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第二讲 函数的图象与性质一、函数及其图象1、定义域、值域和对应关系是确定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”．2、对于函数的图象要会作图、识图、用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．二、函数的性质 1、函数单调性（1）一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)＞f (x 2)． 注意：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么(1)2121)()(x x x f x f --＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(2)2121)()(x x x f x f --＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．（2）判定方法①定义法：取值，作差，变形，定号，作答．其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解． ②导数法．③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．3、函数的奇偶性（1）对于函数f (x )的定义域内的任意一个x .①f (x )为偶函数⇔f (－x )＝f (x )； ②f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )． （2）．奇、偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 注意：如果奇函数f (x )在原点有定义，则f (0)＝0. 4、周期性（1）周期函数：T 为函数f (x )的一个周期，则需满足的条件： ①T ≠0；②f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意x 都成立．（2）最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．（3）周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x ： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ；②若f(x ＋a)＝)(1x f ，则T ＝2a ； ③若f(x ＋a)＝－)(1x f ，则T ＝2a.④若对于R 上的任意x 都有f(2a －x)＝f(x)，且f(2b －x)＝f(x)(其中a ＜b)，则：y ＝f(x)是以2(b －a)为周期的周期函数．⑤若f(x ＋a)＝f(x ＋b)(a ≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b|.5、求函数最值(值域)常用的方法①单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数； ②图象法：适合于已知或易作出图象的函数； ③基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数； ④导数法：适合于可求导数的函数． 三、函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若f (x ＋a )为奇函数⇒f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称；若f (x ＋a )为偶函数⇒f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．1．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．2．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中.函数性质及其应用的考查常考查：①给定函数解析式求定义域；②给出分段函数表达式结合奇偶性、周期性求值．熟练转化函数的性质是解题的关键，是高考的必考内容，常以选择题、填空题的形式考查，多为基础题．基础自测1．(2013·陕西高考)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)【解析】 函数f (x )的定义域M ＝(－∞，1]，则∁R M ＝(1，＋∞)． 【答案】 B2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝________.【解析】 由题意知f (3)＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.【答案】 1393．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 014)＝________.【解析】 由函数的周期性知，f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)，由－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0知f (－1)＝log 24＝2. 又函数f (x )是奇函数，从而f (2 014)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 由函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上为增函数知，0.30.5＜⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5＜10.5＝1.又c ＝log 0.30.2＞log 0.30.3＝1， ∴c ＞a ＞b . 5．函数y ＝1－1x －1的图象是( )【解析】 将y ＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－1x －1的图象． 【答案】 B考点一 函数及其表示例(1)(2014·郑州模拟)函数y ＝lg2－x12＋x －x2＋(x －1)0的定义域是( )A ．[－3,1)∪(1,2]B ．(－3,2)C ．(－3,1)∪(1,2)D ．[－3,1)∪(1,2)（2）（2014山东高考） 函数2()log 1f x x =-的定义域为(A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解析】(1)要使函数有意义， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＞0，12＋x －x 2＞0，x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，－3＜x ＜4，x ≠1，所以－3＜x ＜2且x ≠1，故所求函数的定义域为{x |－3＜x ＜2且x ≠1}．（2）【答案】C【解析】01log 2>-x 故2>x .方法与技巧 1求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍.2对抽象函数：①若函数)(x f 的定义域为[a ，b ]，则函数))((x g f 的定义域由不等式a ≤)(x g ≤b 求出.②若已知函数))((x g f 的定义域为[a ，b ]，则)(x f 的定义域为)(x g 在x ∈[a ，b ]时的值域.跟踪练习：(1)(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.（2）(2013·大纲全国卷)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【解析】(1)∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. （2）因为函数f (x )的定义域为(－1,0)，所以要使函数有意义，需满足－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.考点二 函数的性质及其应用例1．(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |【解析】 A 项，y ＝1x是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.【答案】 C 2、（2013山东高考）已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=， 则=-)1(f(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2】3．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．3．1 [解析] 由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 考点三 函数的图像及其应用 例1、（2014山东高考） 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c>>(B) 1,01a c><<(C) 01,1a c<<>(D) 01,01a c<<<<【答案】D【解析】由图象单调递减的性质可得01a<<，向左平移小于1个单位，故01c<<答案选D2、(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f(x)＝(1－cos x)·sin x在[－π，π]的大致图象为( )【解析】在[－π，π]上，∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)．∴函数f(x)是奇函数，排除B.又f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cosπ2sinπ2＝1＞0，排除A.f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x＝－2cos2x＋cos x＋1，令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－12.则f(x)在(0，π]上的极值点为23π，靠近π，故选C.跟踪练习：（2013山东高考）函数xxxy sincos+=的图象大致为xEO。
