江苏省无锡市第一中学2010-2011学年高二数学上学期期末考试 理

无锡市第一中学2010-2011 年度第一学期期末考试卷高二数学（理科）一．解答题（本大题共14 小题，每小题 4 分，共 56 分，请将正确答案直接填写在题后的横线上）1．命题“对x R, x3x210 ”的否定是_________________________．2．已知质点运动方程为S t3t 2 （S的单位是 m ， t 的单位是 s ），则该质点在t 2s时刻的瞬时速度为 ______________________ ．3．曲线y2e x在x0 处的切线方程是_____________ _____________．4．直线 l 与圆x2y22x 4 y10 相交于两点 A, B ，弦AB的中点为 (0,1) ，则直线l的方程为 _________________________ ．5．若圆x2y22x 4 y0 的圆心到直线 x y a0的距离为2，则实数 a 的值为2___________________ ．x2y21 焦距为2，则实数m＝ _________________________ ．6．椭圆4m．若双曲线x 2y 21的渐近线与圆 (x3)2y2r2 (r0) 相切，则 r=_________．7638．经过点P(4,2)的抛物线的标准方程是_________________．9．函数y( x2) ln( x2) 的单调递减区间是____________________．10．棱长为 1 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为___________．11．已知m, n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，现给出下列四个命题：①若 m, n //，则 m n ；②若 //, // , m，则 m；③若 m //, n //，则 m // n；④ 若,，则//．其中正确命题的序号为__________________ ．12．已知命题p：14x31，命题 q ：x2(2a1)x a(a1)0 ，若p 是 q 的必要不充分的条件，则实数 a 的取值范围是．13．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 4 的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C、D 的坐标分别是2,0,2, 0，则 PC PD 的最大值为．14．设直线系M : x cos( y2)sin1(0 2 ) ,对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点；②存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上；③对于任意整数n(n3) ，存在正 n 边形，其所有边均在M中的直线上；④ M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的代号是（写出所有真命题的序号）．二．解答题（本大题共 6 小题，共64 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分8 分）设圆 C 上的点 A 2,3关于直线x 2 y0 的对称点仍在圆上，且直线x y10被圆C 截得的弦长为2 2 ，求圆 C 的方程．[来源 :学& 科& 网]16．（本题满分 10 分）已知函数 f (x) ax3bx2cx d 是R上的奇函数，且在x 1时取得极小值2．3 (1)求函数 f x的解析式；(2)对任意 x1 , x2[ 1,1] ，证明： f x1 f x24．3[来源 :学。

无锡市第一中学高二数学练习(文)2012.11.4 班级_________姓名_________1．椭圆22321x y +=的焦点坐标是___________.2．设椭圆2214x y m+=的离心率为12，则m =___________. 3. 椭圆2241x y +=的离心率为___________.4. 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________.5．已知28,3c e ==，则椭圆的标准方程为___________. 6. 中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴的长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆方程为____________.7．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为____________.8. 已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点____________.9．如右图所示，直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为____________. 10.已知圆柱底面的直径为2R ，用一个与底面成30︒角的平面截这个圆柱，则所得椭圆的离心率为____________.11.过椭圆2211312x y +=的右焦点与x 轴垂直的直线与椭圆交于,A B 两点，则AB =_____.12.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1(,0),(,0),(0,)F c A a B b --是两个顶点，如果1F 到直线AB e =____________. 13.①椭圆221167x y +=的左、右焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为____________.②设点M 是椭圆221259x y +=上的一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，N 是MF 1的中点，若MF 1=2，则ON =____________.③已知F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，AB 为过F 1的弦，则△ABF 2的周长为____________.④已知F 1、F 2为椭圆221259x y +=的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB =____________.14.若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距的一半为c ，直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则该椭圆的离心率为____________.15.若直线1(y kx k =+∈R ）与焦点在x 轴上的椭圆22217x y a+=总有公共点，求实数a 的取值范围.。

无锡市第一中学2013—2014学年度第一学期期中试卷高 二 数 学 2014.11命题人：唐从仁 审核人：徐川林一、填空题：（共14小题，每小题5分，共70分）120y -+=的倾斜角等于_______2．若夹在两个平行平面间的线段AB 长为20，且AB 与这两个平面所成的角为60︒，则这两个平行平面间的距离为________3．已知椭圆()22:105x y C m m +=>的一个焦点坐标为()20，，则m =______ 4．已知以点()21-，为圆心的圆C 过点M ()22-，,则圆C 的方程为_____________5．直线x y =被圆10)4()2(22=-+-y x 所截得的弦长为__________6．如果用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的体积是________7．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为____________8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的序号为________. ①若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n; ②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； ③若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β； ④若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β.9．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过第________象限10．有一根长为6，底面半径为0.5的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为_______11．已知圆x 2＋y 2＝9上有且仅有两个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则正实数c的取值范围是_______12．长方体1111ABCD A B C D -中,14,3,2AB BC AA ===,则四面体11A BC D 的体积为13．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ，满足60APB ∠=，则椭圆C 的离心率的取值范围是_________．14．