高考数学二轮复习 专题限时集训(十五)圆锥曲线的定义、方程与性质配套作业 理(解析版,新课标)

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

专题限时集训十五[第15讲圆锥曲线的定义、方程与性质]时间：45分钟1．若抛物线＝错误!2的焦点与双曲线错误!－2＝1的一个焦点重合，则双曲线错误!－2＝1的离心率为D．22．已知椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，则m的值为A．3 或错误!或33．已知双曲线2－错误!＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且错误!错误C，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分13．已知椭圆错误!＋错误!＝1a>b>0的离心率为错误!，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为错误!＋11求椭圆的方程；2已知点Cm，0是线段OF上一个动点O为坐标原点，是否存在过点F且与轴不垂直的直线与椭圆交于A，B点，使|AC|＝|BC|，并说明理由．14．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1a>b>0的焦点为F1，F2，1F＝错误!，解得m＝3；当焦点在轴上时，错误!＝错误!，解得m＝错误!3．B [解析] 方法1：根据已知得点M的轨迹方程为2＋2＝3，与双曲线方程联立消掉得2＝错误!，解得||＝错误!，即为点M到轴的距离．方法2：设|错误!，|错误!得m·n＝4，由S△F1MF2＝错误!m·n＝错误!|F1F2|·d，解得d＝错误!故选B4．D [解析] 设点A1，1，B2，2．因为A，B两点到直线＝－2的距离之和等于5，所以1＋2＋2＋2＝1＋2＝1由抛物线的定义得|AB|＝1＋1＋2＋1＝3而过抛物线焦点弦的最小值当弦AB⊥轴时，是最小焦点弦为4，所以不存在满足条件的直线．【提升训练】5．D [解析] 设2a2a4a2a4a，由错误!得b2＋错误!a22＋错误!ma2＋a2m2－a2b2＝0，据题意可知此方程有两根为c，－c，所以有错误!解得m＝0，且错误!＝－c2，将b2＝a2－c2代入有e＝错误!＝错误![解析] |AF|＋|BF|＝6，由抛物线的定义即|AD|＋|BE|＝6，又线段AB的中点到准线的距离为错误!|AD|＋|BE|＝3，抛物线的准线为＝－错误!，所以线段AB的中点到轴的距离为错误!12．解：1因点的斜率不存在时，不合题意．②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为－2＝－4，联立方程组错误!消去，得22－82－4＋4＋2－42＝0，*∴1＋2＝错误!＝8，解得＝1此时，方程*为2－8＋4＝0，其判别式大于零，∴存在满足题设的直线m且直线m的方程为：－2＝－4，即－－2＝0方法2：1，1，B2，2，依题意，得错误!易判断直线m不可能垂直于轴，∴设直线m的方程为－4＝a－2，联立方程组错误!消去，得2－4a＋8a－16＝0，∵Δ＝16a－12＋48>0，∴直线与轨迹C必相交．又1＋2＝4a＝4，∴a＝1∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：－2＝－4，即－－2＝0方法3：1，1，B2，2，依题意，得错误!∵A1，1，B2，2在轨迹C上，∴有错误!将①－②，得错误!－错误!＝41－2．当1＝2时，弦AB的中点不是N，不合题意，∴错误!＝错误!＝1，即直线AB的斜率＝1，注意到点N在曲线C的张口内或：经检验，直线m与轨迹C相交，∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：－2＝－4，即－－2＝013．解：1因为错误!所以错误!∴b＝1，椭圆方程为：错误!＋2＝12由1得F1，0，所以0≤m≤1，假设存在满足题意的直线，设的方程为＝－1，代入错误!＋2＝1，得22＋12－42＋22－2＝0，设A1，1，B2，2，则1＋2＝错误!，12＝错误!，①∴1＋2＝1＋2－2＝错误!，设AB的中点为M，则M错误!，－错误!，∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即CM·AB＝－1，∴错误!·＝－1⇒1－2m2＝m，∴当0≤m<错误!时，＝±错误!，即存在这样的直线；当错误!≤m≤1，不存在，即不存在这样的直线14．解：1因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b＝c，可得a＝错误!c，又因为△PF1F2的周长为4＋2错误!，可得a＋c＝2＋错误!，所以c＝错误!，可得a＝2，b＝错误!，所求椭圆C的方程为错误!＋错误!＝12证明：直线的方程为0＋0＝错误!，且错误!＋错误!＝错误!，记Q1，1，R2，2，联立方程错误!消去得错误!＋2错误!2－错误!0＋错误!－4错误!＝0，∴1＋2＝错误!，12＝错误!，12＝错误!错误!－01错误!－02＝错误!错误!－错误!01＋2＋错误!1错误!＝错误!，从而12＋12＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝0，∴∠QOR＝90°为定值．。

2022高考数学文二轮专项限时集训(十五)圆锥曲线的定义、方程与性质[第15讲 圆锥曲线的定义、方程与性质](时刻：10分钟＋35分钟)4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝12，则p 的值为________．1．椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33 D. 32．已知定点A (1,0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两动点E ，F 且满足AE →⊥AF →，另有动点P ，满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝4x (x ≠0)C ．y 2＝－4xD ．y 2＝－4x (x ≠0)3．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A ．2 2 B.10 C ．4 2 D ．2104．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点．若AB ⊥BF ，则该椭圆的离心率为( )A.5＋12B.5－12C.5＋14D.5－145．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13C ．b 2＝12 D ．b 2＝26．如图15－1，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2＝p 24，其中p >0，直线l 通过抛物线C 1的焦点，依次交抛物线C 1D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.p 24B.p 23 C.p 22 D ．p 27．已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为________．9．点P 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为________．10．已知两点A ，B 分别在直线y ＝x 和y ＝－x 上运动，且|AB |＝455，动点P 满足2OP →＝OA →＋OB →(O 为坐标原点)，点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上任意一点作它的切线l ，与椭圆x 24＋y 2＝1交于M ，N 两点，求证：OM →·ON →为定值．11．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．专题限时集训(十五)【基础演练】1．B 【解析】 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，又∵其准线方程为x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，所求抛物线方程为y 2＝8x .2．D 【解析】 由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，因此离心率为e ＝c a ＝224＝22.3．C 【解析】 双曲线方程可化为x 24－y 28＝1，因此a 2＝4，得a ＝2，因此2a ＝4.故实轴长为4.4．1 【解析】 设A ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，y B ，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由AF →＝FB →得，⎝⎛⎭⎫p 2－t 22p ，－t ＝(－p ，y B )，由此得t 2＝3p 2，y B ＝－t .设C ⎝⎛⎭⎫－p 2，t ，则BA →＝⎝⎛⎭⎫t 22p ＋p 2，2t ，BC →＝(0,2t )，因此BA →·BC→＝12得4t 2＝12，故p ＝1.【提升训练】1．B 【解析】 椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，即|x |＝263，即点M 到y 轴的距离．2．B 【解析】 设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为0)，由EP →∥OA →⇒y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →⇒y 2＝－y x .由AE →⊥AF →⇒y 2＝4x (x ≠0)．故选B.3．D 【解析】 依照已知△PF 1F 2是直角三角形，向量PF 1→＋PF 2→＝2PO →，依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2→|＝210.4．B 【解析】 因为AB ⊥BF ，因此k AB ·k BF ＝－1，即b a ·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，即b 2＝ac ，因此a 2－c 2＝ac ，两边同除以a 2，得e 2＋e －1＝0，因此e ＝－1±52(舍负)，故选B.5．C 【解析】 由双曲线x 2－y 24＝1知渐近线方程为y ＝±2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2，联立直线与椭圆方程消y 得，x 2＝(b 2＋5)b 25b 2＋20.又∵C 1将线段AB 三等分， ∴1＋22×2(b 2＋5)b 25b 2＋20＝2a 3，解之得b 2＝12.6．