苏教版版高考数学一轮复习第二章函数函数性质的综合问题教学案

苏教版函数性质复习课教案教案苏教版函数性质复习课教案教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2 函数复习的教学设计江苏省邗江中学数学组王祥作者小传：1988年毕业于徐州师范学院数学系，开过多次县、区级公开课，曾获县、区级数学课“二等奖”， 2001年辅导学生参加数学联赛，1人获江苏省“二等奖”，1人获全国“二等奖”，获数学竞赛“优秀辅导教师” 奖，参编了教铺材料《一课三练》，2005年被评为“扬州市高三数学教学先进个人” 。

一、教学目标：1、知识与技能：（1）巩固函数知识，形成知识与知识、知识与方法的联系，帮助学生构建函数的知识结构。

（2）会判断函数的奇偶性、单调性，并能用定义证明、会用图象观察法、函数单调性求函数的值域。

（3）初步形成全面分析、研究函数的能力。

2、过程与方法：通过对函数)0()(≠+=x xa x x f 的研究，使学生会用适当的方法分析、解决问题。

3、情感、态度、价值观：激发学生学习的热情，培养学生的探究能力和认真严谨的科学态度。

二、设计思路：从学生熟悉的问题情景入手，通过设计变式问题，逐步加大问题的难度，让学生在自主探求、合作交流中分析、解决问题，同时把函数的主要知识即：定义域、值域、图象、性质以及有关方法由“点”成“串”形成联系，构建成知识网络，实现对数学知识与方法的整合，提高解决问题的能力。

三、教学重点、难点：3重点：整合函数知识与方法，构建知识结构。

难点：问题若函数)0()(>+=a xa x x f 在]2,0(上是减函数、在),2[+∞上是增函数，求a 的值中的a 值确定。

四、教学资源：学生已经学习了函数的概念、图象和性质，初步会求函数的定义域、值域，会判断函数的奇偶性、单调性，并能用定义证明。

五、过程设计：1．提出问题，创设情景问题：已知函数xx x f 1)(+=（1）求函数的定义域（2）判断函数的奇偶性（3）证明函数在]1,0(上是减函数、在),1[+∞上是增函数。

第八节 函数的图象[最新考纲] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．1．利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象②y ＝f (x )的图象(4)翻转变换[常用结论]1．关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称． ( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√二、教材改编1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称C [∵f (x )＝1x－x 是奇函数， ∴图象关于原点对称．]2．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图象是( )A BC DC [距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．]3.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________． (－1,1] [在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．]考点1 作函数的图象函数图象的常用画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出图象．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作出．作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. [解](1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分． ① ②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，如图③.③ ④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.(1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．考点2 函数图象的辨识辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(1)(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A BC D(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )A BC D(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为S ＝f (t )，则f (t )的图象大致为( )A B C D(1)D (2)B (3)A [(1)∵f (－x )＝sin －x －x cos －x ＋－x2＝－sin x ＋x cos x ＋x2＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．又∵f (π)＝sin π＋πcos π＋π2＝π－1＋π2＞0，∴选D. (2)当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项可知，应选B.(3)当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，CQ ＝8－2t ，则S ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24；当4＜t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为45t ，CQ ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t ＝45(t 2－4t )；当6＜t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×CP sin∠ACB ＝12(2t －8)(14－t )×35＝35(t －4)(14－t )．综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A ，故选A.]由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．1.(2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝2x32x ＋2－x 在[－6,6]的图象大致为( )A B C DB [设f (x )＝2x 32x ＋2－x (x ∈[－6,6])，则f (－x )＝2－x 32－x ＋2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除选项C ；当x ＝－1时，f (－1)＝－45＜0，排除选项D ；当x ＝4时，f (4)＝12816＋116≈7.97，排除选项A.故选B.]2.如图，圆与两坐标轴分别切于A ，B 两点，圆上一动点P 从A 开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A 点，则与△OBP 的面积随时间变化的图象相符合的是( )A B C DA [当P 从A 运动到B 的过程中，△OBP 的面积逐渐减小，在点B 处，△OBP 的面积为零，当P 从B 运动到圆的最高点的过程中，△OBP 的面积又逐渐增大，且当P 位于圆的最高点时，△OBP 的面积达到最大值，当P 从最高点运动到A 点的过程中，△OBP 的面积又逐渐减小，故选A.]考点3 函数图象的应用利用函数图象的直观性求解相关问题，关键在于准确作出函数图象，根据函数解析式的特征和图象的直观性确定函数的相关性质，特别是函数图象的对称性等，然后解决相关问题．研究函数的性质(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．(1)C (2)32 [(1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32. ]利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系．如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．解不等式设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)D [因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x ＜0可化为f x x＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．]当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．求参数的取值范围(1)已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．(1)(0,1] (2)[－1，＋∞) [(1)作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示， 由图可知k ∈(0,1]．(2)如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．]当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围．1.(2019·贵阳市监测考试)已知函数f (x )＝2xx －1，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称B ．函数f (x )在(－∞，1)上是增函数C ．函数f (x )的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB ∥x 轴D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称A [因为y ＝2x x －1＝2x －1＋2x －1＝2x －1＋2，所以该函数图象可以由y ＝2x的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称，A 正确，D 错误；易知函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，故B 错误；易知函数f (x )的图象是由y ＝2x的图象平移得到的，所以不存在两点A ，B 使得直线AB ∥x 轴，C 错误．故选A.]2.已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )＞f (－x )－2x 的解集是________．(－1,0)∪(1，2] [由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )＞－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]3．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时， k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.]。

