研究生2005吉林大学量子力学真题

量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。

[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。

这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。

其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。

1.设氢原子处于基态030,1),,(0a e a r a r -=πϕθψ为Bohr 半径，求电子径向概率密度最大的位置（最概然半径）。

解 22)()(r r R r w nl nl ⋅= 23010021)(r e a r w a r ⋅=-π ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅-=--0202221203010a r a r re r e a a dr dw π 011203002=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-r a re a a r π 由此得0=r ， ∞→r ， 0a r =2. 验证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是2ˆL 和zL ˆ的共同本征函数，并指出相应的本征值。

( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L )解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L 将2ˆL作用于所给函数上，得 ϕθϕθθθθθ332222sin )(sin 1)(sin sin 1i e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-=ϕϕθθθθθθ332332sin )(sin 9cos sin )(sin 3i i e r f e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ϕϕθθθθθθ33222232sin )(sin 9)sin cos sin 3()(sin 3i i e r f e r f []ϕϕθθθ332232sin )(3sin )1(cos )(9i i e r f e r f +⋅--=ϕϕθθ332332sin )(3sin )(9i i e r f e r f +=ϕθ332sin )(12i e r f =上式满足本征方程ψψ22ˆL L =，可见θϕθψ3sin )(),,(r f r =ϕ3i e 是2ˆL的本征函数，本征值为212 。

又ϕ∂∂=i L z ˆ，将z L ˆ作用于所给函数上，得 ϕϕθθϕ33333sin )(sin )(i i ie r f ie rf i ⋅=∂∂ ϕθ33sin )(3i e r f ⋅=可见满足本征方程ψψz L L =2ˆ，故ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是zL ˆ的本征函数，本征值为 3。

吉林大学物理学院理论物理中心 高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ−Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

2、 令坐标系xyz O −绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R zeG 的矩阵表示。

3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n G转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψG =。

试导出转动算符),(θd n U G的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U G下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。

5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。

6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。

7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π=−=。

8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。

† 角动量理论1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。

2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。

3、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。

4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。

5、 设总角动量算符21J J J G G G +=，1J G 、2J G相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。

2003年吉林大学硕士研究生入学试题一、[25分] 一维线性谐振子 [2221)(x m x V ω=] 初始时刻的状态为：)(31)(31)(32)0,(531x x x x ϕϕϕ−+=Ψ， 其中，为谐振子的正交归一化能量本征函数。

)(x ϕn 1）是哪个力学量算符的本征态？写出相应的本征值；)0,(x Ψ 2）求在态上测量粒子动量的平均值 [提示：可利用1）的结果]；)0,(x Ψ 3）求时刻粒子能量的可取值，取值几率与平均值。

0>t二、[25分]质量为m 的粒子作一维定态运动，其归一化波函数为 ),(2)(2221∞−∞∈=Ψ−x xe x x ααπα1）求粒子的最可几位置，及相应的位置几率密度； 2）若有mV 43||22α=>=ΨΨ<，试求出位函数和定态能量)(x V E 。

附积分公式：π83042=∫∞−dx e x x三、[25分]设一维体系能量算符为（取1==m =）)ˆ(21ˆ22−−=x p H 1）试利用维里定理证明该体系不存在束缚定态（提示：注意位函数恒为负，为吸引位）；2）试利用海森堡运动方程证明：算符t H x p p x t Q ˆ4ˆˆ)(ˆ−+=在任意态上的平均值为一常数。

四、[25分] 证明：在一维束缚态问题中，位能在基态中的平均值满足如下关系式2020200||)(2n n n x E E E V ∑−−=><=μ,式中>=<n x x n ||00。

由此进一步证明：)5(41100E E V −≤><， 其中μ为粒子质量，为第个能量本征值，为相应的本征矢。

n E n >n |五、[25分]自旋均为21的两个非全同粒子构成孤立体系，粒子间存在相互作用)ˆˆˆˆˆˆ(212121z z y y x x s s s s s s−+α，其中α为实常数。

