第六章灵敏度分析

• 频域网络函数对参数x的灵敏度为
T j Sx
ln T j ln T j x ln x x
§ 6-2 灵敏度恒等式
• 根据式（6-1-4）的灵敏度定义，可以导出下列灵敏度恒等式: T 0 (1)如果T不是x的函数，则 S x (2)设C是任意常数，则 S xCx 1 /T T S x (3) S 1 x T (4) S1T/ x S x T y ST (5)设T是y的函数，y是x的函数，则 S x y Sx TT T T Sx Sx Sx (6) T /T T T Sx Sx Sx (7) T T (8) Sx nSx 1 T T Sx Sx (9) n Cf x (10) Sx Sxf x (11) S (T T ) T1 S T T2 S T
1 2 1 2 1 2 1 2
n
n
x
1
2
T1 T2
x
1
T1 T2
x
2
§ 6-3 增量网络法
• 在本节和以下两节中，我们将介绍线性网络频域灵敏度计算的几 种方法。本节所讨论的增量网络法是一种根据给定电网络直接求 网络变量对网络元件参数的非归一化灵敏度的方法。
• 当网络的拓扑结构和激励固定时，任意支路电流、电压均为网络 元件参数的函数。下面通过分析支路导纳的微小改变所引起电流 、电压的增量，进而确定网络变量对网络元件参数的非归一化灵 敏度。
•
考察一个含线性时不变电阻、电感、电容元件、线性受控源和独立源的 网络N，指定参考节点并任选一树。网络N的关联矩阵为A，基本回路矩阵 为 B f ，网络N的KCL、KVL方程分别为 (6-3-1) AIb 0 B f Ub 0 (6-3-2) U b 分别表示网络N的复频域支路电流向量和支路电压向量。 式中Ib、 如果网络N中某些支路导抗发生微小改变，则各支路电流、电压也会有微 小改变，我们将此网络称为“微扰网络”，用符号 N p 表示。由于网络 N p 与N有相同的拓扑结构，两者有相同的关联矩阵和基本回路矩阵，故N p 的KCL、KVL方程为 AI I 0
T Sx (6 1 3) x
^T
• 网络函数T（s,x）相对于参数x的归一化灵敏度定义为
T Sx
T x T x ln T / x T T x ln x
• 网络函数的偏差及相对偏差与灵敏度的关系为
^T T T x S x x x
T T x Sx T x
I b1 H11 U H b 2 21
I b1 H 11 U b 2 H 21
^
H12 U b1 U b1 H b I I H 22 b2 b2
H 12 U b1 H U b1 b H 22 I b2 I b2
• 设集总、线性、时不变网络N由二端电阻、电感、电容和四类 受控源组成。将N中所有的（或部分的）网络元件参数分别用 不同的变量（x1,…,xn)表示，网络N的网络函数T(T可为U0/Uin 、 U0/Iin、 I0/Iin 或I0/Uin)必定可以表示为两个多项式之比，且每 一多项式对于代表元件参数的任意变量xi都是一次的。即网络 函数T可表示为
N x1 ,, xn T Dx1 ,, xn
• 将网络N中两个元件参数分别用x1、x2表示，其余元件参数用数 值表示，则
T
A0 A1 x1 A2 x2 A12 x1 x2 B0 B1 x1 B2 x2 B12 x1 x2
A12 、 式中 A0 、…、 B0 、…、B12 为常数。利用网络函数T的以上性质， 我们可以导出灵敏度计算的符号网络函数法。 式（6-5-1）可改写为
（1） I p ZOC I p I b Zb I b 式给出了网络N的端口阻抗参数增量与内部阻抗参数增量间的关 系，是用伴随网络法计算灵敏度的公式之一。 T T （2） U p Y U U b Y U SC p b b 式给出了网络N的端口导纳参数增量与内部导纳参数增量间的关 系，是用伴随网络法计算灵敏度的公式之二。 （3 ） T T H T T H H U H12 U b1 EE EJ E 11 U b1 I b 2 U E I J I H H I H H JE JJ J 21 22 b2 式是用伴随网络法计算网络的非归一化灵敏度的一般公式，它包含 了上面两种特殊情形。
T T
§ 6-5 符号网络函数法
• 在复频域和频域分析中，输出量与输入量之比称 为网络函数。有时网络的支路特性不是用数值， 而是用某些变量表示，这样得到的网络函数就是 符号网络函数。
网络函数分为以下三类：
• 第一类，全符号网络函数：全部元件参数（R、L 、C等）均用符号表示。复频域用s表示。 • 第二类，部分符号网络函数：部分元件参数用符 号表示，另一部分元件参数用数值表示。复频域 变量用s表示。 • 第三类，具有数值系数的s的有理函数：全部元件 参数均用数值表示。复频域变量用s表示。
上式中，P
1 H Dx1 ,, xn N x1 ,, xn Dx1 ,, xn PN x1 ,, xn 0 T H 1
T
。经过推到得到下式：
T xi
H中不含xi的各项各项 S H中不含P的各项各项
上式便是用符号网络函数法计算归一化灵敏度的公式。
u i iu u i i u 0
T T ^ ^ ^ ^
称上式为特勒根似功率定理。
伴随网络定义：两个线性时不变的集总网络N与 N 如果满足下列三个 条件，则称它们互为伴随网络： ^ ^ （1）网络N与 N 的拓扑结构相同，即关联矩阵 A A。 ^ （2）网络N和 N 的非独立源支路的参数矩阵间有以下关系： T Z 存在，则 Z b Z b a.如果支路阻抗矩阵 Z b 、 b T T Y Y b.如果支路导纳矩阵 b 、b 存在，则Yb Yb c.一般情形下，非独立源支路特性总可以用混合参数矩阵表征为
• 设网络N的微扰网络为Np,伴随网络为 N ,I、(I+ΔI)、I 和U、 U （U+ΔU）、 分别为以上三个网络的电流向量和电压向量。由于N 、Np和 N 三者有相同的拓扑结构，其中任意二网络的电流、电 压均满足特勒根定理所给出的关系，故有