１．对数的概念如果a x＝N（a＞0且a≠１），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．２．对数的性质、换底公式与运算性质（１）对数的性质：１a log a N＝N；２log a a b＝b（a＞0，且a≠１）．（２）换底公式：log a b＝错误!（a，c均大于0且不等于１，b＞0）．（３）对数的运算性质：如果a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：１log a（M·N）＝log a M＋log a N；２log a错误!＝log a M—log a N；３log a M n＝n log a M（n∈R）．３．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝log a x（a＞0且a≠１）叫做对数函数图象a＞１0＜a＜１性质定义域：（0，＋∞）值域：R当x＝１时，y＝0，即过定点（１,0）当0＜x＜１时，y＜0；当x＞１时，y＞0当0＜x＜１时，y＞0；当x＞１时，y＜0在（0，＋∞）上为增函数在（0，＋∞）上为减函数４．反函数指数函数y＝a x（a＞0且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．错误!１．换底公式的两个重要结论（１）log a b＝错误!；（２）log am b n＝错误!log a b.其中a＞0且a≠１，b＞0且b≠１，m，n∈R，m≠0．２．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝１，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜１＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝log２（x＋１）是对数函数．（）（２）log２x２＝２log２x. （）（３）函数y＝ln错误!与y＝ln（１＋x）—ln（１—x）的定义域相同．（）（４）对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象过定点（１,0），且过点（a,１），错误!，函数图象不在第二、三象限．（）[答案]（１）×（２）×（３）√（４）√二、教材改编１．（log２9）·（log３４）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．４D[（log２9）·（log３４）＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝４．故选Ｄ．]Ａ．a＞b＞cＢ．a＞c＞bＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞bD[因为0＜a＜１，b＜0，c＝log错误!错误!＝log２３＞１．所以c＞a＞b.故选Ｄ．]３．函数y＝的定义域是________．[由（２x—１）≥0，,得0＜２x—１≤１．,∴错误!＜x≤１．,∴函数y＝的定义域是.]４．函数y＝log a（４—x）＋１（a＞0，且a≠１）的图象恒过点________．（３,１）[当４—x＝１即x＝３时，y＝log a１＋１＝１．,所以函数的图象恒过点（３,１）．]考点１对数式的化简与求值对数运算的一般思路（１）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．（２）合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．１．设２a＝５b＝m，且错误!＋错误!＝２，则m等于（）Ａ．错误!Ｂ．１0Ｃ．２0 Ｄ．１00A[由已知，得a＝log２m，b＝log５m，,则错误!＋错误!＝错误!＋错误!,＝log m２＋log m５＝log m １0＝２．,解得m＝错误!.]２．计算：错误!÷１00错误!＝________.—２0 [原式＝（lg ２—２—lg ５２）×１00错误!＝lg错误!×１0＝lg １0—２×１0＝—２×１0＝—２0．]３．计算：错误!＝________.１[原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝１．]对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．考点２对数函数的图象及应用对数函数图象的识别及应用方法（１）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项．（２）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．（１）（２0１9·浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y＝错误!，y＝log a（a ＞0，且a≠１）的图象可能是（）A BC D（２）当0＜x≤错误!时，４x＜log a x，则a的取值范围是（）Ａ．0，错误!Ｂ．错误!，１Ｃ．（１，错误!）Ｄ．（错误!，２）（１）D（２）B[（１）对于函数y＝log a，当y＝0时，有x＋错误!＝１，得x＝错误!，即y＝log a的图象恒过定点错误!，0，排除选项A、C；函数y＝错误!与y＝log a在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选Ｄ．（２）构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a＞１时不满足条件，当0＜a＜１时，画出两个函数在的图象，可知f＜g，即２＜log a错误!，则a＞错误!，所以a的取值范围为.][母题探究]１．（变条件）若本例（２）变为：若不等式x２—log a x＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．[解] 由x２—log a x＜0得x２＜log a x，设f１（x）＝x２，f２（x）＝log a x，要使x∈时，不等式x２＜log a x恒成立，只需f１（x）＝x２在上的图象在f２（x）＝log a x图象的下方即可．当a ＞１时，显然不成立；当0＜a＜１时，如图所示．要使x２＜log a x在x∈上恒成立，需f１≤f２，所以有错误!≤log a错误!，解得a≥错误!，所以错误!≤a＜１．即实数a的取值范围是.２．（变条件）若本例（２）变为：当0＜x≤错误!时，错误!＜log a x，求实数a的取值范围．[解] 若错误!＜log a x在x∈成立，则0＜a＜１，且y＝错误!的图象在y＝log a x图象的下方，如图所示，由图象知错误!＜log a错误!，所以解得错误!＜a＜１．即实数a的取值范围是.１．（２0１9·合肥模拟）函数y＝ln（２—|x|）的大致图象为（）,A BC DA[令f（x）＝ln（２—|x|），易知函数f（x）的定义域为{x|—２＜x＜２}，且f（—x）＝ln（２—|—x|）＝ln（２—|x|）＝f（x），,所以函数f（x）为偶函数，排除选项C，Ｄ．,当x＝错误!时，f错误!＝ln 错误!＜0，排除选项B，故选Ａ．]２．已知函数y＝log a（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠１）的图象如图，则下列结论成立的是（）Ａ．a＞１，c＞１Ｂ．a＞１,0＜c＜１Ｃ．0＜a＜１，c＞１Ｄ．0＜a＜１,0＜c＜１D[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜１,0＜c＜１．]３．设方程１0x＝|lg（—x）|的两个根分别为x１，x２，则（）Ａ．x１x２＜0 Ｂ．x１x２＝0Ｃ．x１x２＞１Ｄ．0＜x１x２＜１D[作出y＝１0x与y＝|lg（—x）|的大致图象，如图．显然x１＜0，x２＜0．不妨令x１＜x２，则x１＜—１＜x２＜0，所以１0x１＝lg（—x１），１0x２＝—lg（—x２），此时１0x１＜１0x２，即lg（—x１）＜—lg（—x２），由此得lg（x１x２）＜0，所以0＜x１x２＜１，故选Ｄ．]考点３对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的３个关注点（１）定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．（２）底数与１的大小关系．（３）复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．比较大小（１）（２0１9·天津高考）已知a＝log５２，b＝log0．５0．２，c＝0．５0．２，则a，b，c 的大小关系为（）Ａ．a＜c＜bＢ．a＜b＜cＣ．b＜c＜aＤ．c＜a＜b（２）已知a＝log２e，b＝ln ２，c＝log错误!错误!，则a，b，c的大小关系为（）Ａ．a＞b＞cＢ．b＞a＞cＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞b（１）A（２）D[（１）因为a＝log５２＜log５错误!＝错误!，b＝log0．５0．２＞log0．５0．５＝１，c＝0．５0．２＝错误!错误!＞错误!，0．５0．２＜１，所以a＜c＜b，故选Ａ．（２）因为a＝log２e＞１，b＝ln ２∈（0,１），c＝log错误!错误!＝log２３＞log２e＞１，所以c ＞a＞b，故选Ｄ．]对数值大小比较的主要方法（１）化同底数后利用函数的单调性．（２）化同真数后利用图象比较．（３）借用中间量（0或１等）进行估值比较．解简单对数不等式（１）若log a错误!＜１（a＞0且a≠１），则实数a的取值范围是________．（２）若log a（a２＋１）＜log a２a＜0，则a的取值范围是________．（１）错误!∪（１，＋∞）（２）错误![（１）当0＜a＜１时，log a错误!＜log a a＝１，∴0＜a＜错误!；当a＞１时，log a错误!＜log a a＝１，∴a＞１．∴实数a的取值范围是错误!∪（１，＋∞）．（２）由题意得a＞0且a≠１，故必有a２＋１＞２a，又log a（a２＋１）＜log a２a＜0，所以0＜a＜１，同时２a＞１，所以a＞错误!.综上，a∈错误!.]对于形如log a f（x）＞b的不等式，一般转化为log a f（x）＞log a a b，再根据底数的范围转化为f（x）＞a b或0＜f（x）＜a b.而对于形如log a f（x）＞log b g（x）的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f（x）＝log a（３—ax）．（１）当x∈[0,２]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（２）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解]（１）因为a＞0且a≠１，设t（x）＝３—ax，则t（x）＝３—ax为减函数，x∈[0,２]时，t（x）的最小值为３—２a，当x∈[0,２]时，f（x）恒有意义，即x∈[0,２]时，３—ax＞0恒成立．所以３—２a＞0．所以a＜错误!.又a＞0且a≠１，所以a∈（0,１）∪错误!.（２）t（x）＝３—ax，因为a＞0，所以函数t（x）为减函数．因为f（x）在区间[１,２]上为减函数，所以y＝log a t为增函数，所以a＞１，当x∈[１,２]时，t（x）最小值为３—２a，f（x）最大值为f（１）＝log a（３—a），所以错误!即错误!故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与１的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．１．已知函数f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，则a的取值范围为（）Ａ．（—∞，４] Ｂ．[４，＋∞）Ｃ．[—４,４] Ｄ．（—４,４]D[令g（x）＝x２—ax＋３a，因为f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，所以函数g（x）在区间[２，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以错误!a≤２且g（２）＞0，所以a≤４且４＋a＞0，所以—４＜a≤４．故选Ｄ．]２．函数y＝log a x（a＞0且a≠１）在[２,４]上的最大值与最小值的差是１，则a＝________.２或错误![分两种情况讨论：１当a＞１时，有log a４—log a２＝１，解得a＝２；２当0＜a＜１时，有log a２—log a４＝１，解得a＝错误!.所以a＝２或错误!.]３．设函数f（x）＝若f（a）＞f（—a），则实数a的取值范围是________．（—１,0）∪（１，＋∞）[由题意得错误!或解得a＞１或—１＜a＜0．]。

