专题五 解析几何第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题)

第2讲 圆锥曲线的方程与性质一、 单项选择题1. (2020·重庆调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，那么双曲线C 的方程为( )A. x 28－y 210＝1 B. x 24－y 25＝1 C. x 25－y 24＝1D. x 24－y 23＝12. (2020·惠州调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 交于点M ，若2FM→＝MN →，则|FN →|等于( ) A. 58 B. 12 C. 38D. 13. (2020·三明一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A. x 24－y 212＝1 B. x 212－y 24＝1 C. x 23－y 29＝1D. x 29－y 23＝14. (2020·淮北二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为( )A. 35B. 57C. 45D. 67二、 多项选择题5. 若F 为拋物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法中正确的是( )A. 抛物线的焦点到准线的距离为3B. A ，B 两点之间的距离为12C. 原点O 到直线AB 的距离为38D. △OAB 的面积为946. 已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过点F 的直线l 与圆M 相切，则( )A. m ＝－1B. m ＝13C. c ＝－1D. a ＝27. 已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，那么以下说法中正确的是( )A. 若过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为8B. 椭圆C 上存在一点P ，使得PF 1→·PF 2→＝0 C. 椭圆C 的离心率为12D. 若P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，Q 为圆x 2＋y 2＝1上的一点，则点P ，Q 的最大距离为3三、 填空题8. 在平面直角坐标系xOy 中，若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3,1)，则该双曲线的离心率为________．9. (2020·广州质检)若抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于另一点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是________．10. 已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP→＝2PB →，那么当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大为________．四、 解答题11. 如图，已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被抛物线E 截得的线段长为8.(1) 求抛物线E 的方程；(2) 已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B 两点，求F A ·FB 的取值范围．(第11题)12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于另一点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1) 若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．(第12题)。