§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示 对任意x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似.2.写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间.提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )(5)所有的单调函数都有最值.( × ) 题组二 教材改编2.函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是 . 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3.函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是 .答案 24.若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是 . 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三 易错自纠5.函数y ＝12log (x 2－4)的递减区间为 .答案 (2，＋∞)6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为 .答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，138 解析 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138. 7.函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是 . 答案 [－1,1)解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.8.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为 .答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性命题点1 求函数的单调区间例1 (1)函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 A解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 令t ＝2x 2－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 则y ＝12log t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18， ∴t ＝2x 2－3x ＋1的递增区间为(1，＋∞). 又y ＝12log t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为(1，＋∞).(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是 .答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，该函数图像如图所示，其递减区间是[0,1).命题点2 讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上是增加的.证明：设1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3， 所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上是增加的. 引申探究如何用导数法求解本例？解 f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3， 所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在[1,2]上是增加的.思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)答案 C解析 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上是减少的，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数.(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上是增加的，则函数g (x )＝a |x －2|的递减区间是 .答案 (－∞，2]解析 因为f (x )在R 上是增加的，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的递减区间就是y ＝|x －2|的递减区间(－∞，2].(3)函数f (x )＝|x －2|x 的递减区间是 . 答案 [1,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图像，由图知f (x )的递减区间是[1,2]. 题型二 函数的最值1.函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为 .答案 [－1,1)解析 由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y .由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1).2.函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为 . 答案2解析 由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，θ∈[0，π]， 所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3.函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为 . 答案 [3，＋∞)解析 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图像如图所示.根据图像可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞). 4.当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为 .答案 85解析 由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3.∴所求函数的最小值为85. 5.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为 . 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－1,1]上是减少的，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上是增加的，所以f (x )在[－1,1]上是减少的，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 方法一 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 故选B.方法二 由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定.随着b 的变动，相当于图像上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关.随着a 的变动，相当于图像左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. (4)分离常数法：形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小例3 已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式例4 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是 . 答案 (－5，－2)∪(2，5)解析 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上是增加的，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5. 命题点3 求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π答案 C解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴当x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是增加的， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是减少的， ∴⎣⎡⎦⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的递减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 解析 若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0恒成立.当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图像的对称轴为x ＝－12a <0，且有g (x )>0，所以g (x )在(0,1)上是增加的，符合题意；当a <0时，需满足g (x )图像的对称轴x ＝－12a ≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－12，则－12≤a <0.综上，a ≥－12.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增加的，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式19(log )f x >0的解集为 . 