2018-2019数学苏教版选修2-1作业：第3章3.1.1 空间向量及其线性运算

3．1空间向量及其运算_3．1.1　空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]空间向量的概念春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.空间向量的线性运算问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝OA ＋AB＝a ＋b ，BA ＝OA －OB ＝a －b ，OB OC＝λa (λ∈R )．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；(3)分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ).共线向量及共线向量定理空间中有向量a ，b ，c (均为非零向量)．问题1：向量a 与b 共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a ＝λb .问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a 与b 平行，记作a ∥b .规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49]空间向量及有关概念 [例1]　下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨]　根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析]　对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案]　(1)(2)(3)(4)[一点通]　1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

2018-2019数学苏教版选修2-1作业：第3章3.1.1 空间向量及其线性运算(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD→＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →)＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB→＝0. 答案：03.已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则下列命题中正确的共有________个．①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量；④OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量．解析：如图，对于①，OA →＋OD →＝C ′O →＋B ′O →＝－(OB′→＋OC ′→)，故①正确； 对于②，OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，因CB→＝DA →，故②不正确； 对于③，OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →，因AA ′→＝－C ′C →，故③正确；对于④，OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝C ′O →＋D ′O →＋A ′O →＋B ′O →＝－(OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→)，故④正确． 答案：34.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →为相反向量的是________．(填序号) ①－12a ＋12b ＋c ；②12a ＋12b ＋c ； ③12a －12b －c ； ④－12a －12b ＋c .解析：因为B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c ，所以与B 1M →为相反向量的是12a －12b －c .答案：③5.四面体O －ABC 中，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE→＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：如图所示： 由三角形法则，得 AB→＝OB →－OA →＝b －a ， BC→＝OC →－OB →＝c －b ， 所以BD →＝12BC →＝12(c －b )， AD →＝AB →＋BD →＝12b ＋12c －a ， 故AE →＝12AD →＝14b ＋14c －12a ， 所以OE →＝OA →＋AE →＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c6.已知点G 是正方形ABCD 的中心，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，则PA →＋PB →＋PC →＋PD→等于________． 解析：PA →＋PC →＝2PG →，PB →＋PD →＝2PG →，所以PA→＋PB →＋PC →＋PD →＝4PG →. 答案：4PG→7.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB→＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则向量D 1B →可用a ，b ，c 表示为__________．解析：如图，D 1B →＝－BD 1→＝－(BA →＋BC →＋BB1→)＝AB →－BC →－BB 1→＝AB →－AD →－AA 1→＝a －b －c .答案：a －b －c 8.如图，四棱柱的上底面ABCD 中，AB→＝DC →，下列向量相等的一组是__________(填序号)．①AD →与CB →；②OA →与DC →；③AC →与DB →；④DO →与OB→. 解析：∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，且AB ∥DC .即四边形ABCD 为平行四边形，由平行四边形的性质知DO→＝OB →. 答案：④ 9.如图，在空间四边形A －BCD 中，点M 、G 分别是BC 、CD 的中点．化简：(1)AB →＋12(BC →＋BD →)； (2)AG →－12(AB →＋AC →)．解：(1)原式＝AB→＋BM →＋MG →＝AG →； (2)原式＝AB →＋BM →＋MG →－12(AB →＋AC →) ＝BM →＋MG →＋12(AB →－AC →)＝BM →＋MG →＋MB →＝MG→. 10.已知四面体ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E 、F 、H 分别为边CD 、AD 和BC 的中点，化简下列各式：(1)AG →＋13BE →＋12CA →；(2)12(AB →＋AC →－AD →)． 解：(1)如图所示，由G 是△BCD 的重心知，GE →＝13BE →.又E 、F 为中点， ∴EF 12AC ，12CA →＝EF →.∴AG →＋13BE →＋12CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AF →. (2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知12(AB →＋AC →)＝AH →，12AD →＝AF →， ∴12(AB →＋AC →－AD →)＝AH →－AF →＝FH →.[能力提升]1.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1，若EF →＝x AB →＋y AD →＋z AA 1→，则x ＋y ＋z ＝__________．解析：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 有AA1→＝BB 1→＝CC 1→， 于是EF →＝AF →－AE →＝(AD →＋DF →)－(AB →＋BE→) ＝－AB →＋AD →＋23DD 1→－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→， 又EF→＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→， ∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13.答案：132.已知空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB 与AD 边上的点，M ，N 分别是BC 与CD 边上的点，若AE →＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD→，则向量EF →与MN →的关系为________．解析：AE →－AF →＝λAB →－λAD →＝λDB →，即FE→＝λDB →，同理NM →＝μDB →，因为μDB →∥λDB →，所以FE →∥NM→，即EF →∥MN →.又λ与μ不一定相等，故|MN →|不一定等于|EF→|，所以EF →∥MN →. 答案：EF→∥MN → 3.已知：a ＝3m －2n －4p ≠0，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2yp ，且m ，n ，p 不共面，若a ∥b ，求x ，y 的值．解：∵a ∥b ，且a ≠0，∴b ＝λa ， ∴(x ＋1)m ＋8n ＋2yp ＝3λm －2λn －4λp . 又∵m ，n ，p 不共面，∴x ＋13＝8－2＝2y－4，∴x ＝－13，y ＝8.4.(创新题)已知六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简12AA ′→＋BC →＋23AB →，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，BN →＝34BC ′→.设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α、β、γ的值．第 11 页 解：(1)如图，取AA ′的中点为E ，则12AA ′→＝EA ′→，又BC →＝A ′D ′→，AB →＝D ′C ′→，取F 为D ′C ′的一个三等分点使D ′F →＝23D ′C ′→，则D ′F →＝23AB →，所以12AA ′→＋BC →＋23AB →＝EA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝EF →(说明：表示法不惟一)．(2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→，所以α＝12，β＝14，γ＝34.。