已知点A ()2,0，O 为坐标原点，动点M 满足2MO MA =，则点M 到直线:34120l x y -+=的最大距离为二、解答题：（共6大题，共90分）15．（本题共15分）已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点Q(－1,1)在边AD 所在的直线上. (1)求直线CD 的方程； （2）求矩形ABCD 的外接圆的方程；(3)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交.16．（本题共14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB AB =，B A AC 11⊥，D 为AC 的中点.（1）求证：1B C ∥平面BD A 1；（2）求证：平面11AB C ⊥平面11ABB A .A CB 1A D 1B 1C如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积.18．（本题共15分）a .已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)，0(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(2)若a＝2，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求四边形ABCD面积的最大值和最小值.设圆C 与两圆()64522=++y x ，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切.（1）求圆心C 的轨迹L 的方程； （2）已知点M （553，554），1F （5，0），且P 为L 上的动点．求1PM PF +的最大值．20．（本题共16分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，右焦点F 关于直线20x y -=对称的点在圆224x y +=上. （1）求此椭圆的方程；（2）设M 是椭圆C 上异于长轴端点的任意一点，试问在x 轴上是否存在两个定点,A B ，使得直线,MA MB 的斜率之积为定值？若存在，求出所有符合条件的两个定点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.。

D SG 2G 3G 1FEG无锡市第一中学高二数学限时训练04 2014.10.28班级_______姓名_________学号_______一、填空题：1．若一条直线在平面外，则这条直线与平面的交点个数为________． 2．正方体的棱长为a ，则其外接球的表面积为 ． 3．把半径为3cm ，中心角为32π的扇形卷成一个圆锥形容器，则这个容器的容积为_____． 4．过直线1:3100l x y +-=和直线2:30l x y -=的交点且与原点的距离为1的直线方程为___________________．5．已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则此正三棱锥的体积为________． 6．已知正六棱锥的底面边长为4，高为4，则此正六棱锥的侧面积为________． 7．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为3，一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A ，则质点运动的最短路程为________． 8．设m l ,是不重合的两条直线，βα,是不重合的两个平面，给出下列命题： ① 若βαα⊥,//l ，则β⊥l ； ② 若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则αβ⊥； ③ 若ββαα⊂⊥⊥m l ,,，则m l ⊥； ④ 若βαβ⊥⊥,l ，则α//l 或α⊂l ． 其中正确的命题有__________．9．已知圆台上底面的半径为2，下底面的半径为4，母线长为4，则此圆台的表面积为_____，体积为__________． 10．如图，在正方形123SG G G 中，,E F 分别是1223,G G G G 的中点，D 是EF 的中点，现沿,,SE SF EF 把这个正方形折成一个三棱锥G SEF -．有下列五个结论：①SG ⊥平面EFG ； ②SD ⊥平面EFG ； ③GF ⊥平面SEF ； ④EF ⊥平面GSD ； ⑤GD ⊥平面SEF其中正确的结论有__________．CB 二、解答题：11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5AC BC AA AB ====，点D 是AB 的中点．（1）求证：1//AC 平面1CDB ；（2）求证：11AB BC ⊥；12．如图，ABC ∆是正三角形，,EA CD 垂直于平面ABC ，且22EA AB CD a ===，F 是BE 的中点．（1）求证：//FD 平面ABC ； （2）求证：FD EAB ⊥平面； （3）求此几何体ABCDE 的体积．EDCBA13．如图，三个全等的等边三角形ECD ADE ABE ∆∆∆,,拼成一个等腰梯形ABCD ，//AD BC ．将ABE ∆沿AE 折起，使平面⊥ABE 平面AECD ，连结,BC BD ， 点,F P 分别是,CD BC 的中点．（1）若M 是AE 中点，求证：AE ⊥平面BMD ；（2）求证：平面PEF ⊥平面AECD ；（3）判断DE 是否垂直平面ABC ？并说明理由．。

第一中学2021-2021学年高二数学上学期10月月考试卷理〔含解析〕创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景〔考试时间是是：120分钟满分是：150分〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔此题一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面只有一个是符合题目要求的〕∥平面，，那么直线与的位置关系是( )A. 平行或者异面B. 相交C. 异面D. 平行【答案】A【解析】【分析】利用平面∥平面，可得平面与平面没有公一共点，根据，可得直线，没有公一共点，即可得到结论．【详解】∵平面平面，∴平面与平面没有公一共点∵，，∴直线，没有公一共点∴直线，的位置关系是平行或者异面，应选A.【点睛】此题考察面面、线线、线面的位置关系，考察学生分析解决问题的才能以及空间想象力，属于根底题．和的直线与直线平行，那么实数的值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：两直线平行斜率相等，的斜率为-2，直线的斜率为，解方程得．考点：直线平行．的边长为，是程度放置的一个平面图形的直观图，那么原图的面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的规那么可复原出原来的图形，得原图为一个底为1，高为的平行四边形，求出它的面积即可．【详解】如下图，由斜二测画法的规那么知与轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍长度为，其原来的图形是平行四边形，所以它的面积是，应选C.【点睛】此题考察了斜二测画法的规那么与应用问题，解题时应复原出原来的图形，是根底题．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：〔1〕在图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把它画成对应的轴、轴，使〔或者〕，它确定的平面表示程度平面；〔2〕图形中平行于轴或者轴的线段，在直观图中分别画成平行于或者轴的线段；〔3〕图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半．的倾斜角的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出直线的斜率，分析可得，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算可得答案．【详解】根据题意，直线变形为，其斜率，那么有，由正切函数的性质可得倾斜角的范围为；应选B.【点睛】此题考察直线的倾斜角，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系以及正切函数的性质，属于根底题.5.且关于的方程有两相等实根，那么向量与的夹角是( )A. －B.－C.D.【答案】D【解析】【分析】根据关于的方程有两个相等的实根便可得到，而由,便可得到，从而便可得出与夹角的大小.【详解】方程有两个相等的实根，∴，∵，∴，∴，∴与的夹角为，应选D.【点睛】考察一元二次方程实根的情况和判别式取值的关系，以及向量数量积的计算公式，向量夹角的范围，三角函数值求角．，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为．假设的面积为，那么该圆锥的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用条件求出母线长度，然后求解底面半径为，以及圆锥的高为2，然后求解体积即可.【详解】圆锥的顶点为，母线，互相垂直，的面积为8，可得，解得，与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为，圆锥的高为2，那么该圆锥的体积为，应选A．