A 【解析】 当l 斜率存在时，设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立消去y 得k 2x 2－(pk 2＋2p )x ＋p 2k 24＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1＋p 2－p 2＝x 1，同理|CD |＝x 2，∴AB →·CD →＝|AB ||CD |＝x 1x 2＝p 24；当l ⊥x 轴时，易得|AB |＝|CD |＝p 2，∴AB →·CD →＝p24，故选A. 7．2 【解析】 易知y ＝bx ＝2x ，故b ＝2.8.2－1 【解析】 依题意c ＝p 2，b 2a ＝p ，∴b 2＝2ac ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.9.83 【解析】 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|F 1F 2|＝6，S △PF 1F 2＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·1＝8＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P .因此y P ＝83.10．【解答】 (1)解法一：设P (x ，y )，A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)．∵2OP →＝OA →＋OB →，∴P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1－x 22.∵|AB |＝455，∴(x 1－x 2)2＋(x 1＋x 2)2＝165，∴(2y )2＋(2x )2＝165.∴化简得点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝45.解法二：∵2OP →＝OA →＋OB →，∴P 为线段AB 的中点． ∵A ，B 分别在直线y ＝x 和y ＝－x 上，∴∠AOB ＝90°. 又|AB |＝455，∴|OP |＝255，∴点P 在以原点为圆心，255为半径的圆上． ∴点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝45.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，∵l 与C 相切，∴|m |1＋k 2＝255，∴m 2＝45(1＋k 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0，(1＋4k 2)y 2－2my ＋m 2－4k 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，y 1y 2＝m 2－4k 21＋4k 2. ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝5m 2－4k 2－41＋4k 2. 又m 2＝45(1＋k 2)，∴OM →·ON →＝0， 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝±255，代入椭圆方程得M ⎝⎛⎭⎫255，255，N ⎝⎛⎭⎫255，－255或M ⎝⎛⎭⎫－255，255，N ⎝⎛⎭⎫－255，－255，现在，OM →·ON →＝45－45＝0. 综上所述，OM →·ON →为定值0. 11．【解答】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得椭圆C 两焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．∴2a ＝(1＋1)2＋⎝⎛⎭⎫322＋(1－1)2＋⎝⎛⎭⎫322＝52＋32＝4.∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝4－1＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)解法一：当直线l ⊥x 轴时，运算得到：A ⎝⎛⎭⎫－1，－32，B ⎝⎛⎭⎫－1，32，S △AF 2B ＝12·|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.明显Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2. 又|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝1＋k 2·64k 4(3＋4k 2)2－4(4k 2－12)3＋4k 2 ＝1＋k 2·12k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，圆F 2的半径r ＝|k ×1－0＋k |1＋k 2＝2|k |1＋k 2，因此S △AF 2B ＝12|AB |·r ＝12·12(k 2＋1)3＋4k 2·2|k |1＋k 2＝12|k |1＋k 23＋4k 2＝1227， 化简，得17k 4＋k 2－18＝0，即(k 2－1)(17k 2＋18)＝0，解得k ＝±1.因此r ＝2|k |1＋k 2＝ 2. 故圆F 2的方程为(x －1)2＋y 2＝2.解法二：设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1，消去x 得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1·y 2＝－94＋3t 2.因此|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2， 又圆F 2的半径为r ＝|1－t ×0＋1|1＋t 2＝21＋t 2， 因此S △AF 2B ＝12·|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因此r ＝21＋t 2＝ 2.故圆F 2的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。

圆锥曲线的定义、方程与性质【考情分析】1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程【典例分析】1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（）A ．9B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,a b c ===，设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为85a c <+=+P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =，因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点，所以1192OM PF ==，故选：A 2．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点A 在l 上，点B 在抛物线上，l 与x 轴的交点为C ，ABF是正三角形，且四边形ABFC 的面积是，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由抛物线的定义及ABF 为正三角形，可知//AB x 轴，所以60AFC ︒∠=，从而可知2AB p =，AC =，又因为四边形ABFC 的面积是，所以有22p p+=2p =.故选：C.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22143x y +=B ．22184x y +=C ．2211612x y +=D ．2216448x y +=【答案】C【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则2a c =，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即6a c +=，则4a =，2c =，23b =则椭圆的标准方程为：2211612x y +=.故选：C.2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在ABC 中，4AB =，M 为AB 的中点，且CA CB CM -=，则下列说法中正确的是（）A ．动点C 的轨迹是双曲线B ．动点C 的轨迹关于点M 对称C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC面积的最大值为【答案】BD【解析】以M 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设CM =r ，此时C 点在以M 为圆心，r为半径的动圆上．由CA CB r -=，知C 点在以AB 为焦点，2r a =的双曲线22221x y a b -=上且22242AB a b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．对点(),C x y 有222x y r +=，22221444x y r r-=-，从而2223(16)64y r r =-，当28r =时，2y最大，故yABC S ，故D 正确；2r =时，得到另一个C 点'C ，此时ABC 为直角三角形，故C 错误；∵CA CB -非定值，∴C 不以双曲线为轨迹，故A 错误；∵CM CA CB -=，∴一定有C 关于M 的对称点关于原点对称，故B 正确．故选：BD ．3.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.【答案】3【解析】由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1.设点M (x0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.【题型二】圆锥曲线的几何性质【典例分析】1．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则椭圆E 的离心率为（）A ．102B ．4C D ．54【答案】B【解析】1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F Ð=Ð，由正弦定理可得213PF PF =，令1233PF PF n ==，则32n n a +=，22294n n c +=，可得22542a c =，所以椭圆的离心率为：104c e a===.故选：B ．2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．