第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质[做小题——激活思维]1．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．24 C [△F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，∴△F 1AB 的周长为4a ＝20，故选C.]2．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线D [由已知得|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．]3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.17 [由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.]4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．209或365[当k ＞4时，有e ＝1－4k ＝23，解得k ＝365；当0＜k ＜4时，有e ＝1－k4＝23，解得k ＝209.故实数k 的值为209或365.]5．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.]6．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132 [由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y . ∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132.][扣要点——查缺补漏]1．圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如T 3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化．如T 1，T 2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”． 2．圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，如T 4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)[高考解读] 高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 切入点：|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点A 的位置，求a ，b 的值．B [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF1|， ∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．切入点：△APF 的周长最小．关键点：根据双曲线的定义及△APF 周长最小，确定P 点坐标．126 [由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F＝12×6×66－12×6×26＝12 6.] [教师备选题]1．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．x 24－y 2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.]2．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 29＝1B.x 29－y 23＝1C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1 A [设双曲线的右焦点为F (c,0)．将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴ y ＝±b 2a.不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，则d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a b 2＋－a2＝|bc －b 2|c＝bc(c －b )，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a b 2＋－a2＝|bc ＋b 2|c＝bc(c ＋b )，∴ d 1＋d 2＝bc·2c ＝2b ＝6，∴ b ＝3. ∵ c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴ a 2＝3， ∴ 双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选A.]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程； (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆方程常设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，双曲线方程常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．1．(椭圆的定义)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514 B.59 C.49 D.513D [如图，设线段PF1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.故选D.]2．(双曲线的标准方程)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 A [易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.]3．(抛物线的定义)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.4 [设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C (图略)，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.]圆锥曲线的性质(5年17考)[高考解读] 高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线，难度适中.1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点． 关键点：正确用p 表示抛物线和椭圆的焦点．D [抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆x 23p ＋y 2p＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．由题意得p2＝2p ，∴p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5切入点：以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2相交且|PQ |＝|OF |.关键点：正确确定以OF 为直径的圆的方程．A [令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.]3．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)切入点：C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°.关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m 的不等式． A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.] [教师备选题]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [因为双曲线的离心率为3，所以c a＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以y ＝±2x .故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A.]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．1．(椭圆的离心率)[一题多解]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B [法一：如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.故选B.法二：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可取直线l 的方程为y ＝ba 2－b 2x ＋b ，椭圆中心到l 的距离为b a 2－b 2a ，由题意知b a 2－b 2a ＝14×2b ，即a 2－b 2a ＝12，故离心率e ＝12.] 2．(双曲线的离心率)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M为双曲线右支上一点，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，且ON ⊥MF 2,3|ON |＝2|MF 2|，则C 的离心率为( )A ．6B ．5C ．4D ．3B [连接MF 1(图略)，由双曲线的定义得|MF 1|－|MF 2|＝2a ，因为N 为MF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，所以ON ∥MF 1，所以|ON |＝12|MF 1|，因为3|ON |＝2|MF 2|，所以|MF 1|＝8a ，|MF 2|＝6a ，因为ON ⊥MF 2，所以MF 1⊥MF 2，在Rt△MF 1F 2中，由勾股定理得(8a )2＋(6a )2＝(2c )2，即5a ＝c ，因为e ＝c a，所以e ＝5，故选B.]3．(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B.]直线与圆锥曲线的综合问题(5年5考)[高考解读] 直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点，主要涉及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养.角度一：直线与圆锥曲线的位置关系1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .切入点：①直线l 过点A ；②l 与C 交于M ，N 两点；③l 与x 轴垂直． 关键点：将问题转化为证明k BM 与k BN 具有某种关系．[解] (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋y 1＋y 2x 1＋x 2＋.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. 切入点：①直线l 与椭圆C 相交；②AB 的中点M (1，m )．关键点：根据FP →＋FA →＋FB →＝0及点P 在C 上确定m ，并进一步得出|FP →|，|FA →|，|FB →|的关系．[证明] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P 1，－32，|FP →|＝32.于是|FA →|＝x 1－2＋y 21＝x 1－2＋31－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. [教师备选题](2018·北京高考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－74，14共线，求k .[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝ x 2－x 12＋y 2－y 12＝ x 2－x 12＝ x 1＋x 22－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3. 直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1＋2x ＋2，x 2＋3y 2＝3，得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0. 设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝－12y 21x 1＋22＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7.所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7. 设D (x D ，y D )，同理得x D ＝－12－7x 24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7.记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝4(y 1－y 2－x 1＋x 2)． 因为C ，D ，Q 三点共线，所以k CQ －k DQ ＝0. 故y 1－y 2＝x 1－x 2. 所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.1．判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得到一个一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点个数． 2．弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 的两交点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则|PQ |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝x 1＋x 22－4x 1x 2＋k2.或|PQ |＝|y 1－y 2|1＋1k2＝y 1＋y 22－4y 1y 2]⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(k ≠0)．3．弦的中点圆锥曲线C ：f (x ，y )＝0的弦为PQ .若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.1．(直线与椭圆的综合)已知离心率为12的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上顶点为B ，且BA 1→·BA 2→＝－1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左焦点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，且直线l 与x 轴不垂直，若D 为x 轴上一点，|DM →|＝|DN →|，求|MN ||DF |的值．[解] (1)A 1，A 2，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，(0，b )，BA 1→·BA 2→＝(－a ，－b )·(a ，－b )＝b 2－a 2＝－1，∴c 2＝1. 又e ＝c a ＝12，∴a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F (－1,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵直线l 与x 轴不垂直，∴可设其方程为y ＝k (x ＋1)． 当k ＝0时，易得|MN |＝4，|DF |＝1，|MN ||DF |＝4.当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， ∴|MN |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k 23＋4k2. 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝6k3＋4k2， ∴MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 23＋4k 2，3k 3＋4k 2，∴MN 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2(k ≠0)， 令y ＝0得，1k x ＋k 3＋4k 2＝0，解得x ＝－k23＋4k2.|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k 23＋4k 2，∴|MN ||DF |＝4.综上所述，|MN ||DF |＝4.2．(直线与抛物线的综合)过抛物线E ：x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线在M ，N 两点处的切线交于点P .(1)证明点P 落在抛物线E 的准线上； (2)设MF →＝2FN →，求△PMN 的面积．[解] (1)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.设直线MN 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程x 2＝4y ，整理得x 2－4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 对y ＝14x 2求导，得y ′＝12x ，所以直线PM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)．①直线PN 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)．②联立方程①②，消去x ，得y ＝－1. 所以点P 落在抛物线E 的准线上．(2)因为MF →＝(－x 1,1－y 1)，FN →＝(x 2，y 2－1)，且MF →＝2FN →.所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝y 2－，得x 21＝8，x 22＝2.不妨取M (22，2)，N (－2，12)，由①②得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－1.易得|MN |＝92，点P 到直线MN 的距离d ＝322，所以△PMN 的面积S ＝12×92×322＝2728.。

第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2， 所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、 解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)， 直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。

圆锥曲线的几何性质例题和知识点总结圆锥曲线是数学中非常重要的一部分，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们具有独特的几何性质，通过一些例题来理解这些性质会更加直观和深入。

一、椭圆的几何性质1、定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之和等于常数（大于\（｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做椭圆。

