2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第10讲 Word版含解析

一、选择题．函数()＝＋(－)的定义域是( )．(，＋∞)．(，＋∞)．(，)∪(，＋∞)．(，)解析：选.由解得＜＜，则该函数的定义域为(，)，故选.．已知函数()＝，∈，若()＝，则的值为( )．．－．－或解析：选.当≥时，()＝，()＝，即＝，解得＝.当＜时，()＝－，()＝，即－＝，无解．所以＝，故选.．(·广州综合测试(一))已知函数()＝，则(())＝( )．．－．－解析：选.因为()＝－＝＜，所以(())＝()＝＋＝＝，故选.．已知＝－，且()＝，则等于( )．－．－．解析：选.令＝－，则＝＋，所以()＝(＋)－＝－所以()＝－＝，即＝.．已知函数()＝若()＋()＝，则实数的值等于( )．－．－．．解析：选.因为()＝，所以()＝－()＝－，当＞时，()＝＝－，无解；当≤时，()＝＋＝－，所以＝－.综上，＝－，选.．(·云南第一次统考)已知函数()＝－，()＝＋(＞)，对任意的∈[－，]都存在∈[－，]，使得()＝()，则实数的取值范围是( )．(，]．．(，)．解析：选.当∈[－，]时，由()＝－，得()∈[－，]．又对任意的∈[－，]都存在∈[－，]，使得()＝()，所以当解得≤.综上所述，实数的取值范围是.二、填空题．函数()，()分别由下表给出．()()则(())的值为；满足(())＞(())的的值为．解析：因为()＝，()＝，所以(())＝.当＝时，(())＝()＝，(())＝()＝，不合题意．当＝时，(())＝()＝，(())＝()＝，符合题意．当＝时，(())＝()＝，(())＝()＝，不合题意．答案：．若()对于任意实数恒有()－(－)＝＋，则()＝．解析：令＝，得()－(－)＝，①令＝－，得(－)－()＝－，②联立①②得()＝.答案：．已知函数()＝若[()－(－)]>，则实数的取值范围为．解析：易知≠.由题意得，当>时，则－<，故[()－(－)]＝(＋－)>，化简可得－>，解得>或<.又因为>，所以>.当<时，则－>，故[()－(－)]＝[－－(－)]>，化简可得＋>，解得>或<－，又因为<，所以<－.综上可得，实数的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．答案：(－∞，－)∪(，＋∞)．已知函数()满足对任意的∈都有＋＝成立，则＋＋…＋＝．解析：由＋＝，得＋＝，＋＝，＋＝，又＝＝×＝，所以＋＋…＋＝×＋＝.答案：三、解答题．设函数()＝且(－)＝，(－)＝()．()求()的解析式；()画出()的图象．解：()由(－)＝，(－)＝()，得解得＝－，＝，所以()＝()()的图象如图：．已知函数()对任意实数均有()＝－(＋)，且()在区间[，]上有表达式()＝.()求(－)，()；()写出()在区间[－，]上的表达式．解：()由题意知(－)＝－(－＋)＝－()＝，()＝(＋)＝－()＝－×＝－.()当∈[，]时，()＝；当∈(，]时，－∈(，]，()＝－(－)＝－(－)；当∈[－，)时，＋∈[，)，()＝－(＋)＝－(＋)；当∈[－，－)时，＋∈[－，)，()＝－(＋)＝－×[－(＋＋)]＝(＋).所以()＝.。

一、选择题1．函数f (x )＝x1－x在( )A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C.函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x 1－x ＝11－x－1，根据函数y ＝－1x 的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(－1，0)∪(0，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.因为f (x )在R 上为减函数，且f ⎝⎛⎭⎫1|x |<f (1)，所以1|x |>1，即0<|x |<1， 所以0<x <1或－1<x <0.3．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞) C ．(－∞，8]∪[40，＋∞) D ．[8，40]解析：选C.法一：由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.法二：取k ＝0，则函数f (x )＝8x 2－7在[1，5]上为单调递增函数，所以排除B 、D ；取k ＝40，则函数f (x )＝8x 2－80x －7在[1，5]上为单调递减函数，所以排除A.故选C.4．(2018·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 解析：选C.由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，因为f (x )＝x －2在[－2，1]上是增函数， 所以f (x )≤f (1)＝－1，因为f (x )＝x 3－2在(1，2]上是增函数， 所以f (x )≤f (2)＝6， 所以f (x )max ＝f (2)＝6.5．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.6．(2018·湖北八校联考(一))设函数f (x )＝2xx －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( )A ．2B ．3C ．83D ．103解析：选C.易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.二、填空题7．函数f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为________．解析：因为f (x )＝|x －1|＋x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1x 2－x ＋1，x ＜1，所以f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122－54，x ≥1⎝⎛⎭⎫x －122＋34，x ＜1， 作出函数图象如图，由图象知f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)9．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧x （2x －a ），x >a2，－x （2x －a ），x ≤a2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a2，所以⎩⎨⎧a4≤2，a2≥4，解得a ＝8.答案：810．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a <3.答案：[1，3) 三、解答题11．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知函数f (x )＝2x －ax的定义域为(0，1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.因为1≥x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0.所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a <0时，f (x )＝2x ＋－ax ，当 －a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当 －a 2<1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎤0， －a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a .。