第二节 函数的单调性与最值[最新考纲] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2定义当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．2．函数的最值前提函数y ＝f (x )的定义域为A ，存在x 0∈A条件 任意x ∈A ，都有 f (x )≤f (x 0) 任意x ∈A ，都有 f (x )≥f (x 0) 结论 f (x 0)为y ＝f (x )的最大值f (x 0)为y ＝f (x )的最小值记法 y max ＝f (x 0)y min ＝f (x 0)[常用结论]1．函数单调性的结论 (1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋a x(a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减〞． 2．函数最值存在的2个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰〞函数一定存在最大(小)值．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)假设定义在R 上的函数f (x )有f (－1)＜f (3)，那么函数f (x )在R 上为增函数．( ) (3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，那么函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先递减后递增D ．先递增后递减C [因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x ＝3，所以函数y ＝x 2－6x ＋10在(2,3)上为减函数，在(3,4)上为增函数．]2．以下函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4A [y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，应选A.]3．假设函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，那么k 的取值X 围是________．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0， 即k ＜－12.]4．函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，那么f (x )的最大值为________，最小值为________． 2 25 [易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]考点1 确定函数的单调性(区间) 确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和〞或“，〞连接，不能用“∪〞连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减〞的原那么时，需先确定简单函数的单调性．求函数的单调区间(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________． (1)B(2)[2，＋∞) (－∞，－3] [(1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如下图，函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.应选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，那么y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．](1)求复合函数的单调区间的步骤一般为：①确定函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减〞．(2)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．含参函数的单调性[一题多解]判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1,2]上的单调性．[解] 法一：(定义法)设1≤x 1＜x 2≤2，那么f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 1＋x 2－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14. 又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 法二：(导数法)因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x2， 因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8， 又1＜a ＜3， 所以2ax 3－1＞0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．定义法证明函数单调性的一般步骤：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f (x 1)－f (x 2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性)．1.函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)A [由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2，当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ＜2时，(－∞，1]是函数f (x )的单调递增区间，[1,2]是函数f (x )的单调递减区间．] 2．判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [解] 法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：(导数法)f ′(x )＝a x －1－ax x －12＝－ax －12，所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为单调减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为单调增函数．考点2 函数的最值求函数最值的5种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等〞的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x ＞0的最小值为f (0)，那么实数a 的取值X 围是( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2](2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．(3)函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．(1)D (2)3 (3)14 [(1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．故当x ＝1时取得最小值2＋a ， ∵f (x )的最小值为f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2单调递减，故a ≥0， 此时的最小值为f (0)＝a 2，故2＋a ≥a 2，得－1≤a ≤2. 又a ≥0，得0≤a ≤2.应选D.(2)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝3－log 21＝3.(3)令t ＝x ，那么t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.][逆向问题] 假设函数f (x )＝－a x ＋b (a ＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，那么a ＝________，b ＝________.1 52 [∵f (x )＝－a x ＋b (a ＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.](1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．如本例(3)．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．如本例(1)．(3)假设函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，那么必在区间的端点处取得最值．如本例(2)；假设函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，那么最小值为函数f (x )在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数f (x )在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值．1.函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．(－∞，－4]∪[4，＋∞) [当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x≥4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ＜0时，－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x≤－4，当且仅当x ＝－2时取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．]2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，那么函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．1 [法一：(图象法)在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )图象， 依题意，h (x )的图象如下图．易知点A (2,1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：(单调性法)依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.]考点3 函数单调性的应用比较大小比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，假设自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [根据可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，f (2)＞f (2.5)＞f (3)，所以b ＞a ＞c .]本例先由[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0得出f (x )在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－12，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．解不等式求解含“f 〞的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f 〞，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．此时要特别注意函数的定义域．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，那么实数a 的取值X 围为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,1)C [因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，应选C.]本例在求解时，应注意隐含条件为a 2－a ∈[－2,2]，2a －2∈[－2,2]．[教师备选例题]f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，那么不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]根据函数的单调性求参数利用单调性求参数的X 围(或值)的方法(1)视参数为数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与单调区间比较求参数．(2)需注意假设函数在区间[a ，b ]上是单调的，那么该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(1)(2019·某某模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，那么a 的取值X 围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.假设函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，那么实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)(1)C (2)D [(1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.所以a 的取值X 围是a ≤－3.(2)作出函数f (x )的图象如下图 ，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，应选D.]分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)．1.假设函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，那么a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]B [因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a ，－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，且函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a ＞1.所以a 的取值X 围是(1，＋∞)．应选B.]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，假设f (2－x 2)＞f (x )，那么实数x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)D [因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，word - 11 - / 11 函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.]3．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值X 围是( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 C [由条件得f (x )为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ＞0，a ＞1，2－a ×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2， 所以a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.应选C.]。