2、标准方程焦点在\（x\）轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2}＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴，＼（b\）为短半轴，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

焦点在\（y\）轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2}＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

3、几何性质（1）范围：对于焦点在\（x\）轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leqa\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在\（y\）轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。

（2）对称性：椭圆关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点对称。

（3）顶点：焦点在\（x\）轴上的椭圆，顶点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在\（y\）轴上的椭圆，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

（4）离心率：＼（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近\（0\），椭圆越圆；＼（e\）越接近\（1\），椭圆越扁。

例题：已知椭圆方程为\（＼frac{x^2}｛16} ＋＼frac{y^2}｛9} ＝1\），求其长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率。

解：因为\（a^2 ＝ 16\），所以\（a ＝ 4\）；＼（b^2 ＝ 9\），所以\（b ＝ 3\）；＼（c^2 ＝ a^2 b^2 ＝ 16 9 ＝ 7\），所以\（c ＝＼sqrt{7}＼）。

专题五 解析几何第二讲 圆锥曲线的方程与性质高考导航以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查的角度有定义、方程和性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是考查的重点.1．(2017·浙江卷)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59[解析]由题意得，a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝53，故选B.[答案]B2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1[解析]解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k ＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.解法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，∴b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. [答案]B3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析]不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4p ，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. [答案]B4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13[解析]以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， ∴|b ×0－a ×0＋2ab |b 2＋(－a )2＝a ，即2b ＝a 2＋b 2， ∴a 2＝3b 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63.[答案]A5．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[解析]如图所示，设N (0，m )．又F (2,0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m 2.设M 代入y 2＝8x ，得m 24＝8，解得m ＝±4 2. ∴|FN |＝(2－0)2＋(0－m )2＝36＝6.[答案]6考点一 圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .[对点训练]1．(2017·惠州二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是(2，0)，且截直线x ＝2所得弦长为436，则该椭圆的方程为( )A.x 212＋y 28＝1B.x 28＋y 212＝1C.x 24＋y 26＝1D.x 26＋y 24＝1[解析]由已知得c ＝2，直线x ＝2过椭圆的右焦点，且垂直于x 轴，由⎩⎨⎧ x ＝c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1可得y ＝±b 2a ，∴截直线x ＝2所得弦长为2b 2a ，由⎩⎨⎧2b 2a ＝436，a 2－b 2＝2得a 2＝6，b 2＝4.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 24＝1.[答案]D2．(2017·惠阳二模)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1F 2P ＝( )A.45B.35C.5564 D ．－2340[解析]由题意可知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝5，设|PF 1|＝2x ，|PF 2|＝x ，则|PF 1|－|PF 2|＝x ＝2a ＝8，故|PF 1|＝16，|PF 2|＝8，又|F 1F 2|＝10，利用余弦定理可得cos ∠F 1F 2P ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝－2340. [答案]D3．(2017·湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1C.x 29－y 216＝1D.x 24－y 23＝1[解析]以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，又因为点(3,4)在圆上，所以32＋42＝c 2，所以c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，且点(3,4)在这条渐近线上，所以b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1，故选C.[答案]C4．(2017·武汉市武昌区高三二调)已知抛物线Γ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 在Γ上且|PK |＝2|PF |，则△PKF 的面积为________．[解析]由已知得，F (2,0)，K (－2,0)，过P 作PM 垂直于准线，则|PM |＝|PF |，又|PK |＝2|PF |，∴|PM |＝|MK |＝|PF |，∴PF ⊥x 轴，△PFK 的高等于|PF |，不妨设P (m 2,22m )(m >0)，则m 2＋2＝4，解得m ＝2，故△PKF 的面积S ＝4×22×2×12＝8.[答案]8求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .【特别提醒】 抛物线定义的实质是抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化．考点二 圆锥曲线的几何性质1．在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x .[对点训练]1．(2017·惠州市高三三调)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3B. 2 C ．2 D ．3[解析]设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意 2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝3，选A.[答案]A2．(2017·临汾二模)若直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.3－12 C.3－1 D ．4－2 3[解析]设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，由题意可得|OF 2|＝|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c .由y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3，∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c .由椭圆的定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴c ＋3c ＝2a ，∴e ＝c a ＝3－1.[答案]C3．(2017·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析]由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得， |PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.故选A.[答案]A4．(2017·山西四校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．[解析]设O 为坐标原点，由2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，得4|PO →|≤2c (2c为双曲线的焦距)，∴|PO →|≤12c ，又由双曲线的性质可得|PO →|≥a ，于是a ≤12c ，e ≥2，即e 的取值范围是[2，＋∞)．[答案][2，＋∞)应用圆锥曲线性质的2个注意点(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．考点三 抛物线中的最值问题抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．[解析](1)由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝1＋16－1＝17－1.选C.(2)过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，故|P A|＋|PF|＝|P A|＋|PM|.当A、P、M三点共线时，|P A|＋|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.[答案](1)C (2)C[探究追问] 若本例(2)中A 点坐标改为(－3,2)，其他条件不变，则|P A |－|PF |的最小值为________．[解析]当P A ∥x 轴时，|P A |－|PF |取得最小值，此时|P A |－|PF |＝52.[答案]52与抛物线最值有关问题的两种转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．[对点训练]1．(2017·郑州检测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32 C ．1 D ．2[解析]由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.[答案]D2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|P A|＋|PO|的最小值为()A．6 B．2＋4 2C．213 D．4 3[解析]由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F(－2,0)，准线方程为x＝2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′(4,0)，则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|P A|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝213.[答案]C热点课题18方程思想在圆锥曲线几何性质中的应用[感悟体验]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与椭圆的一个交点为P ，若∠F 1PF 2＝45°，则椭圆的离心率为( ) A.24 B.22 C.3－1 D.2－1[解析]根据题意可知，在Rt △PF 1F 2中，|PF 2|＝b 2a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝45°，所以|F 1F 2|＝|PF 2|，所以b 2a ＝2c ，又b 2＝a 2－c 2，代入整理得c 2＋2ac －a 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，即e ＝－1±2，又0<e <1，所以e ＝2－1.[答案]D2．(2017·贵阳监测)已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支上一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M 、N 两点(如图)，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是________．[解析]由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，∴PF 1∥ON ，∴tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝b a ，∴⎩⎨⎧ |PF 2||PF 1|＝b a，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2b . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，∴2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ， e ＝c a ＝ 5.[答案] 5。

圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

第2讲 圆锥曲线【自主学习】第2讲 圆锥曲线(本讲对应同学用书第47~50页)自主学习 回归教材1. (选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F 1(-2，0)，F 2(2，0)，且经过点P 53-22⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为 .【答案】210x +26y=1【解析】设椭圆方程为22x a +22yb =1，由题意得2222259144-4⎧+=⎪⎨⎪=⎩a b a b ，，解得a 2=10，b 2=6，所以所求方程为210x +26y =1.2. (选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为 .【答案】264x -236y =1或264y -236x =1【解析】由b =6，c a =54，结合a 2+b 2=c 2，解得a =8，c =10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x -236y =1或264y -236x =1.3. (选修2-1 P51例2改编)经过点P(-2，-4)的抛物线标准方程为 . 【答案】y 2=-8x 或x 2=-y【解析】由于点P(-2，-4)在第三象限，所以满足条件的抛物线方程有两种情形.y 2=-2p 1x 或x 2=-2p 2y ，分别代入点P 的坐标，解得p 1=4，p 2=12，所以抛物线的标准方程为y 2=-8x 或x 2=-y .4. (选修2-1 P57练习5改编)已知抛物线y 2=4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 . 【答案】2【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x =-1，点M 到焦点的距离为3，说明到准线的距离为3，所以点M 到y 轴的距离为2.5. (选修2-1 P58练习8改编)设P(x ，y )是椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)上一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，则PF 1·PF 2的最大值为 . 【答案】a 2【解析】由于PF 1·PF 2=PF 1·(2a -PF 1)=-P 21F +2a PF 1=-(PF 1-a )2+a 2，由于a -c ≤PF 1≤a +c ，所以当PF 1=a时，PF 1·PF 2有最大值a 2.【要点导学】要点导学 各个击破求圆锥曲线的标准方程例1 (2021·扬州中学)在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上.【分析】(1) 利用直线与圆相切求出b 的值，然后利用离心率可求出a 的值，从而求出椭圆方程.(2) 解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1) 由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b =22=2.由于离心率e =ca =32，所以b a =21-⎛⎫ ⎪⎝⎭c a =12，所以a =22， 所以椭圆C 的标准方程为28x +22y =1.(2) 由题意可设M ，N 两点的坐标分别为(x 0，y 0)，(-x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y =00-1y x x +1， ① 直线QN 的方程为y =00-2-y x x +2. ②设点T 的坐标为(x ，y ).联立①②解得x 0=2-3x y ，y 0=3-42-3y y .由于208x +202y =1，所以2182-3⎛⎫ ⎪⎝⎭x y +213-422-3⎛⎫ ⎪⎝⎭y y =1， 整理得28x +2(3-4)2y =(2y -3)2， 所以28x +292y -12y +8=4y 2-12y +9，即28x +22y =1，所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再依据条件建立关于a ，b 的方程组.假如焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题便利，也可把椭圆方程设为mx 2+ny 2=1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.变式 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知动点P 到定点2，0)的距离与点P 到定直线l ：x 222，求动点P 的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础学问，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1) 依题意，可设椭圆C 的方程为22x a +22y b =1(a >b >0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358=⎧⎨=+=+=⎩c a AF AF ，， 解得24.=⎧⎨=⎩c a ，又a 2=b 2+c 2，所以b 2=12， 故椭圆C 的方程为216x +212y =1.(2) 设点P(x ，y )22(-2)|-22|+x y x 22，整理，得24x +22y =1，所以动点P 的轨迹C'的方程为24x +22y =1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，从而利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，明显没有利用定义来得简洁.求离心率的值或范围例2 (2021·苏州调研)如图，A，B是椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆C的右准线. (例2)(1) 若椭圆C的离心率为12，直线l：x=4，求椭圆C的方程；(2) 设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于点Q，若直线PQ恰好经过原点，求椭圆C的离心率.【分析】(1) 依据离心率和准线公式列出方程组进行求解.(2) 若用斜率参数，设直线AM的方程为y=k(x+a)，然后解得M，P的坐标求解，则运算量较大；若用点参数，设点M的坐标，然后通过求得点P的坐标求解，则运算量较小，然后，通过A，M，P三点共线，求出点P的坐标，再利用相互垂直的直线的斜率之积为-1建立a，b，c的方程进行求解.【解答】(1) 由题意得2222124⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩caaca b c，，，23=⎧⎪⎨=⎪⎩ab，解得，所以椭圆C的方程为24x+23y=1.(2) 设M(x，y)，P2⎛⎫⎪⎝⎭ayc，.由A，M，P三点共线得+yx a=2+yaac，所以y0=2⎛⎫+⎪⎝⎭+ay acx a.由于点M在椭圆上，所以y2=2222(-)b a xa.