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2012年全国高中数学联赛一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ． 2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； （2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。
2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
2012年全国高中数学联赛试题考试时间：2012年10月14日上午8:00-9:20一． 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
把答案填在试卷相应题号的横上。
1. 设P 是函数y =x +2x (x >0)的图像上任意一点，过点P 分别向直线y =x 和y 轴作垂线，垂足分别为A ,B ，则PA �����⃗⋅PB �����⃗的值是______________。
2. 设△ABA 的内角A ,B ,A 的对边分别为a ,b ,c ，且满足a cos B −b cos A =35c ，则tan A tan B 的值是_________________。
3. 设x ,y ,z ∈[0,1]，则M =�|x −y |+�|y −z |+�|z −x |的最大值是____________。
4. 抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ,B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MM ||AB |的最大值是___________。
5. 设同底的两个正三棱锥P −ABA 和Q −ABA 内接于同一个球。
若正三棱锥P −ABA 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q −ABA 的侧面与底面所成角的正切值是_____________。
6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=x 2。
若对任意的x ∈[a ,a +2]，不等式f (x +a )≥2f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是_______________。
7. 满足14<sin πn <13的所有正整数n 的和是________________。
8. 某情报站有A ,B ,A ,D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
设第1周使用A 种密码，那么第7周也使用A 种密码的概率是______________。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，，则 =A. B. C. D.（2）已知：，：，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（3）函数（）的图象的一条对称轴方程是A． B. C. D．（4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内的条件是A. ?B. ?C. ?D. ？（第4题图）（5）若双曲线的渐近线与抛物线相切，则此双曲线的离心率等于A．B．C．D．（6）将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是A． B．C．D．（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．B．（第7题图）（８）已知函数，定义函数给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是A．②B．①③C．②③D．①②第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）为虚数单位，计算．（10）已知向量，若，则的值为.（11）已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则首项 _,前项和 __.（12）若直线与圆相交于 , 两点，且线段的中点坐标是，则直线的方程为 .（13）某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨( 为的约数)，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．（14）数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如当时，，，；当时，，，， .则当时，；试写出．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为，且 .（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．（16）（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．（17）（本小题满分14分）如图，已知四边形是正方形，平面，，， , , 分别为 , , 的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否存在一点 ,使平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数，（）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，对于任意，总有成立.（19）（本小题满分14分）已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为 ,且 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过焦点斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点 . 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，试求点到轴的距离；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知实数（且）满足，记 .（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）当时，求的最小值；（Ⅲ）当为奇数时，求的最小值．注：表示中任意两个数 , （）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）2013.5一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 D A B C B C A C二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案或8；63；（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）（Ⅰ） .因为，所以 .则所以当，即时，取得最大值，且最大值为.……7分（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则 .因为，所以，则 .由得，．……………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，解得 .所以此次测试总人数为．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．……………………4分（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为．……………………7分（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在有2人，记为；在有6人，记为．从这8人中随机抽取2人有，共28种情况．事件A包括共12种情况．所以．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为．……………………………13分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 , 分别为，的中点，所以 .又因为平面，平面，所以平面 . ……………4分（Ⅱ）因为平面，所以 .又因为，，所以平面 .由已知 , 分别为线段 , 的中点，所以 .则平面 .而平面，所以平面平面 . …………………………………………………9分（Ⅲ）在线段上存在一点，使平面 .证明如下：在直角三角形中，因为 , ,所以 .在直角梯形中，因为， ,所以，所以 .又因为为的中点，所以 .要使平面，只需使 .因为平面，所以，又因为， ,所以平面，而平面，所以 .若，则∽ ,可得 .由已知可求得，，，所以.……14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为，.当时，当变化时，，的变化情况如下表：当时，↗↘↗综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为 .……………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且 .所以时， .因为，所以，令，得 .①当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以 .