I U U I 0
I U U U I I 0
§ 6-1 网络的灵敏度
网络灵敏度的定义：考察一个集总、线性、时不变网络N，某一网络 函数为T(s)。设x为与该网络某元件有关的参数，它可以是元件值， 或是影响元件值的一些物理量（如温度、压力），为研究x的微小 变化对网络性能的影响，将网络函数表示为T(s,x)。设参数x在标 称值xo附近有微小改变 Δx=x-x0 将T(s,x)在x0附近用泰勒级数展开,设函数T(s,x)在x0处连续，且Δx 很小，忽略Δx的平方及各高次方项，可得 T s, x T T(s, x) - T(s, x 0 ) x x0 x (6 1 2) x 式中 T 为由于参数x偏离标称值 x0而引起的网络函数 T (s,x) 的偏差 量。因此，网络函数 T (s,x) 相对参数x的未归一化灵敏度定义为
§ 6-4 伴随网络法
• 伴随网络法是计算任意网络函数对网络中各元件 参数的非归一化灵敏度的有效方法，它的主要理 论基础是特勒根定理。
特勒根的两种基本形式
（1）对任意集总网络有
uT i iT u 0
上式表明，任意集总网络任意时刻各支路吸收的瞬时功率之和 为零，这是电网络瞬时功率守恒性的数学描述。 ^ （2）对任意两个关联矩阵相同的集总网络 N 和 N有 T
U I 0 将上式中各电流、电压向量按端口支路与内部支路的划分写为分块 形式，得 T T T T
T
T
I p U p U p I p I b Ub U b I b




上式是推导灵敏度计算公式的依据。
按网络N的端口参数及内部（非源支路）参数的几种类型
增量网络法求网络变量（或网络函数）的非归一化灵敏度的基本步 骤归纳如下： (1)根据题意所要求的非归一化灵敏度确定那些元件参数是可微变参 数，构造相应的增量网络Ni。 (2)解原网络N,求出增量网络Ni中所需原网络N的网络变量。 (3)解增量网络Ni,导出有关网络变量增量与各可微变参数增量间的关 系式。 (4)应用第（3）步所得关系式求网络变量对元件参数的偏导数。将以 上结果除以激励电压（或电流），便可得到有关网络函数对该元 件参数的偏导数。
B f Ub Ub 0
b b
由式（6-3-1）至式（6-3-4）可得
AIb 0
B f Ub 0
将以上二式与式（6-3-1）、（6-3-2）相比较，不难看出，增量电流 I b 、 增量电压 U b和原网络电流 Ib 、电压 U b 满足相同的拓扑约束关系。因此 ，可以设想构造一个与原网络N拓扑结构相同的“增量网络”Ni,Ni的各 支路电流、电压就是增量电流向量 I b 、增量电压向量 U b 的各元，而Ni 的支路特性则应按Np中各支路增量电流与增量电压间的关系确定。
导言
• 由于在网络综合与设计时，无论设计者如何精确 仔细地计算，但实际构成的电路总会包含一些非 理想的因素。电路设计人员需要在设计时事先估 计上述非理想因素对电路性能影响的大小，换言 之，应当能够分析电路性能对各种非理想因素敏 感的程度，以便设计的电路在工作环境下能满足 设计的技术要求，本章所介绍的网络灵敏度分析 为解决以上问题提供了十分有利的工具。

则
11 H H 21
^
T HT H H 12 11 12 T T H H 21 22 H 22