD-OC ＝1-0.6＝0.4(米)．10．【答案】45； 【解析】如图，因为2πR ＝12π，所以R ＝6．由勾股定理，得8h ==． 所以84cos 105AO CAO AC ∠===．11．【答案】【解析】底圆周长为2πr ＝10π，设圆锥侧面展开图的扇形所对圆心角为n °， 有2180n R r ππ=，即1010180n ππ⨯=， ∴ n ＝180°，如图所示，FA ＝2，OA ＝8，在Rt △OEA 中由勾股定理可得EA 即为所求最短距离．∴ EA ====12．【答案】 34+； 【解析】连接OC ，PE ，PF ，则四边形OEPF 是正方形．设PE ＝r ，则OP ，OC ＝1)r +．∴ 2S r ==扇形．∴ OAB S 扇形:234S r +=⊙P :2r π34+=．三、解答题13.【答案与解析】（1）∵ 直径AB ⊥DE ，∴ 12CE DE == ∵ DE 平分半径OA ，∴ 1122CE AO OE ==． 在Rt △OCE 中，∵ ∠CEO ＝30°．∴ OE ＝2．即⊙O 的半径为2．（2）连OF ，在Rt △DCP 中，∵ ∠DPC ＝45°．∠D ＝90°-45°＝45°∴ ∠EOF ＝2∠D ＝90°．∵ 2902360S ππ=⨯⨯=扇形OEF ． 1122222OEF S OE OF ∆==⨯⨯= ∴ 2OEF OEF S S S π∆=-=-阴影扇形．14.【答案与解析】解：(1)直线CD 与⊙O 相切．如图，连接OD ．∵ OA ＝OD ，∠DAB ＝45°，∴ ∠ODA ＝45°．∴ ∠AOD ＝90°．∵ CD ∥AB ，∴ ∠ODC ＝∠AOD ＝90°，即OD ⊥CD ．又∵ 点D 在⊙O 上，∴ 直线CD 与⊙O 相切．(2)∵ BC ∥AD ，CD ∥AB ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形．∴ CD ＝AB ＝2．∴ ()(12)13222OBCD OB CD OD S +⨯+⨯===梯形． ∴ 图中阴影部分的面积等于231312424OBD OBCD S S ππ-=-⨯⨯=-扇形梯形．15.【答案与解析】(1)证明：∵ C 是AD 的中点，∴ AC CD =．∴ ∠CAD ＝∠ABC ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°．∴ ∠CAD+∠AQC ＝90°．又 CE ⊥AB ，∴ ∠ABC+∠PCQ ＝90°．∴ ∠AQC ＝∠PCQ ．∴ 在△PCQ 中，有PC ＝PQ ．∵ CE ⊥直径AB ，∴ AC AE =．∴ AE CD =．∴∠CAD＝∠ACE．∴在△APC中，有PA＝PC．∴ PA＝PC＝PQ．∴ P是△ACQ的外心．(2)解：∵ CE⊥直径AB于F，∴在Rt△BCF中，由3tan4CFABCBF∠==，CF＝8，得43233 BF CF==．∴由勾股定理，得403 BC==．∵ AB是⊙O直径，∴在Rt△ACB中，由3tan4ACABCBC∠==，403BC=，得3104AC BC==．易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴ AC2＝CQ·BC．∴2152ACCQBC==．(3)证明：∵ AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°．∴∠DAB+∠ABD＝90°．又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G＝90°．∴∠DAB＝∠G．∴ Rt△AFP∽Rt△GFB．∴AF FPFG BF=，即AF·BF＝FP·FG．易知Rt△ACF∽Rt△CBF，∴ FC2＝AF·BF(或由射影定理得)∴ FC2＝FP·FG．由(1)，知PC＝PQ，∴ FP+PQ＝FP+PC＝FC．∴ (FP+PQ)2＝FP·FG．16.【答案与解析】(1)证明：如图，连接CD，OC，则∠ADC＝∠B＝60°．∵ AC⊥CD，CG⊥AD，∴∠ACG＝∠ADC＝60°．由于∠ODC＝60°，OC＝OD，∴△OCD为正三角形，得∠DCO＝60°．由OC l⊥，得∠ECD＝30°，∴∠ECG＝30°+30°＝60°．进而∠ACF＝180°-2×60°＝60°，∴△ACF≌△ACG．(2)解：在Rt △ACF 中，∠ACF ＝60°，AF ＝CF ＝4．在Rt △OCG 中，∠COG ＝60°，CG ＝CF ＝4，得3OC ==．在Rt △CEO 中，23OE OC ==．于是2160)23609CEO COD OC S S S OE CG ππ=-=-=△阴影扇形．。

