2010年高考数学选择试题分类汇编选择题--直线与圆1

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试及答案第I 卷一．选择题 (1)复数3223i i+=-(A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i ii i +++++-===--+.(2)记cos(80)k -︒=,那么tan 100︒=A.21k k- B. -21k k- C.21k k- D. -21k k-2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析】222sin 801cos 801cos (80)1k=-=--=-,所以tan 100tan 80︒=-2sin 801.cos 80k k-=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为m ax 12(1)3z =-⨯-=.0x y += 1Oy x =y20x y --=xA 0:20l x y -=2-2A（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则a a a=(A) 52(B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a =====(5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 45.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】35533(12)(1)(16128)(1)x x x x x x x +-=+++-故353(12)(1)x x +-的展开式中含x的项为333551()1210122C x xC x x x ⨯-+=-+=-,所以x的系数为-2.(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的ABC DA 1B 1C 1D 1 O选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23B33C 23D637.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC1D ，由等体积法得11D A C D D A C DV V --=,即111133A C D A C D S D O S D D ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则12211133sin 60(2)2222AC D S AC AD a a ∆==⨯⨯=,21122A C D S A D C D a ∆==.所以1312333AC DAC DS D D aD O a S a∆∆===,记DD 1与平面AC1D 所成角为θ,则13sin 3D O D D θ==,所以6cos 3θ=.（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b,c=125-=15,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为 (A)32(B)62(C) 3 (D) 69.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12a P F e x a e x x c=--=+=+，22000||[)]21aPF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得 cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||P F P F F F P F P F +-,即cos 0602220000(12)(21)(22)2(12)(21)x x x x ++--=+-,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为06||2y =（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 222a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a=，所以a+2b=2a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为 (A) 42-+(B)32-+(C) 422-+ (D)322-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，APO=21x +，21sin 1xα=+，||||cos 2P A P B P A P B α∙=⋅ =22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙= ，则4221x xy x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB ∙=-+.此时21x =-.（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233(B)433(C) 23 (D)83312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有A B C D 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 433V =.第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)(13)不等式2211x x +-≤的解集是 .13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 解析:原不等式等价于2221(1),10x x x ⎧+≤+⎨+≥⎩解得0≤x ≤2.(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .14．17-【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.12x =y=1xy aO12x =-414a y -=2y x x a=-+【解析】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))(k k k Z απππ∈+++∈，又3c o s 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4sin 25α=,sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tantan 2134471tantan 2143παπα-+==--+.(15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .15.(1,5)4【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知，a 的取值必须满足1,4114a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<.(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =uu r uur，则C 的离心率为 . 16.23【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图，22||BF b c a =+=,作1D D y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =uu r uur，得1||||2||||3O F BF D D BD ==,所以133||||22D D O F c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22ac cFD e a ca=-=-又由||2||BF FD =,得232c c a a=-,整理得22320c a ac -+=.xO yBF1DD两边都除以2a ,得2320e e +-=,解得1()e =-舍去，或23e =.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知A B C V 的内角A ，B 及其对边a，b 满cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.【解析】(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.【解析】(18)解：(Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用. 则 D=A+B·C,()0.50.50.25,()20.50.50.5P A P B P C=⨯==⨯⨯== ()()P D P A B C=+=()()P A P B C + =()()()P A P B P C + =0.25+0.5×0.3 =0.40.(Ⅱ)~(4,0.4)X B ，其分布列为： 4(0)(10.4)0.1296,P X ==-= 134(1)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 2224(2)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 334(3)0.4(10.4)0.1536,P X C ==⨯⨯-=4(4)0.40.0256.P X === 期望40.4 1.6E X =⨯=.（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (19) 【解析】解法一：(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,由此知 1,DG GC BG ===即A B C ∆为直角三角形，故B C B D ⊥.又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，(Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD =133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又. 故AD E ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接A F ,则226,3AF D E AF AD D F⊥=-=.连接F G ，则//,FG EC FG DE ⊥.所以，A F G ∠是二面角A D E C --的平面角. 连接AG,AG=2,2263FG D G D F=-=,2221cos 22AF FG AGAFG AF FG+-∠==-,所以，二面角A D E C --的大小为120°.解法二：以D 为坐标原点，射线D A 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，由,m D E m D C⊥⊥,得m D E⊥=，0m DC⊥=故20,20 111x y zyλλλλλ++==+++.令2x=，则(2,0,)mλ=-.(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想. 【解析】20.解： （Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x xλ+'=+-=+，()l n 1x f x x x '=+, 题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤.令()ln g x x x =-，则1()1g x x'=-当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤，1x =是()g x 的最大值点，()(1)1g x g =-≤ 综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.(Ⅱ)有（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时，()l n (l n 1f x x x x x =+-+ 1l n (l n 1)x x x x=++- 11ln (ln 1)x x x x=--+0≥所以(1)()0x f x -≥（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设89F A F B = ，求B D K ∆的内切圆M 的方程 .【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.【解析】（21）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠.（Ⅱ）由①知，21212(1)(1)42x x m y m y m +=-+-=- 1212(1)(1) 1.x x m y m y =--=因为 11(1,),FA x y =-uu r 22(1,)FB x y =-uur，212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=--+=-+++=-uu r uur故 28849m -=，解得 43m =±所以l 的方程为3430,343x y x y ++=-+=又由①知 2214(4)4473y y m -=±-⨯=±故直线BD 的斜率21437y y =±-，因而直线BD 的方程为3730,3730.x y x y +-=--=因为KF 为BK D ∠的平分线，故可设圆心(,0)(11)M t t -<<，(,0)M t 到l 及BD 的距离分别为3131,54t t +-. 由313154t t +-=得19t =，或9t =（舍去），故 圆M 的半径31253t r +==.所以圆M 的方程为2214()99x y -+=.（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-.（Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查. 【解析】（Ⅱ）12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得 用数学归纳法证明：当2c >时1n n a a +<. （ⅰ）当1n =时，2111a c a a =->，命题成立；。

2010-2019高考数学文科真题分类训练专题九 解析几何 第二十四讲 直线与圆答案部分 2019年1.解析 由题意和题图可知，当P 为优弧»AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-. 此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 44sin βββπ-=+.故选B.2.解析 24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=.3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．3.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-． 所以圆心为（0，-2），则半径22(20)(12)5r =--+-+=． 解法二：由22034(1)41m r m ⨯-+==+++，得2m =-，所以55r == 4.解析 （1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .2010-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离222d ==所以点P 到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB =所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ．2．C 【解析】圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.3．B 【解析】由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是，所=2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以MN ==123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．4．A 【解析】由题意知圆心为(1,4)，1=，解得43a =-，故选A ．5．D 【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=．6．D 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，圆心(1,1)到直线34x y b +=的距离|7|15b -=，所以2b =或12b =． 7．B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC ，故中心为，故ΔABC3=． 8．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=o，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M 的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin 32OMN '∠=<， 则45OMN '∠<o，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =C ，故选A ．9．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 10．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．11．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．12．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．13．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d ==2422r a =+=-，故4a =-14．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．15．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 16．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是–2，只有选项A 中直线的斜率为–2． 17．A 【解析】 圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=， 故选A ．18．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.19．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =， （2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：112b -<<，选B20．B 【解析】点M(a , b )在圆.112222>+⇒=+b a y x 外111)00(.22<+==+ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．21．C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-。

高考数学试题分类汇编直线与圆一． 选择题：1.（全国一10）若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点，则（ D ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．2211a b+≥12.（全国二3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1B ．3C ．2D ．53.（全国二6）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（ D ） A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-4.（安徽卷10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ D ）A ．[3,3]B ．(3,3)C ．33[33-D ．33(,)33-5.（安徽卷11） 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( C )A ．34B ．1C ．74D ．56.（北京卷6）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ A ）A ．0B ．12C ．1D ．27.（福建卷2）“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的C A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.（福建卷10)若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是DA.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)9.（广东卷6）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ C ）A 、10x y ++=B 、10x y +-=C 、10x y -+=D 、10x y --=10.（海南卷10）点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（ B ）A. [0，5]B. [0，10]C. [5，10]D. [5，15]11.（湖北卷5）在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组,1x y x ⎧≤⎪⎨⎪⎩的点(,)x y 的集合用阴影表示为下列图中的C12.（湖南卷3．已条变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( C )A ．4 B.3 C.2 D.113.（辽宁卷3）圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ B ） A ．(22)k ∈-，B ． (33)k ∈-，C ．(2)(2)k ∈--+∞，，∞D ．(3)(3)k ∈--+∞，，∞ 14.（辽宁卷9）已知变量x y ，满足约束条件1031010y x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ B ） A ．4B ．2C ．1D ．4-15.（山东卷11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭16.（陕西卷5）直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ A ）A 3或3-B ．3-33C ．33-3D ．3-3317.（四川卷6）直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+（Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+18.（天津卷2）设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ D ） A ．2B ．3C ．4D ．519.（浙江卷10）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于C （A ）12 （B ）4π （C ）1 （D ）2π 20.（重庆卷3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为C(A)1)1()1(22=++-y x(B)1)1()1(22=+++y x(C) 1)1()1(22=-+-y x(D)1)1()1(22=-++y x二． 填空题：1.（全国一13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．92.（福建卷14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值范围是 . (,0)(10,)-∞⋃+∞3.（广东卷12）若变量x ，y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =3x +2y 的最大 值是________。

