福建省厦门双十中学2015-2016年度半期考试高二文科数学试卷

厦门市2015—2016学年度第一学期高二年级质量检测数学（文科）参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）12.设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=.又211222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴21212()1y y x x ⋅=⋅=即121y y ⋅=-，∴12120x x y y ⋅+⋅=， 即OA OB ⊥.设33(,)C x y 、44(,)D x y ，直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-.由21y x y k x ⎧=⎨=⎩得00x y =⎧⎨=⎩或21111x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k .由221(2)4x y yk x⎧-+=⎨=⎩得00x y =⎧⎨=⎩或211214141x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩即1221144(,)11k D k k ++， 同理2222244(,)11k E k k ++.∴OA =，OB = OD =OE =∴221122221211111(1)(1)2(1)(1)12116161642OABODEk k OA OB S k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．,x R ∀∈21xx ≠+； 14．815y x =- ； 15．3λ<； 16．20． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，或演算步骤）． 17．本题考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力. 考查化归与转化思想、方程思想．满分10分.【解析】(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q .364,32a a ==，解得12,1q a ==， ··································· 3分 1112n n n a a q --∴==. ······················································· 4分(Ⅱ)设等差数列{}n b 的首项为1b ，公差为d .4145b =+=，21b =，∴4224,d b b =-=即2d =，11=-b ， ·········· 6分∴23n b n =-， ··································································· 7分 ∴数列{}+n n a b 的前n 项和为11()(1)12n n n n b b a q T q +-=+-12(123)122n n n --+-=+- ···························································· 9分 2221n n n =+-- . ···································································· 10分18．本题考查正弦、余弦定理和解三角形等基础知识，考查运算能力、思维分析能力，考查化归与转化思想、方程思想、分类讨论思想．本题满分12分．【解析】(Ⅰ) 由正弦定理，结合条件：sin (sin sin c C a A b B ⋅⋅⋅＝＋(可得，2(a c b a b -⋅=⋅＋( ································· 2分22a b =＋22b b a =＋．222b a c ∴＋-， ··········································································· 4分2222a c ab b ==＋-，即 cos C =，0C π<<，6C π∴=． ········· 6分(Ⅱ)法一：由余弦定理，结合条件：32=a ，2c =, 又由(Ⅰ)知6C π=，可得 2222cos c a b ab C =+-，∴24122b =+-⋅，即2680b b -+=， ··········· 8分 解得2b =或4b =，经检验，两解均有意义． ··········· 11分综上，ABC ∆周长为4+6+ ··· 12分 法二：由正弦定理，结合条件：32=a ，2c =,又由(Ⅰ)知6C π=，可得1sin 2sin 2a C A c === ············································ 7分 a c > A C ∴> 3A π∴=或23π，从而2B π=或6π. ······························· 8分当2B π=时，ABC ∆为直角三角形，4b ∴=，ABC ∴∆周长为6+ 当6B π=时，ABC ∆为等腰三角形，2b c ∴==，ABC ∴∆周长为4+ 11分综上，ABC ∆周长为4+6+ ··· 12分 19．本题考查抛物线定义，直线与抛物线关系，考查运算求解能力．考查化归与转化思想、数形结合思想、分类讨论思想．本题满分12分．【解析】(Ⅰ)由题意得，M 到点（3,0）的距离与到直线3x =-的距离都等于半径，由抛物线的定义可知， C 的轨迹是抛物线，设其方程为22y px =，32p=， ∴M 的轨迹方程为212y x =． ··································· 3分 (Ⅱ)法一：显然斜率不为0，设直线l ：6x ty =+，11(,)A x y 、22(,)B x y2AP PB =，∴1122(6,)2(6,)x y x y --=-，∴122y y =-， ···················· 6分 由2126y x x ty ⎧=⎨=+⎩得212720y ty --=∴12121272y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ································ 8分又122y y =-，∴ 121260.5y y t =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或121260.5y y t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ， ······································ 10分∴ 直线l 的方程是212y x =-或212y x =-+． ·································· 12分法二：①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x =6，显然不成立． ················ 4分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：(6)y k x =-，11(,)A x y 、22(,)B x y ，2AP PB =， ∴1122(6,)2(6,)x y x y --=-，∴12218x x +=， ··············· 7分 由212(6)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222212(1)360k x k x k -++=，∴21221212(1)36k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩， ·· 9分 ∴121232x x k =⎧⎪=⎨⎪=±⎩······················································································ 11分 ∴直线l 的方程是212y x =-或212y x =-+． ·············· 12分 20.本题考查等差等比数列的定义、性质，等差等比数列的综合运用，及求数列的前n 项和，考查运算求解能力．考查化归与转化思想、方程思想．本题满分12分. 【解析】（I ）13,,n n a a +成等差数列，1123,32(3),n n n n a a a a ++∴=+∴-=- ··· 2分即11323n n n n b a b a ++-==-，又131a -=，······································· 4分 ∴{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列. ··································· 5分 （II）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列,∴132n n n b a -=-=，即123n n a -=+. ··················································· 7分又22log (26)log 2n n n c a n =-==, ··············································· 8分212111111()(21)(21)22121n n c c n n n n -+∴==--+-+, ······································· 9分 13352121111n n n T c c c c c c -+∴=+++111111(1)23352121n n =-+-++--+ ················································· 10分 111(1)2212n =-<+.······························································ 12分 21．本题考查解二次不等式、利用二次函数和基本不等式求最值，考查数学建模能力，信息处理能力和运算能力，考查化归转化思想、数形结合思想、函数方程思想和分类讨论思想．本题满分12分． 【解析】（Ⅰ）设该企业计划在A 国投入的总成本为()Q x （亿元）， 则当010x ≤≤时，25()1644x x Q x =++，依题意：25()51644x x Q x =++≤, ············································· 1分 即24600x x +-≤，解得106x -≤≤, ··················· 3分 结合条件010x ≤≤，06x ∴≤≤.················· 4分 （Ⅱ）依题意，该企业计划在A 国投入的总成本为25,010,1644()42,10.5x x x Q x x x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩5分 则平均处理成本为251,010,()1644421,10.5x x Q x x x x x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩·········· 6分 (i)当010x ≤≤时，()51116444Q x x x x=++≥=，当且仅当5164x x =， 即x =min()Q x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ·············· 8分(ii) 当10x >时， 22()42119914()520100Q x x x x x =-+=-+, ∴当1120x =即x =20时，min ()9911004Q x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭. ············· 10分 ∴当x =min()Q x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ···················· 11分 答：（Ⅰ）该工艺处理量x 的取值范围是06x ≤≤.（Ⅱ）该企业处理量为万吨时，才能使每万吨的平均处理成本最低，平均处理成本亿元. ··································································································· 12分22．本题考查曲线的轨迹方程、直线和椭圆的位置关系、弦长公式、定点定值问题等知识，考查运算求解能力，探究论证能力．考查化归与转化思想、数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想．本题满分12分． 【解析】（I ）设M 的坐标为(,)x y ，则1A M k x =≠，2A M k x =≠，12=-(x ≠， ········································· 1分化简得点M的轨迹方程是221(2x y x +=≠． ····································· 3分 （Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，PQ = ···································· 4分②当直线l 的斜率存在时，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为：(1)y k x =-，则2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(21)4220k x k x k +-+-=，∴212221224212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， · 6分222)1)2121k PQ k k +===+>++ ·· 7分 综上所述，PQ． ··············· 8分（Ⅲ）假设点N 存在，由椭圆的对称性得，则点N 一定在x 轴上，不妨设点(,0)N n ，当直线l 的斜率存在时，由（Ⅱ）得212221224212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∴22121212122(1)(1)[()1]21k y y k x k x k x x x x k ⋅=--=⋅-++=-+，11(,)NP x n y =-，22(,)NQ x n y =-，∴21212121212()()()NP NQ x n x n y y x x n x x n y y ⋅=-⋅-+⋅=⋅-+++⋅∴22222222222224(241)221212121k k k n n k n NP NQ n n k k k k --++-⋅=-+-=++++ ·· 10分对于任意的k ，0NP NQ ⋅=，∴22241020n n n ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩， ······························· 11分方程组无解，∴点N 不存在．综上所述，不存在符合条件的点N ． ············································· 12分。