【点睛】此题考察圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考察转化思想以及计算才能，属于根底题.7.某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图复原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，那么在四棱锥中，直角三角形有：一共三个，应选C.点睛：此题考察三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或者长方体中进展复原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进展棱长、外表积、体积等相关问题的求解.满足约束条件，求的取值范围( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，ω=的几何意义为动点〔x，y〕到点〔﹣1，1〕的斜率，利用数形结合即可得到结论．【详解】由不等式组作出可行域如图，ω=的几何意义为动点P〔x，y〕到点D〔﹣1，1〕的斜率，由图象可知当P位于点C〔4，2〕时，CD的斜率最大，此时ω===，由图象可知当P位于点A〔1，-1〕斜率最小.此时ω===-1，应选：D【点睛】此题主要考察线性规划的根本应用，利用目的函数的几何意义以及斜率公式ω=是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的根本方法．9.把三个半径都是1的球放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与下边的三个都相切，那么第四个球的最高点与桌面的间隔为〔〕A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】先求四个球心连线是正三棱锥的高，而第四个球的最高点与桌面的间隔即为高加上两个半径，从而求出所求．【详解】四个球心连线是正三棱锥．棱长均为2.∴ED=，OD=ED=，∴AO==∴第四个球的最高点与桌面的间隔为OA加上两个半径即+2.应选：C．【点睛】此题主要考察了由4个一样球外切时的球心连线构成一个正四面体，顶点到底面的间隔，同时考察了转化与划归的思想，以及计算才能，属于中档题．10.两个一样的正四棱锥组成如下图的几何体，可放在棱长为1的正方体内，各顶点均在正方体的面上，且正四棱锥的底面与正方体的某一面平行，那么该几何体体积不可能的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】正四棱锥的底面是正方形ABCD，过ABCD的平面与正方体的某一个平面平行的截面也是正方形，当ABCD在截面内转动时，会有无数个正方形，所以几何体有无数个．【详解】如下图：显然两个正四棱锥的高均为，考察放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是：[，1〕，所以该几何体的体积取值范围是：[，]．应选：A．【点睛】正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接图形需要一定的空间想象才能，要学会将空间问题向平面问题转化，考察空间想象才能，此题主要考察学生能否迅速构出一些常见的几何模型，并不是以计算为主．11.如图，在正方体中，假设是线段上的动点，那么以下结论不正确的选项是( )A. 三棱锥的正视图面积是定值B. 异面直线，所成的角可为C. 异面直线，所成的角为D. 直线与平面所成的角可为【答案】D【解析】【分析】判断主视图的底与高是否发生变化来判断，利用几何法以及建立空间坐标系将线线角以及线面角的关系转化为向量的关系来判断，和．【详解】对于，三棱锥的主视图为三角形，底边为的长，高为正方体的高，故棱锥的主视图面积不变，故正确；对于，分别以，，为坐标轴，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，，，，，∴，，∴，当时，方程有解，∴异面直线，所成的角可为，故B正确．对于，连结，，，那么，∵，∴，又∵，于是平面，∵平面，∴，故C正确；对于，结合B中的坐标系，可得面的法向量为，，所以，令，方程无解，即直线与平面所成的角可为是错误的，应选D.【点睛】此题考察了棱锥的三视图，异面直线所成的角，线面角，使用向量法可快速计算空间角的问题，异面直线所的角与两直线的方向向量所成的角相等或者互补，主要通过异面直线角的范围来确定的，直线与平面所成的角满足，属于常规题.中，过其中心作边的平行线，分别交，与，，将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段的中点,那么二面角的平面角的大小是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接A1G，MG，由G为三角形ABC的中心可得B1C1⊥A1G，GM⊥B1C1，故而∠A1GM为二面角A1﹣B1C1﹣M的平面角，在Rt△A1GM中，根据A1G和GM的数量关系得出∠A1GM．【详解】连接A1G，MG，∵G是正三角形ABC的中心，B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1G，GM⊥B1C1，∴∠A1GM为二面角A1﹣B1C1﹣M的平面角，∵G是正三角形ABC的中心，∴A1G=2GM，又A1M⊥平面BB1C1C，∴cos∠A1GM==，∴∠A1GM=．应选：C．【点睛】此题考察了利用二面角的定义来求二面角的平面角是关键，在直角三角形中有数量关系的计算，求出二面角的平面角，属于中档题．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔此题一共4个小题，每一小题5分，一共20分，把正确答案填在题中横线上〕，那么直线在轴上的截距为_________．【答案】【解析】【分析】直线l：3x﹣2y-2=0中，令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．【详解】∵直线l的方程为3x﹣2y-2=0，∴当x=0时，解得y=-1，∴直线l在y轴上的截距是-1．故答案为：﹣1．【点睛】此题考察直线方程的纵截距的求法，是根底题，令x=0，求出的y的值是直线l 在y轴上的截距．中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为_________．【答案】【解析】分析：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系,求出，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：如图，为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，，，，设异面直线与成角为，，故答案为.点睛：此题主要考察异面直线所成的角立体几何解题的“补型法〞，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.15.如下图，是一个正方体的外表展开图，假设把它再折回成正方体后，有以下命题：①点与点重合；②与垂直；③与所成角度是；④与平行．其中正确命题的序号是_________．〔注：把你认为正确的命题的序号都填上〕【答案】①④【解析】【分析】把展开图，折叠为正方体如图，即可得到正确选项．【详解】把展开图，折叠为正方体如图，①正确②AE与BF成60③与所成角度是60④正确；故答案为：①④【点睛】此题是根底题，考察几何体的折叠与展开，注意折叠前后，字母随平面而动．16.如图,在三棱锥中,、、两两垂直, 且.设是底面内一点,定义,其中、、,且恒成立,那么正实数的最小值为___ ___.【答案】1【解析】试题分析：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．，即，解得，所以正实数a的最小值为1。

2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．153．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x311．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜212．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝．14．若，则m＝．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴复数的虚部为﹣．故选：A．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+1＝•x5﹣r，分别令5﹣r＝3，5﹣r＝2，可得r＝2，3，故（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2＝10，故选：C．3．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择B，E两点开始驶入，若从B点驶入，则有B→A→F→E→D→C→B→E或B→C→D→E→F→A→B→E，同理E点也是如图，若选择除B，E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，所以6个点中有2个点，故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．故选：B．