10年高考全国卷一解几汇编9．〖2010全国大纲Ⅰ卷〗已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=o ，则P 到x 轴的距离为( )A ．2 B ．2C D ． 11．〖2010全国大纲Ⅰ卷〗已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为( )A ．4-B ．3-+C ．4-+D ．3-+16．〖2010全国大纲Ⅰ卷〗已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =u u u r u u u r，则C 的离心率为．21．〖2010全国大纲Ⅰ卷〗(本小题满分12分)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． (1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设89FA FB ⋅=u u u r u u u r ，求△BDK 的内切圆M 的方程．4．〖2013新课标卷Ⅰ〗设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆是底角为o30的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．21 B ．32 C ．43 D ．548.〖2013新课标卷Ⅰ〗等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为( ) A ．2 B ．22C ．4D ．820．〖2013新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分)设抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA为半径的圆F 交l 于B 、D 点． (Ⅰ)若oBFD 90=∠，ABD ∆的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．4．〖2013新课标卷Ⅰ〗已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12xD ．y ＝±x10．〖2013新课标卷Ⅰ〗已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A ．x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝120．〖2013新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．4．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A ．B ．3 CD ．3m10．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =( )A ．72B ．52C ．3D ．220．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分)已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． (Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．5．〖2015新课标1理〗已知00(,)M x y 是双曲线:C 2212x y -=上的一点，1F 、2F 是C 上的两个焦点.若120MF MF ⋅<u u u u r u u u u r，则0y 的取值范围是( )A ．(,)33-B ．(C ．(D ．(,33-14．〖2015新课标1理〗一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____．20．〖2015新课标1理〗在直角坐标系xOy 中，曲线:C 24x y =与直线:l (0)y kx a a =+>交与M ，N 两点． (1)当0k=时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．5．〖2016全国卷Ⅰ理〗已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(–1,3) B ．(–1,3) C ．(0,3) D ．(0,3)10．〖2016全国卷Ⅰ理〗以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E两点．已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．820．〖2016全国卷Ⅰ理〗(本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；(II )设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．10.〖2017新课标1理〗已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则AB DE +的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．1015.〖2017新课标1理〗已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点.若60MAN ∠=o ，则C 的离心率为____.8．〖2018全国Ⅰ〗设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r=( )A ．5B ．6C ．7D ．811．〖2018全国Ⅰ〗已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若OMN ∆为直角三角形，则||MN =( )A ．32B ．3C ．D ．419．〖2018全国Ⅰ〗（12分）设椭圆:C 2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．10．〖2019全国Ⅰ理〗已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 16．〖2019全国Ⅰ理〗已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B =u u u r u u u u rg ，则C 的离心率为____．19．〖2019全国Ⅰ理〗(12分)已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． (1)若||||4AF BF +=，求l 的方程；(2)若3AP PB =u u u r u u u r，求||AB ．。

年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）解析：四川省成都市新都一中肖宏本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷至页，第Ⅱ卷至页．满分分。

考试时间分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：．答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．。

本试卷共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件、互斥，那么球的表面积公式() ()()如果事件、相互独立，那么其中表示球的半径(·)()·() 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题：（）是虚数单位，计算＋＋＝（）－（）（）（）解析：由复数性质知：＝－故＋＋＝＋(－)＋(－)＝－答案：（）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（）（）（）（）解析：由图象及函数连续的性质知，正确.答案：（）＋＝（）（）（）（）解析：＋＝＋＝＝答案：（）函数()＝＋＋的图像关于直线＝对称的充要条件是（）（）（）（）解析：函数()＝＋＋的对称轴为＝－于是－＝ ＝－答案：（）设点是线段的中点，点在直线外，则（）（）（）（）解析：由＝，得＝＝而故答案：（）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）（）（）（）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为＝(－)再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.答案：（）某加工厂用某原料由甲车间加工出产品，由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时小时可加工出千克产品，每千克产品获利元，乙车间加工一箱原料需耗费工时小时可加工出千克产品，每千克产品获利元.甲、乙两车间每甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（）甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱（）甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱（）甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱（）甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱则目标函数＝＋结合图象可得：当＝＝时最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案：（）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（）（）（）（）解析：由,且作差得＋＝＋又＝＋，即＋＝＋⇒＝故{}是公比为的等比数列＝＋＋＋……＋－＝(－)则答案：（）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）（）（）（）解析：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即点到点与点的距离相等而＝∈[－＋]于是∈[－＋]即－≤≤＋∴⇒又∈()故∈答案：（）由、、、、、组成没有重复数字且、都不与相邻的六位偶数的个数是（）（）（）（）解析：先选一个偶数字排个位，有种选法①若在十位或十万位，则、有三个位置可排，＝个②若排在百位、千位或万位，则、只有两个位置可排，共＝个算上个位偶数字的排法，共计(＋)＝个答案：（）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点，，那么、两点间的球面距离是（）（）（）（）解析：由已知，＝＝,故∠＝∠＝连结，则△为等腰三角形＝∠＝，同理＝，且∥而＝＝故：＝＝，连结、，有＝＝于是∠＝所以、两点间的球面距离是答案：（）设，则的最小值是（）（）（）（）解析：＝＝≥＋＋＝当且仅当－＝＝(－)＝时等号成立如取＝＝＝满足条件.答案：第Ⅱ卷二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分.把答案填在题中横线上. （）的展开式中的第四项是.解析：＝答案：－（）直线与圆相交于、两点，则.解析：方法一、圆心为()，半径为圆心到直线的距离为＝故得＝答案：（）如图，二面角的大小是°，线段.，与所成的角为°.则与平面所成的角的正弦值是.解析：过点作平面β的垂线，垂足为，在β内过作的垂线.垂足为 连结，有三垂线定理可知⊥，故∠为二面角的平面角，为°又由已知，∠＝°连结，则∠为与平面所成的角设＝，则＝，＝＝＝∴∠＝答案：（）设为复数集的非空子集.若对任意，都有，则称为封闭集。

考点21 直线与圆1.（2010·安徽高考文科·Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 【命题立意】本题主要考查直线平行问题.【思路点拨】可设所求直线方程为20x y c -+=，代入点（1，0）得c 值，进而得直线方程.【规范解答】选A ，设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 2.(2010·广东高考文科·Ｔ6）若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）(A)22(5)5x y -+= (B)22(5)5x y ++=(C)22(5)5x y -+= (D)22(5)5x y ++=【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】选D .设圆心为(,0)(0)a a <，则2220512a r +⨯==+，解得5a =-，所以所求圆的方程为：22(5)5x y ++=，故选D .3.（2010 ·海南宁夏高考·理科T15）过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)． 则圆C 的方程为 .【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键. 【思路点拨】由题意得出圆心既在线段AB 的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，进而可求出圆心和半径,从而得解.【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，又在线段AB 的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，AB 的中垂线为3x =，联立半径2r CA ==22(3)2x y -+=.【答案】22(3)2x y -+=4.（2010·广东高考理科·Ｔ１2）已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】设圆心坐标为(,0)a ，则022a +=，解得2a =±，又圆心位于y 轴左侧，所以2a =-.故圆O 的方程为22(2)2x y ++=. 【答案】22(2)2x y ++=5.（2010·天津高考文科·Ｔ１4）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切.则圆C 的方程为【命题立意】考查点到直线的距离、圆的标准方程、直线与圆的位置关系. 【思路点拨】圆心到与圆的切线的距离即为圆的半径.【规范解答】由题意可得圆心的坐标为（-1,0），圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径，故22r ==，所以圆的方程为2x+1y 2+=2（）. 【答案】2x+1y 2+=2（） 6.（2010·江苏高考·Ｔ9）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________ 【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系.【思路点拨】由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线12x-5y+c=0的距离小于1，从而求出c 的取值范围.【规范解答】如图，圆422=+y x 的半径为2， 圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1, 问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的 距离小于1.1,13,1313.c c <<∴-<<【答案】1313c -<<7.（2010·山东高考理科·Ｔ16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ．【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.【规范解答】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0. 【答案】x+y-3=0【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.8.（2010·山东高考文科·Ｔ１6）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】根据弦长及圆心在x 轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径即可得解. 【规范解答】设圆心坐标为(a,0)，圆的半径为r，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），222(1)(31)4,r a =-=-=故所求圆的方程为22(3) 4.x y -+=. 【答案】22(3)4x y -+=【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.9.（2010·湖南高考文科·Ｔ14）若不同两点P,Q 的坐标分别为（a ，b ），（3-b ，3-a ），则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为 . 【思路点拨】第一问直接利用“如果两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-1”；第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称.【规范解答】设PQ 的垂直平分线的斜率为k ，则k ·ab ba ----33=-1，∴k=-1，而且PQ 的中点坐标是(23b a -+ ,23b a +-)，∴l 的方程为：y-23b a +-=-1·(x-23b a -+ )，∴y=-x+3,而圆心(2,3)关于直线y=-x+3对称的点坐标为(0,1)，∴所求圆的方程为：x 2+(y-1)2=1. 【答案】-1 x 2+(y-1)2=1【方法技巧】一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为±1，常常把横坐标代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标，如(a,b)关于y=x+c 的对称点是(b-c,a+c).10.（2010·北京高考理科·Ｔ１9）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. (1)求动点P 的轨迹方程.(2)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【命题立意】本题考查了动点轨迹的求法，第（2）问是探究性问题，考查了考生综合运用知识解决问题的能力，考查了数学中的转化与化归思想.【思路点拨】（1）设出点P 的坐标，利用AP 与BP 的斜率之积为13-，可得到点P 的轨迹方程.（2）方法一：设出00(,)P x y ，把PAB ∆和PMN ∆的面积表示出来，整理求解；方法二：把△PAB 与△PMN 的面积相等转化为||||||||PA PN PM PB =，进而转化为0000|1||3||3||1|x x x x +-=--. 【规范解答】（1）因为点B 与点A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1,1)-.设点P 的坐标为(,)x y ， 由题意得111113y y x x -+=-+-，化简得 2234(1)x y x +=≠±.故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±.（2）方法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y . 则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，直线BP 的方程为0011(1)1y y x x ++=--， 令3x =得000431M y x y x +-=+，000231N y x y x -+=-，于是PMN ∆的面积为2000020||(3)1||(3)2|1|PMNM N x y x S y y x x ∆+-=--=-， 又直线AB 的方程为0x y +=，||AB = 点P 到直线AB的距离d =， 于是PAB ∆的面积为001||||2PAB S AB d x y ∆==+， 当PABPMN S S ∆∆=时，有20000020||(3)|||1|x y x x y x +-+=-， 又00||0x y +≠，所以20(3)x -=20|1|x -，解得053x =. 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，此时点P的坐标为55(,,-3939或（方法二：若存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y 则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠， 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以||||||||PA PN PM PB =，所以0000|1||3||3||1|x x x x +-=--， 即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 53=， 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P的坐标为55(,,-3939或（.。