因为，所以对于任意，总有 .②当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增， .所以对于任意，仍有 .综上所述，对于任意，总有 . …………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题设，，则， .由，解得，所以 .所以椭圆的方程为 . …………………………………………4分（Ⅱ）依题直线的方程为 .由得 .设 , ,弦的中点为，则，，，，所以 .直线的方程为，令，得，则 .若四边形为菱形，则， .所以 .若点在椭圆上，则 .整理得，解得 .所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.此时点到的距离为. ………………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得．．………………………3分（Ⅱ）时，．固定，仅让变动，那么是的一次函数或常函数，因此．同理．以此类推，我们可以看出，的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是．当（）时，．因为，所以，且当，，时，因此．……………………………………………7分（Ⅲ）.固定，仅让变动，那么是的一次函数或常函数，因此．同理．．以此类推，我们可以看出，的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是．当（）时，．当为奇数时，因为，所以，另一方面，若取，，那么，因此．…………………………………………………………13分。
2012年高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,, a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++ n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1A二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）43xy yz zx ++≥； （2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n - 的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．参考答案：1 2、92 3、11 4、(){},04-∞ 526、()()3,0,2,27、258、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=， 故()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥，解得（结合1x >） 11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证 （1）记t =33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分） （2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆- ，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m = 不满足（b ），故3A >．又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分） （2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+= ． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆- ，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ． 令{}1122,21n n B A ++=-- ，由于12221n n +->-，故()2B f n =+． 又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆- ，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++= ． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆- 满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21n n n n n B A =---- ，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<- ， 所以{}21,2,,21n B ⊆- ，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=- ，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得≤++≤+++f f f(100)(50)501(25)25151≤+++≤+++f f(12)12377(6)6192≤+++=．…………………（16分）(3)3199108f。
2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值是 ．2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； （2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++L L（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案2012年全国高中数学联赛一试及加试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．21.设P 是函数y x （x 0 ）的图像上任意一点，过点P 分别向x直线y x 和y 轴作垂线，垂足分别为 A B ，则PA PB 的值是_____________. 32.设ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ，且满足a cos B b cos A c ，5 tan A则的值是_____________. tan B3.设x y z 01 ，则M x y y z z x 的最大值是_____________.4.抛物线y 2 px p 0 的焦点为F ，准线为l ， A B 是抛物线上的2两个动点，且满足AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，3 MN 则的最大值是_____________. AB 5．设同底的两个正三棱锥P ABC 和Q ABC 内接于同一个球．若正三棱锥P ABC 的侧面与底面所成的角为45 ，则正三棱锥Q ABC 的侧面与底面所成角的正切值是_____________.6.设f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，f x x ．若对任意的x a a 2 ，不等式f x a 2 f x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 1 17．满足sin 的所有正整数n 的和是_____________. 4 n 38．某情报站有A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．1 3 19．（本小题满分16分）已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2（1）若对任意x R ，都有f x 0 ，求 a 的取值范围；（2）若 a 2 ，且存在x R ，使得f x 0 ，求a 的取值范围．10．（本小题满分２０分）已知数列an 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有a1 a2 an 2 a13 a2 an 3 3（1）当n 3 时，求所有满足条件的三项组成的数列a1 a2 a3 （2）是否存在满足条件的无穷数列an ，使得a2013 2012 若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为 4 ，OB OD 6 ．且（1）求证：OA OC 为定值；（2）当点A在半圆x 2 y 4 （2 x 4 ）上运动时，求2 2点C 的轨迹．2012 年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40 分）如图，在锐角ABC 中，AB AC M N 是BC 边上不同的两点，使得BAM CAN . 设ABC 和AMN 的外心分别为O1 O2 ，求证：O1 O2 A 三点共线。