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。

正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31+.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝1313122++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q分别表示阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是( )．A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．无法确定(2)如图(b)，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB 中，OA ＝3cm ，OB ＝1cm ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC 面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=． 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=，∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影． 答案选D.3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∴∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ，∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】 解：连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠E AB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．»AB）对应5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°， 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC 的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠A OC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。

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第26课时正多边形与圆的有关计算毕节中考考情及预测近五年中考考情2019年中考预测年份考查点题型题号分值预计2019年将会考查扇形面积的计算，有可能考查计算弧长、圆锥的侧面积或全面积。

2018未单独考查2017正多边形与圆填空题1752016扇形的面积填空题2052015未单独考查2014未单独考查，毕节中考真题试做扇形的面积1。

（2016·毕节中考)如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为__错误!π－1__.正多边形与圆2。

(2017·毕节中考）正六边形的边长为8 cm，则它的面积为__96错误!__cm2.毕节中考考点梳理正多边形正多边形的边数为n，外接圆半径为R正n边形的边长a n＝__2R sin__错误!__正n边形的周长C＝__2nR sin__180°n__正n边形的边心距r n＝__R cos__错误!__正n边形的中心角为__错误!__扇形的弧长及面积扇形的半径是R,弧所对的圆心角度数是n°.弧长l＝__错误!__S扇形＝nπR2360＝__错误!lR__方法点拨牢记圆的有关计算公式,并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形,再利用规则图形的公式求解。

正多边形与圆及圆中有关计算一、学习目标1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，并会进行有关计算；2．会用弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式计算有关问题；3．体会方程思想和转化思想．二、题型训练题型一、正多边形与圆【例题1】如图，等边△ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．22∶3B．2∶3C．23∶2D．3∶2【例题2】如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【例题3】如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM·BE.【题小结】转化思想，正多边形转化为等腰三角形或直角三角形、三角形面积的转化、相等的线段之间的转化．借题发挥：1.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD2.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝cm．借题发挥1借题发挥2ab借题发挥3例题3例题1例题23.如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若∠ADB ＝18°，则这个正多边形的边数为 ． 题型二、圆中与弧长、面积有关的计算 【例题4】如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，⌒FA 1,⌒A 1B 1，⌒B 1C 1，⌒C 1D 1,⌒D 1E 1，⌒E 1F 1，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．【例题5】在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分面积为（ ）A ．π4B ．π－32C ．π－34D ．3π2【题小结】弄清旋转的本质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．借题发挥：1．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 为⌒AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE 为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π 2．若一个扇形的圆心角为60°，面积为π6cm 2，则这个扇形的弧长为 cm （结果保留π）． 3.如图，AB 是⊙O 的弦，C 是⊙O 外一点，OC ⊥OA ，CO 交AB 于点P ，交⊙O 于点D ，且CP ＝CB ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠A ＝30°，OP ＝1，求图中阴影部分的面积．题型三、与圆锥有关的计算【例题6】已知圆锥的底面半径为1cm ，高为3cm ，则它的侧面展开图的面积为＝ cm 2．【例题7】已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．【题小结】转化及方程思想：立体图形与平面图形的相互转化，由圆锥有关的公式列出方程解决问题. 借题发挥： 例题4 借题发挥1 例题5 借题发挥3A B C'C B'。