专题九 解析几何 第二十五讲 直线与圆答案部分 2019年1.解析 由直线l 的参数方程消去t ，可得其普通方程为4320x y -+=． 则点（1，0）到直线l 的距离是d ==2. 解析 解法一：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-，解得000)x x =>． 所以曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=． 解法二：由题意可设点P 的坐标为4,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭()0x >，则点P 到直线0x y +=的距离222242x d ⎛⎫+ ⎪==⨯⨯=…，当且仅当x =所以点P 到直线0x y +=的距离的最小值为4. 3.解析 解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM==，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 4.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-．所以圆心为（0，-2），则半径r ==．解法二：由r ==，得2m =-，所以r ==2010-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=， 圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==以||AB ==11222ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)Px y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =， 由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】 设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-， 所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=， 设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin 32OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ． 13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=， 故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =， （2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：1122b -<<，选B 22．B 【解析】点M(a ,b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-， 即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

直线和圆的方程十年高考题含答案直线和圆的方程●考点阐释解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科．在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究．学习解析几何，要特别重视以下几方面：（1）熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用；（2）与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用．●试题类编一、选择题1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A.95B.91C.88D.753.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0D.|x |－|y |=04.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定的5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（）A.1，－1B.2，－2C.1D.－16.（2002全国理）圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y =33x 的距离是（） A.21 B.23 C.1D.37.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A （co s 80°,sin80°）,B （co s 20°，sin20°），则|AB |的值是（）A.21B.22 C.23 D.18.（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.)3,6[ππB.)2,6(ππ C.)2,3(ππD.]2,6[ππ 9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922yx +＝1，③x 2＋42y ＝1，④42x ＋y 2＝1．其中与直线x +y －5=0仅有一个交点的曲线是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④10.（2001全国文，2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（）A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝411.（2001上海春，14）若直线x =1的倾斜角为α，则α（） A.等于0B.等于4πC.等于2π D.不存在12.（2001天津理，6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |=|PB |，若直线P A 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程是（）A.x +y －5=0B.2x －y －1=0C.2y －x －4=0D.2x +y －7=013.（2001京皖春，6）设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是（）A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x =y 对称的是（）A.x 2－x ＋y 2＝1B.x 2y ＋xy 2＝1C.x －y =1D.x 2－y 2＝115.（2000京皖春，6）直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是（）A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A.y =3x B.y =－3x C.y =33x D.y =－33x 17.（2000全国文，8）已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，12π）内变动时，a 的取值范围是（） A.（0，1）B.（3,33） C.（33，1）∪（1，3） D.（1，3）18.（1999全国文，6）曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（）A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称19.（1999上海，13）直线y =33x 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x －2）2+y 2=3的位置关系是（）A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点20.（1999全国，9）直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为（） A.6π B.4π C ．3π D.2π21.（1998全国，4）两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（）A.A 1A 2＋B 1B 2＝0B.A 1A 2－B 1B 2＝0C.12121-=B B A AD.2121A A B B =1 22.（1998上海）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x +ay +c =0与bx －sin B ·y +sin C =0的位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直23.（1998全国文，3）已知直线x =a （a >0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（）A.5B.4C.3D.224.（1997全国，2）如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 等于（） A.－3B.－6C.－23D.32 25.（1997全国文，9）如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（）A.［0，2］B.［0，1］C.［0，21］D.［0，21） 26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（）A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D.经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示27.（1995全国文，8）圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切28.（1995全国，5）图7—1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（）A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 229.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y =2x 的距离是（）A.25B.5 C.23D.25 二、填空题30.（2003上海春，2）直线y =1与直线y =3x +3的夹角为_____.31.（2003上海春，7）若经过两点A （－1，0）、B （0，2）的直线l 与圆（x －1）2+ （y －a ）2=1相切，则a =_____.32.（2002北京文，16）圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为．33.（2002北京理，16）已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为．34.（2002上海文，6）已知圆x 2＋（y －1）2＝1的圆外一点P （－2，0），过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．35.（2002上海理，6）已知圆（x ＋1）2＋y 2＝1和圆外一点P （0，2），过点P 作圆的图7—1切线，则两条切线夹角的正切值是．36.（2002上海春，8）设曲线C 1和C 2的方程分别为F 1（x ，y ）＝0和F 2（x ，y ）＝0，则点P （a ，b ）C 1∩C 2的一个充分条件为．37.（2001上海，11）已知两个圆：x 2＋y 2＝1①与x 2＋（y －3）2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：38.（2001上海春，6）圆心在直线y =x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为 . 39.（2000上海春，11）集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2＝4｝，B ＝｛（x ，y ）|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是_____.40.（1997上海）设圆x 2+y 2－4x －5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .41.（1994上海）以点C （－2，3）为圆心且与y 轴相切的圆的方程是 . 三、解答题42.（2003京春文，20）设A （－c ，0），B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由；（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.44.（2002全国文，21）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55，求该圆的方程. 46.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.47.（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=lo g8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y ＝lo g2x的图象交于C、D两点.（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R （－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.答案解析1.答案：B解析：圆心坐标为（0，0），半径为1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d =22||b a c +=1，即a 2+b 2=c 2.所以，以|a |，|b |，|c |为边的三角形是直角三角形.评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a 、b 、c 之间的关系，以确定三角形形状.2.答案：B 解析一：由y =10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）转化为求满足不等式y ≤10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）所有整数y 的值.然后再求其总数.令x =0，y 有11个整数，x =1，y 有10个，x =2或x =3时，y 分别有9个，x =4时，y 有8个，x =5或6时，y 分别有7个，类推：x =13时y有2个，x =14或15时，y 分别有1个，共91个整点.故选B.解析二：将x =0，y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB 内部和边上的整点共有26176+=91（个）评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.3.答案：D解析：设到坐标轴距离相等的点为（x ，y ）∴|x |＝|y | ∴|x |－|y |＝0 4.答案：C解析：圆2x 2＋2y 2＝1的圆心为原点（0，0）半径r 为22，圆心到直线x sin θ＋y －1＝0的距离为：1sin 11sin |1|22+=+=θθd图7—2。

式 （ 点斜 式 、两 点 式及 一 般 式） ，了解 斜 截 式 与 一 次 函数 的 关 系 ． 题 目源于教材又高 于教 材且综合运用方 程 、不等式 、函数和平
⑤ 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
条 平行 直 线 间 的距 离 ．
面向量等工具 ，合理 调控综合程度 ，宽角度 、高视点 、多层次 助于高校选拔人才 ，有助于 中学实施素质教育”的原则． 本 年度各地高考数 学大纲卷涉及解 析几何 内容 的试题情 况
理 ２ １
椭圆标准方程及其简单 的几何性质 ， 抛物线方程 ，两直线垂直 的条件 ，三角形垂心 、重心
收稿 日期 ：２ １— ７ ３ ０００— １
作者简介 ：王发成 （９ ３ ） １６ 一 ，男，河北衡水冀 州人，研 究生学历 ，国家数 学奥林 匹克高级教 练员，河北省劳动模 范、河北省首届 名师，中学特 级教 师。主要从事数 学教育与中学教学研 究．
卷）考 查的特 点与 趋势 ，基本 上继 承和 发扬 了 “ 题型 、 内容 和难度相 对稳 定 ，突 出考 查数 学主 干知 识 。注 重通性 通 法的 同时适度 创新 ”的特 点 ，命题 日趋 成 熟 ，多数 题 目源于教 材 又高 于教 材 ，且 注意知识 的综 合运 用 ，宽 角度 、高视 点 、 多
见下表 ．
⑥ 掌握两点间的距 离公 式 、点到直线的距离公式 ，会求两 地考查了解析几何 的基 本思想和学生 的数学素养 ，遵循 了 “ 有
（） ２ 圆与方程．
① 掌握确定圆的几何要素 ，掌握 圆的标 准方程与一般方程．
② 能根据 给定直线 、圆的方程判断 直线与 圆的位 置关 系 ；
学教 学 实际 ，有针 对性地提 出高考 复 习的几点建议 ． 关键词 ：命题趋势；试题评析；复习建议