厦门市2016~2017学年度第一学期高二年级质量检测数学（文科）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}n a 是等比数列，142,16a a ==，则数列{}n a 的公比q 等于 A. 2 B. 2- C.12 D.12- 2.设x ∈R ，则“1x >”是“31x >”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.已知抛物线x y 122=上一点M 到焦点的距离为8，则点M 的横坐标为 A.2 B.3 C.4 D.5 4.设实数x 、y 满足,4,2.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2zx y =+的最小值为A ．6B ．10C ．-6D ．-85.在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a 、b 、c ，且c o s c o s 2c b C c B +=，则角C 为 A.6π B.4π C. 3π D. 2π6.已知{}n a 是等差数列，181326,5a a a =-+=，当{}n a 的前n 项和n S 取最小值时，n 等于 A.8 B.9 C.10 D.117.若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14倍，则该双曲线的渐近线方程是A．0x =B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=8.已知{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，若21484a a a ⋅=，88b a =，则数列{}n b 的前15 项和等于A. 30B. 40C. 60D. 1209.若关于x 的一元二次方程022=-+ax x 有两个不相等的实根21,x x ，且1,121>-<x x ，则实数a 的取值范围是A ．1a <- B. 1a > C ．11a -<< D．a a ><-10.在△ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c ，2，成等比数列，则cos B 的最小值为A.14 B. 13 C. 12 D. 7811.已知函数t e x f x-=2)(，1)(-=x te x g ，对任意x ∈R ，()()f x g x ≥恒成立，则实数t的取值范围为A ．1t ≤B. 2t ≤ C ．2t ≤ D．2t ≤ 12.从一块短轴长为2m 的椭圆形板材中截取一块面积最大的矩形，若椭圆的离心率为e,且e 5∈,则该矩形面积的取值范围是 A.[m 2，2m 2] B.[2m 2，3m 2] C.[3m 2，4m 2] D.[4m 2，5m 2]第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题x ∀∈R ，1≥xe .写出命题p 的否定：_________________.14.已知方程11222=-++my m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为_______. 15.已知函数210,7,()1,7.(2)x x f x x f x -≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩若()n a f n =（n ∈N *），则数列{}n a 的前50项和等于__________.16.一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形的周长等于__________.:p三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分）关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{|23}x x << （Ⅰ）求a b +；（Ⅱ）若不等式20x bx c -++>的解集为空集，求c 的取值范围.18.(本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠30DAC ，︒=∠45CAB ，26-=CD . （Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）若10=BC ,求△ABC 的面积．19.(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足513a =，13n n a a +-=（n ∈N *）；数列{}n b 的前n 项和112n nS =-（n ∈N *）.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n b a b a b a b a T ++++= 332211，比较n T 与4的大小．20.(本小题满分12分）已知直线l 与抛物线2y x =-相交于A,B 两点．A,B 在准线上的射影分别为11,B A . （Ⅰ）若线段AB 的中点坐标为（-4,1），求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 方程为∈-=m my x ,1R ，求梯形B B AA 11的面积（用m 表示）.A21.(本小题满分12分）某公司要招聘甲、乙两类员工共150人，该公司员工的工资由基础工资和绩效工资组成.其中甲、乙两类员工每人每月的基础工资分别为2千元和3千元，甲类员工每月的人均绩效工资与公司月利润成正比，比例系数为)0(>a a ，乙类员工每月的人均绩效工资与公司月利润的平方成正比，比例系数为)0(>b b .（Ⅰ）若要求甲类员工的人数不超过乙类员工人数的2倍，问甲、乙两类员工各招聘多少人时，公司每月所付基础工资总额最少？（Ⅱ）若该公司某月的利润为)0(>x x 千元，记甲、乙两类员工该月人均工资分别为甲w 千元和乙w 千元，试比较甲w 和乙w 的大小.（月工资=月基础工资+月绩效工资）22.(本小题满分12分）在圆22:4O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ,Q 为垂足.当P 在圆上运动时，线段PQ 中点G 的轨迹为C ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 与圆O 交于,M N 两点，与曲线C 交于,E F 两点，若||MN =EOF ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.厦门市2016—2017学年度第一学期高二年级质量检测数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1~6 ACDCBB 7~12 ACCDBD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．∈∃0x R ，10<x e（答案“∈∃x R ，1<x e ”也给分）14.112m -<< 15.225416.15三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．本题主要考查一元二次不等式的基本解法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法．解：（Ⅰ）由题意得：方程20x ax b -+=的两根为2和3 ...........................……....2分 所以2323ab+=⎧⎨⨯=⎩，即56a b =⎧⎨=⎩............……............……............……...........……....4分所以11a b +=………............................................................……....5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知6b =因为不等式260x x c -++>的解集为空集所以2640c ∆=+≤………............................................................…....8分 即9c ≤-，所以c 的取值范围为](,9-∞-………....................…....10分18. 本题考查三角函数、解三角形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法．解：（Ⅰ）因为//AB CD ,所以45DCA CAB ︒∠=∠=………................ 1分因为sin sin AD DCACD DAC=∠∠……….......................................................... 2分所以2AD =………...............................................................4分（Ⅱ）180(3045)105ADC ︒∠=︒-︒+︒=所以sin sin(4560)sin 45cos60cos 45sin 60ADC ︒︒︒︒︒︒∠=+=+=分 sin sin AC DCADC DAC=∠∠,所以2AC = ...................................................…… 7分设AB x =因为2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-⋅∠260x --=,所以AB =..........................................……. 10分所以1sin 32ABC S AC AB CAB ∆=⋅∠=……….............................................................12分 解法2：180(3045)105ADC ︒∠=︒-︒+︒=所以sin sin(4560)sin 45cos60cos 45sin 60ADC ︒︒︒︒︒︒∠=+=+=分 sin sin AC DCADC DAC=∠∠,所以2AC =……….......................................……....7分因为sin sin AC BC B CAB =∠,所以sin B =因为AC BC <, 所以045B ︒<<︒,所以cos B =,因为sin sin(135)sin135cos cos135sin 10ACB B B B ︒︒︒∠=-=-=sin sin AB BCACB CAB=∠∠，所以AB =..................................... 10分所以1sin 32ABC S AC AB CAB ∆=⋅∠=………...........................................................12分19．本题考查数列通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法．解：（Ⅰ）因为*13()n n a a n N +-=∈，所以数列{}n a 为等差数列，公差3d =， 又51413a a d =+=，得11=a ，所以1(1)13(1)32n a a n d n n =+-=+-=-.......…2分 又因为数列{}n b 的前n 项和为*11()2n n S n N =-∈， 当1n =时，1112b S ==，................................................................................................3分当2n ≥时，11111111(1)(1)22222n n n n n n n nb S S ---=-=---=-=， 所以*1()2n n b n N =∈. 综上：*32()n a n n N =-∈，*1()2n n b n N =∈..........................................................5分 （Ⅱ）112233n n n T a b a b a b a b =++++23111111147(35)(32)22222n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ……①............6分所以2341111111147(35)(32)222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ……②............7分 ①—②得：2311111111333(32)222222n n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 2311111113()(32)22222n n n +=⨯+⋅+++--⨯1111(1)11423(32)12212n n n -+-=+⋅--⨯-.................................................10分所以1113413(1)(32)44222n n n n n T n -+=+---⨯=-<..........................12分 20.考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查推理能力、运算求解能力，考查数形结合的思想方法.考查几何问题中的中点、定点等问题 解：（Ⅰ）法一：①当直线l 斜率不存在时，直线l 方程为：4x =-，此时AB 中点坐标为（-4,0）， 不符合题意……………………………………………………………………..1分②当直线l 斜率存在时，因为直线与抛物线交于两不同点，所以斜率不为0， 设直线l 方程为：1(4)y k x -=+即41(0)y kx k k =++≠，代入抛物线方程得：2222(821)(41)0k x k k x k +++++=…………….......................3分 设1122(,),(,)A x y B x y ，因为A ,B 中点坐标为（-4,1），所以128x x +=-，所以228218k k k ++-=-，得12k =-…………...................................................................4分直线l 的方程为11(4)2y x -=-+即220x y ++=………................................................5分 法二：当直线l 斜率不存在时，直线l 方程为：4x =-，此时AB 中点坐标为（-4,0）, 不符合题意………………………………………………………….1分 当直线l 斜率存在时，点A ,B 在抛物线上，设1122(,),(,)A x y B x y ，122y y +=，221122,y x y x =-=-，两式相减得：221221y y x x -=-，……….........................................................................2分整理得：121212112y y x x y y -=-=--+，即直线l 的斜率为12-，………….....................4分直线l 的方程为11(4)2y x -=-+即220x y ++=.………....................................