吉林大学研究生2002量子力学真题

2005年吉林大学硕士研究生入学试题一、[25分] 一维线性谐振子 [2221)(x m x V ω=] 初始时刻的状态为： )()(51)(52)0,(210x C x x x ϕϕϕΨ++=， 其中，)(x n ϕ为谐振子的正交归一化能量本征函数。

１）若在)0,(x Ψ态上测量能量的平均值为ω=23，试求系数C 。

２）写出时刻振子的波函数，并求出此时测量能量的取值不小于平均值的几率。

0>t ３）求时刻振子宇称的可取值、取值几率和平均值。

0>t二、[25分]在位场)0()()(00>=V x V x V δ中，质量为的粒子从m ∞−处向右运动，试问能量E 如何取值，粒子刚好能有一半的几率被反射回来？三、[25分]已知力学量的本征值谱和正交归一化本征态矢系分别为和 Q ˆ}{nq }{|>n (，)。

现有算符方程，其中"3,2,1=n 0≠n q >>=ψϕ||ˆQ>ψ|为已知态矢。

１）在表象中求出态矢Q >ϕ|的表达式。

２）若以和分别表示投影到ϕP ˆψP ˆ>ϕ|和>ψ|上的投影算符，试求出它们在表象中的矩阵表示之间的关系。

Q ３）试给出算符的定义，并论证其合理性。

3/1ˆQ四、[25分]设一自旋粒子的能量算符为2/1zy x S C S B S A H ˆˆˆˆ++= 其中A 、B 、C 均为实数。

１）求粒子的能量本征值和本征态矢。

２）若粒子处在Hˆ的一个本征态上，求粒子自旋分量向上的几率。

y五、[25分]设两个质量为m 、自旋为的全同粒子通过位势2/12212)4()(r b s s a r V −⋅−=G G =作用，其中r 为两粒子间距离，1s G 和2s G 分别为两粒子的自旋算符，a 为大于零的实数。

１）为使两粒子束缚在一起，b 应如何取值？ ２）若取，试求基态能量和简并度。

2/3=b ３）若0=b ，求处于基态时两粒子间距离的均方根。

量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。

A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。

答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。

答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。

答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。

答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。

答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。

答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。

在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。

波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。

2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。

答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。

吉林大学材料力学考研真题1995至2016最新版及2002至2011真题答案缺2015年2014年真题2014年真题2016年考研真题吉林工大材料力学试题1995年 考试时间：1995.1.15.下午【一】、选择题（共四道小题） 1.（5分）低碳钢拉伸经过冷作硬化以后，以下四种指标中哪种得到提高： （A ）、强度极限；（B ）、比例极限；（C ）、断面收缩率；（D ）、伸长率（延伸率）。

正确答案是_________。

2.（5分）两简支梁的材料，截面形态及梁中点承受的集中载荷均相同，而两梁的跨度2121=l l ，则其最大挠度之比为： （A ）、21max 2max 1=y y ；（B ）、41max 2max 1=y y； （C ）、61max2max1=y y ；（D ）、81max 2max 1=y y 。

正确答案是_________。

题【一】2图3.（5分）图示以角速度ω旋转的圆轴。

需在其表面打上钢印，从疲劳强度考虑打钢印最适合处有四种选择： （A ）、AB 段；（B ）、BC 段；（C ）、CD 段；（D ）、DE 段。

正确答案是_________。

题【一】3图4.（5分）图示单元体处于纯剪切应力状态，关于45=α方向上的线应变，现有四种答案： （A ）、等于零；（B ）、大于零；（C ）、小于零；（D ）、不能确定。

正确答案是_________。

题【一】4图【二】、填空题（共四道小题） 1.（5分）图示铸铁圆轴受扭时，在_________面上发生断裂，其破坏是由_________应力引起的。

在图上画出破坏的截面。

题【二】2图 2.（5分）图（a ）、（b ）、（c ）为三根材料相同的圆截面直杆，受到重量相同，且从同一高度H 自由下落的冲击，若动荷系数可按std HK δ2=计算，则他们的动荷系数由大到小的顺序是__________________，它们的最大 冲击应力由大到小的顺序是__________________ 。