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题11 直线与圆一、选择题1.(2019·全国2·理T11文T12)设F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】A【解析】如图,设PQ 与x 轴交于点A,由对称性可知PQ ⊥x 轴. ∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心, ∴|OA|=c 2.∴P c 2,c2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c 24+c 24=a 2,即c 22=a 2, ∴e2=c 2a 2=2,∴e=√2,故选A.2.(2018·北京·理T7)在平面直角坐标系中,记d 为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C【解析】设P(x,y),则{x =cosθ,y =sinθ,x 2+y 2=1.即点P 在单位圆上,点P 到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+2=1+2.当m=0时,d max =3.3.(2018·全国3·理T6文T8)直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]【答案】A【解析】设圆心到直线AB 的距离d=√2=2√2.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即√2≤d'≤3√2.又AB=2√2,∴S△ABP=12·|AB|·d'=√2d',∴2≤S△ABP≤6.4.(2016·山东·文T7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】B【解析】圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=√1+1=√22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2√R2-d2=2√a2-(√22a)2=√2a,由题意可得√2a=2√2,故a=2.而|MN|=√(1-0)2+(1-2)2=√2,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.(2016·全国2·理T4文T6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-4B.-3C.√3D.2【答案】A【解析】圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,圆心坐标为(1,4).所以d=2=1,解得a=-43,故选A.6.(2015·全国2·理T7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10【答案】C【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得{D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得{D=-2,E=4,F=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根, 由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√16+80=4√6.7.(2015·全国2·文T7)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.√213C.2√53D.43【答案】B【解析】由题意知,△ABC 外接圆的圆心是直线x=1与线段AB 垂直平分线的交点为P,而线段AB 垂直平分线的方程为y-√32=√33(x -12),它与x=1联立得圆心P 坐标为(1,2√33),则|OP|=√12+(2√33)2=√213.8.(2015·北京·文T2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2 【答案】D【解析】圆的半径r=√2 ,标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.9.(2015·广东·理T5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0 【答案】A【解析】设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m ≠1), 因为直线2x+y+m=0与圆x 2+y 2=5相切, 所以√5=√5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.10.(2015·山东·理T9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-53或-35 B.-32或-23 C.-54或-45D.-43或-34【答案】D【解析】如图,作出点P(-2,-3)关于y 轴的对称点P 0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0. ∴圆心到直线的距离d=√1+k=1,解得k=-43或k=-34.11.(2015·重庆·理T8)已知直线l:x+ay-1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.2 B.4√2 C.6 D.2√10【答案】C【解析】依题意,直线l 经过圆C 的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A 的坐标为(-4,-1).又圆C 的半径r=2,由△ABC 为直角三角形可得|AB|=√|AC |2-r 2. 又|AC|=2√10,所以|AB|=√(2√10)2-22=6.12.(2014·全国2·文T12)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( ) A.[-1,1] B.[-12,12] C.[-√2,√2] D.[-√22,√22]【答案】A【解析】建立三角不等式,利用两点间距离公式找到x 0的取值范围.如图,过点M 作☉O 的切线,切点为N,连接ON.M 点的纵坐标为1,MN 与☉O 相切于点N. 设∠OMN=θ,则θ≥45°,即sin θ≥√22, 即ON OM ≥√22.而ON=1,∴OM≤√2.∵M 为(x 0,1),∴√x 02+1≤√2,∴x 02≤1,∴-1≤x 0≤1,∴x 0的取值范围为[-1,1].13.(2014·浙江·文T5)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( ) A.-2B.-4C.-6D.-8【答案】B【解析】圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=√2-a .圆心到直线x+y+2=0的距离d=√2=√2,又弦长为4,因此由勾股定理可得(√2)2+(42)2=(√2-a )2, 解得a=-4.故选B.14.(2014·安徽·文T6)过点P(-√3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.(0,π] B.(0,π] C.[0,π6] D.[0,π3]【答案】D【解析】设过点P 的直线方程为y=k(x+√3)-1,则由直线和圆有公共点知√3k √1+k ≤1,解得0≤k≤√3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0,π3].15.(2014·北京·文T7)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C 上存在点P,使得∠APB=90°,则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】因为A(-m,0),B(m,0)(m>0),所以使∠APB=90°的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O(0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C(3,4),半径为1. 由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切, 故m-1≤|CO|≤m+1,即m-1≤5≤m+1,解得4≤m ≤6. 所以m 的最大值为6.故选B.16.(2014·四川·文T9)设m ∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A.[√5,2√5] B.[√10,2√5] C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]【答案】B【解析】由题意,得A(0,0),B(1,3),因为1×m+m×(-1)=0,所以两直线垂直,所以点P在以AB为直径的圆上,所以PA⊥PB.所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,设∠ABP=θ,则|PA|+|PB|=√10sin θ+√10cos θ=2√5sin(θ+π4).因为|PA|≥0,|PB|≥0,所以0≤θ≤π2.所以√10≤|PA|+|PB|≤2√5,故选B.17.(2013·重庆·理T7)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P 为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5√2-4B.√17-1C.6-2√2D.√17【答案】A【解析】圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3,∴|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4的最小值.又C1关于x轴对称的点为C3(2,-3),所以|PC1|+|PC2|-4的最小值为|C3C2|-4=√(2-3)2+(-3-4)2-4=5√2-4,故选A.18.(2013·湖南·理T8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )A.2B.1C.83D.43【答案】D【解析】以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示. 则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点坐标为(43,43 ).设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC 的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,∴k P 1D =k P 2D ,即4343+m=43-4+m 43-4, 解得,m=43或m=0.当m=0时,P 点与A 点重合, 故舍去.∴m=43.19.(2012·浙江·理T3)设a ∈R,则“a=1”是“直线l 1:ax+2y-1=0与直线l 2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】l 1与l 2平行的充要条件为a(a+1)=2×1且a×4≠1×(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l 1∥l 2的充分不必要条件.20.(2010·安徽·文T4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 【答案】A【解析】设直线方程为x-2y+c=0,将点(1,0)代入,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=0. 二、填空题1.(2019·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4x (x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x 相切位置时,切点Q 即为点P 到直线x+y=0的最小距离的点,有y'=(x +4x )'=1-4x 2=-1(x>0),得x=√2(-√2舍). 此时y=√2√2=3√2,即切点Q(√2,3√2),则切点Q 到直线x+y=0的距离为d=√2+3√2|√1+1=4,即为所求最小值.2.(2019·天津·理T12)设a ∈R,直线ax-y+2=0和圆{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数)相切,则a 的值为____.【答案】34【解析】由{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数),得(x-2)2+(y-1)2=4, 圆心为(2,1),r=2. 由直线与圆相切,得√2=2,解得a=3.3.(2019·浙江·T 12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= . 【答案】-2 √5【解析】由题意知k AC =-12⇒AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此时r=|AC|=√4+1=√5. 4.(2018·天津·文T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 【答案】x 2+y 2-2x=0【解析】画出示意图如图所示,则△OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0.5.(2018·全国1·文T15)直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点,则|AB|= . 【答案】2【解析】圆的方程可化为x 2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=√2=√2,所以弦长|AB|=2√r 2-d 2=2√4-2=2√2.6.(2018·天津·理T12)已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C, 直线{x =-1+√22t ,y =3-√22t (t 为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC 的面积为_____________. 【答案】12【解析】圆C 的方程可化为(x-1)2+y 2=1,得圆心为C(1,0),半径为1.由{x =-1+√22t ,y =3-√22t(t 为参数),可得直线的普通方程为x+y-2=0.所以圆心C(1,0)到直线x+y-2=0的距离d=√1+1=√22.所以|AB|=2√1-(√22)2=√2. 所以S △ABC =12·|AB|·d=12×√2×√22=12.7.(2016·全国1·文T15)设直线y=x+2a 与圆C:x 2+y 2-2ay-2=0相交于A,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 . 【答案】4π【解析】圆C 的方程可化为x 2+(y-a)2=2+a 2,直线方程为x-y+2a=0, 所以圆心坐标为(0,a),半径r 2=a 2+2,圆心到直线的距离d=√2.由已知(√3)2+a 22=a 2+2,解得a 2=2,故圆C 的面积为π(2+a 2)=4π.8.(2016·上海·理T3)已知平行直线l 1:2x+y-1=0,l 2:2x+y+1=0,则l 1,l 2的距离是 . 【答案】2√55 【解析】d=12√A +B =√2+1=2√55.9.(2016·浙江·文T10)已知a ∈R,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .【答案】(-2,-4) 5【解析】由题意,可得a 2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x 2+y 2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0,(x +12)2+(y+1)2=-54不表示圆.10.(2016·天津·文T12)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 . 【答案】(x-2)2+y 2=9【解析】设圆心C 的坐标为(a,0)(a>0),√5=4√55⇒a=2.又点M(0,√5)在圆C 上,则圆C 的半径r=√22+5=3.故圆C 的方程为(x-2)2+y 2=9.11.(2016·全国3·理T16文T15)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .【答案】4【解析】因为|AB|=2√3,且圆的半径R=2√3,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-√3=0的距离为√R 2-(|AB |2)2=3.由√3|2=3,解得m=-√33.将其代入直线l 的方程,得y=√33x+2√3,即直线l 的倾斜角为30°. 由平面几何知识知在梯形ABDC 中, |CD|=|AB |cos30°=4. 12.(2015·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】(x-1)2+y 2=2【解析】(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P 的直线系方程.当直线与AP 垂直时,所求圆的半径最大.此时,半径为|AP|=√(2-1)2+(-1-0)2=√2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y 2=2.(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=√2=√m 2+2m+1m 2+1=√1+2mm 2+1,当m<0时,1+2m m 2+1<1,故1+2mm 2+1无最大值; 当m=0时,r=1;当m>0时,m 2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号). 所以r≤√1+1=√2,即r max =√2, 故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y 2=2. 13.(2015·全国1·理T14)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为___________. 【答案】(x -32)2+y 2=254【解析】由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以√(a -0)2+(0-2)2=4-a,解得a=32,故圆心为(32,0),此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是(x -3)2+y 2=25.14.(2014·重庆·理T13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= .【答案】4±√15【解析】由△ABC 为等边三角形可得,C 到AB 的距离为√3,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=2=√3,即a 2-8a+1=0,可求得a=4±√15.15.(2014·陕西·理T12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 .【答案】x 2+(y-1)2=1【解析】因为(1,0)关于y=x 的对称点为(0,1),所以圆C 是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x 2+(y-1)2=1.16.(2011·浙江·文T12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .【答案】1【解析】由题意知1×2+(-2)·m=0,即m=1.17.(2010·全国·理T15)过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为 .【答案】(x-3)2+y 2=2【解析】由题意知A,B 两点在圆C 上,∴线段AB 的垂直平分线x=3过圆心C.又圆C 与直线y=x-1相切于点B(2,1),∴k BC =-1.∴直线BC 的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.y=-x+3与x=3联立得圆心C 的坐标为(3,0),∴r=|BC|=√(3-2)2+(0-1)2=√2. ∴圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2. 18.(2010·全国·文T13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 .【答案】x 2+y 2=2【解析】圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离R=√1+1=√2.∴圆的方程为x 2+y 2=2.三、计算题1.(2015·全国1·文T20)已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 【解析】(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1.因为l 与C 交于两点, 所以√1+k <1.解得4-√73<k<4+√73. 所以k 的取值范围为(4-√73,4+√73). (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k 2)x 2-4(1+k)x+7=0.所以x 1+x 2=4(1+k )1+k 2,x 1x 2=71+k 2.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k 2+8. 由题设可得4k (1+k )1+k 2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.2.(2015·广东·理T20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4,从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段AB 的中点M(x,y),由弦的性质可知C 1M ⊥AB,即C 1M ⊥OM.故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32,其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内,所以√(x -3)2+y 2<2.又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53.易知x≤3,所以53<x≤3. 所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3).(3)存在实数k 满足题意. 由(2)知点M 的轨迹是以C (32,0)为圆心,32为半径的圆弧EF ⏜(如图所示,不包括两个端点),且E (53,2√53),F (53,-2√53). 又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线L 与圆C 相切时,由|k (32-4)-0|√k +1=32,得k=±34. 又k DE =-k DF =-0-(-2√53)4-53=2√5,结合上图可知当k ∈{-3,3}∪[-2√5,2√5]时,直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点.3.(2014·全国1·文T20)已知点P(2,2),圆C:x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.【解析】设M(x,y),则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-4),MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x,2-y). 由题设知CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM. 因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=2√2,O 到l 的距离为4√105,|PM|=4√105,所以△POM 的面积为165.4.(2013·江苏·T17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.【解析】(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,√k+1=1,解得k=0或k=-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),因为MA=2MO,所以√x2+(y-3)2=2√x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1, 即1≤√a2+(2a-3)2≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为[0,125].。