2012年高中数学竞赛试题2012年北京市高中数学初赛（高一） (2)2012年北京市高中数学复赛（高一） (4)2012年湖北省高中数学预赛（高一） (5)2012年湖北省高中数学预赛（高二） (6)2012年福建省高中数学预赛（高一） (7)2012年河南省高中数学预赛（高一） (9)2012年江苏高中数学竞赛（初赛） (11)2012年上海市高中数学竞赛（新知杯） (12)2012年四川省高中数学预赛 (13)2012年陕西省高中数学预赛 (15)2012年河北省高中数学预赛 (17)2012年甘肃省高中数学预赛 (19)2012年安徽省高中数学预赛 (20)2012年山东省高中数学预赛 (21)2012年浙江省高中数学预赛 (23)2012年北京市高中数学初赛（高一）一、 选择题（满分36分=6×6分）1． f (x )=�2+x ,x >05, x =02x , x <0,则f (−2)+f (0)+f (1)+f (3)的值为（A ）8 （B ）11 （C ）1314（D ）15122． 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax 2+bx +c 的不同的两个根，则a ,b ,c 之间的关系是（A ）b 2=a 2−4ac （B ）b 2=a 2+4ac （C ）b 2=a 2−2ac （D ）b 2=a 2+2ac3． 定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2−2x ，则f (x )在x ∈[−4,−2]上的最小值为（A ）−19（B ）−13（C ）13（D ）194． 定义在正整数集Z +上的函数f ，对于每一个n ∈Z +和无理数π=3.14159265358⋯满足f (x )=�k 2的末位数字，（的小数点后第n 位数字k ≠0时）3. 若函数的值域记为M ，则（A ）1∉M （B ）5∉M （C ）6∉M （D ）9∉M 5． 如图，在△ABC 中，∠A =30°,∠C =90°，以C 为圆心，CB 为半径作圆交AB 边于M ，交AC 边于N ，P 为CM 与BN 的交点.若AA =1，则S △CCC −S △BCC 等于（A ）18（B ）√38（C ）14（D ）√346． 定义在(−1,1)上的函数f (x )满足f (x )−f (y )=f (x−y1−xy )，且当x ∈(−1,0)时，f (x )>0.若P =f �14�+f �15�,Q =f �16�,R =f (0)；则P ,Q ,R 的大小关系为（A ）R >P >Q （B ）R >Q >P （C ）P >R >Q （D ）Q >P >R 二、 填空题（满分64分=8×8分） 1. 求log 2sin π3+log 2tan π6+log 2cos π4的值.2. 已知f (x )是四次多项式，且满足f (i )=1i,i =1,2,3,4,5，求f (6)的值.3. 若[x ]表示不超过x 的最大整数，求满足方程[n lg2]+[n lg5]=2012的自然数n 的值.4. 如图，半径为1的两个等圆相交，在两圆的公共部分作一内接正方形ABCD .如果圆心距O 1O 等于1，试求正方形ABCD 的面积.5.求1272−7×2012+1×20122+⋯+52−5×2012+1×20122+7232−3×2012+1×20122+5212−1×2012+1×20122+322011220112−2011×2012+1×20122的值.以1为半径画弧，如图所示，交点为M,N,L,K，求阴影部分的面积.7.已知二次函数f(x)满足f(−10)=9,f(−6)=7,f(2)=−9，求f(100)的值.8.上底BC=2，下底AD=3的梯形ABCD的对角线相交于点O，彼此外切于点O的两个圆分别切直线AD于点A和点D，交BC分别于点K,L，求AA2+DD2的值.一、填空题（本题共5个小题，每小题8分，满分40分）1.函数y=x4−13x2+36(x−3)(x+2)的图像与平行于x轴的直线y=c恰有一个交点，则c能取到的所有值的乘积等于________.2.如图，锐角△ABC内接于半径为R的⊙O，H是△ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OO⊥AO,BC=10,OA=6，则OM=___________.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，如果△ACB恰是直角三角形，那么判别式Δ的值是______.4.如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC=2,BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC的面积的最大值为___________.5.和为111的两个自然数x和y，使得等式√x cccπy2x+�y cinπx2y=0成立，满足这个条件的一组自然数(x,y)是_____________.二、（本题满分15分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4以B为中心，将△ABC 顺时针旋转，使点A落在CB延长线上的点A1处，此时点C落在点C1的位置.连接AA1,CC1相交于OCC1交AB于D，AA1交BC1于E，求四边形BDOE的面积.三、（本题满分15分）（1）如果整数a、b和c满足关系式a2+b2=2c2−2，求证：144|abc.（2）试写出不定方程a2+b2=2c2−2的一组正整数解，并对这组正整数解验证144|abc.四、（本题满分15分）在边长都是正整数的三角形中，周长是2009的三角形与周长是2012的三角形哪一种数量多？说明理由.五、（本题满分15分）在锐角△ABC中，O是外心，I是内心，连接AI，BI和CI的直线交△ABC的外接圆分别于点A1，B1和C1.求证：S△ABCS△A1B1C1=2r R.（其中R是外接圆的半径，r是内切圆的半径）一、填空题（本题满分64分，每小题8分.直接将答案写在横线上.）1．已知集合A={x|x≤a},B={x|x>b},a,b∈A，且A∩B∩A={1}，则a+ b=___________．2．已知正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a2,a4,a5成等差数列，则a1+a4+a7a3+a6+a9=_________．3．函数f(x)=�x+1x2+4x+7的值域为__________．4．已知3sin2α+2sin2β=1，3(sinα+cosα)2−2(sinβ+cosβ)2=1，则cos2(α+β)=_________．5．已知数列{a n}满足：a1为正整数，a n+1=�a n, a n为偶数3a n+1, a n为奇数如果a1+a2+a3=29，则a1=_________．6．在△ABC中，角A,B,C的对边长a,b,c满足a+c=2b，且C=2A，则sin A=___________．�����⃗=pAB�����⃗+qAC�����⃗，则p q的7．在△ABC中，AB=BC=2,AC=3．设O是△ABC的内心，若AO值为___________．8．设x1,x2,x3是方程x3−x+1=0的三个根，则x15+x25+x35的值为____________．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列{a n}满足�a n a n+1+a n a n+2=4�a n a n+1+a n+12+3�a n a n+1且a1=1,a2=8，求{a n}的通项公式．10．已知正实数a,b满足a2+b2=1，且a3+b3+1=m(a+b+1)3，求m的最小值．11．设f(x)=log a(x−2a)+log a(x−3a)，其中a>0且a≠1．若在区间[a+3,a+4]上f(x)≤1恒成立，求a的取值范围．一、 填空题（本题满分64分，每小题8分.直接将答案写在横线上.） 1． 函数f (x )=�x+1x +4x+7的值域为__________．2． 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3(sin α+cos α)2−2(sin β+cos β)2=1，则cos 2(α+β)=_________．3． 已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n+1=�a n2, a n 为偶数3a n +1, a n 为奇数如果a 1+a 2+a 3=29，则a 1=_________．4． 设集合S ={1,2,3,⋯,12}，A ={a 1,a 2,a 3}是S 的子集，且满足a 1<a 2<a 3,a 3−a 2≤5那么满足条件的子集A 的个数为_______． 5． 过原点O 的直线l 与椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)交于M ,A 两点，P 是椭圆C 上异于M ,A的任一点．若直线PM ,PA 的斜率之积为−13，则椭圆C 的离心率为____．6． 在△ABC 中，AB =BC =2,AC =3．设O 是△ABC 的内心，若AO�����⃗=pAB �����⃗+qAC �����⃗，则p q的值为___________．7． 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知AC =1,B 1C =√2,AB 1=p ，则长方体的体积最大时，p 为_______．8． 设[x ]表示不超过x 的最大整数，则∑�2012+2k 2�=2012k=0_____．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知正项数列{a n }满足�a n a n+1+a n a n+2=4�a n a n+1+a n+12+3�a n a n+1 且a 1=1,a 2=8，求{a n }的通项公式．10．已知正实数a ,b 满足a 2+b 2=1，且a 3+b 3+1=m (a +b +1)3，求m 的取值范围． 11．已知点E (m ,n )为抛物线y 2=2px (p >0)内一定点，过E 作斜率分别为k 1,k 2的两条直线交抛物线于A ,B ,C ,D ，且M ,A 分别是线段AB ,CD 的中点． （1）当n =0且k 1⋅k 2=−1时,求△EMA 的面积的最小值; （2）若k 1+k 2=λ(λ≠0,λ为常数),证明：直线MA 过定点．一．选择题（每小题6分，共36分）1.