答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也是增加的.∴19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫12或19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴19log x >12或－12<19log x <0，解得0<x <13或1<x <3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3.1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝ln(x ＋2) B.y ＝－x ＋1 C.y ＝⎝⎛⎭⎫12xD.y ＝x ＋1x答案 A解析 函数y ＝ln(x ＋2)的递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数. 2.函数y ＝12log (－x 2＋x ＋6)的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A. 3.设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A.f (π)>f (－3)>f (－2) B.f (π)>f (－2)>f (－3) C.f (π)<f (－3)<f (－2) D.f (π)<f (－2)<f (－3)答案 A解析 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2).又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)>f (3)>f (2)， 即f (π)>f (－3)>f (－2).4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤14，13答案 A解析 当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )是R 上的减函数.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<1－2a <1，0<a <1，1－2a ≥13，∴0<a ≤13.5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上是减少的，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B.(－∞，－3) C.(－3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 答案 D解析 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立.设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a >134，故选D. 7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 a >b >c解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数， 且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤－14，0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是增加的，故在(－∞，4)上是增加的；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上是增加的，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 9.记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 .答案 6解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析 作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2， 即a ≤1或a ≥4. 11.已知f (x )＝xx －a(x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围. (1)证明 当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的. (2)解 设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围. 解 (1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 由g (x )在[－2,2]上是单调函数， 知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1) 答案 D解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是 . 答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上是减少的，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上是减少的， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上是减少的， ∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).15.已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为 . 答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上是增加的，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1. (1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2). (2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数， ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).。
第二单元函数的概念及其性质教材复习课“函数”相关基础知识一课过函数的基本概念1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．3．表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法．4．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[小题速通]1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )答案：B2．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝(3x 2)32C ．y ＝lg 10xD ．y ＝2log 2x解析：选C A ．y ＝x 2x＝x (x ≠0)与y ＝x 的定义域不同，故不是相同的函数；B ．y ＝(3x 2)32＝|x |与y ＝x 的对应关系不相同，故不是相同的函数；C ．y ＝lg 10x＝x 与y ＝x 的定义域、值域与对应关系均相同，故是相同的函数； D ．y ＝2log 2x 与y ＝x 的对应关系不相同，故不是相同的函数． 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >1，2＋16x ，x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝( )A ．－2B ．4C ．2D ．－1解析：选A 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >1，2＋16x ，x ≤1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2＋1614＝4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)＝log 124＝－2.4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.[清易错]1．解决函数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射便不是函数．1．(2018·合肥八中模拟)已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：选B 因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．2．下列对应关系：①A ＝{1,4,9}，B ＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f ：x →x 的平方根； ②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数； ③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；④A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方． 其中是A 到B 的映射的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④D ．②③解析：选C 由映射的概念知①中集合B 中有两个元素对应，②中集合A 中的0元素在集合B 中没有对应，③④是映射．故选C.函数定义域的求法 函数y ＝f (x )的定义域[小题速通] 1.函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]． 答案：(0,2]2．函数y ＝lg(1－2x)＋x ＋3的定义域为________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x>0，x ＋3≥0，求解可得－3≤x <0，所以函数y ＝lg(1－2x)＋x ＋3的定义域为[－3,0)． 答案：[－3,0)[清易错]1.求复合型函数的定义域时，易忽视其满足内层函数有意义的条件.2.