专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,32⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ．3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABC．3D ．135．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3 B． CD ．26．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -=8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．109．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．⎡⎣ D ．⎡⎢⎣⎦11．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．413．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（ B ．]30π，（ C ．]60[π， D ．]30[π， 15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π18．（2013山东）过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=19．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D20．（2013安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．21．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．113⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切， 且与直线10ax y -+=垂直， 则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1224．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=25．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．(1)3y x =-或1)3y x =--C ．1)y x =-或1)y x =-D ．(1)2y x =-或1)2y x =-- 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=29．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．130．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．131．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(B ．(0)(0C ．[D ．(-∞，- ，+∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．22++2=0x y xB ．22++=0x y xC ．22+y =0x x -D ．22+2=0x y x -33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++= 二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ．38．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________. 45．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__． 48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__． 49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ． 50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 ． 三、解答题51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ． 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ． （I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上.（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 54．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为 （I ）求圆心P 的轨迹方程； （II ）若P 点到直线y x =P 的方程． 55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a-+=交于A ，B 两点，且,OAOB ⊥求a 的值．56．（2010北京）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，直线y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．专题九 解析几何 第二十五讲 直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=， 圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==，所以||AB ==，所以1122ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d1=+，∴当0m=时，d取得最大值3，故选C．4．A【解析】以线段12A A为直径的圆是222x y a+=，直线20bx ay ab-+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a==，整理为223a b=，即()22222323a a c a c=-⇒=，即2223ca=，cea==，故选A．5．A【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A，(0,0)B，(2,1)D，(,)Px y所以圆的方程为224(2)5x y-+=，所以(,1)AP x y=-，(0,1)AB=-，(2,0)AD=，由AP AB ADλμ=+，得21xyμλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy-+，设12xz y=-+，即102xy z-+-=，点(,)P x y在圆上，所以圆心到直线102xy z-+-=的距离小于半径，≤，解得13z≤≤，所以z的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】 设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-， 所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=， 设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r =1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =， （2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 令1112A BD S ∆=得212b a b=-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭， 化简得22241a b b -=-+,∵0a >,∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：112b <<，选B 22．B 【解析】点M(a ,b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-， 即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,)33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

2010年高考题一、选择题2.（2010重庆理）（3）2241lim 42x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭= A. —1 B. —14 C. 14D. 1 【答案】 B 解析：2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭=4121)2)(4(2(lim lim 222-=+-=+--→→x x x x x x 3.（2010北京理）（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 【答案】C4.（2010湖南理）5、421dx x⎰等于 A 、2ln 2- B 、2ln 2 C 、ln 2- D 、ln 25.（2010湖南理）3、极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线6.（2010安徽理）7、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 的点的个数为 A 、1 B 、2C 、3D 、4【答案】B【解析】化曲线C 的参数方程为普通方程：22(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320x y -+=的距离3d ==<，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又31010>-，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.【方法总结】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C 上到直线l 距离为，然后再判断知3>. 二、填空题3.（2010北京理）（12）如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。

若BD ⊥AE ，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ 。

2010年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆（2010江西理数）8.直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥k 的取值范围是A.304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C.33⎡-⎢⎣⎦， D.203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y 轴相切.当|MN |=，由点到直线距离公式，解得3[,0]4-； 解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B ，考虑区间不对称，排除C ，利用斜率估值，选A（2010安徽文数）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 4.A【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.（2010重庆文数）（8）若直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（A）(2- （B）[22-+ （C）(,2(22,)-∞++∞（D）(22解析：2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化为普通方程22(2)1x y -+=，表示圆，1,<解得222b <<+法2：利用数形结合进行分析得22AC b b =-=∴=同理分析，可知22b <<+（2010重庆理数）(8) 直线y=3x +D的圆,1x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩())0,2θπ⎡∈⎣交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为A. 76π B. 54π C. 43π D. 53π 解析：数形结合301-=∠αβπ-+=∠ 302由圆的性质可知21∠=∠βπα-+=-∴ 3030故=+βα43π（2010广东文数）（2010全国卷1理数）（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4- (B)3-+ (C) 4-+3-+1. （2010安徽理数）9、动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。