又MP为直径，所以OP⊥BM，所以kOP·kBM=22()⎛⎫+⎪⎝⎭+acy aca x a·-yx a=222()(-)+y a ca x a=23()-+b a ca=223(-)()-+a c a ca=-1，所以c2+ac-a2=0.所以e2+e-1=0，又0<e<1，解得e=5-1.【点评】本题有两个地方值得留意.一是第(2)问简洁错误利用第(1)问得到的椭圆方程，第(2)问没有了第(1)问的条件，所以不行用第(1)问的结论.二是没有合理选择参数，造成运算错误.如“以MP为直径的圆交MB于点Q，若直线PQ恰好过原点”反映的数量关系即为kOP·kBM=-1，若写出圆的方程求解就繁琐了.变式1 (2021·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为.【答案】1 2(变式1)【解答】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2⎛⎫⎪⎝⎭Mayc，.由2ABk=kAM，得b a=2+Myaac，所以yM=b1⎛⎫+⎪⎝⎭ac.由1FBk=kFM，得bc=2-Myacc，所以yM=2-⎛⎫⎪⎝⎭b acc c.从而b1⎛⎫+⎪⎝⎭ac=2-⎛⎫⎪⎝⎭b acc c，整理得2e2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2021·泰州期末)若双曲线22xa-22yb=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解答】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b”，得b=2+a c，所以a2+22+⎛⎫⎪⎝⎭a c=c2，整理得3c2-2ac-5a2=0，所以3e2-2e-5=0，解得e=53.直线与圆锥曲线问题例3 (2021·南京调研)给定椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)，称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1).(1) 求实数a，b的值；(2) 若过点P(0，m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值.【分析】(1) 由两个条件可得出两个方程，进而可求出实数a，b的值.(2) 由题意设出直线l 的方程为y=kx+m，由直线与椭圆只有一个公共点可得关于k，m的一个方程，再由直线被圆所截得的弦长，又可得到关于k，m的一个方程，这样可以解出k，m的值.【解答】(1) 记椭圆C的半焦距为c.由题意得b=1，ca=3，a2=c2+b2，解得a=2，b=1.(2) 由(1)知，椭圆C的方程为24x+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5.明显直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0.由于直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以方程组2214=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx mxy，(*)有且只有一组解.由(*)得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0， 从而Δ=(8km )2-4(1+4k 2)(4m 2-4)=0， 化简，得m 2=1+4k 2. ①由于直线l 被圆x 2+y 2=5所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离d =5-2=3.即2||1+m k =3. ② 由①②解得k 2=2，m 2=9. 由于m >0，所以m =3.变式 (2021·泰州二模)如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆E ：22x a +22y b =1(a >b >0)的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过B ，C 两点且分别与直线AB ，AC 垂直的直线相交于点D.已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455.(变式)(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 求证：点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； (3) 求△BCD面积的最大值.【解答】(1) 由题意得ca =253a c ，-c =55，解得a =3，c 5b 22-a c ，所以椭圆E 的标准方程为29x +24y =1.(2) 设B(x 0，y 0)，C(-x 0，y 0).明显直线AB ，AC ，BD ，CD 的斜率都存在，设为k 1，k 2，k 3，k 4，则k 1=003+y x ，k 2=00-3+y x ，k 3=-003+x y ，k 4=00-3x y ，所以直线BD ，CD 的方程为y =-003+x y ·(x -x 0)+y 0，y =00-3x y (x +x 0)+y 0， 消去y ，得-003+x y (x -x 0)+y 0=00-3x y ·(x +x 0)+y 0，化简得x =3，所以点D 在定直线x =3上运动.(3) 由(2)得点D 的纵坐标为y D =00-3x y ·(3+x 0)+y 0=200-9x y +y 0. 又209x +204y =1，所以20x -9=-2094y ，则y D =2009-4y y +y 0=-54y 0，所以点D 到直线BC 的距离h =|y D -y 0|=005--4y y =94|y 0|.将y =y 0代入29x +24y =1，得x 201-4y 所以S △BCD =12BC·h=12201-4y 94|y 0| 20271-24y ·12|y 0|≤272·22001-442+y y =274，当且仅当1-204y =204y ，即y 02y 02时，△BCD面积取最大值为274.1. (2021·苏锡常镇宿一调)双曲线x2-22y=1的离心率为.【答案】3【解析】由标准方程可得a2=1，b2=2，所以c2=3，所以e=ca =3.2. (2021·苏锡常镇二调)已知双曲线22xa-22yb=1(a，b>0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为. 【答案】3x2-y2=1【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，故焦点到渐近线的距离为d=22||+bca b=|b|=1，即b2=1.又由于ca=2，故c2=a2+b2=4a2，所以a2=13，故所求双曲线的方程为3x2-y2=1.3. (2021·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系x O y中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A(22，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM∶MN=.【答案】13【解析】方法一：由题意得F(0，1)，所以直线AF的方程为22x+1y=1，将它与抛物线的方程联立，解得2-2212.2⎧=⎧=⎪⎪⎨⎨==⎪⎩⎪⎩xxyy，，或依题意知交点在第一象限，故取M122⎛⎫⎪⎝⎭，.