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种解：根据题意，分2种情况讨论：①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有A55＝120种安排方法，①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，此时有4×4×A44＝384种安排方法，则有120+384＝504种安排方法；故选：B．5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．解：算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n＝＝35，至多含有一颗上珠包含的基本事件有m＝＝30，∴至多含有一颗上珠的概率为P＝＝＝．故选：A．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：设z＝a+bi，（a，b∈R），则，∴（a+bi）2＝a﹣bi，∴a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴，解得，，∴z＝0，1，．因此满足条件的复数z共有4个．故选：A．7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．解：根据题意，对于，当a＝0时，f（x）＝x2+x+1，为二次函数，开口向上，其对称轴为x＝﹣1，与y轴交于（0，1），D选项符合；当a＜0时，f′（x）＝ax2+x+1，f′（x）＝0有一正一负的两根，f（x）先减再增最后为减函数，与y轴交于（0，1），C选项符合，当a＞0时，f′（x）＝ax2+x+1，则有△＝1﹣4a，当1﹣4a＜0，即a＞时，f′（x）＝0无解，即f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，与y轴交于（0，1），B选项符合，当1﹣4a＞0，即0＜a＜时，f′（x）＝0有两个负根，在（﹣∞，0）上，先增再减最后增，A选项不符合；故选：A．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4解：2f（x）＜xf'（x），即f'（x）⋅x﹣2f（x）＞0，∵y＝f（x）定义在（0，+∞）上，∴f'（x）⋅x2﹣2xf（x）＞0，令，则，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（2）＞g（1）得，，即，同理令，，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（2）＜h（1），得，即，∴．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R），则z1z2＝a2+b2，故是实数，即z1z2为实数，所以A正确；若z为复数，|z|2≥0，z2可能是复数，所以两者不一定相等，所以B不正确；复数z满足，则|z|＝＝＝＝5，所以C正确；复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为到（1，0）与（﹣1，0）距离相等的点的轨迹，是中垂线，是直线，所以D正确．故选：ACD．10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x3解：∵的二项展开式中二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6．令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A正确；根据展开的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，可得第四项（r＝3）的二项式系数最大，该项为160，故B正确；对于通项公式，令x的幂指数等于零，即令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式第四项为常数项，故C错误；由于第r+1项的系数为•26﹣r，检验可得，当r＝2时，该项的系数取得最大值，该项为240x3，故D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝﹣可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．12．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则解：函数f（x）＝＝，定义域为x∈（0，+∞），因为f'（x）＝，令f'（x）＝0，则有x＝e，f'（x）＞0⇒0＜x＜e；f'（x）＜0⇒x＞e；即得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x＝e处取得极大值为，f（e）＝，故A正确；又因为当x→0时，lnx→﹣∞；当x→+∞时，lnx→0；据此作出函数图像如下：故可得函数f（x）只有一个零点，故B错误；由上可得，因为π＞3，所以f（π）＜f（3），又因为f（2）＝＝，f（3）＝＝，即得f（2）＜f（3），又因为f（π）＝，f（2）＝，即得f（π）＞f（2）综上可得，f（2）＜f（π）＜f（3），故C正确；若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，即f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝f（x）+（x＞0），则有g'（x）＝f'（x）﹣＝，令g'（x）＝0⇒﹣2﹣2lnx＝0⇒x＝，g'（x）＞0⇒0＜x＜；g'（x）＜0⇒x＞，所以函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，即得，故得k＞，即D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝0.3．解：由正态分布的性质可知：μ＝3，曲线关于ξ＝3对称，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），结合正态分布的性质可知：，即为，结合P（ξ＞5）+P（ξ＜5）＝1解得：P（ξ＞5）＝0.2．故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＜5）﹣P（ξ≤3）＝（1﹣0.2）﹣0.5＝0.3．故答案为：0.3．14．若，则m＝7．解：，可得m（m﹣1）（m﹣2）＝6×，解得m＝7．故答案为：7．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．解：设直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x）的图象相切的切点为（m，2lnm），由f′（x）＝，可得＝2，即m＝1，切点为（1，0），则b＝2，切线的方程为y＝2x﹣2，联立y＝g（x）＝ax2﹣x﹣1，可得ax2﹣3x+1＝0，由题意可得△＝9﹣4a＝0，解得a＝．故答案为：．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为[，+∞）．解：∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2，∴f′（x）＝﹣2mx，∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，∴f″（x）＝﹣2m＝﹣2m≤0恒成立，∴m≥＝（﹣1＜x＜1））恒成立，令t＝e x（＜t＜e），y＝e x++4可化为g（t）＝t++4，由基本不等式得，t++4≥2+4＝8（当且仅当t＝2时取“＝”），∴y＝e x++4的最小值为8，∴m≥，故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．解：（1）选条件①，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，所以z2＝a2+9＝10，解得a2＝1；又a＞0，所以a＝1；选条件②，复平面上表示的点在直线x+2y＝0上，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，（a∈R），所以＝＝＝+i，在复平面上表示的点为（，），依题意可知+2×＝0，解得a＝1；选条件③，z1（a﹣i）＞0，因为z1＝1+i，所以z1（a﹣i）＝（1+i）（a﹣i）＝（a+1）+（a﹣1）i＞0，所以，解得a＝1，所以+＝+＝+＝﹣i，|z|＝＝1；（2）z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，则也是该方程的根，所以实数m＝﹣（z2+）＝﹣（1+3i+1﹣3i）＝﹣2．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）解：（1）编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球，将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则把D、E2个白球捆在一起看做一个，和其他的小球排列，方法有•＝48种．（2）将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D、E，其余小球任意排，方法有•••＝16种．（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为﹣＝9种．（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．