１．函数的零点（１）函数零点的定义对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．（２）三个等价关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．（３）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１,0），（x２,0）（x１,0）无交点零点个数２１0有关函数零点的３个结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0．（）（３）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）＜0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）（４）二次函数y＝ax２＋bx＋c在b２—４ac＜0时没有零点．（）[答案]（１）×（２）×（３）×（４）√二、教材改编１．已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数yＡ．２个Ｂ．３个Ｃ．４个Ｄ．５个B[∵f（２）·f（３）＜0，f（３）·f（４）＜0，f（４）·f（５）＜0，故函数f（x）在区间[１,6]内至少有３个零点．]２．函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点所在的区间是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,３）Ｄ．（３,４）C[由题意得f（１）＝ln １＋２—6＝—４＜0，f（２）＝ln ２＋４—6＝ln ２—２＜0，f（３）＝ln ３＋6—6＝ln ３＞0，f（４）＝ln ４＋8—6＝ln ４＋２＞0，∴f（x）的零点所在的区间为（２,３）．]３．函数f（x）＝e x＋３x的零点个数是________．１[由已知得f′（x）＝e x＋３＞0，所以f（x）在R上单调递增，又f（—１）＝错误!—３＜0，f （0）＝１＞0，因此函数f（x）有且只有一个零点．]４．函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为________．１[作函数y１＝x错误!和y２＝错误!错误!的图象如图所示．由图象知函数f（x）有１个零点．]考点１函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法（１）解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．（２）零点存在性定理．（３）数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．１．函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的区间为（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,３）Ｄ．（３,４）B[由题意知函数f（x）是增函数，因为f（１）＜0，f（２）＝ln ２—错误!＝ln ２—ln 错误!＞0，所以函数f（x）的零点所在的区间是（１,２）．故选Ｂ．]２．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x—a）（x—b）＋（x—b）（x—c）＋（x—c）（x—a）的两个零点分别位于区间（）Ａ．（a，b）和（b，c）内Ｂ．（—∞，a）和（a，b）内Ｃ．（b，c）和（c，＋∞）内Ｄ．（—∞，a）和（c，＋∞）内A[∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a—b）（a—c）＞0，f（b）＝（b—c）（b—a）＜0，f（c）＝（c—a）（c—b）＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间（a，b）（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内，故选Ａ．]３．已知函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点在错误!（k∈Z）内，那么k＝________.５[∵f′（x）＝错误!＋２＞0，x∈（0，＋∞），∴f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，且f错误!＝ln 错误!—１＜0，f（３）＝ln ３＞0，∴f（x）的零点在错误!内，则整数k＝５．]（１）f（a）·f（b）＜0是连续函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．（２）若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，且f（x）的图象连续不断，则f（a）·f（b）＜0⇒函数f（x）在区间[a，b]上只有一个零点．考点２函数零点个数的判断函数零点个数的讨论，基本解法有（１）直接法，令f（x）＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点．（２）定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．（３）图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．（１）（２0１9·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝２sin x—sin ２x在[0,２π]的零点个数为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５（２）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３（３）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e x＋x—３，则f（x）的零点个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（１）B（２）D（３）C[（１）由f（x）＝２sin x—sin ２x＝２sin x—２sin x cos x＝２sin x·（１—cos x）＝0得sin x＝0或cos x＝１，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,２π]，∴x＝0，π，２π，即零点有３个，故选Ｂ．（２）依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x２—２x的图象（如图），可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f（x）＝２x＋１与x轴只有一个交点，综上，函数f（x）有３个零点．故选Ｄ．（３）因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，即x＝0是函数f（x）的１个零点．当x＞0时，令f（x）＝e x＋x—３＝0，则e x＝—x＋３，分别画出函数y＝e x和y＝—x＋３的图象，如图所示，两函数图象有１个交点，所以函数f（x）有１个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f（x）也有１个零点．综上所述，f（x）的零点个数为３．]（１）利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．（２）图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．１．函数f（x）＝２x|log0．５x|—１的零点个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４B[令f（x）＝２x|log0．５x|—１＝0，可得|log0．５x|＝错误!错误!.设g（x）＝|log0．５x|，h（x）＝错误!错误!.在同一坐标系下分别画出函数g（x），h（x）的图象，可以发现两个函数图象一定有２个交点，因此函数f（x）有２个零点．故选Ｂ．]２．已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝—２，f（—１）＝１，则函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为________．３[依题意得错误!由此解得错误!由g（x）＝0得f（x）＋x＝0，该方程等价于错误!１或错误!２解１得x＝２，解２得x＝—１或x＝—２．因此，函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为３．]考点３函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的３种常用方法（１）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（２）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（３）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．根据函数零点个数求参数已知函数f（x）＝|x２＋３x|，x∈R，若方程f（x）—a|x—１|＝0恰有４个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．（0,１）∪（9，＋∞）[设y１＝f（x）＝|x２＋３x|，y２＝a|x—１|，在同一直角坐标系中作出y１＝|x２＋３x|，y２＝a|x—１|的图象如图所示．由图可知f（x）—a|x—１|＝0有４个互异的实数根等价于y１＝|x２＋３x|与y２＝a|x—１|的图象有４个不同的交点且４个交点的横坐标都小于１，所以错误!有两组不同解，消去y得x２＋（３—a）x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝（３—a）２—４a＞0，即a２—１0a＋9＞0，解得a＜１或a＞9．又由图象得a＞0，∴0＜a＜１或a＞9．]由函数的零点个数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．根据函数有无零点求参数已知函数f（x）＝错误!则使函数g（x）＝f（x）＋x—m有零点的实数m的取值范围是________．（—∞，0]∪（１，＋∞）[函数g（x）＝f（x）＋x—m的零点就是方程f（x）＋x＝m的根，画出h（x）＝f（x）＋x＝错误!的大致图象（图略）．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞１时，有交点，即函数g（x）＝f（x）＋x—m有零点．]函数有无零点问题⇔函数图象与x轴有无公共点问题．根据零点的范围求参数若函数f（x）＝（m—２）x２＋mx＋（２m＋１）的两个零点分别在区间（—１,0）和区间（１,２）内，则m的取值范围是________．错误![依题意，结合函数f（x）的图象分析可知m需满足错误!即错误!解得错误!＜m＜错误!.]此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１,２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１,３）Ｂ．（１,２）Ｃ．（0,３）Ｄ．（0,２）C[因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则由题意得f（１）·f（２）＝（0—a）（３—a）＜0，解得0＜a＜３，故选Ｃ．]２．方程log错误!（a—２x）＝２＋x有解，则a的最小值为________．１[若方程log错误!（a—２x）＝２＋x有解，则错误!错误!＝a—２x有解，即错误!错误!错误!＋２x＝a有解，因为错误!错误!错误!＋２x≥１，故a的最小值为１．]３．已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．（—１,0）[关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，等价于函数y１＝f（x）与函数y２＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是（—１,0）．]。

高中数学第二章《函数性质的综合应用》导学案苏教版必修1 江苏响水中学数学第二章“函数性质的综合应用”指导案例苏教育版必修11。

归纳函数的单调性、奇偶性和判断方法。

2。

利用函数的单调性和奇偶性解决综合问题。

3年，我们通过结合基本函数的性质、函数的单调性和奇偶性，总结了一些特殊函数的性质。

在之前，我们学习了函数的单调性、奇偶性和最大值。

对于单调性，我们主要需要掌握增函数和减函数的定义和证明，图像特征，以及单调性的综合应用。

对于奇偶性，应掌握奇偶性的定义、判断方法和图像特征。

寻找最大值的方法是这一部分的重点之一。

应该注意通过一些典型的话题来掌握一些常用的方法。

在学习性质上的综合应用是本部分的重点和热点。

这堂课将讨论性质的综合应用。

问题1:函数单调性的证明或判断方法的归纳:(1)定义(差分法)；→号码固定；(2)直接使用已知函数的单调性(如，，反比例函数等。

)；(3)如果f(x)是区间D上的增(减)函数，那么f(x)也是任何非空区间D上的增(减)函数；(4)图像法:根据图像的上升或下降趋势判断函数的单调性；(5)对称单调性区间中奇数函数的单调性和对称单调性区间中偶数函数的单调性。

问题2:判断函数的奇偶性:(1)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称；如果域关于原点不对称，函数f(x)；(2)在定义域关于原点对称的前提下，研究了f(x)与f(-x)或-f(x)之间的关系。

如果是这样，函数f(x)是一个偶数函数；如果是这样，函数f(x)就是奇数函数。

问题3:求函数f(x)的值域或最大值的常用方法有:、、单调性判断法等。

问题4:两个重要函数的性质:(1)y=ax+(a>0，b>0的性质):这个函数的定义域是，满足f(-x)=-f(x)，所以这个函数是，当x>0时，函数可以变形为y=(-)2+2≥2，并且当且仅当x=且定义域为时，才获得最小值如果f(m)+f(m-1)>0，则现实数的取值范围m.已知函数f(x)=取值范围。