…..5分 （Ⅱ）联立⎩⎨⎧-=-=xy my x 21得：012=-+my y . 所以m y y -=+21，121-=y y ………....................................…..6分 又4541||,4541||221111+-=+-=+-=+-=my x BB my x AA ， 2525)()45()45(||||2212111+=++-=+-++-=+m y y m my my B B A A ....................9分=-=||||2111y y B A 44)(221221+=-+m y y y y ........................…..11分4452||2||||221111++=⋅+=m m B A B B A A S 梯形........................…..12分21.考查学生对不等式概念本质的理解，比较大小及含有参数的二次不等式的解法，模型思想，分类讨论思想，生活应用意识. 解：（Ⅰ）设招聘甲类员工人数为x ，乙类员工人数为（150-x ），公司每月所付的基础工资总额为y 千元，因为)150(2x x -≤，所以∈≤<x x ,1000N ......................................1分 因为x x x y -=-+=450)150(32......................................................................2分350,100min ==y x 时当所以甲类员工招聘100人，乙类员工招聘50人时，公司每月所付的基础工资 总额最少为 350000元..............................................................................................4分 （Ⅱ）由已知，ax w +=2甲，23bx w +=乙 ..............................................................5分)0,0,0(1)2()3(22>>>+-=+-+=-x b a ax bx ax bx w w 甲乙......................6分b a 42-=∆（i ）当0<∆，即b a 42<时，012=+-ax bx 无实数根，此时0>-甲乙w w ，即甲乙w w >；..................................................................7分（ii ）当0=∆，即b a 42=时，012=+-ax bx 有两个相等正实根ba 2, ①当bax 2=时，甲乙w w =； ..................................................................8分 ②当bax x 20≠>且时，甲乙w w >；..................................................................9分 （iii ）当0>∆，即b a 42>时，012=+-ax bx 有两个不相等正数根b b a a 242--和bba a 242-+，①当),24()24,0(22+∞-+--∈b ba ab b a a x 时，甲乙w w >；..............10分②当)24,24(22b ba ab b a a x -+--∈时，甲乙w w <； ...............11分③当b b a a x 242--=或bba a 242-+时，甲乙w w =. .......................12分22.考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，弦长公式，点到线的距离公式，考查推理能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法. 解：（Ⅰ）设(,)G x y ，00(,)P x y ，所以0(0,)Q y ……..………..….............1分 因为点G 是线段PQ 中点，所以02x x =，0y y =, ……..………..…..................2分又00(,)P x y 在圆O 上，所以22(2)4x y +=，即2214y x +=..........................................4分 （Ⅱ）设点O 到直线l 的距离为d ，则552)554(4)2||(422=-=-=MN d .....5分 当直线l 斜率不存在时，直线l 方程：552±=x ，代入椭圆方程得：552±=y ，不妨设)552,552(E ,)552,552(-F ,此时︒=∠90EOF .........................................6分 当直线l 斜率存在时，设直线l ：y kx m =+,得0kx y m -+=，所以5212=+=k m d ，所以)1(4522+=k m ， ........................................7分 由⎩⎨⎧=++=4422x y m kx y 得：042)4(222=-+++m mkx x k ...............................................8分0)16(516)4(16)4)(4(442222222>+=+-=+--=∆k m k k m k m 设),(),,(2211y x F y x E ，所以222122144,42km x x k mk x x +-=+-=+， 22121221212121)()1())((m x x mk x x k m kx m kx x x y y x x OF OE ++++=+++=+=⋅ 4)1(454244)1(22222222++-=++-++-+=k k m m k mk mk k m k ........................11分 把)1(4522+=k m 代入上式得：0=⋅OF OE ，所以OF OE ⊥，即︒=∠90EOF综上所述︒=∠90EOF 为定值........................................................................................12分。

福建师大附中2015-2016学年第二学期模块考试卷高二数学选修1-2（文科）（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷第Ⅰ卷 共60分一、选择题：（ 每小题5分，共60分；在给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1．已知复数z 满足(1)i 1i z -=+，则=z ( ) A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i +2. 下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是 ( ) ① 2 012能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2 012是偶数； A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②①3．用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时，应先假设 ( ) A ．没有一个内角是钝角 B ．有两个内角是钝角 C ．有三个内角是钝角 D ．至少有两个内角是钝角 4．如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则12||z z +=( )A ．2B ．3 C． D．5. 利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得参照附表，得到的正确结论是 ( ) A ．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”28.806K ≈B ．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 6.“2<a ”是“对10,R,∀≠∈+≥x x x a x成立”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既非充分也非必要条件7.某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内填 ( ) A . 4k > B . k >5 C . k >6 D . k >78．给出下面四个类比结论： ( ) ①实数b a ,，若0=ab ，则0=a 或0=b ；类比向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b = ②实数b a ,，有222()2a b a ab b +=++；类比向量,a b ，有222()2a b a a b b +=+⋅+③向量a ，有22a a =；类比复数z 有22z z =④实数b a ,，有022=+b a ，则0==b a ；类比复数12,z z ，有22120z z +=，则120z z == 其中类比结论正确的命题个数是 ( ) A ．0 B ．1 C . 2 D . 39．若函数()ln f x x a x =+不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[)0,+∞ B ．(],0-∞ C . (),0-∞ D . ()0,+∞10．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是( )11．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++，其中*,,N ≤∈m n m n ，则n m ,的值分别为 ( )A ．20,13==n mB ．20,14==n mC . 20,20==n mD . 30,20==n m 12. 设函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意x R ∈都有)()(x f x f '>成立，则 ( ) A ．)3(ln 2)2(ln 3f f < B ．)3(ln 2)2(ln 3f f = C . )3(ln 2)2(ln 3f f > D . )2(ln 3f 与)3(ln 2f 的大小不确定第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置 13．若复数22(56)(3)i m m m m -++-（m 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则=m _____. 14．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）．根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为5.175.6ˆ+=x y ，则表中=t .15.点P 是函数x x x f ln )(2-=上任意一点，则点P 到直线02=--y x 的最小距离为 . 16．数列()21n a n n +=-∈N 排出如图所示的三角形数阵，设2 015位于数阵中第s 行，第t 列，则=+t s .13 5 79 1113 15 17 19 ……………………三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某城市理论预测2 020年到2 024年人口总数与年份的关系如下表所示（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （3）据此估计2 025年该城市人口总数。

厦门市2015—2016学年高二（下）质量检测数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 1．已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若3bi +与a i -互为共轭复数，则a bi +等于（ ▲ ）．A B ．5 C D ．102．用反证法证明命题：“若,,a b c 为不全相等的实数，且0a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个负数”， 假设原命题不成立的内容是（ ▲ ）．A ．,,a b c 都大于0B ．,,a b c 都是非负数C ．,,a b c 至多两个负数D ．,,a b c 至多一个负数 3．已知命题2:,10p x R x x ∀∈++≤，则（ ▲ ）．A ．p 是真命题，:p ⌝ 0x R ∃∈，使得20010x x ++>； B ．p 是真命题，:p ⌝ 2,10x R x x ∀∈++>； C ．p 是假命题，:p ⌝ 0x R ∃∈，使得20010x x ++>； D ．p 是假命题，:p ⌝ 2,10x R x x ∀∈++>．4．函数)(x f 的导函数为)(x f '，若x x f sin )(=，则下列正确的是（ ▲ ）． A ．)2()(ππf f '= B ．)()2(ππf f '= C ．)3()(ππf f '= D ．)()3(ππf f '=5参考公式:2()()()()K a b c d a c b d =++++（其中n a b c d =+++））．A ．有错误！未找到引用源。

的把握认为“喜欢足球与性别有关”；B ．有9错误！未找到引用源。

的把握认为“喜欢足球与性别无关”；C ．在犯错误的概率不超过2.错误！未找到引用源。

的前提下，认为“喜欢足球与性别有关”；D ．在犯错误的概率不超过2.错误！未找到引用源。