一、选择题1、函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A 、(2,＋∞) B 、(3,＋∞)C 、(2,3)D 、(2,3)∪(3,＋∞)解析:选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C. 2、已知函数f (x )＝x |x |,x ∈R ,若f (x 0)＝4,则x 0的值为 ( )A 、－2B 、2C 、－2或2 D. 2解析:选B.当x ≥0时,f (x )＝x 2,f (x 0)＝4,即x 20＝4,解得x 0＝2.当x ＜0时,f (x )＝－x 2,f (x 0)＝4,即－x 20＝4,无解、所以x 0＝2,故选B.3、(2018·广州综合测试(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0,则f (f (3))＝( ) A 、43B.23 C 、－43 D 、－3解析:选A.因为f (3)＝1－log 23＝log 2 23＜0, 所以f (f (3))＝f (log 2 23)＝2 log 223＋1＝2log 243＝43,故选A. 4、已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5,且f (a )＝6,则a 等于( ) A 、－74 B.74C 、43D 、－43解析:选B.令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2, 所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1所以f (a )＝4a －1＝6,即a ＝74. 5、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0,则实数a 的值等于( ) A 、－3 B 、－1C 、1D 、3解析:选A.因为f (1)＝2,所以f (a )＝－f (1)＝－2,当a ＞0时,f (a )＝2a ＝－2,无解；当a ≤0时,f (a )＝a ＋1＝－2,所以a ＝－3.综上,a ＝－3,选A.6、(2018·云南第一次统考)已知函数f (x )＝x 2－2x ,g (x )＝ax ＋2(a ＞0),对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2],使得g (x 1)＝f (x 0),则实数a 的取值范围是( )A 、⎝⎛⎭⎫0，12 B 、(0,1] C 、⎝⎛⎦⎤0，12 D 、(0,1) 解析:选C.当x 0∈[－1,2]时,由f (x )＝x 2－2x ,得f (x 0)∈[－1,3]、又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2],使得g (x 1)＝f (x 0),所以当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述,实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 二、填空题7、函数f (x ),g (x )分别由下表给出、则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值为________、解析:因为g (1)＝3,f (3)＝1,所以f (g (1))＝1.当x ＝1时,f (g (1))＝f (3)＝1,g (f (1))＝g (1)＝3,不合题意、当x ＝2时,f (g (2))＝f (2)＝3,g (f (2))＝g (3)＝1,符合题意、当x ＝3时,f (g (3))＝f (1)＝1,g (f (3))＝g (1)＝3,不合题意、答案:1 28、若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1,则f (1)＝________、解析:令x ＝1,得2f (1)－f (－1)＝4,①令x ＝－1,得2f (－1)－f (1)＝－2,②联立①②得f (1)＝2.答案:29、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0,则实数a 的取值范围为________、 解析:易知a ≠0.由题意得,当a >0时,则－a <0,故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0,化简可得a 2－2a >0,解得a >2或a <0.又因为a >0,所以a >2.当a <0时,则－a >0,故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0,化简可得a 2＋2a >0,解得a >0或a <－2,又因为a <0,所以a <－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)、答案:(－∞,－2)∪(2,＋∞)10、已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立,则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________、解析:由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2,得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2,f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2,f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2,又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1,所以f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案:7三、解答题11、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3,f (－1)＝f (1)、 (1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象、解:(1)由f (－2)＝3,f (－1)＝f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1, 所以f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图:12、已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1),且f (x )在区间[0,1]上有表达式f (x )＝x 2.