求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围. 1．(2018·辽宁锦州模拟)已知函数f (x 2－3)＝lgx 2x 2－4，则f (x )的定义域为________．解析：设t ＝x 2－3(t ≥－3)，则x 2＝t ＋3，所以f (t )＝lg t ＋3t ＋3－4＝lg t ＋3t －1，由t ＋3t －1>0，得t >1或t <－3，因为t ≥－3，所以t >1，即f (x )＝lgx ＋3x －1的定义域为(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)2．已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x的定义域为________． 解析：因为函数f (x )的定义域为[0,2]， 所以对于函数f (2x )，0≤2x ≤2，即0≤x ≤1， 又因为8－2x≥0，所以x ≤3，所以函数g (x )＝f (2x )＋8－2x的定义域为[0,1]． 答案：[0,1]函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值 M 为最小值[小题速通]1．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数． 2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.作出函数f (x )的图象如图，则结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2018·长春质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 4．若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6.答案：65．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：2[清易错]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.1．函数f (x )＝x1－x在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C 函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x1－x ＝11－x －1，根据函数y ＝－1x的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．2．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]函数的奇偶性 1．定义及图象特征奇偶性定义图象特点2(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．[小题速通]1．下列函数中的偶函数是( ) A ．y ＝2x－12xB ．y ＝x sin xC ．y ＝e xcos xD ．y ＝x 2＋sin x解析：选B 因为f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，即函数f (x )是偶函数，故选B.2．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝3x－1，则f (9)＝( )A ．－2B ．2C ．－23D.23解析：选D 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x ∈[0,2]时，f (x )＝－f (－x )＝－3－x＋1；设x －2＝t ，则x ＝t ＋2，则f (x －2)＝f (x ＋2)可化为f (t )＝f (t ＋4)，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则f (9)＝f (1)＝23.3．(2018·绵阳诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23解析：选A ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)，∴f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A. 4．若函数f (x )(x ∈R)是奇函数，函数g (x )(x ∈R)是偶函数，则( ) A ．函数f (x )－g (x )是奇函数 B ．函数f (x )·g (x )是奇函数 C ．函数f [g (x )]是奇函数 D ．函数g [f (x )]是奇函数解析：选B 因为函数f (x )(x ∈R)是奇函数，函数g (x )(x ∈R)是偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，所以f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，故f (x )·g (x )是奇函数．[清易错]1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断分段函数奇偶性时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．1．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则( )A ．f (m )<f (1)B ．f (m )>f (1)C ．f (m )＝f (1)D ．f (m )与f (1)大小不能确定解析：选A 由题意可知－3－m ＋m 2－m ＝0， 所以m ＝3或m ＝－1， 又因为函数f (x )＝x2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，所以2－m 是奇数，且2－m >0，所以m ＝－1，则f (x )＝x 3，定义域为[－2,2]且在[－2,2]上是增函数， 所以f (m )<f (1)．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 2－x ，x <0的奇偶性为________．解析：∵x ≠0，故f (x )的定义域关于原点对称． 当x >0时，－x <0， ∴f (－x )＝log 2x ＝f (x )． 当x <0时，－x >0，f (－x )＝log 2(－x )＝f (x )．故f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 答案：偶函数函数的周期性 [过双基]1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．3．重要结论周期函数的定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的，若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |.若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f x，f (x ＋a )＝－1f x(a >0)．则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．4．对称性与周期的关系(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．[小题速通]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x 4π，x >0，f x ＋2，x ≤0，则f (－5)的值为( )A ．0 B.22C ．1D. 2解析：选B 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x 4π，x >0，f x ＋2，x ≤0，可得f (－5)＝f (1)＝sin π4＝22.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x ＋1)＝f (1－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (31)＝( )A ．0B ．1C．－1 D．2解析：选C 由f(－x)＝－f(x)可得函数f(x)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)．令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t＋2)＝－f(t)，则f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，即函数f(x)的最小正周期为4.又因为当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(31)＝f(31－4×8)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.3．(2018·晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 017)＝________.解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，∴f(－3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.故f(2 017)＝f(1)＝2.答案：2[清易错]在利用周期性定义求解问题时，易忽视定义式f x＋T＝f x T≠0的使用而致误.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.解析：由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f x＋2＝－1－1f x＝f(x)．故函数f(x)的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，∴f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.答案：2.5一、选择题1．函数f (x )＝lg(x －1)－4－x 的定义域为( ) A ．(－∞，4] B ．(1,2)∪(2,4] C ．(1,4]D ．