第3章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其线性运算双基达标 (限时20分钟)1.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，且向量BM →＝x a ＋y b＋z c ，则8xyz ＝________.解析 显然BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c ， 即x ＝－12，y ＝12，z ＝1，所以8xyz ＝－2. 答案 －22．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)化简的结果是________．解析 如图所示，因12(BD →＋BC →)＝BM →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BM →＝AM →. 答案 AM →3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________．解析 如图所示，因DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.答案 BD 1→4．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则下列叙述正确的是________．①AB →＝AC →＋BC →②AB →＝－AC →－BC →③AC →与BC →同向④AC →与CB →同向解析 由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．答案 ④5．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)解析 EF →＝AB →＋CD →2＝a －2c ＋5a ＋6b －8c 2＝3a ＋3b －5c. 答案 3a ＋3b －4c6．已知平面四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，运用向量法证明EF ∥AB .解 因为EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝kAB →，所以向量EF →与AB →是共线向量，且所在直线了 不重合，所以EF ∥AB .综合提高（限时25分钟）7.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a ，b ，c 表示向量MN →＝________.解析 MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c . 答案 －23a ＋12b ＋12c8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是________(填序号)．①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →＋DD 1→－2DD 1→＝BD 1→－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式运算的结果不为向量BD 1→.故填①②。

3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量基本定理思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直． 梳理 空间向量基本定理 (1)定理内容：①条件：三个向量e 1，e 2，e 3不共面．②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. (2)基底：(3)推论：①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.知识点二 空间向量的坐标表示思考 若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？答案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理 (1)空间向量的坐标表示：①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )．②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA →＝(x ，y ，z )． (2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，①坐标表示：AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(4)空间向量平行的坐标表示：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB →的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)类型一 空间向量基本定理及应用 命题角度1 空间基底的概念例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－67e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．解 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ， 使OA →＝xOB →＋yOC →成立． 所以OA →＝e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y ⎝⎛⎭⎫e 1＋e 2－67e 3 ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋⎝⎛⎭⎫2x －67y e 3. 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －67y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝74.故OA →，OB →，OC →共面，不可以构成空间的一个基底． 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1以下四个命题中正确的是________．(填序号)①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案②③解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．命题角度2 空间向量基本定理的应用例2 如图，在空间四边形OABC 中，点D 是边BC 的中点，点G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.解 因为OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)，又点D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH →＝OH →－OG →，又因为OH →＝23OD →＝23·12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .引申探究若将本例中的“G 是△ABC 的重心”改为“G 是AD 的中点”，其他条件不变，应如何表示OG →，GH →？解 OG →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )． 所以GH →＝OH →－OG → ＝13(b ＋c )－⎝⎛⎭⎫12a ＋14b ＋14c ＝－12a ＋112b ＋112c .反思与感悟 用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键．跟踪训练2 如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解 连结AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′—→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′—→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′—→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′—→＋AD ′—→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→)]＝12a ＋b ＋c .(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA ′—→＝AC →＋45(AA ′—→－AC →)＝15AC →＋45AA ′—→＝15(AB →＋AD →)＋45AA ′—→＝15a＋15b ＋45c . 