只考虑自旋自由度： 1) 求解体系的能量本征问题，讨论能级简并度；2）设 0=t 时粒子1和粒子2的自旋分别沿z 轴正向和x 轴负向。

浙江大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿上均无效。

一．选择题（2×10＝20分）1．欲观察到定域条纹，则首选（）A.单色扩展光源B.白光扩展光源C.单色电光源D.白光电光源2．牛顿环装置中，若用平行光垂直照明，则当凸透镜与平板间距拉大时，条纹将（）A．外扩 B.向中心收缩 C.无影响3．平行平板干涉中，当平板表面反射率很高时（不考虑吸收），若相邻光束光程差为波长整数倍时，则（）A.反射光强等于入射光强B.投射光强等于入射光强C.反射光强随表面反射率增大而增大4．设线数为N1=600的光栅，其零级主极大光强为I1,在其他条件相同情况下，N2=1800的光栅其零级主极大光强为I2,则I2/I1为（）A.1/9B.1/3C.3D.95．一束自然光通过¼波片时，一般为（）A.线偏振光B.圆偏振光C.椭圆偏振光D.自然光6．以直径d的圆孔作衍射受限系统出瞳，在相干照明时，其截止频率为ρ1，而用非相干光照明时，其截止频率为ρ2，则ρ2/ρ1,为（）A.1/4B.1/2C.2D.4E.17.单轴双折射晶体中，一般情况下（）A. H,D,S相互垂直B. H,E,k相互垂直C. H,E,S相互垂直D. E,k,S相互垂直8,将一块光栅置于一相干成像系统中，若再其端面上只允许－1和＋2级频谱通过，则其光栅的空间频率是（）A.与原来相同B.是原来的两倍C.是原来的三倍9.为了观察原子光谱的超精细结构，应首选下列哪个分光系统（）A.棱镜B.典型的F-B干涉仪C.典型光栅10．根据菲涅尔衍射波带片理论，当衍射屏只允许中心第一个波带通过时，轴上考察点亮度为I1，而当衍射屏通光孔为无穷大时，轴上考察点亮度为I2,则I2/ I1为( )A.4B.2C.1/2D.1/4二．简答题（4×5＝20分）1．写出会聚球面波和发散球面波的波动公式。

2．用振幅为A的平面波垂直照射投射系数为t(x)=a sin(2えx/d)+t0的透明片，试写出紧靠透明片后的复振幅分布。

吉林大学物理学院期末考试《量子力学》试题（2013年）（试题共100分，考试时间2.5小时）一、简答题（40分）1、设r 为球坐标系下的径向坐标，在坐标表象下定义两个算符r A ≡ˆ和ˆrB i ∂∂≡ ，试推导Aˆ和B ˆ算符的厄米共轭算符。

2、设某一维微观粒子处于势场()V x 中，该体系具有分立的本征能谱n E (0,1,)n = ，相应的本征态矢记为n 。

已知在0t =时刻，该粒子的状态为(0)02ψ=，试给出()t ψ在能量表象中的表达式。

3、两个自旋为1/2的一维全同粒子同处于谐振子势场2221)(x m x V ω=中，若不计两个粒子之间的相互作用，分析该体系第一激发态的简并度，并写出相应的波函数。

4、以Gaussian 函数2)()(bx e b A x -=ψ作为试探波函数，b 为变分参数，利用变分法求一维谐振子的基态能量。

5、对于氢原子，当仅考虑电子与核之间的库仑相互作用时，其电子态有严格的本征解，求库仑势能re x V 2)(-=在本征态上的期望值。

二、（14分）质量为m 的一维微观粒子处于如下半壁有限深方势阱中，其中0V 为常数。

若该粒子具有一个20V E =的能级，试计算阱宽a 的大小。

三、（12分）设()V r 为某微观粒子所处的三维势场，ˆP 为该粒子的动量算符，定义算符ˆˆ()Q V r P ≡∇⨯ ，分析ˆQ 是否为厄米算符。

四、（14分）设两个自旋为1/2的粒子组成一个二粒子体系，其哈密顿量为1212ˆ()z z H A B σσ=++⋅σσ 其中，1σ和2σ分别为粒子1和粒子2的泡利矩阵，1z σ和2z σ分别为1σ和2σ的z 分量，A 和B 均为常数。

求该体系的本征能量。

五、（20分）y x -平面内的二维微观粒子被限制在边长为a 的正方形区域内运动，其势场描述为0,0(),,0x a V x x a x ≤≤⎧=⎨∞><⎩，0,0(),,0y a V y y a y ≤≤⎧=⎨∞><⎩ 1、 求该粒子的本征能级和本征波函数；,0()0,0,x V x x a V x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2、 若该体系受到微扰ˆ(4)(/4)Hx a y a αδδ'=--，α为小量，用微扰理论求基态和第一激发态的一级能量修正。