已知集合A={x|1≤x≤4},B={y|y=log2x,x∈A}，则A⋂B=(A) [0,2] (B) [0,1] (C) [1,2] (D) [2,4]2.已知直线x=2,x=4与函数lcl4x的图像交于A、B两点，与函数y=ln x的图像交于C、D两点，则直线AB与CD(A) 相交，且交点在第一象限(B) 相交，且交点在第二象限(C) 相交，且交点在第四象限(D) 相交，且交点在坐标原点3.已知集合A，如果存在实数x0，使得对任意整数a，都存在x∈A，使得0<|x−x0|<a，则称x0为集合A的“聚点”.给出下列四个集合：①�n n+1�n∈Z,n≥0�②{x│x∈R,且x≠0}③�1n�n∈Z,n≠0�④Z. 其中以0为“聚点”的集合有(A) ②③ (B) ①② (C) ①③ (D) ②④4.已知四面体ABCD四个顶点的坐标分别为A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1)、D(0,0,0)，则直线DC与平面ABC所成角的正弦值为(A) 13 (B) √33 (C) 23 (D) √635.已知x,y是两个不相等的正数，且满足条件x3−y3=x2−y2，则[9xy]的最大值为（符号[x]表示不超过x的最大整数）(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 16.函数f(x)=√2x−6+√18−3x的最大值为(A) √2√√ (D)√二．填空题（每小题6分，共36分）7.已知过点A(3,−2)的直线l交x轴正半轴于点B，交直线l1:x−2y=0于点C，且|AB|=2|BC|，则直线l在y轴上的截距为__________.8.若关于x的不等式2x+3x−k⋅6x≥0在区间[1,2]上有解，则k的最大值为___________.9.在三棱锥D-ABC中，已知AB=BC=AD=√BD=AC=2,BC⊥AD，则三棱锥D-ABC外接球的表面积为______.10.三个半径都是2的圆，其圆心分别为A(1,1),B(3,6),C(7,12)，直线l斜率为k，且过点(1,1).若⊙A、⊙B、⊙C位于直线l某一侧的部分的面积和等于位于直线l另一侧的部分的面积和.则k=__________.11.已知函数f(x)=�2x−1 x≤0f(x−1)x>0，则方程f(x)=x在区间(0,10)内所有实根的和为________.12.符号[x]表示不超过x的最大整数，符号{x}表示x的小数部分即{x}=x−[x].若实数x 满足[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2012，则{x}的最小值为_______.三．解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13.已知f(x)=x2+2px−2在区间[−2,0]上的最小值为l(p).（1）求l(p)的表达式；（2）当l(p)=−3时，求f(x)在区间[−2,0]上的最大值.14.已知圆C：(x−2)2+(y−2)2=m，点A(4,6),B(c,t)，（1）若3c−4t=−12，且直线AB被圆C截得的弦长为4，求m的值；（2）若s，t为正整数，且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ(λ>1)，求m的值.15.对任意的正整数n，以及任意n个互不相同的正整数a1,a2,⋯,a n，若不等式(1a1)λ+(1a2)λ+⋯+(1a n)λ<2恒成立.求整数λ的最小值.O的割线，C、D为割线与圆O的交点.过C作直线交AB于点E、交AD于点F，且CE=EE.求证：CE∥PA17.在直角坐标平面xOy内有2012个点，记这2012个点组成的点集P中任何两点的连线与坐标轴既不平行也不重合.证明：在点集P中，存在E、G两点，使得以EG为对角线，且边与坐标轴平行或重合的矩形EFGH内（不包括边界）至少含有点集P中的402个点.2012年河南省高中数学预赛（高一）一． 填空题（共10小题，每小题6分，满分60分）1. 已知非空集合A ⊆{1,2,⋯,2012}，且满足：当a ∈A 时，有2013−a ∈A ，则符合题意的集合A 共有_____.2. 已知P (a ,b )关于直线l 的对称点为P (b +1,a −1)，则圆C :x 2+y 2−6x −2y =0关于直线l 对称的圆C 的标准方程为_________.3. 已知分段函数f (x )=�3−x ,x ≤0f (x −1),x >0，若f (x )=x +a 有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围是_________.4. 设a ,b 分别是方程log 513x +x −2012=0和513x +x −2012=0的根，则a +b =_______.5. 已知四面体A −BCD 中，AB =CD =2√BC =AD =√AC =BD =√，则该四面体的体积是_____.6. 定义A ∗B =�C (A )−C (B ),C (A )≥C (B )C (B )−C (A ),C (A )<C (B )，已知A ={1,2}，B ={x ||x 2+ax +1|=0}其中C (A )表示集合A 中的元素的个数，若A ∗B =1，由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么C (S )=________.7. 已知正三棱锥P −ABC 的侧棱长为√3+1，底面边长为√2，Q 是侧棱PA 的中点，一条折线从点A 出发，绕侧面一周到点Q ，则这条折线长度的最小值是_______.8. 已知函数y =f (x )的定义域是D ，如对于任意的x 1,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称f (x )函数在D 上为非减函数，设函数y =f (x )在[0,1]上为非减函数，满足条件：①f (0)=0;②f �x3�=12f (x )③f (1−x )=1−f (x ),则f �13�+f �12012�=_________. 9. （选做题）（必修3）在6个产品中有4个正品和2个次品，现每次取出一个作检查（检查完后不放回），直到2个次品都找到为止，则恰好经过4次检查将2个次品全部找到的概率是_______. （必修4）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点，设向量AC�����⃗=λDE �����⃗+μAP �����⃗(λ,μ∈R )，则λ+μ的最小值是________. 10. 已知m ∈A ，且函数f (x )=2x −m √10−x −m +10存在整数零点，则符合题意的一切m 的取值构成的集合是____________.二． （本题满分20分）如图所示，AD 和AA 是⊙C 的两条切线，其中D ,A 为切点.在AA 的延长线上取一点M ，△AMD 的外接圆与⊙C 的另一交点为P ，MD 和⊙C 的另一交点为R ，延长PR 交MA 于T .过A 作AQ ⊥MD 于Q ，连接QP . 证明：（1）△MTR ∼△PTM （2）∠MPQ =2∠AMD .三．（本题满分20分）如图所示，已知单位正方体ABCD−EEEO的棱长AD和BC上分别有动点Q,P.若直线Array PQ和BD交于点A，直线EQ和平面BDE交于点M，BE的中点是S，设AQ=x(0≤x≤1),MA=y.（1）求证：D,M,S三点共线；（2）求y的最小值关于x的解析式.四．（本题满分20分）（必修3）函数f(x)=log2(4+√16−x2).（1）求函数的值域；（2）若在区间[−4,1]上随机取一个数a，求方程f2(x)+af(x)+1=0有实数根的概率.（必修4）已知对于任意的x∈�0,π2�,sin x<x恒成立，利用此结论证明：（1）存在唯一的实数对(c,d)，其中c,d∈�0,π2�，使sin(cos c)= c,cos(sin d)=d成立；（2）在（1）的条件下证明：c<d.五．（本题满分20分）函数sgn(x)=�1, x>00, x=0−1,x<0，f(x)=x3+x−log2(√x2+1−x).（1）求证：函数f(x)是定义在R上的奇函数；（2）对于任意实数a,b(a+b≠0)，求sgn�f(a)+f(b)a3+b3�的值.2012年江苏高中数学竞赛（初赛）一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1.当x∈[−3,3]时，函数f(x)=|x3−3x|的最大值为______.2.在△ABC中，已知AC�����⃗⋅BC�����⃗=12,AC�����⃗⋅BA�����⃗=−4，则AC=_______.3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率是________.4.已知a为实数，方程x2+(4+i)x+4+ai=0的一个实数根是b（i是虚数单位），则|a+bi|的值为_______.5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:x212−y24=1的右焦点为E，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若△EAB的面积为8√3，则直线l的斜率为_______.6.设a为正实数，k=a lga,则k的取值范围是_______.7.在四面体ABCD中，AB=AC=AD=DB=5,BC=3,CD=4,该四面体的体积为_________.8.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:a1+b1=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+ b4=35,，则a n+b n=______(n∈A∗)9.