(1)求f (－1),f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的表达式、解:(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0,f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18. (2)当x ∈[0,1]时,f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2； 当x ∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1),f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（x －1）2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。

一、选择题1．函数f (x )＝x 1－x在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 解析：选C.函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x 1－x ＝11－x－1，根据函数y ＝－1x 的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.因为f (x )在R 上为减函数，且f ⎝⎛⎭⎫1|x |<f (1)，所以1|x |>1，即0<|x |<1， 所以0<x <1或－1<x <0.3．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]解析：选C.法一：由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k 8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，所以k 8≤1或k 8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.法二：取k ＝0，则函数f (x )＝8x 2－7在[1，5]上为单调递增函数，所以排除B 、D ；取k ＝40，则函数f (x )＝8x 2－80x －7在[1，5]上为单调递减函数，所以排除A.故选C.4．(2018·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，因为f (x )＝x －2在[－2，1]上是增函数，所以f (x )≤f (1)＝－1，因为f (x )＝x 3－2在(1，2]上是增函数，所以f (x )≤f (2)＝6，所以f (x )max ＝f (2)＝6.5．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.6．(2018·湖北八校联考(一))设函数f (x )＝2x x －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( ) A ．2 B ．3C ．83D ．103解析：选C.易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83. 二、填空题7．函数f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为________．解析：因为f (x )＝|x －1|＋x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1x 2－x ＋1，x ＜1， 所以f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122－54，x ≥1⎝⎛⎭⎫x －122＋34，x ＜1， 作出函数图象如图，由图象知f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________． 解析：由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)9．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧x （2x －a ），x >a 2，－x （2x －a ），x ≤a 2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a 2，所以⎩⎨⎧a 4≤2，a 2≥4，解得a ＝8. 答案：810．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a <3. 答案：[1，3)三、解答题11．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25. 12．已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0，1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.因为1≥x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0.所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a <0时，f (x )＝2x ＋－a x， 当 －a 2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当 －a 2<1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎤0， －a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a 2时取得最小值2－2a .。