(2,4]解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4－x ≥0，解得1<x ≤4，所以函数f (x )的定义域为(1,4]．2．(2017·唐山期末)已知f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．－1D ．－3解析：选A ∵f (a )＝a ＋1a－1＝2，∴a ＋1a＝3.f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 的值为( ) A ．－3 B ．±3 C ．－1D ．±1解析：选D 当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上，a ＝±1.故选D.4．下列几个命题正确的个数是( )(1)若方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0有一个正根，一个负根，则a <0； (2)函数y ＝x 2－1＋1－x 2是偶函数，但不是奇函数；(3)函数f (x ＋1)的定义域是[－1,3]，则f (x 2)的定义域是[0,2]；(4)若曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a (a ∈R)的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B (1)由根与系数的关系可知，(1)正确；(2)函数y ＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}，值域为{0}，显然该函数既是奇函数也是偶函数，(2)错误；(3)函数f (x ＋1)的定义域是[－1,3]，所以0≤x ＋1≤4，则函数f (x )的定义域是[0,4]，对于函数f (x 2)可得0≤x 2≤4，则－2≤x ≤2，即f (x 2)的定义域是[－2,2]，(3)错误；(4)由二次函数的图象，易知曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a (a ∈R)的公共点个数可能是0,2,3,4，(4)正确．故选B.5．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 函数f (x )的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2.6．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1x在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.7．已知函数f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2 解析：选D 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知y ＝log 13t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－－a 2≤1，g 1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2.8．(2018·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23B ．－23C.43D ．－43解析：选C f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43，故选C.二、填空题9．f (x )＝a sin x －b log 3(x 2＋1－x )＋1(a ，b ∈R)，若f (lg(log 310))＝5，则f (lg(lg 3))＝________.解析：令g (x )＝a sin x －b log 3(x 2＋1－x )， 因为g (－x )＝－a sin x －b log 3(x 2＋1＋x ) ＝－a sin x －b log 31x 2＋1－x＝－a sin x ＋b log 3(x 2＋1－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，因为lg(log 310)＋lg(lg 3)＝lg1lg 3＋lg(lg 3)＝0，即lg(log 310)与lg(lg 3)互为相反数，f (lg(lg 3))＝g (lg(lg 3))＋1＝－g (lg(log 310))＋1＝－[f (lg(log 310))－1]＋1＝－3.答案：－310．设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7，若f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为________．解析：因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0，则0≥a ＋1，所以a ≤－1，又设x >0，则－x <0，所以f (x )＝－f (－x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9－x ＋a 2－x ＋7＝9x ＋a 2x －7.由基本不等式得9x ＋a 2x－7≥29x ·a 2x－7＝－6a －7，由f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，只需－6a －7≥a ＋1，即a ≤－87，结合a ≤－1，所求a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－87. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－8711．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)．解析：因为f (－x )＝－x 3＋log 2(－x ＋x 2＋1)＝－x 3＋log 21x ＋x 2＋1＝－x 3－log 2(x＋x 2＋1)＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，易知函数f (x )在R 上是增函数， 因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，所以f (a )≥f (－b )＝－f (b )，即f (a )＋f (b )≥0，反之亦成立， 因此，对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的充要条件． 答案：充要12．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋0＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0) ＝212－1＋20－1 ＝2－1. 答案：2－1 三、解答题13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x，x ≥0.(2)f (x )的图象如图所示：14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. 高考研究课一函数的定义域、解析式及分段函数 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 函数的概念 5年1考 函数定义问题分段函数5年4考分段函数求值及不等式恒成立问题函数的定义域问题[典例] (1)(2018·长沙模拟)函数y ＝x x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)(2)若函数f (x )＝22+2-x ax a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] (1)由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0，x ＋1>0，即－1<x <2或x >2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.[答案] (1)C (2)[－1,0] [方法技巧]函数定义域问题的3种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． [即时演练]1．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，解得2<x <3或3<x ≤4，所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．2．已知函数f (2－x )＝4－x 2，则函数f (x )的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,16] C ．[0,4]D ．[0,2]解析：选B 由4－x 2≥0可得－2≤x ≤2，令2－x ＝t ，则0≤t ≤4，函数f (2－x )＝4－x 2可化为函数f (t )＝4－2－t2，0≤t ≤4，所以函数f (x )满足0≤x ≤4，则0≤x ≤16，即函数f (x )的定义域为[0,16]．函数解析式的求法函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现.知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2018·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)用“待定系数法”解题设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝d ＝0，f 2＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′0＝c ＝－1，f ′2＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)用“代入法”解题 ∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)＝－12x 2－12x .(3)用“函数方程法”解题令1x代替3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1中的x ，得3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3f x ＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f x ＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18.