将27,37,47,48,55,71,75这7个数排成一列，使任意4个数的和为3的倍数，则这样的排法有__________种.10.三角形的周长为31，三边a,b,c均为整数，且a≤b≤c，则满足条件的三元数组的个数为___________.二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，证明：（1）b cos C+c cos B=a;（2）cos A+cos Ba+b=2sin2C2c.12．已知a,b为实数，a>2函数f(x)=�ln x−a x�+b(xe2−ln2+1.（1）求实数a,b；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若实数c,d满足c>d,cd=1，求证：f(c)<f(d).13．如图，半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点.在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1.线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点.求线段CD长的取值范围.14．设a,b,c,d是正整数，a,b是方程x2−(d−c)x+cd=0的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形.2012年上海市高中数学竞赛（新知杯）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1E 1的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2E 2，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ． 2．已知正整数a 1,a 2,⋯,a 10满足：a ja i>32,1≤i <j ≤10，则a 10的最小可能值是 ．3．若tan α+tan β+tan γ=176，cot α+cot β+cot γ=−45，cot αcot β+cot βcot γ+cot γcot α=−175，则tan (α+β+γ)= ．4．已知关于x 的方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 ．5．如图，△AEE 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知∠AEE =90°，AE =a ,EE =b ,a >b ，则x = ．6．方程2m ⋅3n −3n+1+2m =13的非负整数解(m ,n )= ．7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 ．（用数字作答） 8．数列{a n }定义如下：a 1=1,a 2=2,a n+2=2(n+1)n+2a n+1−nn+2a n,n=1,2,⋯.若a m >2+20112012，则正整数m 的最小值为 ．二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =x ,BC =1，对角线AC 与BD 的夹角∠BOC =45°，记直线AB 与CD 的距离为ℎ(x )．求ℎ(x )的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数a >1，求函数f (x )=(a+sinx )(4+sinx )1+sinx的最小值．11．（本题满分16分）正实数x ,y ,z 满足9xyz +xy +yz +zx =4；求证：（1）xy +yz +zx ≥43；（2）x +y +z ≥2．12．（本题满分16分）给定整数n (≥3)，记f (n )为集合{1,2,⋯,2n −1}的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：①1∈A ,2n −1∈A ；②A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求f (3)的值；（2）求证：f (100)≤108．112012年四川省高中数学预赛一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1、设集合S ={x |x 2−5x −6<0}，T ={x ||x +2|≤3}，则S ∩T = A 、{x |−5≤x <−1} B 、{x |−5≤x <5} C 、{x│−1≤x ≤1} D 、{x |1≤x <5}2、正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中BC 1与截面BB 1D 1D 所成的角是A 、π6B 、π4C 、π3D 、π23、已知f (x )=x 2−2x +3,l (x )=kx −1，则“|k |≤2”是“f (x )≥l (x )在R 上恒成立”的 A 、充分但不必要条件 B 、必要但不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件4、设正三角形△1的面积为S 1，作△1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△2，面积为S 2，如此下去作一系列的正三角形△3,△4,⋯，其面积相应为S 3,S 4,⋯，设S 1=1,T n =S 1+S 2+⋯+S n ，则lim n→+∞T n =A 、65B 、43C 、32D 、25、设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，顶点为O ,M 是抛物线上的动点，则|MM ||MM |的最大值为A 、√33 B 、2√33 C 、43D 、√3 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ） A 、rB 、2rC 、√12r 3D 、√15r 3二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则ED �����⃗⋅DE�����⃗的值是 ． 8、(x 2+x −1x )6的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答） 9、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =(a n +1)24，则S 20的值为 ．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．11、已知锐角A ,B 满足tan(A +B )=2tan A ，则tan B 的最大值是 ．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde��������，满足条件“a <b >c <d >e ”的概率是 ．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）A13、设函数f(x)=sin x+√3cos x+1，（I）求函数f(x)在�0,π2�上的最大值与最小值；（II）若实数a,b,c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意x∈R恒成立，求bcosc a的值．14、已知a,b,c∈R+，满足abc(a+b+c)=1，（I）求S=(a+c)(b+c)的最小值；（II）当S取最小值时，求c的最大值．15、直线y=kx+1与双曲线x2−y2=1的左支交于A、B两点，直线l经过点(−2,0)和AB 的中点，求直线l在y轴的截距b的取值范围．16、设函数f n(x)=x n(1−x)2在�12,1�上的最大值为a n(n=1,2,3,⋯)．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求证：对任何正整数n(n≥2)，都有a n≤1(n+2)2成立；（III）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n<716成立．2012年陕西省高中数学预赛第一试一、填空题（每小题8分，共80分）1.已知集合M={1,3,5,7,9}，若非空集合A满足:A中各元素都加4后构成M的一个子集，A中各元素都减4后也构成M的一个子集，则A=__________.2.已知两条直线l1:y=2,l2:y=4，设函数y=3x的图像与l1,l2分别交于点A,B，函数y=5x的图像与l1,l2分别交于点C,D，则直线AB与CD的交点坐标是_____.3.对于正整数n，若n=p∗q(p≥q,p、q∈A+)，当p−q最小时，我们称p∗q为n的“最佳分解”，并规定f(n)=q p.例如，12的分解有12×1,6×2,4×3，其中4×3为12的最佳分解，则f(12)=34，关于f(n)，有下列四个判断：①f(4)=0;②f(7)=17;③f(24)=38;④f(2012)=4503其中，所有正确判断的序号是________.�����⃗=a+b,AC�����⃗=a−b，若a= 4.已知△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°,且AB(cosθ,sinθ)(θ∈R)，则△ABC的面积等于______.5.在正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O.设M是线段AO上一点，且满足6.