一、选择题1．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞)C ．(2，3)D ．(2，3)∪(3，＋∞)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C. 2．已知函数f (x )＝x |x |，x ∈R ，若f (x 0)＝4，则x 0的值为 ( )A ．－2B ．2C ．－2或2 D. 2解析：选B.当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2，故选B.3．(2018·广州综合测试(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0，则f (f (3))＝( ) A ．43 B.23C ．－43D ．－3 解析：选A.因为f (3)＝1－log 23＝log 2 23＜0， 所以f (f (3))＝f (log 2 23)＝2 log 223＋1＝2log 243＝43，故选A. 4．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74 B.74C ．43D ．－43解析：选B.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2， 所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－3 B ．－1C ．1D ．3解析：选A.因为f (1)＝2，所以f (a )＝－f (1)＝－2，当a ＞0时，f (a )＝2a ＝－2，无解；当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，所以a ＝－3.综上，a ＝－3，选A.6．(2018·云南第一次统考)已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1，2]都存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(0，1]C ．⎝⎛⎦⎤0，12D ．(0，1)解析：选C.当x 0∈[－1，2]时，由f (x )＝x 2－2x ，得f (x 0)∈[－1，3]．又对任意的x 1∈[－1，2]都存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 二、填空题7．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值为________．解析：因为g (1)＝3，f (3)＝1，所以f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意．当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意．当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意．答案：1 28．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________．解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，①令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，②联立①②得f (1)＝2.答案：29．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________． 解析：易知a ≠0.由题意得，当a >0时，则－a <0，故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0，化简可得a 2－2a >0，解得a >2或a <0.又因为a >0，所以a >2.当a <0时，则－a >0，故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0，化简可得a 2＋2a >0，解得a >0或a <－2，又因为a <0，所以a <－2.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________．解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2， f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：7三、解答题11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0. (2)f (x )的图象如图：12．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1]上有表达式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18. (2)当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2； 当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（x －1）2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。

章末总结二、根置教材,考在变中 一、选择题1、(必修1 P 58练习T 2(1)改编)函数f (x )＝32－x 的定义域为A ,值域为B ,则A ∩B ＝( ) A 、(0,2] B 、[1,2] C 、[0,1] D 、(1,2)解析：选B.因为A ＝{x |x ≤2},B ＝{y |y ≥1},所以A ∩B ＝[1,2],故选B.2、(必修1 P 74A 组T 2(2)(3)(4)改编)设a ＝log 87,b ＝log 43,c ＝log 73,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A 、a >b >c B 、a >c >b C 、b >a >c D 、b >c >a 解析：选A.由a ＝log 87得8a ＝7,即23a ＝7,2a＝713,即a ＝log 2713.由b ＝log 43得4b ＝3,即22b＝3,2b＝312,即b ＝log 2312.又()7136＝49,()3126＝27.所以713>312,则a >b .由于1<4<7,所以log 43>log 73,即b >c ,所以a >b >c .3、(必修1 P 44A 组T 7改编)已知f (x )＝a －x 1＋x ,且f ⎝⎛⎭⎫1b ＝－f (b )对于b ≠－1时恒成立,则a 的值为( ) A 、0 B 、1 C 、2D 、－1解析：选 B.因为f (x )＝a －x 1＋x,由f ⎝⎛⎭⎫1b ＝－f (b ),得a －1b 1＋1b ＝－a ＋b 1＋b ,化简得(a －1)(b ＋1)＝0.要使上式对于b ≠－1恒成立,则a －1＝0,所以a ＝1.4、(必修1 P 45B 组T 6改编)定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (4)＝f (－2)＝0,在区间(－∞,－3)与[－3,0]上分别单调递增和单调递减,则不等式xf (x )>0的解集为( )A 、(－∞,－4)∪(4,＋∞)B 、(－4,－2)∪(2,4)C 、(－∞,－4)∪(－2,0)D 、(－∞,－4)∪(－2,0)∪(2,4) 解析：选D.因为f (x )是偶函数,所以f (4)＝f (－4)＝f (2)＝f (－2)＝0,又f (x )在(－∞,－3),[－3,0]上分别单调递增与单调递减,所以xf (x )>0的解集为(－∞,－4)∪(－2,0)∪(2,4),故选D.5、(必修1 P 36练习T 1(2)改编)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )解析：选B.