类型二 空间向量的坐标表示例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′—→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′—→＝AD →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0， AF →＝AA ′—→＋A ′D ′—→＋D ′F —→＝12AB →＋AD →＋AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′—→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝12AB →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝AB →－12AD →－12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0. 引申探究本例中，若以{DA →，DC →，DD ′—→}为基底，试写出AE →，AG →，EF →的坐标．解 AE →＝AD →＋DE →＝－DA →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12， AG →＝AB →＋BG →＝DC →－12DA →＝－12DA →＋DC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0， EF →＝12DC →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN →的坐标．解 ∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB →，AD →，AP →是两两垂直的单位向量．设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz . ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AC →)＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AB →＋AD →)＝12AP →＋12AD →＝12e 2＋12e 3，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.类型三 空间向量的坐标运算及应用例4 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)． (1)求AB →＋AC →，AB →－AC →；(2)是否存在实数x ，y ，使得AC →＝xAB →＋yBC →成立，若存在，求x ，y 的值；若不存在，请说明理由．解 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)AB →＋AC →＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)． AB →－AC →＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)． (2)假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知可得 BC →＝(－2，－1,2)．由题意得 (－1,0,2)＝x (1,1,0)＋y (－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x －2y ，x －y,2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x －2y ，0＝x －y ，2＝2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以存在实数x ＝1，y ＝1使得结论成立．反思与感悟 1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． 2．进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质．跟踪训练4 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明 ∵AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴－24＝3－6＝－36， ∴AB →与CD →共线，即AB ∥CD ，又∵AD →＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， BC →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， ∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD →与BC →不平行． ∴四边形ABCD 为梯形．1．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________． 答案 (12,14,10)解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)． 2．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 答案 (2，－4,2)解析 依题意，得b ＝a －(－1,2，－1) ＝a ＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．3．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b ＝________. 答案 (8,0,4)解析 4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．4.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1—→的坐标为________，AC 1—→的坐标为________．答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系知，A (0,0,0)，C 1(2，2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1—→的坐标为(2,2,1)．5．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .1．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．一、填空题1．有下列三个命题：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．其中为真命题的是________．(填序号)答案 ①②解析 ①正确．作为基底的向量必须不共面；②正确；③不正确．a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．2．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 答案 (5,13，－3)解析 由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即D 点坐标为(5,13，－3)．3.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB →的坐标为________，DC 1—→的坐标为________，B 1D —→的坐标为________.答案 (1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1)解析 由题图可知，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，所以AB →＝(1,0,0)，DC 1—→＝(1,0,1)，B 1D —→＝(－1,1，－1)．4．已知a ＝(3,5,7)，b ＝(6，x ，y )，若a ∥b ，则xy 的值为________． 答案 140解析 显然x ≠0，y ≠0. 因为a ∥b ，所以36＝5x ＝7y ，即x ＝10，y ＝14，所以xy ＝140.5．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为________． 答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，∴⎩⎨⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.6．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________. 答案 0解析 因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2,6)， 由题意得AB →∥AC →，所以m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，所以m ＋n ＝0.7．已知A (2,3－μ，－1＋v )关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值分别为________． 答案 2,10,7解析 ∵A 与A ′关于x 轴对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3－μ＝－7，－1＋v ＝6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝10，v ＝7.8．已知向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 16 －32解析 ∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线， ∴2x 1＝1－2y ＝39(y ≠0)， ∴x ＝16，y ＝－32.9．