如图，Rt△ABC的三个顶点都在给定的抛物线x2=2py(p>0)上，且斜边AB∥x轴，则斜边上的高|CD|=_____.7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏活动的都有奖），且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项、−140为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是______元.8.设p,q是两个不同的质数，则p q−1+q p−1被p⋅q除的余数是________.9.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1，且对任意的x∈R，都有f′(x)<12.则不等式f(log2x)>log2x+12的解集为____.10.从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路边埋栽，在500m处栽一根，然后每间隔50m在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为_________m.第二试一．（本题满分20分）在△ABC 中，已知AB =2,AC =1,且cos 2A +2sin 2B+C 2=1.（1）求角A 的大小和边BC 的长；（2）若点P 在△ABC 内运动（含边界），且点P 到三边距离之和为d .设点P 到边BC ,CA 的距离分别为x ,y ，试用x ,y 表示d ，并求d 的取值范围. 二．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，以点C (t ,2t )为圆心的圆经过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于点A ,B（不同于原点O ）.（1）求证：△AOB 的面积S 为定值；（2）设直线l :y =−2x +4与圆C 相交于不同的两点M ,A ，且|OM |=|OA |，求圆C 的标准方程.三．（本题满分20分） 如图，锐角△ABC 内接于圆O ，过圆心O 且垂直于半径OA 的直线分别交边AB ,AC 于点E ,E .设圆O 在B ,C 两点处的切线相交于点P ，求证：直线AP 平分线段EE . 四．（本题满分30分） 已知数列{a n }满足a 1=12,a n =2a n a n+1+3a n+1(n ∈A ∗)..（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足b n =1+1a n (n ∈A ∗)，且对任意正整数n (n ≥2)，不等式∑1n+log3b kn k=1>m 24恒成立，求整数m 的最大值.五．（本题满分30分）对于任意的正整数n ，证明：13−2+132+22+133−23+⋯+13n +(−2)n<76.2012年河北省高中数学预赛一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1． 已知θ∈�5π4,3π2�，则√1−sin2θ−√1+sin2θ可化简为（ ）A ．2sin θ B. −2sin θ C. −2cos θ D. 2cos θ 2． 如果复数(a +2i )(1+i )的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B. 2√±2 D. ±2√3． 设A ,B 为两个互不相同的集合，命题p :x ∈A ∩B ， 命题q :x ∈A 或x ∈B ，则p 是q 的（ ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 4． 过椭圆x 22+y 2=1的右焦点E 2作倾斜角为45°弦AB ，则|AB |为（ ）A.2√63 B. 4√63 C. 4√23 D. 4√335． 函数f (x )=�1−5−xx ≥05x−1 x <0，则该函数为（ ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）A. 4+5π2B. 4+3π2C. 4+π2D. 4+π7. 某程序框图如右图所示，现将输出(x ,y )值依次记为：(x 1,y 1),(x 2,y 2),⋯,(x n ,y n ),⋯若程序运行中输出的一个数组是 (x ,−10),则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{(x ,y )||x |≤1,|y |≤1}上恒有ax −2by ≤2，则动点P (a ,b )所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 329. 已知函数f (x )=sin �2x −π6�−m 在�0,π2�上有两个零点，则m的取值范围为（ ）A. �12,1� B �12,1� C. �12,1) D. �12,1]10.已知a∈[−1,1]，则x2+(a−4)x+4−2a>0的解为（）A. x>3或x<2B. x>2或x<1C. x>3或x<1D. 1<x<3二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数f(x)=2cin x2−√3cccx的最小正周期为__________.12. 已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a1+a8+a15=___________.13. 向量a⃗=(1,cinθ),b�⃗=�cccθ,√3�,θ∈R，则�a⃗−b�⃗�的取值范围为 .14. 直三棱柱ABC−A1B1C1，底面△ABC是正三角形，P,E分别为BB1,CC1上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且PD⊥PE.则直线AP,PE的夹角为________.15．设x,y为实数，则max5x2+4y2=10x(x2+y2)=___________.16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种.（用组合数符号表示）17. 设x,y,z为整数，且x+y+z=3,x3+y3+z3=3，则x2+y2+z2=______.三、解答题（本大题共3 小题，每小题17 分，共计51 分）18. 设a≤2，求y=(x−2)|x|在[a,2]上的最大值和最小值.19. 给定两个数列{x n},{y n}满足x0=y0=1，x n=x n−12+x n−1(n≥1)，y n=y n−121+2y n−1(n≥1).证明对于任意的自然数n，都存在自然数j n，使得y n=x j n.20. 已知椭圆x252+y242=1，过其左焦点E1作一条直线交椭圆于A,B两点，D(a,0)为E1右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,A.若以MA为直径的圆恰好过E1，求a的值.四、附加题（本大题共2 小题，每小题25 分，共计50 分）21.在锐角三角形ABC中，∠A=π3，设在其内部同时满足PA≤PB和PA≤PC的点P的全体形成的区域E的面积为三角形ABC面积的13.证明三角形ABC为等边三角形.22.设a,b,c∈R+，且√a+√b+√c=3.求证:a+b2+a+b+b+c2+b+c+c+a2+c+a≥32，并指明等号成立的条件.一． 填空题（本题满分56分，每小题7分） 1． 空间四点A ,B ,C ,D 两两间的距离均为1，点P 与点Q 分别在线段AB 与CD 上运动，则点P 与点Q 间的最小距离为______；2． 向量OA �����⃗=(1,0)，OB �����⃗=(1,1)，O 为坐标原点，动点P (x ,y )满足�0≤OP �����⃗⋅OA �����⃗≤10≤OP �����⃗⋅OB �����⃗≤2，则点Q (x +y ,y )构成的图形的面积为_________；3． 设有非空集合A ⊆{1,2,3,4,5,6,7}，且当a ∈A 时，必有8−a ∈A ，这样的集合A 的个数是________；4． 设f (x )=�x −|x |, x <0f (x −1),x >0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，若f (x )=kx +k (k >0)有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是____________；5． 11位数的手机号码，前七位数字时1390931，若余下的4个数字只能是1、3、5且都至少出现1次，这样的手机号码有____________个；6． 若tan x 1⋅tan x 2⋅⋯⋅tan x n =1，则sin x 1⋅sin x 2⋅⋯⋅sin x 2012的最大值是_________； 7． 设函数f :R →R ，满足f (0)=1且对任意x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )f (y )−f (y )−x +2，则f (x )=__________；8． 实数x ,y ,z 满足x 2+y 2+z 2=1，则xy +yz 的最大值为____________.二． 解答题（本题满分64分，第9、10题每题14分，第11、12题每题18分） 9． 已知数列{a n }满足a n+1+a n −1a n+1−a n +1=n (n ∈A ∗)，且a 2=6.（1）求数列{a n }的通项公式;（2）设b n =a nn+c (n ∈A ∗)，c 为非零常数，若数列{b n }是等差数列，记c n =b n 2n,S n =c 1+c 2+⋯+c n ，求S n .10． M 是抛物线y 2=2px (p >0)的准线上任意点，过M 点作抛物线的切线，切点分别为A ,B （A 在x 轴上方）.