高考数学复习-直线与圆练习试题第Ⅰ卷 (选择题 共40分)一、选择题(10×4′＝40′)1.直线l 与直线y =1、x-y -7=0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1,-1)，则直线l 的斜率为( )A.23 B.32 C.-32D.-232.点P 在直线2x +y +10=0上，P A 、PB 与圆422=+y x 分别相切于A 、B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为 ( )A.24B.16C.8D.43.已知直线1l ：y =x ,2l ：ax -y =0，其中a 为实数，当这两直线的夹角θ∈(0,12π)时，a 的取值范围为 ( )A.(0，1)B.(33,3) C.(33,1)∪(1,3) D.(1,3) 4.设a 、b 、k 、p 分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到直线的距离，则有( ) A.)1(2222k p k a += B.k =abC.b a 11+=pD.a =-kb5.已知直线x +3y -7=0，kx-y -2=0和x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数k 等于 ( ) A.-3 B.3 C.-6 D.66.若圆222r y x =+(r >0)上恰有相异两点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则r 的取值范围是( ) A.［4，6］ B.[4,6） C.（4,6] D.(4，6)7.直线1l :0=++c by ax ,2l :0=++p ny mx ,则bnam=-1是1l ⊥2l 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.过圆422=+y x 外一点P(4，-1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 ( ) A.4x -y -4=0 B.4x +y -4=0 C.4x +y +4=0 D.4x -y +4=09.倾斜角为60°，且过原点的直线被圆222)()(r b y a x =-+-(r >0)截得弦长恰好等于圆的半径，则a 、b 、r 满足的条件是 ( )A.)3(|3|3a b b a r ≠-=B.)3(|3|23a b b a r ≠-=C.)3(|3|3a b b a r ≠+=D.)3(|3|23a b b a r ≠-=10.直线y =kx +1与圆0922=--++y kx y x 的两个交点关于y 轴对称，则k 为 ( )A.-1B.0C.1D.任何实数第Ⅱ卷 (非选择题 共60分)二、填空题(4×3′＝12′)11.若点P (a ,b )与点Q (b +1,a -1)关于直线l 对称，则直线l 的方程是 .12.已知圆16)1()2(22=-+-y x 的一条直径通过直线x -2y -3=0被圆截弦的中点，则该直径所在直线的方程为 .13.关于x 的方程kx +1=21x -有且只有一个实根，则实数k 的取值范围是 . 14.经过点P (-2,4)，且以两圆0622=-+x y x 和422=+y x 的公共弦为一条弦的圆的方程是 .三、解答题(6×8′＝48′)15.若直线1l :x+y+a =0,2l :x+ay +1=0,3l :ax+y +1=0能围成三角形,求a 的取值范围.16.已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转α(0<α<2π)所得直线1l 的方程为3x -y -4=0，若继续绕点P 逆时针方向旋转α-π2，则得2l 的方程为x +2y +1=0，试求直线l 的方程.17.设P 是圆M ：1)5()5(22=-+-y x 上的动点，它关于A (9,0)的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90°到点S ，求|SQ |的最值.18.已知点A (3,0)，点P 在圆122=+y x 的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.19.如图，已知⊙A :425)2(22=++y x ,⊙B :41)2(22=+-y x ,动圆P 与⊙A 、⊙B 都外切. (1)求动圆圆心P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(2)若直线y=kx +1与(1)中的曲线有两个不同的交点1P 、2P ，求k 的取值范围； (3)若直线l 垂直平分(2)中的弦21P P ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.20.已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使得l 被圆C 截得弦AB 为直径的圆过原点?若存在，求出l 的方程;若不存在，说明理由.参考答案1.C 方法1 设直线l 为y=kx+b ，分别与y =1，x-y -7=0联立解得P (-b k ,1)，Q (k b -+17，kb k -+17).由PQ 中点为(1，-1)，∴217=-++-k b b k ，且1＋kb k -+17＝-2，∴k =-32，故选C. 方法2 设P (a ,1)，Q (b +7,b )，因PQ 的中点为(1，-1)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=++121127b b a ，解得⎩⎨⎧-=-=32b a ，故P 为(-2,1),Q 为(4，-3)，∴3224131-=+--==PQ k k ,故选C. 2.C 如图，PAOB S ＝22||||2||2||||21232AO PO PA OA PA PAO -==⋅⋅=⋅∆=24||2-PO . 要求PAOB S 的最小值，只需求|PO |的最小值即可.5212|10002|||22min =+++⨯=PO ，∴8)(min =PAOB S ，故选C.3.C 如图，设直线y=ax 的倾斜角为α, 则α≠4π,∴|α-4π|<12π, ∴6π<α<3π,且α≠4π.a =tan α∈(33,1)∪(1,3).4.A 应用点到直线的距离公式,选A.5.B 如图，设围成四边形为OABC ，因OABC 有外接圆，且∠AOC ＝90°，故∠ABC ＝90°. ∴两条直线x +3y -7=0,kx -y -2=0互相垂直，(-31)·k =-1，即k =3，故选Ｂ.说明 运用圆的几何性质是解决圆的问题的有效途径.6.D 如图，设l :4x -3y +25=0，与l 平行且距离等于1的直线为4x -3y +b =0. ∴2015|25|=⇒=-b b 或b =30.第2题图解第3题图解第5题图解1l :4x -3y +20=0，2l :4x -3y +30=0.圆心(0，0)到1l 和2l 的距离分别为5201=d =4，5302=d =6. 故满足条件的r 取值范围(4，6).实际上，圆222r y x =+没有点到直线4x -3y +25=0的距离等于1， 则0<r <4，若圆上只有一点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则r =4，类似可求出圆上有三点、四点到直线的距离等于1 的r 的取值范围.7.A 由1-=bnam,可得1l ⊥2l ,∴选A. 8.A 方法1 设切点为A 、B ，则AB ⊥OP ， ∵410401-=---=OP k ，∴4=AB k .故排除B 、C. 又由图可知，AB 在y 轴的截距为负，故排除Ｄ，所以选A.方法2 设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )， 由AP ⊥OA 可得AP k ·OA k =-1， 即1411111-=⋅-+x y x y .∴04112121=+-+y x y x ，又42121=+y x , ∴04411=++-y x .同理可得04422=++-y x ，∴AB 直线为-4x +y +4=0，即4x -y -4=0.方法3 设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则切线P A 为411=+y y x x ，422=+y y x x . ∴4411=-y x ,4422=-y x ，∴A 、B 在直线4x -y -4=0上.另:此题可推广到一般结论，若P (0x ,0y )为圆222r y x =+ (r >0)外一点，过P 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为200r y y x x =+.9.A 直线方程为x y 3=，则圆心(a ,b )到直线3x -y =0的距离为d =2|3|b a -，又因截得弦长恰好等于圆的半径，故d =23r ,∴|3a -b |=3r ，故选A. 10.B 方法1 将y =kx +1代入922=-++y kx y x 中有092)1(22=-++kx x k . 设交点为 A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，∵A 、B 关于y 轴对称，∴021=+x x ， ∴k =0.故选B.方法2 因直线与圆的两个交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )关于y 轴对称 ∴021=+x x ,21y y =,故圆心在y 轴上，∴k =0，故选B.11.x-y -1=0 P 、Q 关于直线l 对称，故1k k PQ ⋅=-1且PQ 中点在l 上， ∴11111=---+-=-=aa bb k k PQ，又PQ 中点为(21++b a ,21-+a b )，第6题图解第8题图解∴l 的方程为y -21-+a b ＝x -21++b a ，即x-y -1=0.此题也可将a ,b 赋特殊值去求直线l .12.2x +y -3=0 由圆的几何意义知该直径与直线x -2y -3=0垂直.故该直径方程为y +1=-2(x -2),即2x +y -3=0.13.{k |k >1或k =0或k <-1} 画出函数y =kx +1、y =21x -的图象，两曲线相切及只有一个交点时如图所示.14.08622=-++x y x 设圆的方程为0)4(62222=-+λ+-+y x x y x 经过P (-2,4)， ∴0]44)2[()2(64)2(2222=-+-λ+--+-， ∴λ=-2，∴所求的圆的方程为08622=-++x y x .15.解 由1l 、2l 相交，需1·a -1·1≠0,得a ≠1，此时解方程组⎩⎨⎧=++=++010ay x a y x ,可解得⎩⎨⎧=-=11y x 即1l 、2l 的交点为(-1-a ,1),由1l 、3l 相交,需1·1-1·a ≠0,∴a ≠1,由2l ,3l 相交，需1·1-a ·a ≠0,∴a ≠±1,又(-1-a ,1)∉3l , ∴a ·(-1-a )+1+1≠0,得a ≠1且a ≠-2,综上所述，a ∈R 且a ≠±1且a ≠-2,能保证三交点(-1-a ,1),(1,-1-a )、(-1-a ,-1+a +2a )互不重合，所以所求a 的范围为a ∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).16.解 由已知条件知P 为直线3x -y -4=0和直线x +2y +1=0的交点,联立两直线方程得⎩⎨⎧=++=--012043y x y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x .∴P 点为(1，-1). 又l 与2l 垂直，故l 的方程为y +1=2(x -1)，即l 的方程为2x -y -3=0. 17.解 设P (x ,y ),则Q （18-x ,-y ）,记P 点对应的复数为x +y i, 则S 点对应的复数为:（x +y i ）·i=-y +x i,即S (-y ,x ),∴|SQ |=xy y x xy y x y x x y y x 22363618)()18(2222222+++-+-++=--++- =2222)9()9(2818118182++-⋅=+++-+⋅y x y x y x其中22)9()9(++-y x 可以看作是点P 到定点B (9,-9)的距离，其最大值为|MB |+r =253+1，最小值为|MB |-r =253-1,则|SQ |的最大值为2106+2,|SQ |的最小值为2106-2.第13题图解18.解 方法1 如图，设P (0x ,0y )(0y >0)，Q (x ,y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OA OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为31.∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=000043311031)1(43311313y y y x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413400.又因12020=+y x ，且0y >0，∴1916)43(91622=+-y x . ∴Q 的轨迹方程为169)43(22=+-y x (y >0). 方法2 设∠AOP =α，α∈(0，π)，则P (cos α，sin α)，∠AOQ =2α， 则OQ 直线方程为y =x ·tan2α=kx ① 3cos sin -αα=PA k ，∴直线P A 方程为y =3cos sin -αα(x -3) ②由Q 满足①②且k =tan2α. 由②得y =12)3()3(311122222+--=-⋅-+-+k x k x k k k k.消去k 有y =12)3(22+--x y x x y，∴02322=-+x y x ,由图知y >0. 故所求Q 点轨迹方程为02322=-+x y x (y >0). 说明 上述两种方程为求轨迹的基本方法、相关点及参数法. 19.解 (1)如图，设⊙P 的圆心P (x ,y )，半径为R ， 由题设，有|P A |=R +25,|PB |=R +21,∴|P A |-|PB |=2. ∴⊙P 的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x 轴上，且焦距长 为4的双曲线的右支，其方程为1322=-y x (x >0).第18题图解第19题图解(2)由方程组⎪⎩⎪⎨⎧>=-+=)0(13122x y x kx y ，有042)3(22=---kx x k (x >0). ①因为直线与双曲线有两个不同交点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->⋅>+>∆030022121k x x x x .从而，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-<3034222k k kk ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-<<<-3330322k k k k k 或或. ∴-2<k <-3. (3)设21P P 的中点为M (M x 、M y )，则M x =22132k kx x -=+. 又M 在y=kx +1上，∴M y =k M x +1=233k-.∴M (23k k-,233k -).∴21P P 的垂直平分线l 的方程为:y-M y =-k 1(x -M x ),即y -233k -=-k 1(x -23kk -). 令x =0,得截距b =234k-,k ∈(-2,-3),又-2<k <-3,∴-1<3-2k <0.∴b <-4.20.解 假设存在这样的直线，设直线l 方程为y=x+b .方法1 将y=x+b 代入圆的方程有0222)1(22=+-+++b b x b x .由题设知OA ⊥OB ,设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，∴1x 2x ＋1y 2y ＝0.又1y 2y ＝(1x ＋b )(2x +b )=1x 2x ＋b (1x ＋2x )＋2b ,∴21x 2x ＋b (1x ＋2x )＋2b ＝0. 又∵1x +2x =-(b +1)，1x 2x ＝2b -2+22b ,∴2(22b +2b -2)-b (b +1)+ 2b =0.∴b =1或b =-4.此时Δ＝0)22(4)1(2>--+b b ， ∴存在这样的直线l :y=x +1或y=x -4满足题设.方法2 设过圆C 与l 的交点的圆系D 为.0)(44222=+-λ+-+-+b y x y x y x 即04)4()2(22=-λ+λ-+-λ++b y x y x . 圆心为(-22-λ,-24λ-)，在直线y=x+b 上，∴-24λ-=-22-λ+b ，即λ=3+b . ①又圆D 过原点，∴b λ-4=0. ② 由①②得，0432=-+b b ，即b =1或b =-4.此时圆D 的方程存在.故存在直线y=x +1或y=x -4.。