【答案】3【解析】设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线28y x =的焦点为F ，经过点P (1，1)的直线l 与该曲线交于A ､B 两点，且点P 恰好为AB 的中点，则||||+=AF BF （）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】抛物线28y x =中，4p =，其焦点()2,0F ，准线方程2x =-，如图过点,,A B P 作准线的垂线，垂足为,,M N R ，由抛物线定义可知，||||AF BF AM BN +=+，而P 恰好为AB 的中点，故PR 是梯形ABNM 的中位线，故2AM BN PR +=，又P (1，1)，故132pPR =+=，所以||||236AF BF +=⨯=.故选：B.2．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点2F 作圆222x y a +=的切线交双曲线左支于点M ，且1260F MF ∠︒＝，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】313y x ⎛⎫=±+⎪ ⎪⎝⎭．【解析】设切点为A ，过1F 作21F B MF ⊥，垂足为B ，由题意可得OA a =，2OF c =，222AF c a b =-=，由OA 为12BF F △的中位线，可得12BF a =，22BF b =，又1260F MF ∠=︒，可得114sin 603BF a MF ==︒，23aMB =，22223aMF MB BF b =+=+，又21242233a a MF MF b a -=+-=，所以313b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．3.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.【答案】3－1.【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A )23,2(c c，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1.【题型三】直线与圆锥曲线【典例分析】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点.若点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，则m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】直线1y x =-与抛物线24y x =联立得：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以12126,1x x x x +==，点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，所以有：21121121212120(1,)(1,)01()0,CA CB x y m x y m x x x x y y m y y m ⋅=⇒+-+-=⇒++++-++=121212121212,24,(1)(1)()14y y x x y y x x x x x x +=+-==--=-++=-，所以2161440,m m ++--+=解得2m =，故选：C2．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（）A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b--+=，所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.【提分秘籍】1.求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x 1-x 2)2或(y 1-y 2)2,代入两点间的距离公式求解.(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形,若k 不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.2.处理中点弦问题常用的2种方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,2121x x y y --三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.【变式演练】1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线22(0)x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，直线l 过点F 与抛物线交于,A B 两点，与x 轴交于()2,0C p ，若17AB =，则OCF △的面积为___________.【答案】32【解析】抛物线22(0)x py p =>焦点(0,)2p F ，而直线l 过点(2,0)C p ，则直线l 的斜率为14k =-，其方程为124p y x -=-，即42x y p =-+，由2422x y px py=-+⎧⎨=⎩消去x 得228920y py p -+=，显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1298py y +=，而17AB =，由抛物线定义知，1217||||()()17228p p p AB AF BF y y =+=+++==，解得8p =，即(0,4)F ，()16,0C ，而90FOC ∠= ，于是得1||||322OCF S OC OF =⋅⋅= ，所以OCF △的面积为32.故答案为：322．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆C ：2214x y +=.（1）椭圆C 是否存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上的点，若直线AP ，BP 分别与直线3y =交于G ，H 两点，求线段GH 的长度取得最小值时直线GP 的斜率.【解析】（1）因为22(1)111422-⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，则椭圆C 存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦.设弦所在的直线l 与椭圆C 相交于()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22222121044x x y y -+-=，即()()()()2121212104x x x x y y y y -++-+=.又122x x +=-，121y y +=，()()2121(2)104x x y y --∴+-⨯=，整理得212112y y x x -=-.所以直线l 的方程为11(1)22y x =+-，即220x y -+=.（2）因为A ，P ，G 三点共线所以可知当线段GH 的长度取得最小值时，直线AP 的斜率k 显然存在，且0k >，()2,0A -，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，从而点32,3G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214161640k x k x k +++-=，0∆>设点()00,P x y ，则202164(2)14k x k--⋅=+.所以2022814k x k -=+，从而02414k y k =+，所以222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又点()2,0B ，则直线PB 的斜率为14k-.由1(2)43y x k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得1223x k y =-+⎧⎨=⎩，所以(122,3)H k -+.故332122124GH k k k k=-+-=+-.又0k >，则31212k k +≥=，当且仅当312k k =，即12k =时等号成立所以当12k =时，线段GH 的长度取得最小值.所以此时直线GP 的斜率为12.1．（2021山师大附中高三模拟）“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线2y =的准线与双曲线()22210x y a a-=>相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数a 的值为（）A ．19B ．29C ．13D．3【答案】D【解析】2y =的准线x =，焦点)，不妨设A点坐标2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，FAB 为等腰直角三角形，由直角三角形的性质得a a=，解得23a =.故选：D 3．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．1或9C ．3或9D ．9【答案】D【解析】由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =，故选：D.4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2.④1212c c a a <其中正确式子的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】由图可得1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，即①错误；因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，即②正确，由1122a c a c -=-，得1221a c a c +=+，即22221212212122a c a c a c a c ++=++，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+,即221221122()0b b a c a c -=->，可得2112a c a c >，即③正确，由2112a c a c >，可得1212c c a a >，即④错误；综上所述选项B 正确.故选:B.5．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =，因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF P cÐ=，在12F F P 中，()()22212223cos cos 22a c a a F F P OF P a cc+-Ð==Ð=×.化简可得c =，所以C的离心率==ce a.故选：B 6．