（1）证明：直线AB 过定点；（2）设AB 的中点为P ，求|MP |的最小值.11． 设a ,b ,c 为正实数，且a +b +c =1，求证：(a 2+b 2+c 2)(ab+c +ba+c+ca+b)≥12.12． 某校数学兴趣小组有m 位同学组成，学校专门安排n 为老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m ,n 的值.一、填空题（每题8分，共64分）1. 设函数f (x )=arcsin (cos (x ))，则f (f (f (x )))的最小正周期为___________.2. 设实数x ,y 满足x 2−8x +y 2−6y +24=0，则x −2y 的最大值为__________.3. cosπ11−cos2π11+cos3π11−cos4π11+cos5π11=_________（用数字作答）. 4. 设两点C ，D 在以线段AB 为直径的半圆弧上，线段AC 和线段BD 相交于点E ，AB =10,AC =8,BD =5√2则△ABE的面积为___________.5. 设两个椭圆x 2t +2t−2+y 2t +t+2=1和x 22t −3t−5+y 2t +t−7=1有公共的焦点，则t =_________. 6. 如图，设正四棱锥P -ABCD 的体积为1，E ，F ，G ，H 分别是线段AB ，CD ，PB ，PC 的中点，则多面体BEG -CFH 的体积为__________.7. 不超过2012且与210的最大公约数是1 的正整数共有__________个.8. 设随机变量X ~A (1,2),Y ~A (3,4).若P (X <0)=P (Y >a )，则a =___________. 二、解答题（第9-10题每题25分，第11-12题每题18分，共86分） 9. 已知△ABC 的周长为1，并且cin 2A +cin 2B =4cinAcinB . （1）证明：△ABC 是直角三角形；（2）求△ABC 面积的最大值. 10. 设无穷数列{a n }满足a 1=1,a n =a n−1+1a n−1(n ≥2).证明：（1）当n ≥2时，a n ≥√2n ；（2）不存在实数C 使得a n <√2n +c 对所有n 都成立. 11. 设n =2m ,m 是正整数。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)一、选择题1．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( ) A ．－3＋2i B ．3＋2i C ．－2＋3i D ．2＋3i2．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q3．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π24．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3 D ．6π5．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．126．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.347．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π9．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈3169V B ．d ≈ 32VC ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V二、填空题11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s ＝________13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N ＋)位回文数有________个．14．如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.15.(选修4－1：几何证明选讲)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．16．(选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．三、解答题17．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．18．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．19．如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大；(2)当三棱锥A －BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．22．(1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x ＞0)，其中r 为有理数，且0＜r ＜1.求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则a 1b 1a 2b 2≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)1＝αx α－1.答案2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)一、选择题1．解析：配方得(x ＋3)2＝－4＝(2i)2，所以x ＋3＝±2i ，x ＝－3±2i. 答案：A2．解析：其否定为∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q . 答案：D3．解析：由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2(－x 33＋x )|10＝43. 答案：B4．解析：由三视图可知该几何体的体积V ＝π×12×2＋12×π×12×2＝3π.答案：B5．解析：512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除．答案：D6．解析：由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当ax＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 答案：C7．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则{a 2n }的公比为q 2，{ |a n | }的公比为|q |，其余的数列不是等比数列．答案：C8．解析：设扇形的半径为2，其面积为π×224＝π，其中空白区域面积为π－4×(π4－12)＝2，因此此点取自阴影部分的概率为π－2π＝1－2π.答案：A9．解析：令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k ＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．答案：C10．解析：∵V ＝43πR 3，∴2R ＝d ＝ 36V π，考虑到2R 与标准值最接近，通过计算得6π－169≈0.132 08，6π－2≈－0.090 1，6π－300157≈－0.001 0，6π－2111≈0.000 8，因此最接近的为D 选项．答案：D 二、填空题11．解析：∵(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，C ＝2π3.答案：2π312．解析：a ＝1，s ＝0，n ＝1；s ＝1，a ＝3，n ＝2；s ＝4，a ＝5，n ＝3；s ＝9，a ＝7，循环结束，因此输出s ＝9.答案：913．解析：2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n ＋1位有9×10n 个．答案：90 9×10n14．解析：由题意可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.设sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝cb 2＋c 2， S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bc b 2＋c2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.答案：1＋52 2＋5215.(选修4－1：几何证明选讲)解析：由题意知CD 2＝OC 2－OD 2，OC 是半径，所以当OD 的值最小时，DC 最大，易知D 为AB 的中点时，DB ＝DC ＝2最大．答案：216．(选修4－4：坐标系与参数方程)解析：记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π4，转化为直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线为y＝(x －2)2，联立上述两个方程得x 2－5x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝5，故线段AB 的中点坐标为(52，52)． 答案：(52，52)三、解答题17．