2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总解析几何——直线与圆（附详细答案解析）1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β。

图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β（B ）4β+4sin β（C ）2β+2cos β（D ）2β+2sin β【答案】（B）.【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积BOP AOP AOB S S S S ∆∆++=扇形()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=βπβsin 2221222212ββsin 44+=.故选B.2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】()2214x y -+=.【解析】24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=.3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当︒<∠90OBP 时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当︒≥∠90OBP 时，对线段PB 上任意一点F ，OB OF ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ==此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，∴直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+- .在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+4.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r 。

2010年高考数学试题（新课程卷）分类解析（九）--直线和
圆的方程
王欣; 秦毅
【期刊名称】《《中国数学教育（高中版）》》
【年(卷),期】2010(000)007
【摘要】直线和圆的方程是进一步研究圆锥曲线的基础，它们渗透到平面解析几何的各个部分，是解决解析几何问题的重要工具之一，是高考必考内容之一．文章结合2010年的高考数学试题，通过案例分析，研究了这部分试题的命题规律及试题特点，给出了复习建议，让学生和教师对这一部分的复习有一个明确的方向．【总页数】4页(P62-65)
【作者】王欣; 秦毅
【作者单位】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.2011年高考数学试题分类解析（九）--直线和圆的方程 [J], 梁英辉;石活;吴丽华
2.2011年高考数学试题分类解析(九)——直线和圆的方程 [J], 梁英辉;石洁;吴丽华
3.2010年高考数学试题(大纲课程卷)分类解析(四)——直线和圆的方程、圆锥曲线
方程 [J], 王发成;张强
4.2010年高考数学试题(新课程卷)分类解析(九)——直线和圆的方程 [J], 王欣; 秦毅
5.2010年高考数学试题(新课程卷)分类解析(十)——圆锥曲线与方程 [J], 景芳; 张金良
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专题8直线与圆综合大题归类目录【题型一】圆大题基础：轨迹-圆 (1)【题型二】圆大题基础：轨迹-直线 (2)【题型三】直线与圆：韦达定理型 (3)【题型四】直线与圆：定点 (4)【题型五】直线与圆：定值 (4)【题型六】直线与圆：定直线 (5)【题型七】探索性、存在性题型 (5)【题型八】面积与最值 (6)【题型九】直线与圆的应用题 (7)培优第一阶——基础过关练 (8)培优第二阶——能力提升练 (10)培优第三阶——培优拔尖练 (11)【题型一】圆大题基础：轨迹-圆【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知A （3，3），点B 是圆x 2+y 2＝1上的动点，点M 是线段AB 上靠近A 的三等分点，则点M 的轨迹方程是（）A ．221(2)(2)9x y -+-=B ．221(2)(2)9x y -++=C ．221(3)(3)3x y -+-=D ．221(3)(3)3x y -++=1.（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||2AB =，则||PA PB +的最小值是（）A ．B ．C ．1-D ．2-2.（2017·北京海淀·高二期中）若动点P 在直线1:20l x y --=上，动点Q 在直线2:60l x y --=上，设线段PQ 的中点为00(,)M x y ，且2200(2)(2)8x y -++≤，则2200x y +的取值范围是__________．3.（2020·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知,B C 为圆224x y +=上两点，点()1,1A ，且0AB AC ⋅=，()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，则OAM ∆面积的最大值为______.【题型二】圆大题基础：轨迹-直线【典例分析】.（2022·全国·高二课时练习）已知点(),m n 在过()2,0-点且与直线20x y -=垂直的直线上，则圆C ：(()2214x y -++=上的点到点(),M m n 的轨迹的距离的最小值为（）A ．1B ．2C ．5D ．1.（2021·江苏·高二专题练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:(1)(3)4C x y -+-=，过动点(,)P a b 分别作圆1C 、圆2C 的切线PM ，PN ，（,M N 分别为切点），若||||PM PN =，则226413a b a b +--+的最小值是A ．5B ．13C D ．852.（2020·全国·高二）已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22(2)(4)1x y -+-=，过动点()P a b ，分别作圆1C 、圆2C 的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点），若PM PN =，的最小值是（）A B C D 【题型三】直线与圆：韦达定理型【典例分析】（2021·广东·西樵高中高二阶段练习）已知过点(0,2)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN ．（2021·江苏省镇江中学高二阶段练习）如图，已知图22:9C x y +=与x 轴的左右交点分别为A ，B ，与y 轴正半轴的交点为D ．（1）若直线l 过点(3,4)并且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若点M ，N 是圆C 上第一象限内的点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于点P ，Q ，点P 是线段OQ 中点，直线//MN BD ，求直线AM 的斜率．【题型四】直线与圆：定点【典例分析】（2022·四川省德阳中学校高二开学考试）已知两个定点()0,4A 、()0,1B ，动点P 满足2PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-．(1)求曲线E 的方程；(2)若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（2021·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22()()4x a y b -+-=与圆1C ：2268160x y x y +--+=相切于点6855A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且直线l ：10x y +-=与圆C 有公共点．(1)求圆C 的方程；(2)设点P 为圆C 上的动点，直线l 分别与x 轴和y 轴交于点M ，N ．①求证：存在定点B ，使得2PB PM =；②求当12PM PN +取得最小值时，直线PN 的方程．【题型五】直线与圆：定值【典例分析】（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）已知直线:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=与圆22:40C x y x +-=.(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【变式训练】（2021·湖南·怀化五中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A .(1)求圆C 的标准方程；(2)直线n 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标.(3)直线m 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线m 的斜率是定值，并求出该定值.【题型六】直线与圆：定直线【典例分析】（2022·四川·遂宁中学高二开学考试（文））已知直线:1l x my =-，圆22:40C x y x ++=.(1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)设l 与C 的两个交点分别为A 、B ，弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .试探究：当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式训练】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知圆C 经过()(0,2,3P Q 两点，圆心在直线0x y -=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 与y 轴相交于A ，B 两点（A 在B 上方）.直线:1l y kx =+与圆C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 相交于点T .请问点T 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【题型七】探索性、存在性题型【典例分析】（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知圆C 过点()2,6A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点()6,4B ．(1)求圆C 的方程；(2)过点()6,24P 的直线2l 与圆C 交于,M N 两点，若CMN △为直角三角形，求直线2l 的方程；(3)在直线3:2l y x =-上是否存在一点Q ，过点Q 向圆C 引两切线，切点为,E F ，使QEF △为正三角形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．【变式训练】（2021·江苏·高二专题练习）已知圆22:1O x y +=和点(1,4)M .(1)过M 作圆O 的切线，求切线的方程；(2)过M 作直线l 交圆O 于点C ，D 两个不同的点，且CD 不过圆心，再过点C ，D 分别作圆O 的切线，两条切线交于点E ，求证：点E 在同一直线上，并求出该直线的方程；(3)已知(2,8)A ，设P 为满足方程22106PA PO +=的任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为B ，试探究：平面内是否存在一定点N ，使得22PB PN 为定值？若存在，请求出定点N 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【题型八】面积与最值【典例分析】（2021·四川省遂宁市第二中学校高二期中（理））已知圆C ：222210x y x y +--+=，直线l 分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，,OA a OB b ==(2,2)a b >>，且圆心C 到直线l 的距离为1.(1)求证：2)22()(a b --=；(2)设(3,1)N ，直线m 过线段CN 的中点M 且分别交x 轴与y 轴的正半轴于点P 、Q ，O 为坐标原点，求△POQ 面积最小时直线m 的方程；(3)求△ABC 面积的最小值.（2022·全国·高二课时练习）已知圆()()22:4C x a y b -+-=，圆心C 在直线y x =上，且被直线:2m x y +=截得弦长为（1）求圆C 的方程；（2）若0a ≤，点()0,1A ，过A 作两条直线l ，1l ，且满足1l l ⊥，直线l 交圆C 于M ，N 两点，直线1l 交圆C 于P ，Q 两点，求四边形PMQN 面积的最大值.【题型九】直线与圆的应用题【典例分析】（2022·江苏·高二）在①直线l 与B 、C 均相切，②直线l 截A 、B 、C 所得的弦长均相等，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解该问题.问题：2020年是中国传统的农历“鼠年”，现用3个圆构成“卡通鼠”的头像.