2015-2016学年福建省厦门一中高二下期中数学（文）试题一、选择题 1i 为虚数单位)的虚部是（ ） A ．2- B ．2 C． D【答案】A【解析】试题分析：(22i i i i -⋅===∴⋅其虚部为2-，选A【考点】复数的基本概念2．如图所示的结构图中“综合办公室”的“下位”要素是（ ）A ．总经理B ．职能管理部门、技术研发部门C ．市场营销部门D ．职能管理部门、市场营销部门、工程部门、技术研发部门 【答案】D【解析】试题分析：按照结构图的表示一目了然，读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序． 故选D ．【考点】结构图 3．“0a b >>”是“11a b<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：1100a b a b >>⇒<<；但111100b a a b a b ab-<⇒-<⇒<，不一定得到0a b >>；故选B 【考点】充要条件4．若双曲线()222103x y a a-=>的一条渐近线为y x =，则双曲线方程为（ ）A ．22143y x -=B ．221163x y -=C ．22183x y -=D ．22143x y -= 【答案】D【解析】试题分析：因为双曲线()222103x y a a -=>的一条渐近线y x a =-，即2a ==，则双曲线方程为22143x y -=，选D 【考点】双曲线的简单性质5．“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形”，根据“三段论”推理形式，则作为大前提、小前提、结论的分别为（ ）A ．①②③B ．③①②C ．②③①D ．②①③ 【答案】C【解析】试题分析：用三段论的形式写出的演绎推理是： 大前提 ②矩形的四个内角相等 小前提 ③正方形是矩形结论 ①正方形的四个内角相等 故选C ．【考点】简易逻辑6．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象是（ ） A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线4x π=对称C ．关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线3x π=对称【答案】A【解析】试题分析：由题意函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()22sin 23f x x ππωπ⎛⎫==∴=+ ⎪⎝⎭，令()sin 203f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，代入验证可知选A【考点】正弦函数的性质7．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x （万元）和需求量y （吨）之间的一组数据为：若y 关于x 的线性回归方程为11.528.1y x =-+，则上表中的0y 值为（ ）A ．7.4B ．5.1C ．5D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，()009(12)532111.4 1.6 1.822.21073555y x y +=++++=++++=，y =， y 关于x 的线性回归方程为 11.528.1y x =-+00911.325528.155y y =-⨯+∴+= 故选C ．【考点】线性回归方程8．在∆ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若120,C c ∠== ，则（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定 【答案】B【解析】试题分析：120,C c ∠== 由余弦定理可得，2222c b a bacosC =+-把c =代入可得，22222?()0b b a ab b ba a＝=++⇒∴--解方程可得，1b b a a =>∴>.故选B 【考点】余弦定理9．函数()cos sin f x x x x =+在区间[],ππ-上的图象大致是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：()cos sin f x x x x =+，则f x x s i n x co s（）（）（）（）（），-=--+-=+=()c o s s i nfx x x x ∴=+是偶函数，故排除C ． 当0x =时，001y cos =+=，故排除D ；0y xcosx x '=∴ ＞开始时，函数是增函数，由此排除A ．故选B ．【考点】函数的图像10．已知平面上两点()()1,0,1,0M N -，给出下列方程：①221x y += ②22134x y += ③22194x y -= ④28y x = 则上述方程的曲线上存在点P 满足4PM PN +=的方程有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】试题分析：根据题意，动点P 的轨迹是椭圆，且焦点为()()1,0,1,2,40=-M N a ；21a c b ，，∴===；∴椭圆的方程为[]221,2,2,43⎡+=∈-∈⎣x y x y 对于①，221x y +=表示圆心在原点，半径为1的圆，且[][]1,1,1,1∈-∈-x y x ∈[-2，2]，∴该圆上不存在满足条件的点P ；∴①不正确．对于②，22134+=x y 表示椭圆，且[],2,2⎡∈∈-⎣x y ∴该椭圆上存在满足条件的点P ；∴②正确．对于③，22194x y -=示双曲线，且][[223]3x y ∈-∞-⋃+∞∈-∞-⋃+∞（，，），（，，），∴该双曲线上不存在满足条件的点P ；∴③错误．对于④，28y x =表示抛物线，且0[∈+∞∈x y R ，），，∴该抛物线上存在满足条件的点P ；∴④正确．综上，正确的序号是②④；故选B【考点】椭圆的定义11．已知椭圆22195+=x y 的右焦点为,F P 是椭圆上一点，点(0,A ，当∆APF 的周长最大时，直线AP 的方程为（ ）A ．3=-+y x B ．3=+y xC ．=+yD ．+y 【答案】D【解析】试题分析：椭圆22195+=x y 的32a b c ===，，由题意，设F '是左焦点，则∆APF周长|||2410|6A F A P P F A F A P a =++=++-'=+A P '（，，三点共线时，且P 在AF '的延长线上，取等号），直线AF '的方程为12x =-即=+y 故选D ． 【考点】椭圆的简单性质12．定义在R 上的函数()f x ，若对任意12x x ≠，都有()()()()11221221+>+x f x x f x x f x x f x ，则称()f x 为“H 函数”，给出下列函数：①31y x x =-++；②()32s i n c o s y x x x =--；③x y e x=+；④()31ln =-f x x x ，其中是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】试题分析：∵对于任意给定的不等实数12≠x x ，不等式()()()()11221221+>+x f x x f x x fxx f x x 恒成立， ∴不等式等价为()1212[0]x x f x f x --（）（）＞恒成立， 即函数()f x 是定义R 在上的增函数．①321,'31=-=-+++y x y x x 则函数在定义域上R 不单调．②32'32304y x sinx cosx y cosx sinx x π=--=-+=-+（）；（）（）＞，函数单调递增，满足条件．③,10xxy e x y e '=+=+>为增函数，满足条件． ④()34113ln ,'=-=+f x x y x x x，当0x ＞时，函数单调递增，满足条件． 故选C ．【考点】函数的单调性【名师点睛】本题主要考查函数单调性的应用，属中档题.解题时将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．二、填空题13．复数1+i 的共轭复数为 【答案】1i -【解析】试题分析：由共轭复数得定义可知复数1+i 的共轭复数为1i - 【考点】共轭复数14．在平面直角坐标系中，半径为r 以点()00,x y 为圆心的圆的标准方程为()()22200-+-=x x y y r ；则类似的，在空间直角坐标系中，半径为R 以()000,,x y z 为球心的球的标准方程为 .【答案】2222000(-+-+-=x x y y z z R ）（）（）【解析】试题分析：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时， 一般为：由平面几何中圆的性质，类比推理空间几何中球的性质；故由：“以半径为r 以点()00,x y 为圆心的圆的方程为22200x x y y r （）（）-+-=”， 类比到空间可得的结论是：以点()000,,x y z 为球心，R 为半径的球的方程为2222000(-+-+-=x x y y z z R ）（）（） 故答案为2222000(-+-+-=x x y y z z R ）（）（）【考点】类比推理15．将全体正整数排成一个如下的三角形数阵： 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15………………根据以上排列规律，数阵的第20行中从左到右的第10个数是 . 【答案】200【解析】试题分析：由排列的规律可得，第1n -行结束的时候排了1123112n n n +++⋯+-=-（）个数．所以第n 行从左向右的第10个数112n n -（）+10 所以20n =时，第20行从左向右的第10个数为200．【考点】归纳推理16．已知函数()46,4<≤=⎨->⎪⎩x f x x x ，若方程()1=+f x kx 有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 .【答案】11,64⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】试题分析：在直角坐标系中，分别画出()y f x =的图象和直线1y kx =+，当直线经过60（，）点时，即16k =-，直线和曲线有两个交点，当直线与y =在04]（，相切，设切点为（,由y =y '=，切线的斜率为k =，又1km +=144m k ，，==要使直线和曲线有三个交点， 则k 的范围是11,64⎛⎫-⎪⎝⎭【考点】函数的零点与方程根的关系【点评】本题考查函数和方程的转化思想，主要考查图象的交点个数问题，属中档题.解题时运用数形结合思想方法是解题的关键．三、解答题17．已知函数()1=-+f x x x 的最小值为a . (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若存在两个正数,m n 使得2m n a +=，求21+m n最小值. 【答案】(Ⅰ)1a =； (Ⅱ)最小值为8【解析】试题分析：(Ⅰ)利用三角不等式可求()1=-+f x x x 的最小值；(Ⅱ)利用222m n mn +≥求出mn 的最大值，再由基本不等式求出21+m n的最小值 试题解析：(Ⅰ)()()1111f x x x x x a =-+≥--=∴= ；(Ⅱ)由(Ⅰ)知121128m n m n mn +==+≥≤，则21218m n m n mn mn++==≥，当且仅当2m n =即13m n ==时取等号. 【考点】绝对值不等式的性质，基本不等式18．某校调查高二学生就读文理科与性别之间的关系，高二年段共有学生400人，其中选择理科同学有240人，男女学生人数比例为2:1，其余选择文科，男女学生人数比例为1:1.(Ⅰ)根据以上数据完成下面的22X 列联表：(Ⅱ)能否有99.9%的把握认为该校高二年段选报文理科与性别之间有关系？ 【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)能有99.9%的把握认为该校高二年段选报文理科与性别之间有关系【解析】试题分析：(Ⅰ)根据题意，可得选择理科的男同学有160人，女生有80人；选择文科的男同学有80人，女生有80人，即可得到22X 列联表；(Ⅱ)将上述数据代入2K 检验公式，得到211.111K ≈，根据数据分析即可 试题解析：(Ⅰ)(Ⅱ)假设0H ：高二学生就读文理科与性别没有关系，根据列联表：()2240016080808010011.1112401602401609⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯K ，因为11.111>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该校高二学生就读文理科与性别之间有关系. 【考点】22X 列联表, 2K 检验 19．在数列{}n a 中，1121,2n naa a a +==+. (Ⅰ)求证：数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 为等差数列并求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求证：数列{}n a 中任意连续三项均不能成为等差数列. 【答案】(Ⅰ)()2*1=∈+n a n N n (Ⅱ)利用反证法证明 【解析】试题分析：(Ⅰ) 由已知122n n a a a +=+可得11112+=+n n a a 即可证明1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 为等差数列，再由等差数列的通项公式可求得1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 的通项公式，则{}n a 的通项公式可求；(Ⅱ) 利用反证法证明即可. 试题解析：(Ⅰ)由11112+=+n n a a 得1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 为等差数列，11112n n a a +-=，又111a =，∴()1111122+=+-=n n n a ，∴()2*1=∈+n a n N n(Ⅱ)证明：反证法假设数列{}n a 中任意连续三项12,,n n n a a a ++成等差数列，则122n n n a a a ++=+，∴()()()()()()2132312++=+++++n n n n n n ，∴0=2显然矛盾，故假设不成立，原命题的结论成立.【考点】等差数列的通项公式，反证法20．已知函数()()2ln 2=-∈a f x x x x a R . (Ⅰ)若不等式()0>f x 有解，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)研究函数的极值点个数情况. 【答案】（Ⅰ）2<a e；(Ⅱ) ()1,∈+∞a 时，有0个极值点；1a =时，有0个极值点；()0,1a ∈时，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，有一个极值点【解析】试题分析：（Ⅰ）()0>f x 有解等价于2ln <xa x 有解，即max 2ln ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x a x ，构造新函数()2ln =x g x x ，求导研究其单调性，可知x e =时，()max 2=g x e，即2<a e .(Ⅱ) )令()'0=f x 即ln 10x ax +-=，得到ln 1+=x a x ，构造()ln 1,+=x h x x求导，研究其单调性，即可得到函数的极值点个数情况 试题解析：（Ⅰ）()0>f x 有解等价于2ln <xa x 有解，即max 2ln ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x a x ，设()2ln =xg x x ，则()()22ln 1'-=x g x x ，当()0,∈x e 时，()'0>g x ；当(),∈+∞x e 时，()'0<g x ，所以当x e =时，()max 2=g x e ，即2<a e. (2)令()'0=f x 得到l n 1x a x +-=，得到l n 1x a x+=，()()2ln 1ln ,'+-==x xh x h x x x,当()0,1x ∈时，()'0>h x ；当()1,∈+∞x 时，()'0<h x ，又()()0,,,0→→-∞→+∞→x h x x h x ，所以()1,∈+∞a 时，ln 1+=x a x无解，有0个极值点； 1a =时，ln 1+=x a x有一解，但不是极值点；()0,1∈a 时，ln 1+=x a x有二解，有两个极值点； (],0∈-∞a 时，ln 1+=x a x 有一解，有一个极值点. 【考点】利用导数研究函数的性质21．已知定点()1,0-C 及椭圆2235x y +=，过点C 的动直线与椭圆相交于,A B 两点.(Ⅰ)若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； (Ⅱ)在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(Ⅰ)直线AB的方程为10x -+=或10x ++=，(Ⅱ)在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使MA MB ⋅ 为常数.