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得 sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin(53x －π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]．18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ＞1.19．解：(1)法一：在如图1所示的△ABC 中，设BD ＝x (0＜x ＜3)，则CD ＝3－x . 由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后(如图2)，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD ，又∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x )．于是V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝112·2x (3－x )(3－x )≤112[2x ＋(3－x )＋(3－x )3]3＝23， 当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥A -BCD 的体积最大．法二：同法一，得V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16(x 3－6x 2＋9x )．令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)(x －3)＝0，且0＜x ＜3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝1时，f (x )取得最大值．故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．(2)法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D －xyz .由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.于是可得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,0，2)，M (0,1,1)，E (12，1,0)，且＝(－1,1,1)．设N (0，λ，0)，则＝(－12，λ－1,0)．因为EN ⊥BM 等价于＝0，即(－12，λ－1,0)·(－1,1,1)＝12＋λ－1＝0，故λ＝12，N (0，12，0)．所以当DN ＝12(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝－x .可取n ＝(1,2，－1)． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则|－12－1|6×22＝32，即θ＝60°. 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.法二：由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2. 如图b ，取CD 的中点F ，连接MF ，BF ，EF ，则MF ∥AD . 由(1)知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .如图c ，延长FE 至P 点使得FP ＝DB ，连接BP ，DP ，则四边形DBPF 为正方形， 所以DP ⊥BF .取DF 的中点N ，连接EN ，又E 为FP 的中点，则EN ∥DP ， 所以EN ⊥BF .因为MF ⊥平面BCD ， 又EN ⊂平面BCD ，所以MF ⊥EN ， 又MF ∩BF ＝F ，所以EN ⊥平面BMF . 又BM ⊂平面BMF ，所以EN ⊥BM .因为EN ⊥BM 当且仅当EN ⊥BF ，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的．即当DN ＝12(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .连接MN ，ME ，由计算得NB ＝NM ＝EB ＝EM ＝52， 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG ，NG ，则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中，过点E 作EH ⊥GN 于H ， 则EH ⊥平面BMN .故∠ENH 是EN 与平面BMN 所成的角． 在△EGN 中，易得EG ＝GN ＝NE ＝22，所以△EGN 是正三角形， 故∠ENH ＝60°，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60°. 20．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为：于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P (300≤x ＜900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.21．解：(1)如图1，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |. ①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．(2)法一：如图2、3，∀k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x1m 2＋4k 2.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x1m 2＋4k 2，4(2－m 2)k 2x 21m 2＋4k 2＝0.即2－m 2＝0，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH . 法二：如图2、3，∀x 1∈(0,1)设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2，两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 22)＝0. ③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合，故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0，于是由③式可得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－m 2. ④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y1x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2.于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－m 22.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m 22＝－1，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .22．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )， ①若a 1，a 2中至少有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得(a1a 2)b 1≤b 1·a1a 2＋(1－b 1)，即ab 11·a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2. ②(3)(2)中命题的推广形式为设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数．若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…abn n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . ③用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．(2)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…abk k ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1＝(ab 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k 1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得 a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k 1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1， 从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1· (1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，故当n ＝k ＋1时，③成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．。