若按311分配，方法有••＝20种，若按221分配，方法有••＝30种．综上可得，方法共有20+30＝50种．19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．解：（1）∵（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010＝，∴n＝2021，a0＝＝1．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a n＝0，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+⋅⋅⋅+（﹣1）n a n＝2n＝22021，两式相加除以2，可得a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1＝a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a2020 ＝22020．（3）对于（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，两边对x求导数，可得﹣n（1﹣x）n﹣1＝a1+2a2x+⋅⋅⋅+na n x n﹣1，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n＝0．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．解：（1）记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件A，学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，则P（A）＝××＝．（2）甲的积分X的可能的取值为80分，50分，20分，﹣10分，﹣40分，则P（X＝80）＝×＝，P（X＝50）＝××＝，P（X＝20）＝××＝＝，P（X＝﹣10）＝××＝，P（X＝﹣40）＝××＝，所以X的概率分布列为：X805020﹣10﹣40P所以数学期望E（X）＝80×+50×+20×﹣10×﹣40×＝0．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．解：（1）根据题意，f'（x）＝mx2﹣（m+1）x+1＝（mx﹣1）（x﹣1），∵m＞0，∴f'（x）＝0⇒（mx﹣1）（x﹣1）＝0⇒x＝，或x＝1，所以①当m＞1时，，则有f'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，，则有f'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，恒有f'（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．综上可得，①当m＞1时，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，函数f（x）在R上单调递增．（2）根据题意，由（1）可得，＝（x＞0），若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，则需使g（x）min＜0，∵g'（x）＝＝，由（1）可知，①当m＞1时，，则有g'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，g（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，即得g（x）在[1，2]上单调递增，故有＜0⇒m＞1；②当0＜m＜1时，，则有g'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；g'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，g（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（i）当≥2时，即0＜m≤时，g（x）在[1，2]上单调递减，则有＞0，不合题意；（ii）当1＜＜2时，即＜m＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，在（]，则有，此时令（1＜t＜2），则⇒＞0，即得此时h（t）在（1，2）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0恒成立，即g（x）min ＞0恒成立，不合题意；综上可得，m＞1．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．解：（1）令，解得x＝1，易知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故函数f（x）的极大值点为x＝1，令，则由题意有，g′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，经验证符合题意，故实数a的值为1；（2）由（1）知，函数f（x）在单调递增，在（1，3）单调递减，又，且，∴当时，f（x）max＝f（1）＝﹣1，f（x）min＝f（3）＝ln3﹣3，①当k+1＞0，即k＞﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≥f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≥f（x）max﹣f（x）min＝﹣1﹣（ln3﹣3）＝2﹣ln3，∴k≥1﹣ln3，又1﹣ln3＞﹣1，∴此时k的取值范围为k≥1﹣ln3；②当k+1＜0，即k＜﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≤f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≤f（x）min﹣f（x）max＝ln3﹣3+1＝ln3﹣2，∴k≤ln3﹣3，又ln3﹣3＜﹣1，∴此时k的取值范围为k≤ln3﹣3，综上，实数k的取值范围为（﹣∞，ln3﹣3]∪[1﹣ln3，+∞）；（3）证明：所证不等式即为xlnx﹣e x＜cos x﹣1，下证：xlnx﹣e x＜﹣x﹣1，即证xlnx﹣e x+x+1＜0，设h（x）＝xlnx﹣e x+x+1（x＞0），则h′（x）＝lnx+1﹣e x+1＝lnx﹣e x+2，，易知函数h''（x）在（0，+∞）上单调递减，且，故存在唯一的，使得h''（x0）＝0，即，lnx0＝﹣x0，且当x∈（0，x0）时，h''（x）＞0，h′（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h''（x）＜0，h′（x）单调递减，∴＝，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，又x→0时，h（x）→0，故h（x）＜0，即xlnx﹣e x＜﹣x﹣1；再证：﹣x﹣1＜cos x﹣1（x＞0），即证cos x+x＞0在（0，+∞）上恒成立，设m（x）＝cos x+x，m′（x）＝﹣sin x+1≥0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）＝1，故﹣x﹣1＜cos x﹣1，综上，xlnx﹣e x＜cos x﹣1，即得证．。

2023年-2024学年度第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.直线()1330a x y +++=与直线()110x a y +-+=平行，则实数a 的值为（）A.2B.12C.2-D.2或2-【答案】C 【解析】【分析】求出两直线不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线()1330a x y +++=与直线()110x a y +-+=不相交时，(1)(1)3a a +-=，解得2a =±，当2a =时，直线3330x y ++=与直线10x y ++=重合，不符合题意，舍去；当2a =-时，直线330x y -++=，即330x y --=与直线310x y -+=平行，所以实数a 的值为2-.故选：C2.已知A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则可以得到结论是,,,P A B C 四点（）A.共面B.不一定共面C.无法判断是否共面D.不共面【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量线性运算化简得1166AP PB PC =+，即可判断四点位置情况.【详解】311488OP OA OB OC =++,则3311114488808OC OA OP OB OP OP ---+=+，所以3110488PA PB PC ++=，则1166A P PBC P -=- ，故,,,P A B C 四点共面.故选：A3.已知向量()2a = ，向量(= b ，则向量a 在向量b上的投影向量为（）A.122骣ççç÷ç桫,,0 B.()2C.(D.)【答案】D 【解析】【分析】由空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义，应用向量数量积、模长的坐标运算求向量a 在向量b上的投影向量.【详解】向量a 在向量b 上的投影向量为()434||||a b b b b ⋅⋅=⋅=.故选：D.4.