【解析】试题分析： （1）根据题意，设出直线AB 的方程，将直线方程代入椭圆，用设而不求韦达定理方法表示出中点坐标，此时代入已知AB 中点的横坐标即可求出直线AB 的方程．（2）假设存在点(),0M m ，使M A M B ⋅为常数．分别分当直线AB 与x 轴不垂直时以及当直线AB 与x 轴垂直时求出点M 的坐标．最后综合两种情况得出结论． 试题解析：(Ⅰ) 依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为1y k x （）=+， 将1y k x （）=+代入2235x y +=，消去y 整理得2222316350k x k x k （）．+++-= 设1122A x y B x y （，），（，），则()()42221223643135()()016231-+-+⎧⎪⎨⎪⎩-+ k k k k x x k ＝＞，＝． 由线段AB 中点的横坐标是12-，得2122331122x x k k +=-+=，解得k ＝，适合（1）．所以直线AB的方程为10x -+=或10x ++=(Ⅱ)假设在x 轴上存在点(),0M m ，使MA MB ⋅为常数.①当直线AB 与x 轴不垂直时，由(Ⅰ)知22121222635,3131-+=-=++k k x x x x k k(3)，所以()()()()()()212111⋅=--+=--+++ MA MB x m x m y y x m x m k x x ()()()2221211=++-k xx k .将(3)代入，整理得()()2222221142312615333131⎛⎫-+-- ⎪--⎝⎭⋅=+=+++ m k m m k MA MB m mk k ()22161423331+=+--+m m m k . 注意到MA MB ⋅ 是与k 无关的常数，从而有76140.3m m +==-，此时49MA MB ⋅= .②当直线AB 与x 轴垂直时，此时点,A B的坐标分别为,1,⎛⎛-- ⎝⎝.当73m =-时，亦有49MA MB ⋅= ，综上，在x 轴上存在定点7,03⎛⎫- ⎪⎝⎭M ，使MA MB ⋅ 为常数.【考点】直线的方程，直线与椭圆的位置关系22．已知函数()1ln 1-=+--a f x ax x x. (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(Ⅱ)若()f x 最小值为0，求实数a 的值.(Ⅲ)求证：()11*⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭n e n N n . 【答案】(Ⅰ) 数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1，函数()f x 的极小值为()10=f ，无极大值. (Ⅱ) 1a =(Ⅲ)见解析【解析】试题分析：(Ⅰ) 当1a =时，()ln 1=--f x x x ，求导，即可得到函数()f x 的单调区间和极值(Ⅱ) 依题意有：()()()()()min 2110,'+--≥=ax a x f x f x x ，分0a ≤， 0a >两种情况讨论行函数的单调性，极值等性质，即可求出实数a 的值，(Ⅲ) 要证不等式11⎛⎫+< ⎪⎝⎭ne n ，只要证明11ln 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n 即可，由(Ⅱ) 知当1a =时，()1ln 0=--≥f x x x 即可证明试题解析：(Ⅰ)当1a =时，()ln 1=--f x x x ，此时：()11'1-=-=x f x x x ，令()'0>f x 得1x >，令()'0<f x 得01x <<，于是：函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1，从而函数()f x 的极小值为()10=f ，无极大值. (Ⅱ)依题意有：()()()()()()2min 222111110,'+------≥=--==ax a x ax x a a f x f x a x x x x ，当0a ≤时，则()f x 在()0,1单调递增，在[)1,+∞递减，无最小值，不合题意.当0a >时，令()'0=f x 得：121,1a x x a -==.①当11a a -≤，即12a ≥时，函数()'0≥f x 在()1,+∞恒成立，则()f x 在()1,+∞单调递增，于是()()min 111220==+--=-=f x f a a a ，解得：1a =，②当11a a ->即102<<a 时，函数()f x 在11,-⎡⎤⎢⎥⎣⎦a a 单调递减，在1,-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭a a 单调递增，综上所述：1a =.(Ⅲ)要证不等式11⎛⎫+< ⎪⎝⎭ne n ，两边取对数后只要证1ln 11⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n ，即只要证明11ln 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n ，令11x n =+，则只要证()ln 112<-<≤x x x ，由(2)知当1a =时，()1ln 0=--≥f x x x ,所以11⎛⎫+< ⎪⎝⎭ne n 成立. 【考点】利用导数研究函数的性质。

福建省厦门双十中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．a c＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥02．（3分）设{a n}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{a n}前8项的和为（）A．128 B．80 C．64 D．563．（3分）若条件p：A=30°，条件q：sinA=，则p是q（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（3分）设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB=4，∠C=45°，则R=（）A．B．C．D．5．（3分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，前n项之积为T n，若T5=1，则必有（）A．a1=1 B．a3=1 C．a4=1 D．a5=16．（3分）不等式x2﹣2x+5≥a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣∞，﹣25，+∞）C．（﹣∞，﹣14，+∞）D．7．（3分）已知x＞0，y＞0且x+y=1则的最小值为（）A．6B．12 C．25 D．368．（3分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣19．（3分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=cosA+cosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不能确定10．（3分）已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N+（m，n∈N+）且对任意m，n∈N+都有①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=3f（m，1），则f（4，5）的值为（）A．33 B．35 C．87 D．89二、填空题：本大题4小题，每小题2分，共16分．把答案填在答题卡相应位置11．（2分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是．12．（2分）在△ABC中，若sinA=，∠C=150°，BC=1，则AB=．13．（2分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是．14．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，若5＜a k＜8，则k=．15．（2分）已知关于x的不等式x2+ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），则关于x的不等式bx2+ax+1＜0的解集是．16．（4分）已知函数f（n）=，且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2014=．三、解答题（共6小题，满分74分）解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S9=99．（1）求a n及S n；（2）若数列{b n}满足b n=，n∈N*，证明数列{b n}的前n项和T n满足T n＜1．18．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+a，（1）当a=2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（2）求关于x的不等式f（x）＜0的解集．19．（12分）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了他们的工资标准：A公司允诺第一年年薪为16万元，以后每年年薪比上一年年薪增加2万元；B公司允诺第一年年薪为20万元，以后每年年薪在上一年的年薪基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的年薪收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（参考数据：1.059≈1055，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71）20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c（1+cosA）=（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．21．（12分）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米（1）当BC长度为2米时，AC为多少米？（2）为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求BC长度为多少米时，AC长度最短，最短为多少米？22．（14分）已知数列{a n}的首项，．（1）求证：数列为等比数列；（2）记，若S n＜100，求最大的正整数n．（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a m﹣1，a s﹣1，a n﹣1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．福建省厦门双十中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．a c＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：计算题．分析：A、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3，计算出a+c与b﹣c的值，显然不成立；B、当c=0时，显然不成立；C、当c=0时，显然不成立；D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2为非负数，即可判断此选项一定成立．解答：解：A、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；B、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；C、c=0时，=0，本选项不一定成立；D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，故选D点评：此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．2．（3分）设{a n}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{a n}前8项的和为（）A．128 B．80 C．64 D．56考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题；方程思想．分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可求解．或利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质a2+a7=a1+a8求解．解答：解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，解得，故s8=8+=64．解法2：∵a2+a7=a1+a8=16，∴s8=×8=64．故选C．点评：解法1用到了基本量a1与d，还用到了方程思想；解法2应用了等差数列的性质：{a n}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，a m+a n=a p+a q．特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则a m+a n=2a p．3．（3分）若条件p：A=30°，条件q：sinA=，则p是q（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据特殊角的三角函数值，可得充分性成立；根据三角函数图象与性质，可得必要性不成立．因此得到条件p是条件q的充分不必要条件，可得本题答案．解答：解：先看充分性若条件p：“A=30°”成立，则可得sinA=sin30°=，条件q成立，故充分性正确；再看必要性若条件q：“sinA=”成立，可得A=30°+k•360°或A=150°+k•360°（k∈Z）由此可得条件p：“A=30°”不一定成立，故必要性不正确．综上所述，可得条件p是条件q的充分但不必要条件．故选：A点评：本题以充分必要条件的判断为载体，考查了特殊三角函数的值和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．4．（3分）设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB=4，∠C=45°，则R=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由已知c及sinC的值，利用正弦定理列出关于R的方程，求出方程的解即可得到三角形外接圆的半径R．解答：解：∵AB=c=4，∠C=45°，∴由正弦定理=2R得：R===2．故选D点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．（3分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，前n项之积为T n，若T5=1，则必有（）A．a1=1 B．a3=1 C．a4=1 D．a5=1考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质可得a1•a2•a3•a4•a5=a35=1，所以a3=1．