准线方程为y=-1，故易求得点N(42，-1)，所以由三角形相像性质得FMMN=11-21-(-1)2=13.(第3题)方法二：如图，设点M到准线的距离为MB，则依据条件得FMMB=1.又由于F(0，1)，所以直线FA的斜率为k=1-22=-24，从而sin∠ANB=218=13，即MBMN=13，所以FMMN=13.4. (2021·扬州期末)如图，A，B，C是椭圆M：22xa+22yb=1(a>b>0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC=2AC.(第4题)(1) 求椭圆M的离心率；(2) 若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程.【解答】(1) 由于BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB.又由于AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C 为直角的等腰直角三角形，则A(a ，0)，C -22⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，，B -22⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，， 所以222⎛⎫ ⎪⎝⎭a a +22-2⎛⎫⎪⎝⎭a b =1，则a 2=3b 2， 所以c 2=2b 2，e =63， 所以椭圆M 的离心率为63.(2) △ABC的外接圆圆心为AB 的中点P 44⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，，半径为104a ，则△ABC的外接圆为2-4⎛⎫ ⎪⎝⎭a x +2-4⎛⎫ ⎪⎝⎭a y =58a 2.令x =0，得y =a 或y =-2a， 所以a --2⎛⎫ ⎪⎝⎭a =9，解得a =6.所以所求椭圆M 的方程为236x +212y =1.【融会贯穿】完善提高 融会贯穿典例 如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知A ，B ，C 是椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)上不同的三点，且A32322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，B(-3，-3)，点C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上.(典例)(1) 求椭圆的标准方程； (2) 求点C 的坐标；(3) 设动点P(异于点A ，B ，C)在椭圆上，且直线PB ，PC 分别交直线OA 于点M ，N ，求证：OM ·ON 为定值，并求该定值.【思维引导】【规范解答】(1) 由已知，得222218912991⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a b a b ，，解得2227272⎧=⎪⎨=⎪⎩a b ，，…………………………………………………………………………2分所以椭圆的标准方程为227x+2272y=1……………………………………………………3分(2) 设点C(m，n)(m<0，n<0)，则BC的中点为-3-322⎛⎫ ⎪⎝⎭m n，.由已知可得直线OA的方程为x-2y=0，从而m=2n-3. ①又由于点C在椭圆上，所以m2+2n2=27. ②由①②，解得n=3(舍去)或n=-1，从而m=-5 ……………………………………5分所以点C的坐标为(-5，-1)…………………………………………………………6分(3) 设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).由于P，B，M三点共线，所以11323++yy=33++yx，整理得y1=00003(-)-2-3y xx y………………8分由于P，C，N三点共线，所以22125++yy=15++yx，整理得y2=00005--23+y xx y……………10分由于点P在椭圆上，所以2x+22y=27，即2x=27-22y，从而y1y2=2200002200003(5-6)4-4-9++x y x yx y x y=200020003(3-627)2-418++y x yy x y=3×32=92，……………………………………………………………14分所以OM·ON=5y1y2=452，…………………………………………………………15分所以OM·ON为定值，且定值为452………………………………………………16分【精要点评】此题考查了椭圆的一些性质，结合了动点问题和向量，运用解析法可以解决这道题目，本身难度并不高，计算量也不是很大.论证椭圆性质问题往往接受如下的命题思路：由于椭圆可以由圆经过仿射变换得到，依据仿射变换前后长度比值不变原理，所以圆中的结论在椭圆中同样成立.如图，在圆O中，B，C为圆上的两个定点，BC中点为Q，直线QO交圆O于点A，且P(异于A，B，C)为圆O上的动点，BP，CP分别交直线QO于N，M两点. 依据△ONP∽△OPM，明显有OM·ON=OA2为定值.变式如图，已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)为椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)上的任意两点，直线PQ 与x轴交于点M，点R与点P关于x轴对称，直线QR与x轴交于点N.(变式)(1) 试用x1，x2，y1，y2表示点M和点N的横坐标；(2) 求证：OM·ON为定值.【解答】(1) 由题知直线PQ：(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，即(y2-y1)x-(x2-x1)y-(x1y2-x2y1)=0.令y=0，则xM=122121--x y x yy y.又R(x1，-y1)，所以直线QR：(y2+y1)(x-x1)-(x2-x1)(y+y1)=0，即(y2+y1)x-(x2-x1)y-(x1y2+x2y1)=0，令y=0，则xN=122121++x y x yy y.(2) 由(1)可得OM ·ON=122121--x y x yy y·122121++x y x yy y=222212212221--x y x yy y=22222212212222211--1--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y ya y a yb by y=a2，为定值.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第29-30页.【课后检测】第2讲圆锥曲线一、填空题1. (2021·常州期末)已知双曲线ax2-4y2=1的离心率为3，那么实数a的值为.2. (2021·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3. (2022·苏中三市、连云港、淮安二调)若在平面直角坐标系x O y中，双曲线C的离心率为2，且过点(1，2)，则双曲线C的标准方程为.4. 