习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。

2．德布罗意关系为。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。

6．波函数的标准条件为。

7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是。

10．厄密算符的本征函数具有。

11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。

12.______;_______;_________。

28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。

13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。

14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。

15．隧道效应是指__________________________________________。

16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。

17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。

18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。

19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。

20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。

量子力学考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 量子力学中，粒子的波函数ψ(x,t)描述了粒子的哪种物理量？A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子在空间的分布概率D. 粒子的能量答案：C2. 海森堡不确定性原理表明了哪两个物理量的不确定性之间存在关系？A. 位置和能量B. 动量和时间C. 动量和位置D. 时间和能量答案：C3. 在量子力学中，一个粒子的波函数在某个位置的概率密度是该波函数在该位置的什么？A. 绝对值的平方B. 对数C. 导数D. 积分答案：A4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数，这些量子数包括哪些？A. 主量子数和磁量子数B. 主量子数、磁量子数和自旋量子数C. 所有四个量子数D. 主量子数和自旋量子数答案：B5. 薛定谔方程是一个描述什么的波动方程？A. 粒子的波动性质B. 粒子的运动轨迹C. 粒子的能量分布D. 粒子的动量分布答案：A6. 在量子力学中，一个系统的状态可以用哪种数学对象来描述？A. 矩阵B. 向量C. 张量D. 标量答案：B7. 量子力学中的隧穿效应是指什么？A. 粒子通过一个高于其能量的势垒B. 粒子在两个势垒之间振荡C. 粒子在势垒内部反射D. 粒子在势垒外部反射答案：A8. 在量子力学中，一个二能级系统在两个能级间跃迁时，必须吸收或发射一个具有特定能量的光子，这个能量差是由什么决定的？A. 两个能级的差B. 光子的频率C. 系统的总能量D. 系统的动量答案：A9. 量子纠缠是指两个或多个粒子之间的一种什么关系？A. 经典力学关系B. 量子力学关系C. 热力学关系D. 电磁相互作用答案：B10. 下列哪个原理说明了在量子力学中测量一个物理量会改变系统的状态？A. 海森堡不确定性原理B. 哥本哈根解释C. 德布罗意假说D. 薛定谔猫佯谬答案：B二、简答题（每题10分，共40分）11. 简述德布罗意假说的内容及其对量子力学发展的意义。

量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。

证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。

4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。

量子力学试题及答案一、选择题1. 量子力学中，描述一个量子态最基本的方法是（）。

A. 波函数B. 哈密顿算符C. 薛定谔方程D. 路径积分答案：A2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的（）和（）不能同时被精确测量。

A. 位置，速度B. 能量，时间C. 动量，位置D. 时间，动量答案：C3. 波函数的绝对值平方代表的是（）。

A. 粒子的速度B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置出现的概率密度D. 粒子的动量答案：C4. 薛定谔方程是一个（）。

A. 线性偏微分方程B. 非线性偏微分方程C. 线性常微分方程D. 非线性常微分方程答案：A5. 在量子力学中，泡利不相容原理指的是（）。

A. 两个费米子不能处于同一个量子态B. 两个玻色子不能处于同一个量子态C. 所有粒子都不能处于同一个量子态D. 所有粒子都必须处于同一个量子态答案：A二、填空题1. 在量子力学中，一个粒子的波函数必须满足__________方程，才能保证波函数的归一化条件。

答案：连续性2. 量子力学的基本原理之一是观测者效应，即观测过程会影响被观测的__________。

答案：系统3. 量子纠缠是量子力学中的一种现象，其中两个或多个粒子的量子态以某种方式相互关联，以至于一个粒子的状态立即影响另一个粒子的状态，这种现象被称为__________。