解答：解：由题意可得：T5=a1•a2•a3•a4•a5=1，根据等比数列的性质可得a1•a2•a3•a4•a5=a35=1，所以a3=1．故选B．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的性质，即在等比数列{a n}中，若m+n=k+l，则a m•a n=a k•a l．6．（3分）不等式x2﹣2x+5≥a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣∞，﹣25，+∞）C．（﹣∞，﹣14，+∞）D．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：将问题转化为a2﹣3a≤4，解出即可．解答：解：令f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4，∴f（x）最小值=4，若不等式x2﹣2x+5≥a2﹣3a对任意实数x恒成立，只需a2﹣3a≤4，解得：﹣1≤a≤4，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了转化思想，是一道基础题．7．（3分）已知x＞0，y＞0且x+y=1则的最小值为（）A．6B．12 C．25 D．36考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：转化思想；不等式的解法及应用．分析：将转化成（）（x+y），然后化简整理后利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件．解答：解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）（x+y）=4+9++≥13+2=25，当且仅当=，x+y=1即x=，y=时取等号，∴的最小值为25．故选C．点评：本题考查基本不等式，着重考查整体代换的思想，易错点在于应用基本不等式时需注意“一正二定三等”三个条件缺一不可，属于基础题．8．（3分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．9．（3分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=cosA+cosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不能确定考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：把余弦定理代入已知条件，化简可得2abc=c（c2﹣a2﹣b2+2ab），故有c2=a2+b2，由此即可判断△ABC的形状．解答：解：已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=cosA+cosB，且由余弦定理可得cosA=，cosB=，∴=+=，化简可得2abc=c（c2﹣a2﹣b2+2ab），∴c2=a2+b2，故三角形为直角三角形，故选B．点评：本题主要考查余弦定理的应用，判断三角形的形状，式子的变形，是解题的关键，属于中档题．10．（3分）已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N+（m，n∈N+）且对任意m，n∈N+都有①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=3f（m，1），则f（4，5）的值为（）A．33 B．35 C．87 D．89考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，连续应用f（m，n+1）=f（m，n）+2，f（m+1，1）=3f（m，1），从而求解．解答：解：由题意可知，f（4，5）=f（4，4）+2=f（4，3）+2+2=f（4，2）+2+2+2=f（4，1）+2+2+2+2=f（4，1）+8=3f（3，1）+8=9f（2，1）+8=27f（1，1）+8=27+8=35．故选B．点评：本题考查了学生对新定义的接受与转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题4小题，每小题2分，共16分．把答案填在答题卡相应位置11．（2分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．12．（2分）在△ABC中，若sinA=，∠C=150°，BC=1，则AB=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由C的度数求出sinC的值，再有sinA及BC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．解答：解：∵sinA=，∠C=150°，BC=1，∴由正弦定理=得：AB===．故答案为：点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（2分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是5．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z 最大．联立，解得B（2，3）．∴z max=2+3=5．故答案为：5．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，若5＜a k＜8，则k=8．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．S10=（16+14+10×2）×10=250（万元），在B公司连续工作10年，则其工资总收入为：S′10==252（万元），∵S′10＞S10，故仅从工资收入总量来看，该人应该选择B公司．点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及等差与等比数列的运用，属于中档题．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c（1+cosA）=（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，利用两角和与差的正弦函数公式变形，求出A的度数即可；（2）由a，以及cosA的值，利用余弦定理列出关系式得到b2+c2﹣bc=4，再利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积及sinA代入求出bc=4，两式联立求出b+c的值，由a+b+c即可求出三角形ABC周长．解答：解：（1）由已知及正弦定理得sinC（1+cosA）=sinAsinC，∵sinC≠0，∴1+cosA=sinA，即sinA﹣cosA=2（sinA﹣cosA）=2sin（A﹣）=1，∴A﹣=或A﹣=（舍去），∴A=；（2）∵a=2，cosA=cos=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣bc=4，①∵△ABC的面积为，即bcsinA=bc=，∴bc=4，②联立①②得：（b+c）2=4+3bc=16，∴b+c=4，则△ABC周长为a+b+c=2+4=6．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（12分）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米（1）当BC长度为2米时，AC为多少米？（2）为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求BC长度为多少米时，AC长度最短，最短为多少米？考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：（1）BC的长度为2米，AC的长度为x米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x的值即可．（2）设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．．解答：解：（1）由题意BC=2，设AC=x，则AB=x﹣0.5，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB即（x﹣0.5）2=x2+22﹣2×2×x×，解得x=．当BC长度为2米时，AC为米．（2）设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣∵x＞1，∴2﹣1＞0因此y=，y=+2≥+2当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．答：AC最短为2+米，BC长度为1+．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题．考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力．22．（14分）已知数列{a n}的首项，．（1）求证：数列为等比数列；（2）记，若S n＜100，求最大的正整数n．（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a m﹣1，a s﹣1，a n﹣1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．考点：等比关系的确定；数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据a n+1和a n关系式进行化简，（2）先由（1）得出数列{}的通项公式，然后根据分组方法求出S n，解不等式S n＜100即可；（3）假设存在正整数m，s，n，根据等比数列性质得出（a m﹣1）•（a n﹣1）=（a s﹣1）2并化简，再根据a+b≥2，确定是否存在．解答：解：（1）∵，∴，（2分）∵，∴，（3分）∴，∴数列为等比数列．（4分）（2）由（1）可求得，∴．（5分）=，（7分）若S n＜100，则，∴n max=99．（9分）（3）假设存在，则m+n=2s，（a m﹣1）•（a n﹣1）=（a s﹣1）2，（10分）∵，∴．（12分）化简得：3m+3n=2•3s，（13分）∵，当且仅当m=n时等号成立．（15分）又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）点评：本题考查了等比数列的性质、前n项和的求法以及不等式的解法，综合性很强，本题要注意a+b≥2运用，本题有一定难度．。

2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0 D．对任意的x∈R，x2+1≤02．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3}B．{1，2，4}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4} 3．（5分）设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3 B．2 C．D．15．（5分）等比数列{a n}中，a3=1，q＞0，满足2a n+2﹣a n+1=6a n，则S5的值为（）A．31 B．121 C．D．6．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．97．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．08．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]11．（5分）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，n∈N*．下列命题中真命题是（）A．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等差数列B．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等比数列C．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等差数列D．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等比数列12．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）在极坐标系中，已知圆C经过点P（），圆心为直线ρsin（）=﹣与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是．15．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．16．（5分）给出下列四个命题中：①命题：；②函数f（x）=2x﹣x2有三个零点；③对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．④已知函数，若△ABC中，角C是钝角，那么f（sinA）＞f（cosB）其中所有真命题的序号是．三.解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S9=99．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若数列{}的前n项和T n，试求T n并证明不等式T n＜1成立．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值．19．（12分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知椭圆E的方程：，P为椭圆上的一点（点P在第三象限上），圆P 以点P为圆心，且过椭圆的左顶点M与点C（﹣2，0），直线MP 交圆P与另一点N．（Ⅰ）求圆P的标准方程；（Ⅱ）若点A在椭圆E上，求使得取得最小值的点A的坐标；（Ⅲ）若过椭圆的右顶点的直线l上存在点Q，使∠MQN为钝角，求直线l斜率的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中实数a≠0．（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0 D．对任意的x∈R，x2+1≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是：存在x∈R，x2+1≤0．故选：C．2．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3}B．{1，2，4}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4}【解答】解：∵A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，∴a2=1，解得：a=1或a=﹣1，当a=1时，1﹣a=1﹣1=0，不合题意，舍去；当a=﹣1时，1﹣a=1﹣（﹣1）=2，此时b=1，∴A={3，1}，集合B={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，3}．故选：C．3．（5分）设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：，因此．a﹣b=1．故选：C．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3 B．