高中数学第一章二项式定理人教B版选修2

1.3.1 二项式定理

一、教学分析

1.教材分析

二项式定理既是初中代数有关乘法公式的推广，又是学习后面统计与概率知识的必要基础。

通过二项式定理的推导和应用，可以培养学生的数学应用意识和创新精神，使学生养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式去解决问题、认识世界。

2.学生分析

学生在初中学习过数和多项式的乘法，因此他们很容易就能利用已有的知识（如完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2）推出n取较小值时的“二项式定理”，进而就会顺利成章地提出n取任意正整数时（a+b）n的展开式的问题。至于二项式定理在的应用，也就自然成了初中代数有关乘法公式在高中的延伸和拓展。

本节学生可能遇到的困难在于二项式定理的推导，教学过程中通过提出问题，引导学生自主探究二项展开式中各项的机构特征，具体步骤是先由特殊情况发现结论，然后针对一般情况引导学生进行证明，探究过程中指导学生注意合作交流、共同分析，使学生经历并体验探究活动的过程。

3.教学重点、难点

（1）二项式定理的理解及展开式应用。

（2）二项式定理的理解及展开式的灵活应用。

二、教学目标

1、知识与技能

（1）能用计数原理证明二项式定理；

（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

2、过程与方法

（1）使学生在已有知识的基础上，通过对n取较小值时二项展开式的探究，发现并掌握n取任意正整数时二项展开式的一般规律——二项式定理，通过定理的发现推导 ，提高学生的观察、比较、分析、概括等能力，激发学生的学习兴趣；

（2）在探究学习的过程中，教师启发诱导，师生自主合作，充分利用多媒体课件，提高课堂效率，力争优质高效。

3、情感、态度与价值观

（1）通过对二项展开式的一般规律的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；

（2）在运用二项式定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界；

（3）通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，提高学习数学的兴趣。

三、教学策略

1.教学模式

本节课是在建构主义理论指导下，采用自主探究——尝试指导——合作交流的教学策略，首先提出问题，引导学生自主探究二项展开式中各项的机构特征，由特殊情况发现结论，再给出一般性证明，最后研究二项式定理的初步应用，探究过程中注意合作交流、共同分析、互相启迪。

2.教学手段

充分利用多媒体教学手段，充分发挥课件的作用，有机整合课程资源，把二项式定理的推导和应用从排列组合的角度加以阐释，体现转化与化归的数学思想。

3.教学流程图

设疑激趣，提出问题

温故知新，探索归纳

挖掘拓展，补充强调

讲练结合，迁移深化

自主总结，布置作业

四、教学过程

教学环节 教学内容 设计意图及

达标策略

（一） 设 疑 激 趣 ， 提 出 问 题

1.情景设置（结合多媒体课件）

问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？

答：星期三。可将问题转化为求“30被7除后的余数”是多少。

问题2：若今天是星期一，再过8n（n∈N*）天后是星期几？怎么算？

答：类似上题，可将问题转化为求“8n被7除后的余数”是多少，而8n=(7+1)n,,就是研究（a+b）n（n∈N*）的展开式是什么，这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。

2. 呈现二项式定理——板书课题。 使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。 教学环节 教学内容 设计意图及

达标策略

（二）

温

故

知

新

，

探

索

归

纳 1.温故知新：以（a+b）2和（a+b）3的展开式为例，引导学生说出各项字母指数的变化规律；展开式中各项的系数与幂指数n的关系；项数与乘方指数的关系。

回答：①展开式中各项按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且每一项两个字母指数的和等于幂指数n；②展开式中各项的系数可看作组合数；③展开式的项数比幂指数多1，即共有n+1项。

2.用此规律，引导学生写出（a+b）4的展开式，并与用多项式乘法运算得到的结果比较验证，使学生体会并肯定上述做法的正确性。

3.探索归纳一般性结论：

（1）对于（a+b）n,先引导学生初步归纳出下式：

（a+b）n=（ ）an+（ ）an－1b+（ ）an—2b2+（ ）an—3b3+…+（ ）bn

（2）引导学生明确下一步的探究方向：即各项的系数如何确定？(这是本节课的难点所在，不可操之过急，务求让全体学生真正理解。)