[答案] (1)A (2)－12x 2－12x(3)f (x )＝1516x －916x ＋18[方法技巧]求函数解析式的常见方法1．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1解析：选B 令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠1)，∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.2．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.答案：2x ＋7分段函数分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题或中档题.常见的命题角度有： 1分段函数求值问题；2求参数值或自变量的取值范围； 3研究分段函数的性质. 角度一：分段函数求值问题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥1，e x－1，x <1，则f [f (ln 2)]＝________.解析：由题意知，f (ln 2)＝e ln 2－1＝1，所以f [f (ln 2)]＝log 22＝1.答案：1角度二：求参数或自变量的取值范围 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，log 22x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x，x ≤1，log 22x ，x >1，所以f (x )≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，21－x≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，log 22x ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x≤4，即0≤x ≤1或x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)3．(2018·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，2x －1， x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，2x －1， x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 角度三：研究分段函数的性质4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x ) 在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D.5．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x >0，若方程f (x )＝x ＋a有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数， 如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)． [方法技巧]分段函数问题的3种类型及求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．(3)研究分段函数的性质可根据分段函数逐段研究其性质，也可根据选项利用特殊值法作出判断．1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 22－x，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 解析：选C ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.3．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A 由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D 当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，故选D.一、选择题1．(2018·广东模拟)设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A.21＋xB.21＋x 2C.1－x 21＋x2 D.1－x1＋x解析：选A 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，即f (x )＝21＋x，故选A.2．函数f (x )＝1ln2x ＋1的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得－12<x <0或x >0.3．(2018·福建调研)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )A ．0B ．1C ．2 017D ．2 018解析：选D 令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ② 联立①②得f (1)＝2.5．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .6．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝2的x 的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B.{}1，4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4解析：选A 由题意可知，f (x )＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2x＝2，x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |＝2，x >0，解得x ＝14或4，故选A.7．(2018·莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f 2xlog 122－x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 解析：选B 要使函数y ＝f 2xlog 122－x 有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 122－x>0，2－x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，2－x <1，2－x >0⇒32≤x <2.故选B. 8．(2018·武汉调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值为( )A ．1或－22B ．－22 C ．1D ．1或22解析：选A ∵f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，∴f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin (πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1.故a ＝－22或1. 二、填空题9．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]10．已知函数y ＝lg(kx 2＋4x ＋k ＋3)的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝lg(kx 2＋4x ＋k ＋3)的定义域为R ， ∴kx 2＋4x ＋k ＋3>0对任意实数x 恒成立，若k ＝0，不等式化为4x ＋3>0，即x >－34，不合题意；若k ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，16－4k k ＋3<0，解得k >1.∴实数k 的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)11．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足题意． 答案：①③12．(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 解析：当x ≤a 时，由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象． ①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1. 答案：①2 ②(－∞，－1) 三、解答题13．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.14．水库的储水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1240－t 2＋15t －51e t ＋50，0<t ≤9，4t －93t －41＋50，9<t ≤12.(1)该水库的储水量小于50的时期称为枯水期，问：一年内哪几个月份是枯水期？ (2)求一年内该水库的最大储水量． (取21的值为4.6计算，e 3的值为20计算)解：(1)当0<t ≤9时，v (t )＝1240(－t 2＋15t －51)e t ＋50<50，即t 2－15t ＋51>0.解得t >15＋212或t <15－212，从而0<t <15－212≈5.2.当9<t ≤12时，v (t )＝4(t －9)(3t －41)＋50<50， 即(t －9)(3t －41)<0，解得9<t <413，所以9<t ≤12.综上，0<t <5.2或9<t ≤12，故枯水期分别为：1月，2月，3月，4月，5月，10月，11月，12月．(2)由(1)知，水库的最大蓄水量只能在6～9月份．