若圆222410x y x y ++-+=被直线()2200,0ax by a b -+=>>平分，则11a b+的最小值为（）A.14B.9C.4D.19【答案】C 【解析】【分析】由题意得圆心(1,2)-在直线()2200,0ax by a b -+=>>上，即得1a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】由圆222410x y x y ++-+=被直线()2200,0ax by a b -+=>>平分，得圆心(1,2)-在直线()2200,0ax by a b -+=>>上，则2220a b --+=，即1a b +=，而0,0a b >>，则1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为4.故选：C5.已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M 为11C D 的中点，则向量AM的模长为（）A.B.4C.D.【答案】C 【解析】【分析】以1,,AB AD AA 为基底表示出AM，再利用数量积的运算律计算可得.【详解】由平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAADAA ∠=∠=∠=︒，得1122cos602AB AD AA AD AB AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，依题意，11112AM AD DD D M AB AD AA =++=++，因此22222111111()224AM AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅22212222222174=⨯+++++⨯=，所以MN = .故选：C6.已知A 、B 为椭圆22143x y +=上两点，O 为坐标原点，M （异于点O ）为弦AB 中点，若AB 两点连线斜率为12，则OM 两点连线斜率为（）A.23-B.32-C.34-D.43-【答案】B 【解析】【分析】首先利用直线和椭圆的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式和中点坐标公式的应用求出结果．【详解】由于直线AB 的斜率为12，故设直线的方程为12y x b =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，故2214312x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2230x bx b ++-=，则()222431230b b b ∆=--=->，即22b -<<，故12x x b +=-，故()121213222b y y x x b +=++=．利用中点坐标公式，3,,24b b M b ⎛⎫-⎪⎝⎭不是零，故34322OMbk b ==--．故选：B ．7.已知点P 是圆M ：()()22222x y -+-=上的动点，线段AB 是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最大值是（）A.1+B.C.1+D.2+【答案】D 【解析】【分析】设AB 中点为D ，计算1CD =，CM =2PA PB PD +=，计算最值得到答案.【详解】圆M ：()()22222x y -+-=，圆心()2,2M，半径1r =；圆C ：()()22114x y +++=，圆心()1,1C --，半径22r =；设AB 中点为D ，则圆心C 到直线AB 的距离为1CD ==，圆心距为CM ==，2PA PB PD +=，PD最大值为11+=，故PA PB +的最大值为2+.故选：D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，90BDC ∠=︒，222BD AB CD ===，E 是BC 的中点，H 是ABD △内的动点（含边界），且//EH 平面ACD ，则CA EH ⋅的取值范围是（）A.[]0,3 B.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.111,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.113,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面//EFG 平面ACD ，再由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ABD ，进而有EG FG ⊥，cos FGEFG EF∠=，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F ，G 分别为AB ，BD 的中点，连接FG ，EF ，EG ，如图，易得//FG AD ，//EF AC ，//EG CD ，因为FG ⊂平面EFG ，AD ⊄平面EFG ，所以//AD 平面EFG ，同理//AC 平面EFG ，又因为,AC AD ⊂平面ACD ，AC AD A ⋂=，所以平面//EFG 平面ACD .因为//EH 平面ACD ，所以H 为线段FG 上的点.由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，得AB CD ⊥，又90BDC ︒∠=，则BD CD ⊥，由,,AB BD B AB BD =⊂I 平面ABD ，得CD ⊥平面ABD ，因为//EG CD ，所以EG ⊥平面ABD ，EG FG ⊥，cos FGEFG EF∠=.因为222BD AB CD ===，所以122FG AD ==，BC =，122EF AC ==.所以()2222CA EH EF EF FH EF EF FH⋅=⋅+=+⋅ ()2222cos π22cos EF EF FH EFG EF EF FH EFG =+⋅-∠=-⋅∠2223EF FH FG =-⋅= .因为0,2FH ⎡∈⎢⎣⎦，所以1,32CA EH ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦ .故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H 为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到3CA EH ⋅= ，从而得解.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.直线l 过点()2,1A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（）A.1- B.1C.3D.0【答案】ACD 【解析】【分析】考虑直线过原点，直线不过原点且截距相同，直线不过原点且截距相反，计算得到答案.【详解】当直线过原点时，设直线方程为y kx =，则12k =，解得12k =，此时在y 轴上的截距为0；当直线不过原点且截距相同，设直线方程为1x ya a +=，则211a a +=，解得3a =，此时在y 轴上的截距为3；当直线不过原点且截距相反，设直线方程为1x y a a -=，则211a a-=，解得1a =，此时在y 轴上的截距为1-；综上所述：截距可能为0,1,3-.故选：ACD10.已知直线l ：kx y k 0--=，圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B .4D =-，2E =-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.若点(),P x y 是圆M 上一动点，x y -的最小值为-【答案】AB 【解析】【分析】直线l 恒过点()1,0A ，A 正确，根据圆的一般方程计算B 正确，计算弦长的最小值为C 错误，确定1x y ⎡-∈-+⎣，D 错误，得到答案.【详解】圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1M ，故22D -=，12E -=，解得4D =-，2E =-，圆方程为()()22214x y -+-=，对选项A ：因为直线():1l y k x =-恒过点()1,0A ，正确；对选项B ：4D =-，2E =-，正确；对选项C ：当直线l 与AM 垂直时，弦最短，此时AM =弦长为=，错误；对选项D ：设x y a -=，即0x y a --=2=，解得1a =-或1a =+，故1x y ⎡-∈-+⎣，错误；故选：AB11.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F ，)2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与该椭圆相交于A ，B 两点，且1AB =，点P 在该椭圆上，则下列说法正确的是（）A.存在点P ，使得1290F PF ∠=︒B.若1260F PF ∠=︒，则123F PF S =△C.满足12F PF △为等腰三角形的点P 只有2个D.12PF PF -的取值范围为⎡-⎣【答案】AD 【解析】【分析】求出椭圆方程，利用动点P 的位置变化，研究12F PF ∠的取值范围判断A ；根据椭圆的几何性质及余弦定理求解判断B ；分类讨论，借助方程组求动点坐标判断C ；利用三角形不等式求解判断D.