若抛物线x=1m y2的准线与双曲线212x-24y=1的右准线重合，则实数m的值是.5. (2022·辽宁卷)已知椭圆C：29x+24y=1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于椭圆C的焦点的对称点分别为点A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则AN+BN= .6. 如图，已知A，B，C是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上的三点，其中点A的坐标为(23，0)，BC过椭圆的中心，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，那么椭圆的标准方程为.(第6题)7. (2021·盐城中学)设椭圆22xm+22yn=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为.8. (2021·丹阳中学)设A，B分别是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点，点P是椭圆C上且异于A，B的一点，若直线AP与BP的斜率之积为-13，则椭圆C的离心率为.二、解答题9. (2022·南京、淮安三模)已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)过点P(-1，-1)，c为椭圆的半焦距，且c2b.过点P作两条相互垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线l1的斜率为-1，求△PMN的面积.10. (2021·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB=1，|OF|=1.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11. 如图，椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎝⎭，.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题) 【课后检测答案】第2讲圆锥曲线1. 8 【解析】将双曲线方程ax2-4y2=1化成标准式可得21xa-214y=1，所以c2=1a+14.又由于e2=1141+aa=1+4a=3，所以a=8.2. y=±5x【解析】5+m，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为y=5m x，即y=±52x.3. y2-x2=1 【解析】由于双曲线的离心率e2.设双曲线方程为x2-y2=m，则由点(12)在双曲线上得1-2=m=-1，故所求的双曲线方程为y2-x2=1.4. -12 【解析】212x-24y=1的右准线为x=2ac=124=3，所以抛物线y2=mx的开口向左，-4m=3，解得m=-12.5. 12 【解析】取MN的中点为G，点G在椭圆C上.设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B，则有GF1=12AN，GF2=12BN，所以AN+BN=2(GF1+GF2)=4a=12.6. 212x +24y =1 【解析】由于|BC |=2|AC |，直线BC 过点(0，0)，则|OC |=|AC |.又由于AC ·BC =0，所以∠OCA=90°，即又由于a，所以椭圆方程为212x +22y b =1，把点C 的坐标代入上式，得b 2=4，所以椭圆的方程为212x +24y =1.7.【解析】由题意可知，抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c =2，由于离心率为12，所以a =4，所以b8. 3 【解析】由题意知A(-a ，0)，B(a ，0)，取P(0，b )，则k AP ·k BP =b a ×-⎛⎫ ⎪⎝⎭b a =-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=.9. (1) 由条件得21a +21b =1，且c 2=2b 2，所以a 2=3b 2，解得b 2=43，a 2=4， 所以椭圆的方程为24x +234y =1. (2) 设直线l 1的方程为y +1=k (x +1)，联立22-134=+⎧⎨+=⎩y kx k x y ，，消去y ，得(1+3k 2)x 2+6k (k -1)x +3(k -1)2-4=0. 由于点P 的坐标为(-1，-1)，解得M 2222-36132-11313⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭k k k k k k ，. 当k ≠0时，用-1k 代替k ，得N 2222-6-3--2333⎛⎫+ ⎪++⎝⎭k k k k k k ，.将k =-1代入，得M(-2，0)，N(1，1). 由于P(-1，-1)， 所以，，所以△PMN的面积为12=2.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b =1(a >b >0)，则c =1. 又由于AF ·FB =1， 即(a +c )(a -c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM的垂心， 则设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由于M(0，1)，F(1，0)，故k PQ =1， 于是可设直线l 的方程为y =x +m ，联立2222=+⎧⎨+=⎩y x m x y ，，得3x 2+4mx +2m 2-2=0. 由于MP ·FQ =0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)， 又y i =x i +m (i =1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m -1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m -1)+m 2-m =0.由韦达定理得2·22-23m -43m(m -1)+m 2-m =0，解得m =-43或m =1(舍去). 经检验m =-43符合条件，所以直线l 的方程为y =x -43.11. (1) 由题意得2222212312-=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩c a b a b c ，，，解得a 2=4，b 2=3， 故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 由于F(1，0)，N(4，0).设A(m ，n )，M(x 0，y 0)，则B(m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y =-1nm (x -1)， 直线BN 的方程为y =4-nm (x -4)，解得点M 的坐标为5-832-52-5⎛⎫⎪⎝⎭m n m m ，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54⎛⎫ ⎪⎝⎭m m +232-53⎛⎫⎪⎝⎭n m =222(5-8)124(2-5)+m n m . 由24m +23n =1，得n 2=321-4⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，代入上式得204x +23y =1.所以点M 恒在椭圆C 上.。