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，焦点为2c ，2122MF F F c ==，则1MF =2222a c a c '+=-，又c e a ='，所以c a e '=，即242c c a e +=，又7[2,2e ∈，所以椭圆的离心率为127,15162c e a e⎡⎤'==∈⎢⎥⎣⎦+．故选：C ．7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C 的方程为()22113x y m R m m+=∈+-，则（）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为33y x =±C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C【答案】AB【解析】对于A 选项：m =1时，方程为22122x y +=，即222x y +=，曲线C 是圆，A 正确；对于B 选项：m =5时，方程为22162x y -=，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3y x =±，B 正确；对于C 选项：m >1时，不妨令m =5，由选项B 知，曲线C 为双曲线，C 不正确；对于D 选项：要曲线C 为双曲线，必有(1)(3)0m m +-<，即m <-1或m >3，m <-1时，曲线C ：2213(1)y x m m -=--+，m >3时，曲线C ：22113x y m m -=+-，时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m +1)≠3-m ，m +1≠m -3，D 不正确.故选：AB11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 分别交于()1122(),,A x y B x y ，两点，则（）A ．12y y 为定值B ．AOB ∠可能为直角C ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点D ．对于确定的直线AB ，在C 的准线上存在三个不同的点P ，使得ABP △为直角三角形【答案】AD【解析】设:1AB l x ty =+，与24y x =联立可得：2124404y ty y y --==-，，故A 对；因为221212116y y x x ==，所以12121OA OBy y k k x x ⋅=≠-，∴2AOB π∠≠，故B 错；设BF 的中点11111,,2222BF x y x M ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故C 错；设AB 的中点1212,22x x y y N ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 到C 准线的距离为当1212x x ++，因为12122AB x x +=+故有以AB 为直径的圆与C 的准线相切，对于确定的直线AB ，当P ∠为直角，此时P 为切点；当A ∠或B Ð为直角，此时P 为过A （或B ）的AB 的垂线与准线的交点，故D 正确．故选：AD12．已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（）A ．双曲线C 的离心率为233B ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为3【答案】BCD【解析】对于A ，,3a b c ===2e ==，故A 错误；对于B ，双曲线的右焦点2F 到渐近线y x ==的距离为3d ==，故B 正确；对于C ，设()00,P x y ，满足2200139x y -=，即220039x y -=，则点P到两条渐近线的距离之积为2200123944x y d d -⋅==，故C 正确；对于D ，设()00,P x y ，由C 得2239x y -=，PAPB k k ==2200220039333PA PB y x k k x x -⋅===--，故D 正确；故选：BCD13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆G：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】椭圆(222:106x y G b b+=<<的两个焦点分别为)1F和()2F ，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ，设(),P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，1222PB PB a b +==，即有P 在椭圆222166y x b+=-上，对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =时，OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ==取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确.，故答案为①②.14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值0v ，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m ．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____m ．（空气阻力不计，重力加速度为210m /s ）【答案】5【解析】设铅球运动时间为0t ，t 时刻的水平方向位移为x ，则0cos x v t θ=．由001sin 02v gt θ-=知002sin v t g θ=20sin 2v x g θ∴=故当4x π=时，20max 10v x g==，210m /s g =∴解得：0t =，010m /sv =201 2.5m22t h g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭如图建立平面直角坐标系，(5, 2.5)P --，设抛物线方程为22x py=-则抛物线的焦点到准线的距离22(5)5m 22 2.5x p y -===-⨯故答案为：515．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，O为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，213PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________；渐近线方程为________.【答案】22y x =±【解析】由213PF PF =，122PF PF a -=，解得13PF a =，2PF a =，由题意可得四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ∠=︒，可得1260F PF ∠=︒，在12PF F △中，可得()22224323cos 607c a a a a a =+-⋅⋅⋅︒=，即有2c a =，则2c e a ==，所以2b a ===，则渐近线方程为2y x =±.故答案为：72；32y x =±.16.（2021•南充模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点15(1,)3P --在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意得，2c =，2211519a b +=，222a b c =+，解得：26a =，22b =，所以椭圆的标准方程：22162x y +=；（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程：y x t =-+，设(,)M x y ，(,)N x y ''与椭圆联立整理：2246360x tx t -+-=，△223644(36)0t t =-->，t -<<，32t x x '+=，2364t xx -'=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F E MN k k =-=又3(4t E ，)3t ，所以141324F E tk t ==+，解得4t =-，当4t =-时，不满足t -<<，所以不存在满足条件的直线l ．17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为72，双曲线上的点到焦点的最小距离为2.（1）求双曲线C 的方程；（2）四边形MNPQ 的四个顶点均在双曲线C 上，且//MQ NP ，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直线QP 交于点()4,0S ，四边形MNPQ 的对角线交于点D ，求点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和.【解析】（1）由题意，22222c a c a a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以双曲线C 的方程为22143x y -=；（2）由MQ x ⊥轴，//MQ NP ，可知四边形MNPQ 为等腰梯形，且关于x 轴对称，故四边形MNPQ 的对角线的交点D 在x轴上，如图所示：设点(,0)D t ，则对角线MP 的方程为(0)x my t m =+≠，设1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，联立22143x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(34)63120m y mty t -++-=，所以22222(6)4(34)(312)48(34)0mt m t m t ∆=---=-+>，即2234m t +>，由韦达定理得21212226312,3434mt t y y y y m m --+==--，由,,M N S 三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=，整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，所以222(312)(4)(6)034m t t mt m -+--=-，所以224(1)034m t m -=-，即24(1)0,1m t t -==，所以直线MP 过定点()1,0，即D ()1,0，因为双曲线C 20y ±=20y -=时，由点到直线距离公式得217d ==，由对称性知点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和为2217.。