【详解】由椭圆2222:1x y M a b+=的左右焦点分别为()1F 、)2F ，得c ==将x =代入22221x y a b +=，则22231y a b +=，解得2b y a =±，不妨令2b A a ⎫⎪⎭，2b B a ⎫-⎪⎭，由1AB =，则221b a =，即22a b =，将其代入223a b -=，可得232a a -=，化简得()()2320a a +-=，由0a >，解得2a =，则椭圆22:14x M y +=，对于A ，当点P 为椭圆的上（或下）顶点时，12F PF ∠最大，如图：由椭圆22:14x M y +=，则1PO =，22PF =，在2Rt OPF 中，260POF ∠=，由对称性得12120F PF ∠=，因此12F PF ∠的取值范围为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 正确；对于B ，如图：设1PF m =，2PF n =，则24m n a +==，1223F F c ==，在12F PF △中，由余弦定理得22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅⋅，即2212cos 602m n mn+-=o，整理得43=mn ，因此121212113sin sin 60223F PF S PF PF F PF mn =⋅⋅⋅∠==，B 错误；对于C ，设1PF m =，2PF n =，则4m n +=，1223F F c ==，当2m n ==时，12F PF △为等腰三角形，此时P 的坐标为()0,1或()0,1-，当12m F F =时，12F PF △为等腰三角形，此时3m =，设(),P x y ，则()22221433x y x y ⎧+=⎪⎪++=，消去y 得2383320x x +-=，由(()28343325760∆=-⨯⨯-=>，则方程有解，C 错误；对于D ，显然12123||||||||PF PF F F -≤=，当且仅当点P 为椭圆长轴端点时取等号，因此12|||323|2PF PF -≤≤-D 正确.故选：AD12.直三棱柱111ABC A B C -中，1,1AB AC AB AC AA ⊥===，点D 是线段1BC 上的动点（不含端点），则（）A.CD 与1AC 一定不垂直B.AC //平面1A BDC.三棱锥1A ABC -的外接球表面积为3πD.AD DC +的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】利用空间向量法判断AD 选项的正确性，根据线面平行、外接球的知识判断BC 选项的正确性.【详解】A 选项，以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，()()()()110,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,1C B C BC =-，设()101BD BC λλ=<<，则(),,BD λλλ=- ，()()1,,,1,1,AD AB BD CD λλλλλλ=+=-=--，1121CD AC λλλ⋅=-+=-，可知当12λ=时，CD 与1AC 垂直，所以A 选项错误.B 选项，由于11//,AC A C AC ⊄平面11A BC ，11AC ⊂平面11A BC ，所以//AC 平面11A BC ，而平面1A BD 即平面11A BC ，所以AC //平面1A BD ，B 选项正确.C 选项，将三棱锥1A ABC -补形成正方体如图所示，三棱锥1A ABC -的外接球也即正方体的外接球，设正方体外接球的半径为R ，则2R =所以外接球的表面积为24πR 3π=，C 选项正确.D 选项，先证明不等式≥，当且仅当ad bc =且0ac bd +≤时等号成立：设()()(),,,,,x a b y c d x y a c b d ==+=++，所以x y x y +=+=根据向量加法的三角形法则可知x y x y +≥+，当,x y同向，即ad bc =且0ac bd +>时等号成立，+≥，当且仅当ad bc =且0ac bd +≤时等号成立.（证毕）所以AD CD AD CD +=+===≥，当且仅当1233λλ⎫⎫-=-⎪⎪⎭⎭12033λλ⎫⎫--+⎪⎪⎭⎭，即12λ=时等号成立，所以D 选项正确.故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）13.直线2390x y --=的一个方向向量为________.【答案】2(1,)3（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，再写出方向向量即可.【详解】直线2390x y --=的斜率23k =，所以直线直线2390x y --=的一个方向向量为2(1,)3.故答案为：2(1,)314.已知直线1l ：220x y --=的倾斜角为θ，直线2l 的倾斜角为2θ，且直线2l 在y 轴上的截距为3，则直线2l 的一般式方程为________.【答案】4390x y -+=【解析】【分析】确定1tan 2θ=，计算4tan 23θ=，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案.【详解】直线1l ：220x y --=的倾斜角为θ，则1tan 2θ=，故22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，故直线2l 的斜率为43k =，截距为3，故直线方程为433y x =+，即4390x y -+=.故答案为：4390x y -+=15.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP ·FP 的取值范围为________.【答案】[]2,6【解析】【分析】可设(,)P x y ，可求得OP 与FP 的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．【详解】点P 为椭圆22143x y +=上的任意一点，设(,)(22,P x y x y -≤≤≤≤，依题意得左焦点(1,0)F -，(,)OP x y = ，(1,)FP x y =+uu r ，2(1)OP FP x x y ⋅=++ 221234x x x -=++2134x x =++21(1)22x =++，22x -≤≤ ，10122x ∴≤+≤，210(1)42x ∴≤+≤，212(1)262x ∴≤++≤．则26OP FP ≤⋅≤ ．故答案为：[]2,6．16.已知圆C ：()()221310x y -++=和点()5,M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是________.【答案】51t -≤≤-【解析】【分析】利用题设条件，分析MA MB ⊥且与圆C 交于,A B 的临界情况，由点M 在临界点之间移动的变化情况运算即可得解.【详解】圆C ：()()221310x y -++=，则半径为，()1,3C -，如上图，对于直线5x =上任意一点()5,M t ，当,AM BM 均为圆的切线时AMB ∠最大，由题意，MA MB ⊥即90AMB ∠= 时，此时M 为满足题设条件的临界点，此时有=sin 2AC AMC CM ∠≥.当M 在临界点之间移动时，有2AC CM ≥2≥，即有：()234t +≤，解得：51t -≤≤-.故答案为：51t -≤≤-.四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.已知ABC 的顶点()4,2A ，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=.（1）求直线AB 的方程；（2）若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值.【答案】（1）260x y --=；（2）6-.【解析】【分析】（1）求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程；（2）设点(),0C t ，利用AC 的中点在直线40x y --=上，求出t 值，再由点C 在直线20x y m ++=上求出m 值.【小问1详解】依题意，由AB 边上的高所在的直线的斜率为12-，得直线AB 的斜率为2，又()4,2A ，所以直线AB 的方程为()224y x -=-，即260x y --=.【小问2详解】由C 点在x 轴上，设(),0C t ，则线段AC 的中点4(,1)2t D +，由点D 在直线40x y --=上，得41402t +--=，得6t =，即()6,0C ，又点C 在直线20x y m ++=上，因此60m +=，解得6m =-，所以m 的值为6-.18.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，解答以下问题：（1）证明：直线//MN 平面OCD ；（2）求直线AC 与平面OCD 所成角的余弦值.（3）求点N 到平面OCD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）由（1）结论，利用线面角的向量求法求解即得.（3）由（1）结论，利用点到平面距离的向量求法求解即得.【小问1详解】在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，则,,AB AD AO 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AO 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图，由2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，得()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A M N O C D ，即()()()2,1,1,2,2,2,0,2,2MN OC OD =-=-=- ，设平面OCD 的法向量为(),,n x y z = ，则2220220n OC x y z n OD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得()0,1,1n = ，则110n MN ⋅=-= ，MN ⊄平面OCD ，所以直线//MN 平面OCD .