2 C．D．1【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，则由圆的性质可得，，即．故选：B．5．（5分）等比数列{a n}中，a3=1，q＞0，满足2a n+2﹣a n+1=6a n，则S5的值为（）A．31 B．121 C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3=1，q＞0，∴a1q2=1，∵2a n+2﹣a n+1=6a n，令n=1∴2a3﹣a2=6a1，可得2q2﹣q﹣6=0，解得q=2，q=﹣（舍去），∵a1q2=1，∴a1=，∴a n=×2n﹣1=2n﹣3，∴S5==，故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选：C．7．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．0【解答】解：由题意x∈，得2x∈[﹣，]，∴∈[，1]∴函数在区间的最小值为．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C．9．（5分）“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：令f（x）=x2+x+a，∵一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根，∴f（0）＜0，∴a＜0，根据充分必要条件的定义可判断：“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的充分而不必要条件，故选：A．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log 2a）=f（log2a），则f（log 2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．11．（5分）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，n∈N*．下列命题中真命题是（）A．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等差数列B．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等比数列C．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等差数列D．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等比数列【解答】解：由可得，na n=（n+1）a n，即，于是，+1则a n=•••…•a1=••…•a1=na1，数列{a n}为等差数列，故A正确，B错误；=0，分析可得，若⊥，则有na n+（n+1）a n+1则a n=•••…•a1，分析易得此时数列{a n}既不是等差数列，也不是等比数列，C、D均错误；故选：A．12．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域为[﹣3，0）∪（0，2）．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则﹣3≤x＜0或0＜x＜2，即函数的定义域为[﹣3，0）∪（0，2），故答案为：[﹣3，0）∪（0，2）．14．（5分）在极坐标系中，已知圆C经过点P（），圆心为直线ρsin（）=﹣与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ．【解答】解：点P（）的直角坐标为（1，1），直线ρsin（）=﹣的直角坐标方程为y﹣x=﹣，即x﹣y﹣=0，此直线和极轴的交点为（1，0），即所求圆的圆心C，故半径为CP=1，故所求的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，化为极坐标方程为ρ=2cosθ，故答案为：ρ=2cosθ．15．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．【解答】解：∵，．∴===+﹣==1，化为，∵，∴．故答案为．16．（5分）给出下列四个命题中：①命题：；②函数f（x）=2x﹣x2有三个零点；③对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．④已知函数，若△ABC中，角C是钝角，那么f（sinA）＞f（cosB）其中所有真命题的序号是①②③④．【解答】解：，故①对；画出函数y=2x，y=x2的图象如下图，可知②对；圆x2+y2=4的圆心（0，0）到4x+3y﹣10=0的距离d==2，故∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，均有x2+y2≥4，故③正确，因为，故，所以1＞cosB＞sinA＞0，又因为f（x）在（0，1）上单调递减．故f（sinA）＞f（cosB），即④正确；故真命题的序号有：①②③④，故答案为：①②③④．三.解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S9=99．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若数列{}的前n项和T n，试求T n并证明不等式T n＜1成立．【解答】（1）解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵a2=5，S9=99，∴，得a5=11，∴3d=a5﹣a2=6，∴d=2，a1=3，∴a n=2n+1，．（Ⅱ）证明：，∴=，∴T n＜1．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=．（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===．19．（12分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，当x＞0时，，有条件可得，，即22x﹣2×2x﹣1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．（Ⅱ）当t∈[1，2]时，，即m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．∵t∈[1，2]，∴﹣（1+22t）∈[﹣17，﹣5]，故m的取值范围是[﹣5，+∞）．20．（12分）已知椭圆E的方程：，P为椭圆上的一点（点P在第三象限上），圆P 以点P为圆心，且过椭圆的左顶点M与点C（﹣2，0），直线MP 交圆P与另一点N．（Ⅰ）求圆P的标准方程；（Ⅱ）若点A在椭圆E上，求使得取得最小值的点A的坐标；（Ⅲ）若过椭圆的右顶点的直线l上存在点Q，使∠MQN为钝角，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）椭圆E的方程：，得M（﹣10，0），C（﹣2，0）…（1分）设点P（m，n），则有，又：，∴n=﹣4，即P（﹣6，﹣4），…（2分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以圆P的标准方程为（x+6）2+（y+4）2=32﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵P为MN的中点，可得N（﹣2，﹣8）设A（x，y），∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴，得x=﹣6，y=﹣4时，∴最小﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）经检验，点A在椭圆上∴A（﹣6，﹣4）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（III）设直线l：y=k（x﹣10），即直线与圆相交﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以圆心P到直线l的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）得得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中实数a≠0．（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，又a＞0，∴当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣a）和内是增函数，在内是减函数．（Ⅱ）由题意知x3+ax2﹣a2x+1=ax2﹣2x+1，即x[x2﹣（a2﹣2）]=0恰有一根（含重根）．∴a2﹣2≤0，即≤a≤，又a≠0，∴．当a＞0时，g（x）才存在最小值，∴．g（x）=a（x﹣）2+1﹣，∴．h（a）≤1﹣；∴h（a）的值域为．（Ⅲ）当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a）和内是增函数，g（x）在内是增函数．由题意得，解得a≥1；当a＜0时，f（x）在和（﹣a，+∞）内是增函数，g（x）在内是增函数．由题意得，解得a≤﹣3；综上可知，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。

厦门市2015—2016学年度第二学期高二年级质量检测数学（文科）参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．3455i +； 14．[2,)+∞ ； 15．12； 16．①④． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，或演算步骤）．17．本题主要考查导数的几何意义，导数与极值的关系，考查运算求解能力和数学应用意识，考查化归与转化思想．满分10分. 【解析】函数)(x f 定义域R ，)1)(3(3963)(2+-=--='x x x x x f .............................. 2分 （Ⅰ）9)(0-='=x f k ，00=∴x 或20=x ， 当00=x ，3)(0-=x f ，3-=∴b当20=x ，25)(0-=x f ，7-=∴b ........................................................................ 5分 （Ⅱ）令0)(='x f 得11-=x ，32=x当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：9分 ∴)(x f 极大值为(1)2f -=，)(x f 极小值为(3)30f =- ......................................... 10分 18．本题主要考查线性回归分析方程的求法，2R 的求法及其统计意义．考查数据处理能力和数学应用意识．本题满分12分． 【解析】（Ⅰ）∵5x =，15y =，41320i ii x y==∑，421110i i x ==∑， .................................... 1分∴4142214320300ˆ21101004i ii ii x y x ybxx ==--===--∑∑，ˆˆ15255a y bx =-=-⨯= ..................... 5分 ∴所求的回归直线方程是25y x =+． ...................................................................... 6分 （Ⅱ）∵421ˆ()=14iii y y=-∑，421()=54i i y y =-∑ ................................................................ 8分∴4221421ˆ()141110.260.7454()iii i i y yR y y ==-=-=-≈-=-∑∑ ........................................... 11分说明销售件数的差异有74%是由关注人数引起的............................................ 12分 19．本题考查椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．考查数形结合思想．本题满分12分． 【解析】(Ⅰ)椭圆中心到l 的距离为c a bc c b bc24122⨯==+，即b a 2= .......................... 3分 点)23,1(代入椭圆方程得⎩⎨⎧==12b a ，即椭圆方程为1422=+y x . ................... 5分 (Ⅱ) 法一：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y 则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ .......................... 6分 221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+即0121200104y y y x x x --⋅=--- ...................... 10分 因为114MN OP k k ⋅=-≠-，所以直线MN 与直线OP 不垂直． .......................... 12分法二：设直线方程y kx b =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y2214x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(14)8440k x kbx b +++-= ................................................... 7分 ∴122814kb x x k -+=+，212122282()221414k b by y k x x b b k k -+=++=+=++ ......... 9分 0120120104OP y y y k x x x k-+===--+ ................................................................................ 10分因为114MN OP k k ⋅=-≠-，所以直线MN 与直线OP 不垂直． .......................... 12分20. 本题主要考查解二次不等式、利用导数求最值，考查学生数学建模能力，信息处理能力和运算求解能力，考查化归转化思想、数形结合思想、函数方程思想和分类讨论思想．本题满分12分． 【解析】由题意可知，当x ＝2时，(2)f ＝5.2，所以2190.722 5.242a -⨯+⨯=，解得：4a =-， 所以222(2ln 2),02;()194ln ,215.42x x x f x x x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--+≤≤⎪⎩…………………………………………………3分 （Ⅰ）当215x ≤≤时，219()4ln 42f x x x x =--+，24998(1)(8)'()2222x x x x x f x x x x--+----=-+==； 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表................................................................................................................................... 6分当215x ≤≤时，2max 19()(8)4ln 88811.642f x f ==--⨯+⨯=． 