１．常见的几种函数模型（１）一次函数模型：y＝kx＋b（k≠0）.（２）反比例函数模型：y＝错误!＋b（k，b为常数且k≠0）.（３）二次函数模型：y＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）.（４）指数函数模型：y＝a·b x＋c（a，b，c为常数，b＞0，b≠１，a≠0）.（５）对数函数模型：y＝m log a x＋n（m，n，a为常数，a＞0，a≠１，m≠0）.（6）幂函数模型：y＝a·x n＋b（a≠0）.２．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝a x（a＞１）y＝log a x（a＞１）y＝x n（n＞0）在（0，＋∞）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（３）解模：求解数学模型，得出数学结论；（４）还原：将数学问题还原为实际问题.错误!形如f（x）＝x＋错误!（a＞0）的函数模型称为“对勾”函数模型：（１）该函数在（—∞，—错误!］和［错误!，＋∞）内单调递增，在［—错误!，0）和（0，错误!］上单调递减.（２）当x＞0时，x＝错误!时取最小值２错误!，当x＜0时，x＝—错误!时取最大值—２错误!.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝２x与函数y＝x２的图象有且只有两个公共点.（）（２）幂函数增长比直线增长更快. （）（３）不存在x0，使ax0＜x错误!＜log a x0. （）（４）f（x）＝x２，g（x）＝２x，h（x）＝log２x，当x∈（４，＋∞）时，恒有h（x）＜f（x）＜g（x）. （）［答案］（１）×（２）×（３）×（４）√二、教材改编１．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（）（注：结余＝收入—支出）Ａ．收入最高值与收入最低值的比是３∶１Ｂ．结余最高的月份是7月Ｃ．１至２月份的收入的变化率与４至５月份的收入的变化率相同Ｄ．前6个月的平均收入为４0万元D［由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为３0万元，其比是３∶１，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80—２0＝60（万元），故B正确；由题图可知，１至２月份的收入的变化率与４至５月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为错误!×（４0＋60＋３0＋３0＋５0＋60）＝４５（万元），故D错误.］２．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：x0．５00．99２．0１３．98y—0．990．0１0．98２．00则对x，yＡ．y＝２xＢ．y＝x２—１Ｃ．y＝２x—２Ｄ．y＝log２xD［根据x＝0．５0，y＝—0．99，代入计算，可以排除A；根据x＝２．0１，y＝0．98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log２x，可知满足题意，故选Ｄ．］３．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝错误!x２＋２x＋２0（万元）.一万件售价为２0万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为万件.１8 ［利润L（x）＝２0x—C（x）＝—错误!（x—１8）２＋１４２，当x＝１8时，L（x）有最大值.］４．用长度为２４的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为.３［设隔墙的长度为x（0＜x＜6），矩形面积为y，则y＝x×错误!＝２x（6—x）＝—２（x—３）２＋１8，∴当x＝３时，y最大.］考点１用函数图象刻画变化过程判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的２种方法（１）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.（２）验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.１．（２0１9·遵义模拟）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是４m和a m（0＜a＜１２）.不考虑树的粗细，现用１6 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f（a）（单位：m２）的图象大致是（）A B C DB［设AD的长为x m，则CD的长为（１6—x）m，则矩形ABCD的面积为x（１6—x）m２.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤１２．当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝6４；当8＜a ＜１２时，u＝a（１6—a）.画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选Ｂ．］２．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是（）A B C DB［由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细.再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选Ｂ．］３．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗１升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）Ａ．消耗１升汽油，乙车最多可行驶５千米Ｂ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多Ｃ．甲车以80千米/小时的速度行驶１小时，消耗１0升汽油Ｄ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D［根据图象知消耗１升汽油，乙车最多行驶里程大于５千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为１0千米/升，行驶１小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.］准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键.考点２应用所给函数模型解决实际问题求解所给函数模型解决实际问题的３个关注点（１）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.（２）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.（３）利用该模型求解实际问题.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为３万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）＝错误!x２＋x（万元）.在年产量不小于8万件时，W（x）＝6x＋错误!—３8（万元）.每件产品售价为５元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.（１）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入—固定成本—流动成本）（２）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？［解］（１）因为每件商品售价为５元，则x万件商品销售收入为５x万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L（x）＝５x—错误!—３＝—错误!x２＋４x—３；当x≥8时，L（x）＝５x—错误!—３＝３５—错误!.所以L（x）＝错误!（２）当0＜x＜8时，L（x）＝—错误!（x—6）２＋9．此时，当x＝6时，L（x）取得最大值L（6）＝9万元，当x≥8时，L（x）＝３５—错误!≤３５—２错误!＝３５—２0＝１５，此时，当且仅当x＝错误!，即x＝１0时，L（x）取得最大值１５万元.因为9＜１５，所以当年产量为１0万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为１５万元.解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x∈（0，＋∞）.一个容器装有细沙a cm３，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e—bt（cm３），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.１6 ［当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝a e—8b＝错误!a，∴e—8b＝错误!，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e—b t＝错误!a，e—b t＝错误!＝（e—8 b）３＝e—２４b，则t＝２４，所以再经过１6 min.］考点３构建函数模型解决实际问题构建函数模型解决实际问题的步骤构造二次函数、分段函数模型国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在３0或３0以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于３0，则给予优惠：每多１人，机票每张减少１0元，直到达到规定人数7５为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费１５000元.（１）写出每张飞机票的价格关于人数的函数；（２）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？［解］（１）设每团人数为x，由题意得0＜x≤7５（x∈N*），每张飞机票价格为y元，则y＝错误!即y＝错误!（２）设旅行社获利S元，则S＝错误!即S＝错误!因为S＝900x—１５000在区间（0,３0］上为增函数，故当x＝３0时，S取最大值１２000．又S＝—１0（x—60）２＋２１000，x∈（３0,7５］，所以当x＝60时，S取得最大值２１000．故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.解题过程——谨防２种失误（１）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.（２）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解.构造y＝x＋错误!（a＞0）模型某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料２00千克，每千克饲料的价格为１．8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0．0３元，购买饲料每次支付运费３00元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.［解］设该养殖场x（x∈N*）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少２00×0．0３＝6（元），所以x天饲料的保管费与其他费用共是6（x—１）＋6（x—２）＋…＋6＝（３x２—３x）（元）.从而有y＝错误!（３x２—３x＋３00）＋２00×１．8＝错误!＋３x＋３５7≥２错误!＋３５7＝４１7，当且仅当错误!＝３x，即x＝１0时，y有最小值.故该养殖场１0天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.利用模型f（x）＝ax＋错误!求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.构建指数函数、对数函数模型（１）世界人口在过去４0年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（参考数据lg ２≈0．３0１0,１00．007 ５≈１．0１7）（）Ａ．１．５% Ｂ．１．6%Ｃ．１．7% Ｄ．１．8%（２）十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从５４万亿元增加到8２．7万亿元，年均增长7．１%，占世界经济比重从１１．４%提高到１５%左右，对世界经济增长贡献率超过３0%,发展的预期目标是国内生产总值增长6．５%左右.如果从开始，以后每年的国内生产总值都按6．５%的增长率增长，那么的国内生产总值约为（提示：１．06５３≈１．２08）（）Ａ．9３．8万亿元Ｂ．99．9万亿元Ｃ．97万亿元Ｄ．１06．３9万亿元（１）C（２）B［（１）设每年人口平均增长率为x，则（１＋x）４0＝２，两边取以１0为底的对数，则４0lg（１＋x）＝lg ２，所以lg（１＋x）＝错误!≈0．007 ５，所以１00．007 ５＝１＋x，得１＋x≈１．0１7，所以x≈１．7%.故选Ｃ．（２）由题意可知，我国国内年生产总值约为：8２．7×（１＋6．５%）３≈99．9（万亿元）.故选Ｂ．］（１）与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型（底数大于１）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.（２）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.１．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0．１%，若初时含杂质２%，每过滤一次可使杂质含量减少错误!，至少应过滤次才能达到市场要求.（已知lg ２≈0．３0１0，lg ３≈0．４77 １）8 ［设至少过滤n次才能达到市场要求，则２%错误!错误!≤0．１%，即错误!错误!≤错误!，所以n lg 错误!≤—１—lg ２，所以n≥7．３9，所以n＝8．］２．某景区提供自行车出租，该景区有５0辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日１１５元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过１元，租不出的自行车就增加３辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）.（１）求函数y＝f（x）的解析式；（２）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？［解］（１）当x≤6时，y＝５0x—１１５，令５0x—１１５＞0，解得x＞２．３，∵x为整数，∴３≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝［５0—３（x—6）］x—１１５＝—３x２＋68x—１１５．令—３x２＋68x—１１５＞0，有３x２—68x＋１１５＜0，结合x为整数得6＜x≤２0，x∈Z.∴y＝错误!（２）对于y＝５0x—１１５（３≤x≤6，x∈Z），显然当x＝6时，y max＝１8５；对于y＝—３x２＋68x—１１５＝—３错误!错误!＋错误!（6＜x≤２0，x∈Z），当x＝１１时，y max ＝２70．∵２70＞１8５，∴当每辆自行车的日租金定为１１元时，才能使一日的净收入最多.。