【小问2详解】由（1）知，()2,2,0AC = ，且平面OCD 的一个法向量为()0,1,1n = ，设直线AC 与平面OCD 所成角为θ，则||1sin |cos ,|2||||n AC n AC n AC θ⋅=〈〉==，cos 2θ==所以直线AC 与平面OCD所成角的余弦值为2【小问3详解】由（1）知，()0,1,0NC = ，且平面OCD 的一个法向量为()0,1,1n = ，所以点N 到平面OCD的距离||2||NC n d n ⋅=== .19.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心()0,0O 为圆心，半径为400km 的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km 处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km 的速度做匀速直线运动：（1）运输车将在无人区经历多少小时？（2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？【答案】（1）5小时（2）800km【解析】【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果；（2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果.【小问1详解】以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从()600,0A 出发，点N 处开始进入无人区，到M 处离开无人区，则圆O 方程为222400x y +=，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线AB的斜率tan1503k =︒=-，则():6003AB l y x =--，即30y +-=，因为O 到AB l 的距离为300km OO '==,则2MN =⨯==，5=小时.【小问2详解】设运输车至少应离火山口km a 出发才安全，此时运输车的行驶直线刚好与圆O 相切，且直线方程为)33y x a =--30y +-=，则O到直线的距离400d ==，解得800a =，即运输车至少应离火山口800km 出发才安全.20.已知点()4,1-A ，()0,3B ，圆C 的半径为1.（1）若圆C 的圆心坐标为()3,2C ，过点A 作圆C 的切线，求此切线的方程；（2）若圆C 的圆心C 在直线l ：1y x =-上，且圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆C 圆心的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）4x =或43130x y +-=（2）,,2222⎡--⎢⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）确定圆方程，考虑切线斜率不存在和存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.（2）确定圆方程，根据2MB MO =得到M 的轨迹为圆，确定两圆的位置关系，解得答案.【小问1详解】圆C 的圆心坐标为()3,2C ，半径为1，故圆方程为()()22321x y -+-=，当切线斜率不存在时，易知4x =与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为()41y k x =--，即410kx y k ---=，1=，解得43k =-，切线方程为：43130x y +-=；综上所述：切线方程为4x =或43130x y +-=.【小问2详解】圆方程为()()2211x a y a -+-+=，设(),M x y ，2MB MO ==整理得的()22+1=4x y +，故M 在两圆的交点上，故两圆相切或者相交，即212+1-≤≤，解得32222a -≤≤-或23222a ≤≤，故322232,,2222a ⎡∈--⎢⎣⎦⎣⎦.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AD CD ⊥，且AD CD ==，BC =2PA =.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面PBC 所成角的大小为30︒，如果存在，求PM PD 的值，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12或78；理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意可先证明AB APC ⊥面，又因为PC 在面APC 内，从而可证；（2）建立空间向量直角坐标系，根据已知条件用空间向量求解证明是否存在.【小问1详解】如图，取BC 的中点为E ，连接AE ，因AD EC =，AD EC ∥，所以得：四边形AECD 为平行四边形.从而得：AE CD ∥，AE CD =，又因为AD BC ∥，AD CD ⊥，所以得：4AB ==，4AC ==，从而得：22232AB AC BC +==，所以得：AC AB ⊥，因为PA PAC ⊥平面，AB PAC ⊂平面，得：PA AB ⊥；又因为,AC PA PAC ⊂平面，且AC PA A ⋂=，所以得：AB PAC ⊥平面；又因为PC PAC ⊂平面，所以得：AB PC ⊥.故可证：AB PC ⊥.【小问2详解】存在，理由如下：由（1）如图建立以A 点为原点的空间直角坐标系.得：()0,0,0A，()0,D，()C ，()002P ,,，()B -得：()AC =，()0,2PD =- ，()0,0,2AP =，()2CP =--，()0,CB =- 设()01PM PD λλ=≤≤，得：()02,,PM λ=-，()022,,AM AP PM λ=+=- ，设平面MAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，得：()0220n AC n AM y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令：1x λ=-，得：1y λ=-，z =，所以得：()11,n λλ=-- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c = ，得：020m CB m CP c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令：1a =，得：0b =，c =所以得：(m = ，又因为平面MAC 与平面PBC 所成角的大小为30︒，所以得：cos302m n m n ⋅︒===⋅ ，化简得：2162270λλ-+=，解之得：12λ=或78λ=.故答案为：存在，12或78.22.已知()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a ba b+=>>上一点，长轴长为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 必过定点，并求出这个定点坐标.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析，定点为()2,1-【解析】【分析】（1）根据长轴长确定a =1b =，得到答案.（2）设直线l x my n =+，联立方程得到根与系数的关系，根据斜率的关系计算化简得到20n m --=，代入直线方程得到定点.【小问1详解】长轴长为2a =，故a =()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，故1b =，椭圆方程为：2212x y +=；【小问2详解】直线与x 轴平行时，根据对称性知斜率和为0，不成立；设直线l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线不过()0,1P ，则0m n +≠，则2212x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2222220m y mny n +++-=，()()222244220m n n m ∆=--+>，即2220-+>m n ，则12221222222mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1212111AP BP y y k k x x --+=+=-，即()()()()()()122112110y my n y my n my n my n -++-++++=，整理得到()()222222222022n mn m m n m mn n n m m -+⋅--+⋅+-=++，化简得到()()20m n n m +--=，0m n +≠，则20n m --=，直线方程2x my m =++，直线过定点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.。