易判断函数为奇函数、由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当0<x <1时,y <0；当x >1时,y >0,故选B.6、(必修1 P 88例1改编)已知e 是自然对数的底数,函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ,函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ,则下列不等式中成立的是( )A 、f (a )<f (1)<f (b )B 、f (a )<f (b )<f (1)C 、f (1)<f (a )<f (b )D 、f (b )<f (1)<f (a )解析：选A.由题意,知f ′(x )＝e x ＋1>0恒成立,所以函数f (x )在R 上是单调递增的,而f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0,f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0,所以函数f (x )的零点a ∈(0,1)；由题意,知g ′(x )＝1x ＋1>0,所以函数g (x )在(0,＋∞)上是单调递增的,又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0,g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0,所以函数g (x )的零点b ∈(1,2)、综上,可得0<a <1<b <2.因为f (x )在R 上是单调递增的,所以f (a )<f (1)<f (b )、故选A.7、(必修1 P 24A 组T 1(1)改编)已知函数f (x )＝3xx －4的图象与直线x ＋my －3m －4＝0有两个交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2x 1＋x 2等于( )A 、43B 、34C 、－43D 、－34解析：选B.因为f (x )＝3x x －4＝3（x －4）＋12x －4＝3＋12x －4,其图象是由y ＝12x 向右平移4个单位后,再向上平移3个单位得到,所以函数f (x )＝3xx －4的图象关于点(4,3)对称,又直线x ＋my －3m －4＝0,即为(x －4)＋m (y －3)＝0,从而恒过定点(4,3)、所以A (x 1,y 1)与B (x 2,y 2)关于点(4,3)对称,所以x 1＋x 2＝8,y 1＋y 2＝6,所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝68＝34.8、(必修1 P 23练习T 3改编)已知函数f (x )＝|2x －1|,a <b <c ,且f (a )>f (c )>f (b ),则下列结论中,一定成立的是( )A 、a <0,b <0,c <0B 、a <0,b ≥0,c >0C 、2－a <2c D 、2a ＋2c <2解析：选D.作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示,又a <b <c ,且f (a )>f (c )>f (b ),结合图象知f (a )<1,a <0,c >0,所以0<2a <1,所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a ,所以f (c )<1,所以0<c <1,所以1<2c <2,所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又f (a )>f (c ),即1－2a >2c －1,所以2a ＋2c <2,故选D.二、填空题9、(必修1 P 75B 组T 2改编)若log a 2<1(a >0且a ≠1),则a 的范围为________、解析：当0<a <1时,log a 2<0,所以log a 2<1成立、当a >1时,log a 2<1即为log a 2<log a a .所以a >2,综上所述a 的范围为(0,1)∪(2,＋∞)、答案：(0,1)∪(2,＋∞)10、(必修1 P 23练习T 3改编)函数y ＝|x ＋a |的图象与直线y ＝1围成的三角形的面积为__________、解析：作出其图象如图所示,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x ＋a |，y ＝1，得A (－1－a ,1),B (1－a ,1),所以|AB |＝2,所以S △ABC ＝12×2×1＝1.答案：111、(必修1 P 75A 组T 12改编)研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼逆流游速可以表示为函数v ＝a log 3Q100,其中v 的单位为m/s,Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数,a 为正常数、已知一条鲑鱼游速为32 m/s 时,其耗氧量为2 700个单位数,则当它的游速为2 m/s 时,它的耗氧量是静止时耗氧量的________倍、解析：当Q ＝2 700时,v ＝32 m/s.所以32＝a log 32 700100,所以a ＝12.即v ＝12log 3Q100.所以当v＝2时,2＝12log 3Q 100,此时Q ＝8 100,当v ＝0时,0＝12log 3Q100,此时Q ＝100.所以游速2 m/s 时的耗氧量是静止时耗氧量的8 100100＝81倍、 答案：8112、(必修1 P83B组T4改编)已知函数f(x)＝e x＋k e－x为奇函数,函数g(x)是f(x)的导函数,有下列4个结论：①[f(x)]2－[g(x)]2为定值；②曲线f(x)在任何一点(x0,f(x0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角；③函数f(x)与g(x)的图象有且只有1个交点；④f(2x)＝2f(x)g(x)恒成立、则正确的结论为________(将正确结论的序号都填上)、解析：因为f(x)＝e x＋k e－x为奇函数,所以f(－x)＝－f(x),即e－x＋k e x＝－e x－k e－x,(k＋1)(e －x＋e x)＝0.所以k＝－1.即f(x)＝e x－e－x.则g(x)＝f′(x)＝e x＋e－x,所以[f(x)]2－[g(x)]2＝(e x－e－x)2－(e x＋e－x)2＝－4为定值,故①正确、又f′(x)＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2.所以f′(x)≥2> 3.即曲线f(x)在任意一点(x0,f(x0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角,故②正确、③由f(x)＝g(x),即e x－e－x＝e x＋e－x得e－x＝0,无解、即函数f(x)与g(x)的图象无交点,故③错误、④f(2x)＝e2x－e－2x,f(x)g(x)＝(e x－e－x)(e x＋e－x)＝e2x－e－2x,所以f(2x)＝f(x)g(x),所以f(2x)＝2f(x)g(x)恒成立错误,故④错误、答案：①②。