答案：非局域性三、简答题1. 请简述德布罗意假说的内容及其对量子力学的贡献。

德布罗意假说提出了物质波的概念，即所有物质都具有波粒二象性。

这一假说不仅解释了电子衍射实验的现象，而且为量子力学的发展奠定了基础，使得物理学家开始将波动性质引入到粒子的描述中，从而推动了波函数理论的发展。

2. 什么是量子隧穿效应？请给出一个实际应用的例子。

量子隧穿效应是指粒子在遇到一个能量势垒时，即使其能量低于势垒高度，也有可能穿透势垒出现在另一侧的现象。

这一效应是量子力学中特有的，与经典物理学预测的结果不同。

一个实际应用的例子是半导体器件中的隧道二极管，它利用量子隧穿效应来实现电流的传导，具有非常快的开关速度和低功耗的特性。

第一章量子力学基础知识1.填空题(1) Ψ是描述的波函数(北京大学1993年考研试题)(2) 实物粒子波动性假设由首先提出来的，实物粒子的波是波。

(3) 德布罗意假设首先由戴维逊和革末用实验证实的。

(4) 在一维无限深势阱中，粒子的活动范围宽度增大，能引起体系的能量。

(5)Planck提出，标志着量子理论的诞生。

(中山大学1998年考研试题)(6) 一维无限深势阱中的粒子，已知处于基态，在处概率密度最大。

(7) 边长为l的立方势箱中粒子的零点能为。

(北京大学1993年考研试题)(8) 边长为l的一维势箱中粒子的零点能为。

(9) 有一质量为m的粒子在一维势箱中运动，其Schrödinger方程为。

(中山大学1998年考研试题)(10) 一维势箱的长度增加，其粒子量子效应(填增强、不变或减弱)。

2. 选择题(1)粒子处于定态意味着：( )A、粒子处于静止状态B、粒子处于势能为0的状态C、粒子处于概率最大的状态D、粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态(2)波恩对波函数提出统计解释：在某一时刻t在空间某处发现粒子的概率与下面哪种形式的波函数成正比。

( )A、|Ψ|B、|Ψ |2C、|Ψ |1..5D、xy| Ψ|(3)指出下列条件，哪一个不是态函数的标准化条件？( )A、单值B、正交归一C、有限D、连续(4)微观粒子的不确定关系式，如下哪种表述正确？( )A、坐标和能量无确定值B、坐标和能量不可能同时有确定值C、若坐标准确量很小，则动量有确定值D、动量值越不正确，坐标值也越不正确(5)波长为662.6 pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值？( )A 、546 : 1B 、273 : 1C 、1 : 35D 、106 : 4515(6)一电子被1000 V 的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？ ( )A 、X 光区(约10-10 m)B 、紫外区(约10-7 m)C 、可见光区(约10-6 m)D 、红外区(约10-5 m)(7)已知一维谐振子的势能表达式V = kx 2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为： ( )A 、ψψE kx dx d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222212 B 、ψψE kx dx d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--222212 C 、ψψE kx m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-22212 D 、 ψψE kx m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∇22212 (8)由一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n ，下面论述正确的是： ( )A 、可取任一整数B 、与势箱宽度一起决定节点数C 、能量与n 2成正比D 、对应于可能的简并态(9)立方势箱中在2246m l h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为(中山大学1993年考研试题)： ( )A 、5,20B 、6,6C 、5, 11D 、6, 17(10)质量为2×10-31g 的粒子运动速度为3×106 m/s ，速度不确定度为10%，则其位置的不确定度至少为： ( )A 、1.11 nmB 、11.1 μmC 、111 pmD 、111 Å(11)金属钾的临阈频率为5.46×1015 s -1，把它当作光电池的阴极，下列哪种频率的光能使它产生光电效应？ ( )A 、5.0×1015 s -1B 、4.0×1015 s -1C 、5.64×1014 s -1D 、2.0×1016 s -1(12)运动速度为2.00×105m/s 的电子波长为 ( )A 、3.64 pmB 、36.4 nmC 、3.64 nmD 、34.6 pm(13)一维势箱中粒子的运动波函数φ5的节点数为 ( )A 、4B 、5C 、6D 、7(14)长度为a 的一维势箱中粒子(质量为m )从第3个能级跃迁到第4个能级所产生的吸收光谱频率为： ( )A 、28ml hB 、285ml hC 、287ml hD 、2812ml h (15)下列四种波中既不是机械波也不是电磁波的是： ( )A 、声波B 、光波C 、水波D 、实物粒子波(16)比较下列能量哪个最大？ ( )A 、1 cm -1B 、1 eVC 、1 kJ/molD 、1 a.u.(17)已知电子位置的不确定度为5×10-7m ，则电子运动速度的不确定度至少为： ( )A 、1.45×103 m s -1B 、1.45×104 m s -1C 、3.65×104 m s -1D 、3.65×105 m s -1(18)在长L=0.75 nm 的一维势箱中运动的H 原子，其de Broglie 波长的最大值是: ···( )A 、0.75 nmB 、1 nmC 、1.5 nmD 、2.0 nm3. 判断题(1)黑体辐射实验能用于经典物理学来解释。