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 ⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 解析 设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.10.如图，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则实数组(x ，y ，z )＝________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，0，－1 解析 因为DM →＝OM →－OD →＝12OA →＋0OC →－OD →，所以实数组(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1. 11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 12a －12b ＋c解析 ∵AB →＝－2CD →， ∴OB →－OA →＝－2(OD →－OC →)， ∴b －a ＝－2(OD →－c )， ∴OD →＝12a －12b ＋c .二、解答题12．已知向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解 由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋ (y ＋z )b ＋z c ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1，故p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1)．13．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求分别满足下列条件的P 点坐标：(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．解 AB →＝OB →－OA →＝(2,6，－3)， AC →＝OC →－OA →＝(－4,3,1)． (1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则OP →＝(x ，y ，z )，12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 所以OP →＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝OP →－OA →＝(x －2，y ＋1，z －2)，由(1)知12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，z ＝0，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 三、探究与拓展14．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是________．(填序号) ①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c . 答案 ③④解析 ∵p ＝2a －b ，q ＝a ＋b ， ∴p 与q 共面，a ，b 共面． 而c 与a ，b 不共面，∴c 与p ，q 可以构成另一个基底，同理a ＋c 与p ，q 也可构成一组基底．15．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1—→，AB 1—→，AC 1—→的坐标．解 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示，则A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，A 1⎝⎛⎭⎫32，0，2，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，2，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，2，所以AA 1—→＝(0,0,2)，AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，2.。

.3.1.3　空间向量基本定理[对应学生用书P53]空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m ，再往东600 m 处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m ”、“东600 m ”、“5楼”这三个量确定，设e 1是向南的单位向量，e 2是向东的单位向量，e 3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p 表示出来．提示：p ＝1 000e 1＋600e 2＋14e 3.1．空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.2．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得＝x OA ＋y OB ＋z OCOP .基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e 1，e 2，e 3不共面时，空间任何一向量才可以用e 1，e 2，e 3惟一表示，否则不可能表示．1．基底和基向量如果三个向量e 1、e 2、e 3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e 1、e 2、e 3线性表示，我们把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a，b，c}可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P54]基底的概念[例1]　若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[思路点拨]　判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴Error!此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．[一点通]　空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底{a，b，c}下，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c.证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB ，b ＝1AA，c ＝AD ，则x ＝1AB ，y ＝1AD ，z ＝AC ，a ＋b ＋c ＝1AC.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．解：假设OA 、OB 、OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x 、 y 使OA＝x OB ＋y OC成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面，∴Error!此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA ＝x OB ＋y OC，∴OA ，OB ，OC不共面．故{OA ，OB ，OC}能作为空间的一个基底，设OD ＝p OA ＋q OB ＋z OC，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，∴Error!解得Error!∴OD ＝17OA －5OB －30OC .用基底表示向量[例2] 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH .[思路点拨]　GH ＝OH －OG →用OD 表示OH →用OB、OC 表示OD ，用OA 、AG 表示OG →用AD 表示AG →用OD 、OA表示AD →用OB 、OC 表示OD[精解详析] GH ＝OH －OG ，∵OH ＝OD，23∴OH ＝×(OB ＋OC )＝(b ＋c )，231213OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋AD23＝OA ＋(OD －OA )＝OA ＋×(OB ＋OC )23132312＝a ＋(b ＋c )，1313∴GH ＝(b ＋c )－a －(b ＋c )＝－a ，13131313即GH ＝－a .13[一点通]　用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量．(2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则．3. 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ' ＝x AD ＋y AB＋z AA ' ；(2)AE ＝x AD ＋y AB＋z AA ' .解：(1)∵BD ' ＝BD ＋DD '＝BA ＋BC ＋DD '＝－AB ＋AD＋AA ' ，又BD ' ＝x AD ＋y AB＋z AA ' ，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ＝AA ' ＋A E ' ＝AA ' ＋A C '' 12＝AA ' ＋(A B '' ＋A D '' )12＝AA ' ＋A B '' ＋A D '' 1212＝AD＋AB ＋AA ' 1212又AE ＝x AD ＋y AB＋z AA '∴x ＝，y ＝，z ＝1.12124．如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA ＝a ，OC ＝b ，OP ＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF ，BE ，AE，EF .解：连接BO ，则BF ＝BP ＝(BO ＋OP )＝(c －b －a )＝－a －b ＋c .121212121212BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋CP ＝－a ＋(CO ＋OP )＝－a －b ＋c .12121212AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋(－c ＋b )＝－a ＋b ＋c .12121212EF ＝CB ＝OA ＝a121212.空间向量基本定理的应用[例3]　证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分．[思路点拨]　利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．[精解详析]　如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设点O 是AC 1的中点，则AO ＝1AC 12＝(AB＋BC ＋1CC )12＝(AB＋AD ＋1AA )，12设P ，M ，N 分别是BD 1，CA 1，DB 1的中点，则AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋1BD12＝AB ＋(BA＋AD ＋1DD )12＝AB ＋(－AB ＋AD ＋1AA )＝(AB ＋AD ＋AA1)，1212同理可证：AM ＝(AB ＋AD ＋1AA )，AN ＝(AB ＋AD＋1AA )．1212由此可知，O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．[一点通]　用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤：(1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底；(3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论．5．求证：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ＋1AB＋1AD ＝21AC .证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC ＝AB ＋AD，1AB ＝AB ＋1AA，1AD ＝AD ＋1AA ，∴AC ＋1AB＋1AD ＝(AB ＋AD )＋(AB ＋1AA)＋(1AD ＋1AA )＝2(AB ＋AD＋1AA )，又1AA ＝1CC ，AD ＝BC，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC＋1CC ＝1AC ，∴AC ＋1AB＋1AD ＝21AC .6．如图，M 、N 分别是四面体O ­ABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA 、OB 、OC 表示OP 和OQ.解：OP ＝OM ＋MP ＝OA ＋MN1223＝OA＋(ON －OM )＝OA ＋(ON －OA )1223122312＝OA＋×(OB ＋OC )＝OA ＋OB ＋OC .162312161313OQ ＝OM ＋MQ ＝OA ＋MN1213＝OA＋(ON －OM )＝OA ＋(ON －OA )1213121312＝OA＋×(OB ＋OC )＝OA ＋OB ＋OC .1313121316161．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间任意三个不共面的向量a 、b 、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．3．由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是0.[对应课时跟踪训练(二十)]　1．空间中的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成基底的个数是________．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组．答案：42.如图所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE＝OD＋x OB ＋y OA ，则x ＝________，y ＝________.12解析：∵AE ＝OE －OA＝OC－OA 12＝(OD＋DC )－OA 12＝OD＋AB －OA 1212＝OD＋(OB －OA )－OA 1212＝OD＋OB －OA ，121232∴x ＝，y ＝－.1232答案：　－12323．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC 、OB ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G是MN 的中点，取{OA ，OB ，OC }为基底，则OG＝________.解析： 如图，OG ＝(OM ＋ON)12＝OM＋×(OB ＋OC )121212＝OA＋OB ＋OC 141414＝(OA＋OB ＋OC )．14答案：(OA＋OB ＋OC )144．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ' ＝x AB＋2y BC －3z CC ' ，则x ＋y ＋z ＝________.解析：∵AC ' ＝AB ＋BC ＋CC ' ＝x AB＋2y BC －3z CC ' ，∴x ＝1,2y ＝1，－3z ＝1，即x ＝1，y ＝，z ＝－.1213∴x ＋y ＋z ＝1＋－＝.121376答案：765．设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底．答案：③④⑤6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋β b ＋γc ，求α、β、γ的值．解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d ＝αa ＋β b ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3.又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴Error!解得Error!7.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 和A 1D 的一个三等分点，且＝，＝2，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN .AM MC 12A 1NND解：如图所示，连接AN ，则MN ＝MA ＋AN由ABCD 是平行四边形，可知AC ＝AB ＋AD＝a ＋b ，MA ＝－AC ＝－(a ＋b )．1313ND ＝1A D ＝(b －c )，1313AN ＝AD ＋DN ＝AD －ND ＝b －(b －c )＝(c ＋2b )，1313所以MN ＝MA ＋AN＝－(a ＋b )＋(c ＋2b )1313＝(－a ＋b ＋c )．138．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA ＝a ，OC ＝b ，OO '＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) OB ' 、O B ' 、AC ' ；(2)GH(G 、H 分别是B ′C 和O ′B ′的中点)．解：(1)OB ′＝OB ＋BB ' ＝OA ＋OC ＋OO '＝a ＋b ＋c ，O B ' ＝O O ' ＋OB ＝O O ' ＋OA ＋OC ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c ，AC ' ＝AC ＋CC ′＝AB ＋AO ＋AA '＝OC ＋AA ' －OA＝b ＋c －a .(2)GH ＝GO ＋OH ＝－OG ＋OH＝－(OB′＋OC )＋(OB ' ＋OO ' )1212＝－(a ＋b ＋c ＋b )＋(a ＋b ＋c ＋c )1212＝(c －b )．12。

3．1空间向量及其运算_3．1.1空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算OB＝OA＋AB＝a＋b，BA＝OA－OB＝a－b，OC＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1]下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨]根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析]对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案](1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

3．1空间向量及其运算_3．1.1空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算OB＝OA＋AB＝a＋b，BA＝OA－OB＝a－b，OC＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1]下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨]根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析]对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案](1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。