限时集训（十五）圆锥曲线的方程与性质基础过关1.已知抛物线C 的开口向下,其焦点是双曲线y 23-x 2=1的一个焦点,则抛物线C 的方程为 ()A .y 2=8x B .x 2=-8y C .y 2=√2x D .x 2=-√2y2.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的焦点,过点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ,B 两点,且|AB|=3,则椭圆C 的方程为 () A .y 22+y 2=1B .y 23+y 22=1 C .y 24+y 23=1D .y 25+y 24=13.若双曲线x 2+my 2=m (m ∈R)的焦距为4,则该双曲线的渐近线方程为 () A .y=±√5x B .y=±√3x C .y=±√1515x D .y=±√33x 4.已知直线√3x-y=0与抛物线y 2=12x 相交于点A (不与原点重合),则点A 到抛物线焦点的距离为()A .6B .7C .9D .125.在平面直角坐标系中,经过点P (2√2,-√2)且离心率为√3的双曲线的标准方程为 () A .y 24-y 22=1B .y 27-y 214=1C .y 23-y 26=1或y 214-y 27=1D .y 27-y 214=1或y 214-y 27=16.已知椭圆C :y 22+y2=1的离心率与双曲线E :y 2y 2-y 2y 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率相等,则双曲线E 的离心率为 ()A .√2B .√3C .√52D .√627.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为K ,抛物线上有一点P ,若|PF|=5,则△PKF 的面积为()A .4B .5C .8D .108.设A ,B 分别是椭圆C :y 212+y 22=1的左、右焦点,点P 是椭圆C 与圆M :x 2+y 2=10的一个交点,则||PA|-|PB||=() A .2√2B .4√3 C .4√2D .6√29.椭圆C :y 2y 2+y 2y 2=1(a>b>0)的右焦点为F ,存在直线y=t 与椭圆C 交于A ,B 两点,使得△ABF 为等腰直角三角形,则椭圆C 的离心率e= () A .√22B .√2-1C .√5-1D .1210.已知双曲线y 2y 2-y 2y 2=1(a>0,b>0)的离心率为√2,其一条渐近线被圆(x-m )2+y 2=4(m>0)截得的线段长为2√2,则实数m 的值为 ()A .3B .1C .√2D .211.若过抛物线y=14x 2的焦点的直线与抛物线交于A ,B 两点,则yy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·yy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的值是 ()A .34B .-34 C .3D .-312.设椭圆C :y 24+y 2=1的左焦点为F ,直线l :y=kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ,B 两点,则△AFB 的周长的取值X 围是.13.抛物线y 2=8x 的焦点为F ,点A (6,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△PAF 的周长的最小值为. 能力提升14.已知抛物线C :y 2=2x ,直线l :y=-12x+b 与抛物线C 交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆与x轴相切,则b 的值是 () A .-15B .-25C .-45D .-8515.已知椭圆y 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ,B 两点,则△ABF 1的内切圆的半径为 () A .43B .1C .45D .3416.已知椭圆y 2y 2+y 2y 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,若在直线x=2a 上存在点P 使线段PF 1的中垂线过点F 2,则椭圆的离心率的取值X 围是 ()A .(0,23]B .[23,1)C .(0,12]D .[12,1) 17.已知双曲线y 23-y 2=1的右焦点是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,直线y=kx+m 与抛物线相交于A ,B 两个不同的点,点M (2,2)是线段AB 的中点,则△AOB (O 为坐标原点)的面积是.18.抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,A ,B 为抛物线上的两点,以AB 为直径的圆过点F ,过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ,垂足为N ,则|yy ||yy |的最大值为.限时集训(十五)基础过关1.B[解析] 双曲线y 23-x 2=1的一个焦点为(0,-2),所以抛物线的焦点坐标也是(0,-2),故抛物线C 的方程为x 2=-8y.2.C[解析] 设椭圆C 的方程为y 2y 2+y 2y 2=1(a>b>0),则|AB|=3=2y 2y,根据a 2-b 2=c 2可得a 2-32a-1=0,得a=2,所以b 2=3,所以椭圆C 的方程为y 24+y 23=1.3.D[解析] 双曲线的标准方程为y 2-y 2-y =1,∵双曲线的焦距为4, ∴√1+(−y )=2,即m=-3, ∴双曲线的标准方程为y 2-y 23=1, ∴双曲线的渐近线的方程为y=±√33x.4.B[解析] 联立{√3y -y =0,y 2=12y ,得到3x 2=12x ,∴x=4或0(舍),∴A (4,4√3),又焦点F (3,0),∴|AF|=√(4-3)2+(4√3-0)2=7.5.B[解析] 由e=y y =√3,得yy =√2.当焦点在x 轴上时,设双曲线方程为y 2y 2-y 2y 2=1(a>0,b>0),代入P (2√2,-√2),得8y 2-2y 2=1,解得a 2=7,b 2=14;当焦点在y 轴上时,设双曲线方程为y 2y 2-y 2y 2=1(a>0,b>0),代入P (2√2,-√2),得2y 2-8y 2=1,无解.综上,双曲线的标准方程为y 27-y 214=1,故选B .6.D[解析] 易知椭圆C :y 22+y 2=1的离心率为√22,由题可知y y =√22,又因为c 2=a 2+b 2,所以双曲线的离心率e=y y =√62.7.A[解析] 由抛物线的方程y 2=4x ,可得F (1,0),K (-1,0), 设P (x 0,y 0),则|PF|=x 0+1=5,即x 0=4, 不妨设P (x 0,y 0)在第一象限,则P (4,4),所以S △PKF =12·|FK||y 0|=12×2×4=4,故选A .8.C[解析] 由题易知线段AB 是圆M 的一条直径,则有|PA|+|PB|=2a=4√3,|PA|2+|PB|2=(2c )2=40,∴(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|,得2|PA||PB|=8,∴(|PA|-|PB|)2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|=32,则||PA|-|PB||=4√2,故选C . 9.B[解析] 由题知,当BF ⊥AB 时,△ABF为等腰直角三角形,∴|FB|=|AB|,即y 2y =2c ,即b 2=2ac ,∴a 2-c 2=2ac ,∴1-e 2=2e ,∴e 2+2e-1=0,解得e=±√2-1,由于椭圆的离心率e ∈(0,1),∴e=√2-1,故选B .10.D[解析] 双曲线y 2y 2-y 2y 2=1(a>0,b>0)的离心率为√2,则yy =√2,∴c 2=2a 2,∴a 2+b 2=2a 2,∴a=b ,则双曲线的一条渐近线方程为x-y=0,圆(x-m )2+y 2=4(m>0)的圆心坐标为(m ,0),半径为2,则圆心到渐近线的距离d=√y 2-(√2)2=√2,解得m=2.11.D[解析] 抛物线为x 2=4y ,焦点为F (0,1),设直线AB 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程{y 2=4y ,y =yy +1,得x 2-4kx-4=0,所以x 1x 2=-4,y 1y 2=116(x 1x 2)2=1,故yy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·yy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=-3,故选D .12.(6,8)[解析] 根据椭圆的对称性得△AFB 的周长等于|AF|+|BF|+|AB|=2a+|AB|=4+|AB|,而A ,B 为直线y=kx (k ≠0)与椭圆的交点,所以2b<|AB|<2a ,即2<|AB|<4,所以△AFB 的周长的取值X 围为(6,8).13.13[解析] 由抛物线定义知,抛物线上的点P 到焦点的距离|PF|等于点P 到准线的距离d ,即|FP|=d.所以△PAF 的周长l=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+√(6-2)2+(3−0)2≥6+2+5=13. 能力提升14.C[解析] 由题意,可设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),联立直线与抛物线方程{y 2=2y ,y =−12y +y ,消去y 得14x 2-(b+2)x+b 2=0,则x 1+x 2=4(b+2),x 1x 2=4b 2,y 1+y 2=-4.由题知12|AB|=|y 1+y 22|,即12√1+(12)2√[4(y +2)]2-4·4y 2=2,解得b=-45.故选C .15.D[解析] 由题不妨设点A 在第一象限.由y 24+y 23=1得a=2,b=√3,易知A ,B 的纵坐标y A ,y B分别为32,-32.根据椭圆的定义可知△ABF 1的周长为4a=8,设△ABF 1的内切圆半径为r ,△ABF 1的面积为12|F 1F 2|·|y A -y B |=12×2×3=3=12×8·r ,解得r=34,故选D .16.B[解析] 根据中垂线的性质可得,|PF 2|=|F 1F 2|=2c ,又∵|PF 2|≥2a-c ,∴2a ≤3c ,即e ≥23,又∵e<1,∴椭圆的离心率的取值X 围是[23,1),故选B .17.2√3[解析] 由题意得,抛物线的焦点坐标为(2,0),则y 2=8x , 联立{y 2=8y ,y =yy +y ,得y 2-8y y+8y y =0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=8y ,y 1y 2=8y y ,又因为点M (2,2)是线段AB 的中点,所以y 1+y 2=8y=4,解得k=2,m=-2,则|AB|=√1+1y 2|y 1-y 2|=√52×4√1−y =2√15,点O 到直线AB 的距离d=√=√5, 所以△AOB 的面积S=12|AB|·d=2√3.18.√2[解析] 过A ,B 分别向准线作垂线交准线于A',B',由抛物线定义得|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|,所以|MN|=12(|AF|+|BF|)=12(|AA'|+|BB'|),易知AF ⊥BF ,|MF|=12|AB|,所以|yy ||yy |=|yy |+|yy |2√|yy |+|yy |≤√|yy |2+|yy |22√|yy |+|yy |=√22,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立,则|yy ||yy |的最大值为√22,所以|yy ||yy |的最大值为√2.。