v ′(t )＝1240(－t 2＋13t －36)e t＝－1240e t (t －4)(t －9)， 令v ′(t )＝0，解得t ＝9或t ＝4(舍去)， 又当t ∈(6,9)时，v ′(t )>0，v (t )单调递增； 当t ∈(9,10)时，v ′(t )<0，v (t )单调递减． 所以当t ＝9时，v (t )的最大值v (9)＝1240×3×e 9＋50＝150(亿立方米)， 故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤1，f x －1＋m ，x >1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n](n ∈N *)上的所有零点的和为( )A.n n ＋12B ．22n －1＋2n －1C.1＋2n22D ．2n－1解析：选B 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤1，f x －1＋m ，x >1在定义域[0，＋∞)上单调递增，所以m ≥1.又因为对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，且函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤1，f x －1＋m ，x >1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图象连续，所以m ＝1.如图所示，函数g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n](n ∈N *)上的所有零点分别为0,1,2,3， (2)， 所以所有的零点的和等于2n1＋2n2＝22n －1＋2n －1.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f x ＋1，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.5]＝－2，[2.5]＝2，若直线y ＝k (x －1)(k <0)与函数y ＝f (x )的图象只有三个不同的交点，则k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13C.⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 解析：选C 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f x ＋1，x <0的图象如图所示．因为直线y ＝k (x －1)(k <0)与函数y ＝f (x )的图象只有三个不同的交点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k 0－1<1，k－1－1≥1，解得－1<k ≤－12.高考研究课二函数的单调性、奇偶性及周期性 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度函数的单调性 5年3考 利用单调性解不等式、比较大小、求最值函数的奇偶性 5年6考 奇偶性的判断及应用求值函数的周期性 未考查函数的单调性高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.,常见的命题角度有：1确定函数的单调性； 2求函数的值域或最值； 3比较两个函数值； 4解函数不等式；5利用单调性求参数的取值范围.角度一：确定函数的单调性1．(2018·昆明调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝1x－xB ．y ＝x 2－x C ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x－x解析：选A 对于选项A ，y ＝1x在(0，＋∞)内是减函数，y ＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x 在(0，＋∞)内是减函数；B 、C 选项中的函数在(0，＋∞)内的单调性不确定；对于选项D ，y ′＝e x －1>0在(0，＋∞)内恒成立，故y ＝e x－x 在(0，＋∞)上单调递增，故选A.2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x2B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5x解析：选A y ＝x2在区间(0，＋∞)上为增函数，A 项符合题意；y ＝(x －1)2在(0,1)上为减函数，y ＝2－x，y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上都是减函数，故B 、C 、D 选项都不符合题意．3．(2018·广东佛山联考)讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在(－1,1)上的单调性．解：法一：(定义法) 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 法二：(导数法)f ′(x )＝ax ′x 2－1－ax x 2－1′x 2－12＝a x 2－1－2ax 2x 2－12＝a －x 2－1x 2－12＝－a x 2＋1x 2－12.∵a >0，x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )<0.∴f (x )在(－1,1)上是减函数． [方法技巧]确定函数单调性的常用方法定义法 先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论 图象法若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性导数法 先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性[提醒] 复合函数y ＝f (φ(x ))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．角度二：求函数的值域或最值 4．函数y ＝2x 2＋2x 的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．[2，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 因为x 2＋2x ≥－1，且y ＝2t是增函数， 所以y ＝2x 2＋2x ≥12，因此函数y ＝2x 2＋2x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.5．(2016·北京高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．解析：f ′(x )＝x －1－x x －12＝－1x －12，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.答案：2 [方法技巧]利用单调性求函数的最值的关键是准确判断其单调性，而判断方法常用定义法及导数法．角度三：比较两个函数值6．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )。
函数的基本性质之一——单调性【基本概念】1.函数单调性①正向结论：若()y f x =在给定区间上是增函数，则当12x x <时，12()()f x f x <；当12x x >，12()()f x f x >；②逆向结论：若()y f x =在给定区间上是增函数，则当12()()f x f x <时，_________；当12()()f x f x >时，_________。
当()y f x =在给定区间上是减函数时，也有相应的结论。
2.函数最值的求解求函数最值的常用方法有单调性与求导法。
此处重点讲解二次函数的最值。
求二次函数的最值有两种类型：一是函数定义域为R ，可用配方法求出最值；二是函数定义域为某一区间，此时应该考虑对称轴是否在给定的区间内。
3.易混淆点：对单调性和在区间上单调两个概念理解错误【考点一】单调性的判断与证明1.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，当12x x <时，都有12()()f x f x >”的是（ ）A ．1()f x x= B. 2()(1)f x x =- C. ()x f x e = D. ln(1)y x =+ 2.给定函数①12y x =;②12log (1)y x =+;③1y x =-;④12x y +=,其中在区间（0,1）上单调递减的函数的序号是（）A .①② B.②③ C.③④ D.①④3.证明y x =在[0,)+∞是增函数4.证明4y x x=+在[2,)+∞是增函数。
【学案编号】数学总复习 学案5 【编辑】韩晶飞 【审核】马省珍【主题】 函数的基本性质【考点二】利用单调性求参数与解不等式3.已知函数(2)1,1()log ,1a a x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩.若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围为________________4.已知()f x 为R 上的减函数，则满足1()(1)f f x>的实数x 的取值范围是（ ） .(,1)A -∞ B. (1,)+∞ C. (,0)(0,1)-∞⋃ D. (,0)(1,)-∞⋃+∞5.若函数()f x 的定义域为R,并且在(0,)+∞上是减函数，则下列不等式成立的是（ ） A 23()(1)4f f a a >-+ B. 23()(1)4f f a a ≥-+ C. 23()(1)4f f a a <-+ D. 23()(1)4f f a a ≤-+ 6.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B.(1,2) C. (2,1)- D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞【考点三】区分单调性和在区间上单调这两个概念7.若函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调区间是(,4]-∞，则实数a 的取值范围是_________.8. 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_______.【考点四】二次函数的单调性与最值（注意：常常需要分情况讨论）9.已知函数2()22,[1,1]f x x ax x =-+∈-，求函数()f x 的最小值。