１．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：（１）１确定函数的定义域；２化简函数的解析式；３讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）．（２）列表（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点）．（３）描点，连线．２．图象变换（１）平移变换１y＝f（x）的图象错误!y＝f（x—a）的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（x）＋b的图象．（２）对称变换１y＝f（x）的图象错误!y＝—f（x）的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（—x）的图象；３y＝f（x）的图象错误!y＝—f（—x）的图象；４y＝a x（a＞0且a≠１）的图象错误!y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象．（３）伸缩变换１y＝f（x）的图象２y＝f（x）的图象错误!y＝af（x）的图象．（４）翻转变换１y＝f（x）的图象错误!y＝|f（x）|的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（|x|）的图象．[小题体验]１．f（x）的图象如图所示，则f（x）＝________.答案：f（x）＝错误!２．函数f（x）的图象向右平移１个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝________.解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e—x，将函数y＝e—x的图象向左平移１个单位长度即得y＝f（x）的图象，所以f（x）＝e—（x＋１）＝e—x—１.答案：e—x—１３．（２0１8·扬州期末）若函数y＝f（x）的图象经过点（１,２），则函数y＝f（—x）＋１的图象必经过的点的坐标是________．解析：把函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，再向上平移１个单位，可得函数y＝f（—x）＋１的图象．把函数y＝f（x）的图象上的点（１,２）关于y轴对称，再向上平移１个单位，可得点（—１,３），故函数y＝f（—x）＋１的图象必定经过的点的坐标是（—１,３）．答案：（—１,３）１．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f（—２x）的图象到f（—２x＋１）的图象是向右平移错误!个单位，其中是把x变成x—错误!.２．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y＝f（|x|）的图象属于自身对称，而y＝f（x）与y ＝f（—x）的图象关于y轴对称是两个函数．[小题纠偏]１．函数y＝５x与函数y＝—错误!的图象关于________对称．答案：原点２．把函数y＝f（２x）的图象向右平移________个单位得到函数y＝f（２x—３）的图象．答案：错误!错误!错误![题组练透]分别画出下列函数的图象：（１）y＝|lg x|；（２）y＝２x＋２；（３）y＝x２—２|x|—１．解：（１）y＝错误!图象如图１．（２）将y＝２x的图象向左平移２个单位．图象如图２．（３）y＝错误!图象如图３．[谨记通法]作函数图象的３种常用方法错误!错误![典例引领]１．若函数f（x）＝错误!的图象如图所示，则f（—３）＝________.解析：由图象可得—a＋b＝３，ln（—１＋a）＝0，得a＝２，b＝５，所以f（x）＝错误!故f（—３）＝２×（—３）＋５＝—１．答案：—１２．（２0１9·启东检测）若函数f（x）＝|a x＋b|（a＞0，a≠１，b∈R）的图象如图所示，则a＋b 的取值范围是________．解析：由图可得，函数f（x）的零点为错误!，即错误!＋b＝0．由图可得，当x＞错误!时，函数f（x）为增函数，故a＞１，所以a＋b＝a—错误!＝错误!２—错误!∈（0，＋∞）．答案：（0，＋∞）[由题悟法]识图３种常用的方法[即时应用]１．已知y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的值域为________．解析：由图象易知f（x）的值域为（—∞，—１]∪（１,３）．答案：（—∞，—１]∪（１,３）２．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0），（１,２），（３,１），则f错误!＝________.解析：由图象知f（３）＝１，所以错误!＝１，所以f错误!＝f（１）＝２．答案：２错误!错误![锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有：（１）研究函数的性质；（２）求参数的值或范围；（３）研究不等式；（４）确定方程根（零点）的个数．（详见本章第八节考点二）[题点全练]角度一：研究函数的性质１．已知函数f（x）＝|x２—４x＋３|.（１）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（２）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．解：f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．（１）由图知函数f（x）的单调递增区间为[１,２]和[３，＋∞），单调递减区间为（—∞，１]和[２,３]．（２）由图象可知，若y＝f（x）与y＝m图象有四个不同的交点，则0＜m＜１，所以集合M＝{m|0＜m＜１}．角度二：求参数的值或范围２．（２0１9·苏州实验中学测试）定义min{a，b}＝错误!已知函数f（x）＝min{x，x２—４x＋４}＋４，若动直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有３个交点，则实数m的取值范围为________．解析：设g（x）＝min{x，x２—４x＋４}，则f（x）＝g（x）＋４，故把g（x）的图象向上平移４个单位长度，可得f（x）的图象，函数f（x）＝min{x，x２—４x＋４}＋４的图象如图所示，由直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有３个交点，可得m的取值范围为（４,５）．答案：（４,５）角度三：研究不等式３．（２0１8·启东中学测试）如图所示，函数y＝f（x）的图象是圆x２＋y２＝２上的两段弧，则不等式f（x）＞f（—x）—２x的解集是________．解析：由图象可知，函数f（x）为奇函数，故原不等式可等价转化为f（x）＞—x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝—x的图象，由图象可知不等式的解集为（—１,0）∪（１，错误!]．答案：（—１,0）∪（１，错误!]４．若不等式（x—１）２＜log a x（a＞0，且a≠１）在x∈（１,２）内恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：要使当x∈（１,２）时，不等式（x—１）２＜log a x恒成立，只需函数y＝（x—１）２在（１,２）上的图象在y＝log a x的图象的下方即可．当0＜a＜１时，显然不成立；当a＞１时，如图，要使x∈（１,２）时，y＝（x—１）２的图象在y ＝log a x的图象的下方，只需（２—１）２≤log a２，即log a２≥１，解得１＜a≤２，故实数a的取值范围是（１,２]．答案：（１,２][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略（１）研究函数性质：１根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．２从图象的对称性，分析函数的奇偶性．３从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．４从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．（２）研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值（范围）：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．（３）研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]１．已知函数f（x）＝错误!若f（３—a２）＜f（２a），则实数a的取值范围是________．解析：如图，画出f（x）的图象，由图象易得f（x）在R上单调递减，因为f（３—a２）＜f（２a），所以３—a２＞２a，解得—３＜a＜１．答案：（—３,１）２．（２0１9·扬州中学高三调研）已知函数f（x）＝错误!的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是________．解析：若x＞0，则—x＜0，∵x＜0时，f（x）＝sin错误!—１，∴f（—x）＝sin错误!—１＝—sin错误!—１，则若f（x）＝sin错误!—１，x＜0关于y轴对称，则f（—x）＝—sin错误!—１＝f（x），设g（x）＝—sin错误!—１，x＞0，作出函数g（x）的大致图象如图所示．要满足题意，则须使g（x）＝—sin错误!—１，x＞0与f（x）＝log a x，x＞0的图象恰有9个交点，则0＜a＜１，且满足f（１7）＞g（１7）＝—２，f（２１）＜g（２１）＝—２，即—２＜log a１7，log a２１＜—２，解得错误!＜a＜错误!.答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．已知函数f（x）＝x２＋１，若0＜x１＜x２，则f（x１）与f（x２）的大小关系为________．解析：作出函数图象（图略），知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x１）＜f（x２）．答案：f（x２）＞f（x１）２．（２0１8·常州一中期末）将函数y＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移２个单位，所得函数的解析式为________．解析：将函数y＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y＝e２x，再向右平移２个单位，可得y＝e２（x—２）＝e２x—４.答案：y＝e２x—４３．（２0１8·前黄中学月考）设函数y＝f（x＋１）是定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）的偶函数，在区间（—∞，0）是减函数，且图象过点（１,0），则不等式（x—１）f（x）≤0的解集为________．解析：y＝f（x＋１）向右平移１个单位得到y＝f（x）的图象，由已知可得f（x）的图象的对称轴为x＝１，过定点（２,0），且函数在（—∞，１）上递减，在（１，＋∞）上递增，则f（x）的大致图象如图所示．不等式（x—１）f（x）≤0可化为错误!或错误!由图可知符合条件的解集为（—∞，0]∪（１,２]．答案：（—∞，0]∪（１,２]４．使log２（—x）＜x＋１成立的x的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１,0）．答案：（—１,0）５．若关于x的方程|x|＝a—x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意a＝|x|＋x令y＝|x|＋x＝错误!图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a＞0．答案：（0，＋∞）6．设函数f（x）＝错误!若f（f（a））≤２，则实数a的取值范围是________．解析：函数f（x）的图象如图所示，令t＝f（a），则f（t）≤２，由图象知t≥—２，所以f（a）≥—２，当a＜0时，由a２＋a≥—２，即a２＋a＋２≥0恒成立，当a≥0时，由—a２≥—２，得0≤a≤错误!，故a≤错误!.答案：（—∞，错误!]二保高考，全练题型做到高考达标１．已知f（x）＝错误!x，若f（x）的图象关于直线x＝１对称的图象对应的函数为g（x），则g（x）的表达式为________．解析：设g（x）上的任意一点A（x，y），则该点关于直线x＝１的对称点为B（２—x，y），而该点在f（x）的图象上．所以y＝错误!２—x＝３x—２，即g（x）＝３x—２.答案：g（x）＝３x—２２．如图，定义在[—１，＋∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________．解析：当—１≤x≤0时，设解析式为f（x）＝kx＋b（k≠0），则错误!解得错误!∴当—１≤x≤0时，f（x）＝x＋１．当x＞0时，设解析式为f（x）＝a（x—２）２—１（a＞0），∵图象过点（４,0），∴0＝a（４—２）２—１，∴a＝错误!，∴当x＞0时，f（x）＝错误!（x—２）２—１＝错误!x２—x.故函数f（x）的解析式为f（x）＝错误!答案：f（x）＝错误!３．（２0１9·江阴中学检测）方程x２—|x|＋a＝１有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．解析：方程解的个数可转化为函数y＝x２—|x|的图象与直线y＝１—a交点的个数，作出两函数的图象如图，易知—错误!＜１—a＜0，所以１＜a＜错误!.答案：错误!４．（２0１9·启东中学期中）设奇函数f（x）的定义域为[—５,５]，若当x∈[0,５]时，f（x）的图象如图，则不等式错误!≤0的解集为________．解析：不等式错误!≤0，等价于错误!或错误!由图象可知：当１＜x≤５时，由f（x）≤0，解得２≤x≤５．当0≤x＜１时，由f（x）≥0，解得0≤x＜１，因为f（x）为奇函数，当—２＜x＜0时，由f（x）≥0，此时无解，当—５≤x≤—２时，由f（x）≥0，解得—５≤x≤—２，故不等式的解集为[—５，—２]∪[0,１）∪[２,５]．答案：[—５，—２]∪[0,１）∪[２,５]５．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝错误!若方程f（x）＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．解析：x≤0时，f（x）＝２—x—１，0＜x≤１时，—１＜x—１≤0，f（x）＝f（x—１）＝２—（x—１）—１．故x＞0时，f（x）是周期函数，如图所示．若方程f（x）＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a＜１，即a的取值范围是（—∞，１）．答案：（—∞，１）6．（２0１9·镇江中学测试）已知函数f（x）＝错误!若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是________．解析：作出函数f（x）的图象如图所示，不妨设a＜b＜c，则b＋c＝２×１２＝２４，a∈（１,１0），则a＋b＋c＝２４＋a∈（２５,３４）．答案：（２５,３４）7．（２0１9·徐州调研）设函数f（x）＝错误!其中[x]表示不超过x的最大整数，如[—１．２]＝—２，[１．２]＝１，若直线y＝kx＋k（k＞0）与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：∵函数f（x）＝错误!∴作出函数f（x）的图象如图所示．∵y＝kx＋k＝k（x＋１），故该直线的图象一定过点（—１,0），若y＝kx＋k与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，则f（x）＝kx＋k有三个不同的根，∵k＞0，∴当y＝kx＋k过点（２,１）时，k＝错误!，当y＝kx＋k过点（３,１）时，k＝错误!，要使f（x）＝kx＋k有三个不同的根，则实数k的取值范围是错误!.答案：错误!8．（２0１9·金陵中学月考）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域均为[—π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f（x）·g（x）＜0的解集是________．解析：f（x）·g（x）＜0⇒f（x）与g（x）在同一区间内符号相反，由图可知，当x∈[0，π]时，两者异号的区间为错误!.又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴当x∈[—π，0）时，两者异号的区间为错误!，∴f（x）·g（x）＜0的解集是错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!9．（２0１8·盐城一中测试）已知函数f（x）＝x|m—x|（x∈R），且f（４）＝0．（１）求实数m的值；（２）作出函数f（x）的图象并判断其零点个数；（３）根据图象指出f（x）的单调递减区间；（４）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集；（５）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有三个不相等的实根}．解：（１）因为f（４）＝0，所以４|m—４|＝0，即m＝４．（２）因为f（x）＝x|４—x|＝错误!即f（x）＝错误!所以函数f（x）的图象如图所示．由图象知函数f（x）有两个零点．（３）从图象上观察可知：f（x）的单调递减区间为[２,４]．（４）从图象上观察可知：不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜４或x＞４}．（５）由图象可知若y＝f（x）与y＝m的图象有三个不同的交点，则0＜m＜４，所以集合M＝{m|0＜m＜４}．１0．已知函数f（x）＝２x，x∈R.（１）当m取何值时方程|f（x）—２|＝m有一个解？两个解？（２）若不等式f２（x）＋f（x）—m＞0在R上恒成立，求m的取值范围．解：（１）令F（x）＝|f（x）—２|＝|２x—２|，G（x）＝m，画出F（x）的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥２时，函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m＜２时，函数F（x）与G（x）的图象有两个交点，原方程有两个解．（２）令f（x）＝t（t＞0），H（t）＝t２＋t，因为H（t）＝错误!２—错误!在区间（0，＋∞）上是增函数，所以H（t）＞H（0）＝0．因此要使t２＋t＞m在区间（0，＋∞）上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为（—∞，0]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校解析：因为函数f（x）＝lg（|x—２|＋１），所以函数f（x＋２）＝lg（|x|＋１）是偶函数；由y＝lg x错误!y＝lg（x＋１）错误!y＝lg（|x|＋１）错误!y＝lg（|x—２|＋１），如图，可知f（x）在（—∞，２）上是减函数，在（２，＋∞）上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0．所以１２正确．答案：２２．已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋错误!＋２的图象关于点A（0,１）对称．（１）求f（x）的解析式；（２）若g（x）＝f（x）＋错误!，且g（x）在区间（0,２]上为减函数，求实数a的取值范围．解：（１）设f（x）图象上任一点P（x，y），则点P关于（0,１）点的对称点P′（—x,２—y）在h （x）的图象上，即２—y＝—x—错误!＋２，所以y＝f（x）＝x＋错误!（x≠0）．（２）g（x）＝f（x）＋错误!＝x＋错误!，g′（x）＝１—错误!.因为g（x）在（0,２]上为减函数，所以１—错误!≤0在（0,２]上恒成立，即a＋１≥x２在（0,２]上恒成立，所以a＋１≥４，即a≥３，故实数a的取值范围是[３，＋∞）．命题点一函数的概念及其表示１．（２0１8·江苏高考）函数f（x）＝错误!的定义域为________．解析：由log２x—１≥0，即log２x≥log２２，解得x≥２，所以函数f（x）＝错误!的定义域为{x|x≥２}．答案：{x|x≥２}２．（２0１6·江苏高考）函数y＝错误!的定义域是________．解析：要使函数有意义，需３—２x—x２≥0，即x２＋２x—３≤0，得（x—１）（x＋３）≤0，即—３≤x≤１，故所求函数的定义域为[—３,１]．答案：[—３,１]３．（２0１6·浙江高考）设函数f（x）＝x３＋３x２＋１，已知a≠0，且f（x）—f（a）＝（x—b）（x—a）２，x∈R，则实数a＝____，b＝________.解析：因为f（x）＝x３＋３x２＋１，所以f（a）＝a３＋３a２＋１，所以f（x）—f（a）＝（x—b）（x—a）２＝（x—b）（x２—２ax＋a２）＝x３—（２a＋b）x２＋（a２＋２ab）x—a２b＝x３＋３x２—a３—３a２.由此可得错误!因为a≠0，所以由２得a＝—２b，代入１式得b＝１，a＝—２．答案：—２１４．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）设函数f（x）＝错误!则满足f（x＋１）＜f（２x）的x的取值范围是________．解析：法一：１当错误!即x≤—１时，f（x＋１）＜f（２x），即为２—（x＋１）＜２—２x，即—（x＋１）＜—２x，解得x＜１．因此不等式的解集为（—∞，—１]．２当错误!时，不等式组无解．３当错误!即—１＜x≤0时，f（x＋１）＜f（２x），即为１＜２—２x，解得x＜0．因此不等式的解集为（—１,0）．４当错误!即x＞0时，f（x＋１）＝１，f（２x）＝１，不合题意．综上，不等式f（x＋１）＜f（２x）的解集为（—∞，0）．法二：∵f（x）＝错误!∴函数f（x）的图象如图所示．结合图象知，要使f（x＋１）＜f（２x），则需错误!或错误!∴x＜0．答案：（—∞，0）命题点二函数的基本性质１．（２0１6·江苏高考）[—１,１）上，f（x）＝错误!其中a∈R.若f错误!＝f错误!，则f（５a）的值是________．解析：因为函数f（x）的周期为２，结合在[—１,１）上f（x）的解析式，得f错误!＝f错误!＝f错误!＝—错误!＋a，f错误!＝f错误!＝f错误!＝错误!＝错误!.由f错误!＝f错误!，得—错误!＋a＝错误!，解得a＝错误!.所以f（５a）＝f（３）＝f（４—１）＝f（—１）＝—１＋错误!＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１３·江苏高考）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）＝x２—４x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为________．解析：由于f（x）为R上的奇函数，所以当x＝0时，f（0）＝0；当x＜0时，—x＞0，所以f（—x）＝x２＋４x＝—f（x），即f（x）＝—x２—４x，所以f（x）＝错误!由f（x）＞x，可得错误!或错误!解得x＞５或—５＜x＜0，所以原不等式的解集为（—５,0）∪（５，＋∞）．答案：（—５,0）∪（５，＋∞）３．（２0１8·全国卷Ⅱ改编）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f（１—x）＝f （１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝________.解析：法一：∵f（x）是奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（１—x）＝—f（x—１）．由f（１—x）＝f（１＋x），得—f（x—１）＝f（x＋１），∴f（x＋２）＝—f（x），∴f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），∴函数f（x）是周期为４的周期函数．由f（x）为奇函数得f（0）＝0．又∵f（１—x）＝f（１＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝１对称，∴f（２）＝f（0）＝0，∴f（—２）＝0．又f（１）＝２，∴f（—１）＝—２，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＝f（１）＋f（２）＋f（—１）＋f（0）＝２＋0—２＋0＝0，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＋…＋f（４9）＋f（５0）＝0×１２＋f（４9）＋f（５0）＝f（１）＋f（２）＝２＋0＝２．法二：由题意可设f（x）＝２sin错误!，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为４，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（４9）＋f（５0）＝１２×0＋f（１）＋f（２）＝２．答案：２４．（２0１7·全国卷Ⅱ改编）函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的单调递增区间是________．解析：由x２—２x—8＞0，得x＞４或x＜—２．因此，函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的定义域是（—∞，—２）∪（４，＋∞）．注意到函数y＝x２—２x—8在（４，＋∞）上单调递增，由复合函数的单调性知，f（x）＝ln（x２—２x—8）的单调递增区间是（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）５．（２0１7·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（—∞，0）时，f（x）＝２x３＋x２，则f（２）＝________.解析：由已知得，f（—２）＝２×（—２）３＋（—２）２＝—１２，又函数f（x）是奇函数，所以f（２）＝—f（—２）＝１２．答案：１２6．（２0１7·山东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋４）＝f（x—２）．若当x∈[—３,0]时，f（x）＝6—x，则f（9１9）＝________.解析：因为f（x＋４）＝f（x—２），所以f（x＋6）＝f（x），所以f（x）的周期为6，因为9１9＝１５３×6＋１，所以f（9１9）＝f（１）．又f（x）为偶函数，所以f（9１9）＝f（１）＝f（—１）＝6．答案：6命题点三函数的图象１．（２0１6·全国卷Ⅱ改编）已知函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），若函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!（x i＋y i）＝________.解析：因为f（—x）＝２—f（x），所以f（—x）＋f（x）＝２．因为错误!＝0，错误!＝１，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0,１）对称．函数y＝错误!＝１＋错误!，故其图象也关于点（0,１）对称．所以函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m）成对出现，且每一对均关于点（0,１）对称，所以错误!i＝0，错误!i＝２×错误!＝m，所以错误!（x i＋y i）＝m.答案：m２．（２0１５·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝ax３—２x的图象过点（—１,４），则a＝________.解析：因为f（x）＝ax３—２x的图象过点（—１,４），所以４＝a×（—１）３—２×（—１），解得a＝—２．答案：—２。