如图，()0,2A -是A 的圆心，且A 过原点；点B 、C 在x 轴上，B 、C 的半径均为1，B 、C 均与A 外切.直线l 过原点.若___________，求直线l 截A 所得的弦长.【变式训练】1（2022·全国·高二课时练习）赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早､保存最好的巨大石拱桥.如图所示，它是一座空腹式的圆弧形石拱桥.(1)利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a 和圆拱高b 表示出赵州桥圆弧所在圆的半径r ；(2)已知37.02a =米，7.23b =米，计算半径r 的值.（结果保留2位小数）2.（2022·福建省永春第一中学高二期末）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点A 出发，沿着助滑道曲线())0f x b x =-≤≤滑到台端点B 起跳，然后在空中沿抛物线()()2200g x ax ax b x =-->飞行一段时间后在点C 着陆，线段BC 的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知()220g x ax ax b =--在区间[]0,30上的最大值为30-，最小值为70-．(1)求实数a ，b 的值及助滑道曲线AB 的长度．(2)C 与起滑门点A 的高度差为120米，求他的飞行距离（精确5 2.236≈）．培优第一阶——基础过关练1.（2020·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习（理））由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB 切点分别为A 、B ，若120APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为__________．2.（2021·全国·高二期末）在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆M ：22(1)(1)1x y -+-=上一动点，过圆M 外一点P 向圆M 引-条切线，切点为A ，若|PA |=|PO |，则||PQ 的最小值为（）A 21-B 21+C 3214D 32143.（2021·江苏省响水中学高二阶段练习）已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋22(y )+＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅取得最小值时点Q 的坐标；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．4.（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y ++=，圆222:(3)(4) 1.C x y -+-=设动圆C 同时平分圆1C ､圆2C 的周长.(1)求证：动圆圆心C 在一条定直线上运动.(2)动圆C 是否经过定点⋅若经过，求出定点的坐标;若不经过，请说明理由.5.（2021·广东·广州四十七中高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)若PA PB ⊥，求点P 的坐标；(2)设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若有在，求出点T ；若不存在，请说明理由．6.（2013·湖南长沙·一模（理））已知1,04A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 是y 轴上的动点，过B 作AB 的垂线l 交x 轴于点Q ，若()2,4,0AP AQ AB M +=uu u r uuu r uu u r .(1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线x a =，以PM 为直径的圆与直线x a =的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．7.（2022·全国·高二单元测试）已知圆C 过坐标原点O 和点(6,A ，且圆心C 在x 轴上.(1)求圆C 的方程：(2)设点()10,0M -.①过点M 的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求当PCQ △的面积最大时直线l 的方程；②若点T 是圆C 上任意一点，试问：在平面上是否存在点N ，使得32TM TN =.若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.8.（2021·江苏·高二专题练习）圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N .（1）若1t =，求切线方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值.9.（2021·江苏·扬州市江都区大桥高级中学高二阶段练习）如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)培优第二阶——能力提升练1.（2021·山东·薛城区教育局教学研究室高二期中）已知圆()()22:254C x y -+-=，T 为圆C 外的动点，过点T 作圆C 的两条切线，切点分别为M 、N ，使TM TN ⋅取得最小值的点T 称为圆C 的萌点，则圆C 的萌点的轨迹方程为_______.2.（2017·重庆一中一模（理））过x 轴下方的一动点P 作抛物线2:2C x y =的两切线，切点分别为,A B ，若直线AB 到圆221x y +=相切，则点P 的轨迹方程为A ．221(0)y x y -=<B ．22(2)1y x ++=C ．221(0)4y x y +=<D ．21x y =--3.（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高二阶段练习）已知直线l ：x +y +3＝0及圆C ：()()2239x a y -++=，令圆C 在x 轴同侧移动且与x 轴相切，（1）圆心在何处时，圆在直线l 上截得的弦最长；（2）C 在何处时，l 与y 轴的交点把弦分成1：3；（3）当圆C 移动过程中与直线l 交于A ，B 两点时，求OA ·OB 的取值范围.4.（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点A （-4，0），B （-1，0），动点P 满足|PA |=2|PB |.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y =kx -4.（1）求曲线E 的方程；（2）若直线l 与曲线E 交于不同的C ，D 两点，且∠COD =90°（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k =12，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点.5.（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）①圆心C 在直线:2780l x y -+=上，圆C 过点B (1，5)；②圆C 过直线:3580l x y +-=和圆226160x y y ++-=的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C 经过点A (6，0)，且.(1)求圆C 的标准方程；(2)过点P (0，1)的直线l 与圆C 交于M ，N 两点①求弦M N 中点Q 的轨迹方程；②求证PM PN ⋅为定值.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.6.（2021·安徽·高二阶段练习）已知圆C 过原点，圆心C 是直线2y x =+与直线22y x =-+的交点.(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 与y 轴交于A ､B 两点（A 在B 上方），直线:1l y kx =+与圆C 交于M ､N 两点，直线AM ，BN 相交于T .请问点T 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.7.（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））已知点(2,0)P 及圆C ：226490x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）设过P 直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当MN =MN 为直径的圆的方程；（3）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值.8.（2021·江苏·高二专题练习）如图，已知圆O ∶224x y +=，过点E (1，0)的直线l 与圆相交于A ，B 两点.（1）当|AB l 的方程；（2）已知D 在圆O 上，C (2，0)，且AB ⊥CD ，求四边形ACBD 面积的最大值.9.（2022·全国·高二课时练习）河北省赵县的赵州桥是世界上著名的单孔石拱桥，它的跨度是37.02m ，圆拱高约为7.2m ，自建坐标系，求这座圆拱桥的拱所在圆的标准方程.（精确到0.01m ）培优第三阶——培优拔尖练1.（2021·江苏·高二专题练习）已知圆:O 229x y +=与x 轴交于点A 、B ，过圆上动点M (M 不与A 、B 重合)作圆O 的切线l ，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，与切线l 分别交于点,C D ，直线CB 与AD 交于点Q ，Q 关于M 的对称点为P ，则点P 的轨迹方程为_______2.（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）过点(,)P x y 作圆221:1C x y +=与圆222:(2)(2)1C x y -+-=的切线，切点分别为A ､B ，若PA PB =，则22x y +的最小值为（）AB ．2C ．D ．83.（2021·北京铁路二中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A .(1)求圆C 的标准方程；(2)若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；(3)直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线,AM AN 的斜率之和为0，求直线l 的斜率.4.（2022·全国·高二课时练习）知圆22:4O x y +=，点P 是直线:4l x =上的动点．（1）若从点P 到圆O 的切线长为23P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；（2）若点()2,0A -，()2,0B ，直线PA ，PB 与圆O 的另一交点分别为M ，N ，求证：直线MN 经过定点()1,0Q ．5.（2021·全国·高二专题练习）已知点(4,0)A 和(4,4)B ，圆C 与圆22(1)(2)4x y -++=关于直线2450x y --=对称．(1)求圆C 的方程；(2)点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上求出一点M （异于点)A 使得点P 到点A 与M 的距离之比PA PM 为定值，并求12PB PA +的最小值．6.（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习）已知圆O ：224x y +=与x 轴的负半轴交于点P ，过点()1,0Q 且不与坐标轴重合的直线与圆O 交于A ，B 两点.（1）设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，试问12k k ⋅是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.（2）延长PA ，与直线4x =相交于点R ，证明：PBR △的外接圆必过除P 点之外的另一个定点，并求出该点坐标.7.（2020·江苏·苏州大学附属中学高二开学考试）已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T （T 在第二象限）.（1）求1OO T ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系；（3）是否存在定点(),M m n ，使过点M 有无数对相互垂直的直线12,l l 满足12l l ⊥，且它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M ；若不存在，请说明理由.8.（2020·安徽省太和第一中学高二期中）已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：4132y x =-被圆M M 在直线l 的下方.（1）求圆M 的方程；（2）设(0,),(0,6)(52)A t B t t +-≤≤-，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的范围.9.（2022·全国·O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?。