第二讲 函数的图象与性质一、函数及其图象1、定义域、值域和对应关系是确定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”．2、对于函数的图象要会作图、识图、用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．二、 函数的性质 1、函数单调性（1）一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)＞f (x 2)． 注意：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么(1)2121)()(x x x f x f --＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(2)2121)()(x x x f x f --＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．（2）判定方法①定义法：取值，作差，变形，定号，作答．其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解． ②导数法．③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．3、函数的奇偶性（1）对于函数f (x )的定义域内的任意一个x .①f (x )为偶函数⇔f (－x )＝f (x )； ②f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )． （2）．奇、偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 注意：如果奇函数f (x )在原点有定义，则f (0)＝0. 4、周期性（1）周期函数：T 为函数f (x )的一个周期，则需满足的条件： ①T ≠0；②f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意x 都成立．（2）最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．（3）周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x ： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ；②若f(x ＋a)＝)(1x f ，则T ＝2a ； ③若f(x ＋a)＝－)(1x f ，则T ＝2a.④若对于R 上的任意x 都有f(2a －x)＝f(x)，且f(2b －x)＝f(x)(其中a ＜b)，则：y ＝f(x)是以2(b －a)为周期的周期函数．⑤若f(x ＋a)＝f(x ＋b)(a ≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b|.5、求函数最值(值域)常用的方法①单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数； ②图象法：适合于已知或易作出图象的函数； ③基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数； ④导数法：适合于可求导数的函数． 三、函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若f (x ＋a )为奇函数⇒f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称；若f (x ＋a )为偶函数⇒f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．1．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．2．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中.函数性质及其应用的考查常考查：①给定函数解析式求定义域；②给出分段函数表达式结合奇偶性、周期性求值．熟练转化函数的性质是解题的关键，是高考的必考内容，常以选择题、填空题的形式考查，多为基础题．基础自测1．(2013·陕西高考)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)【解析】 函数f (x )的定义域M ＝(－∞，1]，则∁R M ＝(1，＋∞)． 【答案】 B2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝________.【解析】 由题意知f (3)＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.【答案】 1393．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 014)＝________.【解析】 由函数的周期性知，f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)，由－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0知f (－1)＝log 24＝2. 又函数f (x )是奇函数，从而f (2 014)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 由函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上为增函数知，0.30.5＜⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5＜10.5＝1.又c ＝log 0.30.2＞log 0.30.3＝1， ∴c ＞a ＞b . 5．函数y ＝1－1x －1的图象是( )【解析】 将y ＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－1x －1的图象． 【答案】 B考点一 函数及其表示例(1)(2014·郑州模拟)函数y ＝lg 2－x12＋x －x2＋(x －1)0的定义域是( ) A ．[－3,1)∪(1,2] B ．(－3,2)C ．(－3,1)∪(1,2)D ．[－3,1)∪(1,2)（2）（2014山东高考） 函数()f x =的定义域为(A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解析】(1)要使函数有意义， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＞0，12＋x －x 2＞0，x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，－3＜x ＜4，x ≠1，所以－3＜x ＜2且x ≠1，故所求函数的定义域为{x |－3＜x ＜2且x ≠1}．（2）【答案】C【解析】01log 2>-x 故2>x .方法与技巧 1 求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍.2 对抽象函数：①若函数)(x f 的定义域为[a ，b ]，则函数))((x g f 的定义域由不等式a ≤)(x g ≤b 求出.②若已知函数))((x g f 的定义域为[a ，b ]，则)(x f 的定义域为)(x g 在x ∈[a ，b ]时的值域.跟踪练习：(1)(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.（2）(2013·大纲全国卷)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【解析】(1)∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. （2）因为函数f (x )的定义域为(－1,0)，所以要使函数有意义，需满足－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.考点二 函数的性质及其应用例1．(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |【解析】 A 项，y ＝1x是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.【答案】 C2、（2013山东高考）已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=， 则=-)1(f(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2】3．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．3．1 [解析] 由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 考点三 函数的图像及其应用 例1、（2014山东高考） 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<【答案】D【解析】由图象单调递减的性质可得01a <<，向左平移小于1个单位，故01c << 答案选D 2、(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f (x )＝(1－cos x )·sin x 在[－π，π]的大致图象为( )【解析】 在[－π，π]上，∵f (－x )＝[1－cos(－x )]sin(－x )＝－(1－cos x )sin x ＝－f (x )． ∴函数f (x )是奇函数，排除B.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos π2sin π2＝1＞0，排除A.f ′(x )＝sin x ·sin x ＋(1－cos x )cos x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，令f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12.则f (x )在(0，π]上的极值点为23π，靠近π，故选C.跟踪练习：（2013山东高考）函数x x x y sin cos +=的图象大致为。