专题限时集训什）圆锥曲线的定义、方程及性质［专题通关练］ （建议用时：30分钟）1. （2019贵阳一模）抛物线C : y 2= 2px （p >0）的焦点F 到准线I 的距离为2, 则C 的焦点坐标为（ ）B . (2,0)线的距离为.2,贝U 双曲线的离心率为（）B. 2D. 3A ［双曲线的渐近线方程为y = £x ,即ay±Dx = 0,由题知（.3, 0）到渐近线的a 距离为 龍，即瞽雀=农，由 a 2 +b 2=c 2 得Q 3b = {^^(c 2 — a 2) = 2c 2,即 c 2= 3a 2, 得 e = C = .3,故选 A.]a3 .若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为 2,它的一个焦点是（2 15, 0）,则椭圆的标准方程为（）x 2 y_ x 2 _y ^A — + 1B — + -= 1 30 20 40 20 x 2 必x 2 y 2CN + 15= 1D.80+ 20= 1D ［设椭圆的标准方程为拿+ *= 1（a >b >0）,依题意得，赛=b = 2? a = 2b ,C .(1,0)D.扌，0 ［因为抛物线焦点到准线的距离为 2,所以=4x ,抛物线的焦点坐标为（1,0），选C.］p = 2,所以抛物线的方程为y 2 2. （2019沈阳一模）若点（.3, 0）到双曲C i ：2 2字—皆1(a >0, b >0)的渐近(4,0)A. 3C. . 3或26a 2+b 2T c — 2 15， c 2— a 2 — b 2,x• - (2 15)2 = (2b)2 — b 2? b 2 = 20,得a 2 = 4b 2 = 80,故所求椭圆的标准方程为 亦+2匕—1 ] 20—]2 24•如图，椭圆*+ 2 — 1的左、右焦点分别为F i , F 2,点P 在椭圆上，若|PF i |—4,Z F 1PF 2— 120° 贝U a 的值为()A . 2B . 3C . 4D . 5B [因为 b 2— 2, c — a 2— 2,所以 时2|— 2 . a 2— 2.又|PF 1|— 4, |PF 1|+ |PF 2| — 2a , |PF 2|— 2a — 4,由余弦定理得120 —42 + 2a-42- ”》— — 1 1202X 4X 2a — 42,5.过抛物线C : y 2 — 2px(p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线I 与C 交于A , B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于I 的直线与C 的准线相交于点 M ，若|MN| —|AB|,贝U 直线I 的倾斜角为()A . 15 C . 45°D . 60°B ［分别过A , B , N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A', B‘，N '图略)，由 1 1抛物线的定义知 |AF|—|AA', |BF|—|BB', | |NN' —2(|AA'+|BB ，—2AB|，因为 |MN| 1—|AB|，所以|NN' —Q |MN|,所以/MNN — 60°即直线MN 的倾斜角为120°又直 线MN 与直线I 垂直且直线I 的倾斜角为锐角，所以直线I 的倾斜角为30°故选B.］ 6.［易错题］若方程2+ m m + 1—1表示椭圆，则实数 m 的取值范围是cos解得a — 3.]B . 3022+ m > 0,3 3—2, — 2 U — 2， — 1 [由题意可知 m + 1 v 0,2+ m H — m +1 . 3解得一2v m v — 1且m H —㊁.]7•若三个点(-2,1), (-2,3), (2 , -1)中恰有两个点在双曲线 >0)上,贝U 双曲线C 的渐近线方程为 ________ . 2 y =±2x ［由于双曲线的图象关于原点对称，故(—2,1), (2, — 1)在双曲线上, 代入方程解得a =・,2,又因为b = 1,所以渐近线方程为y = .] 8.［易错题］若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一 个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为 羽，则椭圆的方程为 __________ . X 2 y 2 、x 2 y 2a =2c ， 12+9二 1 或9 + 12二 1 [由题意，得 a — c =3, 所以a = 2 3, 3. 所以 b 2= a 2 — c 2= 9. 所以当椭圆焦点在x 轴上时，椭圆的方程为1x2+y9 =1;当椭圆焦点在y 轴上 2 2时，椭圆的方程为管+召=1. 2 2 2 2 故椭圆的方程为令+= 1或育+召=1.］［能力提升练］(建议用时：20分钟)x 2 y 29. (2019全国卷I )双曲线C : y2 — b 2= 1(a >0, b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为() A . 2sin 40B . 2cos 40 D_1D.cos 50bD ［由题意可得一匚=tan 130 ,a(1)求椭圆C 的方程;所以 e = ,1 + ；2= 1+ tan 2130--------9 ----si n 2130° 1 +cos 2130°二 |cos 130「cos 50 .° 故选D.] 10. 1 2 2 (2019珠海质检)过点M(1,1)作斜率为一£的直线I 与椭圆C ：予+治=1(a > b > 0) 相交于A,B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 ［设 A(x i , y i ), B(x 2, y 2)，由题意得, b 2x 2 + a 2y 1 = a 2b 2, b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2, 2 2 b (x 1 + x 2)(x 1 — x 2)+ a (y 1 + y 2)(y 1 — y 2)= 0, 2 2 • 2b (x 1 — x 2) + 2a (y 1 — y 2) = 0, • b 2(x 1 — x 2) = — a 2(y 1 — y 2). y 1 — y 2 1 X 1 — x 2 3'• a 2= 3b 2. • a 2 = 3(a 2— c 2), • 2a 2= 3c 2, • e ^36.] [点评]点差法适用范围：与弦的中点 轨迹有关、与弦所在直线斜率有关• 11.已知抛物线y 2二2px(p>0)的焦点为F ,△ ABC 的顶点都在抛物线上，且满 足啟+ FB + FC = 0,则丄+ 丄+ 亠= . k AB K AC k BC ----------------------------- 0 ［设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3), F p 0，由 FA + FB =-FC ，得 X 1 — p , y 1 p p _y 2 — y 1 2p y 3 — y 1 + x 2 — 2，y2 — x 3 — 2，y 3，y 1 + y 2+ y * 0.因为 k AB =x 2—X 厂 y 1 + y 2，k AC 二x 3 — X 1 =2p k = y 3— y 2 = 2p 所以丄 + 丄+ 丄= y 1 + y 3， BC = X 3 — x 2 y 2 + y 3， k AB k AC k BC 2p y 1 + y 2 y 3+ y 1 y 2 + y 3 + + = y 1 + y 2+ y 3 =OJ 12.已知椭圆C : J + 討1(a > b > 0)的离心率为2,且点1,33在该椭圆上.(2)过椭圆C 的左焦点F i 的直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点，若△ AOB 的面 积为竽，求圆心在原点O 且与直线I 相切的圆的方程.c 1［解］(1)由题意可得e =a =2， 又 a 2= b 2 + c 2, 所以 b 2= 4a 2.因为椭圆C 经过点i , 2,解得a 2= 4,所以b 2 = 2,22故椭圆C 的方程为乡+专=1.⑵由(1)知F 1(- 1,0),设直线I 的方程为x =ty — 1,x =ty — 1, 由 x 2 y 2消去 x ,得(4 + 3t 2)y 2 — 6ty — 9 = 0,4 + 3 = 1,显然 A> 0 恒成立，设 A (X 1, y 1), B(x 2, y 2),6t9则y 1+y 2= 4ZP ，y 1y 2= — 4+t 2，6、t 2+ 1 6、2 4+ 3t 27，化简得 18t 4 — t 2— 17_ 0, 即(18t 2+ 17)(t 2— 1)_ 0, 解得t 1_ 1, t 2_ —箱(舍去)•所以 |y 1 — y 2|= y 1 + y 2 2 — 4y 1y 2_ 12pt 2+ 1 =4+ 3t 2 ， 36t 2 丄 36 2 2+24+ 3t 4+ 3t 所以AOB _!|F 1O| • — y 2|1故圆O 的方程为x 2+卄1.【押题1】 经过点(2,1),且渐近线与圆x + (y - 2)= 1相切，贝U 下列说法正确的编号有 _________ .① 该双曲线的离心率为2;② 该双曲线的一条渐近线方程为 y —、. 3x = 0;2 2③ 该双曲线的标准方程为 器—1.y①②［设双曲线的渐近线方程为 y = kx ,即kx — y = 0,由渐近线与圆x 2+ (y —2)2= 1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1,由点到直线的距离公式可 1,解得k =±. 3,即渐近线方程为y ±. 3x = 0,故②正确；因为双曲 2 2线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为 卡一律=1(a >0,又圆0的半径r =|0-t x 0+ 1|-.1+12 二-..'■1 + t 2'泪 |k x 0 — 2| 得十2+1设 P(x i , y i ), Q(x 2, y 2),将MN 的方程代入到E 的方程并整理，可得(4 + 9k 2)x 2 + 18ktx + 9t 2 — 36= 0, —18kt•-x1+x 2=4+k 2.|MQ|,所以MN 的中点和PQ 的中点重合,遵=-2k ，②联立①②可得k 2 = 9，故k = ±2.4 1b >0),将点(2,1)代入可得 孑一1,由a 2=罟，故所求双曲2 2线的方程为石—£= 1,故③错误，又离心率e =a 2+1=2,故①正确，综上可知①②正确.］【押题2】 已知|MN|= 1, MP = 3MIN ,当N , 点P 的轨迹记为E.M 分别在x 轴，y 轴上滑动时, ⑴求曲线E 的方程;⑵设斜率为k(k M 0)的直线MN 与E 交于P , Q 两点, 若|PN|= |MQ|,求 k.［解］(1)设 M(0, m), N(n,0), P(x , y),由 |MN|= 1 得 m 2 + n 2= 1.由 MP = 3MIN ，得(x , y — m) = 3(n ，— m), 从而 x = 3n , y — m = — 3m , x y•• n= 3，m = — 2，2 2•曲线E 的方程为育+卷=1. ⑵直线MN 为y = kx +1,k.①［点评］向量条件转化，一是向坐标转化，建立坐标间关系，二是挖掘向量条件的几何意义如共线、中点、垂直。