将学生分成若干组，探究如何确定各项的系数，进而得出一般性证明。

4.在探究过程中，教师注意巡视、指导，引导学生思考，

引导学生用组合的观点来理解。

5.师生共同归纳总结：二项式定理及其相关概念（充分利用多媒体课件）。 1.引导学生通过自主探究以及合作交流，寻求问题的解决方法。

2. 引导学生经历由特殊到一般的探究发现过程，温故而知新。

3. 结合课件，及时归纳总结。

（三）

挖

掘

拓

展

，

补

充

强

调 研究二项式定理的特征，主要从以下四个方面来研究：

1.二项展开式的项数；

2.二项式系数Cnr；

3.二项展开式中各项的指数变化规律；

4.二项展开式通项的选择。

通过对定理的挖掘拓展，进一步加深学生对二项式定理特征的理解和把握，为下面的初步应用奠定良好的基础。

（四）

讲

练

结

合

，

迁

移 1.应用举例1：

例1. 展开（a+b）5

课堂练习1.展开（x－2）10，不必计算。

2.应用举例2：

例2.求(x－2)10的展开式中的第五项，并求出它的二项式系数。

课堂练习2.求 （x-x1）9 展开式中含x3的项，并求该项的系数。

（1）注意：请一位学生板演此题，教师点评，注意强调解题步骤的规范性。 1.例1的目的是让学生初步应用二项式定理进行展开；课堂练习1的目的除了上述目的外，还要为例2做铺垫。

2.例2的目的是应

深

化 （2）结合例2及课堂练习2的讲解，引导学生总结：

二项展开式的二项式系数与某一项的系数是两个不同的概念，不要混淆。

3.应用举例3：

例3.求证9910—1 能被100整除。

课堂练习3.(即本节起始问题)若今天是星期一,再过8n天是星期几？

结合例3及课堂练习3的讲解，引导学生总结：

解决整除问题时可以一般考虑把被除式利用除数的倍数与1表达出来，然后查看展开的每一部分，化繁为简，进而解决整除问题或余数问题。 用二项式定理求特定项及其二项式系数；课堂练习2的目的是求特定项及其系数，并突出二项式系数和系数的区别。3. 例3的目的是应用二项式定理证明整除问题；课堂练习3的目的是求余数问题，体现了转化与化归的数学思想。

（五）

自

主

总

结

，

布

置

作

业 1.课堂小结：

师生共同总结——交流——完善：

（1）二项式定理及其相关概念（二项展开式、二项式系数、通项等）。

（2）要正确区分“二项式系数”和“项的系数”

（3）二项式定理的应用：

①求特定项、特定项的系数或二项式系数；

②解决整除性问题或余数问题。

2.课后作业：

一、课本第28页： 练习A 4.

练习B 2、3.

二、课本第31页： 习题1-3A 7.(选做) 1.引导学生学会自己总结：让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程，及时归纳。

2.分层次布置课后作业，巩固深化所学知识，进一步培养自主探究能力。

（六）板书设计

1.3.1二项式定理 四、多媒体展示平台

一、二项式定理及其推导 二、二项式定理的应用举例

三、课堂练习2板演 五、教学评价

1.过程性评价

（1）教学过程中，教师的讲解和学生的练习紧扣教学目标，内容深浅层次分明，设计的例题习题类型全面且有梯度。

（2）对于二项式定理的推导和应用，让学生独立证明和总结难度较大，主要采用适时启发诱导的方法，引导学生自主证明和总结。

2.终结性评价

（1）课程内容全部结束后，师生共同总结本节课的主要内容，养成良好习惯，有助于知识结构的形成与不断完善。

（2）留的课后作业（分类型、分层次，落实学生的主体地位），让学生把所学内容落实好。