当02x <<时，2()22(2ln 2)2 5.2f x <⨯-⨯=所以该小微企业投入8万元，净利润最大． ........................................................ 8分 （Ⅱ）当02x <<时，22(2ln 2)0x x -<，解得0ln 2x <<，该企业亏本；...... 10分 当215x ≤≤时，(2) 5.2f =，219(15)4ln1515150.45042f =--⨯+⨯=>， 所以min ()(15)0.450f x f ==>，所以当0ln 2x <<即00.7x <<时，该企业会亏本． .................................... 11分答：（Ⅰ）该小微企业投入8万元，净利润最大；（Ⅱ）当00.7x <<时，该企业会亏本． ........................................................... 12分 21．本题考查抛物线的定义及性质等基础知识，考查化归转化思想、数形结合思想及整体代入等思想．本题满分12分． 【解析】(Ⅰ)点8(,4)P p，88222p PF PQ p p =+==⨯所以4=p ，即抛物线x y 82= ............................................................................ 4分（Ⅱ）显然直线斜率存在且不为0，设直线AB 方程为)2(-=x k y ，则直线CD 方程为)2(1--=x ky ，设11(,)A x y ，22(,)B x y法一：⎩⎨⎧-==)2(82x k y x y ，01682=--k y ky 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+1682121y y k y y ， .............................. 6分12218(1)AB y k =-=+同理)1(82k CD += ................................. 9分 128232)1(32)11)(1(32212222=⨯≥+=++=⋅=k k k k CD AB S ............ 11分当k k=1即1±=k 时等号成立 当1±=k 时四边形面积有最小值128 .................................................................. 12分法二：⎩⎨⎧-==)2(82x k y x y ，04)84(2222=++-k x k x k 所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+484212221x x k k x x .......... 6分21228(1)4k AB x x k+=++=同理)1(82k CD += ........................................... 9分 222221(1)13232()3221282k S AB CD k k k +=⋅==+≥⨯= ....................... 11分 当k k=1即1±=k 时等号成立 当1±=k 时四边形面积有最小值128 .................................................................. 12分法三：设直线AB 方程为2x my =+，显然0m ≠，则直线CD 方程为12x y m=-+设11(,)A x y ，22(,)B x y282y x x my ⎧=⎨=+⎩，28160y my --=所以1212816y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ....................................... 6分 212124()88(1)AB x x m y y m =++=++=+同理218(1)CD m=+ ............ 9分222211132(1)(1)32()3221282S AB CD m m m m =⋅=++=+≥⨯= ......... 11分当1m m=即1m =±时等号成立 , 当1m =±时四边形面积有最小值128 ................................................................. 12分22．本题主要考查导数与单调性，导数与最值的关系，考查运算求解能力，化归与转化思想，数学应用意识．本题满分12分． 【解析】（Ⅰ）由题意得，2()[(2)2](2)()x x f x x a x a e x x a e '=-+--=-+-............... 2分 当0a >时，由()0f x '≥⇒2x a -≤≤，∴()f x 的单调递增区间是[2,]a -()f x 的单调递减区间是(,2]-∞-和[,)a +∞ ....................................................... 3分当1a ≥时，()f x 在[0,1]上单调递增，∴max ()(1)(21)f x f a e ==-=⇒112a =+<，不符合题意，舍去 当01a ≤<时，()f x 在[0,]a 上单调递增，在[,1)a 上单调递减，∴max ()()a f x f a ae ===⇒12a =，符合题意；综上所述，存在12a =，使得当[0,1]x ∈时，函数()f x； ..... 6分 （Ⅱ）当(0,1]x ∈时，要证322x x x -->，即证211ln ())222x x x x e x-++<- .................................................................. 8分 设211()()22x g x x x e =-++，由（Ⅰ）可得max 1()()22g x g == ................. 9分设ln ())xh x x=-，2ln 1()()x h x x '-= ()h x 在(0,1]上单调递减，min ()(1)h x h == ................................................... 11分∴211ln ())22x x x x e x-++<-即322x x x -->................. 12分。

2015-2016第二学期厦门双十中学年期中考试卷 数 学 （试卷总分：150 分 答卷时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题0只有一个选项正确） 1. 化简8的结果是--------------------------------------------------------------------------------------（ ） A. 2 B. 4 C. 22 D.±22 2. 在 Rt △ABC 中，∠C=90°，设BC=a 、CA=b 、AB=c 以下式子成立的是---------------（ ） A. 2 B. 4 C. 22 D.±22 3. 若式子1-x 有意义，则 x 的取值范围为------------------------------------------------------（ ）A. x ＞1 B. x ＜1 C.x≥1 D.x≤1 4. 下列计算正确的是-------------------------------------------------------------------------------------（ ）A.3+3=6 B.3 -3 =0 C.3·3=9 D.2)3(-= - 3 5. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是--------------------------------------------------（ ） A. 1、1、2 B. 2、3、4, C. 4、 5、6 D. 6、8、11 6. 如图，在 Rt △OAB 中，OA=2，AB=1，OA 在数轴上，点 O 与原点重合，以原点为圆心，线段 OB 长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是-----------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A.2 B.5 C. 3 D. 25 7. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是----------------------------------------------------（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 8. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠ABC=60°，E 为 AD 中点，P 为对角线 BD 上一动点，连接 PA 和 PE ，则 PA+PE 的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C.3 D. 23 9. 一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为 100 米，小君先走了一段路程，爸爸才开始出发，下图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程 S （米）与登山所用的时间 t （分）的关系（从爸爸开始登山时计时），则下列说法错误的是------------------------（ ） A. 爸爸登山时，小军已走了50米 B. 爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面C. 小军比爸爸晚到山顶D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快……………密……………封……………线……………内……………不……………准……………答……………考室N O ._____ 考号N O .______班级______姓名__________ 座号_____ ①考生要写清姓名、班级及座号 ②答题时，字迹要清楚，卷面要整 ③考生不准作弊，否则作零分处理注意事项10. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 中点，点E、F 分别在AC、BC 边上运动（点E 不与点A、C 重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，有以下结：①△DEF 是等腰三角形；②四边形CEDF 不可能是正方形；③四边形CEDF 的面积随点E位置改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为2；⑤AE2+BF2=EF2；⑥EF=2DF．其中结论正确的是---------------------------------------------------（）A. 3个B. 4个C. 5个D.6 个二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共24 分）11.6÷2=；12.三个正方形的面积如图所示，则正方形A 的面积为：；13. 汽车行驶前，油箱中有油55 升，已知每千米汽车耗油0.1 升，油箱中的余油量Q（升）与它行驶的距离s（千米）之间的函数关系式为.14. 如图，☑ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3，则□ABCD 的面积= .15. 根据图中的数据及规律，可以求出AB8 = 。

双十中学2015-2016学年半期考试高二文科数学试卷 注意事项： 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，考试范围为：，试卷结构与高考一致本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 答题前，考生先将自己的班级、姓名、座号、考场、考场座位号等信息填写在答题卷指定位置. 考生作答时，将答案写在答题卷上. 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 在草稿纸、试题卷上答题无效. 严禁携带计算器、电子存储器、手机等违反数学考试纪律的一切设备进入考场. 第卷（选择题共0分） ．，且，则下列不等式一定成立的是 ( ) B． C．D． 2．不等式|x2－2|＜2的解集是( )A．(－2,0)(0,2) B．(－1,0)(0,1) C．(－2,2)D．(－1,1) ．△ABC中，分别是角的对边,，则 ( ) B． C． D． 4．b且a + b=1，四个数、b、2ab、中最大的是 ( ) B．b C．2ab D． 5．满足，则 ( )x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（▲）． A．10 B．11 C．12 D．13 7．设若的最小值为 ( ) B．1 C．4 D．8 8．设数列的前项和为,且,则 B．C． D． 9．关于x的方程有解，则实数的取值范围是 ( ) B． C．D． 10．满足，，若，则 ( ) B． C． D． 11．已知xR＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(nN*)，则a的值为( ) A．2n B．nn C．n2D．2n＋1 所表示的平面区域为，记内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为，若对于任意的正整数恒成立，则实数的取值范围是 ( ) B． C．D． 第卷（非选择题共0分） 设等差数列的前项和为,若,则、、分别是的三个内角、、所对的边，若，且，则的形状是_ ▲ . 15．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应点如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6－4 0 6 则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，其解集中整数解恰好有3个，则实数a的取值范围是_ ▲ . 三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. （本小题满分1分）是方程的一个根， （1）求； （2）当时，求△ABC周长的最小值. 18．（本小题满分1分），且不等式的解集为； （1）求函数的解析式； （2）c为何值时，关于的不等式无解. 19．（本小题满分1分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．20．（本小题满分12分） 某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。