第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质[做真题]题型一 圆锥曲线的定义与方程1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1解析：选B ．由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B ．2．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D ．由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D ． 3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选B ．法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k＝1，因为双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C的方程为x 24－y 25＝1.故选B ．法二：因为椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，所以b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.4．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝____________．解析：法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0，42)，|FN |＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，则点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6.答案：6题型二 圆锥曲线的几何性质1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14解析：选D ．由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|OF 2|＝c ，所以点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，所以e ＝14，故选D ．2．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a .因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.优解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 答案：23．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案：2[明考情]1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11 题或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等．2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大．圆锥曲线的定义与标准方程[典型例题](1)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A ．55B ．655C ．855D ．455(2)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 (1)如图，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C ． (2)不妨设P 为双曲线C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，则|PF 2|＝2a 最小，所以∠PF 1F 2＝30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得cos 30°＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|＝16a 2＋4c 2－4a 22×4a ×2c ＝32，整理得c 2＋3a 2＝23ac ，解得c ＝3a ，所以b ＝ c 2－a 2＝2a .所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .故选A． 【答案】 (1)C (2)A(1)圆锥曲线的定义①椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． ②双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． ③抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． (2)求解圆锥曲线标准方程的思路[对点训练]1．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A ．514 B ．59 C ．49D ．513解析：选D ．如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.2．(2019·福州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝1解析：选D ．不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，所以b 2a 2＝32. ①又|BF →|＝b 2＋(－c )2＝4，c 2＝a 2＋b 2， 所以a 2＋2b 2＝16. ② 由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， 所以双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________．解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：4圆锥曲线的性质 [典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于 P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5(2)(2019·济南市模拟考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF →1·AF →2＝0，AF →2＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．74【解析】 (1)如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24①，将x 2＋y2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A ．(2)设|BF 2|＝m ，则|AF 2|＝2m .连接BF 1，由椭圆的定义可知|AF 1|＝2a －2m ，|BF 1|＝2a －m .由AF →1·AF →2＝0知AF 1⊥AF 2，故在Rt △ABF 1中，(2a －2m )2＋(3m )2＝(2a －m )2，整理得m ＝a 3.故在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝4a 3，|AF 2|＝2a 3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝4c 2，解得e ＝53.【答案】 (1)A (2)C(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． ②用法：(i)可得b a 或a b的值．(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A ．因为e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，所以a 2＋b 2＝3a 2，所以b ＝2a .所以渐近线方程为y ＝±2x .2．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A ．2＋1B ．3＋1C ．5＋1D ．2＋2解析：选A ．如图，结合题意画出图形，因为抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以由题设知双曲线的右焦点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以a 2＋b 2＝p 24①.因为AF ⊥x 轴，所以由点A 在抛物线上可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p (取A 在第一象限)，又点A 在双曲线上，所以p ＝b 2a ②.将②代入①得a 2＋b 2＝b 44a 2，即b 4＝4a 4＋4a 2b 2，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 4＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－1＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝2－12，从而e 2＝c 2a 2＝2－1＋22－1＝(2＋1)2，故e ＝2＋1.