圆锥曲线的几何性质例题和知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们具有独特的几何性质，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。

下面我们将通过一些例题来深入理解圆锥曲线的几何性质，并对相关知识点进行总结。

一、椭圆的几何性质椭圆的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴，＄b$为短半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。

1、范围椭圆位于直线$x ＝＼pm a$和$y ＝＼pm b$所围成的矩形内。

2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

3、顶点椭圆的顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄和$（0, ＼pm b)＄。

4、离心率离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄，反映了椭圆的扁平程度，＄0 ＜ e ＜1$，＄e$越接近 0，椭圆越接近于圆；＄e$越接近 1，椭圆越扁平。

例题 1：已知椭圆方程为$＼frac{x^2}｛9} ＋＼frac{y^2}｛4} ＝ 1$，求其顶点坐标、离心率和焦点坐标。

解：由方程可知，＄a ＝ 3$，＄b ＝ 2$，则$c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＝＼sqrt{5}＄。

顶点坐标为$（＼pm 3, 0)＄和$（0, ＼pm 2)＄。

离心率$e ＝＼frac{c}｛a} ＝＼frac{＼sqrt{5}｝｛3}＄。

焦点坐标为$（＼pm ＼sqrt{5}， 0)＄。

二、双曲线的几何性质双曲线的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$a$为实半轴，＄b$为虚半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。

1、范围双曲线在$x ＼leq a$或$x ＼geq a$上取值。

2、对称性双曲线关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

3、顶点双曲线的顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄。