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函数的奇偶性教案（通用8篇）函数的奇偶性教案（通用8篇）作为一位兢兢业业的人民教师，很有必要精心设计一份教案，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。
来参考自己需要的教案吧！下面是小编收集整理的函数的奇偶性教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
函数的奇偶性教案篇1教学目标：了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性。
能证明一些简单函数的奇偶性。
弄清函数图象对称性与函数奇偶性的关系。
重点：判断函数的奇偶性难点：函数图象对称性与函数奇偶性的关系。
一、复习引入1、函数的单调性、最值2、函数的奇偶性（1）奇函数（2）偶函数（3）与图象对称性的关系（4）说明（定义域的要求）二、例题分析例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数例2、证明函数在R上是奇函数。
例3、试判断下列函数的奇偶性三、随堂练习1、函数（）是奇函数但不是偶函数是偶函数但不是奇函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数又不是偶函数2、下列4个判断中，正确的是_______.（1）既是奇函数又是偶函数；（2）是奇函数；（3）是偶函数；（4）是非奇非偶函数3、函数的图象是否关于某直线对称？它是否为偶函数？函数的奇偶性教案篇2一、教学目标【知识与技能】理解函数的奇偶性及其几何意义.【过程与方法】利用指数函数的图像和性质,及单调性来解决问题.【情感态度与价值观】体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣.二、教学重难点【重点】函数的奇偶性及其几何意义【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式.三、教学过程(一)导入新课取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：1 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形;问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称;(2)若点(x，f(x))在函数图象上，则相应的点(-x，f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.(二)新课教学1.函数的奇偶性定义像上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数.(1)偶函数(even function)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(学生活动)：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义(2)奇函数(odd function)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).2.具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.3.典型例题(1)判断函数的奇偶性例1.(教材P36例3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性.(本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤) 解：(略)总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.(三)巩固提高1.教材P46习题1.3 B组每1题解：(略)说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数.2.利用函数的奇偶性补全函数的图象(教材P41思考题)规律：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据.(四)小结作业本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.课本P46 习题1.3(A组) 第9、10题， B组第2题.四、板书设计函数的奇偶性一、偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.二、奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.三、规律：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.函数的奇偶性教案篇3学习目标 1.函数奇偶性的概念2.由函数图象研究函数的奇偶性3.函数奇偶性的判断重点：能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性难点：理解函数的奇偶性知识梳理：1.轴对称图形：2中心对称图形：【概念探究】1、画出函数，与的图像;并观察两个函数图像的对称性。
2．2．2 函数的奇偶性1．了解函数奇偶性的含义．2．会判断一些简单函数的奇偶性． 3．了解奇函数和偶函数图象的特点．1．奇函数和偶函数(1)一般地，设y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么称函数y ＝f (x )是偶函数．(2)如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么称函数y ＝f (x )是奇函数．【做一做1】有下列函数：①y ＝2x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝x 2；④y ＝x 3＋x ；⑤y ＝x 2－x ；⑥y ＝－3x；⑦y ＝2x 2－1；⑧y＝2|x |＋2．其中奇函数有__________，偶函数有__________． 答案：①④⑥ ③⑦⑧ 2．奇偶性(1)如果函数f (x )是奇函数或偶函数，就说函数f (x )具有奇偶性． (2)偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(1)在奇函数和偶函数的定义中，都要求x ∈A ，－x ∈A ，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称．(2)根据函数奇偶性的定义，函数可分为：①是奇函数但不是偶函数；②是偶函数但不是奇函数；③是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶函数．【做一做2－1】已知f (x )＝ax 3＋bx －3中，f (－2)＝3，则f (2)＝__________． 解析：因为f (－x )＋f (x )＝－6， 所以由f (－2)＝3，得f (2)＝－9． 答案：－9【做一做2－2】函数f (x )＝－x ＋1x的奇偶性是__________．答案：奇函数如何判断函数的奇偶性？剖析：(1)根据函数奇偶性定义判断，其基本步骤为：①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x 的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．如函数f (x )＝x 4＋1，x ∈［－1,2］．由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x ≤2时，－x 不在函数的定义域中，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f (x )＝x 4＋1，x ∈［－1,2］是非奇非偶函数．②再看f (－x )与f (x )的关系，这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇函数或偶函数．如f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝x 3＋1，它们的定义域都是R ，因为f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ≠±f (x )，所以它是非奇非偶函数．同理可证g (x )＝x 3＋1也是非奇非偶函数．③然后得出结论．(2)定义域关于原点对称，满足f (－x )＝－f (x )＝f (x )的函数既是奇函数也是偶函数，如f (x )＝0(x ∈R )．应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个．(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．(4)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f (－x )±f (x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)来代替．(5)有时可以直接借助函数的图象与相关性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性．题型一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝x 3－2x ； (3)f (x )＝a (x ∈R )；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x (1－x )，x ≥0，x (1＋x )，x ＜0.分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可． 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称， 所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝2x －x 3＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)函数的定义域为R ，关于原点对称， 当a ＝0时，f (x )既是奇函数又是偶函数；当a ≠0时，f (－x )＝a ＝f (x )，即f (x )是偶函数． (4)函数的定义域为R ，关于原点对称，当x ＞0时，－x ＜0，此时f (－x )＝－x ［1＋(－x )］＝－x (1－x )＝－f (x )； 当x ＜0时，－x ＞0，此时f (－x )＝－x ［1－(－x )］＝－x (1＋x )＝－f (x )； 当x ＝0时，－x ＝0，此时f (－x )＝0，f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )．综上，f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 反思：根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数．说一个函数是非奇非偶函数，有时只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验．有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一．题型二 求函数解析式【例2】设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，求f (x )的解析式．解：当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋1＝x 2＋2x ＋1． 又f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x 2＋2x ＋1．所以f (x )＝－x 2－2x －1．当x ＝0时，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以一定有f (0)＝0．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －1，x <0.反思：本题中x ∈R ，容易遗漏x ＝0的情况，对于定义在R 上的奇函数一定有f (0)＝0，这是一个重要的结论，要引起重视．【例3】已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )－g (x )＝x 2＋2x ＋3．求f (x )和g (x )的解析式．分析：充分利用奇、偶函数的性质，利用方程思想求其解析式．解：由条件得f (－x )－g (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3．又f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴－f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋3．∵f (x )－g (x )＝x 2＋2x ＋3， 两式相减得f (x )＝2x ，两式相加得g (x )＝－x 2－3．反思：对于基本初等函数，大致有三类：其一是奇函数，其二是偶函数，其三是非奇非偶函数，但此类函数均可表示为奇、偶函数的和或差．题型三 函数奇偶性的应用【例4】画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值． 分析：函数的图象关于y 轴对称，先画出y 轴右侧的图象，再对称到y 轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间．解：函数图象如图所示．由图象，得函数的图象在区间(－∞，－1］和［0,1］上是上升的，在［－1,0］和［1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，故函数在(－∞，－1］，［0,1］上是增函数；函数在［－1,0］，［1，＋∞)上是减函数，最大值是4．反思：本题中，已知函数满足f (－x )＝f (x )，说明f (x )是偶函数，它的图象关于y 轴对称，由此可先作出函数在y 轴右侧的图象，再将其沿y 轴翻折即可．1函数f (x )＝x (x 2－1)的大致图象是__________．解析：因为f (－x )＝－x ［(－x )2－1］＝－f (x )， 所以原函数是奇函数．排除③④．又当x ＝12时，y ＝12×114⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－38＜0，说明点13,28⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．排除②．答案：①2函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，函数g (x )＝3x 2＋(c －2)x ＋5是偶函数，则b ＝____，c ＝____．解析：由条件得f (－x )＋f (x )＝2bx 2＝0，∴b ＝0． 由条件得g (－x )＝g (x )，且g (－x )＝3x 2－(c －2)x ＋5， g (x )＝3x 2＋(c －2)x ＋5，∴c ＝2． 答案：0 23判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x 2－7；(2)f (x )＝2x 3＋5x ； (3)f (x )＝5x －3．解：(1)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝2(－x )2－7＝2x 2－7＝f (x )，所以f (x )＝2x 2－7为偶函数；(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝2(－x )3＋5(－x )＝－(2x 3＋5x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x 3＋5x 为奇函数； (3)f (x )的定义域是R ．因为f (－1)＝5×(－1)－3＝－8≠－2＝－f (1)， 故f (x )＝5x －3不是奇函数．又f (－1)＝5×(－1)－3＝－8≠2＝f (1)， 故f (x )＝5x －3不是偶函数．综上所得f (x )＝5x －3为非奇非偶函数．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－7xx 2＋x ＋1．求当x ＜0时，f (x )的解析式．解：令x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－7×(－x )(－x )2＋(－x )＋1＝7xx 2－x ＋1． 又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )＝7xx 2－x ＋1(x ＜0)．5已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在［2,6］上是减函数，试比较f (－5)与f (3)的大小．分析：利用单调性比较大小．解：∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－5)＝f (5)．又∵函数y ＝f (x )在［2,6］上是减函数，且5＞3， ∴f (5)＜f (3)．∴f (－5)＜f (3)．。
函数的奇偶性教案第一篇：函数的奇偶性教案目标：1. 了解函数的奇偶性的定义和性质。
2. 判断函数的奇偶性。
3. 通过练习题加深对函数的奇偶性的理解。
预计完成时间：1课时教学步骤：步骤一：引入话题（10分钟）教师可以用一个简单的问题引入话题，例如：你知道什么是函数的奇偶性吗？为什么需要关注函数的奇偶性？学生可以自由发言，激发学生们的兴趣。
步骤二：讲解奇偶性的概念（10分钟）教师简要讲解函数的奇偶性的概念，可以借助一些例子来说明。
奇函数和偶函数是对称的关系，奇函数关于y轴对称，而偶函数关于原点对称。
步骤三：奇偶性的判断方法（15分钟）教师讲解奇偶性的判断方法。
一般来说，对于一元函数，可以通过以下两种方法判断函数的奇偶性。
方法1：使用函数的定义式。
对于奇函数，f(-x)=-f(x)成立；对于偶函数，f(-x)=f(x)成立。
方法2：使用函数的图象。
对于奇函数，其图象关于原点对称；对于偶函数，其图象关于y轴对称。
步骤四：练习题（15分钟）教师提供一些练习题，让学生在纸上完成，然后进行讲解和讨论。
例如：1. 判断函数f(x)=x^3+3x^2-5x是否为奇函数。
2. 判断函数g(x)=2x^2-4是否为偶函数。
3. 利用函数的奇偶性，简化函数h(x)=5x^3-x^2+2x-1的图象。
步骤五：总结（10分钟）教师对本节课内容进行总结，并强调函数的奇偶性的重要性和应用。
第二篇：函数的奇偶性教案（续）目标：1. 掌握奇函数和偶函数的一些常见函数的性质。
2. 进一步加深对函数的奇偶性的理解。
3. 练习函数的奇偶性的判断和应用。
预计完成时间：1课时教学步骤：步骤一：引入话题（10分钟）教师可以复习上节课的内容，然后提问学生，你还记得什么是奇函数和偶函数吗？奇函数和偶函数有哪些性质？步骤二：常见函数的性质（15分钟）教师讲解一些常见函数的性质，例如：1. 幂函数：对于非负整数n，当n为奇数时，函数f(x)=x^n是奇函数；当n为偶数时，函数f(x)=x^n是偶函数。
高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 知识与技能：理解函数奇偶性的概念，能够判断函数的奇偶性；学会运用函数的奇偶性解决一些简单问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索函数奇偶性的性质及其判断方法。
3. 情感态度价值观：培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义2. 函数奇偶性的判断方法3. 函数奇偶性的性质三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。
2. 教学难点：函数奇偶性的性质及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数奇偶性的性质；2. 通过实例分析，让学生掌握函数奇偶性的判断方法；3. 利用小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学过程：1. 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的奇偶性与什么有关。
2. 新课讲解：（1）介绍函数奇偶性的定义；（2）讲解函数奇偶性的判断方法；（3）分析函数奇偶性的性质。
3. 例题解析：选取典型例题，分析解题思路，引导学生运用函数奇偶性解决问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
注意：在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数奇偶性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数奇偶性的理解程度，及时发现并解决学生学习中存在的问题。
2. 练习题解答：检查学生完成练习题的情况，评估学生对函数奇偶性知识的掌握情况。
3. 课后作业：批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思：1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否适合学生的认知水平。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 反思教学效果：总结本节课的教学成果，找出不足之处，为下一节课的教学做好准备。
第3讲函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性(1)求函数的定义域．(2)判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．(3)判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(4)得出结论．特别地，设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4．函数周期性的意义．函数周期性的创新主要以函数图象的对称性为条件．以函数值的求解为目的，解决此类问题的关键是把自变量的取值利用周期性和对称性转化到指定区间内，代入相应的函数解析式求值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B .根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．(教材习题改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a <b <0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b ，－a ]上( ) A ．有最大值4 B ．有最小值－4 C ．有最大值－3D ．有最小值－3解析：选B .法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知选B . 法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4，所以－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B .(教材习题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．解析：当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，所以f (x )＝x (1－x )． 答案：x (1－x )(2016·高考四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝__________．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以f (0)＝0，f (x ＋2)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＋f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋0＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. 答案：－2函数的奇偶性[典例引领]判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 3－1x；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2，x ＜0.【解】 (1)原函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x 都有f (－x )＝(－x )3－1－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 3－1x ＝－f (x )，从而函数f (x )为奇函数．(2)f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0， 所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 当x ＞0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x ＜0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )． 故该函数为奇函数．判断函数奇偶性的常用方法及思路(1)定义法 (2)图象法[提醒] 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)，不能判断函数f (x )是奇函数．[通关练习]1．下列函数中既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．y ＝|x |＋1B ．y ＝log 12|x |C ．y ＝x 4D ．y ＝2x解析：选 B.对于选项A ，y ＝|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0－x ＋1，x <0是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减；对于选项C ，y ＝x 4是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减； 对于选项D ，y ＝2x不是偶函数； 只有选项B ，y ＝log 12|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0log 12（－x ），x <0是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，满足条件，故选B . 2．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (2)f (x )＝1a x －1＋12(a >0，且a ≠1)； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.解：(1)因为函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)因为f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f (－x )＝1a －x －1＋12＝11ax－1＋12＝a x1－a x ＋12＝－（1－a x）－11－a x＋12＝－1＋11－a x＋12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12＝－f (x )．即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ， 则当x ＞0时，－x ＜0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． 函数的周期性[典例引领](1)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，4]上与x 轴的交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)(2017·高考山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．【解析】 (1)当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 3＝2，x 4＝3.综上可知，共有4个交点．(2)由f (x ＋4)＝f (x －2)得f (x ＋6)＝f (x )， 故f (x )是周期为6的函数． 所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)．因为f (x )为R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)． 又x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x， 所以f (－1)＝6－(－1)＝6.从而f (1)＝6，故f (919)＝6.【答案】 (1)C (2)6若本例(1)的条件不变，求f (x )(x ∈[－2，0))的解析式． 解：当x ∈[－2，0)，则0≤x ＋2<2. 所以f (x ＋2)＝(x ＋2)3－(x ＋2)， 所以f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋6.函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[通关练习]1．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ），则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B .因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，又因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以其周期为4，故f (8)＝f (2×4＋0)＝f (0)＝0.2．若f (x )是定义在R 上的周期为4的函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，cos πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝________．解析：因为f (x )的周期为4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋53＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝cos 53π＝cos π3＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝14.答案：14函数性质的综合应用(高频考点)函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，以选择题或填空题的形式考查，难度为中高档题．高考对函数性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)函数的奇偶性与单调性相结合； (2)函数的奇偶性与周期性相结合； (3)函数的奇偶性与对称性相结合．[典例引领]角度一 函数的奇偶性与单调性相结合(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[－1，1] C ．[0，4]D ．[1，3]【解析】 因为函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，所以1≤x ≤3，故选D . 【答案】 D角度二 函数的奇偶性与周期性相结合设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 019)＝________． 【解析】 设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (2)，所以－2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 019)＝f (－1)＝－1×12＋1＝12.【答案】 12角度三 函数的奇偶性与对称性相结合已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (2)＝2，则f (2 018)＝________．【解析】 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以f (2 018)＝f (2＋252×8)＝f (2)＝2. 【答案】 2函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． (3)奇偶性与对称性结合此类问题的求解常用对称性判断函数的奇偶性，再结合单调性、周期性求解．[通关练习]1．(2018·成都市第一次诊断性检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈[0，32)时，f (x )＝－x 3，则f (112)＝( )A ．－18B.18 C ．－1258D.1258解析：选B.由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f (112)＝f (－12)＝－f (12)＝(12)3＝18.2．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0，1]上是增函数，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 解析：选B.由题设知f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f (x )在[0，1]上是增函数，故f (x )在[－1，0]上也是增函数，综上，函数f (x )在[－1，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式． (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法．(3)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 三类常用结论 (1)周期性对f (x )定义域内任一自变量的值x ： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a . ②若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a . ③若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a . (2)对称性①若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，则f (x )＝f (2a －x )． ②若函数f (x )的图象关于点(a ，b )对称，则f (x )＋f (2a －x )＝2b . (3)函数的对称性与周期性的关系①若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称(b ≠a )，那么函数f (x )的周期为2|b －a |. ②若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称(b ≠a )，则函数f (x )的周期是2|b －a |.③若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称(b ≠a )，则函数f (x )的周期是4|b －a |. 易错防范(1)f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．(2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(3)在用定义判断函数的奇偶性时，要注意自变量在定义域内的任意性．不能因为个别值满足f (－x )＝±f (x )，就确定函数的奇偶性．(4)判定分段函数奇偶性时要分段讨论f (－x )与f (x )的关系，只有当所有区间上都满足相同的关系时，才能判定其奇偶性．(5)在求出定义域之前，不能化简函数解析式，否则会使定义域发生变化． 1．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C .函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A 的函数为奇函数，不符合要求；选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C 符合要求．2．(2018·河北沧州模拟)已知定义域为[a －4，2a －2]的奇函数f (x )＝2 018x 3－sin x ＋b ＋2，则f (a )＋f (b )的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不能确定解析：选A .依题意得a －4＋2a －2＝0，所以a ＝2.又f (x )为奇函数，故b ＋2＝0，所以b ＝－2，所以f (a )＋f (b )＝f (2)＋f (－2)＝0.3．(2018·惠州市第三次调研考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x －4），x >2e x，－2≤x ≤2f （－x ），x <－2，则f (－2 019)＝( ) A ．1 B ．e C ．1eD ．e 2解析：选B .由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 019)＝f (2 019)＝f (2 018＋1)＝f (1)＝e .4．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( ) A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)解析：选C .f (x )的图象如图．当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1，0)；当x ∈(0，1)时，由xf (x )>0得x ∈∅.当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0得x ∈(1，3)．故x ∈(－1，0)∪(1，3)．5．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0，2]上是递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( )A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1)B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1)C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0)D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5)解析：选A .由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2.因为函数f (x )为偶函数，所以f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0，2]上是单调递增的，所以f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．6．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析：依题意得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f (x )是奇函数，得f (2)＝－f (－2)＝12.答案：127．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．解析：设x >0，则－x <0，又因为当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，所以f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x ，综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0 8．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． 解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)，即－a ＋1＝b ＋22.①又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以－12a ＋1＝b ＋43.② 联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝－10.答案： －109．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式．解：(1)因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].10．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.1．(2018·平江一中期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 017)＝( ) A ．4B ．2C ．－2D ．log 27 解析：选C .因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，所以f (2 017)＝f (4×504＋1)＝f (1)＝－f (－1)，因为－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，所以f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2，所以f (2 017)＝－f (－1)＝－2.2．(2018·安徽池州模拟)奇函数f (x )满足f (1)＝0，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则2x －1f （x ）－f （－x ）<0的解集为( ) A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选B.由于函数f (x )是奇函数，所以2x －1f （x ）－f （－x ）<0等价于2x －12f （x ）<0，由于f (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上也单调递减，且f (－1)＝－f (1)＝0，所以当x ∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f (x )>0；当x ∈(－1，0)∪(1，＋∞)时，f (x )<0，又因为在(－∞，0)上2x －1<0，在(0，＋∞)上2x－1>0，综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 3．若关于x 的函数f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋sin x x 2＋t(t >0)的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4，则实数t 的值为________．解析：由题意，f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋sin x x 2＋t ＝t ＋2x ＋sin x x 2＋t， 设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋t，可知g (x )是奇函数，又函数f (x )最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4，所以M －t ＝－(N －t )，即2t ＝M ＋N ＝4，所以t ＝2.答案：24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝f (x )．若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．解析：因为当x >0时，h (x )＝f (x )，所以当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，又函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)，所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2. 答案：(－2，0)∪(0，2)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增． 结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．6．已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0；(2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立．若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，因为f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1. 故所求实数a 的取值范围是[0，1)．。
高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 能够运用函数奇偶性的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性的性质及应用3. 常见函数的奇偶性分析三、教学重点与难点：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性与图像的关系四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索函数奇偶性的性质。
2. 利用多媒体课件，展示函数奇偶性的图像，增强直观感受。
3. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生发现函数的奇偶性现象。
2. 讲解函数奇偶性的定义与判断方法：讲解函数奇偶性的定义，举例说明判断方法。
3. 探究函数奇偶性的性质：引导学生通过小组讨论，发现函数奇偶性与图像的4. 应用实例：分析生活中遇到的函数奇偶性问题，运用函数奇偶性解决问题。
教案示例：一、教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 能够运用函数奇偶性的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性的性质及应用3. 常见函数的奇偶性分析三、教学重点与难点：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性与图像的关系四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索函数奇偶性的性质。
2. 利用多媒体课件，展示函数奇偶性的图像，增强直观感受。
3. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生发现函数的奇偶性现象。
2. 讲解函数奇偶性的定义与判断方法：讲解函数奇偶性的定义，举例说明判断3. 探究函数奇偶性的性质：引导学生通过小组讨论，发现函数奇偶性与图像的关系。
高中数学教案《函数的奇偶性》章节一：函数奇偶性的概念引入教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 掌握函数奇偶性的性质。
教学内容：1. 引入奇偶性的概念；2. 举例说明奇偶性的判断方法；3. 总结奇偶性的性质。
教学步骤：1. 引入奇偶性的概念，让学生思考日常生活中遇到的奇偶性例子；2. 给出函数奇偶性的定义，解释奇偶性的判断方法；3. 通过具体例子，让学生学会判断函数的奇偶性；4. 引导学生总结奇偶性的性质。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性概念的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性的判断方法。
章节二：奇函数和偶函数的性质教学目标：1. 理解奇函数和偶函数的性质；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 介绍奇函数和偶函数的性质；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 回顾奇偶性的概念，引导学生理解奇函数和偶函数的性质；2. 通过具体例子，让学生学会运用奇偶性解决实际问题；3. 总结奇偶性在实际问题中的应用。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性性质的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性解决实际问题。
章节三：函数奇偶性的判定定理教学目标：1. 理解函数奇偶性的判定定理；2. 学会运用判定定理判断函数的奇偶性。
教学内容：1. 介绍函数奇偶性的判定定理；2. 举例说明判定定理的运用方法。
教学步骤：1. 引导学生理解函数奇偶性的判定定理；2. 通过具体例子，让学生学会运用判定定理判断函数的奇偶性；3. 总结判定定理的运用方法。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对判定定理的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用判定定理判断函数的奇偶性。
章节四：函数奇偶性在实际问题中的应用教学目标：1. 理解函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 介绍函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的解决方法。
2．2．2 函数的奇偶性课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念【例1】 已知f(x)为R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 3+2x 2-1,求f(x)的解析式.思路分析:由于给出了f(x)在x>0时的解析式，求f(x)在x<0时的解析式应转化到x>0上，利用已知解析式求.f(0)利用奇函数的定义求.解析：∵f(x)为奇函数，且0在定义域内，∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.设x<0，则-x>0,∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x 3+2x 2-1.∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=x 3-2x 2+1.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>-+-.012,00,0122323x x x x x x x 温馨提示已知函数的奇偶性求函数的解析式,可根据函数奇偶性的定义（记住，奇函数若在0处有定义，一定是f(0)=0）.除此法外，也可根据奇函数、偶函数图象的特点求解.二、函数奇偶性的判定【例2】 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x 3+2x; (2)f(x)=2x 4+3x 2; (3)f(x)=x 3+x 2.解析：(1)函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，又f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x 3-2x=-(x 3+2x).即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=x 3+2x 是奇函数.(2)函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，又f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x 4+3x 2,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)=2x 4+3x 2为偶函数.（3）函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x 3+x 2,与-f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)=x 3+x 2为非奇非偶函数.温馨提示在判断函数奇偶性时，首先求函数定义域，看它是否关于原点对称，这点千万不能忘了.三、函数奇偶性的综合应用【例3】 函数f(x),x ∈R ，若对于任意实数，a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数.思路分析：先验证f(0)=0,再验证f(-x)=-f(x).证明：设a=0，则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.温馨提示判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证f(0)=0是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)=0.这是因为，对于偶函数f(x),f(0)可以取任意值.各个击破类题演练 1已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)=x(1+3x ),求f(x).解析：当x<0时,-x>0,由已知f(-x)=(-x)［1+3)(x -］=-x(1-3x ).∵f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=-x(1-3x ),∴f(x)=x(1-3x),(x<0).又由f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+.0)1(,0)1(33x x x x x x变式提升 1已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|,求x<0，f(x)的表达式.解析：设x<0时，则-x>0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数，有f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|.∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时，f(x)=x|x+2|.类题演练 2判断下列各函数的奇偶性. (1)f(x)=-31x； （2）f(x)=|x+a|-|x-a|.解析：（1）f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称，且f(-x)=-31x -=31x =-f(x). ∴f(x)=-31x是奇函数. (2)f(x)=|x+a|-|x-a|的定义域为R ，且f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).∴f(x)为奇函数.变式提升 2判断函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-)0(1),0(0),0(1x x x x x 的奇偶性.解析：f(-x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=-<---),0(1),0(0),0(1x x x x x =⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-),0()1(),0(0),0()1(x x x x x =-f(x).∴f(x)是奇函数.类题演练 3对任意x,y ∈R,且x,y ≠0,已知函数y=f(x)(x ≠0)满足f （xy)=f(x)+f(y). 求证：（1）f(1)=f(-1)=0；（2）y=f(x)为偶函数.证明：（1）令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,同理f(-1)=0.(2)令y=-1，得f(-x)=f(x)+f(-1),则f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数.变式提升 3定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=12+++nx x m x ,试确定常数m 、n 的值. 解析：∵f(x)为奇函数，且0∈(-1,1),∴由f(0)=0，可得m=0.又∵f(-x)+f(x)=0,∴12+--nx x x +12++nx x x =0, 即x 2-nx+1=x 2+nx+1,∴2nx=0.∵x ∈(-1,1),∴n=0.∴m=n=0.。
2.2.2函数的奇偶性（1）（预习部分）一、教学目标1．了解函数奇偶性的含义；2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质二、教学重点握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；三、教学难点能判断函数有无奇偶性；数形结合思想的运用四、教学过程（一）创设情境，引入新课问题一：在我们的日常生活中，可以观察到很多对称现象，你能举些例子吗？ 问题二：试观察函数2)(x x f =和x f 1)(=问题3（二）推进新课1．偶函数的定义：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有 ，那么称函数()y f x =是偶函数．注意：（1）“任意”、“都有”等关键词；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；2．奇函数的定义：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有 ，那么称函数()y f x =是奇函数．3．函数图像与单调性：奇函数的图像关于 对称；偶函数的图像关于 轴对称．（三）例题先学 书例6、例7（四）预习巩固 书第43页练习1、4、5、6、72.2.2函数的奇偶性（1）（课堂强化）（五）典型例题题型一：判断函数的奇偶性：【例1】判断下列函数是否是奇函数或偶函数：(1)3()f x x x =+ (2)()31f x x =+(3)42()23f x x x =+ (4)()0f x =（5）2()241f x x x =-- （6）32)(-=x x f（7）64()8f x x x =++，[2,2)x ∈- （8）()f x a =思考：判断函数奇偶性常用的步骤：（1）________________________________；（2）_______________________________ ；（3） ______________________________ .变式训练1判断下列函数的奇偶性． （1）()f x =； （2）()(f x x =-（3） ⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f （4）()|3||3|f x x x =+--【方法总结】题型二：根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值：【例2】（1）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，求(0)f 的值．（2）已知)(x f 是偶函数，2)5(-=f ，求)5(-f 的值.（3）已知函数53()8f x x ax bx =++-若(2)10f -=，求(2)f 的值。
《函数的奇偶性》教案课 题函数的奇偶性课 型新授课教学目标知识与技能目标：使学生了解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法，培养学生判断、推理的能力。
过程与方法目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想情感、态度、价值观目标：通过数学的对称美来陶冶学生的情操. 使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系。
教学重点 用定义判断函数的奇偶性. 教学难点 弄清()()f x f x 与的关系.教学手段多媒体辅助教学(展示较多的函数图像)【教学过程】：一、创设情境，引入新课师：在初中我们学过不少对称图形，大家一起来回忆一下初中主要学习了哪两种对称图形？生：1、轴对称图形（提醒学生：轴对称——图形沿轴翻折180度）；2、中心对称图形（提醒学生：中心对称——图形绕点旋转180度）。
师：观察下面几幅图片，说说它们有什么特征？（1）（2）师：数学中，对称也是函数图象的一个重要特征，观察这些函数的图像，说说它们是轴对称图形还是中心对称图形或者两者都不是？生：图像①③⑥是以y 轴为对称轴的轴对称图形；图像②⑤⑥是以坐标原点为对称点的中心对称图形。
师：这节课我们就来学习与函数图像对称有关的性质——函数的奇偶性 二、师生互动，探索新知 任务一 偶函数活动1：观察函数2()f x x =的图象，回答下列问题：O xy①2)(x x f =② O xy xx f =)(③Ox y||)(x f =④O xy ||1)(x x f =O xy ⑤3)(x x f =x1y x=y⑥（1） 这条抛物线的对称轴是哪条直线？（2） 用垂直于对称轴的直线截抛物线，你有什么发现？ （3） 对称轴两侧对应点的坐标有什么关系？发现：如果函数()x f y =图象关于y 轴对称，则① 其图象上的任意一点()()00,x f x A ()D x 定义域∈关于y 轴对称的点()()00,-x f x A ' 一定也在这个图象上；② 由于A '是函数图象上的点，所以它的坐标也可以写成()()00,x f x --，因此，()()00x f x f =-；③ 由于点()()00,x f x 与()()00,x f x --总是同时存在于函数的图象上，所以00x x -与 也同时存在于定义域D 内，因此，函数()x f y =的定义域D 关于原点O 对称。