故选A ．直线与圆锥曲线的位置关系[典型例题]命题角度一 位置关系的判断及应用在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px ，整理得px2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．(1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．(2)直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．命题角度二 弦长问题(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【解】 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求之．命题角度三 定比、定点问题已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1→＝λF 1B →，且2≤λ＜3，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1→＝λF 1B →，所以y 1＝－λy 2，所以y 1y 2＝－λ(1－λ)2(y 1＋y 2)2，则(1－λ)2λ＝43＋4k 2，λ＋1λ－2＝43＋4k 2，因为2≤λ＜3，所以12≤λ＋1λ－2＜43，即12≤43＋4k 2＜43，且k ＞0，解得0＜k ≤52. 故直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．[对点训练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解：(1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0. 解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.2．(2019·湖南长沙模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝3，(－1)2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2>3，故a 2＝4，则b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0， 则y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2， 所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2. 易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋(－t )2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|－m |1＋(－t )2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ>0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫±233，0.在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121.一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1B ． 3C ．2D ．2 3解析：选C ．由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝c a＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．2解析：选B ．设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1，2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2解析：选A ．不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6. 又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32， 所以S △PFO ＝12×6×32＝324.4．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3解析：选A ．如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A ．5．已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝kx －1与该抛物线在第一象限内交于点A ，B ，若|AF |＝3|FB |，则k 的值是( )A ． 3B ．32C ．33D ．233解析：选D ．显然k ＞0.抛物线的准线l ：y ＝－1，设其与y 轴交于点F ′，则直线y ＝kx －1过点F ′.分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，根据抛物线定义，得|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，根据已知，得|AF ||BF |＝|AA ′||BB ′|＝3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F ′A ′||F ′B ′|＝x 1x 2＝|AA ′||BB ′|＝3，即x 1＝3x 2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得x 2－4kx ＋4＝0，则x 1＋x 2＝4k ②，由①②得x 1＝3k ，x 2＝k ，又x 1x 2＝4，所以3k ·k ＝4，即k 2＝43，解得k ＝233(负值舍去)．6．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1B ．2C ． 3D ． 2解析：选D ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝3FB →，所以y 1＝－3y 2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a ＝2b ，设b ＝t ，则a ＝2t ，故c ＝3t ，所以x 24t 2＋y 2t2＝1.设直线AB的方程为x ＝sy ＋3t ，代入上述椭圆方程，得(s 2＋4)y 2＋23sty －t 2＝0，所以y 1＋y 2＝－23st s 2＋4，y 1y 2＝－t 2s 2＋4，即－2y 2＝－23st s 2＋4，－3y 22＝－t 2s 2＋4，得s 2＝12，k ＝2，故选D ． 二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．解析：双曲线C 的一条渐近线的方程为y ＝b a x ，P (1，3)是双曲线C 渐近线上的点，则b a＝3，所以离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 答案：28．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1EF 的面积为63，则p ＝________．解析：不妨设点A 在第一象限，如图，作BB 1⊥l 于点B 1，设直线AB 与l 的交点为D ，由抛物线的定义及性质可知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，|EF |＝p .设|BD |＝m ，|BF |＝n ，则|BD ||AD |＝|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝13，即m m ＋4n ＝13，所以m ＝2n .又|BB 1||EF |＝|BD ||DF |，所以n p ＝m m ＋n ＝23，所以n ＝2p3， 因为|DF |＝m ＋n ＝2p ，所以∠ADA 1＝30°.又|AA 1|＝3n ＝2p ，|EF |＝p ，所以|A 1D |＝23p ，|ED |＝3p ，所以|A 1E |＝3p ，所以直角梯形AA 1EF 的面积为12(2p ＋p )·3p ＝63，解得p ＝2.答案：2 三、解答题10．(2019·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2， 可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x p ，y p )(x p ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x p ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y p ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y p x p ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km 4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94(1＋k 2)，又120＜k 2≤54， 所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.12．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13.又a 2－c 2＝b 2，所以a ＝3，b ＝22，c ＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可知A (－3，0)，B (3，0)，F 1(－1，0)． 据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆C 的另一个交点为M ′.设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)．因为F 1M ∥F 2N ，所以根据对称性，得N (－x 2，－y 2)．联立⎩⎨⎧8x 2＋9y 2＝72y ＝26(x ＋1)，消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.由题意知x 1>x 2，所以x 1＝－37，x 2＝－32，k 1＝y 1x 1＋3＝26(x 1＋1)x 1＋3＝469，k 2＝－y 2－x 2－3＝26(x 2＋1)x 2＋3＝－263，所以3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－263＝0，即3k 1＋2k 2的值为0.。